Geração de cenários de estresse para curvas de juros

Motiva¸cão Modelo HJM Constru¸cão de cenários Implementa¸cão Conclusões
Gera¸cão de cenários de estresse
para curva de juros
Alan De Genaro e Mariela Fernández
9 de setembro de 2011
Alan De Genaro e Mariela Fernández Gera¸cão de cenários de estresse para curva de juros

Roteiro:
1 Motiva¸cão.
2 Modelo de Heath-Jarrow-Morton.
3 Constru¸cão de cenários.
4 Implementa¸cão no mercado brasileiro.
5 Considera¸cões finais.

Motiva¸cão
Teste de estresse: avalia¸cão da perda potencial de uma carteira
contemplando o risco de evento.
O teste de estresse tem tido uso crescente no meio acadêmico ou na
comunidade financeira, sendo que, nesta última, de maneira
espontânea ou por imposi¸cão regulatória. Por exemplo:
o uso regulatório do teste de estresse ocorreu nos Estados Unidos da
América no come¸co de 2009, quando todas as institui¸cões financeiras
foram obrigadas a avaliar o risco de suas carteiras e capacidade de
suportar situa¸cões extremas sem comprometer a estabilidade do
sistema financeiro;
o uso espontâneo do teste de estresse ocorre na BM&FBOVESPA
para cálculo de margem de garantia, permitindo assim o perfeito
funcionamento do mercado pela certeza dos seus participantes de
que seus ganhos serão recebidos e suas opera¸cões de compra e venda
serão liquidadas conforme estabelecido na negocia¸cão.

Problema
Defini¸cão de métodos e modelos para a constru¸cão de teste de estresse e
de cenários de estresse.

Problema
Defini¸cão de métodos e modelos para a constru¸cão de teste de estresse e
de cenários de estresse.
1) Defini¸cão do teste de estresse
Um dos poss´ıveis testes de estresse é o “Teste de estresse sistemático”.
Consiste na cria¸cão de uma série de cenários de estresse para os
principais fatores de risco de um portfolio.
O trabalho de Vieira-Neto e Urban (2003) apresenta a metodologia da
BM&FBOVESPA para a avalia¸cão das margens de garantia dos contratos
derivativos negociados no segmento BM&F. O conceito subjacente
consiste em decompor os contratos, segundo uma condi¸cão de
não-arbitragem, em seus fatores primitivos de risco e avaliá-los
conjuntamente em um cenário de estresse.

Exemplo intuitivo de teste de estresse de um contrato futuro de moedas:
F = Se(r−rf )T
= S
PUr
PUrf
S valor do ativo `a vista;
r taxa de juros local;
rf taxa de juros estrangeira.
ln
F
F
= ln
S
S
+ ln
PUr
PUr
− ln
PUrf
PUrf

Exemplo intuitivo de teste de estresse de um contrato futuro de moedas:
F = Se(r−rf )T
= S
PUr
PUrf
S valor do ativo à vista;
r taxa de juros local;
rf taxa de juros estrangeira.
ln
F
F
= ln
S
S
+ ln
PUr
PUr
− ln
PUrf
PUrf
Cenário de estresse para os fatores primitivos de risco:
Ativo à vista ±8% ⇒ S(1 ± 0, 08).
Taxa de juros local +0, 01 e −0, 005 ⇒ r + 1% e r − 0, 5%.
Taxa de juros estrangeira +0, 02 e −0, 01 ⇒ rf + 2% e rf − 1%.

2) Defini¸cão dos cenários de estresse
Método Nelson-Siegel-Svensson. Modelo paramétrico de
interpola¸cão da taxa de juros, amplamente usado na literatura e nas
institui¸cões financeiras.
Jamshidian e Zhu (1996) propõem uma estrutura
computacionalmente eficiente para a gera¸cão de cenários para a
mensura¸cão de risco de uma carteira.
Dario (2004) o autor faz uso da Teoria dos Valores Extremos, TVE,
para a gera¸cão de cenários de estresse para fatores de risco spot e
temporais não correlacionados.
Rezende (2008) propõe uma metodologia de constru¸cão de cenários
de estresse probabil´ısticos para as curvas de juros estimando cenários
condicionais para as varia¸cões paralelas e de inclina¸cão da curva de
juros.

Modelo de Heath-Jarrow-Morton
1 Modelo cont´ınuo para ν fatores de incerteza
rt = r0 +
t
0
ν
j=1
σj
s(t)
t
s
σj
s(u)du ds +
t
0
σs(t)dW s.
2 Modelo discreto
rt+∆t − rt = µt∆t +
ν
j=1
σj
t
√
∆tZj
t .

Modelo de Heath-Jarrow-Morton
1 Modelo cont´ınuo para ν fatores de incerteza
rt = r0 +
t
0
ν
j=1
σj
s(t)
t
s
σj
s(u)du ds +
t
0
σs(t)dW s.
2 Modelo discreto
rt+∆t − rt = µt∆t +
ν
j=1
σj
t
√
∆tZj
t .
3 Análise de Componentes Principais
ri
t+1 − ri
t = ˆµi
ˆσi
+
3
j=1
λjV ij ˆσi
Zj
t para i = 1, · · · , N.
4 Compara¸cão dos termos estocásticos
σj
t ≈
λj
∆t
V •j ˆσ•
para j = 1, 2, 3.

Estrutura funcional da volatilidade
σj
t (T) = αj + βj(T − t) eγj (T −t)
+ δj, para j = 1, 2, 3
e do drift correspondente
µt(T) =
3
j=1
σj
t (T) δj(T−t)+
βj
γj
(T−t)eγj (T −t)
+(eγj (T −t)
−1)
αj
γj
−
βj
γ2
j
Utilizando a rela¸c˜ao abaixo podem ser calibrados os coeﬁcientes da forma
funcional da estrutura de volatilidade
σj
t ≈
λj
∆t
V •j ˆσ•
para j = 1, 2, 3.
arg min
N
i=1
(αj +βj
i
252
)eγj
i
252 +δj −
λj
1/252
Vij ˆσi
2
, para j = 1, 2, 3.

Finalmente, para qualquer prazo Ti tem-se que
r0+1(Ti) = r0(Ti)+
1
252
µ(Ti)+
1
252
σ1
(Ti)ξ1 +σ2
(Ti)ξ2 +σ3
(Ti)ξ3 ,
sendo ξ1, ξ2 e ξ3 variáveis aleatórias independentes com distribui¸cão
gaussiana padrão,
σj
(Ti) = αj + βj(Ti) eγj (Ti)
+ δj, para j = 1, 2, 3
e
µ(Ti) =
3
j=1
σj
(Ti) δj(Ti) +
βj
γj
(Ti)eγj (Ti)
+ (eγj (Ti)
− 1)
αj
γj
−
βj
γ2
j
.
Em geral, para qualquer holding period HP
r0+HP (Ti) = r0(Ti)+
HP
252
µ(Ti)+
HP
252
σ1
(Ti)ξ1+σ2
(Ti)ξ2+σ3
(Ti)ξ3 ,

HP
252
µ(Ti)+
HP
252
σ1
(Ti)ξ1+σ2
(Ti)ξ2+σ3
(Ti)ξ3 ,
Problema
ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?.

HP
252
µ(Ti)+
HP
252
σ1
(Ti)ξ1+σ2
(Ti)ξ2+σ3
(Ti)ξ3 ,
Problema
ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?.
Resposta dos gestores de risco
Para 1 dia, cenário de 1%, em 6 meses, cenário de 0, 5% e para mais de
3 anos, cenário de −1%.

Problema
(T1, choque1), (T2, choque2) e (T3, choque3) ⇒ ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?,
sendo choquei = r0+HP (Ti) − r0(Ti).
HP
252
µ(Ti)+
HP
252
σ1
(Ti)ξ1+σ2
(Ti)ξ2+σ3
(Ti)ξ3 .

Problema
(T1, choque1), (T2, choque2) e (T3, choque3) ⇒ ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?,
sendo choquei = r0+HP (Ti) − r0(Ti).
HP
252
µ(Ti)+
HP
252
σ1
(Ti)ξ1+σ2
(Ti)ξ2+σ3
(Ti)ξ3 .
Solu¸c˜ao
HP
252
0
@
µ(T1)
µ(T2)
µ(T3)
1
A +
r
HP
252
0
@
σ1
(T1) σ2
(T1) σ3
(T1)
σ1
(T2) σ2
(T2) σ3
(T2)
σ1
(T3) σ2
(T3) σ3
(T3)
1
A
0
@
ξ1
ξ2
ξ3
1
A =
0
@
choque1
choque2
choque3
1
A

Caso o sistema anterior não tenha solu¸cão
det


σ1
(T1) σ2
(T1) σ3
(T1)
σ1
(T2) σ2
(T2) σ3
(T2)
σ1
(T3) σ2
(T3) σ3
(T3)

 = 0,
propoe-se aplicar o seguinte “ajuste numérico” na matriz A
Se σ1
(T2)σ2
(T3) = σ2
(T2)σ1
(T3),
A =


σ1
(T1) σ2
(T1) σ3
(T1) +
σ1
(T2) σ2
(T2) σ3
(T2)
σ1
(T3) σ2
(T3) σ3
(T3)


Se σ1
(T2)σ2
(T3) = σ2
(T2)σ1
(T3),
A =


σ1
(T1) σ2
(T1) σ3
(T1) +
σ1
(T2) σ2
(T2) σ3
(T2)
σ1
(T3) σ2
(T3) + 2 σ3
(T3)



Observa¸cão:
HP
252
µ(Ti)+
HP
252
σ1
(Ti)ξ1+σ2
(Ti)ξ2+σ3
(Ti)ξ3 ,
Como HP
252 σ1
(Ti)ξ1 + σ2
(Ti)ξ2 + σ3
(Ti)ξ3 possui distribui¸cão
gaussiana com média zero e variância HP
252 σ1
(Ti)2
+ σ2
(Ti)2
+ σ3
(Ti)2
tem-se que
P r0+HP (Ti) − r0(Ti) ≤ choquei =
P
HP
252
σ1
(Ti)ξ1 + σ2
(Ti)ξ2 + σ3
(Ti)ξ3 ≤ choquei −
HP
252
µ(Ti) .

Implementa¸cão no mercado brasileiro
Vencimentos do contrato futuro de DI com maior volume de negocia¸cão
na BM&FBOVESPA no 7 de abril de 2009.
Vencimento Dias úteis Percentual de negócios
Janeiro/2010 185 33%
Janeiro/2012 687 32%
Janeiro/2011 436 16%
Outubro/2009 122 6%
Julho/2009 57 4%
Julho/2010 308 2%
Observando a liquidez dos contratos, foram escolhidos os seguintes
vértices para calibrar a estrutura de volatilidade.
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
84 147 210 273 336 462 588 756 840 1008

Decomposi¸cão da varia¸cão da estrutura da taxa prefixada em seus
componentes principais.
Componente Explica¸cão
1o (n´ıvel) 88,92%
2o (inclina¸cão) 7,66%
3o (curvatura) 1,82%
Total 98,40%
Estrutura de volatilidade dos três componentes principais. Os pontos
representam os valores históricos (autovetor da matriz de correla¸cão) e as
linhas cont´ınuas as fun¸cões calibradas.
-3%
-2%
-1%
0%
1%
2%
3%
4%
0 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600
Volatilidade
du
Função de volatilidade
1º fator 2º fator 3º fator

Estresse estabelecido para construir cenários de n´ıvel, inclina¸cão e
curvatura para 2 dias.
Vértice Estresse positivo Estresse negativo
Cenários de n´ıvel
1 1% -1%
399 2,4% -1,6%
≥ 756 2,5% -1,9%
Cenários de inclina¸cão
1 -1% 1%
126 0 0
≥ 882 2,55% -2%
Cenários de curvatura
1 1% -1%
504 -1,8% 1,6%
≥ 1008 2,6% -2,2%
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 300 600 900 1.200 1.500
Taxa(%)
du
Cenários da taxa Pre
Taxa estressada HJM Taxa de mercado
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 300 600 900 1.200 1.500
Taxa(%)
du
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 300 600 900 1.200 1.500
Taxa(%)
du

Estresse estabelecido para replicar cen´arios de estresse observados.
Data Vencimento Estresse HP
1 0%
22/5/2006 Jan/2008 (≈ 400 du) 1,2% 2 dias
Jan/2010 (≈ 910 du) 0,7%
1 0%
13/8/2007 Jan/2009 (≈ 350 du) 1% 3 dias
Jan/2011 (≈ 860 du) 1,4%
1 0%
17/9/2008 Jan/2010 (≈ 330 du) 0,25% 3 dias
Jan/2012 (≈ 840 du) 0,7%
14,5
15,0
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Taxa(%)
du
Taxa estressada HJM Taxa de mercado 22/5/06 Taxa de mercado de 24/5/06
10,8
11,0
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0
12,2
12,4
12,6
12,8
13,0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Taxa(%)
du
Taxa estressada HJM Taxa de mercado 13/8/07 Taxa de mercado 16/8/07
13,4
13,6
13,8
14,0
14,2
14,4
14,6
14,8
15,0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Taxa(%)
du
Taxa estressada HJM Taxa de mercado 12/9/08 Taxa de mercado 17/9/08

Considera¸cões finais
Foi proposto um método de constru¸cão de cenários de estresse para
a taxa de juros, com base no arcabou¸co HJM, que incorpore a
opinião de especialistas.
HJM é um modelo livre de arbitragem;
foi dada ênfase na aplica¸cão do modelo;
interpolador livre de arbitragem.
Desenvolvimento futuro: implementar na decomposi¸cão em PCA a
dependência em per´ıodos de crise.
Publica¸cão
Revista Brasileira Finan¸cas, Vol. 9, No. 3, Junho 2011.

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