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Juliana Dubinski e Prof. Jomar
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
EXERCÍCIO
Considere um experimento em que se analisa a octanagem da gasolina em função da
adição de um novo aditivo . Para isso, foram realizados ensaios com os percentuais de
1, 2, 3, 4, 5 e 6% de aditivo. Os resultados são mostrados na a seguir:
X 1 2 3 4 5 6
Y 80,5 81,6 82,1 83,7 83,9 85,0
Observe que é razoável supor uma relação aproximadamente linear entre X e Y para os
níveis de aditivo ensaiados (de 1 a 6%). Contudo, os pontos não estão exatamente sobre
uma reta, provavelmente por causa da existência de fatores não controláveis no processo.
Vamos supor, então, que o valor esperado de Y se relacione com X, de acordo com uma
equação de primeiro grau, ou seja:
Em que, são os parâmetros do modelo.
Seja um conjunto de observações . O modelo de regressão
linear simples para as observações é dado por:
Sendo :
é a variável aleatória associada à i-ésima observação de Y;
é o erro aleatório da i-ésima observação, isto é, o efeito de uma infinidade de
fatores que estão afetando a observação de Y de forma aleatória;
Tabela- Dados do experimento e cálculos intermediários para obter a equação de
regressão.
Assim, temos a seguinte reta de regressão:
Para traçar a reta no plano, basta atribuir os valores para X e estimar Y.
Por exemplo: Se x=4 ⇒ 83,244=yˆ . Note que o y observado foi igual a 83,7. Logo,
tem-se um erro igual a 0,456.
Interpretação:
• a = 79,7. É o valor da octanagem médio (esperado) caso não haja adição de aditivo
(x=0).
• b > 0 ⇒ Correlação Linear Positiva (direta). Quando X aumenta, Y também
aumenta (e vice-versa).
• b = 0,886. A cada aumento de uma unidade de medida em X (aumento de 1% do
aditivo), espera-se um aumento médio de 0,886 para o nível de octanagem.
Aditivo vs Octanagem
80
80,5
81
81,5
82
82,5
83
83,5
84
84,5
85
85,5
0 2 4 6 8
Y
Y previsto
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressão
R múltiplo 0,98744143
R-Quadrado 0,97504058
Coef. de
Explicação (Determinação)
R-quadrado
ajustado 0,96880073
Erro padrão 0,29640706
Observações 6
ANOVA
Causas de Variação gl SQ MQ F
F de significação
(P-valor)
Regressão 1 13,7285714 13,728571 156,26016 0,000235586
Resíduo 4 0,35142857 0,0878571
Total 5 14,08
Conclusão: Com base na ANOVA, nota-se que o p-valor (F de Significação) foi igual a 0,000235586
(valor com prob. baixa=evento raro). Logo, a hipótese testada H0: β = 0, deve ser rejeitada. Assim,
conclui-se que existe a regressão linear. Pela análise do Coeficiente de Determinação
(R2
= 97,504058% ), interpreta-se que: da variabilidade total (associada à octanagem), 97,5% se
deve (pode ser explicada) por X (aditivo). Note, também, que o coeficiente de Pearson
( 0,987=ρˆ = 97504058,02
=R ) indica uma correlação linear forte entre X e Y. Pois,
encontra-se próximo a 1.
Assim, a reta estimada ( ) é adequada para predizer valores (Yˆ ) no
intervalo de X experimentado, ou seja, entre 1% e 6%.
][
1
1
];[ˆ ∑ ∑ ∑ ∑−
−
=
n
YX
XY
n
YXvoC





⇒≅
↓↑⇔⇒<
↑↑⇔⇒>
LINEARassociaçãodeAusência
vvYXnegativaInversaAssociação
YXpositivaDiretaAssociação
voCSe
0
).(:)(0
:)(0
ˆ
YX
ss
YXvoC
.
];[ˆ
ˆ =ρ ;
Total
Modelo
SQ
SQ
R =2
Soma de Quadrados (SQ):
222
).1(.).1( YTotalXModelo
SnSQeSbnSQ −=−=
Quadrados Médios (QM):
gl
SQ
QM =
XbYa .−=
2
];[ˆ
XS
YXvoC
b =
Regressao

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Regressao

  • 1. Juliana Dubinski e Prof. Jomar REGRESSÃO LINEAR SIMPLES EXERCÍCIO Considere um experimento em que se analisa a octanagem da gasolina em função da adição de um novo aditivo . Para isso, foram realizados ensaios com os percentuais de 1, 2, 3, 4, 5 e 6% de aditivo. Os resultados são mostrados na a seguir: X 1 2 3 4 5 6 Y 80,5 81,6 82,1 83,7 83,9 85,0 Observe que é razoável supor uma relação aproximadamente linear entre X e Y para os níveis de aditivo ensaiados (de 1 a 6%). Contudo, os pontos não estão exatamente sobre uma reta, provavelmente por causa da existência de fatores não controláveis no processo. Vamos supor, então, que o valor esperado de Y se relacione com X, de acordo com uma equação de primeiro grau, ou seja: Em que, são os parâmetros do modelo. Seja um conjunto de observações . O modelo de regressão linear simples para as observações é dado por:
  • 2. Sendo : é a variável aleatória associada à i-ésima observação de Y; é o erro aleatório da i-ésima observação, isto é, o efeito de uma infinidade de fatores que estão afetando a observação de Y de forma aleatória; Tabela- Dados do experimento e cálculos intermediários para obter a equação de regressão. Assim, temos a seguinte reta de regressão:
  • 3. Para traçar a reta no plano, basta atribuir os valores para X e estimar Y. Por exemplo: Se x=4 ⇒ 83,244=yˆ . Note que o y observado foi igual a 83,7. Logo, tem-se um erro igual a 0,456. Interpretação: • a = 79,7. É o valor da octanagem médio (esperado) caso não haja adição de aditivo (x=0). • b > 0 ⇒ Correlação Linear Positiva (direta). Quando X aumenta, Y também aumenta (e vice-versa). • b = 0,886. A cada aumento de uma unidade de medida em X (aumento de 1% do aditivo), espera-se um aumento médio de 0,886 para o nível de octanagem. Aditivo vs Octanagem 80 80,5 81 81,5 82 82,5 83 83,5 84 84,5 85 85,5 0 2 4 6 8 Y Y previsto RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,98744143 R-Quadrado 0,97504058 Coef. de Explicação (Determinação) R-quadrado ajustado 0,96880073 Erro padrão 0,29640706 Observações 6 ANOVA Causas de Variação gl SQ MQ F F de significação (P-valor) Regressão 1 13,7285714 13,728571 156,26016 0,000235586 Resíduo 4 0,35142857 0,0878571 Total 5 14,08
  • 4. Conclusão: Com base na ANOVA, nota-se que o p-valor (F de Significação) foi igual a 0,000235586 (valor com prob. baixa=evento raro). Logo, a hipótese testada H0: β = 0, deve ser rejeitada. Assim, conclui-se que existe a regressão linear. Pela análise do Coeficiente de Determinação (R2 = 97,504058% ), interpreta-se que: da variabilidade total (associada à octanagem), 97,5% se deve (pode ser explicada) por X (aditivo). Note, também, que o coeficiente de Pearson ( 0,987=ρˆ = 97504058,02 =R ) indica uma correlação linear forte entre X e Y. Pois, encontra-se próximo a 1. Assim, a reta estimada ( ) é adequada para predizer valores (Yˆ ) no intervalo de X experimentado, ou seja, entre 1% e 6%. ][ 1 1 ];[ˆ ∑ ∑ ∑ ∑− − = n YX XY n YXvoC      ⇒≅ ↓↑⇔⇒< ↑↑⇔⇒> LINEARassociaçãodeAusência vvYXnegativaInversaAssociação YXpositivaDiretaAssociação voCSe 0 ).(:)(0 :)(0 ˆ YX ss YXvoC . ];[ˆ ˆ =ρ ; Total Modelo SQ SQ R =2 Soma de Quadrados (SQ): 222 ).1(.).1( YTotalXModelo SnSQeSbnSQ −=−= Quadrados Médios (QM): gl SQ QM = XbYa .−= 2 ];[ˆ XS YXvoC b =