Com a recente produção dos poços do pré-sal diversos desafios tem surgido nas últimas décadas, dentre os quais pode-se destacar o conhecimento do comportamento do fluido produzido. Geralmente, esse fluido é uma mistura complexa de hidrocarbonetos que dificultam a modelagem matemática do escoamento. Tal dificuldade pode ser contornada aplicando-se conceitos de média volumétrica nas equações de conservação do escoamento multifásico, obtendo-se um conjunto de equações médias. Além disso, definiu-se diferentes modelos para escoamentos multifásicos, dentre os quais optou-se pelo modelo de mistura drift-flux. O objetivo do presente trabalho foi a elaboração de um simulador numérico para estudo do escoamento transiente multifásico, térmico e composicional que possa lidar com o aparecimento e desaparecimento de fases. Para isto, as propriedades físicas das fases foram determinadas usando-se uma equação de estado cúbica e o equilíbrio termodinâmico estabelecido através da igualdade das fugacidades de cada componente. A correlação cinemática entre as fases usada foi o modelo de mistura drift-flux de Choi et al. (2012). O fluxo de calor entre o poço e o meio externo foi modelado de forma a considerar tanto um coeficiente de troca de calor constante quanto um esquema de completação típico da indústria do petróleo. As equações de conservação foram discretizadas no espaço pelo método dos Volumes Finitos e no tempo, e resolvidas pelo método implícito de Newton-Raphson. A convergência espacial e temporal do método numérico foi verificada utilizando-se um teste de referência na área da dinâmica dos fluidos computacionais: o tubo de choque. Além disso, foi analisado o comportamento transiente do fenômeno de gás retrógrado neste experimento. O correto acoplamento entre a pressão, temperatura e velocidade, assim como a implementação do fluxo de calor entre o poço e o meio externo foram verificados através de soluções analíticas. O comportamento transiente do escoamento, foi verificado com os resultados de uma simulação presente na literatura adotando um esquema de completação offshore.

1. MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO
TRANSIENTE COMPOSICIONAL COM TRANSFERÊNCIA DE
CALOR EM POÇOS VERTICAIS
BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE
LABORATÓRIO DE ENGENHARIA E EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO
MACAÉ - RJ
SETEMBRO - 2015

2. MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO
TRANSIENTE COMPOSICIONAL COM TRANSFERÊNCIA DE
CALOR EM POÇOS VERTICAIS
BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR
Dissertação apresentada ao Centro de Ci-
ência e Tecnologia da Universidade Esta-
dual do Norte Fluminense, como parte das
exigências para obtenção do título de Mes-
tre em Engenharia de Reservatório e de
Exploração.
Orientador: Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz, Dr. Eng.
Coorientador: Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio, D. Sc.
MACAÉ - RJ
SETEMBRO - 2015

3. MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO
TRANSIENTE COMPOSICIONAL COM TRANSFERÊNCIA DE
CALOR EM POÇOS VERTICAIS
BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR
Dissertação apresentada ao Centro de Ci-
ência e Tecnologia da Universidade Esta-
dual do Norte Fluminense, como parte das
exigências para obtenção do título de Mes-
tre em Engenharia de Reservatório e de
Exploração.
Aprovada em 24 de setembro de 2015.
Comissão Examinadora:
Prof. Adriano dos Santos (D. Sc., Eng. Civil - UFRN)
Prof. Grazione de Souza (D. Sc., Eng. de Reservatório e de Exploração - UERJ)
Prof. Adolfo Puime Pires (D. Sc., Eng. de Reservatório e de Exploração - UENF)
Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio (D. Sc., Mat. Aplicada - UFU) - Coorientador
Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz (Dr. Eng., Eng. Mecânica - UENF) - Orientador

4. Agradecimentos
Agradeço:
Primeiramente a Deus, por todas as graças alcançadas em minha vida e princi-
palmente pela força, coragem, saúde e sabedoria que me dá a fim de alcançar meus
objetivos.
Aos meus pais, Ana Maria Martins Souza e Bismarck Gomes Souza que con-
tribuíram de todas as formas para o meu êxito, compreendendo minhas ausências,
compartilhando meus ideais e incentivando-me a prosseguir, com um sorriso amigo,
uma palavra de carinho, amor e dedicação. À minha irmã, Bruna Gomes Souza, e à
Walquíria Mazorque Matos por estarem sempre ao meu lado.
Aos amigos e em especial ao Wagner Queiroz Barros e ao Júlio Cesar Santos
Nascimento, que ajudaram diretamente no desenvolvimento do software apresentado
nessa dissertação. Devido à complexidade do tema estudado, sem eles este trabalho
não seria possível.
Aos membros da banca, professores e funcionários do LENEP/CCT/UENF e prin-
cipalmente ao meu orientador, Carlos E. Pico Ortiz, e ao meu coorientador, Santos
Alberto Enriquez Remígio, que estiveram sempre dispostos a me atender e ajudar nas
dificuldades e desafios encontrados durante a realização deste trabalho.
Ao capítulo estudantil UENF-LENEP/SPE-Macaé por disponibilizar o acesso a um
banco de dados, pelo qual foi possível obter grande parte da bibliografia deste tra-
balho. À rede de Simulação e Gerenciamento de Reservatórios (SIGER), uma rede
de pesquisa da Petróleo Brasileiro S/A (Petrobras), por me envolver no projeto intitu-
lado "Modelagem do Acoplamento Poço-Reservatório com Variação de Propriedades
Termodinâmicas em Reservatórios com Alto Teor de CO2" e à Coordenação de Aper-
feiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo suporte financeiro que me
foi dado durante o mestrado.
iv

5. Epígrafe
"A persistência é o menor caminho do êxito" (Charles Chaplin)
v

6. Sumário
Nomenclatura xv
Resumo xx
Abstract xxi
1 Introdução 22
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Organização do Documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Equações Médias de Transporte 29
2.1 Formulação Instantânea Local do Escoamento Monofásico . . . . . . . 29
2.2 Função Indicadora de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Processos de Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Equações Médias de Conservação do Escoamento Multifásico . . . . . 43
3 Escoamento Multifásico Utilizando o Modelo de Mistura Drift-Flux 53
3.1 Modelos Matemáticos do Escoamento Multifásico . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Modelo de Deslizamento Drift-Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Equações do Modelo de Mistura Drift-Flux . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Transferência de Calor Entre o Poço e a Formação Geológica 66
4.1 Transferência de Calor no Poço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Metodologia para o Cálculo do Fluxo de Calor . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Metodologia Numérica 78

7. Sumário
5.1 Discretização pelo Método de Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Solução do Sistema de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Fluxograma do Processo de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Simulações Numéricas de Escoamento de Fluidos em Tubulações 101
6.1 Tubo de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Escoamento Vertical Isotérmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Escoamento Vertical com Transferência de Calor . . . . . . . . . . . . . 124
6.4 Simulação Vertical Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Considerações Finais 142
7.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Apêndice A -- Modelagem Termodinâmica 156
A.1 Equação de Estado Volumétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.2 Equação de Estado Para a Água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.3 Propriedades do Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.4 Análise da Estabilidade Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.5 Flash Termodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Apêndice B -- Modelagem Computacional 177
B.1 Diagrama de Pacotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.2 Diagrama de Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Apêndice C -- Soluções Analíticas 186
C.1 Tubo de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
C.2 Simulação Vertical Isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
C.3 Simulação Vertical com Troca de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
vii

8. Sumário
Apêndice D -- Condições de Contorno 196
D.1 Células Virtuais à Esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
D.2 Células Virtuais à Direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
viii

9. Lista de Figuras
1 Função indicadora de fases em função do tempo, fixando-se uma posi-
ção no espaço (x0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Função indicadora de fases em função do espaço, fixando-se um tempo
(t0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Filtragem de uma propriedade qualquer utilizando a função indicadora
de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Média volumétrica de uma função ruidosa em um instante t0. . . . . . . 38
5 Média volumétrica da função indicadora de fase. . . . . . . . . . . . . . 39
6 Média volumétrica intrínseca da fase p para uma função descontínua. . 40
7 Distribuição não uniforme da fase e da velocidade na seção transversal
de um escoamento vertical gás-líquido. Adaptado de Shi et al. (2005). 55
8 Corte radial de um típico esquema de completação. Adaptado de Hasan
e Kabir (1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9 Representação de uma seção cilíndrica na qual ocorre uma troca de
calor entre as superfícies interna e externa. . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10 Convecção natural no interior do anular. Adaptado de Willhite (1967). . 71
11 Fluxograma para o cálculo do fluxo de calor total entre o poço e a for-
mação, conhecendo-se as propriedades do fluido no interior do poço. . 77
12 Volume de controle unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13 Armazenamento das variáveis escalares, φk, e vetoriais, vk+1
2
, no vo-
lume de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
14 Volumes de controle para a discretização das equações conservativas. 82
15 Fluxograma para solucionar o sistema não-linear utilizando o método de
Newton-Raphson de forma totalmente implícita. . . . . . . . . . . . . . 92

10. Lista de Figuras
16 Fluxograma da análise de equilíbrio termodinâmico para cada volume
de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
17 Fluxograma para obter as propriedades do escoamento dado um passo
de tempo ∆t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
18 Fluxograma do funcionamento do simulador. . . . . . . . . . . . . . . . 100
19 Perfil de pressão inicial do tubo de choque sepadarado por uma mem-
brana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
20 Perfil de pressão do tubo de choque após a membrana ser removida. . 102
21 Perfis de pressão, temperatura, velocidade e massa específica do pro-
blema do tubo de choque após a membrana ser removida. . . . . . . . 103
22 Perfil de pressão do tubo de choque monocomponente. . . . . . . . . . 106
23 Perfil de velocidade do tubo de choque monocomponente. . . . . . . . . 106
24 Perfil de temperatura do tubo de choque monocomponente. . . . . . . . 107
25 Perfil da massa específica do tubo de choque monocomponente. . . . . 107
26 Perfil de pressão do tubo de choque composicional. . . . . . . . . . . . 109
27 Perfil de velocidade do tubo de choque composicional. . . . . . . . . . . 109
28 Perfil de temperatura do tubo de choque composicional. . . . . . . . . . 110
29 Perfil de massa específica do tubo de choque composicional. . . . . . . 110
30 Envelope de fases da simulação do tubo de choque bifásico miscível. . 111
31 Perfil de pressão da simulação do tubo de choque bifásico miscível. . . 113
32 Perfil de temperatura da simulação do tubo de choque bifásico miscível. 113
33 Perfil de velocidade da simulação do tubo de choque bifásico miscível. 114
34 Representação do comportamento do escoamento do tubo de choque
bifásico miscível no diagrama de fases em 1 milissegundo. . . . . . . . 115
35 Perfil de fração volumétrica de gás da simulação do tubo de choque
bifásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
36 Perfil de massa específica da simulação do tubo de choque bifásico. . 116
37 Perfil de pressão para a simulação transiente vertical isotérmica. . . . . 119
x

11. Lista de Figuras
38 Perfil de fração volumétrica para a simulação transiente vertical isotér-
mica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
39 Perfil de velocidade para a simulação transiente vertical isotérmica. . . 120
40 Velocidade da mistura na saída do tubo para a simulação transiente
vertical isotérmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
41 Perfil de pressão para a simulação vertical isotérmica variando-se a ve-
locidade de deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
42 Perfil de velocidade de gás para a simulação vertical isotérmica variando-
se a velocidade de deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
43 Perfil de velocidade de líquido para a simulação vertical isotérmica variando-
se a velocidade de deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
44 Perfil de fração volumétrica para a simulação vertical isotérmica variando-
se a velocidade de deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
45 Perfil de temperatura para a simulação vertical com coeficiente de troca
de calor constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
46 Perfil de temperatura considerando os processos de condução e conve-
ção no anular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
47 Perfil de massa específica do líquido para o escoamento bifásico miscí-
vel vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
48 Perfil de pressão para o escoamento bifásico miscível vertical. . . . . . 131
49 Perfil de velocidade para o escoamento bifásico miscível vertical. . . . . 132
50 Perfil de fração volumétrica de gás para o escoamento bifásico miscível
vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
51 Diagrama de fases do escoamento bifásico miscível vertical. . . . . . . 133
52 Perfil de temperatura para o escoamento bifásico miscível vertical. . . . 134
53 Geometria da simulação de Assmann (1993). . . . . . . . . . . . . . . . 135
54 Perfil de fração volumétrica para a simulação de Assmann (1993) con-
siderando o deslizamento entre as fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
55 Perfil de pressão para a simulação de Assmann (1993) considerando o
deslizamento entre as fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
xi

12. Lista de Figuras
56 Perfil de temperatura para a simulação de Assmann (1993) conside-
rando o deslizamento entre as fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
57 Perfil de pressão para a simulação sem deslizamento de Assmann (1993).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
58 Perfil de temperatura para a simulação sem deslizamento de Assmann
(1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
59 Perfil de fração volumétrica de gás para a simulação sem deslizamento
de Assmann (1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
60 Fluxograma da análise de estabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
61 Fluxograma para o cálculo do flash termodinâmico. . . . . . . . . . . . 176
62 Diagrama de pacotes do simulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
63 Diagrama de classes do pacode Fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
64 Diagrama de classes do pacote Poço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
65 Diagrama de classes do pacote Discretização. . . . . . . . . . . . . . . 184
66 Diagrama de classes do pacote de gerenciamento de dados da célula. 185
67 Diagrama de classes do pacote de Solver. . . . . . . . . . . . . . . . . 185
68 Diagrama de classes do pacote principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
69 Regiões que surgem no comportamento físico de um tubo de choque. 186
70 Condição de contorno à esquerda para as propriedades escalares. . . . 197
71 Condição de contorno à esquerda para as propriedades vetoriais. . . . 198
72 Condição de contorno à direita para as propriedades escalares. . . . . 199
73 Condição de contorno à direita para as propriedades vetoriais. . . . . . 200
xii

13. Lista de Tabelas
1 Modelos para o parâmetro de distribuição e velocidade de deslizamento 58
2 Variáveis independentes do escoamento multifásico imiscível . . . . . 61
3 Equações do escoamento multifásico imiscível . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Variáveis independentes do escoamento multifásico composicional mis-
cível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Equações do escoamento multifásico composicional miscível . . . . . . 65
6 Dados da geometria da tubulação na simulação do tubo de choque . . 104
7 Condição inicial para a simulação do tubo de choque monocomponente 105
8 Condição inicial para a simulação do tubo de choque composicional . . 108
9 Condição inicial para a simulação do tubo de choque miscível . . . . . . 112
10 Parâmetros da simulação vertical isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . 117
11 Dados do fluido da simulação vertical isotérmica . . . . . . . . . . . . . 117
12 Condição inicial da simulação vertical isotérmica . . . . . . . . . . . . . 118
13 Parâmetros da tubulação do escoamento vertical com troca de calor . . 124
14 Condição inicial para a simulação vertical com coeficiente de troca de
calor constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15 Condições de contorno para a simulação vertical com coeficiente de
troca de calor constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16 Condições de contorno da simulação com coeficiente de troca de calor
estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
17 Condição inicial da simulação com coeficiente de troca de calor estimado127
18 Parâmetros da completação da simulação com coeficiente de troca de
calor estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

14. Lista de Tabelas
19 Propriedades do fluido no anular da simulação com coeficiente de troca
de calor estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
20 Condição inicial para a simulação bifásica miscível vertical . . . . . . . 130
21 Condições de contorno para a simulação bifásica miscível vertical . . . 130
22 Parâmetros da simulação vertical transiente . . . . . . . . . . . . . . . . 135
23 Condições de contorno da simulação vertical transiente . . . . . . . . . 136
24 Condição inicial da simulação vertical transiente . . . . . . . . . . . . . 137
25 Parâmetros numéricos da simulação vertical transiente . . . . . . . . . 137
26 Valor do parâmetro ∆ para diferentes equações de estado. Adaptado
de Wei e Sadus (2000) e Sandler (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
27 Propriedades críticas e fator acêntrico de algumas substâncias . . . . . 158
28 Parâmetros utilizados para modelar a água na fase líquida . . . . . . . 159
29 Parâmetros da equação de estado cúbica expresso implicitamente pelo
fator de compressibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
30 Coeficientes do polinômio interpolador da entalpia do gás ideal (Btu/lb
e ◦
R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
xiv

15. Nomenclatura
A nomenclatura está dividida em: alfabeto latino, alfabeto grego, sub-índices, super-
índices, símbolos e acrônimos, sendo apresentada em ordem alfabética.
Alfabeto Latino
A Área [m²]
c Capacidade calorífica mássica [J/(kg.K)]
C Capacidade calorífica molar [J/(mol.K)]
C0 Parâmetro de distribuição [-]
D Diâmetro [m]
e Energia por unidade de massa [J/Kg]
f Fugacidade [Pa]
f Fator de atrito [-]
F Função qualquer
g Aceleração da gravidade [m/s²]
gs Função de superfície
g Vetor aceleração da gravidade [m/s²]
h Coeficiente de convecção [W/(m².K)]
h Entalpia específica molar [J/mol]
I Termo fonte devido a interface
I Tensor unitário
j Velocidade volumétrica [m/s]
J Fluxo de uma propriedade
J Matriz Jacobiana
K Tensor de condutividade térmica [W/(m.K)]
m Massa [kg]
˙m Vazão mássica [kg/s]
M Massa molar [kg/mol]
n Número de mols [mol]

16. Nomenclatura
n Vetor normal a superfície
Nc Número de componentes
Np Número de fases
Nu Número de Nusselt [-]
par Número de Parachor
P Pressão [Pa]
Pr Número de Prandtl [-]
q Termo fonte da propriedade por unidade de volume
Q Fluxo de calor por unidade de área [W/m²]
r Raio [m]
R Resíduo
R Constante universal dos gases ideais [J/(mol.K)]
R Vetor de resíduos
Re Número de Reynolds [-]
t Tempo [s]
T Temperatura [K]
TD Temperatura adimensional [-]
T Tensor de tensão superficial [Pa]
u Energia interna específica [J/Kg]
u Energia interna específica molar [J/mol]
U Energia interna [J]
U Coeficiente de troca de calor [W/(m².K)]
v Volume molar [m³/mol]
v Velocidade [m/s]
vs Velocidade do som [m/s]
v Vetor de velocidade [m/s]
V Volume [m³]
˙V Vazão volumétrica [m³/s]
w Velocidade da onda de choque [m/s]
x Fração molar [-]
x Vetor posição [m]
X Função indicadora de fase
X Vetor de incógnitas
z Posição no espaço [m]
zc Fração global do componente c
Z Fator de compressibilidade [-]
xvi

17. Nomenclatura
Alfabeto Grego
α Fração volumétrica [-]
β Coeficiente de expansão térmica [1/K]
βs
Coeficiente interpolador das propriedades escalares [-]
βv
Coeficiente interpolador das propriedades vetoriais [-]
γ Coeficiente de expansão adiabática [-]
δ Espessura da interface [m]
ε Coeficiente de emissividade [-]
Rugosidade [m]
ζ Coeficiente de difusividade térmica [m²/s]
η Coeficiente de Joule-Thomson [ K/Pa]
θ Ângulo de inclinação [◦
]
κ Condutividade térmica [W/(m.K)]
µ Viscosidade [Pa.s]
ξ Massa específica molar [mol/m³]
ρ Massa específica [kg/m³]
σ Tensão superficial [N/m]
σB Coeficiente de Stefan-Boltzmann [W.m−2
.K−4
]
τ Tensor de tensões viscosas [Pa]
φ Geração de uma propriedade devido a forças de corpo
ψ Propriedade intensiva
Ψ Propriedade extensiva
ω Fator acêntrico [-]
Subscrito
0 Referência
an Anular
c Componente
cas Revestimento
ci Parte interna do revestimento
co Parte externa do revestimento
cem Cimentação
xvii

18. Nomenclatura
C Ponto crítico, convecção
D Deslizamento da fase gás
e Formação geológica
E Energia
f Fluido
g Gás
i Interface
ins Isolante
j Interface genérica
k Índice da discretização espacial
l Líquido
m Massa, mistura
M Quantidade de movimento
n Número de mols
ni Normal à interface
p Fase
p, c Componente c na fase p
R Radiação
t Total
ti Parte interna de um tubo
to Parte externa de um tubo
tub Tubo
w Poço
Ψ Propriedade extensiva
Sobrescrito
∗ Valor especificado
Flutuação instantânea
IG Condição de gás ideal
T Turbulência
(n) Iteração temporal
(λ) Iteração de um método iterativo
(ν) Iteração do Método de Newton-Raphson
xviii

19. Nomenclatura
Operadores
∆ Variação de uma grandeza
Gradiente de uma grandeza escalar
· Divergente da grandeza vetorial
S
Integral de superfície
V
Integral de volume
( ) Média de uma propriedade
( )
p
Média ponderada na função indicadora de fase
( )
ρp
Média ponderada na função indicadora de fase e na massa específica
( )
ξp
Média ponderada na função indicadora de fase e na massa específica
molar
Média na área da seção transversal
Média na fração de vazios da seção transversal
c Somatório de todos os componentes do escoamento
i Somatório de todos os volumes de controle
p Somatório de todas as fases do escoamento
j Somatório de todas as ocorrências da fase p
Acrônimos
CDS Central Difference Scheme
CFL Courant, Friedrichs e Lewy
NR Newton-Rapson
SC Superfície de controle
SI Sistema Internacional
UDS Upwind Difference Scheme
VC Volume de controle
TUFFP Tulsa University Fluid Flow Projects
xix

20. Modelagem e Simulação do Escoamento Multifásico Transiente Composicional com
Transferência de Calor em Poços Verticais
Resumo
Com a recente produção dos poços do pré-sal diversos desafios tem surgido nas
últimas décadas, dentre os quais pode-se destacar o conhecimento do comporta-
mento do fluido produzido. Geralmente, esse fluido é uma mistura complexa de hidro-
carbonetos que dificultam a modelagem matemática do escoamento. Tal dificuldade
pode ser contornada aplicando-se conceitos de média volumétrica nas equações de
conservação do escoamento multifásico, obtendo-se um conjunto de equações mé-
dias. Além disso, definiu-se diferentes modelos para escoamentos multifásicos, dentre
os quais optou-se pelo modelo de mistura drift-flux. O objetivo do presente trabalho
foi a elaboração de um simulador numérico para estudo do escoamento transiente
multifásico, térmico e composicional que possa lidar com o aparecimento e desapa-
recimento de fases. Para isto, as propriedades físicas das fases foram determinadas
usando-se uma equação de estado cúbica e o equilíbrio termodinâmico estabelecido
através da igualdade das fugacidades de cada componente. A correlação cinemá-
tica entre as fases usada foi o modelo de mistura drift-flux de Choi et al. (2012). O
fluxo de calor entre o poço e o meio externo foi modelado de forma a considerar tanto
um coeficiente de troca de calor constante quanto um esquema de completação tí-
pico da indústria do petróleo. As equações de conservação foram discretizadas no
espaço pelo método dos Volumes Finitos e no tempo, e resolvidas pelo método implí-
cito de Newton-Raphson. A convergência espacial e temporal do método numérico foi
verificada utilizando-se um teste de referência na área da dinâmica dos fluidos compu-
tacionais: o tubo de choque. Além disso, foi analisado o comportamento transiente do
fenômeno de gás retrógrado neste experimento. O correto acoplamento entre a pres-
são, temperatura e velocidade, assim como a implementação do fluxo de calor entre o
poço e o meio externo foram verificados através de soluções analíticas. O comporta-
mento transiente do escoamento, foi verificado com os resultados de uma simulação
presente na literatura adotando um esquema de completação offshore.
Palavras-chave: escoamento multifásico composicional; modelo drift-flux; si-
mulador de escoamento transiente; formulação implícita; transferência de calor.
xx

21. Modeling and Simulation of Compositional Transient Multiphase Flow and Wellbore
Heat Transfer in Vertical Wells
Abstract
Several challenges have arisen in recent decades with the recent production of
pre-salt reservoir, among which can be highlight the knowledge of the behavior of the
produced fluids. Usually this fluid is a complex mixture of hydrocarbons that hinder
the mathematical modeling of flow. This difficulty can be overcome by applying con-
cepts of volumetric average in the multiphase flow conservation equations, obtaining
a set of averaged equations. Furthermore, it sets up different models for multiphase
flow, among which it was chosen the drift-flux model. The objective of this study was
the development of a numerical simulator to study compositional transient multiphase
flow that can handle the appearance and disappearance phases. For this, physical
properties of phases was determined using a cubic equation of state, and thermody-
namic equilibrium established through equality of fugacities of each component. Ki-
nematic correlation used between phases was the mixture of drift-flux model of Choi
et al. (2012). Heat flow between the well and the external environment was modeled
in order to consider both a constant coefficient exchange of heat as a typical comple-
tion scheme of the oil industry. The conservation equations were discretized in time
and space (by Finite Volume method) and resolved by the implicit method of Newton-
Raphson. The spatial and temporal convergence of the numerical method was verified
using a benchmark test in the area of computational fluid dynamics: the pipe shock.
Moreover, the transient behavior of the retrograde gas phenomenon was analyzed in
this experiment. The correct coupling between pressure, temperature and velocity, as
well as implementation of the heat flow between the well and the external environment
were checked by analytical solutions. The transient behavior of flow was verified with
the results of a simulation present in literature using an offshore completion scheme.
Keywords: multiphase compositional flow; drift-flux model; transient flow simu-
lation; implicit formulation; heat transfer in wellbores.
xxi

22. 22
1 Introdução
O termo escoamento multifásico denota o fluxo simultâneo de duas ou mais fases
com propriedades diferentes em um mesmo meio. Por fase subentende-se uma região
do espaço delimitada por uma interface de espessura infinitesimal que encerra em seu
interior um material com composição química homogênea (ROSA, 2012).
Este tipo de escoamento ocorre em diversos dispositivos que estão presentes na
maioria das atividades industriais como evaporadores, condensadores e reatores nu-
cleares, na indústria de energia; reatores químicos e unidades de destilação, na in-
dústria de processos, alimentícia e agrícola; sistemas de combustão e células de
combustível, na indústria automotiva; condicionadores de ar e bombas de calor, na
indústria de aquecimento e refrigeração; e tubos de calor, na indústria aeroespacial.
Nestes exemplos, a previsão da queda de pressão, da perda de carga, das taxas de
transferência de massa e energia, da fração de líquido e das mudanças de fases são
imprescindíveis (RODRIGUEZ, 2011).
Na indústria do petróleo, misturas complexas de duas ou mais fases podem sur-
gir como consequência da diminuição da pressão ao longo da tubulação da coluna de
produção, fazendo com que o gás dissolvido no óleo seja liberado e venha a ser produ-
zido com o óleo e a água proveniente da formação. Embora o óleo e o gás produzidos
sejam compostos por mais de um componente, como metano, etano, propano e outros
hidrocarbonetos, existe uma simplificação desse fenômeno que vem sendo utilizada
há anos na indústria do petróleo: o modelo black-oil (BRILL; MUKHERJEE, 1999).
O conceito básico da aproximação black-oil é considerar que existem três compo-
nentes e três fases distintas: gás, óleo e água. As fases gás e óleo são caracterizadas
através dos seus pesos específicos que são considerados constantes em todo o domí-
nio. No modelo black-oil, o gás pode ser dissolvido na fase óleo e suas propriedades
são tratadas como funções simples da pressão e temperatura. Por isso, propriedades
como a massa específica, viscosidade e volume específico do óleo e do gás são deter-
minadas por correlações experimentais para cada pressão e temperatura, bem como

23. 23
a quantidade de gás dissolvido na fase óleo. Neste modelo, os efeitos da composição
com a mudança de pressão e temperatura são negligenciados (POURAFSHARY et al.,
2009).
Embora existam problemas nos quais a aproximação black-oil obtém bons resul-
tados, há situações em que a mesma não é recomendada como, por exemplo, a pro-
dução de hidrocarbonetos de reservatórios ultra profundos com alto teor de contami-
nantes. A grande variação de pressão e temperatura ao longo da coluna de produção
e a dificuldade do modelo black-oil em representar os contaminantes tornam duvi-
doso o uso desta aproximação. Por outro lado, existe a formulação composicional
que considera a existência de mais de um componente por fase. Nessa hipótese,
cada contaminante poderia ser tratado como um componente e a representação do
fenômeno seria mais realista.
O modelo composicional baseia-se na conservação da massa de cada compo-
nente e de uma condição de equilíbrio termodinâmico, visto que é permitida a transfe-
rência de massa entre as fases. Esta condição pode ser estabelecida pela igualdade
dos potenciais químicos, das fugacidades ou dos coeficientes de atividade de cada
componente em todas as fases. Para determinar essas propriedades é necessário re-
correr a uma equação de estado. As equações de estado mais comuns na indústria do
petróleo são as equações cúbicas de Waals (1873), Soave (1972) e Peng e Robinson
(1978).
A fim de obter melhores resultados utilizando-se a formulação composicional é
necessária uma representação correta dos fenômenos que envolvem a pressão e a
temperatura. Por isso, é fundamental a análise da distribuição de temperatura ao
longo do poço, a qual depende da dinâmica do escoamento e da troca de calor com a
formação geológica. O transporte de quantidade de movimento e o de energia estão
fortemente acoplados, já que a composição e fração volumétrica de cada fase é forte-
mente influenciada pelos perfis de pressão e temperatura que, por sua vez, dependem
das propriedades termodinâmicas dos fluidos envolvidos no processo de transferên-
cia de calor. No caso de reservatórios situados a grandes profundidades, estes efeitos
são notórios devido à grande diferença entre a temperatura do reservatório e a do
assoalho marinho (HASAN; KABIR, 1994).
A dinâmica do escoamento das diversas fases até a superfície é complexa e pode
envolver diversos padrões de fluxo que, segundo Rodriguez (2011), podem ser clas-
sificados em: fase(s) dispersa(s), fases separadas e padrões combinados (pseudo-
separados ou intermitentes). Além disso, a transição entre os padrões de fluxo altera

24. 24
inteiramente as características do escoamento, causando descontinuidades na formu-
lação matemática e gerando problemas de estabilidade e convergência na solução
numérica do modelo, em particular, quando o simulador de escoamento multifásico
está acoplado a um simulador numérico de reservatório (LIVESCU et al., 2010).
Os dois principais modelos capazes de representar escoamentos multifásicos são
o modelo de dois fluidos e o modelo de mistura drift-flux. No primeiro, cada fase é
considerada de forma separada, mantendo sua identidade no escoamento. O acopla-
mento entre as fases é dado pelos termos interfaciais. Já o segundo, é um modelo de
mistura que considera a existência de um único fluido homogêneo com característi-
cas reológicas específicas. Dessa forma, o problema é tratado como um escoamento
monofásico da mistura e o acoplamento entre as fases é dado por uma relação cine-
mática denominada drift-flux. Segundo Choi et al. (2013), este modelo é mais aplicável
ao padrão de fluxo de fase(s) dispersa(s), enquanto o modelo de dois fluidos obtém
bons resultados para problemas com padrão de escoamento de fases separadas.
O correto entendimento de como a mistura multifásica se comporta durante a pro-
dução em poços de petróleo, é de fundamental importância para as questões relaci-
onadas com o retorno econômico do campo petrolífero (BANNWART et al., 2005). Na
literatura, é possível encontrar diversas correlações capazes de prever os perfis de
pressão em escoamentos multifásicos, como por exemplo os trabalhos de Duns e Ros
(1963), Dukler et al. (1964), Hagedorn e Brown (1965), Orkiszewski (1967), Beggs e
Brill (1973), Mukherjee e Brill (1983), Taitel Y. (1989) e Ouyang e Aziz (2001). Já o per-
fil de temperatura pode ser determinado através dos trabalhos de Xiao (1987), Sagar
et al. (1991), Alves et al. (1992) e Hasan e Kabir (1994) que assumiram uma condição
de regime estacionário, no qual as propriedades físicas não variam com o tempo.
Para representar os efeitos temporais do escoamento multifásico, geralmente, re-
corre-se aos simuladores numéricos. Isto ocorre porque existe uma grande dificuldade
de obter soluções analíticas ou correlações experimentais para alguns escoamentos
transientes. Os simuladores numéricos resolvem um sistema de equações diferencias,
representativas do fenômeno, através de aproximações numéricas. Estes simuladores
podem representar tanto fenômenos estacionários quanto transientes e podem ser
construídos acoplados a um reservatório de petróleo ou de forma independente.
Alguns autores desenvolveram modelos para o escoamento em poços de petróleo
acoplados a um reservatório como, por exemplo, os estudos de Almehaideb et al.
(1989), Winterfeld (1989), Stone et al. (1989), Stone et al. (2002), Pourafshary et al.
(2009), Livescu et al. (2010) e Shirdel e Sepehrnoori (2011).

25. 25
Almehaideb et al. (1989) e Winterfeld (1989) apresentaram uma modelagem para
um escoamento black-oil isotérmico. Stone et al. (1989) propuseram um modelo black-
oil trifásico no qual o padrão de escoamento é classificado, baseando-se em dados
experimentais. Em um trabalho posterior, Stone et al. (2002) estudaram sistemas com-
posicionais isotérmicos utilizando o modelo drift-flux (BAHONAR et al., 2011; LIVESCU et
al., 2010).
Pourafshary et al. (2009) desenvolveram um modelo composicional trifásico uti-
lizando o modelo drift-flux, para as fases líquida e gasosa, e o modelo homogêneo
para as fases líquidas. Segundo Livescu et al. (2010), este trabalho desconside-
rou os termos de acúmulo (derivadas temporais) das equações de conservação de
massa e energia, embora estes termos sejam fundamentais em simulações transien-
tes. Já o trabalho de Livescu et al. (2010) modelou um escoamento transiente trifásico
utilizando-se do modelo black-oil. Para o acoplamento entre as fases foi utilizado o
modelo drift-flux de Shi et al. (2005) que, segundo o próprio autor, permite capturar
o fenômeno de fluxo contra corrente. Por último, o trabalho de Shirdel e Sepehrnoori
(2011) apresenta uma formulação implícita de um escoamento transiente utilizando
o modelo de dois fluidos e aproximação pseudo-composicional a fim de calcular as
propriedades de cada fase.
Na literatura também são reportados trabalhos mais recentes focados no estudo
de poços de petróleo de forma independente como, por exemplo, os trabalhos de
Soprano et al. (2012), Malekzadeh et al. (2012) e Choi et al. (2013), que representaram
numericamente um escoamento transiente isotérmico utilizando o modelo drift-flux.
Portanto, é possível perceber que há um grande interesse no comportamento de
escoamentos multifásicos e existem diversos estudos numéricos, matemáticos e ex-
perimentais na área.
1.1 Objetivos
A dinâmica do escoamento do fluido do reservatório até a superfície é complexa
e podem surgir diversos padrões de fluxo como consequência da despressurização
do gás ao longo da coluna de produção. Para se descrever o comportamento termo-
dinâmico das misturas complexas de fluidos, será utilizado um modelo multifásico e
composicional. Neste trabalho, para que as propriedades físicas dos hidrocarbonetos
sejam melhor representadas será utilizada a equação de estado cúbica de Peng e
Robinson (1978). Como no modelo composicional existe uma transferência de massa

26. 26
entre as fases, é necessária uma condição de equilíbrio para as fases do escoamento.
Esta condição será dada pelo equilíbrio das fugacidades de cada componente em
todas as fases.
Baseando-se nas equações constitutivas da conservação da massa, da quanti-
dade de movimento, da energia, de uma relação cinemática, do equilíbrio das fases
e de algumas restrições, é possível construir um sistema de equações não-lineares.
As propriedades da simulação, como pressão, temperatura, velocidade, fração molar
e fração volumétrica, serão obtidas a partir da solução deste sistema utilizando o mé-
todo de Newton-Raphson que é capaz de resolver todas as equações em conjunto,
acoplando os efeitos de escoamento e da termodinâmica.
Para a modelagem física do escoamento multifásico será utilizado o modelo cine-
mático drift-flux que é capaz de representar o escorregamento relativo entre diversas
fases do escoamento a partir de correlações já utilizadas com sucesso na indústria
do petróleo. O aparecimento e desaparecimento de fases ocorrerá através de uma
análise de equilíbrio que será discutida no desenvolvimento do presente trabalho.
Sendo o poço vertical, a transferência de calor entre o fluido e a formação geo-
lógica deve ser considerada e será modelada para uma completação convencional.
A influência da troca de calor no anular será discutida considerando as duas princi-
pais formas de transferência de calor: condução e convecção natural. Para garantir
a correta implementação desses fenômenos serão utilizadas soluções analíticas, um
aplicativo computacional comercial e comparações com trabalhos correlatos.
Desta forma, o objetivo principal do trabalho é desenvolver um simulador capaz de
representar um escoamento transiente multifásico térmico composicional em um poço
de petróleo vertical, considerando modelos de transferência de calor do poço com a
formação geológica, utilizando o modelo de mistura drift-flux.
1.2 Organização do Documento
O presente trabalho está dividido em sete capítulos seguidos das referências bi-
bliográficas e de mais quatro apêndices. No Capítulo 1, Introdução, apresenta-se o
escopo do problema, os objetivos e a organização do documento.
No Capítulo 2, Equações Médias de Transporte, são apresentadas as equações
médias de transporte para o escoamento multifásico em tubulações. Inicia-se com
uma abordagem da formulação instantânea local e das equações de conservação,

27. 27
seguida do conceito de função indicadora de fase e dos processos de médias neces-
sários para obter as equações médias que governam o fenômeno físico.
No Capítulo 3, Escoamento Multifásico Utilizando o Modelo de Mistura Drift-Flux,
discute-se a modelagem do escoamento multifásico através das equações médias de
conservação apresentadas no Capítulo 2. Além disso, apresentam-se os sistemas
de equações capazes de representar os escoamentos multifásicos imiscíveis e mis-
cíveis utilizando o modelo de mistura drift-flux, assim como as correlações empíricas
propostas por diversos autores.
No Capítulo 4, Transferência de Calor Entre o Poço e a Formação Geológica,
realiza-se uma análise das trocas de calor que ocorrem em uma completação con-
vencional de um poço vertical a fim de representar os efeitos que influenciam a tem-
peratura de forma mais realista. Este fenômeno é adicionado de forma implícita ao
sistema de equações através de um termo fonte na equação da energia.
No Capítulo 5, Metodologia Numérica, realiza-se a discretização numérica das
equações do modelo de mistura drift-flux e apresenta-se um método totalmente implí-
cito para solucionar o sistema de equações não-lineares. No final do capítulo, mostra-
se as condições de contorno e um fluxograma do funcionamento do simulador.
No Capítulo 6, Simulações Numéricas de Escoamento de Fluidos em Tubulações,
são apresentadas algumas simulações de tubo de choque a fim de verificar a discre-
tização numérica através de testes de convergência tanto espacial quanto temporal.
Em seguida, é verificada a implementação da mudança de fases com um tubo de cho-
que de gás retrógrado e a transferência de calor entre o poço e a formação geológica
com soluções analíticas. Finalmente, é realizada uma simulação vertical transiente e
comparada com resultados da literatura.
No Capítulo 7, Considerações Finais, apresentam-se as conclusões e sugestões
para trabalhos futuros. Após as referências bibliográficas, acrescentam-se os apên-
dices. No Apêndice A, Modelagem Termodinâmica, mostram-se as equações para o
cálculo das propriedades do fluido dada uma equação de estado e os algoritmos para
realizar uma análise de equilíbrio e o cálculo do flash termodinâmico.
Em seguida, no Apêndice B, Modelagem Computacional, apresenta-se a mode-
lagem computacional utilizada para implementar o código do simulador através do
diagrama de pacotes e dos diagramas de classes.
No Apêndice C, Soluções Analíticas, apresentam-se as soluções analíticas do tubo
de choque, do escoamento vertical isotérmico e do escoamento vertical com troca de

28. 28
calor. Por último, no Apêndice D, Condições de Contorno, apresentam-se as células
virtuais e os cálculos necessários para satisfazer as condições de contorno assumi-
das.

29. 29
2 Equações Médias de Transporte
Neste capítulo, será apresentada a formulação instantânea local para um esco-
amento monofásico e suas equações de conservação. Estas equações e a função
indicadora de fase serão utilizadas para a dedução das equações de conservação do
escoamento multifásico.
Devido as flutuações causadas pela passagem das interfaces, estas equações
são descontínuas. A fim de transformá-las em funções contínuas, serão definidos e
aplicados os processos de média nessas equações, de tal forma a obter as equações
médias de transporte para o escoamento multifásico.
2.1 Formulação Instantânea Local do Escoamento Mo-
nofásico
Segundo Kolev (2007), uma fase pode ser definida como um meio contínuo e ho-
mogêneo separado por fronteiras bem definidas. Um escoamento multifásico é ca-
racterizado por apresentar mais de uma fase, separadas por uma ou mais interfaces.
Desta forma, ele pode ser considerado como um escoamento de várias regiões mo-
nofásicas separadas por suas interfaces. Sendo válida a hipótese do contínuo, essas
regiões podem ser consideradas como meios contínuos onde as equações de conser-
vação são válidas em todo o domínio e a transferência de propriedades é dada pelas
interfaces, sendo representadas como uma condição de contorno. Em teoria, essas
equações podem ser formuladas em cada instante de tempo para cada posição do
domínio em que a fase exista. Por isso, segundo Ishii e Hibiki (2010), esta formulação
é conhecida como formulação instantânea local.
A seguir, será apresentada a equação de transporte generalizada para o escoa-
mento de uma fase que permitirá obter as equações de conservação da massa, da
quantidade de movimento e da energia para um escoamento monofásico.

30. 30
2.1.1 Equação de Transporte Generalizada
As leis de conservação podem ser obtidas para uma dada quantidade de matéria,
denominada massa de controle ou sistema, e suas propriedades extensivas como
massa, quantidade de movimento e energia (FOX et al., 2011). Entretanto, devido a
dificuldade de seguir uma parcela da matéria no escoamento, é mais usual observar
o escoamento a partir de uma região no espaço denominada volume de controle.
Dessa forma, a equação de transporte generalizada será deduzida para um volume
de controle fixo contendo uma única fase.
A equação de transporte generalizada representa a conservação de uma pro-
priedade extensiva arbitrária, Ψ, que está associada a uma propriedade intensiva
ψ = dΨ/dm, e é dada por:



Taxa de acúmulo
da propriedade
Ψ no volume
de controle



=



Fluxo convectivo
da propriedade
Ψ pela superfície
de controle



+



Fluxo difusivo da
propriedade Ψ
pela superfície
de controle



+



Taxa de geração da
propriedade Ψ por
fontes externas no
volume de controle



+



Taxa de geração
interna da
propriedade Ψ no
volume de controle



,
ou, matematicamente:
VC
∂ (ρψ)
∂t
dV = −
SC
(ρψ) v · ndS −
SC
n · JdS +
VC
ρφdV +
VC
qΨdV, (2.1)
onde VC é o volume de controle; SC, a superfície que delimita este volume; ρ, a
massa específica; n, o vetor normal à superfície; J, o fluxo difusivo da propriedade Ψ
pela superfície de controle; φ, geração da propriedade Ψ devido a forças de corpo; e
qΨ, o termo fonte da propriedade Ψ. Este último surge devido à presença de um meio
externo no volume de controle.
Utilizando-se o teorema da divergência de Gauss, que é capaz de transformar a
integral de superfície em uma integral de volume, a equação pode ser reescrita como:

31. 31
VC
∂
∂t
(ρψ) + · (ρψv) + · J − ρφ − qΨ dV = 0. (2.2)
Como esta equação deve ser válida para qualquer volume de controle, a função a
ser integrada deve ser nula e a equação de transporte generalizada, na forma diferen-
cial, pode ser escrita como:
∂
∂t
(ρψ) + · (ρψv) = − · J + ρφ + qΨ, (2.3)
tal que o primeiro termo desta equação representa a taxa de acúmulo da propriedade
extensiva Ψ por unidade de volume, enquanto que o segundo termo representa a
taxa de convecção por unidade de volume. No lado direito, estão os termos de fluxo
difusivo, força de corpo e geração interna, respectivamente.
2.1.2 Equações de Conservação
A seguir serão apresentadas as três principais leis de conservação: da massa,
da quantidade de movimento (2ª Lei de Newton) e da energia para um escoamento
monofásico válidas em todo o volume de controle.
2.1.2.1 Conservação da Massa
Na conservação da massa, a propriedade extensiva conservada é a massa, Ψ =
m, e, desconsiderando os fluxos difusivos de massa e de força de corpo, conforme o
trabalho de Ishii e Hibiki (2010), tem-se:
ψ = 1, J = 0, φ = 0. (2.4)
Substituindo-se a relação (2.4) na equação de transporte generalizada, Eq. (2.3),
a equação de conservação da massa é dada por:
∂ρ
∂t
+ · (ρv) = qm, (2.5)
onde qm representa o termo fonte de massa associado a um meio externo atuante no
volume de controle.
A equação de conservação da massa da fase também pode ser expressa, na base

32. 32
molar, como:
∂ξ
∂t
+ · (ξv) = qn, (2.6)
onde qn é a vazão molar e ξ é a massa específica molar, definida como a razão entre
o número de mols e o volume da fase.
2.1.2.2 Conservação da Quantidade de Movimento
De acordo com a segunda lei de Newton, a propriedade extensiva que se conserva
é a quantidade de movimento, ou seja, Ψ = mv. O fluxo da quantidade de movimento
é dado pelo tensor de tensão superficial, T. Já a força de corpo é dada pela atuação
da aceleração gravitacional, g. Assim, a equação de conservação da quantidade de
movimento, conforme o trabalho de Ishii e Hibiki (2010), pode ser obtida utilizando-se:
ψ = v, J = −T φ = g. (2.7)
Definindo-se I como o tensor unitário, é possível separar o tensor de tensão su-
perficial em um termo de pressão, P, e um termo de tensão viscosa, τ, tal que:
T = −PI + τ. (2.8)
Substituindo-se as Eqs. (2.7) e (2.8) na equação de transporte generalizada, Eq.
(2.3), a equação de conservação da quantidade de momento é dada por:
∂
∂t
(ρv) + · (ρvv) = − P + · τ + ρg + qM , (2.9)
onde qM representa o termo fonte da quantidade de movimento.
2.1.2.3 Conservação da Energia
Assim como a massa e a quantidade de movimento, a energia também é uma pro-
priedade extensiva que se conserva no volume de controle. Essa energia é composta
pela energia interna, cinética e potencial. Já o fluxo da energia é composto pelo traba-
lho gerado pelas forças de superfícies e pelo fluxo de calor por condução, Q. Assim,
as variáveis da equação de transporte generalizada, conforme o trabalho de Ishii e

33. 33
Hibiki (2010), são tais que:



Ψ = U + 1
2
mv2
→ ψ = u + 1
2
v2
J = Q − T · v
φ = g · v
, (2.10)
onde U representa a energia interna; e u, a energia interna específica da fase p, na
base mássica.
Utilizando-se a equação generalizada do transporte, Eq. (2.3), a equação de con-
servação da energia, é dada por:
∂
∂t
ρ u +
1
2
v2
+ · ρ u +
1
2
v2
v = − · Q + · (T · v) + ρg · v + qE, (2.11)
onde qE é o termo fonte de energia.
Denotando a energia interna específica da fase p, na base molar, por u, a energia
interna especifica, na base mássica, pode ser reescrita como:
u =
ξ
ρ
u. (2.12)
Utilizando-se a definição da entalpia específica, na base molar, dada por:
h = u +
P
ξ
. (2.13)
e a Eq. (2.12), a conservação da energia, Eq. (2.11), pode ser reescrita, em função
da entalpia específica, como:
∂
∂t
ξh − P +
1
2
ρv2
+ · ξh − P +
1
2
ρv2
v = − · Q + · (T · v)
+ ρg · v + qE. (2.14)
Utilizando-se a definição do tensor de tensão superficial, Eq. (2.8), a equação de
conservação da energia, pode ser expressa por:

34. 34
∂
∂t
ξh +
1
2
ρv2
+ · ξh +
1
2
ρv2
v =
∂P
∂t
− · Q + · (τ · v) + ρg · v
+ qE. (2.15)
A metodologia para o cálculo da entalpia depende da equação de estado utilizada,
conforme a Seção A.3.4. Já a troca de calor por condução, considerando a condutivi-
dade térmica do fluido isotrópico, segundo a lei de Fourier, é dada por:
Q = −κ T, (2.16)
onde T representa a temperatura do fluido e a condutividade térmica, κ, é calculada
conforme a Seção A.3.7.
2.2 Função Indicadora de Fase
A função indicadora de fase é um recurso utilizado na formulação multifásica para
filtrar apenas a ocorrência de uma fase no escoamento. A função indicadora da fase p
é definida por:
Xp(x, t) =



1 , se existir a fase pno ponto x
0 , se não existir a fase pno ponto x
. (2.17)
A função indicadora de fase depende do tempo, t, e da posição espacial, x, e é
essencial para a descrição do escoamento multifásico visto que com ela é possível
alterar o domínio limitado de uma fase para um domínio ocupado por várias fases.
A Fig. 1 ilustra a função indicadora de fase em função do tempo, fixando-se uma
posição no espaço (x0). A parte inferior da referida figura ilustra o comportamento de
um escoamento vertical para cima em cinco momentos diferentes e a parte superior a
respectiva função indicadora da fase dispersa.
A função indicadora de fase também pode ser interpretada fixando-se um tempo
qualquer. A Fig. 2 apresenta a função indicadora da fase dispersa para um escoa-
mento horizontal, percorrendo-se a direção axial do tubo no instante de tempo t0.
Assim, o escoamento multifásico pode ser considerado como um conjunto de es-
coamentos monofásicos, no qual as propriedades de cada fase são filtradas através

35. 35
Figura 1: Função indicadora de fases em função do tempo, fixando-se uma posição
no espaço (x0).
Figura 2: Função indicadora de fases em função do espaço, fixando-se um tempo (t0).
da função indicadora de fase, tal que:
XpF = Fp, (2.18)
onde F é uma função contínua que representa uma propriedade do escoamento mo-

36. 36
nofásico válida em todo o volume de controle, e Fp é uma função contínua por partes
que representa a propriedade da fase p, apenas nas regiões onde essa fase existe. A
Fig. 3 ilustra o processo de filtragem para uma fase p de um escoamento multifásico,
no instante t0, utilizando a função indicadora de fase para um escoamento unidimen-
sional na direção x.
F(x,t0 )
0
1
Xp(x,t0 )
x
Fp(x,t0 )
Figura 3: Filtragem de uma propriedade qualquer utilizando a função indicadora de
fase.
A partir das Figs. 2 e 3, é possível notar que quanto maior for a heterogeneidade
do volume de controle, mais descontínua será a função indicadora de fase e, conse-
quentemente, mais descontínua será a função que representa a propriedade da fase.
A fim de tornar essa função contínua, será utilizado um processo de média, que será
discutido a seguir.
2.3 Processos de Média
Na Seção 2.1, deduziram-se as equações de transporte para um escoamento de
uma única fase no volume de controle. As equações válidas para comportamento
de uma fase qualquer, em um escoamento multifásico, podem ser obtida através da
função indicadora de fase. Porém, a intermitente passagem das interfaces produz

37. 37
flutuações nessas equações, tornando-as descontínuas. A fim de transformar essas
equações e as propriedades do escoamento multifásico em funções contínuas, isto é,
sem saltos ou descontinuidades, será introduzido o processo de média.
Serão apresentados os principais tipos de médias Eulerianas e os processos de
média aplicados no produto de funções e nas funções diferenciais descontínuas.
2.3.1 Médias Eulerianas
De acordo com Ishii e Hibiki (2010), os processos de média podem ser classifi-
cados em três grupos principais: média Euleriana, média Lagrangeana e média esta-
tística de Boltzman. A média Lagrangeana está diretamente relacionada a descrição
Lagrangeana do mecanismo, portanto são mais utilizadas quando o foco do estudo
está mais direcionado para o comportamento de uma partícula do que para um grupo
de partículas. Por outro lado, a média estatística de Boltzman é indicada quando há
um grande número de partículas e o comportamento de cada uma delas é tão com-
plexo e caótico que a solução individual se torna impraticável. Essa média é muito
utilizada na modelagem de processos estocásticos com variação aleatória das propri-
edades do sistema.
Já a média Euleriana é a mais importante e usada para o cálculo de média na
mecânica do contínuo, pois é a que melhor se aproxima das observações realizadas
na prática. O conceito básico por trás desse processo é a descrição espaço-temporal
do fenômeno físico baseando-se na descrição Euleriana. Nessa descrição, as coor-
denadas tempo, t, e espaço, x, são variáveis independentes e as outras variáveis são
expressas em função destas (ISHII; HIBIKI, 2010).
As principais médias Eulerianas são a temporal e a volumétrica. Segundo Faghri
e Zhang (2006), para uma função qualquer F(x, t), a média Euleriana temporal em
um certo período de tempo, ∆t, avaliada em qualquer ponto x, é dada por:
F (x, t) =
1
∆t
t+∆t
2
t−∆t
2
F(x, t )dt , (2.19)
ou ainda, por simplificação de notação:
F =
1
∆t
∆t
F(x, t)dt, (2.20)

38. 38
tal que o período de tempo ∆t é escolhido de forma a ser maior do que a maior escala
na qual ocorre uma flutuação local da função e menor do que a escala do processo
macroscópico temporal.
Por outro lado, a média Euleriana volumétrica, para um elemento de volume ∆V
ao redor do ponto fixo, em qualquer instante t, é dada por:
F =
1
∆V ∆V
F(x, t)dV, (2.21)
tal que ∆V , analogamente à ∆t, deve ser escolhido de forma a ser maior do que a
maior escala na qual ocorre uma flutuação local da função e menor do que a escala
do processo macroscópico espacial.
Considerando um escoamento unidimensional na direção axial, na qual as pro-
priedades estão distribuídas uniformemente na seção transversal, a Fig. 4 ilustra o
processo de média volumétrica aplicado a uma função contínua F(x, t0) em um ins-
tante t0. Esta figura pode ser interpretada como a variação de uma propriedade de
um escoamento monofásico turbulento. Neste caso, a média volumétrica é capaz de
suavizar o comportamento da função.
x
∆x
F(x,t0 )
F(x,t0 )
Figura 4: Média volumétrica de uma função ruidosa em um instante t0.
A média volumétrica também pode ser aplicada para um escoamento multifásico,
porém devido a passagem das interfaces, neste caso a função será descontínua, con-
forme a função indicadora de fase. É possível demonstrar, através da definição da

39. 39
função indicadora de fase, Eq. (2.17), que a sua média volumétrica corresponde à
fração volumétrica que a fase ocupa no volume de controle, isto é:
Xp =
1
∆V ∆V
XpdV =
1
∆V ∆Vp
dV =
∆Vp
∆V
= αp, (2.22)
onde ∆Vp representa o volume que a fase p ocupa no volume de controle ∆V ; e αp, a
sua fração volumétrica.
A média volumétrica quando aplicada à função indicadora de fase é capaz de
transformá-la em uma função contínua, visto que o elemento de volume ∆V , escolhido
para a média volumétrica, é grande o suficiente para contemplar a existência de uma
flutuação local, conforme a Fig. 5. Esta figura representa um caso unidimensional, no
instante t0, no qual a função indicadora de fase é indicada pela curva em azul; e a sua
média volumétrica, que representa a fração volumétrica da fase, pela curva preta.
x0
1
∆x
Xp(x,t0 )
Xp(x,t0 )
Figura 5: Média volumétrica da função indicadora de fase.
Para o caso de um escoamento multifásico, existe também a média volumétrica
intrínseca da fase p, definida por:
F
p
p =
1
∆Vp ∆Vp
Fp(x, t)dV, (2.23)
onde Fp representa a função F avaliada para a fase p.
Esta média avalia a propriedade apenas onde a fase existe, diferentemente da

40. 40
média volumétrica simples, que avalia a propriedade em todo o volume de controle.
A Fig. 6 ilustra esse processo de média aplicado a uma função descontínua Fp no
instante t0. Nota-se que a função média F
p
p é contínua no espaço, diferentemente da
função Fp.
x
∆x
Fp(x,t0 )
F p
p (x,t0 )
Figura 6: Média volumétrica intrínseca da fase p para uma função descontínua.
Além dessas, existem as médias ponderadas em algumas propriedades físicas
do escoamento. Neste trabalho, serão utilizadas as médias ponderadas na massa
específica da fase e na massa específica molar, definidas, respectivamente, por:
F
ρp
p =
∆Vp
ρpFpdV
∆Vp
ρpdV
=
ρpFp
p
ρp
p
(2.24)
e
F
ξp
p =
∆Vp
ξpFpdV
∆Vp
ξpdV
=
ξpFp
p
ξ
p
p
. (2.25)
2.3.2 Média do Produto de Funções
A média volumétrica de algumas funções é fundamental para o desenvolvimento
da equação média de transporte generalizada como, por exemplo, o produto duas

41. 41
funções. A média volumétrica do produto entre F e Xp, que representa a propriedade
F avaliada para a fase p, é tal que:
XpF =
1
∆V ∆V
XpFdV =
1
∆V ∆Vp
FpdV =
∆Vp
∆V
1
∆Vp ∆Vp
FpdV . (2.26)
Substituindo-se a definição de fração volumétrica, Eq. (2.22), e de média volumé-
trica intrínseca da fase, Eq. (2.23), tem-se:
XpF = Fp = αpF
p
p. (2.27)
Através das Eqs. (2.24) e (2.27), é possível escrever a média do produto entre a
função indicadora de fase, a massa específica e a função F, como:
XpρF = αpρpFp
p
= αpρp
p
Fp
ρp
. (2.28)
Analogamente, a média do produto entre a função indicadora de fase, a massa
específica molar e a função F, utilizando-se as Eqs. (2.25) e (2.27), como:
XpξF = αpξp
p
Fp
ξp
. (2.29)
As Eqs. (2.27)-(2.29) fornecem expressões da média do produto de uma função
com a função indicadora de fase, Xp. Quando esta função não está presente é possí-
vel utilizar uma forma alternativa para representar a média do produto de duas funções
em um produto de médias, através da decomposição de Reynolds.
Na dinâmica de fluidos e na teoria da turbulência, a decomposição de Reynolds é
uma técnica matemática utilizada para separar uma propriedade instantânea, F (x, t),
em um valor médio, F (x, t), mais uma flutuação, F (x, t), ou seja:
F (x, t) = F (x, t) + F (x, t) . (2.30)
O valor médio pode ser obtido a partir da definição de média volumétrica, Eq.
(2.21). Já as flutuações ocorrem devido a distribuição espacial das fases e da pre-
sença de vórtices de turbulência. Admitindo-se que o processo de média não altera
os valores médios do escoamento, é possível provar que a média das flutuações é
nula, ou seja:

42. 42
F (x, t) = 0 (2.31)
e ainda, o produto das médias de duas funções F e G pode ser escrito de várias
formas:
F · G = F · G = F · G = F · G. (2.32)
Assim, através da decomposição de Reynolds e das Eqs. (2.31) e (2.32), a média
do produto de duas funções F e G é dada por:
F.G = (F + F ).(G + G ) = F.G + F.G + F .G + F .G
= F.G + F.G + F .G + F .G
= F.G + F .G . (2.33)
Esta definição pode ser utilizada, por exemplo, no produto entre a velocidade e
uma propriedade qualquer ψ, tal que:
ψ.v = ψ.v + ψ .v . (2.34)
2.3.3 Médias de Funções Diferenciáveis por Partes
A equação média de transporte, para uma fase qualquer, será deduzida a partir
da filtragem das equações de transporte da fase em questão no volume de controle,
seguida do processo da média volumétrica. Porém, a filtragem de funções diferenciá-
veis, válidas em todo o volume de controle, transforma-as em funções diferenciávies
por partes cujo processo de média será abordado a seguir.
Segundo Rosa (2012), a média volumétrica do produto da função indicadora de
fase com a derivada temporal e com a derivada espacial de uma função F = F(x, t)
é obtida a partir da Regra de Leibniz e do Teorema de Gauss, respectivamente, e são
dadas por:
Xp
∂F
∂t
=
∂
∂t
αpF
p
p −
1
∆V j Sj
Fp (vi · np) dS (2.35)
e

43. 43
Xp F = αpF
p
+
1
∆V j Sj
FpnpdS, (2.36)
tal que o somatório representa todas as ocorrências da fase p, que é denotada pela
letra j, de tal forma que Sj é a área superfícial e vi é a velocidade interfacial dessa
ocorrência.
Para o caso particular da função F(x, t) ser uma função vetorial, as médias satis-
fazem as seguintes relações:
Xp
∂F
∂t
=
∂
∂t
αpF
p
p −
1
∆V j Sj
F p (vi · np) dS (2.37)
e
Xp · F = · αpF
p
+
1
∆V j Sj
F p · npdSp. (2.38)
Estas relações serão utilizadas para deduzir as equações médias de transporte,
conforme será visto a seguir.
2.4 Equações Médias de Conservação do Escoamento
Multifásico
O escoamento multifásico pode ser visto como um conjunto de escoamentos mo-
nofásicos. As equações de conservação de uma fase pode ser obtida, utilizando-se a
função indicadora de fase, considerando que esta ocupa todo o volume de controle,
onde são válidas as equações apresentadas na Seção 2.1. Na presente seção, será
aplicado o processo de média volumétrica nas equações de conservação de cada fase
e da mistura, para um escoamento multifásico.
2.4.1 Equação Média de Transporte
A equação de transporte generalizada que representa o escoamento monofásico
em todo o volume de controle, conforme a Seção 2.1.1 , é dada por:
∂
∂t
(ρψ) + · (ρψv) = − · J + ρφ + qΨ. (2.39)

44. 44
Esta equação representa, genericamente, a equação de transporte considerando
que uma fase qualquer ocupa todo o volume de controle. A equação média de trans-
porte, para a fase p, pode ser obtida multiplicando-se esta equação pela função indi-
cadora de fase e aplicando-se o processo de média volumétrica, tal que:
Xp
∂
∂t
(ρψ) + Xp · (ρψv) = −Xp · J + Xpρφ + XpqΨ. (2.40)
Utilizando-se a regra de Leibniz, conforme as Eqs. (2.35) e (2.36), tem-se:
∂
∂t
(Xpρψ) + · (Xpρψv) = − · (XpJ) + Xpρφ + XpqΨ + IΨp , (2.41)
onde IΨp representa a entrada da propriedade Ψ na fase p pela interface e pode ser
visto como um termo fonte, tal que:
IΨp =
1
∆V j Sj
(ρpψp) vi · npdS −
1
∆V j Sj
(ρpψpvp + Jp) · npdS, (2.42)
ou ainda:
IΨp = −
1
∆V j Sj
[ρp (vp − vi) ψp + Jp] · npdS. (2.43)
Através das relações de médias, Eqs. (2.27) e (2.28), a equação média de trans-
porte pode ser escrita como:
∂
∂t
αpρp
pψ
ρp
p + · αpρp
pψpvp
ρp
= − · αpJ
p
p + αpρp
pφp
ρp
+ α∗
pqp
Ψp
+ IΨp , (2.44)
onde o asterísco no penúltimo termo da equação representa que a fração volumétrica,
α∗
p, não é necessariamente igual as demais. Este termo está associado ao termo fonte
da propriedade.
A média do produto ψpvp pode ser obtida utilizando-se a decomposição de Rey-
nolds, Eq. (2.34), tal que a equação média de transporte, de um escoamento multifá-
sico, para uma fase p, pode ser expressa como:

45. 45
∂
∂t
αpρp
pψ
ρp
p + · αpρp
pψ
ρp
p vρp
p = − · αp J
p
p + JT
p + αpρp
pφ
ρp
p + α∗
pqp
Ψp
+ IΨp ,
(2.45)
tal que o primeiro termo desta equação representa a taxa de acúmulo da propriedade
extensiva média Ψ por unidade de volume, enquanto que o segundo termo representa
a taxa de convecção média por unidade de volume. No lado direito, estão os termos
médios do fluxo superficial, da força de corpo, da geração interna e do termo inter-
facial, respectivamente, e JT
p representa o fluxo turbulento devido as flutuações da
velocidade e da propriedade Ψp, sendo definido por:
JT
p = ρp
pψp vp
ρp
. (2.46)
2.4.2 Equação Média da Conservação da Massa
Nesta seção, serão apresentadas as equações médias de conservação da massa
de um escoamento multifásico para uma fase, para um componente e para a mistura.
2.4.2.1 Conservação da Massa da Fase
A equação média de conservação da massa da fase p é obtida utilizando-se a
equação média de transporte, Eq. (2.45), com:
ψp = 1, Jp = 0, φp = 0, (2.47)
tal que:
∂
∂t
αpρp
p + · αpρp
pvρp
p = α∗
pqp
mp
+ Imp , (2.48)
onde Imp representa a transferência de massa pelas interfaces devido a mudança de
fases e é definido, de acordo com a Eq. (2.43), por:
Imp = −
1
∆V j Sj
[ρp (vp − vi)] · npdS. (2.49)

46. 46
A equação média da conservação da massa da fase também pode ser escrita, na
base molar, ao utilizar o processo de média ponderada na massa específica molar,
Eq. (2.29), e considerar que a geração interna, qnp , é dada em mols por segundos, tal
que:
∂
∂t
αpξ
p
p + · αpξ
p
pvξp
p = α∗
pqp
np
+ Inp , (2.50)
onde Inp representa a transferência de mols pelas interfaces devido a mudança de
fases e é definido, analogamente à Eq. (2.49), por:
Inp = −
1
∆V j Sj
[ξp (vp − vi)] · npdS. (2.51)
Para simulações imiscíveis este termo é nulo, visto que não há transferência de
propriedade pela interface.
2.4.2.2 Conservação da Massa da Mistura
Somando-se as equações de conservação da massa de cada uma das fases pre-
sentes no escoamento, tem-se:
p
∂
∂t
αpρp
p +
p
· αpρp
pvρp
p =
p
α∗
pqp
mp
+
p
Imp . (2.52)
Considerando que a interface não acumula massa, toda massa que sai de uma
das fases é transferida totalmente para as outras, ou seja:
p
Imp = 0. (2.53)
A equação média de conservação da massa, na base mássica, é dada por:
∂
∂t p
αpρX
p + ·
p
αpρX
p vXρ
p =
p
α∗
pqX
mp
. (2.54)
Analogamente, a equação média de conservação da massa, na base molar, utilizando-
se a Eq. (2.50), é dada por:

47. 47
∂
∂t p
αpξ
p
p + ·
p
αpξ
p
pvξp
p =
p
α∗
pqp
np
. (2.55)
2.4.2.3 Conservação da Massa do Componente
Para uma formulação composicional, o sistema é composto por diversos com-
ponentes, com cada um deles ocupando uma porcentagem de cada fase existente.
Quando essa porcentagem é expressa na forma molar, ela é denominada fração mo-
lar e é definida por xp,c, que representa a fração molar do componente c na fase p.
Assim, a conservação média da massa do componente c, analogamente à Eq. (2.55),
utilizando-se a definição de média ponderada na massa específica molar, Eq. (2.29),
é dada por:
∂
∂t p
αpξ
p
pxξp
p,c + ·
p
αpξ
p
pxξp
p,cvxξp
p =
p
α∗
pqp
np,c
, (2.56)
tal que vxξp
p representa a velocidade média volumétrica ponderada no produto da fra-
ção molar e da massa específica molar.
O primeiro termo da Eq. (2.56) representa a taxa de acúmulo do número de mols
do componente c no volume de controle, enquanto que o segundo termo representa
a taxa de entrada de mols por convecção. Já o termo do lado direito, representa a
taxa de geração interna, sendo qnp,c a vazão molar do componente c na fase p. Esta
equação não possui termo interfacial porque não existe transferência de massa entre
componentes.
2.4.3 Equação Média da Conservação da Quantidade de Movimento
Nesta seção, serão apresentadas as equações médias de conservação da quan-
tidade de movimento de um escoamento multifásico, tanto para uma fase quanto para
a mistura.
2.4.3.1 Conservação da Quantidade de Movimento da Fase
A equação média de conservação da quantidade de movimento da fase p é obtida
utilizando-se a equação média de transporte, Eq. (2.45), com:

48. 48
ψp = vp, Jp = −Tp = P − τp, φp = g. (2.57)
tal que:
∂
∂t
αpρp
pvρp
p + · αpρp
pvρp
p vρp
p = − αpP
p
+ · αp τp
p + τT
p
+ αpρp
pg + α∗
pqp
Mp
+ IMp , (2.58)
onde P representa a pressão do sistema que foi considerada igual para todas as fases
presentes no escoamento; τp, o termo de tensão viscosa; e τT
p e IMp , o fluxo turbulento
e a transferência de quantidade de movimento pela interface, respectivamente, e são
definidos por:
τT
p = −JT
p = −ρp
pvpvp
ρp
(2.59)
e
IMp = −
1
∆V j Sj
[ρp (vp − vi) vp − Tp] · npdS. (2.60)
2.4.3.2 Conservação da Quantidade de Movimento da Mistura
Somando-se as equações de conservação da quantidade de movimento de cada
uma das fases presentes no escoamento, tem-se:
p
∂
∂t
αpρp
pvρp
p +
p
· αpρp
pvρp
p vρp
p = −
p
αpP
p
+
p
· αp τp
p + τT
p +
p
αpρp
pg +
p
α∗
pqp
Mp
+
p
IMp . (2.61)
Desconsiderando-se os efeitos da tensão superficial na interface, toda quantidade
de movimento que sai de uma das fases é transferida totalmente para as outras, ou
seja:

49. 49
p
IMp = 0, (2.62)
definindo-se τp
m como o tensor de tensões viscosas médio e suas flutuações, tal que:
τp
m =
p
αp τp
p + τT
p (2.63)
e utilizando-se a restrição das frações volumétricas, p αp = 1, a equação média da
conservação da quantidade de movimento da mistura pode ser expressa por:
∂
∂t p
αpρp
pvρp
p + ·
p
αpρp
pvρp
p vρp
p = − P
p
+ · τp
m +
p
αpρp
pg
+
p
α∗
pqp
Mp
. (2.64)
O primeiro termo da Eq. (2.64) representa a taxa de acúmulo da quantidade de
movimento no volume de controle, enquanto que o segundo termo representa a taxa
de entrada de quantidade de movimento por convecção. Já os termos do lado direito
representam o fluxo de quantidade de movimento gerado devido a forças superficiais e
de corpo, além da taxa de geração interna, denotada por qMp
. Este último termo surge
quando consideramos que a massa que entra no volume de controle como um termo
fonte possui uma velocidade e, consequentemente, uma quantidade de movimento
associada.
2.4.4 Equação Média da Conservação da Energia
Nesta seção, serão apresentadas as equações médias de conservação da energia
de um escoamento multifásico, tanto para uma fase quanto para a mistura.
2.4.4.1 Conservação da Energia da Fase
A equação média de conservação da energia da fase p é obtida utilizando-se a
equação média de transporte, Eq. (2.45), com:

50. 50



ψp = up + 1
2
v2
p = ep
Jp = Qp − Tp · vp
φp = vp · g
. (2.65)
tal que:
∂
∂t
αpρp
peρp
p + · αpρp
peρp
p vρp
p = − · αp J
p
p + JT
p − αpρp
pvρp
p · g
+ α∗
pqp
Ep
+ IEp , (2.66)
onde o fluxo de energia, J
p
p, e o fluxo turbulento, JT
p , são tais que:
J
p
p = Q
p
p − Tp · vp + vp
p
= Q
p
p − T
p
p · vp
p − Tp · vp
p
, (2.67)
JT
p = ρp
pψp vp
ρp
= ρp
pepvp
ρp
(2.68)
e a transferência de energia pela interface, IEp , de acordo com a Eq. (2.43), é dada
por:
IEp = −
1
∆V j Sj
ρp (vp − vi) ep + Qp − Tp · vp · npdS. (2.69)
Assim, a equação média de conservação de energia da fase p, na base mássica,
pode ser escrita por:
∂
∂t
αpρp
peρp
p + · αpρp
peρp
p vρp
p = − · αp Q
p
p + QT
p + · αpT
p
p · vp
p
+ αpρp
pvρp
p · g + α∗
pqp
Ep
+ IEp , (2.70)
onde QT
p representa o fluxo turbulento de calor que considera tanto a energia gerada
por convecção turbulenta quanto a energia gerada pelo trabalho turbulento, ou seja:
QT
p = JT
p − Tp · vp
p
. (2.71)
A equação de conservação da energia também pode ser expressa em função da

51. 51
entalpia, conforme o procedimento utilizado na Seção 2.1.2.3, tal que:
∂
∂t
αpξ
p
ph
ξp
p +
1
2
αpρp
pv2
p
ρp
+ · αp ξ
p
ph
ξp
p +
1
2
ρp
pv2
p
ρp
vp =
∂
∂t
αpP
p
− · αp Q
p
p + QT
p + · αpτp
p · vp
p + αpρp
pvρp
p · g + α∗
pqp
Ep
+ IEp . (2.72)
2.4.4.2 Conservação da Energia da Mistura
Somando-se as equações de conservação da energia de cada uma das fases
presentes no escoamento, Eq. (2.70), tem-se:
p
∂
∂t
αpρp
peρp
p +
p
· αpρp
peρp
p vρp
p = −
p
· αp Q
p
p + QT
p
+
p
· αpT
p
p · vp
p +
p
αpρp
pvρp
p · g +
p
α∗
pqp
Ep
+
p
IEp . (2.73)
Considerando-se que a interface não armazena energia, ou seja, toda energia que
sai de uma das fases é transferida totalmente para as outras, tal que:
p
IEp = 0 (2.74)
e admitindo-se que a fonte de calor externa à qual a mistura está submetida é dada
exclusivamente pela perda de calor entre o poço e a formação (veja o Capítulo 4), ou
seja:
p
αpqp
Ep
= −qw, (2.75)
a equação de conservação média da energia da mistura pode ser escrita como:
∂
∂t p
αpρp
peρp
p + ·
p
αpρp
peρp
p vρp
p = − · Q
p
m + QT
m
+ ·
p
αpT
p
p · vp
p +
p
αpρp
pvρp
p · g − qw, (2.76)

52. 52
onde Q
p
m e QT
m representam o fluxo de calor por condução e turbulento da mistura,
respectivamente, e são definidos por:
Q
p
m =
p
αpQ
p
p (2.77)
e
QT
m =
p
αpQT
p . (2.78)
A equação de conservação da energia, expressa em função da entalpia, pode ser
obtida, analogamente a Eq. (2.76), somando-se a Eq. (2.72) para todas as fases
existentes no volume de controle, tal que:
∂
∂t p
αpξ
p
ph
ξp
p +
1
2
αpρp
pv2
p
ρp
+ ·
p
αp ξ
p
ph
ξp
p +
1
2
ρp
pv2
p
ρp
vp
=
∂P
p
∂t
− · Q
p
m + QT
m + ·
p
αpτp
p · vp
p
+
p
αpρp
pvρp
p · g − qw. (2.79)

53. 53
3 Escoamento Multifásico
Utilizando o Modelo de Mistura
Drift-Flux
Neste capítulo, será apresentada uma descrição dos principais modelos para o es-
coamento multifásico que são formulados com base nas leis de conservação. Dentre
eles, o modelo de mistura drift-flux, empregado no presente trabalho, será discutido
com mais ênfase, apresentando-se suas equações e correlações empíricas presentes
neste modelo. Dessa forma, será construído um sistema de equações consistente a
partir das equações médias de conservação, da relação cinemática de acoplamento
entre as fases e das equações de restrições, representando tanto um escoamento
multifásico composicional miscível quanto imiscível.
3.1 Modelos Matemáticos do Escoamento Multifásico
Na literatura é possivel encontrar, basicamente, três modelos matemáticos para
representar um escoamento multifásico: o de dois fluidos, o drift-flux e o homogêneo.
Estes modelos baseiam-se nas leis de conservação e serão discutidos a seguir.
No modelo de dois fluidos, cada fase do escoamento é tratada de forma separada
e possui sua própria pressão, temperatura e velocidade, embora existam modelos sim-
plificados que consideram o compartilhamento dos campos de pressão e temperatura
entre as fases. As equações governantes são aplicadas para cada fase e o acopla-
mento entre elas é dado pelos termos interfaciais que representam o grande desafio
dessa modelagem. Segundo Rosa (2012), essas informações adicionais devem ser
supridas por meio de equações de fechamento ou constitutivas obtidas de modelos
e/ou dados experimentais.
De acordo com Shirdel (2010), o modelo de dois fluidos é computacionalmente
mais desafiador e numericamente instável em alguns casos. De fato, quando a velo-

54. 54
cidade de deslizamento entre as fases excede um valor crítico, este modelo pode se
tornar mal condicionado e, consequentemente, instável (LIAO et al., 2008).
Por outro lado, como simplificação ao modelo de dois fluidos, existe o modelo de
mistura drift-flux que considera a existência de um único fluido homogêneo com ca-
racterísticas reológicas específicas. Este fluido hipotético representa a mistura na qual
as equações de conservação são aplicadas. Além disso, utiliza-se a conservação da
massa da fase dispersa e uma relação cinemática capaz de determinar a velocidade
da fase dispersa por correlações empíricas. Esta relação é conhecida como modelo
de deslizamento drift-flux e determina a velocidade da fase através de uma relação
entre a velocidade volumétrica da mistura e a velocidade de deslizamento. A equação
do modelo drift-flux e suas correlações empíricas serão discutidas na seção seguinte.
Devido a sua capacidade de representação do processo físico, relativa facilidade
de implementação e reconhecida estabilidade numérica, o modelo drift-flux e suas
variações constituem a base dos simuladores de fluxo para tubulações aplicados não
só na indústria petrolífera como também na nuclear, como pode ser visto nos trabalhos
de Ishii e Mishima (1984), Masella et al. (1998), Bonizzi e Issa (2003), Hibiki e Ishii
(2003b), Issa e Kempf (2003), Ishii e Hibiki (2006) e Hoeld (2007) (LIVESCU et al., 2010;
ROSA, 2012). Segundo Choi et al. (2013), o modelo drift-flux é mais aplicável ao padrão
de fluxo de fase(s) dispersa(s), enquanto o modelo dois fluidos obtém bons resultados
para problemas com padrão de escoamento de fases separadas.
Já no modelo homogêneo, as fases estão tão intimamente misturadas que é possí-
vel admitir uma mistura homogênea com todas as fases possuindo a mesma pressão,
temperatura e velocidade. Pode ser visto, também, como um modelo de mistura, aná-
logo ao drift-flux, com as mesmas equações governantes e restrições, porém com a
relação cinemática dada pela igualdade das velocidades de todas as fases. Este mo-
delo pode ser admitido em certos escoamentos como, por exemplo, o fluxo vertical
ascendente de gás disperso em um meio líquido na forma de inúmeras bolhas. Neste
caso, o escoamento é aproximadamente homogêneo e tanto o gás quanto o líquido
possuem quase a mesma velocidade.
3.2 Modelo de Deslizamento Drift-Flux
A principal equação do modelo de mistura drift-flux que o diferencia dos outros
é o modelo de deslizamento que é utilizado para modelar a velocidade de uma fase
dispersa (gás) em um escoamento bifásico (gás e líquido). Segundo Shi et al. (2005),

55. 55
o modelo drift-flux descreve o deslizamento entre o gás e o líquido como uma combi-
nação de dois mecanismos. O primeiro é devido a tendência do gás de subir vertical-
mente através do líquido devido à flutuabilidade (empuxo). O segundo ocorre devido
a uma distribuição de fases e de velocidades não uniforme na seção transversal do
tubo, conforme a Fig. 7. Esta distribuição ocorre porque em um escoamento vertical
gás-líquido a concentração do gás tende a ser maior no centro do tubo, onde a velo-
cidade da mistura também é maior. Desta forma, quando é aplicado um processo de
média na seção transversal do tubo, a velocidade média do gás tende a ser maior que
a do líquido.
Perfil de
Velocidade
Perfil de
Concentração
Figura 7: Distribuição não uniforme da fase e da velocidade na seção transversal de
um escoamento vertical gás-líquido. Adaptado de Shi et al. (2005).
Para representar matematicamente o modelo de mistura dritf-flux, é necessário
definir as médias ponderadas da área e da fração de vazios da seção transversal que
são definidas, respectivamente, por:
ψ =
1
A A
ψdA (3.1)
e
ψp =
αpψp
αp
, (3.2)
onde ψ representa uma propriedade qualquer; A, a área da seção transversal; e αp, a
fração volumétrica da fase p.
Além disso, é necessário o conceito de velocidade superficial e de deslizamento.

56. 56
A velocidade superficial da mistura, j, corresponde a velocidade do centro de volume
da mistura, sendo definida por:
j =
p
αpvp, (3.3)
onde o somatório com subíndice p representa o somatório de todas as fases existentes
na mistura.
Já a velocidade de deslizamento é a velocidade relativa entre a velocidade super-
ficial da mistura, j, e a velocidade da fase, vp, ou seja:
vD,p = vp − j. (3.4)
O modelo drift-flux é obtido, aplicando-se a média ponderada na fração volumé-
trica da fase p na Eq. (3.4), tal que:
vp = j + vD,p . (3.5)
A velocidade de deslizamento pode ser determinada, por exemplo, em um escoa-
mento líquido-gás no qual o líquido encontra-se parado e existe apenas uma pequena
bolha de gás em movimento ascendente devido à flutuabilidade. Nesta situação, a ve-
locidade volumétrica da mistura é quase nula e, consequentemente, a velocidade do
gás será aproximadamente igual à velocidade de deslizamento do mesmo. De acordo
com Zukoski (1966), o cálculo da velocidade da bolha de gás é influenciada pela vis-
cosidade, tensão superficial e inclinação do tubo, conforme será visto nas correlações
empíricas para a velocidade de deslizamento.
Na Eq. (3.5), o primeiro termo do lado direito pode ser escrito em função da média
ponderada na área da seção transversal, tal que:
j =
αpj
αp
= C0 j , (3.6)
onde:
C0 =
αpj
αp j
. (3.7)
Este termo é chamado de parâmetro de distribuição e representa o desvio das

57. 57
médias ponderadas na área e na fração volumétrica da fase p na seção transversal.
Segundo Ishii e Hibiki (2010), este parâmetro pode ser determinado assumindo-se
perfis de fração volumétrica e velocidade volumétrica conhecidos ou a partir de dados
experimentais.
Assim, para um escoamento líquido-gás, a velocidade média da fase gás, vg, pode
ser escrita em função da sua velocidade de deslizamento dessa fase, vD, e do parâ-
metro de distribuição, C0, utilizando-se as Eqs. (3.3), (3.5) e (3.6), como:
vg = C0
p
αpvp + vD. (3.8)
Observa-se que as notações de médias foram suprimidas para evitar a sobrecarga
de notação. As correlações empíricas para a determinação do parâmetro de distribui-
ção e da velocidade de deslizamento serão abordadas a seguir.
3.2.1 Correlações Empíricas do Modelo Drift-Flux
O modelo drift-flux tem sido estudado por vários autores. França e Jr (1992) e
Danielson et al. (2009) verificaram o uso desse modelo para todos os padrões ob-
servados no escoamento horizontal gás-líquido. Já Goda et al. (2003) investigaram o
escoamento bifásico a favor da gravidade, enquanto Ishii (1977) verificou a sua apli-
cação no escoamento vertical contra a gravidade (CHOI et al., 2012).
Diversas correlações empíricas para o parâmetro de distribuição, C0, e para a
velocidade de deslizamento, vD, foram desenvolvidos. Coddington e Macian (2002),
Schlegel et al. (2010) e Bhagwat e Ghajar (2014) apresentam uma série de modelos
propostos por outros autores, sendo alguns destes expostos na Tabela 1.
As correlações que determinam C0 e vD também podem ser função do padrão
de escoamento, como pode ser visto nos trabalhos de Ishii (1977), Hasan e Kabir
(1988a), Hasan e Kabir (1988b), Ansari et al. (1990), Hasan e Kabir (1999), Hibiki e
Ishii (2003a) e Hasan et al. (2010). A fim de evitar a implementação de um mapa
que determine o padrão de escoamento para cada posição na tubulação, esses tipos
de correlações não serão discutidos no presente trabalho e nem mesmo os modelos
mais complexos que não dependem do padrão de escoamento, posto que envolvem
diversas funções intermediárias, como por exemplo os trabalhos de Kataoka e Ishii
(1987), Shi et al. (2003), Shi et al. (2004), Shi et al. (2005) e Bhagwat e Ghajar (2014).
Neste trabalho, será utilizado o modelo de Choi et al. (2012) para determinar o

58. 58
Tabela1:Modelosparaoparâmetrodedistribuiçãoevelocidadededeslizamento
ModeloPadrãodedistribuiçãoVelocidadededeslizamento
ZubereFindlay(1965)C0=1,2vD=1,53ρσ∆ρ
ρ2
l
1
4
Bonnecazeetal.(1971)C0=1,2vD=0,35ρσ∆ρ
ρ2
l
1
4
GreskovicheCooper(1975)C0=1,0vD=0,671
√
gD(senθ)0,263
Sunetal.(1981)C0=1
0,82+0,18(P/PC)
vD=0,41ρσ∆ρ
ρ2
l
1
4
Shipley(1984)C0=1,2vD=0,24+0,35αvg
j
2√
gDα
Jowittetal.(1984)C0=1+0,796e
−0,061
ρl
ρgvD=0,034ρl
ρg
−1
ClarkeFlemmer(1985)C0=0,934(1+1,42α)vD=1,53ρσ
ρl
1
4
Sonnenburg(1989)C0=1+0,32−0,32ρg
ρl
vD=C0(1−C0αg)
C0αg√
gD∆ρ/ρg
+1−
C0αg√
gD∆ρ/ρl
Bestion(1990)C0=1,0vD=0,188gD∆ρ
ρg
MishimaeHibiki(1996)C0=1,2+0,51e(−6,91×10−4D)vD=0
Gomezetal.(2000)C0=1,15vD=1,53ρσ∆ρ
ρ2
l
1
4√
1−αsenθ
WoldesemayateGhajar(2007)C0=αvg
j
1+1−α
α
vl
vg
(ρg/ρl)0,1
vD=2,9ρσD∆ρ(1+cosθ)
ρ2
l
1
4
(1,22+1,22senθ)
Patm
P

59. 59
parâmetro de distribuição e a velocidade de deslizamento de um escoamento multifá-
sico.
3.2.1.1 Modelo de Choi et al. (2012)
O modelo proposto por Choi et al. (2012) é uma correlação capaz de prever o
parâmetro de distribuição e a velocidade de deslizamento para uma ampla gama de
geometrias e propriedades de fluido. O trabalho foi verificado utilizando mais de 1.000
dados experimentais do TUFFP (Tulsa University Fluid Flow Projects), obtidos através
dos trabalhos de Felizola (1992), Vigneron et al. (1995), Fan (2005), Gokcal (2005),
Gokcal (2008) e Magrini (2009). Além disso, foram utilizados 463 dados sintéticos,
obtidos através do software comercial OLGA (BENDIKSEN et al., 1991).
A correlação proposta por Choi et al. (2012) foi comparada com um simples modelo
linear, com C0 e vD constantes, e outros oito modelos da literatura: Zuber e Findlay
(1965), Ishii (1977), Liao et al. (1985), Jowitt et al. (1984), Sonnenburg (1989), Bestion
(1990), Kataoka e Ishii (1987) e Shi et al. (2004). Cada um destes trabalhos têm as
suas limitações, porém a proposta de Choi et al. (2012) é obter um modelo que seja
aplicável a uma grande variedade de condições.
Na comparação entre a previsão da fração volumétrica entre os oito modelos apre-
sentados com os dados experimentais, Choi et al. (2012) obteve a menor média abso-
luta dos erros (0,09584) e o menor desvio padrão (0,05684). A seguir serão apresen-
tados o parâmetro de distribuição e a velocidade de deslizamento deste modelo.
Parâmetro de Distribuição
O parâmetro de distribuição de Choi et al. (2012) é dado por uma combinação
dos trabalhos de Fabre e Liné (1992) e Ishii (1977). Segundo Choi et al. (2012), o
parâmetro de distribuição no trabalho de Fabre e Liné (1992) depende do número de
Reynolds e é dado por:
C0 =
2, 27
1 + (Re/1000)2 +
1, 2
1 + (1000/Re)2 . (3.9)
Já Ishii (1977) propôs uma simples e precisa equação para C0 no fluxo turbulento
agitado (churn flow), dada por:
C0 = 1.2 − 0.2 ρg/ρl 1 − e−18αg
(3.10)

60. 60
Assim, Choi et al. (2012) propuseram um novo parâmetro de distribuição dado por:
C0 =
2
1 + (Rel/1000)2 +
1.2 − 0.2 ρg/ρl (1 − e−18αg
)
1 + (1000/Rel)2 , (3.11)
onde Rel é definido como o número de Reynolds da fase líquida, sendo calculado
como:
Rel =
ρlD
µl p
(αpvp) , (3.12)
onde D representa o diâmetro da tubulação; ρl, a massa específica da fase líquida; e
µl, a viscosidade da fase líquida.
Velocidade de Deslizamento
A velocidade de deslizamento é estimada através de uma modificação do modelo
proposto por Zuber e Findlay (1965) a fim de considerar os efeitos da inclinação, sendo
expressa como:
vD = A cos (θ) + B
gσ (ρl − ρg)
ρ2
l
1/4
sen (θ) , (3.13)
onde σ é a tensão superficial entre as fases líquida e gasosa e é calculado conforme
a Seção A.3.6; g, a aceleração da gravidade; e θ, o ângulo de inclinação da tubulação.
Os parâmetros A e B foram obtidos por uma regressão nos experimentos analisados
e valem, respectivamente, 0,0246 e 1,606.
3.3 Equações do Modelo de Mistura Drift-Flux
Através das equações médias de conservação da mistura apresentadas no Capí-
tulo 2, é possível representar matematicamente um escoamento multifásico e, através
do modelo de mistura, considerá-lo um único fluido hipotético que representa a mis-
tura. Comumente, a velocidade da mistura e da fase dispersa são escolhidas como
variáveis do sistema e, dessa forma, a conservação da massa é realizada para a mis-
tura e para a fase dispersa, sendo a transferência de massa entre as fases dada pelos
termos interfaciais. Porém, é possível escolher as velocidades de cada uma das fases
como variáveis e, preferencialmente, a conservação da massa pode ser realizada para
cada uma delas. Além das equações de conservação são necessárias outras informa-

61. 61
ções a respeito da interação entre as fases como, por exemplo, a relação cinemática
expressa pelo modelo de deslizamento drift-flux.
Para determinar as equações do modelo de mistura drit-flux, considerou-se dois ti-
pos de escoamentos: miscível e imiscível. No primeiro caso é permitida a miscibilidade
entre as fases. Já o segundo é uma simplificação do primeiro tal que a miscibilidade
é tão pequena que pode ser considerada nula, como por exemplo uma mistura água-
ar em condições normais de temperatura e pressão. Neste caso, a fase líquida será
basicamente composta por água, enquanto que a fase gasosa será composta por ar.
A seguir serão apresentadas as variáveis e as equações governantes envolvidas
na modelagem dos escoamentos imiscíveis e miscíveis.
3.3.1 Modelo de Mistura Drift-Flux Imiscível
No escoamento imiscível, cada fase possui uma porcentagem no volume amostral
e compartilham o mesmo campo de pressão e temperatura, porém suas velocidades
não são necessariamente iguais. Neste modelo, as variáveis independentes são a
pressão, a temperatura, as velocidades e frações volumétricas de cada fase, conforme
a Tabela 2. Como não há miscibilidade, as frações molares dos componentes em
cada fase não se alteram e, por isso, não são consideradas variáveis do problema. As
propriedades das fases são calculadas considerando-se a porcentagem de cada um
desses componentes de acordo com as equações apresentadas no Apêndice A.
Tabela 2: Variáveis independentes do escoamento multifásico imiscível
Variável Notação Quantidade
Pressão P 1
Temperatura T 1
Velocidade vp Np
Fração volumétrica αp Np
No modelo de mistura imiscível, a massa de cada fase se conserva durante o
escoamento. Isso porque não há transferência de massa entre as fases, ou seja,
os termos interfaciais da equação de transporte da massa são nulos. Dessa forma,
a conservação da massa é escrita para cada fase do escoamento, enquanto que a
conservação da quantidade de movimento e da energia são realizadas para a mistura.
A velocidade da fase dispersa será determinada através do modelo cinemático drift-
flux. A equação de restrição é dada pela relação volumétrica entre as fases, visto que
estas compartilham o mesmo volume amostral.

62. 62
Portanto, as equações do modelo de mistura drift-flux para um escoamento imis-
cível, conforme as equações médias de transporte discutida no Capítulo 2, são:
1. Conservação da massa para cada fase:
∂
∂t
(αpξp) + · (αpξpvp) = α∗
pqnp ; (3.14)
2. Conservação da quantidade de movimento da mistura:
∂
∂t p
αpρpvp + ·
p
αpρpvpvp = − P + · τm
+
p
αpρpg +
p
α∗
pqMp
; (3.15)
3. Conservação da energia da mistura:
∂
∂t p
αpξphp +
1
2
αpρpv2
p + ·
p
αp ξphp +
1
2
ρpv2
p vp =
∂P
∂t
− · Qm + QT
m + ·
p
(αpτp · vp) +
p
(αpρpvp · g) − qw; (3.16)
4. Relação cinemática (modelo drift-flux):
vg = C0
p
(αpvp) + vD; (3.17)
5. Restrição das frações volumétricas:
p
αp = 1. (3.18)
Estas equações podem ser quantificadas em função do número de fases do es-
coamento, Np, conforme a Tabela 3. Das Tabelas 2 e 3 é possível concluir que este
sistema possui o mesmo número de variáveis e equações: 2Np + 2. Para o escoa-
mento bifásico, o modelo drift-flux é escrito para a fase dispersa que é, geralmente,
a fase gasosa. Para o caso com mais de duas fases, conforme o trabalho de Shi et
al. (2004), há a necessidade de mais de uma relação cinemática e esse estudo está
além do escopo deste trabalho.

63. 63
Tabela 3: Equações do escoamento multifásico imiscível
Equação Quantidade
Conservação da massa da fase Np
Conservação da quantidade de momento da mistura 1
Conservação da energia da mistura 1
Relação cinemática (modelo drift-flux) Np − 1
Restrição das frações volumétricas 1
3.3.2 Modelo de Mistura Drift-Flux Miscível
No escoamento miscível, ocorre a miscibilidade entre as fases e, dessa forma, é
permitida a transferência de componentes entre elas. Ou seja, as frações molares
dos componentes, assim como a pressão, temperatura, velocidades e frações volu-
métricas, são variáveis independentes do problema. Enquanto a fração volumétrica
representa a porcentagem volumétrica que a fase ocupa no volume amostral, a fração
molar representa a porcentagem molar que o componente ocupa nessa fase. Assim,
em um sistema com Np fases e Nc componentes, existirão Np × Nc frações molares,
conforme a Tabela 4.
Tabela 4: Variáveis independentes do escoamento multifásico composicional miscível
Variável Notação Quantidade
Pressão P 1
Temperatura T 1
Velocidade vp Np
Fração molar xp,c Np × Nc
Fração volumétrica αp Np
Como ocorre a transferência de componente entre as fases, é possível ocorrer
o desaparecimento e o surgimento de uma fase, sendo este processo denominado
de análise de equilíbrio termodinâmico. O surgimento de uma fase ocorre quando
um sistema monofásico é termodinamicamente menos estável do que um sistema
bifásico. Este processo de separação de uma fase em duas é denominado de flash e
está detalhado no Apêndice A. Já o desaparecimento de fase será discutido na Seção
5.4.
No modelo de mistura miscível, a massa de cada componente se conserva, pois
não existe transferência de massa entre componentes. Dessa forma a conservação da
massa é escrita para cada componente do escoamento, enquanto que a conservação
da quantidade de movimento e da energia são realizadas para a mistura. A velocidade
da fase dispersa será determinada através do modelo cinemático drift-flux.
Para determinar as frações molares de cada componente em cada fase é neces-

64. 64
sário admitir uma condição de equilíbrio termodinâmico. Neste trabalho adotou-se o
equilíbrio instantâneo das fugacidades de cada componente do sistema, utilizando-se
a fase gasosa como referência. A definição de fugacidade e de equilíbrio termodinâ-
mico estão melhor detalhados no Apêndice A.
Além dessas equações, ainda há as restrições das frações molares para cada
componente e a restrição da fração volumétrica. Portanto, as equações do modelo
de mistura drift-flux para um escoamento miscível, conforme as equações médias de
transporte discutida no Capítulo 2, são:
1. Conservação da massa para cada componente:
∂
∂t p
αpξpxp,c + ·
p
αpξpxp,cvp =
p
α∗
pqnp,c ; (3.19)
2. Conservação da quantidade de movimento da mistura:
∂
∂t p
αpρpvp + ·
p
αpρpvpvp = − P + · τm
+
p
αpρpg +
p
α∗
pqMp
; (3.20)
3. Conservação da energia da mistura:
∂
∂t p
αpξphp +
1
2
αpρpv2
p + ·
p
αp ξphp +
1
2
ρpv2
p vp =
∂P
∂t
− · Qm + QT
m + ·
p
(αpτp · vp) +
p
(αpρpvp · g) − qw; (3.21)
4. Relação cinemática (modelo drift-flux):
vg = C0
p
(αpvp) + vD; (3.22)
5. Equilíbrio termodinâmico:
fp,c = f0,c; (3.23)
6. Restrição das frações molares:

65. 65
c
xp,c = 1; (3.24)
7. Restrição das frações volumétricas:
p
αp = 1. (3.25)
As equações do modelo de mistura miscível podem ser quantificadas em função
do número de fases, Np, e de componentes, Nc, do escoamento, conforme a Tabela 5.
De acordo com as Tabelas 4 e 5, é possível concluir que este sistema possui o mesmo
número de variáveis e equações: 2Np + 2 + Np × Nc.
Tabela 5: Equações do escoamento multifásico composicional miscível
Equação Quantidade
Conservação da massa do componente Nc
Conservação da quantidade de movimento da mistura 1
Conservação da energia da mistura 1
Relação cinemática (modelo drift-fllux) Np − 1
Equilíbrio termodinâmico Nc × (Np − 1)
Restrição das frações molares Np
Restrição das frações volumétricas 1