SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 625
Baixar para ler offline
HÍLDER GÓES
Licenciatura plena em Matemática pela
Universidade Estadual do Ceará - UECE
Autor dos livros A Matemática do Vestibular e
Elementos Básicos de Estatística
UBALDO TONAR
Licenciatura plena em Matemática pela
Universidade Estadual do Ceará - UECE e
Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará -
Professor concursado do Estado do Ceará
MATEMÁTICA PARA
C O N C U R S O
7-. Edição
Rio - São Paulo - Fortaleza
2004
© 2004 Hilder Góes e Ubaldo Tonar
© 2004 desta edição cedidos à
Editora e GráficaABC Fortaleza Ltda.
P r o jeto G r á h c o
CarlosAlbertoA; Dantas
Roberta de Oliveira
R eviso r T éc nico
Fernando Antônio Saraiva de Araújo
Capa
Heron Cruz
Pedidos:
Editora e GráficaABC FortalezaLtda,
RuaVergueiro, 439 - Loja 27 - Bairro: Aclimação
CEP: 01504-001 - São Paulo - São Paulo
* * *
Rua Eduardo Salgado, 156 - Bairro: Aldeota
Fone: (0**85) 264-3540; Fax: (0**85) 264-3606
E-mail: abceditora@baydenetxom.br
CEP: 60150-140 - Fortaleza - Ceará
Dados Internacionais de Catalogação na Publicaçao (CIP)
G598m Góes, Hilder Bezerra.
Matemática para concurso. Por Hilder Bezerra Góes e Ubaldo
Teixeira Góes. Rio —São Paulo - Fortaleza: ABC Editora, 2004.
632 p.
1. Matemática. I. Título. II. Góes, Ubaldo Teixeira.
CDD: 510
Para nossa querida filha e neta
Deísy
com amor e carinho
do seu pai Ubaldo e
do seu avô Hilder.
APRESEN TAÇÃO
Animados, pela aceitação que tiveram as quatro primeiras
edições cleste livro, resolvemos, após profundas modificações, tanto
em seu conteúdo, como em sua explanação, trazer a lume a quin­
ta edição deste clespretencioso trabalho no qual tentamos reunir
toda a matéria que achamos necessária aos candidatos a concurso
público de nível médio.
Lembramos, contudo que o enrequecimento deste trabalho,
não invalida, obviamente, as edições anteriores, as quais serão
sempre aproveitáveis.
Dividido em duas partes: a primeira, contendo um conjunto
de conhecimentos básicos e indispensáveis, que reputamos de
grande importância para um bom desempenho e compreensão
quando cio estudo da segunda parte, por isso aconselhamos uma
especial atenção à mesma; na segunda parte inserimos, pratica­
mente, todo o conteúdo da maioria dos concursos, como TRT,
TRF, TJC e tantos outros.
Na publicação desta quinta edição, ainda não nos moveu o
interesse pecuniário, nem a vaidade de ser autor mas tão somen­
te, aníma-nos o desejo e a esperança de havermos trazido uma
modesta contribuição com algo que venha facilitar o aprendizado
de todos aqueles que pretendem aumentar seu conhecimento nessa
tão fascinante matéria, em especial, aos interessados em ingressar
na carreira pública; eis o nosso propósito maior. Como também,
dizíamos então - e agora repetimos - não haver feito trabalho
notável ou original.
A aceitação deste livro será por certo, um estímulo e uma
imposição para que continuemos em nosso propósito.
Muito grato seremos a quantos nos queiram apontar falhas
que certamente encontrarão.
O S AUTORES
SUMÁRIO
PRIMEIRA PARTE
0 1 Número ................................................................................................................ 1 3
0 2 Sistema de Numeração .................................................................................. 2 7
0 3 Números Inteiros ............................................................................................ 3 5
0 4 Números Fracionários .................................................................................. 4 8
0 5 Números D ecimais .......................................................................................... 6 6
0 6 Números Complexos .................................................................... ................. 7 9
0 7 N úmeros R elativos ......................................................................................... 8 9
0 8 Equação do Primeiro G r a u ....................................................................... 9 3
0 9 Sistema de Equação do P rimeiro G r a u ...................................................1 0 0
1 0 Inequaçào do Primeiro G r a u ............ .........................................................1 0 6
11 S istema de In eq uaçào do P rimeiro G rau ............................................ . 1 1 1
1 2 Equação do S egundo G r a u .........................................................................1 1 4
1 3 S istema de Equação do Segundo G r a u ..................................................1 2 4
1 4 P oten ciação ..................................................................................................... 1 2 6
15 Radiciação ...........................................................................................................1 4 2
16 Q uestões de Concursos ............................................................................. 1 5 7
SEGUNDA PARTE
*
‘ 17 Números Inteiros ............................................................................................. 1 6 3
1 8 Q uestões de Concursos.................................................................................2 1 0
19 Números Fracionários ................................................................................... 2 2 2
20 Q uestões de Co n cursos................................................................................2 5 7
2 1 R egra de T r ê s .................................................................................................2 6 4
22 Q uestões de C o n c u r s o s .................................................................................2 8 5
*23 R azão ....................................................................................................................2 9 5
24 Q uestões de Con cursos................................................................................ 3 0 5
25 Proporção ..........................................................................................................3 0 8
26 Q uestões de C o n c u rs o s .................................................................................3 3 1
27 D ivisão P r o p o r c io n a l ............................... .................................................... 3 3 4
/28 M í d i a s ...................................................................................................................3 5 9
2 9 Números Proporcionais ................................................................................ 3 6 5
3 0 Q uestões de Concursos ............................................................................ 3 ó 7
3 1 R egra de S o c ie d a d e .................................................................................................. 3 7 3
32 Q uestões dh C o n c u r s o s .........................................................................................3 8 2
33 P orcentagem .......•............................................................................................3 8 7
'3 4 Q uestões de C o n c u r s o s .......................................................................................... 4 1 8
35 J uros S imples ....................................................................................................4 3 2
36 P r a zo , T a xa k C apital M é d io s ..................................................................4 6 9
37 Q uestões de C o n c u r s o s .............................................................................................4 7 5
38 D esconto S imples .......................................................................................................4 8 4
39 Q uestões de C o n c u r s o s ............................................................................................5 0 4
4 0 S istema M étrico D ecimal ......................................................................................5 0 9
4 1 Q uestões de C o n cu rso s ............................................................................ ............5 4 2
■ 42' Es c a l a .........................:v ..............,....................................................................................5 5 1
43 Q uestões de C o n c u r s o s .............................................................................................5 5 4
4 4 F u n ção do P rimeiro G r a u .......................................................................................5 5 6
4 5 Q uestões de C o n cu rso s .................................: ......................................................5 6 6
4 6 F un çào Q uadráttca ......................................................................................................5 6 8
4 7 Q uestões de C o n c u r s o s .............................................................................................5 7 8
4 8 D ivisibtlidade ........ ............................................................................................................5 8 0
4 9 N úmeros P rim o s, M últiplos e D iv t so r e s.........................................................5 9 4
tÇO M áx im o D ivisor C omum ................................................................................. 6 0 3
*51 M ínimo M úuhplo C omum ..........................................................................................6 1 4
52 Q uestões de C o n c u r s o s ............................................................................................6 2 2
53 P roblemas do S eçijn do G r a u ............................................................................... 6 2 4
PRIMEIRA PARTE
Númi-ho -1
S iste m a de N u m e r a ç ã o - 2
N ú m ero s I n t e ir o s ~ 3
N ú m e ro s F r a c io n á r io s - 4
N ú m e ro s D e c im a is - 5
N ú m e ro s C o m p le x o s - 6
N ú m e ro s R e la tiv o s - 7
E q u a ç ã o d o P rím e íro G r a u - 8
9 - S ístem a de E q u a ç ã o d o P rim eiro G rau
1 0 - I ne q u a ç ã o d o P rim eiro G rau
1 1 - S istem a de ín e q u a ç ã o do P rim eiro G ra
1 2 - E q u a ç ã o d o S e g u n d o G rau
1 3 - S i st em a de E q u a ç ã o d o S e g u n d o G rau
1 4 - P o t e n c sa ç ã o
1 5 - RADI Cia ç ã o
1 6 - Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s
1
NÚMERO
DEFINIÇÃO: E o resultado da comparação de uma grande2a com a
unidade.
GRANDEZA: E tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado.
As grandezas se classificam em:
a) Contínuas: São as grandezas que podem ser aumentadas ou diminuí­
das de uma quantidade qualquer.
Exemplos: Uma peça de pano, um rolo de barbante.
b) Descontínuas: São as grandezas que só podem ser aumentadas ou
diminuídas de uma quantidade determinada.
Exemplos: Uma porção de bolas, um grupo de meninos.
c) Homogêneas: São as grandezas da mesma espécie.
Exemplos: 3 lápis e 5 lápis ou 4 bolas e 7 bolas.
d) Heterogêneas: São as grandezas de espécies diferentes.
Exemplos: 2 lápis e 3 cadernos ou 5 bolas e 6 laranjas.
UNIDADE: É uma grandeza que serve para medir outras grandezas da
mesma espécie. A grandeza escolhida para unidade é arbi­
trária, mas é necessário que seja perfeitamente definida.
CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: Os números se classificam em:
I) POR SUA NATUREZA:
a) Concreto: E o número que determina a espécie de unidade a que se
refere.
Exemplos: 3 bolas; 5 cadernos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 13
b) Abstrato: É o número que nào determina a espécie de unidade a que
se refere.
Exemplos: 6, 4, 7.
II) POR SUA ESPÉCIE
a) Homogêneo: E o número que indica coisas da mesma espécie.
Exemplos: 2 lápis e 3 lápis.
b) Heterogêneo: E o número que indica coisas de espécies diferentes.
Exemplos: 2 lápis e 4 livros.
III) PELAS PARTES QUE INDICAM
a) INTEIRO: E o número que consta só de unidades.
Exemplos: 3 cadernos, 6 livros.
Os números inteiros podem ser:
i) Simples: E o número formado de um só algarismo.
Exemplos: 3, 5, 7.
ALGARISMOS sào os símbolos que representam os números.
ii) Composto: É o número formado por dois ou mais algarismos.
Exemplos: 26,138, 1435.
b) FRACIONARIO: é o número queindica uma oumais partes da unidade.
Exemplos: 2 1 3
3 ’ 5 ’ 7
Os números frandonários se dividem em:
Decimais
Exatos: 0,2: 0,85
f Simples: 0,333 ..
Periódicos <
i Compostos: 0,4222...
1 4 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
rPuros
Próprios: 2 3
5* 4
Ordinários 1 Impróprios: 7 ? 8^
3 5
tAparentes: 5 20
c) MISTO: É o número formado por um número inteiro e um número
fracionário.
Se classificam em:
Decimais: 5,3; 9,3535...
1 2
Ordinários: 2- ; 4-
3 5
O número abstrato, isto é, aquele que nào determina a espécie de
unidade, é o verdadeiro número, pois o concreto é constituído do número
abstrato, ligado à natureza da unidade escolhida.
O conjunto de processos empregados para se representar os nú­
meros constitui o que se chama de SISTEMA DE NUMERAÇÃO.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base, isto é, pelo
número de unidades de uma ordem que formam uma unidade de ordem
imediatamente superior. O número de algarismos de um sistema de nu­
meração é igual à base.
O sistema universalmente adotado é o decimal. Nesse sistema, dez
unidades de uma ordem, formam uma unidade de ordem imediatamente
superior. Assim, dez unidades formam uma dezena; dez dezenas formam
uma centena.
A numeração escrita, tendo como base esse sistema, se norteia no
seguinte princípio: “Qualquer algarismo escrito à esquerda de outro, vale
dez vezes esse outro algarismo”.
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS: Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9 são denominados significativos. Um algarismo significativo tem
dois valores:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 5
Valor Absoluto: É o valor que o algarismo possui quando escrito
isoladamente. O algarismo 5, como valor absoluto,vale sempre 5; o alga­
rismo 7, sozinho, vale sempre 7; e assim por diante.
Valor Relativo: E o valor que o algarismo possui de conformidade
com o lugar que ele ocupa no número. Assim, no número 327, o 7 vale
sete unidades, o 2 vaie duas dezenas e o 3 vale três centenas.
O
X- De 345 a 789 incluídos esses números, quantos números inteiros e
consecutivos existem.
Solução: Basta subtrairmos do maior número o menor, e somar­
mos uma unidade.
' 789 —345 = 444 -» 444 + 1 = 445 números
02 - De 480 a 720 incluídos esses números, calcule quantos números intei­
ros e consecutivos existem.
Solução: 720 —480 = 240 240 + 1 = 241 números
03 - De 371 a 840 incluídos esses números, calcule quantos números intei­
ros e consecutivos existem.
R; 470
04 - De 31 até 700, calcule quantos números inteiros e consecutivos exis­
tem, incluindo esses números.
R: 670
05 - De 345 a 789 excluídos esses números, calcule quantos números in­
teiros e consecutivos existem.
Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor e diminuir­
mos uma unidade.
789 —345 —444 —
>444 1 = 443 números
16 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
06 - De 132 a 186 excluídos esses números, calcule quantos números
inteiros c consecutivos existem.
R: 53
07 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até
251, excluindo esses números.
R: 230
08 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243
excluído c 527 incluído.
Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor
527 - 243 = 284
09 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem quando se
escreve de 180 excluído e 320 incluído.
R: 140
10 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 130
incluído e 780 excluído.
R: 650
11- Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os.. ——
números de 1, 2 e(3)ilgarismos. ^ |^ „ i) - / ~ 3 - ~ B ~
§.3
Solução: Os números de um algarismo, começam~3õTevão até ao
9 incluídos; são, portanto: 9 —1 ~ B—
>8 + 1 —9
I -ogo, são 9 números de um algarismo e são necessários 9 x 1 = 9
algarismos para escrevê-los.
• Os números de dois algarismos começam no 10 e vão até o 99
incluídos; são, portanto: 99 ~ 10 = 89 —
*
■89 + 1 = 90
Então, são 90 números de dois algarismos, sendo necessários
90 x 2 —180 algarismos para escrevc-los.
* Os números de três algarismos começam no 100 e vão até ao 999
incluídos; há, portanto*. 999 —100 = 899 —
» 899 + 1 900.
Então, sào 900 números de três algarismos, sendo necessários
900 x 3 ~ 2.700 algarismos para escrevê-los.
Concluímos que, para se escrever todos os números de 1, 2 e 3
algarismos, serão necessários: 9 + 180 + 2.700 = 2.889 algarismos.
MATÍm ÁTíCA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 7
12 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos
os números naturais de 1 até 88.
Solução:
• De 1 a 9, temos 9 —1= 8 —
>8 -í- 1 = 9 números de um algaris­
mo, logo serão necessários 9 x 1 = 9 algarismos.
• De 10 a 88, temos 88 —10 = 78 —
» 78 + 1 ~ -9 números de dois
algarismos, sendo, portanto, necessários 79 x 2 = 158 algarismos. Logo
serão necessários 9 + 158 = 167 algarismos. ~
13 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever to­
dos os números naturais de 30 a 176.
. R: 371
14 - Calcular o número de algarismos necessários/para se escrever desde
31 até 245.
R: 576
15 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos
os números de 30 até 91.
R: 124
16 - Calcule o número de algarismos necessários para se escrever de 37
até 239.
R: 546
17 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­
meros de 1 a 934, inclusive.
R: 2.694
18 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­
meros de 7 a 32.427, inclusive.
R: 151.023
19 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever tddos
os números de três algarismos.
R: 2.700
18 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
20 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos
os números de cinco algarismos. C
-. 16 ; -
■
R: 450.000
21 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos
os números de sete algarismos.
R: 63.000.000
22 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os
números pares de 6 até 281 inclusive.
Solução:
Entre os números 6 e 9 existem dois números pares de um algaris­
mo, que são o 6 e o 8.
• De 10 até 99 existem: '99 - 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais
45 são pares, de dois algarismos.
• De 100 até 281 existem: 281 - 100 = 181 + 1 = 182 números,
dos quais 91 são pares, de três algarismos.
Então, para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos:
2 x 1- 2 -
■
> f. • - ! J ( - r ■
: v " • C -r
45x2= 90 '* /
.
91 x 3 =273 . J ;
365 algarismos
23 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os
números ímpares de 5 até 175 inclusive.
' R: 207
(■
24"- Um aluno escreveu do menor número par de 3 algarismos significati­
vos desiguais até o maior número ímpar de 6 algarismos desiguais, incluí­
dos esses números. Calcule quantos algarismos escreveu.
R: 5,814.552 í^ O
25 - Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algaris­
mos foram necessários.
Solução:
• Da página 1 até a 9 foram utilizados 9 —l ~ 8 --»8 + l = 9
números de um algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 9
• Da página 10 até a 99 foram utilizados 99 —
10 = 89 —
>89 + 1 = 90
números de dois algarismos.
Logo, 90 x 2 = 180 algarismos.
• Da página 100 até a 126 foram utilizados 126 —100 = 26 —
»
—
» 26 + 1 = 27 números de três algarismos.
Logo, 27 x 3 = 81 algarismos.
Então, ao todo, foram necessários 9 + 180 + 81 = 270 algarismos.
26 - Em um cinema há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão
necessários paira enumerá-las.
R: 342
27 - Em um teatro há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão ne­
cessários para enumerá-las.
R: 282
28 - Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários
para enumerá-las?
R: 9.265
29 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algaris­
mos. Calcular quantas páginas tem esse livro, j g _ 
Solução:
•Para enumerar as 9 primeiraspáginas usaram-se: 9x1=9 algarismos.
•Para enumeraras 90páginasseguintesusaram-se 90x2 = 180algarismos.
Veja que, até agora, já usamos 180 + 9 = 189 algarismos.
Temos: 270 ~ 189 = 81 algarismos, que serão utilizados para enu­
merar páginas de três algarismos. Logo, 81 3 = 27 páginas. O total de
páginas será, portanto de: 9 + 90 27 = 126.
's30 Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algaris­
mos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 22$jp
31 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 1.296 algaris­
mos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 468
20 HEUDER GÓES * UBALDO TONAR
32 - Para enumerar as páginas de um E v to foram necessários 3.421 alga­
rismos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 1.132 .
33 - Uma pessoa, para numerar as páginas de um álbum, cobrou $ 15,30.
Quantas páginas tinha o álbum, sabendo-se que cobra $ 0,05 por algarismo?
R: 138
34 - Um artista foi contratado para enumerar as páginas de um álbum,
devendo ganhar $ 5,00 por algarismo desenhado. Recebeu por esse traba­
lho $ 1.710,00. Calcule quantas páginas tinha o álbum.
R: 150
35 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os
algarismos, obtém-se: 1234567891011121314151617... Determine o alga­
rismo que ocupa o 1173Ü
-lugar.
Solução:
• De 1 a 9 escreve-se: 9 x 1 = 9 algarismos.
• De 10 a 99 escreve-se 90 x 2 = 180 algarismos.
Então, até o número 99 escreve-se 189 algarismos. A partir do 100,
os números são de três algarismos. Logo: 1173 - 189 = 984
Então, 984 -s-3 =328 números de.três algarismos. Conta-se, pois, até
o número 99 + 328 = 427. Logo, o algarismo que ocupa o 1173”lugar é o 7.
36 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os
algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 12002lugar.
R: 6
37 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, calcule o algarismo que ocupa o 1536alugar.
R :X
38 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, qual será, o algarismo que ocupa o 3456Ulugar.
R: 8
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 2 1
39 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 2342alugat
Solução:
•De 1a9 são 9números deumalgarismo.Logo,vocâutiliza 9algarismos.
• De 10 a 99 são 90 números de dois algarismos. Logo, você utiliza
180 algarismos.
Veja, que até agora, utilizamos 189 algarismos. Como são 2342 al-'
garismos, ainda faltam 2342 —189 = 2153.
Então: 2153 3, temos:
2153|_3__
05 717
23
2
717 números de 3 algarismos. Logo, atéagora, temos: 9 +90 +717 = 816
Mas veja que, na divisão, que não é exata, sobraram 2 algarismos
para você escrever o número 817.
Se o resto tivesse sido 1 você só poderia escrever o 8, mas como
sobraram 2 algarismos; do número 817 você.pode escrever o 8 e o 1.
Então, o algarismo que ocupa o 2342- lugar, é o 1.
40 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 985" lugar.
R: 3
41 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 1234slugax.
R: 4
42 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os
algarismos, determine o 60üalgarismo escrito.
R: 3
43 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os
algarismos, qual é o 500üalgarismo escrito.
R: 0 •
22 H
IIJD
E
RGÓES * UBAJLDO TONAR
44 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os
algarismos, determine o 1800'- algarismo escrito.
R: 6
45 - Determinar o número devezes que o algarismo 8 ocupa a posição das
unidades; das dezenas; das centenas, na sucessão natural dos números in­
teiros de Xaté 10".
Solução:
Como algarismo das unidades, o número 8 aparecerá de 10 em 10.
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", ele deverá
aparecer 10“ 10 = 1Ò
"'5vezes como algarismo das unidades.
Como algarismo das dezenas ele aparecerá nos 10 números de cada
centena terminados em 80, 81, 82,..., 89.
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10w
, ele deverá
aparecer 10 x 10“'-=
- 102= 10“+
í -h 102= IO1
1
'1vezes como algarismo das
dezenas.
Como algarismo das centenas o número 8 aparecerá nos 100 nú­
meros de milhares terminados por 800, 801, 8 0 2 , 8 9 9 .
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", e como existe
10"•*
-10J —IO
”'3milhares elé aparecerá 100 x 10"'3= 102x IO"'3= 10“'1vezes
como algarismo das centenas.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 23
46 - Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na suces­
são dos números de 1 até 100.000.
Solução:
De 1 até 100.000 eqüivale a de 1 até 10
Como algarismo das unidades aparece 10"‘!, isto é, 10vl = 104.
Como algarismo das dezenas aparece 10”'5, isto é, 10'"1= 104.
Como algarismo das centenas aparece 10"'’, isto ê, IO5*' = IO4.
Como algarismo de milhar também aparece 104.
Conclui-se que, de 1 até 105, o algarismo 3 aparece 5 x 104 =
5 x 10.000 —50.000 vezes.
47 - Determine o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão
dos números de 1 até 1.000.
R: 300
48 - Determine o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão
dos números de 1 até 10.000.
R: 5.000
49 - Determinar o número de vezes que o algarismo 2 aparece na sucessão
dos números de 1 até 100.000.
R: 50.000
50 - Determinar o número dèVtóès que o algarismo 7 ocupa a posição das
dezenas na sucessão dos números de 1 até 10.000.
R: 1.000
51 - Escrevendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes
aparecerá o algarismo 8-
Solução:
Decompondo-se o número 537, podemos escrever: 537 = 500 + 37.
Na parte relativa a 37, o algarismo 8 aparece três vezes, senão veja­
mos: 508 - 518-528.
Na parcela relativa a 500, isto é, cinco centenas, o algarismo 8 figu­
rou 10 vezes como unidade em cada dezena e 10 vezes como dezena em
cada centena. Figurou, portanto: 5 x (10 + 10) = 100 vezes.
24 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAS
Nas centenas nào figurou nenhuma vez, isto porque, ao escrever­
mos o último número 537, nào havíamos chegado a empregar o algarismo 8,
como algarismo das centenas.
Concluímos, então, que o algarismo 8 aparece 3 + 100 = 103 vezes
quando se escreve de 1 até 537.
52 - Determinar o número de vezes que.o algarismo 5 aparece quando se
escreve de 1 até 537.
R: 142
^55j- Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparecerá quando
se escreve de 1 até 327.
. R:óX~A
ÍB4j- Um aluno escreveu todos os números inteiros desde 1 até 2.850.
'Determine quantas vezes ele escreveu o algarismo sete.
R :'865'-H ^
55 - Que alteração sofre o número 23.486 quando se introduz um zero
entre os algarismos 3 e 4.
Solução:
23.000 x 9 = 207.000, aumento sòÊrido.
Senão vejamos: 230.486 —23.486 = 207.000.
56 Que alteração sofre o número 34.567 quando se introduz dois zeros
entre os algarismos 5 e 6.
Solução:
34.500 x 99 = 3.415.500, aumento sofrido.
Senão vejamos: 3.450.067 —34.567 = 3.415.500.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 25
57 - Que alteração sofre o número 2.548 quando se introduz um zero
entre os algarismos 5 e 4.
R: 22.500
58 - Que alteração sofre o número 1957 quando intercalamos dois zeros
entre os algarismos 9 e 5.
R: 188.100
59 - Que alteração sofre o número 678, quando se intercala um zero entre
os algarismos 6 e 7.
R: 5,4.00^
60 - Qual a 1732uletra da seqüência: ABCDEABCDEABCDEABCD.I.
Solução:
Veja que a seqüência é formada por ABCDE seguido de ABCDE,
isto é, de 5 em 5 letras. Logo, se dividirmos 1732 por 5, teremos:
1732 [ 5
23 346
32
2
De onde se conclui, que escrevemos a seqüência ABCDE, 346 ve­
zes. Mas, veja que a divisão não foi exata: sobraram 2 letras, então você só
poderá escrever da próxima seqüência as letras AB. Logo, a letra que ocu­
pa 17321é a letra B.
61 - Qual a 2080- letra da seqüência: DCABDCABDCABDCA...
R: B
62 - Qual a 1993aletra da seqüência: ABCDEDCBABCDEDCBABCDE
DCBABCD...
R: A
63- Quala 1039aletrada seqüência:ABCDEDCABCDEDCABCDEDCAB...
R: C
64 - Determine a letra que ocupa a 1473a da seqüência: CDEFGHCD
EFGHCDEFGHCD...
R: E
26 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Como já vimos, Sistema de Numeração, é o conjunto de processos
empregados para se representar os números.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base.
O número de algarismos de úm sistema é igual a base. Veremos, a
seguir, como sepassa um número escrito em um certo sistema, numa base
para outro sistema, em outra base.
P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e 1 0 p a r a u m
S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r
01 - Escrever o número 370 no sistema de base 8.
Solução:
• 37° [_ $
50 . t
____
(562),
46
6
02 ~O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema
de base 6.
Solução:
584 I 6
44, 97' 6
2, 37 16 6
T 4 2
Veja como fizemos:
Dividimos o número, pela base desejada, a seguir, dividimos o quo-
ciente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos
até encontrarmos um quocíente menor que a base. O número esaáto na
nova base, será então formado pelo último quociente seguido dos restos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 27
encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o
primeiro.
0 3 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base decimal, escreva-o
no sistema de base 7.
Solução:
83452 7
13 11921 7
64 49 1703 [7
15 21 30 243 7
12 0 23 33 34 7
5 2 5 6 4
R: (465205),
0 4 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no
sistema de base 4.
R: (0113330)4
0 5 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no
sistema de base 5.
R: (231342).
06 - Escreva o número 288 no sistema de base 3.
R: (31200)}
07 - Escreva o número 43456 no sistema de base 6.
R: (533103)6
P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r
p a r a o S is t e m a d e B a s e D e c im a l
0 8 - 0 número (562)Hestá escrito no sistema de base 8. Escreva-o no
sistema de base decimal.
28 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
Solução:
( 5 6 2 ) g = 2 x 8 “ + 6 x 8 ' + 5 x 8 2
= 2 + 4 8 + 3 2 0
= 3 7 0
0 9 - 0 número (2412)6está escrito no sistema de base 6. Escreva-o no
sistema de base 10.
Solução:
(2412)6 = 2 x 6 ° + l x ó 1+ 4 x 6 2 + 2 x 63
= 2 + 6 + 144 + 432
= 584
Veja como se faz:
Escreve-se uma SOMA, onde as parcelas sao:
—
O algarismo da unidade, vezes à base elevada a zero;
—O algarismo das dezenas, vezes à base elevada a um;
—O algarismo das centenas, vezes à base elevada a dois;
—O algarismo das milhares, vezes à base elevada a três;
E assim por diante ...
10 - Escreva o número (213)4na base 10.
R: 39
11 - Escreva o número (2416) na base 10.
k:99
1 2 - 0 número (465205)? esta escrito no sistema de base 7. Escreva-o no
sistema de base 10.
R: 8 3 4 5 2
13- O número (2001), está escrito no sistema de base 2. Escreva-o no
sistema de base 10.
R: 17
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 29
Passar um Número Escrito em uma Base Q ual­
quer para Outra Base Diferente da Decimal
14 - Escrever o número (213)4para um sistema de base 5.
Yeja como se faz:
Passamos o número dado para a base decimal e, em seguida, passamos o
número resultante para a base desejada.
Solução:
i) Passando (213)4para a base decimal, temos:
(213), — 3x4° + 1x4' + 2 x 42
= 3 + 4 + 32
= 39
ii) Agora, passaremos o número 39, que está escrito na base 10,
para a base pedida, no caso, a base 5.
39 | 5
4 7
2 1
R: (124)s
15 - Escreva o número (2132)3na base 4.
R: (4z2)4
16 - Escreva o número (1212). na base 2.
R: (510102),
17 - Escreva o número (102). na base 4.
R: (122)4
18 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 23 do
sistema decimal se escreve 32.
30 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(32)x= 23
2 x * x ° + 3 x x ! = 2 3
2 + 3 x = 2 3
3 x = 2 1 x = 7
19 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 45 do
sistema decimal se escreve 63.
R: 7
20 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 3.8 do
sistema de base 10, se escreve 46.
R: 8
21 ~Calcule a base do sistema de numeração em que o número 223 do
sistema decimal se escreve 337.
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(337)^ = 223
7 x xü + 3 x x1+ 3 x x’ = 223
7 +3x-+ 3x2 =223
3x2 +3x = 216
3x2 +3x — 216 = 0
Resultou uma equação do 2- grau que resolvida nos dá:
x’ = —9 e x” = 8. Desprezamos a raiz negativa, então a base
procurada será 8.
22 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do
sistema decimal se escreve 123.
R: 5
23 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 122 do
sistema decimal, se escreve 145.
R: 9
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3 1
24 - Em que base está escrito o número 57 sabendo que no sistema de
base decimal se escreve 72.
R: 13
25 - Qual é a base do sistema de numeração em que o número 144 na base
10, se escreve 100.
R: 12
26 - Qualé a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16.
Ri 11
27 - Um número de dois algarismos, escrito na base 7, escreve-se na base
9 com os mesmos algarismos em ordem inversa. Determinar esse número
na base 10; correspondente ao número na base 7 e na base 9.
Solução:
Seja ab o número. Então temos:
(ab)7 = (ba),
b x 7o + a x 71 = a x 9o + b x 91
b + 7a = a + 9b
6a = 8b
3a = 4b
Para que a igualdade desses dois produtos exista, deveremos ter:
a = 4 e b = 3.
O número será: (43)7ou (34)
Na base 10 teremos: (43), = 3 x 7Ü+ 4x T = 3 + 28 = 31
(34), = 4 x 9o + 3 x 91= 4 + 27 = 31
28 - Um número de dois algarismos, escrito na base 3, escreve-se na base
5 com os mesmos algarismos escritos em ordem inversa. Determine esse
número na base 10; correspondente ao número na base 3 e na base 5.
R: 7
29 - Certo número de dois algarismos escrito no sistema decimal tem 7
para soma dos seus algarismos. Com a base 6, o número formado pelos
mesmos algarismos, vale 16 unidades menos do que o primeiro. Achar
esse primeiro número.
R: 43
32 HODER GÓES * UBALDO TONAR
30 ~O número 23 se acha escrito em dois sistemas de numeração cujas
bases diferem de duas unidades. Achar essas bases, sabendo que a soma
dos dois números é 34.
R: 6 e 8
37
31 - Escrever a fracão — na base 8.
J 51
Solução:
Passa-se separadamente, o numerador e o denominador, para a base 8.
37 | 8 =
>37 = (45), 51 j 8 =
> 51 = (63),
5 4 3 6
No que resulta: — =— (8)
M 51 63
32 - Escreva a fracão — na base 9.
J 22
47
R: ~ (9 )
24 '
33 - Escreva a feacão — na base 5.
' 27
R: Z i (5)
52 1 ;
34 - Efetuar a divisão de (21374)spor 5.
Solução: .
(2 1 . 3 7 4), [ 5
(21), = 17 3377
(23), = 19
(47), = 39
(44), = 36
1
(21)g= 1 x 8o+ 2 x8‘ = 1+ 16 = 17
(23), = 3 x 8a + 2x8l = 3+ 16 = 19
(47)g= 7 x 8Ü+ 4 x81= 7 + 32 = 39
(44)s = 4x 8° + 4 x81= 4 + 32 = 36
R: Quociente = 3377 e Resto = 1
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 33
35 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (3414) por 6.
R: Quociente = 4548 e Resto = 4
36-0 número {7513)aestá escritona base 8. Calcule oresto da sua divisão por3.
R:0
37 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (2632)fipor 4.
R: Quociente = 435 e Resto = 0
34 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
3
NÚMEROS INTEIROS
As operações fandamentais com os números inteiros sâo quatro:
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:
a) Elemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição nos
números naturais.
2 + 0 = 2 0 + 5 = 5
b) Fechamento: A soma de dois ou mais números naturais é sem­
pre um número natural.
2 + 3 = 5 4 + 2 + 3 = 9
c) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.
2 + 3 + 5 = 1 0
3 + 2 + 5 = 1 0
5 + 3 + 2 = 1 0
d) Associativa: Numa soma indicada de várias parcelas, podemos
substituir várias de suas parcelas pela sua respectiva soma.
3 + 4 + 6 + 2 —(3 + 4) + (6 + 2 ) = 7 + 8 = 1 5
3 + 4 + 6 + 2 = ( 3 + 4 + 2 ) +6 =9 + 6 = 1 5
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 35
OBSERVAÇÕES:
Primeira: Quando se aumenta uma parcela de uma certa quantida­
de, a soma fica aumentada dessa quantidade.
10 —
>10 + 5 = 15
+ 6 + 6
16 2 1 -» 2 1 -1 6 = 5
Segunda: Quando se diminui uma parcela de uma certa quantida­
de, a soma fica diminuída dessa quantidade.
10 1 0 - 3 = 7
+ 6 H
- 6
16 13 .-> 16-13 = 3
01 - Numa adição de duas parcelas, uma delas é 900 e a soma 1.860. Calcu­
le a outra parcela.
R: 960
02 - Numa adição de 5 parcelas, a Iae a 2- são, respectivamente, 600 e 700;
a 3*é igual à diferença entre as duas primeiras; a 4aé igual à soma da Iacom
a 3a, e a 5a é igual à diferença entre a 4- e a 3a. Calcule a soma.
R: 2.700
03 - Uma pessoa ao escrever as duas parcelas de uma soma, enganou-se e
escreveu a primeira com um erro de 650 unidades para mais e a segunda
com 165, também para mais. Calcule o erro total cometido.
R: 815
04 - Uma pessoa, ao escrever as três parcelas de uma adição, cometeu três
erros para menos: de 123, na primeira, de 2 na segunda e de 35, na terceira.
Calcule a.verdadeira soma, sabendo-se que ela encontrou 2.490.
R: 2.650
05 - Ao efetuar uma adição de duas parcelas, uma pessoa obteve o número
3.260. Ao confrontá-la com o original, verificou seus erros iniciais quando
havia copiado as parcelas: na Ia foi de 180, para mais, e na 2a, de 20, para
menos. Calcule a soma exata.
R: 3.100
36 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
06 - Se acrescentarmos 15 centenas a um número e de outro tirarmos 743
unidades, a soma desses números fica sendo 4.139. Se o menor deles é
1.639. Calcule o maior.
R: 1.743
07 - Se tirarmos 757 de um número e 348, de outro, a soma torna-se 293.
Sendo 1.049 o maior número, calcule o menor.
R: 349
08 - Numa soma de três parcelas, soma-se 3 unidades à primeira, 2 unida­
des à segunda e subtrai-se 9 unidades à terceira. Calcule de quantas unida­
des ficou alterado o resultado.
R: 4
SUBTRAÇÃO;
OBSERVAÇÕES:
Primeira: A subtração não é comutativa, nem associativa e nem
possui elemento neutro.
Segunda: O minuendo é igual ao subtraendo somado com o resto.
8 minuendo
—5 subtraendo 8 = 5 + 3
3 —
>resto
Terceira:A soma do minuendo com o subtraendo e com o resto, é
igual ao dobro do minuendo.
7 —
>minuendo
—3 —
>subtraendo => 7 + 3+ 4= 14 =^>14 —2 x57
4 resto
:E a^opeíãçàô
MKNQR^-
;çtiám.ado^áÍD^ DO je. pxitr'8
•número;^ !& Í0 ^ ÍT r)O j*e!ç^|i
Te.suIi:ádo';(^^^^ ou RESilÒjjj
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 37
Quarta: Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número do
minuendo e do subtraendo o resto não se altera.
1 8 - » 1 8 + 3 = 2 1 2 0 - > 2 0 — 3 = 1 7
— 6 —> 6 + 3 — — 9 — 7 —> 7 — 3 — — 4
1 2 1 2 1 3 1 3
Quinta: O restovaria no mesmo sentido quevaria o minuendo, isto é:
a) Somando-se qualquer número ao minuendo, o resto ficará au­
mentado desse número.
1 8 —> 1 8 + 5 = 2 3
-A ~A
1 4 1 9 - » 1 9 = 1 4 + 5
b) Diminuindo-se qualquer número do minuendo, o resto ficará
diminuído desse número.
1 4 —>1 4 - 2 = 1 2
-A -_4
10 8 —
» 8 = 10 - 2
Sexta: O resto varia em sentido contrário ao que varia o sub­
traendo, isto é:
a) Somando-se qualquer número ao subtraendo, o resto ficará di­
minuído desse número.
12 12
• —
A 4 + 2 => —
_6
8 6 6 = 8 - 2
b) Diminuindo-se qualquer número do subtraendo, o resto ficará
aumentado desse número.
1 6 1 6
— 6 —> 6 — 2 = > — 4
10 12->12 = 10 + 2
Sétima: Somando-se certo número ao minuendo e diminuindo-se
outro número do subtraendo, o resto ficará aumentado da soma desses
números.
38 H
ILD
ERGÓ
ES * UBALDOTO
N
AR
20-» 20 + -6 = 26
—8 —
» 8 —
•o — —3
12 23 -» (23 - 12) = 11 = 6 + 5
Oitava: Diminuindo-se certo número do minuendo e aumentan­
do-se de outro número o subtraendo, o resto ficará diminuído da soma
desses números.
30 30 - 10 =20
- J á 14 + 3 = - 17
16 3 (1 6 -3 ) = 13 = 10 + 3
09 - Calcule o minuendo de uma subtração, sabendo que o resto é 15 e o
subtraendo 115.
R: 130
10 - Numa subtração, o dobro -dominuendo é 160. Calcule o resto, saben­
do que o subtraendo vale 20.
~R: 60
11- Calculada a diferença de dois números, obteve-se 120. Houve, porém,
110 minuendo um erro de 20, para mais e no suba-aendo um erro de 10
para mais. Calcule a diferença exata.
' R: 110)
12 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 180. Houve, porém,
no minuendo urrr erro de 50 para mais, e no subtraendo um erro de 30
para mais. Calcule a diferença esata.
R: 160
13 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 250, Houve, porém,
no minuendo um erro de 70, para mais e no subtraendo um erro de 30
para menos. Calcule a diferença exata.
R: 150
1 4 -0 resto encontrado em uma diferença foi 280. Verificou-se, entretan­
to, que o minuendo havia sofrido um erro de 150, para menos e no
subtraendo houve um erro de 70 para menos. Calcule o resto exato.
R: 500
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 39
15 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 80. Houve, porém
no minuendo um erro de 70 para menos e no subtraendo um erro de 20
para mais. Calcule a diferença exata.
R: 270
16 - Somando-se 72 ao minuendo e 15 ao subtraendo, calcule que altera­
ção sofre o resto da subtração.
R: Fica aumentado de 57 unidades
17 - Somando-se 54 ao minuendo e subtraindo-se 12 ao minuendo, calcule
de quantas unidades o resto fica alterado.
R: 66
18 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é
igual a 90. O resto é inferior ao subtraendo em 19 unidades. Calcule os
termos dessa subtração.
R: 45, 32 e 13
19 - São dados dois números dos quais o maior é 380. Tirand©~se 180 de
um e 160 de outro, a soma dos restos obtidos é igual a 240. Calcular o
número.
R: 200
2 0 - 0 minuendo de uma subtração é 346. O subtraendo e o resto são
números pares e consecutivos, sendo o resto o maior desses números,
calcule o subtraendo.
R: 172
21 - Á soma dos três números que figuram em uma subtração é 7492. O
resto excede o subtraendo de 3438. Calcule os três números.
R: 3746,154 e 3592
22 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto
é ígual a 516. O subtraendo é igual ao resto. Calcule o minuendo e.p
resto.
R: 258 e 129
40 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
23 - A soma dos três números qúe figuram numa subtração é igual a 948.
Calcular esses três números, sabendo-se que o subtraendo e o resto são
iguais.
R: 474, 237 e 237
24 - Em uma subtração a soma do minuendo, subtraendo e resto é 1344;
o subtraendo sendo 621, determine o minuendo e o resta
R: 672 e 51
25 - Numa subtração a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é
1686. O resto excede o subtraendo de 253 unidades. Calcular o minuendo,
o subtraendo e o resto.
Rx 843, 295 e 548
26 - A soma dos três números que figuram numa subtração é 842. O resto
excede o subtraendo de 145 unidades. Determinar esses três números.
R: 421,138 e 283
MULTIPLICAÇÃO:
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
a) Elemento Neutro: O um (1) é o elemento neutro da multiplicação.
3 x 1 = 3 4 x 1 = 4
b) Fechamento: O produto de dois números naturais é sempre um
número natural.
2 x 3 = 6 4 x 5 = 20
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4 1
c) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto.
3 x 2 x 5 = 30
2 x 5 x 3 —30
5 x 3 x 2 = 30
d) Associativa: Num produto de vários fatores podemos substituir
dois ou mais deles pelo seu produto.
4 x 3 x 5 x 2 = 12 x 5 x 2 = 12 x 10 = 120
e) Distributiva em Relação a Adição: Para se multiplicar uma soma
por um número, multiplica-se cada uma das parcelas pelo número dado e
soma-se os produtos.
(4 + 6) x 3 = 4 x 3 + 6 x 3 = 12 + 18 = 30
£
) Distributiva em Relação a Subtração: Para se multiplicar uma di­
ferença por um número, basta multiplicar cada termo da diferença por
esse número e, a seguir, subtrair os produtos.
(12 - 10) x 2 = 12 x 2 - 10 x 2 = 24 - 20 = 4
g) Elemento Nulo: Quando um dos fatores é zero, o produto é zero.
3 x 0 = 0 2 x 5 x 0 x 6 = 0
h) Quando se soma um certo número a um dos fatores, o produto
fica aumentado de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo
outro fator.
i) Quando se subtrai um certo número de um dos fatores, o produ­
to fica subtraído de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo
outro fator.
2-> 2 + 5 - 7
2 1 —
*>21—6 = 15 = 5 x 3
x_3
6
2 = 3
x_4
12 -» 20 —12 = 8 = 2 x 4
x 4
20
42 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
j) Quando se multiplica um dos fatores por um número, o produ­
to fica multiplicado por esse número.
10 10 x 3 = 30
x 4 x 4
40 120 = 40 x 3
1) Quando se divide um dos fatores por um número, o produto fica
dividido por esse número
20 20 - 2 - 10
x 3 x __3
60 30 = 60 4-2
2 7 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o
multiplicando, o produto será 96. Calcule o multiplicando e o multiplicador.
R: 15 e 8
2 8 - 0 produto de dois números, que é 594 será 429 se diminuirmos 5 do
multiplicador. Calcule o primeiro e o segundo fatores.
R: 18 e 33
2 9 - 0 produto de dois números é 120, aumentando-se de 5 unidades o
multiplicador, o produto será 160. Calcule o multiplicador.
R: 8
3 0 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o
multiplicador, o produto será 75. Calcule o multiplicador.
R; 15
3 1 - 0 produto de dois números é 248. Multiplicando-se um deles por 2 e
o outro por 3, calcule o produto desses dois novos números.
R; 1.488
3 2 - 0 produto de dois números é 4.176. Subtraindo-se 7 de um dos
números o produto se reduz a 3.770. Calcule esses números.
R: 1.488
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 43
3 3 - 0 produto de dois números é 630. Somando-se 4 ao multiplicador,
o produto dos dois fatores fica igual a 798. Determinar os dois fatores.
R: 42 e 15
3 4 - 0 produto de dois números é 96.. Qual é o produto de um número 3
vezes maior do que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que o
segundo?
R: 1.440
3 5 - 0 produto de dois números é 2496. Determinar esses números, sa-
bendo-se que, juntando-se 4 ao multiplicador, o produto passa a ser 2688.
R: 48 e 52
3 6 - 0 produto de dois números é 1026. Subtraindo-se 2 a um dos núme­
ros o produto se reduz a 950. Determinar esses números.
R: 38 e 27
DIVISÃO
a) Dividendo: É o número que há de ser dividido.
. b) Divisor: É o número que indica em quantas partes iguais deverá
ser dividido o dividendo.
c) Quociente: É o resultado da divisão.
d) Resto: É o que sobra da divisão, no caso dela não ser exata.
i) DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO
ii) O maior resto de uma divisão, é o divisor menos uma unidade.
44 HIIJDER GÓES * UBALDO TONAR
OBSERVAÇÕES:
Primeira: Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor
por um mesmo número (diferente de zero) o quociente não se altera, mas
o resto ficará multiplicado ou dividido por esse número.
19 L i. / 19 x 2 = 3838 110 -> 8 = 4 x 2
4 3  5 x 2 = 10 83
Segunda: O quociente varia no mesmo sentido do dividendo, isto é:
a) Multiplicando-se o dividendo por um número, o quociente fica
multiplicado por esse número.
32 4 -* 32 x 2 = 64 4
0 8 0 16 =í>16 = 8 x 2
b) Dividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica
dividido por esse númera
32 1 8 32 4- 2 = 16
0 4 0 2 =>2 = 4 - 2
Terceira: O quociente varia em sentido contrário ao que -varia o
divisor, isto é:
a) Multiplicando-se o dividor por um número, o quociente fica divi­
dido por esse número.
64 8 => 8 x 2 = 16 => 64 16
0 8 ' ' 0 4 = > 4 = 8-r2
b) Dividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multi­
plicado por esse número.
40 8 8 4 2 = 4 =>40 4
0 5 0 1 0 ^ 1 0 = 5 x 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 45
37 - Calcule o maior numero que dividido por 11 dê um resto igual ao
quodente.
R: 120
38 - Calcule o quodente de uma divisão, sabendo que, aumentando 52
unidades ao dividendo e 4 unidades ao divisor, o quodente e o resto não
se alteram.
R: 13
39 - Numa divisão o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior
possível. Sabendo que a soma do divisor e do quociente é igual a 6, calcule
o dividendo.
R: 11
4 0 - 0 dividendo de uma subtração é 237, o resto é 16 e o divisor é o
menor possível, calcule o quociente.
R: 13
41 - Numa divisão, o divisor é 257, o quodente é 59 e o resto é o maior
possível. Calcule o dividendo.
R: 15.419
42 - Numa divisão, o divisor é 12, o quodente é 10 e o resto é o maior
possível. Calcule o dividendo.
R: 131
43 - Numa divisão, o divisor é 28, o quodente é o quádruplo do divisor e
o resto é o maior possível Calcular o dividendo.
R: 3.163
44 - Numa divisão, o quociente é 48, o resto é a terça parte do quodente
e é o maior possível. Calcular o dividendo.
R: 832
45 - Numa divisão, o quodente é 12; o divisor é o dobro do quociente e o
resto é o maior possível. Calcule o dividendo.
R: 311
46 HILDER GÓES * UBAJUDO TONAR
46 - Em uma divisão, o dividendo é 5043, o quociente é 14 e o resto é
185. Calcule o divisor.
R: 347
47 - Numa divisão, o divisor é 298, o quociente é o triplo do divisor e o
resto é o maior possível. Determine o dividendo.
R: 266.709
48 - Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 16, e o resto é o maior
possível. Calcular o -dividendo.
R: 254
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4 ?
4
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
INTRODUÇÃO
Poderemos dizer que:
a) a criança comeu 3 das 5 partes, isto é, três quintos da barra de
chocolate.
b) a criança deixou de comer 2 das 5 partes, isto é, dois quintos da
barra de chocolate.
Observe que os três quintos que a criança comeu da barra de cho­
colate e os dois quintos que deixou de comer, foram tirados da unidade
que era uma barra de chocolate.
Os números três quintos e dois quintos, são chamados Números
Fracionários ou Frações Ordinárias. Daí a definição.
Ilustrando o exemplo dado, temos:
a barra de chocolate a barra de chocolate
três quintos dois quintos
NOTAÇÃO: Pata representarmos uma fração, são necessários dois
números chamados termos da fração.
Sejam a e b números, com b ^ 0.
t â /
Daí: — ou /. Onde a é o numerador e b é o denominador,
b /b
48 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
a) O numerador indica o número de partes tomadas da unidade
b) O denominador indica em quantas partes a unidade foi dividida.
A fração 3/5 da barra de chocolate que a criança comeu, indica que a
unidade foi dividida em 5 partes e ela comeu 3 dessas partes.
CLASSIFICAÇÃO: As frações se classificam em:
a) Própria: Numerador MENOR do que o denominador.
j>, 4
3 ’ 7* 5
b) Imprópria: Numerador MAIOR do que o denominador.
7, 8 , 4
2 ’ 5 ’ 3
c) Aparente: Numerador IGUAL ou MÚLTIPLO do denominador.
4 , 1§
6 * 2 ’ 5
d) Homogêneas: São as frações que possuem o mesmo denominador
1 3 - 7
5 * 5 ’ 5
e) Heterogêneas:Sãoas frações quepossuemdenominadores diferentes:
3 2 4
4 ’ 5 ’ 9
f) Inversas: Duas frações se dizem inversas quando o numerador e
o denominador de uma for o denominador e o numerador da outra.
l e i Ae_í
5 2 4 3
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 49
g) Equivalentes: Duas ou mais -frações são ditas equivalentes, quando
representam a mesma parte da unidade ou do inteiro:^ 2 e 3 _
2 5 4 ó ’
Veja graficamente <
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA DE UMA FRAÇÃO:
Chamamos de Classe de Equivalência de uma fração, aoxonjun-
to formado por todas as frações equivalentes a uma fração dada.
Exemplo: Calcule a classe de equivalência da fração
2
Solução:
3
4 6 ' JS 1 0 1 2 ' 1 4
.6 ’ 9 5 1 2 ’ 1 5 * 1 8 ’ 2 1
01 - Assinale as frações próprias:
1 2 7 8 7
02 - Assinale as frações impróprias:
1 11 7
.,—> — j
'h 4
50 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
03 - Assinale as frações aparentes.
3 8 3 5 8 14 4
, _ j , —, — , —
5 4 1 5 3 7 3
04 - Dentre as frações seguintes, destaque as homogêneas entre si.
3 J 5 1 2 4 7 4
--J - J - J (*
-- > ?-5 -- > --
5 7 3 5 5 7 3
05 ~Dentre as frações seguintes, destaque as heterogênas
1 rl 1 J l 1 1 1
4 5 3 ’ 4 7 5 4 * 4 ’ 4
3
06 - Escreva anco frações equivalentes à fração —>
PROPRIEDADES DAS FRAÇÕES:
a) Quando multiplicamos, os dois termos de uma fração, por um número
diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
1
Seta a fração —>
multiplicando o numerador e o denominador por
2
2 3
2, resulta —•por 3 resulta—.
4 ’ 6
1 2 3
As frações — e — são equivalentes.
2 4 6 M
b) Quando dividimos os dois termos de uma fração, por um núme­
ro diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
Seja a fração — >dividindo o numerador e o denominador por 2,
resulta — >por 3 resulta ™. As frações — » — e -=
- são equivalentes.
15 10 ' 30 15 10 M
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 1
c) Multiplicando o numerador de uma tração por um aúmero dt-
ferente de zero, a fração fica multiplicada por esse número.
2 6
Multiplicando o numerador da fração — por 3, teremos —- que é
8 8
três vezes a fracão ~ .
Visualize, graficamente/
d) Dividindo onumerador de uma fração por um número diferente
de zero, a fração fica dividida por esse número.
4 2 '
Seja a fração — , dividindo o numerador por 2, temos: -y- .
Visualize, graficamente<
e) Multiplicando o denominador de uma fração, por um número
diferente de zero, a fração fica dividida por esse número.
Visuaiize, graficamente
1
3
1 „1
3 x 2 6
f) Dividindo o denominador de uma fração, por um número dife­
rente de zero, a fração fica multiplicada por esse número.
Visuaiize, graficamente
1 2 4
52 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
SIMPLIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO
Quando os termos deumafraçào admitemum divisor comum,
pode-se substituir essa fraçãopor outraequivalente, com ostermos com
menores valores.
BI 27
Seja a fração ~ ~ >
dmdindo-se ambos os termos por 3, resulta: —
108 36
81
que é uma fração equivalente a porém, com os termos mais
simplificados.
OBSERVAÇÃO:
. .ssfr -Tiínaclòr^
81
Na fraçào , ao dividirmos os seus termos pelo máximo divisor
3
comum de 81 e 108 que é 27, teremos a fraçào ~ , que é a forma irredutível
81
fração — .
REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
3 1 7
Seiam as frações —
, —e — •
' 5 4 10
a) Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, o qual
será o denominador comum das frações dadas. O m.m.c. (5, 4,10) = 20.
b) Dividimos o denominador comum 20, pelo denominador de
cada fraçào.
20 - 5 = 4, 20 -r 4 = 5, 20 * 10 = 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 3
c) Multiplicando esses quocientes pelos respectivos numeradores,
i r 12 5 14
obtemos os numeradores das frações. e^
07 - Reduza, os conjuntos de frações abaixo, ao mesmo denominador.
3 3 3 1 , . 2 1 1 3 7 1 2 1
a)— b)— c)—
5 7 2 5 5 7 2 8 11 3 5 9
2 1 1 2 2 1 3 3 7 1 2 2
^ 7 ’ 8 ’ 3 ’ 4 t >6 , 4 , 2 8 ’ 3 ’ 5 ’ 1
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
a) Frações com o mesmo denominador
Exemplo:
4 2 5 3
—
- é maior do que — - é maior do que ~
5 5 7 /
08 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
2 1_ 9 7 1 0 4_ 8
3 3 3 3 3 3 3
09 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor:
4 3 5 9 2 1 8
s V s V s V s
b) Frações com o mesmo numerador
Exemplos:
■2 , . , 2 1 1
—é maior do que — —é maior do que —
5 7 2 4
54 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR
10 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
1 1 1 1
7 ’ 8 ’ 9 ’ 4
11 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
3 3 _3_
i V l l
12 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor.
I I 1 i
5 ’ 7 ’ 8 ’ 9
13 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor.
i i I
2 ’ 4 ’ 3
c) Frações com numeradores e denominadores diferentes
■''Dçyerôosjréduzii:;^ détionun<
>
d
<>
r. rei^ürido sxo;
Exemplo:
2 1 8 3 2 , 1
—
, —=>— , — => —e maior do que —
3 4 1 2 1 2 3 4
14 - Colocar em ordem decrescente:
4 3 2 1 9
15 - Pôr em ordem decrescente:
i 1 1 1 1 1
8 ’ 8 58 ’ 8 *8
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 5
16 - Pôr em ordem crescente:
2 2 2 2 2
5 ’ 7 J 4 ’ 3 ’ 9
17 - Pôr em ordem crescente:
i i 1 1 _ !
4 >3 ’ 8 ’ 7 >10
18 - Escrever em ordem crescente:
5 ’ 5* 3 ’ 7 ’ 2
19 - Escrever em ordem crescente:
1 1 1 1 1
3 V 4 ’ 7 ’ 2
NÚMERO MISTO
2 +
1
3 +1
4
<
)lhe ConiumeiUe o nmrie.tpíiítíÃtpeltpjrésínínaq s'eüi;b,'?íirJ.dcràt%ão;Bn
'^ .^ C V # ' - Y f
V/.-:' ..■:-2-tTí;='-2-:-:-&
o t . . - - - v a . . v ■ . - "
■■
TRANSFORMAÇÃO DE UM NÚMERO MISTO EM
FRAÇÃO IMPRÓPRIA
Hicarsé o-ii/^ero/iíifeii'». pelp:
se o nun
aõrés.ultátip sõ
fraoío dada - '
56 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Exemplos:
0 1 = 2x3 +1 _ 7 1 _ 4x 2 +l _ 9
“ 3 3 3 2 2 ~2
20 - Transformar em frações impróprias, os números mistos abaixo
relacionados.
- 1 1 1
a) 3 - d) 1- g) l i
b) 2 j e) 4-1 h) 2 j
4 5 5
C) 3 - f) 2 - 9 5 -
3 5 2
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
ADIÇÃO
a) Frações com o mesmo denominador
■ ..!v r• ■
v-;r! àenamin^dot/cònilim::r':'r:yrí v ; 
:A■
■ ?■ vV
ü i 5 3 7 15
Exem plos:---- h— H
---- —
—
17 17 17 17
Efetue as seguintes adições:
^ 4 1 2
22 - !----!—
5 5 5
™ 2 3 1
23 - — l-----1
—
7 7 7
5 3 2
24 ------ +- +—
6 6 6
3 1 3 2 _ 1 3 7 8
25 ---- !----- i------i---- 26 - —l----------1
---- h—
11 11 11 11 9 9 9 9
™ 2 3 5 1
27 - -----1
------1
------1
----
15 15 15 15
2 4 7 11
28- — +— +— +—
12 12 12 12
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 57
...
d) Frações com denominadores diferentes
2 3 8 9
Exemplos: — 1
— =— -í---- =—
r 3 4 12 12 12
1 3 5 9
—
4— —
--- —
3 5 15 15
Efetue as adições abaixo:
1 3 1
2 9 - 1 + Í - + -
2 4 3
. , 2 1 5
3 1 “ — i— ~
3 4 6
1 3 7
3U- — -----------
5 7 35
3 2
3 2 1
— +__+_
10 5 6
SUBTRAÇÃO:
a) Frações com o mesmo denominador
';:;-;:;íÍ:S,úbLrai'‘Se os numeiradoíesvêjíão ^'esiiitádo, dá^stí-lh^.-eí-'
ü „ A - i L í - 1 - 1
15 15 _ 15 8 8 ~ 8
E etue as seguintes subtrações:
- 0 3 1 3 2
3 3 - - - - 3 4 - — - 3 5 -
S 8 4 4 7 7
8 3
/C
5 8 2
3 6 - J L _ . Í _ 3 7 - - - 3 8 - -----------
1 5 1 5 7 1 7 1 3 1 3
, « 7 2 9 3 3 2
3 9 ---------------------
4 0 -------------- 4 1 -
9 9 1 4 1 4 5 5
58 HILDER GÓES * UBÀÍJDO TONAR
b) Frações com denominadores diferentes
llcd ;se.‘ja$Vfí'açoes-ao;íiíésm^
8Ei.S6^i^BS#Si85iiliS
4 3 _ 16 15 _ 1
5 4 ~ 20 20 ~ 20
Efetue as subtrações abaixo:
4 2 - Í - í
5 3
3 2
45 - ~ ~ -
43-
46- - -
_9_
21
44-
47
24
A
12
MULTIPLICAÇÃO:
a) Multiplicação de uma fração por um número
". ' ‘ "" ' ’ ' ^pum
iofíiiíiiiíèíifdái
£rrfèí>rn
2 -v - 6
—x 3 =—
7 7
' 3 15
5x —=—
4 4
b) Produto de duas ou mais frações
1 1 - 12.
3 ' 4 ~
~12
i 1 1 - l í
3 5 2 ~
~30
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
2 2 ^ 3 0
4 8 - - x 2 49- - x 5 50- - x 2
5 7 7
51- 7 x - 5 2 - 1 2 x i 53- 7 x -
9 8 3
54~— x 8 55 - 9 x — 56- 21 x 1
15 5 4
„ 2 8 c o 2 2 c a 7 2
57----x — 58-----X” 59- —x —
4 16 3 9 5 8
^ 8 3 1 2 3 1 1 3 2
60----x —
-x— 61- —x —x — 62- —x —x~~
4 7 2 5 2 4 2 2 3
Efetuar as seguintes multiplicações:
OBSERVAÇÕES:
i) O inverso de um número
Exemplos: ^
O inverso de 3 é — O invetso de 13 é —
3 13
ii) O inverso de uma fração.
1
Exemplos: 3 4 2 7
O inverso de — é — O inverso de — é —
4 3 7 ' 2'
DIVISÃO:
a) Divisão de uma fração por um número
r.;
60 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
T
? 1 3 . .3 T 3 2 2 1 2
Exemplos: —-h5 =—x —=— . —-i-3 = - x —= —
4 . 4 5 ' 20 55315
Efetuar as divisões abaixo:
63-
3
——
3
5
64-
8
65- —+5
9
66 -
12
67-
14
68- 1 , 2
9
69- 1 , 6
8
70- 3 ,
— -s-5
14
71- - - 5
7
b) Divisão de um número por -uma fração
í : íu1tijpiicíí
-o ! * 3 „ 4 8 2 5 15
Exemplos: 2 —= 2 x —= — 3 - —= 3 x —= —
4 v 3 3 5 2 2
Efetuar as divisões abaixo:
72- 2 -r-i 7 3 - 3 - 1 7 4 - 3 * -
5 7 5
75- 8-5-- 7 6 - 4 - ™ 7 7 - 8 - -
3 3 9
2 4 7
78- 1 6 4 - - 7 9 _ 9 ^ _ 8 0 - 7 - —
3 7 15
c) Divisão de uma fração por outra fração
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6 l
Exemplos: — —
4 7
1 ' 1 - Z L
4 5 ” 20
2 . ^ 1 - ! 3 _ 6
5 ’ 3 ~ 5 4 _ 20
Efetuar as divisões abaixo:
81-
3 _ 2
5 ‘ 5
82-
2 , 3
4 * 7
83-
8 . 3
12 ’ 6
O
O
4*-
(
1 . 3
5 ’ 5
85-
7 , 2
8 ’ 5
86-
1 . 2
6 ‘ 7
i
O
O
2 t 3
5 ’ 8
88-
3 , 5
7 ‘ 8
89-
3 . 1
9 ‘ 7
OBSERVAÇAO:
t, , 2 1 2 3 4 9 13
Exemplos: — h1———H
----- = — 1
— = —
3 2 3 2 6 6 6
EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS
É a reunião de números fracionários, unidos entre si, pelas opera­
ções de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Na solução de uma expressão fracionária, devemos efetuar as ope­
rações na seguinte ordem de prioridade
a) Divisão
b) Multiplicação
c) Adição e subtração, simultaneamente
;
::Vejá: .Qíttndó,'iiumfèxp.íréssíiç--fracLphávííj^gúra£,."ós) nais dè;i;eüxiÍ2ó,'
■
' '•Y;tãísi£çii»p:;C^^ cS^íeí&dó/Yv;'
62 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Exemplo: Calculea expressão: —h i + l - í
3 15 5j 3
Solução :*
{—+
_ 2 | M ,5 +6
3j 1 2 " í 15
2 + 1 5 3 J ” 3 0 * 3 0 3 0 ~ 3 0
MÁXIMO DIVISOR COMUM DE FRAÇÕES
O m.d.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o
m.d.c dos numeradores das frações dadas e para denominador o m.m.c.
dos denominadores das mesmas frações.
Exemplo: Calcular o maior divisor comum das frações:
6 3 12
7 * 5 C 15
m.&c. (6, 3, 12) = 3
m.m.c. (7, 5,15) = 105
Então, o M.D.C. será -1—
105
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE FRAÇÕES
O m.m.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o
m.m.c. dos numeradores das frações dadas e para denominador, o m.d.c.
dos denominadores das mesmas frações.
Exemplo: Calcular o menor múltiplo comum das frações:
7 5 15
6 * 3 6 1 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6 3
m.m.c. (7, 5, 15) = 105
m.d.c. (6, 3,12) = 3
. 105
Logo, o m.m.c. seta -----
1 1
FRAÇÃO EQUIDISTANTE DE DUAS OUTRAS
Para se calcular uma fração equidistante de duas outras frações, re­
duzimos as frações ao mesmo-denominador, sorriamos as frações resul­
tantes e dividimos por dois.
Exemplo: Calcule afração equidistante das fracoes — e
S 1 . 1 1 3 5 ' 5 3
Solução: —e —=
i> — , —
5 3 15 15 -
A J L - A
15 15 “ 15
^ 2 - A ~ ±
15 ' ~ 30 ~ 15
Olhe: —
4_ 1
15 5
4 - 3
15 15
l _ 4 _
3 15
5 - 4
15
_5_
15
Calcule as expressões abaixo relacionadas:
7 1 2 1
3— - + -
90 - -JL 91 _ _3. 92. 5— 3
o 1 3 1
3 - 2 - -------
4 6 4 7
64 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
NÚMEROS DECIMAIS
DEFINIÇÃO
ínero aeciii^^^ partes;
Parte Inteira: É a que fica à esquerda da vírgula
Parte Decimal: E a que fica à direita da vírgula
Exemplo: No número 34,285 temos: 34 é a parte inteira e 285 é a
parte decimal.
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS DECIMAIS
Primeira: Um número decimal não se altera quando se acrescen­
tam ou se suprimem um ou mais zero à direita de sua parte decimal
Exemplos: 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000 ...
0,5000 “ 0,500 = 0,50 = 0,5
Segunda: Para se multiplicar um número dedmal por 10,100,1000,...,
basta deslocar a vírgula para a direita; uma, duas, três,..., casas decimais.„
Exemplos: Efetuar as seguintes operações:
a) 3,42 x 10 b) 0,165 x 100 c) 1,5 x 1000
Solução:
a) 3,42 x 10 —34,2 b) 0,165 x 100 = 16,5 c) 1,5 x 1000 = 1500
6 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Terceira: Para se dividir um número decimal por 10,100,1000,...,
basta deslocar a vírgula para a esquerda; uma, duas, três,casas decimais.
Exemplo: Efetuar as seguintes divisões:
a) 35,4 - 5
- 10
b) 228,72 + 100
c) 23,4 - 1000
Solução:
a) 35,4 +
. 10 = 3,54
b) 228,72 - 100 = 2,2872
c) 23,4 + 1000 = 0,0234
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
a) As partes inteiras são diferentes:
"'; ■
.¥
>
.‘maior
Exemplos:
3,2 é maior do que 1,879 2,1 é maior do que 1,32274
b) As partes inteiras são iguais
á f ' :ys '.!'30■-■V'*% r ^v-':-'0
. ^ í :'
'r.‘;,:;'Iguála;mo§;-ó/nú^ ^eros.-■
. r
v;-.Q tn^òt tiiunié^s'é'i^'ir<âüd^ Gtídmal.-1
Exemplo:
Sejam os números 2,42 e 2,523
Igualando as casas decimais, resulta: 2,420 e 2,523. Como 523 é
maior do que 420, então: 2,523 é maior do que 2,42.
Exemplo:
Sejam os números 2,6 e 2,542
Igualando as casas decimais, resulta: 2,600 e 2,542. Como 600 é
maior do que 542, então 2,6 é maior do que 2,542.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 67
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
ADIÇÃO: ^yírgijíà^dçíiaí^;cle:yí
Exemplos 1,25 + 3,2 + 0,412 0,27 + 21,412 + 322,4
1, 25
3, 2
0, 412
4, 862
0, 27
21, 412
322, 4
344, 082
Efetuar as adições abaixo:
01 - 43,21 + 3,423 + 0,59
02 - 39,04 + 431,2 + 9,007
03 - 4,932 + 27,3005 +74,007
04 - 9,007 + 0,53 + 0,92 + 40,009
05 - 7,95 + 1,8 + 9,82 + 8,2
06 - 9,4 + 0,28 + 0,074 + 9,0
07 - 2,8 + 13,24 + 29,35
08 - 9,78 + 3,09 + 5,36 + 0,0019
Respostas: 01 - 47,223 05 - 27,77
02 - 479,247 06 - 18,754
03 - 106,2395 07 - 44,69
04 - 50,466 08 - 18,2319
SUBTRAÇÃO; iC oiòáí^sç^g^
Exemplos: 2,6 — 1,234
2,600
_ 1,234
1,366
32,4 - 13,27
32,40
13,27
19,13
6 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Efetue as subtrações abaixo:
09 - 43,2 - 21,234
10 - 19,378 - 8,6
11 - 0,533 - 0,2
12 - 37,25 - 9,8762
13 - 3,84 - 1,95438
14 . 3 _ 1/7495
15 - 2,784 - 1,9
16 - 8,005 - 7,08956
Respostas: 09 - 21,966
10 - 10,778
11 - 0,333
12 - 27,3738
13 - 1,88562
14 - 1,2505
15 - 0,884
16 - 0,91544
MULTIPLICAÇÃO:
Exemplos: 4,08 x 0,18
4,08
x 0,18
3264
408
0,7344
3,84 x 2,5
3,84
x 2,5
1920
768
9,600
Efetue as multiplicações abaixo:
17-4,6 x 2,8
18-2,4 x 0,6
19 - 31,2 x 4,2
20-4,74 x 0,39
21-47,845 x 1,035
22 - 0,844 x 3,5
23 - 12,8 x 3,2
24- 10,52 x 0,015
Respostas: 17 - 12,88 21-49,519575
18 - 1,44 22 - 2,954
19-131,04 23-40,96
20-1,8486 24-0,1578
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 69
Exemplos:
'5,580 4- 2,5 0,16 h
- 0,0025
5,580 2,500. 0,1600 0,0025
5800 2,232100 64
800 000
5000
000
Efetue as divisões abaixo:
25 - 37,78 -r 1,6 29 - 8,4 + 280
26 - 48,7 4- 0,8 30-0,16 +0,0025
27-0,84816 + 0,72 31-7,56 -s-3,6
28-0,648 - 0,036 32-0,84 +1,4
Respostas: 25-23,6125 29-0,03
26 - 60,875 30 - 64
27-1,178 31-2,1
28-18 32-0,6
CONVERSÃO DE FRAÇÃO ORDINÁRIA EM DECIMAL
Para obtermos o número decimal equivalente à fração dada, dividi­
mos o numerador pelo denominador.
Vejamos, agora, algumas divisões separadas por casos:
1* CASO: ~ = 3,5 “ = 2,5 - =. 1,75
2 2 4
í$.à£es'íjjtados;':ebÜ^
7 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
2Q CASO:
- = 1,66...—=0,33.
3 3 .
5 16
— =0,4545... — =1,77...
11 9
2 • 11
-—= 0,1333... — = 1,833...
15 - 6
=1,166...
Observe que a parte decimal do quociente é formada por algaris­
mos que se repetem indefinidamente.
. Os resultados obtidos são chamados de Números Decimais Pe­
riódicos ou Dízimas Periódicas.
*erí(ido:' e-á'parté; ^úa,í.e’;repeí-.e;iadéfíhidaiiiontc nunrhi
:Olhe: À pe^òdÍGid.adé cjéum número^^im^LijD^de
0,333 ... = 0,(3) = 0,3 = 0,3
0,41666 ... = 0,41(6) = 0,416 = 0,416
Converter as frações ordinárias abaixo, em números decimais:
1 3
33 - — 34- —
2 5
35- 36 - — 37 - — 38 - —
11 12 18
Respostas:
33- 0,5
37 - 0,41666...
34 - 0,06 35 - 0,625
38 - 3,88 ....
36 - 0,3636.
DIZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES E COMPOSTA
Observe as seguintes divisões:
5 1 5 16
—=1,66... —=0,33... --=0,4545... — =77...
3 3 11 9
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NtJMEROS DECIMAIS 71
Veja que os quocientes obtidos não são números decimais exatos.
Isto porque os números 6, 3, 45 e 7 se repetem indefinidamente.
Números como 1,6 6 — ; 0,33... ; 0,4545... e 1,77... são chamados
de Dízimas Periódicas Simples.
Veja as seguintes divisões:
— -0,133... — =0,4166... “ = 1,833...
15 12 6
Observa-se, também, ,que nào são números decimais exatos. Nú­
meros como 0,133...; 0,4166... e 1,833... são chamados de Dízimas
Periódicas Compostas.
Dízima Periódica Simples: 1,666...:
Dízima Periódica Composta: 1,933...
parte inteira: 1
período: 6
parte inteira: 1
parte nào periódica: 9
período: 3
Você deve ter observado que, tanto as dízimas periódicas simples
como as compostas, se originaram da divisão do numerador pelo denomi­
nador de certas frações.
Essas frações que deram origem, que geraram as dízimas, sao cha­
madas de GERATRIZ da dízima periódica. Então, Geratriz da Dízima
Periódica é a fraçao que deu origem à dízima.
Vejamos, agora, as regras para calcularmos a geratriz das dízimas,
isto é, as frações que deram origem às dízimas.
72 HILDER GÓES * UBÀLDO TONAR
a) Cálculo da Geratriz de um a Dízima Periódica Simples
É a fração que tem como numerador o período e como denomina­
dor um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do
período.
Exemplo: Calcular a geratriz das dízimas: 0,33...; 0,4545... e 1,666...
Solução: 0,333... = —=— 0,4545... =— =—
9 3 99 11
6 15 5
1,666...= 1+0,666... =1+- =— =-
9 9 3
b) Cálculo da Geratriz de uma Dízima Periódica Composta
E uma fração que tem como numerador a parte não periódica se­
guida de um dos períodos, menos a parte nào periódica; e, para denomina­
dor, um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos
do período, seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte
não periódica.
Exemplo: Calcularas geratrízes das dízimas: 0,133...;0,41666... e 1,833...
13~1 12 2
Solução: 0,1333.--—— =— =—
* 90 90 15
0>
4 i 6 6 6 . . . i í ^ =^ = Í -
900 900 12
* „ 83—
8 „ 75 165 11
1,833...—1+0,833...-1 "
i---------—H----- —
— -- —
90 90 90 6
Calcular as geratrízes das seguintes dízimas periódicas simples.
39-0,4242... 43-0,611611...
40 - 0,7272... 44 - 0,135135...
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 7 3
41 - 0,711711 45 - 0,234234...
42 - 0,036036... 46 - 8,513513..,
Respostas:
39 - 14/33
43 - 611/999
40 - 8/11 41- 79/111 42- 4/111
44 - 5/37 45 - 26/111 46 - 945/111
Calcular as geratrizes das seguintes dízimas periódicas compostas.
47 - 0,34848...
48 - 0,45888...
49 - 0,344...
50 - 0,566...
Respostas:
47 - 23/66
51 - 0,2355...
52 - 0,488...
53 - 0,38222...
54 - 2,210303...
48 - 413/900 49 - 31/90 50 - 17/300
51 - 53/225 52 - 22/45 53 - 86/225 54 - 3647/1650
Calcular as seguintes expressões:
1 5 2
55 - l— 0,666...-^ -~+—
7 6 7
57- 0 ^ | - 0 3 3 3 „ jx | - I
56 - 0,1313...-5-—x —
7 9
58 - l,333...x —-~
-—+0,111.
4 3
Respostas: 55 - 22/35 56 - 91/891 57 - 5/16 58 - 3 1/4
a
59 - Se -g- = 0,37272..., sendo a e b primos entre si, calcule b—a.
R: 69
74 H
II-BERGÓES❖UBAIDOTO
N
AR
60 - Se 0,4333... é escrito como fração irredutível, calcule a soma do
numerador com o denominador desta fração.
R :43 3 1
2 — + 1 —
p . , 4 2
61 - Seja a forma irredutível do número ---------------------+ 1,2336...
* A 1 1 1
4 ------------ 1
Calcule a valor de p —q.
R: 98
4 2
CARACTERES DE CONVERTIBILIDADE
Primeiro: Uma fração ordinária irredutível, que não contém no
denominador outros fatores diferentes de 2 e de 5, converte-se em um
número decimal exato. O número de algarismos decimais é dado pelo
maior expoente que tiver um dos fatores 2 e 5.
5 5
Exemplo: — = —
r como o denominador não contém outro fator
r 16 24
diferente de 2, a fração se converte num número decimal exato e terá 4
algarismos decimais, pois o expoente do fator 2 é 4.
Veja: A = 0,3125
16
7 7
Exemplo: —....— - y - converte-se em um número deamal exato,
pois não contém outros fatores além do 2 e do 5; e terá 3 casas decimais já
que o 3 é o maior expoente dentre os fatores 2 e 5.
Veja: ^ = 0,028
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS DECIMAIS 75
Segundo: Uma fração irredutível, cujo denominador nào contém
o fator 2 nem o fator 5, converte-se em uma Dízima Periódica Simples.
Exemplo: C onverter as frações 2/3, 5/3 e 5/11 em números
decimais
Solução: como os denominadores das frações nào contém os fato­
res 2 e 5, concluímos que o resultado será uma Dízima Periódica Simples:
Terceiro: Uma fração irredutível, cujo denominador contiver os
fatores 2 ou 5 juntamente com fatores primos diferentes, converte-se em
uma Dízima Periódica Composta. O número de algarismo da partè nào
periódica é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 ou 5.
Exemplo: Converter a fração 7/12 em um número decimal
Solução: Converte-se em uma Dízima Periódica Composta pois,
7 7
— _ ------- além do fator 2 aparece o fator 3; e a parte nào periódica terá
12 2" x 3
dois algarismos que é o expoente 2 do fator 2.
Em que espécie de número decimal se convertem as frações.
R: 62 - Decimal exata
63 - Dízima periódica composta
64 - Dízima periódica simples
65 - Dízima periódica simples
66 - Dízima periódica composta
2
—= 1,666...
3
5
— =0,4545...
11
Veja: 7/12 = 0,58333...
76 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Relembre:
0,3333... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 _
0,2454545 ... = 0,2(45) = 0,245 = 0,245
67 - Calcular, exatamente, a operação: 2,555... + 0,6363...
19
'R:.3-99
68 ~3,(18) + 1,(45) +0,27 + 5,(09)
R: 10
69- (0,5 + 0,333... x 0,25) * (0,833... ~0,25)
R; 1
70-(0,75 + 0,833...) + (0,166... + 0,625)
R; 2
0,35 + 0,0(6)
71- ™
------------~
~
0,(3) + 0,2 — —
R: 1
72 - Com base nos denominadores, dizer a espécie de números decimais
que geram as frações: 5/8 e 4/13
R: Decimal' exato; dízima periódica simples
73 ~Determine, com base nos denominadores, que espécie de números
19 7
decimais geram as frações: e
R: Dízima periódica simples; decimal exato
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 77
74 - Convertendo-se as frações 5/16 e 7/250 em números decimais, ob­
tém-se números decimais exatos. Com base nos denominadores, quantos
algarismos decimais tem cada número.
R: 4 e 3
75 - Convertendo-se as frações 17/54 e 19/48 em números decimais,
obtém-se dízimas periódicas compostas. Calcule, com base nos denomi­
nadores, quantos algarismos tem cada parte não periódica.
R: 1 e 4.
78 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
NÚMEROS COMPLEXOS
Num sistema de medir, quando a unidade fundamental e as suas
unidades secundárias, isto é, múltiplos e submúltiplos, não estiverem em
relação decimal, o sistema é denominado não-decímal ou complexo.
Chamamos, então, de número complexo, ao número que repre­
senta a medida de uma grandeza aferida num Sistema Complexo, ou
Sistema não Decimal. Em nosso estudo, veremos as medidas de tem­
po, ângulo e velocidade.
UNIDADE DE TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o SEGUNDO, representado
por seg. que é o intervalo de tempo igual à fração ~ ~ do dia solar
86400
médio, definido de acordo com as convenções da Astronomia.
Os seus múldplos mais-usuais, são:
• minuto (min.) = 60seg.
• hora (h) = 60min. —3.600seg.
• dia (d) = 24h = 1.440min. = 86.400seg.
UNIDADE DE ÂNGULO
A unidade fundamental de ângulo é o GRAU, representado por (°)
que é o ângulo equivalente a — do ângulo reto que mede 90°.
Os seus múltiplos mais usuais, são:
• o minuto, representado por (’)
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 79
• o segundo, representado por (”).
Veja:
a) Um grau é equivalente a 60 minutos (Io= 605
)
b) Um minuto é equivalente a 60 segundos (1’ ~ 60”)
c) Um grau é equivalente a 3.600 segundos (1° = 3.600”)
OBSERVAÇÕES:
a) Não se pode representar as unidades de tempo usando a vírgula
da representação decimal.
Desse modo, nunca se deve, para representar 8h e lOmin., escrever
8,1Ohpois na realidade estaríamos representando 8 horas e 6minutos (um
décimo de hora). Deve-se, pois, escrever: 8hl0min.
b) Não se pode confundir o minuto e o segundo das unidades de tem­
po com o minuto de ângulo ou segundo-de ângulo e muito menos usá-las
simultaneamente na representação do mesmo número complexo.
Assim, 8hl5min23seg não pode ser representado por 8hl57
23”.
UNIDADE DE VELOCIDADE
A unidade fundamental da velocidade é o metro por segundo, re­
presentado por m/seg.
Se na unidade m/seg substituirmos o medro por qualquer unidade
de comprimento e o segundo por qualquer unidade de tempo, obteremos
outras unidades de velocidade, tais como: km/h, m/min, etc.
MUDANÇAS DE UNIDADES COM
NÚMEROS COMPLEXOS
Temos dois tipos de mudanças a considerar:
Primeiro: Transformarum número complexo emunidades inferiores.
8 0 HILDER GÓES * UBAIJDO TONAR
01 - Exprimir 5h lOmin 20seg, em segundos:
Solução:
Valendo 1 hora 60 minutos, temos que: 5h x 60 = 300min.
Somando os 300min com os lOmin dados,
resulta: 300min + lOmin = 310min.
Como lmin vale 60 segundos, vem: 310min x 60 ~ 18.600seg.
Adicionando-se os 20seg dados, temos:
18,600seg -r 20seg = 18.620seg.
Logo, 5h lOmin 20seg = 18.620seg.
02 - Exprimir, em segundos, o intervalo de tempo de 5h 20min 32seg.
R: 19.232seg
03 - Converter: 2d 12h 15min, em minutos.
R: 3.615min
04 ~Converter 36R
127
30” em segundos.
R: 130.350”
Segundo: Transformar um número expresso em unidades inferi­
ores em um número complexo.
05 - Exprimir 15.674 segundos a uma unidade complexa.
Solução:
Como cada 60 segundos eqüivalem a 1 min, temos
15674 1 60
367 261min
74
14seg
Òu seja: 15.674seg = 261min + 14seg.
Dividindo-se os 261 min. por 60, encontraremos o número de horas.
261 |60 Portanto: 26lmin = 4h 4- 21min.
21 4h Logo: 15.674seg = 4h21minl4seg.
^—min
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 81
06 - Reduzir a segundos 89"36'7”.
R: 322.567”
07 - Reduzir a segundos 7d 7h 7seg.
R: 630.007 seg.
08 - Converter 35°5’18”.
R: 126.318”
09 - Converter 72t,48’52” em segundos.
R: 262.132”
10 - Calcule quantos minutos tem o dia.
R: 1.440min
11 - Calcule quantos minutos tem os 3/4 do dia.
R: 1.080min
12 - Exprimir a velocidade de 180km/h em m/seg.
Solução:
Devemos, tão somente, transformar km em metro e hora em segunda
Então, temos: 2 i0kro = 1?L0-00m =50m/Seg
h 3.600seg
13 - Exprimir em cm/seg a velocidade de 5,2m/seg.
R: 520cm/seg
14 - Exprimir em m/seg a velocidade de 372cm/seg.
R: 3,72m/seg
15 - Exprimir em km/h a velocidade de 2m/seg.
R: 7,2km/h
Veja:
a) Para transformar km/h em m/seg, basta dividir a velocidade
dada por 3,6.
b) Para transformar m/seg em km/h, basta multiplicar a velocidade
dada por 3,6.
82 HILDER GÓES * ÜBAJLDO TONAR
16 - Um automóvel desenvolve uma velocidade média de 90km/h. Ex­
primir essa velocidade em metros por segundo.
R: 25m/seg
17 - Um ciclista fez uma excursão desenvolvendo uma velocidade média
de 20m/seg. Exprimir essa velocidade em quilômetros por hora.
R: 72km/h
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
ADIÇÃO: ^Soníàtii^se;;sèj^a$a^
^ddn:.áparíir
18 - Calcule (27“10’20”) + (10“2’15”).
Soíuçao:
27" 10’ 20”
+10° T 15”
37° 12’ 35”
19 - Calcule (52°35’42”) + (19“50’28”).
Soiução:
52“35’ 42”
+ 19° 50’ 28”
71" 85’ 70”
Veja que 70” =' V + 10”. Esse V soma~se com os 85’, no que
resulta 86’ = Io+ 26’. Esse 1" soma-se aos 71°, no que resulta 72". Então,
temos: 72°26’10”.
MATEMÁTICA PA.RA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 8 3
20 - Efetue a subtração (76°38’45”) - (25''18’40’0-
Solução:
76u38’ 45”
- 25° 18’ 40”
51° 20’ 5”
21 - Efetue a subtração (14h 30min 20seg) —(8h 40min 50seg).
Solução:
. 14h 30min 20seg
- 8h 40min 50seg
- Na subtração dos segundos, veja que o minuendo 20seg é menor
que o subtraendo 50seg
Toma-se, então, emprestado dos 30min —29min + 60seg os óOseg
para se adicionar aos 20seg, no que resulta 80seg. Agora podemos operar;
- 80seg —50seg = 30seg.
Agora temos 14h 29min, veja que foi tirado um minuto dos 30.
Desses 29min você também não pode subtrair os 40min. Então, toma-se
emprestado Ih = 60min das 14 horas e se adiciona aos 29min, resultando
60min + 29min = 89min - 40min = 49min. Como das 14h eu tirei lh,
sobraram 13h, Então: 13h - 8h = 5h.
Logo: (14h 30min 20seg) —(8h 40min 50seg) = 5h 49min ,30seg.
22 - Efetue a subtração: (18h 25min 53seg) - (12h 30min 41seg).
R: 5h 55min 12seg
23 - Calcule a diferença entre 3ó°40?e 12°455
,
R: 23055’
24 - Calcule (90°) - (70°10’29”).
R: 19°49’31”
84 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
MULTIPLICAÇÃO
25 - Calcule o quádruplo de 7"10’13”.
Solução:
T 10’ 13”
____ x 4
28“40552”
26 - Calcule o triplo da medida do ângulo dc 10<
>
25’30”.
Solução:
10" 25’ 30”
x 3 .
30" 75590”
Os 90” eqüivalem a 1’ + 30” Somando-se 1’ aos 75 temos:
30“76I30”
Os 76’ eqüivalem a 1“ + 16’. Somando-se l uaos 30", teremos:
31°16*30”.
27 - Calcule o quádruplo da medida do ângulo de 7°30’17”.
R: 30‘T18”
28 - Calcule os produtos indicados:
a) 2 x (7°10’40”) c) 3 x (20**10’32”)
b) 4 x (10(1
17’1'2”) d) 3 x (16“18’25^
R: a) 14£
’21’20”; b) 41t,8,48”; c) 60“31’36”; d) 48"55’15”
29 - Calcule o produto: 5 x (3h 53min 8seg).
R: 19h 25min 40seg
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 85
DIVISÃO: '13rvJ<3e-se -cída*unidade do^touiplcxo^j^elo‘QÔa
mtum v cLiIuã-m. as rvucoijs sunpu cs ic j.otuc
aecxásam&T -•
30 - Determinar o valor da quinta parte do ângulo 23”18’45”.
Solução:
23° [_5__
30 40
Sobraram 3o. Então, 3ox 60 = 180’ + 18’ = 198’
1985 l_5___
48 38’
3’
Sobraram 3’. Então, 3’x 60 = 180” + 45” = 225”
225”[__5_
_
25 45”
0
Logo, como resultado temos: 4°38’45”.
31 - Calcule os quocientes:
a) (24°18’20”) * 2 b) (25°6’30”) - 3
R: a) 12t>
9,10” b) 8°22510”
32 - Um homem tem 36 anos, 9 meses e 21 dias e seufilho tem um terço
de sua idade. Calcule a diferença entre as idades do pai e do filho.
R: 24 anos, 16 meses e 14 dias
33 - Um automóvel fez 3/4 de uma viagem em 3h 48min. Viajando com
a mesma velocidade, calcule em quanto tempo fará o resto da viagem.
R: lh lómin
.34 - As 9 horas da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 minutos em
cada 24 horas. Calcule que horas são, na verdade, quando o relógio marcar
5 horas da tarde.
R: 4h 58min
8 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
35 - Uma pessoa saiu de casa, para fazer compras, às 14h 30min 20seg, e
voltou às 17h 20min lOseg. Calcule o tempo que ela passou fora de casa. •
R: 2h 49min SOseg
36 - Um carro parte de uma cidade A às 21 horas e 45 minutos e chega a
uma cidade B às 23 horas e 36 minutos/ parando uma só vez durante 6
minutos. A distância entre as cidades À e B é de 105km. Calcule, em km/h,
a velocidade média desenvolvida pelo carro.
R: 60km/h
37 - Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.
R: 7 meses e 15 dias
38 - Numa viagem de trem, um viajante consulta o relógio no momento
exato em que o trem passa no marco quilométrico 237. Eram 8 horas e 17
minutos. As 8 horas e 25 minutos, o trem passa no marco 249. Calcule a
velocidade do trem em km/h.
R: 90km/h
39 - Um relógio atrasa-se 22min 30seg em 5 dias e 5/8 do dia. Calcule
quantos minutos ele se atrasa por dia.
Solução:
Transformando todas as unidades para segundo, temos:
. 22min = 22 x 60 - 1.320seg + 30seg ” 1.350seg.
5d ~ 5 x 24 = 120h, que deverá ser somado com 5/8 do dia., isto é,
5/8 x 24h = 15h.
Então: 120h + 15h = 135h
Logo, 135h x 60 = 8.100min x 60 = 486.000seg.
Armando-se uma regra de três, resulta:
Se em 486.000seg atrasa 1.350 seg
em ld = 86.400seg atrasará x =
>
86.400x1.350
x = ----------------- = 240seg
486.000
240seg -f- 60 = 4 minutos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 87
40 - Certo automobilista percorreu determinada distância em três etapas
de 2h 20min 32seg; lh 47mÍp50seg e 3h 38min 46,9seg, respecdvamente.
Fez duas paradas de 25min 34,1seg e de 31min 29seg entre essas etapas.
Calcule quanto tempo gastou para percorrer essa distância.
R: 8h 44min 12seg
41- Sabe-se que um relógio adianta-se por dia Imin lOseg. Corrigido numa
certa hora, determine de quanto deveremos atrasar o relógio após 7 dias e
6 horas da última correção.
R: 8min e 27,5seg
42 - Um relógio adianta-se 3 minutos por dia. Se ele for acertado ao
meio-dia, calcule quantos dias transcorrerão para que ele esteja certõ no­
vamente.
R: 20 dias
43 - Por estar mal fechada a torneira de um reservatório, perdem-se 3
gotas d’água por segundo. Calcule quantos litros de água serão perdidos
entre 7h 45min e 16h 15min, sabendo que 1.500 gotas de água eqüivalem
a um litro.
R: 612 litros
8 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
7
NÚMEROS RELATIVOS
DEFINIÇÃO:
Exemplos: +3, —
2, —
6, +1/2, + 0,2.
CLASSIFICAÇAO: Os números relativos sào classificados em:
I) Positivos: Sào os números precedidos do sinal -h
Exemplos: +2, + 8, + 1,2.
II) Negativos: São os números precedidos do sinal
Exemplos: —
1, ~4, —
3/4.
Observações:
a) Os sínais + e —fazem parte integrante do número, não signifi­
cando, portanto, as operações da adição e da subtração.
b) O zero é neutro, nem é positivo nem é negativo.
VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO
Valor absoluto ou módulo de um número relativo é o número sem
o sinal.
Exemplos: O valor absoluto de +3 é 3, o valor absoluto de —
4 é 4.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS RELATIVOS 89
NÚMERO RELATIVOS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Dois números relativos são opostos ou simétricos, quando possu­
em o mesmo vaior absoluto e sinais contrários.
Exemplos: O oposto de —
3 é + 3.
O oposto de +5 é —5.
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS RELATIVOS
a) O zero é maior que qualquer número negativa
0 > ~ 3 0 > - 18
b) O zero é menor que qualquer número positivo.
0 < +1 0 < +20
c) Qualquer número positivo é maior do que qualquer número
negativo.
+1 > - 8 +2 > - 7
d) Entre dois números posiüvos, o maior é o que possui maior
valor absoluto.
+3 > +1 +7 > +2
e) Entre dois números negativos, o maior é o que possui menor
valor absoluto.
- 2 > - 8 - 1 > - 6
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS
ADIÇAO
Primeiro Caso: Os números possuem o mesmo sinal.
Calcule as adições abaixo:
01) (+2) + (+3)
02) (+5) + (+4)
05) (+2) + (+1) + (+3)
06) (-4) + (-2) + (-3)
90 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
03) (—
2) + (-5)
04) (-3) + (-1)
07) (+2) + (+3) + (+4)
08) (-2) + (-1) + (-2) + (-3)
Respostas:
01) +5 02) +9 03)-7' 04)-4
05) +6 t)6) -9 07) +9 ’ 08) - 8
Segundo Caso: Os números possuem sinais contrários.
JDá-sè^o^sin^I do ■miraeJ
L
,o cle'maíç*r vaíoíWli^oltfto^e súbtfèii-sé/'. . 1
Calcule as adições abaixo:
09) (+7) +(-2)
10) (—8) + (+6)
11) (+3) + (—
7)
12) (_4) + (+8)
Respostas:
09) +5 10) -2
13)-4 14)-5
13) (+4)+(-8)
14) (_7) + (+2)
15) (-9) + (+3)
16) (-12) + (+8)
11) ^
- 15) -6
12) +4
16) -4
SUBTRAÇÃO
Efetuar as subtrações abaixo:
17) (+7)-(-2)
18) (-2) - (-5)
19) (-4) - (+7)
20) (+3)-(+5)
Respostas:
17) +9 18) +3
21) 0 22) +3
21) (-5) - (-5)
22) (+8)- (+5)
23) (+8)- (+3)
24) (+4)- (-2)
19) -11
23) +5
20)-2
24) +6
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS RELATIVOS 9 1
MULTIPLICAÇÃO
Sinais dos fatores Sinal do produto
+ X ■
f* 4-
— X +
+ X ~ -
— X + -
Efetue as multiplicações abaixo:
2 5 ) ( + 2 ) x ( + 3 )
2 6 ) ( - 5 ) x ( + 2 )
2 7 ) ( + 1 ) x ( - 3 )
2 8 ) ( + 4 ) x ( + 2 )
Respostas:
2 5 ) + 6 2 6 ) - 1 0
2 9 ) + 8 3 0 ) - 9
2 9 ) ( - 4 ) x ( - 2 )
3 0 ) ( + 3 ) x ( - 3 )
3 1 ) ( + 2 ) x ( ~ 3 )
3 2 ) ( - 2 ) x (—3 )
2 7 ) - 3 2 8 ) + 8
3 1 ) - 6 3 2 ) + 6
DIVISÃO
fááíivo-põ^
:V vciitò'tos/d^ 'slpáis -iguais.;: ■
■
■irénre.s, rçsültaüo -négatí^a '-
Efetue as divisões abaixo:
3 3 ) ( + 9 ) - ( - 3 ) 3 7 ) ( + 6 ) - ( - 3 )
3 4 ) ( + 8 ) + ( + 4 ) 3 8 ) ( - 6 ) - ( - 2 )
3 5 ) ( - 3 ) - ( + 1 ) 3 9 ) ( + 6 ) - f ( + 3 )
3 6 ) ( - 8 ) - ( - 4 ) 4 0 ) ( - 4 ) - ( + 2 )
Respostas:
3 3 ) - 3 ; 3 4 ) + 2 ; 3 5 ) - 3 ; 3 6 ) + 2 ; 3 7 ) - 2 ; 3 8 ) + 3 ; 3 9 ) + 2 ; 4 0 ) - 2
92 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Quando duas expressões algébricas estiverem ligadas pelo sinal de
igualdade teremos, o que chamamos em matemática, uma igualdade algé­
brica. Poderemos ter, também, uma igualdade, quando tivermos uma ex­
pressão algébrica unida, pelo sinal de igualdade, a um número.
Exemplos: lOx —5 = 9x + 4 e 3x + 2x = 10
Há duas espécies de igualdades algébricas: a identidade e a equação.
IDENTIDADE
E a igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às
letras que a compõem. Assim, a igualdade (x + y)2= x2+ 2xy + y2 é uma
identida.de, porque qualquer que sejam os valores atribuídos às letras x e
y, resultará uma igualdade numérica.
Exemplo: Se a = 2 e b = 3, calcule (a + b)2= a2+ 2ab + b2
(2 + 3)2= 22 + 2.2.3 + 32
52 = 4 + 12 + 9 =>25 = 25
EQUAÇÃO
E a igualdade que só se verifica para determinados valores atribuí­
dos às letras que a compõem. Assim, a igualdade 5x —6 = 2x + 3 é
uma equação, porque ela só será verdadeira pára x = 3 porque, para x = 3,
as expressões algébricas 5x —6 e 2x + 3 possuem o mesmo valor numé­
rico que será 9, ao passo que, para qualquer outro valor atribuído à x,
seus valores numéricos serão diferentes.
Toda equação possui dois membros, que são os membros da igual­
dade que a constitui.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 93
Na equação 5x —
6 = 2x + 3 temos: 5x —
6 primeiro membro e 2x + 3
segundo membro. /
Chamamos de raiz de uma equação, ao valor encontrado para a
variável ou incógnita x, que torna a equação uma igualdade. No exemplo
dado, a raiz da equação 5x —6 —2x + 3 é 3. Resolver uma equação do
primeiro grau é determinar a sua raiz, que será o conjunto verdade ou
conjunto solução da equação.
Na solução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações mas
sempre resultando em equações equivalentes à equação inicial. Estas trans­
formações são baseadas em alguns princípios .qüe passaremos a estudá-los.
PRIMEIRO PRINCIPIO
Exemplo: Seja a equação: 5x - 8 = 3x. Somando-se 8 a ambos os
membros da equação $ada, teremos: 5x —8 + 8 = 3 x + 8.
Aplicação do Primeiro Princípio
' : -v 5 ^ ‘í'-tt?sin-áí.deèse’Eetino. 
. ■Exemplo: Seja a equação: 5x —8 = 3x. Passando-se —8 para o
segundo membro e 3x para o primeiro, resulta: 5x —3x = 8 que é uma
equação equivalente à inicial.
SEGUNDO PRINCÍPIO
íia/cqüiiÇfiQjiao sfèaíreríi c^Vaúdof;ps.AVèúk-dQÍ^m^
^■licadqs;Ò
u''d^^^
2x
Exemplo: Seja a equação — —
8 Multiplicando-se, por 4, os dois
membros da equação, resulta: 2x = 32.
94 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Primeira Aplicação do Segundo Princípio
Este princípio nos permite eliminar os denominadores de uma equa­
ção, quando multiplicamos os dois membros da equação pelo menor múl­
tiplo comum dos denominadores.
Regra Prática
a) determina-se o m.m.c. dos denominadores;
b) divide-se o m.m.c. pelo denominador de cada fração, obtendo-se,
assim,- quocientes;
c) multiplica-se esses quocientes pelos respectivos numeradores.
Observação: Um termo inteiro deverá ser considerado como uma
fração, cujo denominador seja a unidade.
3x 2x _
Exemplo: Seja a equação: —
----- -- —x —1
2 3
a) o m.m.c. de 2 e 3 é 6;
b) dividindo-se 6 por cada denominador teremos 3, 2, 6 e 6 por
quocientes;
c) multiplicando-se esses quocientes pelos respectivos numerado­
res, resulta: 9x —4x = 6x —6 que é uma equação equivalente à
equação dada.
Segunda Aplicação do Segundo Princípio
Uma equação não,se altera, quando trocamos os sinais de todos os
seus termos, porque, isso, eqüivale a multiplicar os dois membros da equa­
ção por —
1.
Exemplo: Seja a equação: 3x - 9x = -12. Multiplicando-se toda a
equação por —
1 vem: —
3x + 9x —12 que é uma equação equivalente à
equação dada.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 95
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO Ia GRAU
Baseados nos princípios estudados, devemos proceder da seguinte
maneira:
l 2) Elimina-se os denominadores* se houverem;
2-) Efetua-se as multiplicações indicadas;
3a) Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contive­
rem a incógnita, que estiverem no segundo membro;
4-) Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos.independentes
que estiverem no primeiro membro;
5a) Reduz-se os termos semelhantes;
6a) Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da incógnita.
01) Resolver a equação: 8x —5 = 3x + 10
Solução:
Passando 3x para o primeiro membro e ~5 para o segundo, vêm:
8x ~ 3x = 10 + 5
n asiã
V
i tf '
;.-yvv1
.'■ W.-.
Reduzindo os termos semelhantes, temos: 5x = 15.
Dividindo toda equação, pelo coeficiente daincógnita, resulta: x = 15/5,
donde x = 3. Logo; V = {3}.
* 6
02) Resolver a equação: 5x + 8-= 7x + 4
Solução:
Passando 7x para o primeiro membro e 8 para o segundo membro,
resulta: 5x - 7x = 4 - 8.
Reduzindo"a termos semelhantes, vem: —
2x = -4.
Multiplicando toda equação por (—
1), temos: 2x = 4.
Dividindo toda equação, pelo coeficiente da variável, resulta: x = 4/2,
donde x = 2. Logo: V = {2}.
96 HCUOER GÓES * UBALDO TONAR
Resolver as equações abaixo relacionadas:
03) 3x = 12 08) 2x —3 = 0
04) 6x —36 ~ 0 09) 3 x -2 5 = - x - 9
05) 2x + 8 = 0 10) 5x —5 = 2x + 4
06) 3x —6 = 3 11) 2x + 5 = 4x + 3
07) 7x - 28 = 0 12) 2x +.3 = 3 x - 4
Respostas:
. 03) V = {4} 04) V = {6} 05) V = {- 4}
06) V = {3}
o
<i
II
o
O
O
<
5
ll
II
>
a?
o
10) V = {3} U)V={1}
12) V = {7}
13) Resolver a equação: 4(x —1) =
■2(x + 4).
Solução:
Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 4x - 4 = 2x + 8
Passando os termos que contém x para o primeiro membro e os
que não os contém para o segundo, temos: 4x —2x = 8 + 4
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 2x = 12.
. . ■ . 12
Dividindo toda a equação pelo coeficiente de x, temos: x =— , don­
de x =%. Então: V = {6}.
14) Resolver a equação: 3(2x —5) + 4(4 —x) = 0.
Solução: Efetuando as multiplicações indicadas, temos:
6x -1 5'+ 1 6 —4 x —0
Reduzindo os termos semelhantes, vem: 2x + 1 = 0.
Transpondo o termo independente para o segundo membro, te­
mos: 2x = —1.
. . . -1 ■ M
Dividindo toda a equação por 2, resulta: x = — .Logo: S — 1
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 97
Resolver as equações abaixo relacionadas:
/
15) 3(x ~ 4)= 0 16) 3x - 4 = 2 (x + 3)
17) 2(x - 3) - -3(x - 3) 18) 2(5 + 3x) = 5(x + 3)
19) 6(x + 1) - 5(x + 2) - 6 =0 20) 7(x - 3) = 9(x + 1) - 38
21) 5(x - 3) - 4(x + 2) = 1- 5x 22) 5(x + 1) + 6(x + 2) = 9(x + 3)
23) 4(5x - 3) - 64(3 - x) - 3(12x - 4) = 96
24) 10(x + 5) + 8(x + 4) = 5(x + 13) +121
Respostas:
15) S = {4} 16) S = (10)17) S ={3}18)S={5}
19) S = {10} 20) S = {4} 21) S = {4} 22) S = {5}
23) S = {6} 24) S = {8}
2x 2x
25) Resolver a equação: —
----- —=x —
1.
Solução:
Eliminando os denominadores, vem: 6x ~ 4x = óx —6
Passando 6x para o primeiro membro, vem: óx —4x —6x = —
6.
Reduzindo os termos semelhantes no primeiro membro, temos:
- 4x = - 6.
Multiplicando toda a equação por - 1, resulta 4x —6.
Então: S = {3/2}
x +1 x + 2
26) Resolver a equação: —
-— = 8.
Solução:
Eliminando os denominadores, temos: 2(x + 1) + 3(x + 2) = 48.
Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 2x + 2 + 3x + 6 = 48.
Passando os termos independentes para o segundo membro, vem:
2x + 3x —48 —2 —6.
Reduzindo os termos semelhantes temos: 5x = 40
Dividindo toda equação pekecoeficiente de x, resulta: x = 8.
Logo, V = { 8}.
98 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
Resolver as equações abaixo relacionadas:
x x x „ . 4x-6 3x-^ 2x~9 x -4
2 7 ) I +i - - =14 3 2 ) —
x 3x 4x 5x 10 4x +1
28) x +- +— =18 33) —
----—
+18 =—- —
2 4 . 5 4 9
3x 5x 7 3x+l 2x x —
1
29) — = ------- 3 4 )------=KH— —
-
; 4 2 2 ; 2 3 6
x x 7 +2x 3x-2 4 - x 7x-2
30) í +i =— 35> ~ — r =2^ “
7x +4 3x-5x +2x -3 *x~l
31) — ---x=— — 36) i
-
=x - 2~
2
Respostas:
27) V = {24} 28) V—{8} 29) V = {z}
30) V = {14} 31) V ={3} 32) V = {4}
33) V = {20} 34) V ={14} 35) V = {2}
■36) V = {7}
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 99
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Chamamos de sistema de equação, ao conjunto-formado por
duas ou mais equações. O nosso estudo se restringirá apenas, aos sistemas
de duas equações.
As equações que entrarão na sua formação, serão da forma: ax + by —c,
onde: x e y são as variáveis; a e b os coeficientes eco termo independente.
Como estudaremos apenas os sistemas formados por duas equa­
ções, a sua forma geral será:
Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas
variáveis, possuem uma infinidade de soluções.
Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variá­
veis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo,
as equações que constituem um sistema deverão admitir a mesma solução.
Equações desse tipo são chamadas de equações simultâneas.
Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do pri­
meiro grau, empregamos os processos de Adição, Substituição e Compa­
ração, os quais passaremos a estudá-los separadamente.
ADIÇÃO
a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das
equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja elimi­
nar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de
sinais contrários;
b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando,
assim, uma única equação com uma incógnita;
c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, ovalordeumaincógnita;
1 0 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das èqua-
ções do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita,
conseqüentemente, a solução do sistema.
ÍX4-2y =11
01) Resolver o sistema: 1 c
> [x—y =5
Solução:
Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos
a segunda equação por 2, no que resulta:
fx +-2y = l l
|2x-2y=10
Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21,
logo: x = 7.
Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11,
que resolvida dará: y = 2. Logo, V = (7, 2) que é o conjunto verdade da
equação.
02) Resolver o sistema: <
(5x - 2y = 1
Solução: Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda
Somando, membro a membro, teremos: I9x = 19, onde x = 1.
Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8,
que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = {1,2}.
2x + 3y - 8
Resolver os sistemas abaixo, pelo método da ADIÇÃO:
MATEMÁTICAPARA CONCURSO -SISTEMADE EQUAÇÕESDO PRIMEIRO GRAU 1 0 1
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos
Matemática básica para concursos

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Criterios de-divisibilidade
Criterios de-divisibilidadeCriterios de-divisibilidade
Criterios de-divisibilidadeSandro Francisco
 
Exercícios área figuras planas e radicais
Exercícios área figuras planas e radicaisExercícios área figuras planas e radicais
Exercícios área figuras planas e radicaiskarfrio
 
Caça números - Adição, subtração, multiplicação e divisão
Caça números - Adição,  subtração, multiplicação e divisãoCaça números - Adição,  subtração, multiplicação e divisão
Caça números - Adição, subtração, multiplicação e divisãoMary Alvarenga
 
30 questões de problemas com as 4 opeções
30 questões de problemas com as 4 opeções30 questões de problemas com as 4 opeções
30 questões de problemas com as 4 opeçõesmaria edineuma marreira
 
Bingão da matemática
Bingão da matemáticaBingão da matemática
Bingão da matemáticaFabiano Araujo
 
SIMULADO DE MATEMÁTICA BÁSICA - 01
SIMULADO DE MATEMÁTICA BÁSICA - 01SIMULADO DE MATEMÁTICA BÁSICA - 01
SIMULADO DE MATEMÁTICA BÁSICA - 01Hélio Rocha
 
Caça-palavras Leitura e escrita dos números.pdf
Caça-palavras    Leitura e escrita dos números.pdfCaça-palavras    Leitura e escrita dos números.pdf
Caça-palavras Leitura e escrita dos números.pdfMary Alvarenga
 
9ano sug atividades_unid_3
9ano sug atividades_unid_39ano sug atividades_unid_3
9ano sug atividades_unid_3Erivaldo Duarte
 
Iniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho (2003).pdf
Iniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho (2003).pdfIniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho (2003).pdf
Iniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho (2003).pdfmarcusvinicius13184
 
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grauLista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grauEverton Moraes
 
Cruzadinha números decimais
Cruzadinha números decimais Cruzadinha números decimais
Cruzadinha números decimais Mary Alvarenga
 
Oficina de Fração
Oficina de FraçãoOficina de Fração
Oficina de FraçãoEliane
 
Expressões algébricas e valor numérico de expressões algébricas
Expressões algébricas e valor numérico de expressões algébricasExpressões algébricas e valor numérico de expressões algébricas
Expressões algébricas e valor numérico de expressões algébricasDalila Cristina Reis
 
CRUZADINHA COM AS QUATRO OPERAÇÕES
CRUZADINHA  COM AS QUATRO OPERAÇÕES CRUZADINHA  COM AS QUATRO OPERAÇÕES
CRUZADINHA COM AS QUATRO OPERAÇÕES Mary Alvarenga
 
Mat produtos notaveis resolvidos
Mat produtos notaveis resolvidosMat produtos notaveis resolvidos
Mat produtos notaveis resolvidostrigono_metria
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS - PARTE 1
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS - PARTE 1OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS - PARTE 1
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS - PARTE 1Mario Andre Nunes Rodrigues
 
Lista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicaisLista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicaisalunosderoberto
 

Mais procurados (20)

Criterios de-divisibilidade
Criterios de-divisibilidadeCriterios de-divisibilidade
Criterios de-divisibilidade
 
Exercícios área figuras planas e radicais
Exercícios área figuras planas e radicaisExercícios área figuras planas e radicais
Exercícios área figuras planas e radicais
 
Caça números - Adição, subtração, multiplicação e divisão
Caça números - Adição,  subtração, multiplicação e divisãoCaça números - Adição,  subtração, multiplicação e divisão
Caça números - Adição, subtração, multiplicação e divisão
 
30 questões de problemas com as 4 opeções
30 questões de problemas com as 4 opeções30 questões de problemas com as 4 opeções
30 questões de problemas com as 4 opeções
 
Frações
FraçõesFrações
Frações
 
Bingão da matemática
Bingão da matemáticaBingão da matemática
Bingão da matemática
 
SIMULADO DE MATEMÁTICA BÁSICA - 01
SIMULADO DE MATEMÁTICA BÁSICA - 01SIMULADO DE MATEMÁTICA BÁSICA - 01
SIMULADO DE MATEMÁTICA BÁSICA - 01
 
Caça-palavras Leitura e escrita dos números.pdf
Caça-palavras    Leitura e escrita dos números.pdfCaça-palavras    Leitura e escrita dos números.pdf
Caça-palavras Leitura e escrita dos números.pdf
 
9ano sug atividades_unid_3
9ano sug atividades_unid_39ano sug atividades_unid_3
9ano sug atividades_unid_3
 
Iniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho (2003).pdf
Iniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho (2003).pdfIniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho (2003).pdf
Iniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho (2003).pdf
 
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grauLista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
Lista de exercícios – sistema de equações do 1° grau
 
Cruzadinha números decimais
Cruzadinha números decimais Cruzadinha números decimais
Cruzadinha números decimais
 
Oficina de Fração
Oficina de FraçãoOficina de Fração
Oficina de Fração
 
Expressões algébricas e valor numérico de expressões algébricas
Expressões algébricas e valor numérico de expressões algébricasExpressões algébricas e valor numérico de expressões algébricas
Expressões algébricas e valor numérico de expressões algébricas
 
CRUZADINHA COM AS QUATRO OPERAÇÕES
CRUZADINHA  COM AS QUATRO OPERAÇÕES CRUZADINHA  COM AS QUATRO OPERAÇÕES
CRUZADINHA COM AS QUATRO OPERAÇÕES
 
Mat produtos notaveis resolvidos
Mat produtos notaveis resolvidosMat produtos notaveis resolvidos
Mat produtos notaveis resolvidos
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS - PARTE 1
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS - PARTE 1OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS - PARTE 1
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS - PARTE 1
 
Caça palavra
Caça palavraCaça palavra
Caça palavra
 
Quiz matemática 8ºano
Quiz matemática 8ºanoQuiz matemática 8ºano
Quiz matemática 8ºano
 
Lista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicaisLista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicais
 

Semelhante a Matemática básica para concursos (20)

Cargos e salarios
Cargos e salariosCargos e salarios
Cargos e salarios
 
S8 david mota_informe
S8 david mota_informeS8 david mota_informe
S8 david mota_informe
 
Sociedad de responsabilidad civil ADAPTADA CODIGO DE COMERCIO VENEZOLANO
Sociedad de responsabilidad civil ADAPTADA CODIGO DE COMERCIO VENEZOLANOSociedad de responsabilidad civil ADAPTADA CODIGO DE COMERCIO VENEZOLANO
Sociedad de responsabilidad civil ADAPTADA CODIGO DE COMERCIO VENEZOLANO
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado123
Espaciado123Espaciado123
Espaciado123
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Espaciado
EspaciadoEspaciado
Espaciado
 
Proyecto t4 f1 final
Proyecto t4 f1 finalProyecto t4 f1 final
Proyecto t4 f1 final
 
Pliego decondiciones de obras oficial octubre 2015
Pliego decondiciones de obras oficial octubre 2015Pliego decondiciones de obras oficial octubre 2015
Pliego decondiciones de obras oficial octubre 2015
 
Pliego decondiciones de las obras octubre 2015
Pliego decondiciones de las obras octubre 2015Pliego decondiciones de las obras octubre 2015
Pliego decondiciones de las obras octubre 2015
 
O preparo para o tempo de angustia
O preparo para o tempo de angustiaO preparo para o tempo de angustia
O preparo para o tempo de angustia
 
Logica programacao estruturadados-INFORMATICA PARA CONCURSO
Logica programacao estruturadados-INFORMATICA PARA CONCURSOLogica programacao estruturadados-INFORMATICA PARA CONCURSO
Logica programacao estruturadados-INFORMATICA PARA CONCURSO
 
000011437
000011437000011437
000011437
 

Último

FISIOLOGIA DA REPRODUÇÃO. matéria de fisiologia animal
FISIOLOGIA DA REPRODUÇÃO. matéria de fisiologia animalFISIOLOGIA DA REPRODUÇÃO. matéria de fisiologia animal
FISIOLOGIA DA REPRODUÇÃO. matéria de fisiologia animalPauloHenrique154965
 
LEAN SIX SIGMA - Garantia da qualidade e segurança
LEAN SIX SIGMA - Garantia da qualidade e segurançaLEAN SIX SIGMA - Garantia da qualidade e segurança
LEAN SIX SIGMA - Garantia da qualidade e segurançaGuilhermeLucio9
 
A Importância dos EPI's no trabalho e no dia a dia laboral
A Importância dos EPI's no trabalho e no dia a dia laboralA Importância dos EPI's no trabalho e no dia a dia laboral
A Importância dos EPI's no trabalho e no dia a dia laboralFranciscaArrudadaSil
 
PLANO DE EMERGÊNCIA E COMBATE A INCENDIO.pdf
PLANO DE EMERGÊNCIA E COMBATE A INCENDIO.pdfPLANO DE EMERGÊNCIA E COMBATE A INCENDIO.pdf
PLANO DE EMERGÊNCIA E COMBATE A INCENDIO.pdfAroldoMenezes1
 
Eletricista instalador - Senai Almirante Tamandaré
Eletricista instalador - Senai Almirante TamandaréEletricista instalador - Senai Almirante Tamandaré
Eletricista instalador - Senai Almirante TamandaréGuilhermeLucio9
 
Tecnólogo em Mecatrônica - Universidade Anhanguera
Tecnólogo em Mecatrônica - Universidade AnhangueraTecnólogo em Mecatrônica - Universidade Anhanguera
Tecnólogo em Mecatrônica - Universidade AnhangueraGuilhermeLucio9
 
Aula de classificação de rolamentos norma DIN
Aula de classificação de rolamentos norma DINAula de classificação de rolamentos norma DIN
Aula de classificação de rolamentos norma DINFabioFranca22
 
Livro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdf
Livro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdfLivro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdf
Livro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdfSamuel Ramos
 
Estatística aplicada à experimentação animal
Estatística aplicada à experimentação animalEstatística aplicada à experimentação animal
Estatística aplicada à experimentação animalleandroladesenvolvim
 
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS EQUIPAM
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS  EQUIPAMMODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS  EQUIPAM
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS EQUIPAMCassio Rodrigo
 

Último (10)

FISIOLOGIA DA REPRODUÇÃO. matéria de fisiologia animal
FISIOLOGIA DA REPRODUÇÃO. matéria de fisiologia animalFISIOLOGIA DA REPRODUÇÃO. matéria de fisiologia animal
FISIOLOGIA DA REPRODUÇÃO. matéria de fisiologia animal
 
LEAN SIX SIGMA - Garantia da qualidade e segurança
LEAN SIX SIGMA - Garantia da qualidade e segurançaLEAN SIX SIGMA - Garantia da qualidade e segurança
LEAN SIX SIGMA - Garantia da qualidade e segurança
 
A Importância dos EPI's no trabalho e no dia a dia laboral
A Importância dos EPI's no trabalho e no dia a dia laboralA Importância dos EPI's no trabalho e no dia a dia laboral
A Importância dos EPI's no trabalho e no dia a dia laboral
 
PLANO DE EMERGÊNCIA E COMBATE A INCENDIO.pdf
PLANO DE EMERGÊNCIA E COMBATE A INCENDIO.pdfPLANO DE EMERGÊNCIA E COMBATE A INCENDIO.pdf
PLANO DE EMERGÊNCIA E COMBATE A INCENDIO.pdf
 
Eletricista instalador - Senai Almirante Tamandaré
Eletricista instalador - Senai Almirante TamandaréEletricista instalador - Senai Almirante Tamandaré
Eletricista instalador - Senai Almirante Tamandaré
 
Tecnólogo em Mecatrônica - Universidade Anhanguera
Tecnólogo em Mecatrônica - Universidade AnhangueraTecnólogo em Mecatrônica - Universidade Anhanguera
Tecnólogo em Mecatrônica - Universidade Anhanguera
 
Aula de classificação de rolamentos norma DIN
Aula de classificação de rolamentos norma DINAula de classificação de rolamentos norma DIN
Aula de classificação de rolamentos norma DIN
 
Livro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdf
Livro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdfLivro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdf
Livro Vibrações Mecânicas - Rao Singiresu - 4ª Ed.pdf
 
Estatística aplicada à experimentação animal
Estatística aplicada à experimentação animalEstatística aplicada à experimentação animal
Estatística aplicada à experimentação animal
 
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS EQUIPAM
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS  EQUIPAMMODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS  EQUIPAM
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS EQUIPAM
 

Matemática básica para concursos

  • 1. HÍLDER GÓES Licenciatura plena em Matemática pela Universidade Estadual do Ceará - UECE Autor dos livros A Matemática do Vestibular e Elementos Básicos de Estatística UBALDO TONAR Licenciatura plena em Matemática pela Universidade Estadual do Ceará - UECE e Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará - Professor concursado do Estado do Ceará MATEMÁTICA PARA C O N C U R S O 7-. Edição Rio - São Paulo - Fortaleza 2004
  • 2. © 2004 Hilder Góes e Ubaldo Tonar © 2004 desta edição cedidos à Editora e GráficaABC Fortaleza Ltda. P r o jeto G r á h c o CarlosAlbertoA; Dantas Roberta de Oliveira R eviso r T éc nico Fernando Antônio Saraiva de Araújo Capa Heron Cruz Pedidos: Editora e GráficaABC FortalezaLtda, RuaVergueiro, 439 - Loja 27 - Bairro: Aclimação CEP: 01504-001 - São Paulo - São Paulo * * * Rua Eduardo Salgado, 156 - Bairro: Aldeota Fone: (0**85) 264-3540; Fax: (0**85) 264-3606 E-mail: abceditora@baydenetxom.br CEP: 60150-140 - Fortaleza - Ceará Dados Internacionais de Catalogação na Publicaçao (CIP) G598m Góes, Hilder Bezerra. Matemática para concurso. Por Hilder Bezerra Góes e Ubaldo Teixeira Góes. Rio —São Paulo - Fortaleza: ABC Editora, 2004. 632 p. 1. Matemática. I. Título. II. Góes, Ubaldo Teixeira. CDD: 510
  • 3. Para nossa querida filha e neta Deísy com amor e carinho do seu pai Ubaldo e do seu avô Hilder.
  • 4. APRESEN TAÇÃO Animados, pela aceitação que tiveram as quatro primeiras edições cleste livro, resolvemos, após profundas modificações, tanto em seu conteúdo, como em sua explanação, trazer a lume a quin­ ta edição deste clespretencioso trabalho no qual tentamos reunir toda a matéria que achamos necessária aos candidatos a concurso público de nível médio. Lembramos, contudo que o enrequecimento deste trabalho, não invalida, obviamente, as edições anteriores, as quais serão sempre aproveitáveis. Dividido em duas partes: a primeira, contendo um conjunto de conhecimentos básicos e indispensáveis, que reputamos de grande importância para um bom desempenho e compreensão quando cio estudo da segunda parte, por isso aconselhamos uma especial atenção à mesma; na segunda parte inserimos, pratica­ mente, todo o conteúdo da maioria dos concursos, como TRT, TRF, TJC e tantos outros. Na publicação desta quinta edição, ainda não nos moveu o interesse pecuniário, nem a vaidade de ser autor mas tão somen­ te, aníma-nos o desejo e a esperança de havermos trazido uma modesta contribuição com algo que venha facilitar o aprendizado de todos aqueles que pretendem aumentar seu conhecimento nessa tão fascinante matéria, em especial, aos interessados em ingressar na carreira pública; eis o nosso propósito maior. Como também, dizíamos então - e agora repetimos - não haver feito trabalho notável ou original. A aceitação deste livro será por certo, um estímulo e uma imposição para que continuemos em nosso propósito. Muito grato seremos a quantos nos queiram apontar falhas que certamente encontrarão. O S AUTORES
  • 5. SUMÁRIO PRIMEIRA PARTE 0 1 Número ................................................................................................................ 1 3 0 2 Sistema de Numeração .................................................................................. 2 7 0 3 Números Inteiros ............................................................................................ 3 5 0 4 Números Fracionários .................................................................................. 4 8 0 5 Números D ecimais .......................................................................................... 6 6 0 6 Números Complexos .................................................................... ................. 7 9 0 7 N úmeros R elativos ......................................................................................... 8 9 0 8 Equação do Primeiro G r a u ....................................................................... 9 3 0 9 Sistema de Equação do P rimeiro G r a u ...................................................1 0 0 1 0 Inequaçào do Primeiro G r a u ............ .........................................................1 0 6 11 S istema de In eq uaçào do P rimeiro G rau ............................................ . 1 1 1 1 2 Equação do S egundo G r a u .........................................................................1 1 4 1 3 S istema de Equação do Segundo G r a u ..................................................1 2 4 1 4 P oten ciação ..................................................................................................... 1 2 6 15 Radiciação ...........................................................................................................1 4 2 16 Q uestões de Concursos ............................................................................. 1 5 7 SEGUNDA PARTE * ‘ 17 Números Inteiros ............................................................................................. 1 6 3 1 8 Q uestões de Concursos.................................................................................2 1 0 19 Números Fracionários ................................................................................... 2 2 2 20 Q uestões de Co n cursos................................................................................2 5 7 2 1 R egra de T r ê s .................................................................................................2 6 4 22 Q uestões de C o n c u r s o s .................................................................................2 8 5 *23 R azão ....................................................................................................................2 9 5 24 Q uestões de Con cursos................................................................................ 3 0 5 25 Proporção ..........................................................................................................3 0 8 26 Q uestões de C o n c u rs o s .................................................................................3 3 1 27 D ivisão P r o p o r c io n a l ............................... .................................................... 3 3 4 /28 M í d i a s ...................................................................................................................3 5 9 2 9 Números Proporcionais ................................................................................ 3 6 5 3 0 Q uestões de Concursos ............................................................................ 3 ó 7
  • 6. 3 1 R egra de S o c ie d a d e .................................................................................................. 3 7 3 32 Q uestões dh C o n c u r s o s .........................................................................................3 8 2 33 P orcentagem .......•............................................................................................3 8 7 '3 4 Q uestões de C o n c u r s o s .......................................................................................... 4 1 8 35 J uros S imples ....................................................................................................4 3 2 36 P r a zo , T a xa k C apital M é d io s ..................................................................4 6 9 37 Q uestões de C o n c u r s o s .............................................................................................4 7 5 38 D esconto S imples .......................................................................................................4 8 4 39 Q uestões de C o n c u r s o s ............................................................................................5 0 4 4 0 S istema M étrico D ecimal ......................................................................................5 0 9 4 1 Q uestões de C o n cu rso s ............................................................................ ............5 4 2 ■ 42' Es c a l a .........................:v ..............,....................................................................................5 5 1 43 Q uestões de C o n c u r s o s .............................................................................................5 5 4 4 4 F u n ção do P rimeiro G r a u .......................................................................................5 5 6 4 5 Q uestões de C o n cu rso s .................................: ......................................................5 6 6 4 6 F un çào Q uadráttca ......................................................................................................5 6 8 4 7 Q uestões de C o n c u r s o s .............................................................................................5 7 8 4 8 D ivisibtlidade ........ ............................................................................................................5 8 0 4 9 N úmeros P rim o s, M últiplos e D iv t so r e s.........................................................5 9 4 tÇO M áx im o D ivisor C omum ................................................................................. 6 0 3 *51 M ínimo M úuhplo C omum ..........................................................................................6 1 4 52 Q uestões de C o n c u r s o s ............................................................................................6 2 2 53 P roblemas do S eçijn do G r a u ............................................................................... 6 2 4
  • 7. PRIMEIRA PARTE Númi-ho -1 S iste m a de N u m e r a ç ã o - 2 N ú m ero s I n t e ir o s ~ 3 N ú m e ro s F r a c io n á r io s - 4 N ú m e ro s D e c im a is - 5 N ú m e ro s C o m p le x o s - 6 N ú m e ro s R e la tiv o s - 7 E q u a ç ã o d o P rím e íro G r a u - 8 9 - S ístem a de E q u a ç ã o d o P rim eiro G rau 1 0 - I ne q u a ç ã o d o P rim eiro G rau 1 1 - S istem a de ín e q u a ç ã o do P rim eiro G ra 1 2 - E q u a ç ã o d o S e g u n d o G rau 1 3 - S i st em a de E q u a ç ã o d o S e g u n d o G rau 1 4 - P o t e n c sa ç ã o 1 5 - RADI Cia ç ã o 1 6 - Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s
  • 8. 1 NÚMERO DEFINIÇÃO: E o resultado da comparação de uma grande2a com a unidade. GRANDEZA: E tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. As grandezas se classificam em: a) Contínuas: São as grandezas que podem ser aumentadas ou diminuí­ das de uma quantidade qualquer. Exemplos: Uma peça de pano, um rolo de barbante. b) Descontínuas: São as grandezas que só podem ser aumentadas ou diminuídas de uma quantidade determinada. Exemplos: Uma porção de bolas, um grupo de meninos. c) Homogêneas: São as grandezas da mesma espécie. Exemplos: 3 lápis e 5 lápis ou 4 bolas e 7 bolas. d) Heterogêneas: São as grandezas de espécies diferentes. Exemplos: 2 lápis e 3 cadernos ou 5 bolas e 6 laranjas. UNIDADE: É uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A grandeza escolhida para unidade é arbi­ trária, mas é necessário que seja perfeitamente definida. CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: Os números se classificam em: I) POR SUA NATUREZA: a) Concreto: E o número que determina a espécie de unidade a que se refere. Exemplos: 3 bolas; 5 cadernos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 13
  • 9. b) Abstrato: É o número que nào determina a espécie de unidade a que se refere. Exemplos: 6, 4, 7. II) POR SUA ESPÉCIE a) Homogêneo: E o número que indica coisas da mesma espécie. Exemplos: 2 lápis e 3 lápis. b) Heterogêneo: E o número que indica coisas de espécies diferentes. Exemplos: 2 lápis e 4 livros. III) PELAS PARTES QUE INDICAM a) INTEIRO: E o número que consta só de unidades. Exemplos: 3 cadernos, 6 livros. Os números inteiros podem ser: i) Simples: E o número formado de um só algarismo. Exemplos: 3, 5, 7. ALGARISMOS sào os símbolos que representam os números. ii) Composto: É o número formado por dois ou mais algarismos. Exemplos: 26,138, 1435. b) FRACIONARIO: é o número queindica uma oumais partes da unidade. Exemplos: 2 1 3 3 ’ 5 ’ 7 Os números frandonários se dividem em: Decimais Exatos: 0,2: 0,85 f Simples: 0,333 .. Periódicos < i Compostos: 0,4222... 1 4 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 10. rPuros Próprios: 2 3 5* 4 Ordinários 1 Impróprios: 7 ? 8^ 3 5 tAparentes: 5 20 c) MISTO: É o número formado por um número inteiro e um número fracionário. Se classificam em: Decimais: 5,3; 9,3535... 1 2 Ordinários: 2- ; 4- 3 5 O número abstrato, isto é, aquele que nào determina a espécie de unidade, é o verdadeiro número, pois o concreto é constituído do número abstrato, ligado à natureza da unidade escolhida. O conjunto de processos empregados para se representar os nú­ meros constitui o que se chama de SISTEMA DE NUMERAÇÃO. Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base, isto é, pelo número de unidades de uma ordem que formam uma unidade de ordem imediatamente superior. O número de algarismos de um sistema de nu­ meração é igual à base. O sistema universalmente adotado é o decimal. Nesse sistema, dez unidades de uma ordem, formam uma unidade de ordem imediatamente superior. Assim, dez unidades formam uma dezena; dez dezenas formam uma centena. A numeração escrita, tendo como base esse sistema, se norteia no seguinte princípio: “Qualquer algarismo escrito à esquerda de outro, vale dez vezes esse outro algarismo”. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS: Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são denominados significativos. Um algarismo significativo tem dois valores: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 5
  • 11. Valor Absoluto: É o valor que o algarismo possui quando escrito isoladamente. O algarismo 5, como valor absoluto,vale sempre 5; o alga­ rismo 7, sozinho, vale sempre 7; e assim por diante. Valor Relativo: E o valor que o algarismo possui de conformidade com o lugar que ele ocupa no número. Assim, no número 327, o 7 vale sete unidades, o 2 vaie duas dezenas e o 3 vale três centenas. O X- De 345 a 789 incluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem. Solução: Basta subtrairmos do maior número o menor, e somar­ mos uma unidade. ' 789 —345 = 444 -» 444 + 1 = 445 números 02 - De 480 a 720 incluídos esses números, calcule quantos números intei­ ros e consecutivos existem. Solução: 720 —480 = 240 240 + 1 = 241 números 03 - De 371 a 840 incluídos esses números, calcule quantos números intei­ ros e consecutivos existem. R; 470 04 - De 31 até 700, calcule quantos números inteiros e consecutivos exis­ tem, incluindo esses números. R: 670 05 - De 345 a 789 excluídos esses números, calcule quantos números in­ teiros e consecutivos existem. Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor e diminuir­ mos uma unidade. 789 —345 —444 — >444 1 = 443 números 16 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 12. 06 - De 132 a 186 excluídos esses números, calcule quantos números inteiros c consecutivos existem. R: 53 07 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até 251, excluindo esses números. R: 230 08 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243 excluído c 527 incluído. Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor 527 - 243 = 284 09 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem quando se escreve de 180 excluído e 320 incluído. R: 140 10 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 130 incluído e 780 excluído. R: 650 11- Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os.. —— números de 1, 2 e(3)ilgarismos. ^ |^ „ i) - / ~ 3 - ~ B ~ §.3 Solução: Os números de um algarismo, começam~3õTevão até ao 9 incluídos; são, portanto: 9 —1 ~ B— >8 + 1 —9 I -ogo, são 9 números de um algarismo e são necessários 9 x 1 = 9 algarismos para escrevê-los. • Os números de dois algarismos começam no 10 e vão até o 99 incluídos; são, portanto: 99 ~ 10 = 89 — * ■89 + 1 = 90 Então, são 90 números de dois algarismos, sendo necessários 90 x 2 —180 algarismos para escrevc-los. * Os números de três algarismos começam no 100 e vão até ao 999 incluídos; há, portanto*. 999 —100 = 899 — » 899 + 1 900. Então, sào 900 números de três algarismos, sendo necessários 900 x 3 ~ 2.700 algarismos para escrevê-los. Concluímos que, para se escrever todos os números de 1, 2 e 3 algarismos, serão necessários: 9 + 180 + 2.700 = 2.889 algarismos. MATÍm ÁTíCA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 7
  • 13. 12 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números naturais de 1 até 88. Solução: • De 1 a 9, temos 9 —1= 8 — >8 -í- 1 = 9 números de um algaris­ mo, logo serão necessários 9 x 1 = 9 algarismos. • De 10 a 88, temos 88 —10 = 78 — » 78 + 1 ~ -9 números de dois algarismos, sendo, portanto, necessários 79 x 2 = 158 algarismos. Logo serão necessários 9 + 158 = 167 algarismos. ~ 13 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever to­ dos os números naturais de 30 a 176. . R: 371 14 - Calcular o número de algarismos necessários/para se escrever desde 31 até 245. R: 576 15 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 30 até 91. R: 124 16 - Calcule o número de algarismos necessários para se escrever de 37 até 239. R: 546 17 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­ meros de 1 a 934, inclusive. R: 2.694 18 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­ meros de 7 a 32.427, inclusive. R: 151.023 19 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever tddos os números de três algarismos. R: 2.700 18 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 14. 20 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de cinco algarismos. C -. 16 ; - ■ R: 450.000 21 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de sete algarismos. R: 63.000.000 22 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números pares de 6 até 281 inclusive. Solução: Entre os números 6 e 9 existem dois números pares de um algaris­ mo, que são o 6 e o 8. • De 10 até 99 existem: '99 - 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais 45 são pares, de dois algarismos. • De 100 até 281 existem: 281 - 100 = 181 + 1 = 182 números, dos quais 91 são pares, de três algarismos. Então, para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos: 2 x 1- 2 - ■ > f. • - ! J ( - r ■ : v " • C -r 45x2= 90 '* / . 91 x 3 =273 . J ; 365 algarismos 23 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive. ' R: 207 (■ 24"- Um aluno escreveu do menor número par de 3 algarismos significati­ vos desiguais até o maior número ímpar de 6 algarismos desiguais, incluí­ dos esses números. Calcule quantos algarismos escreveu. R: 5,814.552 í^ O 25 - Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algaris­ mos foram necessários. Solução: • Da página 1 até a 9 foram utilizados 9 —l ~ 8 --»8 + l = 9 números de um algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 9
  • 15. • Da página 10 até a 99 foram utilizados 99 — 10 = 89 — >89 + 1 = 90 números de dois algarismos. Logo, 90 x 2 = 180 algarismos. • Da página 100 até a 126 foram utilizados 126 —100 = 26 — » — » 26 + 1 = 27 números de três algarismos. Logo, 27 x 3 = 81 algarismos. Então, ao todo, foram necessários 9 + 180 + 81 = 270 algarismos. 26 - Em um cinema há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão necessários paira enumerá-las. R: 342 27 - Em um teatro há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão ne­ cessários para enumerá-las. R: 282 28 - Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enumerá-las? R: 9.265 29 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algaris­ mos. Calcular quantas páginas tem esse livro, j g _ Solução: •Para enumerar as 9 primeiraspáginas usaram-se: 9x1=9 algarismos. •Para enumeraras 90páginasseguintesusaram-se 90x2 = 180algarismos. Veja que, até agora, já usamos 180 + 9 = 189 algarismos. Temos: 270 ~ 189 = 81 algarismos, que serão utilizados para enu­ merar páginas de três algarismos. Logo, 81 3 = 27 páginas. O total de páginas será, portanto de: 9 + 90 27 = 126. 's30 Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algaris­ mos. Calcule quantas páginas tem esse livro. R: 22$jp 31 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 1.296 algaris­ mos. Calcule quantas páginas tem esse livro. R: 468 20 HEUDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 16. 32 - Para enumerar as páginas de um E v to foram necessários 3.421 alga­ rismos. Calcule quantas páginas tem esse livro. R: 1.132 . 33 - Uma pessoa, para numerar as páginas de um álbum, cobrou $ 15,30. Quantas páginas tinha o álbum, sabendo-se que cobra $ 0,05 por algarismo? R: 138 34 - Um artista foi contratado para enumerar as páginas de um álbum, devendo ganhar $ 5,00 por algarismo desenhado. Recebeu por esse traba­ lho $ 1.710,00. Calcule quantas páginas tinha o álbum. R: 150 35 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, obtém-se: 1234567891011121314151617... Determine o alga­ rismo que ocupa o 1173Ü -lugar. Solução: • De 1 a 9 escreve-se: 9 x 1 = 9 algarismos. • De 10 a 99 escreve-se 90 x 2 = 180 algarismos. Então, até o número 99 escreve-se 189 algarismos. A partir do 100, os números são de três algarismos. Logo: 1173 - 189 = 984 Então, 984 -s-3 =328 números de.três algarismos. Conta-se, pois, até o número 99 + 328 = 427. Logo, o algarismo que ocupa o 1173”lugar é o 7. 36 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 12002lugar. R: 6 37 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­ rismos, calcule o algarismo que ocupa o 1536alugar. R :X 38 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­ rismos, qual será, o algarismo que ocupa o 3456Ulugar. R: 8 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 2 1
  • 17. 39 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais, sem separar os alga­ rismos, determine o algarismo que ocupa o 2342alugat Solução: •De 1a9 são 9números deumalgarismo.Logo,vocâutiliza 9algarismos. • De 10 a 99 são 90 números de dois algarismos. Logo, você utiliza 180 algarismos. Veja, que até agora, utilizamos 189 algarismos. Como são 2342 al-' garismos, ainda faltam 2342 —189 = 2153. Então: 2153 3, temos: 2153|_3__ 05 717 23 2 717 números de 3 algarismos. Logo, atéagora, temos: 9 +90 +717 = 816 Mas veja que, na divisão, que não é exata, sobraram 2 algarismos para você escrever o número 817. Se o resto tivesse sido 1 você só poderia escrever o 8, mas como sobraram 2 algarismos; do número 817 você.pode escrever o 8 e o 1. Então, o algarismo que ocupa o 2342- lugar, é o 1. 40 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais sem separar os alga­ rismos, determine o algarismo que ocupa o 985" lugar. R: 3 41 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­ rismos, determine o algarismo que ocupa o 1234slugax. R: 4 42 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, determine o 60üalgarismo escrito. R: 3 43 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, qual é o 500üalgarismo escrito. R: 0 • 22 H IIJD E RGÓES * UBAJLDO TONAR
  • 18. 44 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, determine o 1800'- algarismo escrito. R: 6 45 - Determinar o número devezes que o algarismo 8 ocupa a posição das unidades; das dezenas; das centenas, na sucessão natural dos números in­ teiros de Xaté 10". Solução: Como algarismo das unidades, o número 8 aparecerá de 10 em 10. Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", ele deverá aparecer 10“ 10 = 1Ò "'5vezes como algarismo das unidades. Como algarismo das dezenas ele aparecerá nos 10 números de cada centena terminados em 80, 81, 82,..., 89. Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10w , ele deverá aparecer 10 x 10“'-= - 102= 10“+ í -h 102= IO1 1 '1vezes como algarismo das dezenas. Como algarismo das centenas o número 8 aparecerá nos 100 nú­ meros de milhares terminados por 800, 801, 8 0 2 , 8 9 9 . Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", e como existe 10"•* -10J —IO ”'3milhares elé aparecerá 100 x 10"'3= 102x IO"'3= 10“'1vezes como algarismo das centenas. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 23
  • 19. 46 - Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na suces­ são dos números de 1 até 100.000. Solução: De 1 até 100.000 eqüivale a de 1 até 10 Como algarismo das unidades aparece 10"‘!, isto é, 10vl = 104. Como algarismo das dezenas aparece 10”'5, isto é, 10'"1= 104. Como algarismo das centenas aparece 10"'’, isto ê, IO5*' = IO4. Como algarismo de milhar também aparece 104. Conclui-se que, de 1 até 105, o algarismo 3 aparece 5 x 104 = 5 x 10.000 —50.000 vezes. 47 - Determine o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão dos números de 1 até 1.000. R: 300 48 - Determine o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números de 1 até 10.000. R: 5.000 49 - Determinar o número de vezes que o algarismo 2 aparece na sucessão dos números de 1 até 100.000. R: 50.000 50 - Determinar o número dèVtóès que o algarismo 7 ocupa a posição das dezenas na sucessão dos números de 1 até 10.000. R: 1.000 51 - Escrevendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes aparecerá o algarismo 8- Solução: Decompondo-se o número 537, podemos escrever: 537 = 500 + 37. Na parte relativa a 37, o algarismo 8 aparece três vezes, senão veja­ mos: 508 - 518-528. Na parcela relativa a 500, isto é, cinco centenas, o algarismo 8 figu­ rou 10 vezes como unidade em cada dezena e 10 vezes como dezena em cada centena. Figurou, portanto: 5 x (10 + 10) = 100 vezes. 24 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAS
  • 20. Nas centenas nào figurou nenhuma vez, isto porque, ao escrever­ mos o último número 537, nào havíamos chegado a empregar o algarismo 8, como algarismo das centenas. Concluímos, então, que o algarismo 8 aparece 3 + 100 = 103 vezes quando se escreve de 1 até 537. 52 - Determinar o número de vezes que.o algarismo 5 aparece quando se escreve de 1 até 537. R: 142 ^55j- Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparecerá quando se escreve de 1 até 327. . R:óX~A ÍB4j- Um aluno escreveu todos os números inteiros desde 1 até 2.850. 'Determine quantas vezes ele escreveu o algarismo sete. R :'865'-H ^ 55 - Que alteração sofre o número 23.486 quando se introduz um zero entre os algarismos 3 e 4. Solução: 23.000 x 9 = 207.000, aumento sòÊrido. Senão vejamos: 230.486 —23.486 = 207.000. 56 Que alteração sofre o número 34.567 quando se introduz dois zeros entre os algarismos 5 e 6. Solução: 34.500 x 99 = 3.415.500, aumento sofrido. Senão vejamos: 3.450.067 —34.567 = 3.415.500. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 25
  • 21. 57 - Que alteração sofre o número 2.548 quando se introduz um zero entre os algarismos 5 e 4. R: 22.500 58 - Que alteração sofre o número 1957 quando intercalamos dois zeros entre os algarismos 9 e 5. R: 188.100 59 - Que alteração sofre o número 678, quando se intercala um zero entre os algarismos 6 e 7. R: 5,4.00^ 60 - Qual a 1732uletra da seqüência: ABCDEABCDEABCDEABCD.I. Solução: Veja que a seqüência é formada por ABCDE seguido de ABCDE, isto é, de 5 em 5 letras. Logo, se dividirmos 1732 por 5, teremos: 1732 [ 5 23 346 32 2 De onde se conclui, que escrevemos a seqüência ABCDE, 346 ve­ zes. Mas, veja que a divisão não foi exata: sobraram 2 letras, então você só poderá escrever da próxima seqüência as letras AB. Logo, a letra que ocu­ pa 17321é a letra B. 61 - Qual a 2080- letra da seqüência: DCABDCABDCABDCA... R: B 62 - Qual a 1993aletra da seqüência: ABCDEDCBABCDEDCBABCDE DCBABCD... R: A 63- Quala 1039aletrada seqüência:ABCDEDCABCDEDCABCDEDCAB... R: C 64 - Determine a letra que ocupa a 1473a da seqüência: CDEFGHCD EFGHCDEFGHCD... R: E 26 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 22. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Como já vimos, Sistema de Numeração, é o conjunto de processos empregados para se representar os números. Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base. O número de algarismos de úm sistema é igual a base. Veremos, a seguir, como sepassa um número escrito em um certo sistema, numa base para outro sistema, em outra base. P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e 1 0 p a r a u m S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r 01 - Escrever o número 370 no sistema de base 8. Solução: • 37° [_ $ 50 . t ____ (562), 46 6 02 ~O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema de base 6. Solução: 584 I 6 44, 97' 6 2, 37 16 6 T 4 2 Veja como fizemos: Dividimos o número, pela base desejada, a seguir, dividimos o quo- ciente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos até encontrarmos um quocíente menor que a base. O número esaáto na nova base, será então formado pelo último quociente seguido dos restos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 27
  • 23. encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o primeiro. 0 3 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base decimal, escreva-o no sistema de base 7. Solução: 83452 7 13 11921 7 64 49 1703 [7 15 21 30 243 7 12 0 23 33 34 7 5 2 5 6 4 R: (465205), 0 4 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no sistema de base 4. R: (0113330)4 0 5 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no sistema de base 5. R: (231342). 06 - Escreva o número 288 no sistema de base 3. R: (31200)} 07 - Escreva o número 43456 no sistema de base 6. R: (533103)6 P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r p a r a o S is t e m a d e B a s e D e c im a l 0 8 - 0 número (562)Hestá escrito no sistema de base 8. Escreva-o no sistema de base decimal. 28 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
  • 24. Solução: ( 5 6 2 ) g = 2 x 8 “ + 6 x 8 ' + 5 x 8 2 = 2 + 4 8 + 3 2 0 = 3 7 0 0 9 - 0 número (2412)6está escrito no sistema de base 6. Escreva-o no sistema de base 10. Solução: (2412)6 = 2 x 6 ° + l x ó 1+ 4 x 6 2 + 2 x 63 = 2 + 6 + 144 + 432 = 584 Veja como se faz: Escreve-se uma SOMA, onde as parcelas sao: — O algarismo da unidade, vezes à base elevada a zero; —O algarismo das dezenas, vezes à base elevada a um; —O algarismo das centenas, vezes à base elevada a dois; —O algarismo das milhares, vezes à base elevada a três; E assim por diante ... 10 - Escreva o número (213)4na base 10. R: 39 11 - Escreva o número (2416) na base 10. k:99 1 2 - 0 número (465205)? esta escrito no sistema de base 7. Escreva-o no sistema de base 10. R: 8 3 4 5 2 13- O número (2001), está escrito no sistema de base 2. Escreva-o no sistema de base 10. R: 17 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 29
  • 25. Passar um Número Escrito em uma Base Q ual­ quer para Outra Base Diferente da Decimal 14 - Escrever o número (213)4para um sistema de base 5. Yeja como se faz: Passamos o número dado para a base decimal e, em seguida, passamos o número resultante para a base desejada. Solução: i) Passando (213)4para a base decimal, temos: (213), — 3x4° + 1x4' + 2 x 42 = 3 + 4 + 32 = 39 ii) Agora, passaremos o número 39, que está escrito na base 10, para a base pedida, no caso, a base 5. 39 | 5 4 7 2 1 R: (124)s 15 - Escreva o número (2132)3na base 4. R: (4z2)4 16 - Escreva o número (1212). na base 2. R: (510102), 17 - Escreva o número (102). na base 4. R: (122)4 18 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 23 do sistema decimal se escreve 32. 30 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 26. Solução: Seja x a base desejada, então temos: (32)x= 23 2 x * x ° + 3 x x ! = 2 3 2 + 3 x = 2 3 3 x = 2 1 x = 7 19 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 45 do sistema decimal se escreve 63. R: 7 20 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 3.8 do sistema de base 10, se escreve 46. R: 8 21 ~Calcule a base do sistema de numeração em que o número 223 do sistema decimal se escreve 337. Solução: Seja x a base desejada, então temos: (337)^ = 223 7 x xü + 3 x x1+ 3 x x’ = 223 7 +3x-+ 3x2 =223 3x2 +3x = 216 3x2 +3x — 216 = 0 Resultou uma equação do 2- grau que resolvida nos dá: x’ = —9 e x” = 8. Desprezamos a raiz negativa, então a base procurada será 8. 22 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do sistema decimal se escreve 123. R: 5 23 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 122 do sistema decimal, se escreve 145. R: 9 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3 1
  • 27. 24 - Em que base está escrito o número 57 sabendo que no sistema de base decimal se escreve 72. R: 13 25 - Qual é a base do sistema de numeração em que o número 144 na base 10, se escreve 100. R: 12 26 - Qualé a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16. Ri 11 27 - Um número de dois algarismos, escrito na base 7, escreve-se na base 9 com os mesmos algarismos em ordem inversa. Determinar esse número na base 10; correspondente ao número na base 7 e na base 9. Solução: Seja ab o número. Então temos: (ab)7 = (ba), b x 7o + a x 71 = a x 9o + b x 91 b + 7a = a + 9b 6a = 8b 3a = 4b Para que a igualdade desses dois produtos exista, deveremos ter: a = 4 e b = 3. O número será: (43)7ou (34) Na base 10 teremos: (43), = 3 x 7Ü+ 4x T = 3 + 28 = 31 (34), = 4 x 9o + 3 x 91= 4 + 27 = 31 28 - Um número de dois algarismos, escrito na base 3, escreve-se na base 5 com os mesmos algarismos escritos em ordem inversa. Determine esse número na base 10; correspondente ao número na base 3 e na base 5. R: 7 29 - Certo número de dois algarismos escrito no sistema decimal tem 7 para soma dos seus algarismos. Com a base 6, o número formado pelos mesmos algarismos, vale 16 unidades menos do que o primeiro. Achar esse primeiro número. R: 43 32 HODER GÓES * UBALDO TONAR
  • 28. 30 ~O número 23 se acha escrito em dois sistemas de numeração cujas bases diferem de duas unidades. Achar essas bases, sabendo que a soma dos dois números é 34. R: 6 e 8 37 31 - Escrever a fracão — na base 8. J 51 Solução: Passa-se separadamente, o numerador e o denominador, para a base 8. 37 | 8 = >37 = (45), 51 j 8 = > 51 = (63), 5 4 3 6 No que resulta: — =— (8) M 51 63 32 - Escreva a fracão — na base 9. J 22 47 R: ~ (9 ) 24 ' 33 - Escreva a feacão — na base 5. ' 27 R: Z i (5) 52 1 ; 34 - Efetuar a divisão de (21374)spor 5. Solução: . (2 1 . 3 7 4), [ 5 (21), = 17 3377 (23), = 19 (47), = 39 (44), = 36 1 (21)g= 1 x 8o+ 2 x8‘ = 1+ 16 = 17 (23), = 3 x 8a + 2x8l = 3+ 16 = 19 (47)g= 7 x 8Ü+ 4 x81= 7 + 32 = 39 (44)s = 4x 8° + 4 x81= 4 + 32 = 36 R: Quociente = 3377 e Resto = 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 33
  • 29. 35 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (3414) por 6. R: Quociente = 4548 e Resto = 4 36-0 número {7513)aestá escritona base 8. Calcule oresto da sua divisão por3. R:0 37 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (2632)fipor 4. R: Quociente = 435 e Resto = 0 34 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 30. 3 NÚMEROS INTEIROS As operações fandamentais com os números inteiros sâo quatro: Adição Subtração Multiplicação Divisão PROPRIEDADES DA ADIÇÃO: a) Elemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição nos números naturais. 2 + 0 = 2 0 + 5 = 5 b) Fechamento: A soma de dois ou mais números naturais é sem­ pre um número natural. 2 + 3 = 5 4 + 2 + 3 = 9 c) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma. 2 + 3 + 5 = 1 0 3 + 2 + 5 = 1 0 5 + 3 + 2 = 1 0 d) Associativa: Numa soma indicada de várias parcelas, podemos substituir várias de suas parcelas pela sua respectiva soma. 3 + 4 + 6 + 2 —(3 + 4) + (6 + 2 ) = 7 + 8 = 1 5 3 + 4 + 6 + 2 = ( 3 + 4 + 2 ) +6 =9 + 6 = 1 5 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 35
  • 31. OBSERVAÇÕES: Primeira: Quando se aumenta uma parcela de uma certa quantida­ de, a soma fica aumentada dessa quantidade. 10 — >10 + 5 = 15 + 6 + 6 16 2 1 -» 2 1 -1 6 = 5 Segunda: Quando se diminui uma parcela de uma certa quantida­ de, a soma fica diminuída dessa quantidade. 10 1 0 - 3 = 7 + 6 H - 6 16 13 .-> 16-13 = 3 01 - Numa adição de duas parcelas, uma delas é 900 e a soma 1.860. Calcu­ le a outra parcela. R: 960 02 - Numa adição de 5 parcelas, a Iae a 2- são, respectivamente, 600 e 700; a 3*é igual à diferença entre as duas primeiras; a 4aé igual à soma da Iacom a 3a, e a 5a é igual à diferença entre a 4- e a 3a. Calcule a soma. R: 2.700 03 - Uma pessoa ao escrever as duas parcelas de uma soma, enganou-se e escreveu a primeira com um erro de 650 unidades para mais e a segunda com 165, também para mais. Calcule o erro total cometido. R: 815 04 - Uma pessoa, ao escrever as três parcelas de uma adição, cometeu três erros para menos: de 123, na primeira, de 2 na segunda e de 35, na terceira. Calcule a.verdadeira soma, sabendo-se que ela encontrou 2.490. R: 2.650 05 - Ao efetuar uma adição de duas parcelas, uma pessoa obteve o número 3.260. Ao confrontá-la com o original, verificou seus erros iniciais quando havia copiado as parcelas: na Ia foi de 180, para mais, e na 2a, de 20, para menos. Calcule a soma exata. R: 3.100 36 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 32. 06 - Se acrescentarmos 15 centenas a um número e de outro tirarmos 743 unidades, a soma desses números fica sendo 4.139. Se o menor deles é 1.639. Calcule o maior. R: 1.743 07 - Se tirarmos 757 de um número e 348, de outro, a soma torna-se 293. Sendo 1.049 o maior número, calcule o menor. R: 349 08 - Numa soma de três parcelas, soma-se 3 unidades à primeira, 2 unida­ des à segunda e subtrai-se 9 unidades à terceira. Calcule de quantas unida­ des ficou alterado o resultado. R: 4 SUBTRAÇÃO; OBSERVAÇÕES: Primeira: A subtração não é comutativa, nem associativa e nem possui elemento neutro. Segunda: O minuendo é igual ao subtraendo somado com o resto. 8 minuendo —5 subtraendo 8 = 5 + 3 3 — >resto Terceira:A soma do minuendo com o subtraendo e com o resto, é igual ao dobro do minuendo. 7 — >minuendo —3 — >subtraendo => 7 + 3+ 4= 14 =^>14 —2 x57 4 resto :E a^opeíãçàô MKNQR^- ;çtiám.ado^áÍD^ DO je. pxitr'8 •número;^ !& Í0 ^ ÍT r)O j*e!ç^|i Te.suIi:ádo';(^^^^ ou RESilÒjjj MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 37
  • 33. Quarta: Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número do minuendo e do subtraendo o resto não se altera. 1 8 - » 1 8 + 3 = 2 1 2 0 - > 2 0 — 3 = 1 7 — 6 —> 6 + 3 — — 9 — 7 —> 7 — 3 — — 4 1 2 1 2 1 3 1 3 Quinta: O restovaria no mesmo sentido quevaria o minuendo, isto é: a) Somando-se qualquer número ao minuendo, o resto ficará au­ mentado desse número. 1 8 —> 1 8 + 5 = 2 3 -A ~A 1 4 1 9 - » 1 9 = 1 4 + 5 b) Diminuindo-se qualquer número do minuendo, o resto ficará diminuído desse número. 1 4 —>1 4 - 2 = 1 2 -A -_4 10 8 — » 8 = 10 - 2 Sexta: O resto varia em sentido contrário ao que varia o sub­ traendo, isto é: a) Somando-se qualquer número ao subtraendo, o resto ficará di­ minuído desse número. 12 12 • — A 4 + 2 => — _6 8 6 6 = 8 - 2 b) Diminuindo-se qualquer número do subtraendo, o resto ficará aumentado desse número. 1 6 1 6 — 6 —> 6 — 2 = > — 4 10 12->12 = 10 + 2 Sétima: Somando-se certo número ao minuendo e diminuindo-se outro número do subtraendo, o resto ficará aumentado da soma desses números. 38 H ILD ERGÓ ES * UBALDOTO N AR
  • 34. 20-» 20 + -6 = 26 —8 — » 8 — •o — —3 12 23 -» (23 - 12) = 11 = 6 + 5 Oitava: Diminuindo-se certo número do minuendo e aumentan­ do-se de outro número o subtraendo, o resto ficará diminuído da soma desses números. 30 30 - 10 =20 - J á 14 + 3 = - 17 16 3 (1 6 -3 ) = 13 = 10 + 3 09 - Calcule o minuendo de uma subtração, sabendo que o resto é 15 e o subtraendo 115. R: 130 10 - Numa subtração, o dobro -dominuendo é 160. Calcule o resto, saben­ do que o subtraendo vale 20. ~R: 60 11- Calculada a diferença de dois números, obteve-se 120. Houve, porém, 110 minuendo um erro de 20, para mais e no suba-aendo um erro de 10 para mais. Calcule a diferença exata. ' R: 110) 12 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 180. Houve, porém, no minuendo urrr erro de 50 para mais, e no subtraendo um erro de 30 para mais. Calcule a diferença esata. R: 160 13 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 250, Houve, porém, no minuendo um erro de 70, para mais e no subtraendo um erro de 30 para menos. Calcule a diferença exata. R: 150 1 4 -0 resto encontrado em uma diferença foi 280. Verificou-se, entretan­ to, que o minuendo havia sofrido um erro de 150, para menos e no subtraendo houve um erro de 70 para menos. Calcule o resto exato. R: 500 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 39
  • 35. 15 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 80. Houve, porém no minuendo um erro de 70 para menos e no subtraendo um erro de 20 para mais. Calcule a diferença exata. R: 270 16 - Somando-se 72 ao minuendo e 15 ao subtraendo, calcule que altera­ ção sofre o resto da subtração. R: Fica aumentado de 57 unidades 17 - Somando-se 54 ao minuendo e subtraindo-se 12 ao minuendo, calcule de quantas unidades o resto fica alterado. R: 66 18 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é igual a 90. O resto é inferior ao subtraendo em 19 unidades. Calcule os termos dessa subtração. R: 45, 32 e 13 19 - São dados dois números dos quais o maior é 380. Tirand©~se 180 de um e 160 de outro, a soma dos restos obtidos é igual a 240. Calcular o número. R: 200 2 0 - 0 minuendo de uma subtração é 346. O subtraendo e o resto são números pares e consecutivos, sendo o resto o maior desses números, calcule o subtraendo. R: 172 21 - Á soma dos três números que figuram em uma subtração é 7492. O resto excede o subtraendo de 3438. Calcule os três números. R: 3746,154 e 3592 22 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é ígual a 516. O subtraendo é igual ao resto. Calcule o minuendo e.p resto. R: 258 e 129 40 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 36. 23 - A soma dos três números qúe figuram numa subtração é igual a 948. Calcular esses três números, sabendo-se que o subtraendo e o resto são iguais. R: 474, 237 e 237 24 - Em uma subtração a soma do minuendo, subtraendo e resto é 1344; o subtraendo sendo 621, determine o minuendo e o resta R: 672 e 51 25 - Numa subtração a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é 1686. O resto excede o subtraendo de 253 unidades. Calcular o minuendo, o subtraendo e o resto. Rx 843, 295 e 548 26 - A soma dos três números que figuram numa subtração é 842. O resto excede o subtraendo de 145 unidades. Determinar esses três números. R: 421,138 e 283 MULTIPLICAÇÃO: PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO a) Elemento Neutro: O um (1) é o elemento neutro da multiplicação. 3 x 1 = 3 4 x 1 = 4 b) Fechamento: O produto de dois números naturais é sempre um número natural. 2 x 3 = 6 4 x 5 = 20 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4 1
  • 37. c) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto. 3 x 2 x 5 = 30 2 x 5 x 3 —30 5 x 3 x 2 = 30 d) Associativa: Num produto de vários fatores podemos substituir dois ou mais deles pelo seu produto. 4 x 3 x 5 x 2 = 12 x 5 x 2 = 12 x 10 = 120 e) Distributiva em Relação a Adição: Para se multiplicar uma soma por um número, multiplica-se cada uma das parcelas pelo número dado e soma-se os produtos. (4 + 6) x 3 = 4 x 3 + 6 x 3 = 12 + 18 = 30 £ ) Distributiva em Relação a Subtração: Para se multiplicar uma di­ ferença por um número, basta multiplicar cada termo da diferença por esse número e, a seguir, subtrair os produtos. (12 - 10) x 2 = 12 x 2 - 10 x 2 = 24 - 20 = 4 g) Elemento Nulo: Quando um dos fatores é zero, o produto é zero. 3 x 0 = 0 2 x 5 x 0 x 6 = 0 h) Quando se soma um certo número a um dos fatores, o produto fica aumentado de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo outro fator. i) Quando se subtrai um certo número de um dos fatores, o produ­ to fica subtraído de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo outro fator. 2-> 2 + 5 - 7 2 1 — *>21—6 = 15 = 5 x 3 x_3 6 2 = 3 x_4 12 -» 20 —12 = 8 = 2 x 4 x 4 20 42 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 38. j) Quando se multiplica um dos fatores por um número, o produ­ to fica multiplicado por esse número. 10 10 x 3 = 30 x 4 x 4 40 120 = 40 x 3 1) Quando se divide um dos fatores por um número, o produto fica dividido por esse número 20 20 - 2 - 10 x 3 x __3 60 30 = 60 4-2 2 7 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o multiplicando, o produto será 96. Calcule o multiplicando e o multiplicador. R: 15 e 8 2 8 - 0 produto de dois números, que é 594 será 429 se diminuirmos 5 do multiplicador. Calcule o primeiro e o segundo fatores. R: 18 e 33 2 9 - 0 produto de dois números é 120, aumentando-se de 5 unidades o multiplicador, o produto será 160. Calcule o multiplicador. R: 8 3 0 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o multiplicador, o produto será 75. Calcule o multiplicador. R; 15 3 1 - 0 produto de dois números é 248. Multiplicando-se um deles por 2 e o outro por 3, calcule o produto desses dois novos números. R; 1.488 3 2 - 0 produto de dois números é 4.176. Subtraindo-se 7 de um dos números o produto se reduz a 3.770. Calcule esses números. R: 1.488 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 43
  • 39. 3 3 - 0 produto de dois números é 630. Somando-se 4 ao multiplicador, o produto dos dois fatores fica igual a 798. Determinar os dois fatores. R: 42 e 15 3 4 - 0 produto de dois números é 96.. Qual é o produto de um número 3 vezes maior do que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que o segundo? R: 1.440 3 5 - 0 produto de dois números é 2496. Determinar esses números, sa- bendo-se que, juntando-se 4 ao multiplicador, o produto passa a ser 2688. R: 48 e 52 3 6 - 0 produto de dois números é 1026. Subtraindo-se 2 a um dos núme­ ros o produto se reduz a 950. Determinar esses números. R: 38 e 27 DIVISÃO a) Dividendo: É o número que há de ser dividido. . b) Divisor: É o número que indica em quantas partes iguais deverá ser dividido o dividendo. c) Quociente: É o resultado da divisão. d) Resto: É o que sobra da divisão, no caso dela não ser exata. i) DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO ii) O maior resto de uma divisão, é o divisor menos uma unidade. 44 HIIJDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 40. OBSERVAÇÕES: Primeira: Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor por um mesmo número (diferente de zero) o quociente não se altera, mas o resto ficará multiplicado ou dividido por esse número. 19 L i. / 19 x 2 = 3838 110 -> 8 = 4 x 2 4 3 5 x 2 = 10 83 Segunda: O quociente varia no mesmo sentido do dividendo, isto é: a) Multiplicando-se o dividendo por um número, o quociente fica multiplicado por esse número. 32 4 -* 32 x 2 = 64 4 0 8 0 16 =í>16 = 8 x 2 b) Dividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica dividido por esse númera 32 1 8 32 4- 2 = 16 0 4 0 2 =>2 = 4 - 2 Terceira: O quociente varia em sentido contrário ao que -varia o divisor, isto é: a) Multiplicando-se o dividor por um número, o quociente fica divi­ dido por esse número. 64 8 => 8 x 2 = 16 => 64 16 0 8 ' ' 0 4 = > 4 = 8-r2 b) Dividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multi­ plicado por esse número. 40 8 8 4 2 = 4 =>40 4 0 5 0 1 0 ^ 1 0 = 5 x 2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 45
  • 41. 37 - Calcule o maior numero que dividido por 11 dê um resto igual ao quodente. R: 120 38 - Calcule o quodente de uma divisão, sabendo que, aumentando 52 unidades ao dividendo e 4 unidades ao divisor, o quodente e o resto não se alteram. R: 13 39 - Numa divisão o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do divisor e do quociente é igual a 6, calcule o dividendo. R: 11 4 0 - 0 dividendo de uma subtração é 237, o resto é 16 e o divisor é o menor possível, calcule o quociente. R: 13 41 - Numa divisão, o divisor é 257, o quodente é 59 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 15.419 42 - Numa divisão, o divisor é 12, o quodente é 10 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 131 43 - Numa divisão, o divisor é 28, o quodente é o quádruplo do divisor e o resto é o maior possível Calcular o dividendo. R: 3.163 44 - Numa divisão, o quociente é 48, o resto é a terça parte do quodente e é o maior possível. Calcular o dividendo. R: 832 45 - Numa divisão, o quodente é 12; o divisor é o dobro do quociente e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 311 46 HILDER GÓES * UBAJUDO TONAR
  • 42. 46 - Em uma divisão, o dividendo é 5043, o quociente é 14 e o resto é 185. Calcule o divisor. R: 347 47 - Numa divisão, o divisor é 298, o quociente é o triplo do divisor e o resto é o maior possível. Determine o dividendo. R: 266.709 48 - Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 16, e o resto é o maior possível. Calcular o -dividendo. R: 254 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4 ?
  • 43. 4 NÚMEROS FRACIONÁRIOS INTRODUÇÃO Poderemos dizer que: a) a criança comeu 3 das 5 partes, isto é, três quintos da barra de chocolate. b) a criança deixou de comer 2 das 5 partes, isto é, dois quintos da barra de chocolate. Observe que os três quintos que a criança comeu da barra de cho­ colate e os dois quintos que deixou de comer, foram tirados da unidade que era uma barra de chocolate. Os números três quintos e dois quintos, são chamados Números Fracionários ou Frações Ordinárias. Daí a definição. Ilustrando o exemplo dado, temos: a barra de chocolate a barra de chocolate três quintos dois quintos NOTAÇÃO: Pata representarmos uma fração, são necessários dois números chamados termos da fração. Sejam a e b números, com b ^ 0. t â / Daí: — ou /. Onde a é o numerador e b é o denominador, b /b 48 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 44. a) O numerador indica o número de partes tomadas da unidade b) O denominador indica em quantas partes a unidade foi dividida. A fração 3/5 da barra de chocolate que a criança comeu, indica que a unidade foi dividida em 5 partes e ela comeu 3 dessas partes. CLASSIFICAÇÃO: As frações se classificam em: a) Própria: Numerador MENOR do que o denominador. j>, 4 3 ’ 7* 5 b) Imprópria: Numerador MAIOR do que o denominador. 7, 8 , 4 2 ’ 5 ’ 3 c) Aparente: Numerador IGUAL ou MÚLTIPLO do denominador. 4 , 1§ 6 * 2 ’ 5 d) Homogêneas: São as frações que possuem o mesmo denominador 1 3 - 7 5 * 5 ’ 5 e) Heterogêneas:Sãoas frações quepossuemdenominadores diferentes: 3 2 4 4 ’ 5 ’ 9 f) Inversas: Duas frações se dizem inversas quando o numerador e o denominador de uma for o denominador e o numerador da outra. l e i Ae_í 5 2 4 3 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 49
  • 45. g) Equivalentes: Duas ou mais -frações são ditas equivalentes, quando representam a mesma parte da unidade ou do inteiro:^ 2 e 3 _ 2 5 4 ó ’ Veja graficamente < CLASSE DE EQUIVALÊNCIA DE UMA FRAÇÃO: Chamamos de Classe de Equivalência de uma fração, aoxonjun- to formado por todas as frações equivalentes a uma fração dada. Exemplo: Calcule a classe de equivalência da fração 2 Solução: 3 4 6 ' JS 1 0 1 2 ' 1 4 .6 ’ 9 5 1 2 ’ 1 5 * 1 8 ’ 2 1 01 - Assinale as frações próprias: 1 2 7 8 7 02 - Assinale as frações impróprias: 1 11 7 .,—> — j 'h 4 50 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 46. 03 - Assinale as frações aparentes. 3 8 3 5 8 14 4 , _ j , —, — , — 5 4 1 5 3 7 3 04 - Dentre as frações seguintes, destaque as homogêneas entre si. 3 J 5 1 2 4 7 4 --J - J - J (* -- > ?-5 -- > -- 5 7 3 5 5 7 3 05 ~Dentre as frações seguintes, destaque as heterogênas 1 rl 1 J l 1 1 1 4 5 3 ’ 4 7 5 4 * 4 ’ 4 3 06 - Escreva anco frações equivalentes à fração —> PROPRIEDADES DAS FRAÇÕES: a) Quando multiplicamos, os dois termos de uma fração, por um número diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada. 1 Seta a fração —> multiplicando o numerador e o denominador por 2 2 3 2, resulta —•por 3 resulta—. 4 ’ 6 1 2 3 As frações — e — são equivalentes. 2 4 6 M b) Quando dividimos os dois termos de uma fração, por um núme­ ro diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada. Seja a fração — >dividindo o numerador e o denominador por 2, resulta — >por 3 resulta ™. As frações — » — e -= - são equivalentes. 15 10 ' 30 15 10 M MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 1
  • 47. c) Multiplicando o numerador de uma tração por um aúmero dt- ferente de zero, a fração fica multiplicada por esse número. 2 6 Multiplicando o numerador da fração — por 3, teremos —- que é 8 8 três vezes a fracão ~ . Visualize, graficamente/ d) Dividindo onumerador de uma fração por um número diferente de zero, a fração fica dividida por esse número. 4 2 ' Seja a fração — , dividindo o numerador por 2, temos: -y- . Visualize, graficamente< e) Multiplicando o denominador de uma fração, por um número diferente de zero, a fração fica dividida por esse número. Visuaiize, graficamente 1 3 1 „1 3 x 2 6 f) Dividindo o denominador de uma fração, por um número dife­ rente de zero, a fração fica multiplicada por esse número. Visuaiize, graficamente 1 2 4 52 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 48. SIMPLIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO Quando os termos deumafraçào admitemum divisor comum, pode-se substituir essa fraçãopor outraequivalente, com ostermos com menores valores. BI 27 Seja a fração ~ ~ > dmdindo-se ambos os termos por 3, resulta: — 108 36 81 que é uma fração equivalente a porém, com os termos mais simplificados. OBSERVAÇÃO: . .ssfr -Tiínaclòr^ 81 Na fraçào , ao dividirmos os seus termos pelo máximo divisor 3 comum de 81 e 108 que é 27, teremos a fraçào ~ , que é a forma irredutível 81 fração — . REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR 3 1 7 Seiam as frações — , —e — • ' 5 4 10 a) Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, o qual será o denominador comum das frações dadas. O m.m.c. (5, 4,10) = 20. b) Dividimos o denominador comum 20, pelo denominador de cada fraçào. 20 - 5 = 4, 20 -r 4 = 5, 20 * 10 = 2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 3
  • 49. c) Multiplicando esses quocientes pelos respectivos numeradores, i r 12 5 14 obtemos os numeradores das frações. e^ 07 - Reduza, os conjuntos de frações abaixo, ao mesmo denominador. 3 3 3 1 , . 2 1 1 3 7 1 2 1 a)— b)— c)— 5 7 2 5 5 7 2 8 11 3 5 9 2 1 1 2 2 1 3 3 7 1 2 2 ^ 7 ’ 8 ’ 3 ’ 4 t >6 , 4 , 2 8 ’ 3 ’ 5 ’ 1 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES a) Frações com o mesmo denominador Exemplo: 4 2 5 3 — - é maior do que — - é maior do que ~ 5 5 7 / 08 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior: 2 1_ 9 7 1 0 4_ 8 3 3 3 3 3 3 3 09 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor: 4 3 5 9 2 1 8 s V s V s V s b) Frações com o mesmo numerador Exemplos: ■2 , . , 2 1 1 —é maior do que — —é maior do que — 5 7 2 4 54 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR
  • 50. 10 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior: 1 1 1 1 7 ’ 8 ’ 9 ’ 4 11 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior: 3 3 _3_ i V l l 12 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor. I I 1 i 5 ’ 7 ’ 8 ’ 9 13 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor. i i I 2 ’ 4 ’ 3 c) Frações com numeradores e denominadores diferentes ■''Dçyerôosjréduzii:;^ détionun< > d <> r. rei^ürido sxo; Exemplo: 2 1 8 3 2 , 1 — , —=>— , — => —e maior do que — 3 4 1 2 1 2 3 4 14 - Colocar em ordem decrescente: 4 3 2 1 9 15 - Pôr em ordem decrescente: i 1 1 1 1 1 8 ’ 8 58 ’ 8 *8 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 5
  • 51. 16 - Pôr em ordem crescente: 2 2 2 2 2 5 ’ 7 J 4 ’ 3 ’ 9 17 - Pôr em ordem crescente: i i 1 1 _ ! 4 >3 ’ 8 ’ 7 >10 18 - Escrever em ordem crescente: 5 ’ 5* 3 ’ 7 ’ 2 19 - Escrever em ordem crescente: 1 1 1 1 1 3 V 4 ’ 7 ’ 2 NÚMERO MISTO 2 + 1 3 +1 4 < )lhe ConiumeiUe o nmrie.tpíiítíÃtpeltpjrésínínaq s'eüi;b,'?íirJ.dcràt%ão;Bn '^ .^ C V # ' - Y f V/.-:' ..■:-2-tTí;='-2-:-:-& o t . . - - - v a . . v ■ . - " ■■ TRANSFORMAÇÃO DE UM NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA Hicarsé o-ii/^ero/iíifeii'». pelp: se o nun aõrés.ultátip sõ fraoío dada - ' 56 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 52. Exemplos: 0 1 = 2x3 +1 _ 7 1 _ 4x 2 +l _ 9 “ 3 3 3 2 2 ~2 20 - Transformar em frações impróprias, os números mistos abaixo relacionados. - 1 1 1 a) 3 - d) 1- g) l i b) 2 j e) 4-1 h) 2 j 4 5 5 C) 3 - f) 2 - 9 5 - 3 5 2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ADIÇÃO a) Frações com o mesmo denominador ■ ..!v r• ■ v-;r! àenamin^dot/cònilim::r':'r:yrí v ; :A■ ■ ?■ vV ü i 5 3 7 15 Exem plos:---- h— H ---- — — 17 17 17 17 Efetue as seguintes adições: ^ 4 1 2 22 - !----!— 5 5 5 ™ 2 3 1 23 - — l-----1 — 7 7 7 5 3 2 24 ------ +- +— 6 6 6 3 1 3 2 _ 1 3 7 8 25 ---- !----- i------i---- 26 - —l----------1 ---- h— 11 11 11 11 9 9 9 9 ™ 2 3 5 1 27 - -----1 ------1 ------1 ---- 15 15 15 15 2 4 7 11 28- — +— +— +— 12 12 12 12 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 57
  • 53. ... d) Frações com denominadores diferentes 2 3 8 9 Exemplos: — 1 — =— -í---- =— r 3 4 12 12 12 1 3 5 9 — 4— — --- — 3 5 15 15 Efetue as adições abaixo: 1 3 1 2 9 - 1 + Í - + - 2 4 3 . , 2 1 5 3 1 “ — i— ~ 3 4 6 1 3 7 3U- — ----------- 5 7 35 3 2 3 2 1 — +__+_ 10 5 6 SUBTRAÇÃO: a) Frações com o mesmo denominador ';:;-;:;íÍ:S,úbLrai'‘Se os numeiradoíesvêjíão ^'esiiitádo, dá^stí-lh^.-eí-' ü „ A - i L í - 1 - 1 15 15 _ 15 8 8 ~ 8 E etue as seguintes subtrações: - 0 3 1 3 2 3 3 - - - - 3 4 - — - 3 5 - S 8 4 4 7 7 8 3 /C 5 8 2 3 6 - J L _ . Í _ 3 7 - - - 3 8 - ----------- 1 5 1 5 7 1 7 1 3 1 3 , « 7 2 9 3 3 2 3 9 --------------------- 4 0 -------------- 4 1 - 9 9 1 4 1 4 5 5 58 HILDER GÓES * UBÀÍJDO TONAR
  • 54. b) Frações com denominadores diferentes llcd ;se.‘ja$Vfí'açoes-ao;íiíésm^ 8Ei.S6^i^BS#Si85iiliS 4 3 _ 16 15 _ 1 5 4 ~ 20 20 ~ 20 Efetue as subtrações abaixo: 4 2 - Í - í 5 3 3 2 45 - ~ ~ - 43- 46- - - _9_ 21 44- 47 24 A 12 MULTIPLICAÇÃO: a) Multiplicação de uma fração por um número ". ' ‘ "" ' ’ ' ^pum iofíiiíiiiíèíifdái £rrfèí>rn 2 -v - 6 —x 3 =— 7 7 ' 3 15 5x —=— 4 4 b) Produto de duas ou mais frações 1 1 - 12. 3 ' 4 ~ ~12 i 1 1 - l í 3 5 2 ~ ~30 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
  • 55. 2 2 ^ 3 0 4 8 - - x 2 49- - x 5 50- - x 2 5 7 7 51- 7 x - 5 2 - 1 2 x i 53- 7 x - 9 8 3 54~— x 8 55 - 9 x — 56- 21 x 1 15 5 4 „ 2 8 c o 2 2 c a 7 2 57----x — 58-----X” 59- —x — 4 16 3 9 5 8 ^ 8 3 1 2 3 1 1 3 2 60----x — -x— 61- —x —x — 62- —x —x~~ 4 7 2 5 2 4 2 2 3 Efetuar as seguintes multiplicações: OBSERVAÇÕES: i) O inverso de um número Exemplos: ^ O inverso de 3 é — O invetso de 13 é — 3 13 ii) O inverso de uma fração. 1 Exemplos: 3 4 2 7 O inverso de — é — O inverso de — é — 4 3 7 ' 2' DIVISÃO: a) Divisão de uma fração por um número r.; 60 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 56. T ? 1 3 . .3 T 3 2 2 1 2 Exemplos: —-h5 =—x —=— . —-i-3 = - x —= — 4 . 4 5 ' 20 55315 Efetuar as divisões abaixo: 63- 3 —— 3 5 64- 8 65- —+5 9 66 - 12 67- 14 68- 1 , 2 9 69- 1 , 6 8 70- 3 , — -s-5 14 71- - - 5 7 b) Divisão de um número por -uma fração í : íu1tijpiicíí -o ! * 3 „ 4 8 2 5 15 Exemplos: 2 —= 2 x —= — 3 - —= 3 x —= — 4 v 3 3 5 2 2 Efetuar as divisões abaixo: 72- 2 -r-i 7 3 - 3 - 1 7 4 - 3 * - 5 7 5 75- 8-5-- 7 6 - 4 - ™ 7 7 - 8 - - 3 3 9 2 4 7 78- 1 6 4 - - 7 9 _ 9 ^ _ 8 0 - 7 - — 3 7 15 c) Divisão de uma fração por outra fração MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6 l
  • 57. Exemplos: — — 4 7 1 ' 1 - Z L 4 5 ” 20 2 . ^ 1 - ! 3 _ 6 5 ’ 3 ~ 5 4 _ 20 Efetuar as divisões abaixo: 81- 3 _ 2 5 ‘ 5 82- 2 , 3 4 * 7 83- 8 . 3 12 ’ 6 O O 4*- ( 1 . 3 5 ’ 5 85- 7 , 2 8 ’ 5 86- 1 . 2 6 ‘ 7 i O O 2 t 3 5 ’ 8 88- 3 , 5 7 ‘ 8 89- 3 . 1 9 ‘ 7 OBSERVAÇAO: t, , 2 1 2 3 4 9 13 Exemplos: — h1———H ----- = — 1 — = — 3 2 3 2 6 6 6 EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS É a reunião de números fracionários, unidos entre si, pelas opera­ ções de adição, subtração, multiplicação e divisão. Na solução de uma expressão fracionária, devemos efetuar as ope­ rações na seguinte ordem de prioridade a) Divisão b) Multiplicação c) Adição e subtração, simultaneamente ; ::Vejá: .Qíttndó,'iiumfèxp.íréssíiç--fracLphávííj^gúra£,."ós) nais dè;i;eüxiÍ2ó,' ■ ' '•Y;tãísi£çii»p:;C^^ cS^íeí&dó/Yv;' 62 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 58. Exemplo: Calculea expressão: —h i + l - í 3 15 5j 3 Solução :* {—+ _ 2 | M ,5 +6 3j 1 2 " í 15 2 + 1 5 3 J ” 3 0 * 3 0 3 0 ~ 3 0 MÁXIMO DIVISOR COMUM DE FRAÇÕES O m.d.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o m.d.c dos numeradores das frações dadas e para denominador o m.m.c. dos denominadores das mesmas frações. Exemplo: Calcular o maior divisor comum das frações: 6 3 12 7 * 5 C 15 m.&c. (6, 3, 12) = 3 m.m.c. (7, 5,15) = 105 Então, o M.D.C. será -1— 105 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE FRAÇÕES O m.m.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o m.m.c. dos numeradores das frações dadas e para denominador, o m.d.c. dos denominadores das mesmas frações. Exemplo: Calcular o menor múltiplo comum das frações: 7 5 15 6 * 3 6 1 2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6 3
  • 59. m.m.c. (7, 5, 15) = 105 m.d.c. (6, 3,12) = 3 . 105 Logo, o m.m.c. seta ----- 1 1 FRAÇÃO EQUIDISTANTE DE DUAS OUTRAS Para se calcular uma fração equidistante de duas outras frações, re­ duzimos as frações ao mesmo-denominador, sorriamos as frações resul­ tantes e dividimos por dois. Exemplo: Calcule afração equidistante das fracoes — e S 1 . 1 1 3 5 ' 5 3 Solução: —e —= i> — , — 5 3 15 15 - A J L - A 15 15 “ 15 ^ 2 - A ~ ± 15 ' ~ 30 ~ 15 Olhe: — 4_ 1 15 5 4 - 3 15 15 l _ 4 _ 3 15 5 - 4 15 _5_ 15 Calcule as expressões abaixo relacionadas: 7 1 2 1 3— - + - 90 - -JL 91 _ _3. 92. 5— 3 o 1 3 1 3 - 2 - ------- 4 6 4 7 64 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR
  • 60. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
  • 61. NÚMEROS DECIMAIS DEFINIÇÃO ínero aeciii^^^ partes; Parte Inteira: É a que fica à esquerda da vírgula Parte Decimal: E a que fica à direita da vírgula Exemplo: No número 34,285 temos: 34 é a parte inteira e 285 é a parte decimal. PROPRIEDADES DOS NÚMEROS DECIMAIS Primeira: Um número decimal não se altera quando se acrescen­ tam ou se suprimem um ou mais zero à direita de sua parte decimal Exemplos: 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000 ... 0,5000 “ 0,500 = 0,50 = 0,5 Segunda: Para se multiplicar um número dedmal por 10,100,1000,..., basta deslocar a vírgula para a direita; uma, duas, três,..., casas decimais.„ Exemplos: Efetuar as seguintes operações: a) 3,42 x 10 b) 0,165 x 100 c) 1,5 x 1000 Solução: a) 3,42 x 10 —34,2 b) 0,165 x 100 = 16,5 c) 1,5 x 1000 = 1500 6 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 62. Terceira: Para se dividir um número decimal por 10,100,1000,..., basta deslocar a vírgula para a esquerda; uma, duas, três,casas decimais. Exemplo: Efetuar as seguintes divisões: a) 35,4 - 5 - 10 b) 228,72 + 100 c) 23,4 - 1000 Solução: a) 35,4 + . 10 = 3,54 b) 228,72 - 100 = 2,2872 c) 23,4 + 1000 = 0,0234 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS a) As partes inteiras são diferentes: "'; ■ .¥ > .‘maior Exemplos: 3,2 é maior do que 1,879 2,1 é maior do que 1,32274 b) As partes inteiras são iguais á f ' :ys '.!'30■-■V'*% r ^v-':-'0 . ^ í :' 'r.‘;,:;'Iguála;mo§;-ó/nú^ ^eros.-■ . r v;-.Q tn^òt tiiunié^s'é'i^'ir<âüd^ Gtídmal.-1 Exemplo: Sejam os números 2,42 e 2,523 Igualando as casas decimais, resulta: 2,420 e 2,523. Como 523 é maior do que 420, então: 2,523 é maior do que 2,42. Exemplo: Sejam os números 2,6 e 2,542 Igualando as casas decimais, resulta: 2,600 e 2,542. Como 600 é maior do que 542, então 2,6 é maior do que 2,542. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 67
  • 63. OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS ADIÇÃO: ^yírgijíà^dçíiaí^;cle:yí Exemplos 1,25 + 3,2 + 0,412 0,27 + 21,412 + 322,4 1, 25 3, 2 0, 412 4, 862 0, 27 21, 412 322, 4 344, 082 Efetuar as adições abaixo: 01 - 43,21 + 3,423 + 0,59 02 - 39,04 + 431,2 + 9,007 03 - 4,932 + 27,3005 +74,007 04 - 9,007 + 0,53 + 0,92 + 40,009 05 - 7,95 + 1,8 + 9,82 + 8,2 06 - 9,4 + 0,28 + 0,074 + 9,0 07 - 2,8 + 13,24 + 29,35 08 - 9,78 + 3,09 + 5,36 + 0,0019 Respostas: 01 - 47,223 05 - 27,77 02 - 479,247 06 - 18,754 03 - 106,2395 07 - 44,69 04 - 50,466 08 - 18,2319 SUBTRAÇÃO; iC oiòáí^sç^g^ Exemplos: 2,6 — 1,234 2,600 _ 1,234 1,366 32,4 - 13,27 32,40 13,27 19,13 6 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 64. Efetue as subtrações abaixo: 09 - 43,2 - 21,234 10 - 19,378 - 8,6 11 - 0,533 - 0,2 12 - 37,25 - 9,8762 13 - 3,84 - 1,95438 14 . 3 _ 1/7495 15 - 2,784 - 1,9 16 - 8,005 - 7,08956 Respostas: 09 - 21,966 10 - 10,778 11 - 0,333 12 - 27,3738 13 - 1,88562 14 - 1,2505 15 - 0,884 16 - 0,91544 MULTIPLICAÇÃO: Exemplos: 4,08 x 0,18 4,08 x 0,18 3264 408 0,7344 3,84 x 2,5 3,84 x 2,5 1920 768 9,600 Efetue as multiplicações abaixo: 17-4,6 x 2,8 18-2,4 x 0,6 19 - 31,2 x 4,2 20-4,74 x 0,39 21-47,845 x 1,035 22 - 0,844 x 3,5 23 - 12,8 x 3,2 24- 10,52 x 0,015 Respostas: 17 - 12,88 21-49,519575 18 - 1,44 22 - 2,954 19-131,04 23-40,96 20-1,8486 24-0,1578 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 69
  • 65. Exemplos: '5,580 4- 2,5 0,16 h - 0,0025 5,580 2,500. 0,1600 0,0025 5800 2,232100 64 800 000 5000 000 Efetue as divisões abaixo: 25 - 37,78 -r 1,6 29 - 8,4 + 280 26 - 48,7 4- 0,8 30-0,16 +0,0025 27-0,84816 + 0,72 31-7,56 -s-3,6 28-0,648 - 0,036 32-0,84 +1,4 Respostas: 25-23,6125 29-0,03 26 - 60,875 30 - 64 27-1,178 31-2,1 28-18 32-0,6 CONVERSÃO DE FRAÇÃO ORDINÁRIA EM DECIMAL Para obtermos o número decimal equivalente à fração dada, dividi­ mos o numerador pelo denominador. Vejamos, agora, algumas divisões separadas por casos: 1* CASO: ~ = 3,5 “ = 2,5 - =. 1,75 2 2 4 í$.à£es'íjjtados;':ebÜ^ 7 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 66. 2Q CASO: - = 1,66...—=0,33. 3 3 . 5 16 — =0,4545... — =1,77... 11 9 2 • 11 -—= 0,1333... — = 1,833... 15 - 6 =1,166... Observe que a parte decimal do quociente é formada por algaris­ mos que se repetem indefinidamente. . Os resultados obtidos são chamados de Números Decimais Pe­ riódicos ou Dízimas Periódicas. *erí(ido:' e-á'parté; ^úa,í.e’;repeí-.e;iadéfíhidaiiiontc nunrhi :Olhe: À pe^òdÍGid.adé cjéum número^^im^LijD^de 0,333 ... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 0,41666 ... = 0,41(6) = 0,416 = 0,416 Converter as frações ordinárias abaixo, em números decimais: 1 3 33 - — 34- — 2 5 35- 36 - — 37 - — 38 - — 11 12 18 Respostas: 33- 0,5 37 - 0,41666... 34 - 0,06 35 - 0,625 38 - 3,88 .... 36 - 0,3636. DIZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES E COMPOSTA Observe as seguintes divisões: 5 1 5 16 —=1,66... —=0,33... --=0,4545... — =77... 3 3 11 9 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NtJMEROS DECIMAIS 71
  • 67. Veja que os quocientes obtidos não são números decimais exatos. Isto porque os números 6, 3, 45 e 7 se repetem indefinidamente. Números como 1,6 6 — ; 0,33... ; 0,4545... e 1,77... são chamados de Dízimas Periódicas Simples. Veja as seguintes divisões: — -0,133... — =0,4166... “ = 1,833... 15 12 6 Observa-se, também, ,que nào são números decimais exatos. Nú­ meros como 0,133...; 0,4166... e 1,833... são chamados de Dízimas Periódicas Compostas. Dízima Periódica Simples: 1,666...: Dízima Periódica Composta: 1,933... parte inteira: 1 período: 6 parte inteira: 1 parte nào periódica: 9 período: 3 Você deve ter observado que, tanto as dízimas periódicas simples como as compostas, se originaram da divisão do numerador pelo denomi­ nador de certas frações. Essas frações que deram origem, que geraram as dízimas, sao cha­ madas de GERATRIZ da dízima periódica. Então, Geratriz da Dízima Periódica é a fraçao que deu origem à dízima. Vejamos, agora, as regras para calcularmos a geratriz das dízimas, isto é, as frações que deram origem às dízimas. 72 HILDER GÓES * UBÀLDO TONAR
  • 68. a) Cálculo da Geratriz de um a Dízima Periódica Simples É a fração que tem como numerador o período e como denomina­ dor um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplo: Calcular a geratriz das dízimas: 0,33...; 0,4545... e 1,666... Solução: 0,333... = —=— 0,4545... =— =— 9 3 99 11 6 15 5 1,666...= 1+0,666... =1+- =— =- 9 9 3 b) Cálculo da Geratriz de uma Dízima Periódica Composta E uma fração que tem como numerador a parte não periódica se­ guida de um dos períodos, menos a parte nào periódica; e, para denomina­ dor, um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplo: Calcularas geratrízes das dízimas: 0,133...;0,41666... e 1,833... 13~1 12 2 Solução: 0,1333.--—— =— =— * 90 90 15 0> 4 i 6 6 6 . . . i í ^ =^ = Í - 900 900 12 * „ 83— 8 „ 75 165 11 1,833...—1+0,833...-1 " i---------—H----- — — -- — 90 90 90 6 Calcular as geratrízes das seguintes dízimas periódicas simples. 39-0,4242... 43-0,611611... 40 - 0,7272... 44 - 0,135135... MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 7 3
  • 69. 41 - 0,711711 45 - 0,234234... 42 - 0,036036... 46 - 8,513513.., Respostas: 39 - 14/33 43 - 611/999 40 - 8/11 41- 79/111 42- 4/111 44 - 5/37 45 - 26/111 46 - 945/111 Calcular as geratrizes das seguintes dízimas periódicas compostas. 47 - 0,34848... 48 - 0,45888... 49 - 0,344... 50 - 0,566... Respostas: 47 - 23/66 51 - 0,2355... 52 - 0,488... 53 - 0,38222... 54 - 2,210303... 48 - 413/900 49 - 31/90 50 - 17/300 51 - 53/225 52 - 22/45 53 - 86/225 54 - 3647/1650 Calcular as seguintes expressões: 1 5 2 55 - l— 0,666...-^ -~+— 7 6 7 57- 0 ^ | - 0 3 3 3 „ jx | - I 56 - 0,1313...-5-—x — 7 9 58 - l,333...x —-~ -—+0,111. 4 3 Respostas: 55 - 22/35 56 - 91/891 57 - 5/16 58 - 3 1/4 a 59 - Se -g- = 0,37272..., sendo a e b primos entre si, calcule b—a. R: 69 74 H II-BERGÓES❖UBAIDOTO N AR
  • 70. 60 - Se 0,4333... é escrito como fração irredutível, calcule a soma do numerador com o denominador desta fração. R :43 3 1 2 — + 1 — p . , 4 2 61 - Seja a forma irredutível do número ---------------------+ 1,2336... * A 1 1 1 4 ------------ 1 Calcule a valor de p —q. R: 98 4 2 CARACTERES DE CONVERTIBILIDADE Primeiro: Uma fração ordinária irredutível, que não contém no denominador outros fatores diferentes de 2 e de 5, converte-se em um número decimal exato. O número de algarismos decimais é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 e 5. 5 5 Exemplo: — = — r como o denominador não contém outro fator r 16 24 diferente de 2, a fração se converte num número decimal exato e terá 4 algarismos decimais, pois o expoente do fator 2 é 4. Veja: A = 0,3125 16 7 7 Exemplo: —....— - y - converte-se em um número deamal exato, pois não contém outros fatores além do 2 e do 5; e terá 3 casas decimais já que o 3 é o maior expoente dentre os fatores 2 e 5. Veja: ^ = 0,028 MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS DECIMAIS 75
  • 71. Segundo: Uma fração irredutível, cujo denominador nào contém o fator 2 nem o fator 5, converte-se em uma Dízima Periódica Simples. Exemplo: C onverter as frações 2/3, 5/3 e 5/11 em números decimais Solução: como os denominadores das frações nào contém os fato­ res 2 e 5, concluímos que o resultado será uma Dízima Periódica Simples: Terceiro: Uma fração irredutível, cujo denominador contiver os fatores 2 ou 5 juntamente com fatores primos diferentes, converte-se em uma Dízima Periódica Composta. O número de algarismo da partè nào periódica é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 ou 5. Exemplo: Converter a fração 7/12 em um número decimal Solução: Converte-se em uma Dízima Periódica Composta pois, 7 7 — _ ------- além do fator 2 aparece o fator 3; e a parte nào periódica terá 12 2" x 3 dois algarismos que é o expoente 2 do fator 2. Em que espécie de número decimal se convertem as frações. R: 62 - Decimal exata 63 - Dízima periódica composta 64 - Dízima periódica simples 65 - Dízima periódica simples 66 - Dízima periódica composta 2 —= 1,666... 3 5 — =0,4545... 11 Veja: 7/12 = 0,58333... 76 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 72. Relembre: 0,3333... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 _ 0,2454545 ... = 0,2(45) = 0,245 = 0,245 67 - Calcular, exatamente, a operação: 2,555... + 0,6363... 19 'R:.3-99 68 ~3,(18) + 1,(45) +0,27 + 5,(09) R: 10 69- (0,5 + 0,333... x 0,25) * (0,833... ~0,25) R; 1 70-(0,75 + 0,833...) + (0,166... + 0,625) R; 2 0,35 + 0,0(6) 71- ™ ------------~ ~ 0,(3) + 0,2 — — R: 1 72 - Com base nos denominadores, dizer a espécie de números decimais que geram as frações: 5/8 e 4/13 R: Decimal' exato; dízima periódica simples 73 ~Determine, com base nos denominadores, que espécie de números 19 7 decimais geram as frações: e R: Dízima periódica simples; decimal exato MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 77
  • 73. 74 - Convertendo-se as frações 5/16 e 7/250 em números decimais, ob­ tém-se números decimais exatos. Com base nos denominadores, quantos algarismos decimais tem cada número. R: 4 e 3 75 - Convertendo-se as frações 17/54 e 19/48 em números decimais, obtém-se dízimas periódicas compostas. Calcule, com base nos denomi­ nadores, quantos algarismos tem cada parte não periódica. R: 1 e 4. 78 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 74. NÚMEROS COMPLEXOS Num sistema de medir, quando a unidade fundamental e as suas unidades secundárias, isto é, múltiplos e submúltiplos, não estiverem em relação decimal, o sistema é denominado não-decímal ou complexo. Chamamos, então, de número complexo, ao número que repre­ senta a medida de uma grandeza aferida num Sistema Complexo, ou Sistema não Decimal. Em nosso estudo, veremos as medidas de tem­ po, ângulo e velocidade. UNIDADE DE TEMPO A unidade fundamental do tempo é o SEGUNDO, representado por seg. que é o intervalo de tempo igual à fração ~ ~ do dia solar 86400 médio, definido de acordo com as convenções da Astronomia. Os seus múldplos mais-usuais, são: • minuto (min.) = 60seg. • hora (h) = 60min. —3.600seg. • dia (d) = 24h = 1.440min. = 86.400seg. UNIDADE DE ÂNGULO A unidade fundamental de ângulo é o GRAU, representado por (°) que é o ângulo equivalente a — do ângulo reto que mede 90°. Os seus múltiplos mais usuais, são: • o minuto, representado por (’) MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 79
  • 75. • o segundo, representado por (”). Veja: a) Um grau é equivalente a 60 minutos (Io= 605 ) b) Um minuto é equivalente a 60 segundos (1’ ~ 60”) c) Um grau é equivalente a 3.600 segundos (1° = 3.600”) OBSERVAÇÕES: a) Não se pode representar as unidades de tempo usando a vírgula da representação decimal. Desse modo, nunca se deve, para representar 8h e lOmin., escrever 8,1Ohpois na realidade estaríamos representando 8 horas e 6minutos (um décimo de hora). Deve-se, pois, escrever: 8hl0min. b) Não se pode confundir o minuto e o segundo das unidades de tem­ po com o minuto de ângulo ou segundo-de ângulo e muito menos usá-las simultaneamente na representação do mesmo número complexo. Assim, 8hl5min23seg não pode ser representado por 8hl57 23”. UNIDADE DE VELOCIDADE A unidade fundamental da velocidade é o metro por segundo, re­ presentado por m/seg. Se na unidade m/seg substituirmos o medro por qualquer unidade de comprimento e o segundo por qualquer unidade de tempo, obteremos outras unidades de velocidade, tais como: km/h, m/min, etc. MUDANÇAS DE UNIDADES COM NÚMEROS COMPLEXOS Temos dois tipos de mudanças a considerar: Primeiro: Transformarum número complexo emunidades inferiores. 8 0 HILDER GÓES * UBAIJDO TONAR
  • 76. 01 - Exprimir 5h lOmin 20seg, em segundos: Solução: Valendo 1 hora 60 minutos, temos que: 5h x 60 = 300min. Somando os 300min com os lOmin dados, resulta: 300min + lOmin = 310min. Como lmin vale 60 segundos, vem: 310min x 60 ~ 18.600seg. Adicionando-se os 20seg dados, temos: 18,600seg -r 20seg = 18.620seg. Logo, 5h lOmin 20seg = 18.620seg. 02 - Exprimir, em segundos, o intervalo de tempo de 5h 20min 32seg. R: 19.232seg 03 - Converter: 2d 12h 15min, em minutos. R: 3.615min 04 ~Converter 36R 127 30” em segundos. R: 130.350” Segundo: Transformar um número expresso em unidades inferi­ ores em um número complexo. 05 - Exprimir 15.674 segundos a uma unidade complexa. Solução: Como cada 60 segundos eqüivalem a 1 min, temos 15674 1 60 367 261min 74 14seg Òu seja: 15.674seg = 261min + 14seg. Dividindo-se os 261 min. por 60, encontraremos o número de horas. 261 |60 Portanto: 26lmin = 4h 4- 21min. 21 4h Logo: 15.674seg = 4h21minl4seg. ^—min MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 81
  • 77. 06 - Reduzir a segundos 89"36'7”. R: 322.567” 07 - Reduzir a segundos 7d 7h 7seg. R: 630.007 seg. 08 - Converter 35°5’18”. R: 126.318” 09 - Converter 72t,48’52” em segundos. R: 262.132” 10 - Calcule quantos minutos tem o dia. R: 1.440min 11 - Calcule quantos minutos tem os 3/4 do dia. R: 1.080min 12 - Exprimir a velocidade de 180km/h em m/seg. Solução: Devemos, tão somente, transformar km em metro e hora em segunda Então, temos: 2 i0kro = 1?L0-00m =50m/Seg h 3.600seg 13 - Exprimir em cm/seg a velocidade de 5,2m/seg. R: 520cm/seg 14 - Exprimir em m/seg a velocidade de 372cm/seg. R: 3,72m/seg 15 - Exprimir em km/h a velocidade de 2m/seg. R: 7,2km/h Veja: a) Para transformar km/h em m/seg, basta dividir a velocidade dada por 3,6. b) Para transformar m/seg em km/h, basta multiplicar a velocidade dada por 3,6. 82 HILDER GÓES * ÜBAJLDO TONAR
  • 78. 16 - Um automóvel desenvolve uma velocidade média de 90km/h. Ex­ primir essa velocidade em metros por segundo. R: 25m/seg 17 - Um ciclista fez uma excursão desenvolvendo uma velocidade média de 20m/seg. Exprimir essa velocidade em quilômetros por hora. R: 72km/h OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS ADIÇÃO: ^Soníàtii^se;;sèj^a$a^ ^ddn:.áparíir 18 - Calcule (27“10’20”) + (10“2’15”). Soíuçao: 27" 10’ 20” +10° T 15” 37° 12’ 35” 19 - Calcule (52°35’42”) + (19“50’28”). Soiução: 52“35’ 42” + 19° 50’ 28” 71" 85’ 70” Veja que 70” =' V + 10”. Esse V soma~se com os 85’, no que resulta 86’ = Io+ 26’. Esse 1" soma-se aos 71°, no que resulta 72". Então, temos: 72°26’10”. MATEMÁTICA PA.RA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 8 3
  • 79. 20 - Efetue a subtração (76°38’45”) - (25''18’40’0- Solução: 76u38’ 45” - 25° 18’ 40” 51° 20’ 5” 21 - Efetue a subtração (14h 30min 20seg) —(8h 40min 50seg). Solução: . 14h 30min 20seg - 8h 40min 50seg - Na subtração dos segundos, veja que o minuendo 20seg é menor que o subtraendo 50seg Toma-se, então, emprestado dos 30min —29min + 60seg os óOseg para se adicionar aos 20seg, no que resulta 80seg. Agora podemos operar; - 80seg —50seg = 30seg. Agora temos 14h 29min, veja que foi tirado um minuto dos 30. Desses 29min você também não pode subtrair os 40min. Então, toma-se emprestado Ih = 60min das 14 horas e se adiciona aos 29min, resultando 60min + 29min = 89min - 40min = 49min. Como das 14h eu tirei lh, sobraram 13h, Então: 13h - 8h = 5h. Logo: (14h 30min 20seg) —(8h 40min 50seg) = 5h 49min ,30seg. 22 - Efetue a subtração: (18h 25min 53seg) - (12h 30min 41seg). R: 5h 55min 12seg 23 - Calcule a diferença entre 3ó°40?e 12°455 , R: 23055’ 24 - Calcule (90°) - (70°10’29”). R: 19°49’31” 84 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 80. MULTIPLICAÇÃO 25 - Calcule o quádruplo de 7"10’13”. Solução: T 10’ 13” ____ x 4 28“40552” 26 - Calcule o triplo da medida do ângulo dc 10< > 25’30”. Solução: 10" 25’ 30” x 3 . 30" 75590” Os 90” eqüivalem a 1’ + 30” Somando-se 1’ aos 75 temos: 30“76I30” Os 76’ eqüivalem a 1“ + 16’. Somando-se l uaos 30", teremos: 31°16*30”. 27 - Calcule o quádruplo da medida do ângulo de 7°30’17”. R: 30‘T18” 28 - Calcule os produtos indicados: a) 2 x (7°10’40”) c) 3 x (20**10’32”) b) 4 x (10(1 17’1'2”) d) 3 x (16“18’25^ R: a) 14£ ’21’20”; b) 41t,8,48”; c) 60“31’36”; d) 48"55’15” 29 - Calcule o produto: 5 x (3h 53min 8seg). R: 19h 25min 40seg MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 85
  • 81. DIVISÃO: '13rvJ<3e-se -cída*unidade do^touiplcxo^j^elo‘QÔa mtum v cLiIuã-m. as rvucoijs sunpu cs ic j.otuc aecxásam&T -• 30 - Determinar o valor da quinta parte do ângulo 23”18’45”. Solução: 23° [_5__ 30 40 Sobraram 3o. Então, 3ox 60 = 180’ + 18’ = 198’ 1985 l_5___ 48 38’ 3’ Sobraram 3’. Então, 3’x 60 = 180” + 45” = 225” 225”[__5_ _ 25 45” 0 Logo, como resultado temos: 4°38’45”. 31 - Calcule os quocientes: a) (24°18’20”) * 2 b) (25°6’30”) - 3 R: a) 12t> 9,10” b) 8°22510” 32 - Um homem tem 36 anos, 9 meses e 21 dias e seufilho tem um terço de sua idade. Calcule a diferença entre as idades do pai e do filho. R: 24 anos, 16 meses e 14 dias 33 - Um automóvel fez 3/4 de uma viagem em 3h 48min. Viajando com a mesma velocidade, calcule em quanto tempo fará o resto da viagem. R: lh lómin .34 - As 9 horas da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 minutos em cada 24 horas. Calcule que horas são, na verdade, quando o relógio marcar 5 horas da tarde. R: 4h 58min 8 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 82. 35 - Uma pessoa saiu de casa, para fazer compras, às 14h 30min 20seg, e voltou às 17h 20min lOseg. Calcule o tempo que ela passou fora de casa. • R: 2h 49min SOseg 36 - Um carro parte de uma cidade A às 21 horas e 45 minutos e chega a uma cidade B às 23 horas e 36 minutos/ parando uma só vez durante 6 minutos. A distância entre as cidades À e B é de 105km. Calcule, em km/h, a velocidade média desenvolvida pelo carro. R: 60km/h 37 - Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano. R: 7 meses e 15 dias 38 - Numa viagem de trem, um viajante consulta o relógio no momento exato em que o trem passa no marco quilométrico 237. Eram 8 horas e 17 minutos. As 8 horas e 25 minutos, o trem passa no marco 249. Calcule a velocidade do trem em km/h. R: 90km/h 39 - Um relógio atrasa-se 22min 30seg em 5 dias e 5/8 do dia. Calcule quantos minutos ele se atrasa por dia. Solução: Transformando todas as unidades para segundo, temos: . 22min = 22 x 60 - 1.320seg + 30seg ” 1.350seg. 5d ~ 5 x 24 = 120h, que deverá ser somado com 5/8 do dia., isto é, 5/8 x 24h = 15h. Então: 120h + 15h = 135h Logo, 135h x 60 = 8.100min x 60 = 486.000seg. Armando-se uma regra de três, resulta: Se em 486.000seg atrasa 1.350 seg em ld = 86.400seg atrasará x = > 86.400x1.350 x = ----------------- = 240seg 486.000 240seg -f- 60 = 4 minutos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 87
  • 83. 40 - Certo automobilista percorreu determinada distância em três etapas de 2h 20min 32seg; lh 47mÍp50seg e 3h 38min 46,9seg, respecdvamente. Fez duas paradas de 25min 34,1seg e de 31min 29seg entre essas etapas. Calcule quanto tempo gastou para percorrer essa distância. R: 8h 44min 12seg 41- Sabe-se que um relógio adianta-se por dia Imin lOseg. Corrigido numa certa hora, determine de quanto deveremos atrasar o relógio após 7 dias e 6 horas da última correção. R: 8min e 27,5seg 42 - Um relógio adianta-se 3 minutos por dia. Se ele for acertado ao meio-dia, calcule quantos dias transcorrerão para que ele esteja certõ no­ vamente. R: 20 dias 43 - Por estar mal fechada a torneira de um reservatório, perdem-se 3 gotas d’água por segundo. Calcule quantos litros de água serão perdidos entre 7h 45min e 16h 15min, sabendo que 1.500 gotas de água eqüivalem a um litro. R: 612 litros 8 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 84. 7 NÚMEROS RELATIVOS DEFINIÇÃO: Exemplos: +3, — 2, — 6, +1/2, + 0,2. CLASSIFICAÇAO: Os números relativos sào classificados em: I) Positivos: Sào os números precedidos do sinal -h Exemplos: +2, + 8, + 1,2. II) Negativos: São os números precedidos do sinal Exemplos: — 1, ~4, — 3/4. Observações: a) Os sínais + e —fazem parte integrante do número, não signifi­ cando, portanto, as operações da adição e da subtração. b) O zero é neutro, nem é positivo nem é negativo. VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO Valor absoluto ou módulo de um número relativo é o número sem o sinal. Exemplos: O valor absoluto de +3 é 3, o valor absoluto de — 4 é 4. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS RELATIVOS 89
  • 85. NÚMERO RELATIVOS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS Dois números relativos são opostos ou simétricos, quando possu­ em o mesmo vaior absoluto e sinais contrários. Exemplos: O oposto de — 3 é + 3. O oposto de +5 é —5. COMPARAÇÃO DE NÚMEROS RELATIVOS a) O zero é maior que qualquer número negativa 0 > ~ 3 0 > - 18 b) O zero é menor que qualquer número positivo. 0 < +1 0 < +20 c) Qualquer número positivo é maior do que qualquer número negativo. +1 > - 8 +2 > - 7 d) Entre dois números posiüvos, o maior é o que possui maior valor absoluto. +3 > +1 +7 > +2 e) Entre dois números negativos, o maior é o que possui menor valor absoluto. - 2 > - 8 - 1 > - 6 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS ADIÇAO Primeiro Caso: Os números possuem o mesmo sinal. Calcule as adições abaixo: 01) (+2) + (+3) 02) (+5) + (+4) 05) (+2) + (+1) + (+3) 06) (-4) + (-2) + (-3) 90 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 86. 03) (— 2) + (-5) 04) (-3) + (-1) 07) (+2) + (+3) + (+4) 08) (-2) + (-1) + (-2) + (-3) Respostas: 01) +5 02) +9 03)-7' 04)-4 05) +6 t)6) -9 07) +9 ’ 08) - 8 Segundo Caso: Os números possuem sinais contrários. JDá-sè^o^sin^I do ■miraeJ L ,o cle'maíç*r vaíoíWli^oltfto^e súbtfèii-sé/'. . 1 Calcule as adições abaixo: 09) (+7) +(-2) 10) (—8) + (+6) 11) (+3) + (— 7) 12) (_4) + (+8) Respostas: 09) +5 10) -2 13)-4 14)-5 13) (+4)+(-8) 14) (_7) + (+2) 15) (-9) + (+3) 16) (-12) + (+8) 11) ^ - 15) -6 12) +4 16) -4 SUBTRAÇÃO Efetuar as subtrações abaixo: 17) (+7)-(-2) 18) (-2) - (-5) 19) (-4) - (+7) 20) (+3)-(+5) Respostas: 17) +9 18) +3 21) 0 22) +3 21) (-5) - (-5) 22) (+8)- (+5) 23) (+8)- (+3) 24) (+4)- (-2) 19) -11 23) +5 20)-2 24) +6 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS RELATIVOS 9 1
  • 87. MULTIPLICAÇÃO Sinais dos fatores Sinal do produto + X ■ f* 4- — X + + X ~ - — X + - Efetue as multiplicações abaixo: 2 5 ) ( + 2 ) x ( + 3 ) 2 6 ) ( - 5 ) x ( + 2 ) 2 7 ) ( + 1 ) x ( - 3 ) 2 8 ) ( + 4 ) x ( + 2 ) Respostas: 2 5 ) + 6 2 6 ) - 1 0 2 9 ) + 8 3 0 ) - 9 2 9 ) ( - 4 ) x ( - 2 ) 3 0 ) ( + 3 ) x ( - 3 ) 3 1 ) ( + 2 ) x ( ~ 3 ) 3 2 ) ( - 2 ) x (—3 ) 2 7 ) - 3 2 8 ) + 8 3 1 ) - 6 3 2 ) + 6 DIVISÃO fááíivo-põ^ :V vciitò'tos/d^ 'slpáis -iguais.;: ■ ■ ■irénre.s, rçsültaüo -négatí^a '- Efetue as divisões abaixo: 3 3 ) ( + 9 ) - ( - 3 ) 3 7 ) ( + 6 ) - ( - 3 ) 3 4 ) ( + 8 ) + ( + 4 ) 3 8 ) ( - 6 ) - ( - 2 ) 3 5 ) ( - 3 ) - ( + 1 ) 3 9 ) ( + 6 ) - f ( + 3 ) 3 6 ) ( - 8 ) - ( - 4 ) 4 0 ) ( - 4 ) - ( + 2 ) Respostas: 3 3 ) - 3 ; 3 4 ) + 2 ; 3 5 ) - 3 ; 3 6 ) + 2 ; 3 7 ) - 2 ; 3 8 ) + 3 ; 3 9 ) + 2 ; 4 0 ) - 2 92 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
  • 88. EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU Quando duas expressões algébricas estiverem ligadas pelo sinal de igualdade teremos, o que chamamos em matemática, uma igualdade algé­ brica. Poderemos ter, também, uma igualdade, quando tivermos uma ex­ pressão algébrica unida, pelo sinal de igualdade, a um número. Exemplos: lOx —5 = 9x + 4 e 3x + 2x = 10 Há duas espécies de igualdades algébricas: a identidade e a equação. IDENTIDADE E a igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às letras que a compõem. Assim, a igualdade (x + y)2= x2+ 2xy + y2 é uma identida.de, porque qualquer que sejam os valores atribuídos às letras x e y, resultará uma igualdade numérica. Exemplo: Se a = 2 e b = 3, calcule (a + b)2= a2+ 2ab + b2 (2 + 3)2= 22 + 2.2.3 + 32 52 = 4 + 12 + 9 =>25 = 25 EQUAÇÃO E a igualdade que só se verifica para determinados valores atribuí­ dos às letras que a compõem. Assim, a igualdade 5x —6 = 2x + 3 é uma equação, porque ela só será verdadeira pára x = 3 porque, para x = 3, as expressões algébricas 5x —6 e 2x + 3 possuem o mesmo valor numé­ rico que será 9, ao passo que, para qualquer outro valor atribuído à x, seus valores numéricos serão diferentes. Toda equação possui dois membros, que são os membros da igual­ dade que a constitui. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 93
  • 89. Na equação 5x — 6 = 2x + 3 temos: 5x — 6 primeiro membro e 2x + 3 segundo membro. / Chamamos de raiz de uma equação, ao valor encontrado para a variável ou incógnita x, que torna a equação uma igualdade. No exemplo dado, a raiz da equação 5x —6 —2x + 3 é 3. Resolver uma equação do primeiro grau é determinar a sua raiz, que será o conjunto verdade ou conjunto solução da equação. Na solução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações mas sempre resultando em equações equivalentes à equação inicial. Estas trans­ formações são baseadas em alguns princípios .qüe passaremos a estudá-los. PRIMEIRO PRINCIPIO Exemplo: Seja a equação: 5x - 8 = 3x. Somando-se 8 a ambos os membros da equação $ada, teremos: 5x —8 + 8 = 3 x + 8. Aplicação do Primeiro Princípio ' : -v 5 ^ ‘í'-tt?sin-áí.deèse’Eetino. . ■Exemplo: Seja a equação: 5x —8 = 3x. Passando-se —8 para o segundo membro e 3x para o primeiro, resulta: 5x —3x = 8 que é uma equação equivalente à inicial. SEGUNDO PRINCÍPIO íia/cqüiiÇfiQjiao sfèaíreríi c^Vaúdof;ps.AVèúk-dQÍ^m^ ^■licadqs;Ò u''d^^^ 2x Exemplo: Seja a equação — — 8 Multiplicando-se, por 4, os dois membros da equação, resulta: 2x = 32. 94 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 90. Primeira Aplicação do Segundo Princípio Este princípio nos permite eliminar os denominadores de uma equa­ ção, quando multiplicamos os dois membros da equação pelo menor múl­ tiplo comum dos denominadores. Regra Prática a) determina-se o m.m.c. dos denominadores; b) divide-se o m.m.c. pelo denominador de cada fração, obtendo-se, assim,- quocientes; c) multiplica-se esses quocientes pelos respectivos numeradores. Observação: Um termo inteiro deverá ser considerado como uma fração, cujo denominador seja a unidade. 3x 2x _ Exemplo: Seja a equação: — ----- -- —x —1 2 3 a) o m.m.c. de 2 e 3 é 6; b) dividindo-se 6 por cada denominador teremos 3, 2, 6 e 6 por quocientes; c) multiplicando-se esses quocientes pelos respectivos numerado­ res, resulta: 9x —4x = 6x —6 que é uma equação equivalente à equação dada. Segunda Aplicação do Segundo Princípio Uma equação não,se altera, quando trocamos os sinais de todos os seus termos, porque, isso, eqüivale a multiplicar os dois membros da equa­ ção por — 1. Exemplo: Seja a equação: 3x - 9x = -12. Multiplicando-se toda a equação por — 1 vem: — 3x + 9x —12 que é uma equação equivalente à equação dada. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 95
  • 91. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO Ia GRAU Baseados nos princípios estudados, devemos proceder da seguinte maneira: l 2) Elimina-se os denominadores* se houverem; 2-) Efetua-se as multiplicações indicadas; 3a) Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contive­ rem a incógnita, que estiverem no segundo membro; 4-) Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos.independentes que estiverem no primeiro membro; 5a) Reduz-se os termos semelhantes; 6a) Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da incógnita. 01) Resolver a equação: 8x —5 = 3x + 10 Solução: Passando 3x para o primeiro membro e ~5 para o segundo, vêm: 8x ~ 3x = 10 + 5 n asiã V i tf ' ;.-yvv1 .'■ W.-. Reduzindo os termos semelhantes, temos: 5x = 15. Dividindo toda equação, pelo coeficiente daincógnita, resulta: x = 15/5, donde x = 3. Logo; V = {3}. * 6 02) Resolver a equação: 5x + 8-= 7x + 4 Solução: Passando 7x para o primeiro membro e 8 para o segundo membro, resulta: 5x - 7x = 4 - 8. Reduzindo"a termos semelhantes, vem: — 2x = -4. Multiplicando toda equação por (— 1), temos: 2x = 4. Dividindo toda equação, pelo coeficiente da variável, resulta: x = 4/2, donde x = 2. Logo: V = {2}. 96 HCUOER GÓES * UBALDO TONAR
  • 92. Resolver as equações abaixo relacionadas: 03) 3x = 12 08) 2x —3 = 0 04) 6x —36 ~ 0 09) 3 x -2 5 = - x - 9 05) 2x + 8 = 0 10) 5x —5 = 2x + 4 06) 3x —6 = 3 11) 2x + 5 = 4x + 3 07) 7x - 28 = 0 12) 2x +.3 = 3 x - 4 Respostas: . 03) V = {4} 04) V = {6} 05) V = {- 4} 06) V = {3} o <i II o O O < 5 ll II > a? o 10) V = {3} U)V={1} 12) V = {7} 13) Resolver a equação: 4(x —1) = ■2(x + 4). Solução: Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 4x - 4 = 2x + 8 Passando os termos que contém x para o primeiro membro e os que não os contém para o segundo, temos: 4x —2x = 8 + 4 Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 2x = 12. . . ■ . 12 Dividindo toda a equação pelo coeficiente de x, temos: x =— , don­ de x =%. Então: V = {6}. 14) Resolver a equação: 3(2x —5) + 4(4 —x) = 0. Solução: Efetuando as multiplicações indicadas, temos: 6x -1 5'+ 1 6 —4 x —0 Reduzindo os termos semelhantes, vem: 2x + 1 = 0. Transpondo o termo independente para o segundo membro, te­ mos: 2x = —1. . . . -1 ■ M Dividindo toda a equação por 2, resulta: x = — .Logo: S — 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 97
  • 93. Resolver as equações abaixo relacionadas: / 15) 3(x ~ 4)= 0 16) 3x - 4 = 2 (x + 3) 17) 2(x - 3) - -3(x - 3) 18) 2(5 + 3x) = 5(x + 3) 19) 6(x + 1) - 5(x + 2) - 6 =0 20) 7(x - 3) = 9(x + 1) - 38 21) 5(x - 3) - 4(x + 2) = 1- 5x 22) 5(x + 1) + 6(x + 2) = 9(x + 3) 23) 4(5x - 3) - 64(3 - x) - 3(12x - 4) = 96 24) 10(x + 5) + 8(x + 4) = 5(x + 13) +121 Respostas: 15) S = {4} 16) S = (10)17) S ={3}18)S={5} 19) S = {10} 20) S = {4} 21) S = {4} 22) S = {5} 23) S = {6} 24) S = {8} 2x 2x 25) Resolver a equação: — ----- —=x — 1. Solução: Eliminando os denominadores, vem: 6x ~ 4x = óx —6 Passando 6x para o primeiro membro, vem: óx —4x —6x = — 6. Reduzindo os termos semelhantes no primeiro membro, temos: - 4x = - 6. Multiplicando toda a equação por - 1, resulta 4x —6. Então: S = {3/2} x +1 x + 2 26) Resolver a equação: — -— = 8. Solução: Eliminando os denominadores, temos: 2(x + 1) + 3(x + 2) = 48. Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 2x + 2 + 3x + 6 = 48. Passando os termos independentes para o segundo membro, vem: 2x + 3x —48 —2 —6. Reduzindo os termos semelhantes temos: 5x = 40 Dividindo toda equação pekecoeficiente de x, resulta: x = 8. Logo, V = { 8}. 98 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
  • 94. Resolver as equações abaixo relacionadas: x x x „ . 4x-6 3x-^ 2x~9 x -4 2 7 ) I +i - - =14 3 2 ) — x 3x 4x 5x 10 4x +1 28) x +- +— =18 33) — ----— +18 =—- — 2 4 . 5 4 9 3x 5x 7 3x+l 2x x — 1 29) — = ------- 3 4 )------=KH— — - ; 4 2 2 ; 2 3 6 x x 7 +2x 3x-2 4 - x 7x-2 30) í +i =— 35> ~ — r =2^ “ 7x +4 3x-5x +2x -3 *x~l 31) — ---x=— — 36) i - =x - 2~ 2 Respostas: 27) V = {24} 28) V—{8} 29) V = {z} 30) V = {14} 31) V ={3} 32) V = {4} 33) V = {20} 34) V ={14} 35) V = {2} ■36) V = {7} MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 99
  • 95. SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU Chamamos de sistema de equação, ao conjunto-formado por duas ou mais equações. O nosso estudo se restringirá apenas, aos sistemas de duas equações. As equações que entrarão na sua formação, serão da forma: ax + by —c, onde: x e y são as variáveis; a e b os coeficientes eco termo independente. Como estudaremos apenas os sistemas formados por duas equa­ ções, a sua forma geral será: Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas variáveis, possuem uma infinidade de soluções. Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variá­ veis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo, as equações que constituem um sistema deverão admitir a mesma solução. Equações desse tipo são chamadas de equações simultâneas. Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do pri­ meiro grau, empregamos os processos de Adição, Substituição e Compa­ ração, os quais passaremos a estudá-los separadamente. ADIÇÃO a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja elimi­ nar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários; b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita; c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, ovalordeumaincógnita; 1 0 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
  • 96. d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das èqua- ções do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita, conseqüentemente, a solução do sistema. ÍX4-2y =11 01) Resolver o sistema: 1 c > [x—y =5 Solução: Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos a segunda equação por 2, no que resulta: fx +-2y = l l |2x-2y=10 Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21, logo: x = 7. Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11, que resolvida dará: y = 2. Logo, V = (7, 2) que é o conjunto verdade da equação. 02) Resolver o sistema: < (5x - 2y = 1 Solução: Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda Somando, membro a membro, teremos: I9x = 19, onde x = 1. Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8, que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = {1,2}. 2x + 3y - 8 Resolver os sistemas abaixo, pelo método da ADIÇÃO: MATEMÁTICAPARA CONCURSO -SISTEMADE EQUAÇÕESDO PRIMEIRO GRAU 1 0 1