Leituras Suplementares.pdf

FÍSICA
MODERNA
Paul A. Tipler
ex-Professor da Oakland University
Ralph A. Llewellyn
University of Central Florida
Tradução e Revisão Técnica
Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D.
Professor Emérito do Instituto Militar de Engenharia – IME
SEXTA EDIÇÃO

Este Material Suplementar contém ilustrações, leituras suplementares, revisão de conceitos clássicos que podem ser
usados como apoio para o livro Física Moderna, Sexta Edição, 2014. Este material é de uso exclusivo de professores
e estudantes que adquiriram o livro.
Material Suplementar traduzido do material original:
– Ilustrações da obra em formato de apresentação (acesso restrito a docentes);
– Leituras Suplementares arquivos em formato (.pdf) contendo material de apoio às seções do livro-texto (acesso
livre);
– Revisão de Conceitos Clássicos arquivos em formato (.pdf) contendo material complementar às seções do
livro-texto (acesso livre);
MODERN PHYSICS, SIXTH EDITION
First published in the United States by
W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York
Copyright © 2012, 2008, 2003, 2000 by W. H. Freeman and Company
All Rights Reserved.
Publicado originalmente nos Estados Unidos por
W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York
Copyright © 2012, 2008, 2003, 2000 by W. H. Freeman and Company
Todos os Direitos Reservados.
ISBN: 978-1-4292-5078-8
Reservados todos os direitos. Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida ou transmitida sob quaisquer formas
ou por quaisquer meios, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação, ou por qualquer sistema de
armazenagem e recuperação de informações sem permissão da Pearson Education, Inc.
Edição em língua PORTUGUESA publicada por LTC — LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA LTDA.,
Copyright © 2014.
Obra publicada pela LTC:
FÍSICA MODERNA, Sexta Edição
Direitos exclusivos para a língua portuguesa
Copyright © 2014 by
LTC — Livros Técnicos e Cientíﬁcos Editora Ltda.
Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional
Imagem de capa: Steven R. White, University of California, Irvine
Editoração Eletrônica do material suplementar: |

iv
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1
Leitura Suplementar 1
O Experimento de Michelson-Morley 1
O Caso dos Gêmeos Identicamente
Acelerados 4
CAPÍTULO 2
O Periélio da Órbita de Mercúrio 6
O Retardo da Luz em um Campo
Gravitacional 8
CAPÍTULO 3
Demonstração da Equação de Compton 10
CAPÍTULO 4
A Previsão de Rutherford e os Resultados
de Geiger e Marsden 11
Crítica da Teoria de Bohr e da “Velha”
Mecânica Quântica 13
CAPÍTULO 5
O Experimento de Duas Fendas 14
CAPÍTULO 6
Solução Gráﬁca do Poço Quadrado Finito 16
Transições entre Estados Quânticos 18
O Artifício de Schrödinger 21
O Diodo Túnel 23
CAPÍTULO 7
Átomos com Mais de um Elétron Externo 25
O Efeito Zeeman 28
CAPÍTULO 8
Temperatura e Entropia 32
Demonstração do Teorema da
Equipartição para um Caso Particular 33
CAPÍTULO 9
Outras Ligações Covalentes 34
CAPÍTULO 10
Condução de Calor – O Modelo Quântico 40
Bandas de Energia em Sólidos:
Uma Abordagem Alternativa 41
Como Funcionam os Transistores 43
CAPÍTULO 11
O Modelo da Gota de Líquido e a
Equação de Weizsäcker 46

v
Sequências de Decaimentos 48
Níveis de Energia do Decaimento Alfa 51
O Efeito Mössbauer 53
O Modelo de Camadas de Mayer e Jensen 56
Energia Nuclear 59
Interações de Partículas com a Matéria 66
Efeitos Biológicos da Radiação Ionizante 70
CAPÍTULO 12
Em que Circunstâncias uma Grandeza
Física É Conservada? 73
Ressonâncias e Estados Excitados 75
Teoria das Cordas 78

1
CAPÍTULO 1
LEITURA SUPLEMENTAR 1
O Experimento de
Michelson-Morley
No interferômetro de Michelson, mostrado de forma esquemá-
tica na Figura 1-8a, os raios luminosos são análogos aos barcos
do Exemplo 1-1, com a Terra correspondendo à margem do rio.
A imagem vista pelo observador é constituída por uma série de
franjas de interferência alternadamente claras e escuras (Figura
1-8b). A interferência entre as ondas luminosas no ponto A é o
resultado da diferença ∆n do número de ciclos n1 e n2 nos dois
percursos, que produz uma diferença de fase entre as ondas que
chegam de volta ao ponto A. O número de ciclos n em qualquer
percurso é dado por
1-7
considerando que  é o comprimento de onda da luz e L é o
comprimento do percurso. Para ∆n = 0 ou um número inteiro,
a interferência é construtiva (ou seja, a diferença de fase é 0,
2, 4,...) e a intensidade luminosa é máxima. Para ∆n = 1/2
ou 1/2 mais um número inteiro, a interferência é destrutiva (ou
seja, a diferença de fase é , 3, 5,...) e a intensidade lumi-
nosa é mínima. Valores intermediários de ∆n resultam em inten-
sidades intermediárias. Embora o valor absoluto de ∆n para
uma franja específica seja difícil de determinar, é óbvio que,
no caso de duas franjas consecutivas, sejam elas claras ou escu-
ras, os valores de ∆n diferem de 1. A distância entre máximos
ou mínimos vizinhos é denominada largura da franja.7
(Veja a
Figura 1-8b.)
Observe na Equação 1-7 que uma variação de L ou de  (ou de
ambos) resulta em uma variação de n. É a variação de L no per-
curso 2, causada pelo espaço entre M
2 e M1, que produz a figura
da interferência da Figura 1-8b. A variação da velocidade da luz
devido ao movimento da Terra que Michelson e Morley estavam
tentando observar resultaria em uma variação de , já que a
velocidade c de uma onda está relacionada ao comprimento de
onda  através da equação
1-8
na qual f é a frequência da onda.8
Assim, se c muda para c, 
muda para , o que por sua vez produz uma mudança em n.
Com o interferômetro em repouso no laboratório enquanto a
Terra se move para a esquerda através do éter com velocidade
v, os dois raios luminosos da Figura 1-8a correspondem aos
barcos da Figura 1-6a, os pontos A, B e C do interferômetro são
análogos aos pontos correspondentes na margem do rio e o éter
faz o papel do rio. (Na Figura 1-6a, a margem do rio está se
“movendo” para a esquerda em relação ao rio “estacionário”.)
Raciocinando desta forma, Michelson obteve uma expressão
para a diferença ∆t entre os tempos de percurso dos dois raios
luminosos produzidos pelo espelho semitransparente situado
em A que era igual à Equação 1-6:
1-6
em que a velocidade no percurso 1 é maior que no percurso 2
porque t2 > t1. O fato de que a velocidade é maior no percurso
1 significa que 1 > 2 (de acordo com a Equação 1-8) e, por-
tanto, que existe uma diferença, ∆n", no número de ciclos asso-
ciados aos dois caminhos (de acordo com a Equação 1-7), além
da diferença ∆n' causada pelo espaço entre M
2 e M1. Natural-
mente, as franjas de interferência observadas seriam o resultado
de uma combinação dos dois efeitos.
O interesse de Michelson estava na parte de ∆n associada à
diferença na velocidade da luz ao longo dos dois percursos, e
ele imaginou um método engenhoso para isolar este efeito do
efeito total, tornando ao mesmo desnecessário o conhecimento
da direção do movimento da Terra através do éter. Se o interfe-
rômetro é girado de 90° em torno de um eixo perpendicular ao
plano formado pelos raios luminosos, o percurso 2 se torna para-
lelo à suposta direção de v e os valores da velocidade da luz ao
longo dos dois percursos se invertem. Nesta nova configuração,
a diferença entre os tempos de percurso, ∆t, passa a ser
e o módulo da diferença dos tempos de percurso após uma rota-
ção de 90°, ∆ttotal, é dado por
1-9
A diferença correspondente entre os números de ciclos asso-
ciados aos dois caminhos, ∆N, é dada por
1-10

2 Leitura Suplementar 1
O valor de ∆N calculado com o auxílio da Equação 1-10 tam-
bém é igual ao deslocamento das franjas de interferência no
visor do aparelho. Lembre-se de que cada ponto no visor do
interferômetro (Figura 1-8b) corresponde a uma certa diferença
de fase entre os dois raios luminosos; a diferença de fase entre
dois máximos de luminosidade consecutivos é igual a 2. A
rotação do interferômetro faz com que uma diferença de fase
adicional ∆ = 2∆N seja introduzida em todos os pontos, des-
locando assim a ﬁgura de interferência de uma distância dada
por ∆/2 = ∆N.
Recentemente, foram executados experimentos semelhantes
ao de Michelson-Morley usando técnicas e equipamentos de
alta precisão. Em um desses experimentos, executado por T. S.
Jaseja et al.9
em 1964, os espelhos da Figura 1-8a foram subs-
tituídos por lasers iguais (Figura 1-9). Como veremos no Capí-
tulo 9, o laser é uma cavidade ressonante para a luz na qual é
produzida uma onda estacionária entre dois espelhos paralelos.
A frequência da onda estacionária (que é igual à frequência da
luz emitida) é proporcional à velocidade da luz no laser e inver-
samente proporcional à distância entre os espelhos paralelos. Se
a distância entre os espelhos paralelos dos dois lasers é a mesma,
a diferença de frequência entre as ondas emitidas pelos dois
lasers (ou seja, a frequência de “batimento”) depende apenas da
diferença entre as velocidades da luz nos dois lasers. Se o sistema
for girado de 360°, qualquer movimento da Terra em relação ao
éter fará com que a frequência de batimento varie periodicamente,
da mesma forma como se esperava que o espaçamento das fran-
jas de interferência variasse com a rotação do interferômetro no
experimento de Michelson-Morley. Nos vários experimentos
realizados com lasers, não foi observada nenhuma variação na
frequência de batimento, dentro dos limites do erro experimen-
tal. O mais recente desses experimentos10
estabeleceu um limite
superior de 15 m/s para a velocidade da Terra em relação ao éter.
Muitas alternativas foram sugeridas para explicar o resultado
negativo do experimento de Michelson-Morley, como a existên-
cia de uma camada estacionária de éter arrastada pela Terra
(Figura 1-10) e a variação da velocidade da luz com o movi-
mento relativo entre a fonte e o observador (Figura 1-11), mas
nenhuma dessas hipóteses foi conﬁrmada experimentalmente.
Na verdade, todas as observações realizadas até o momento
levam à conclusão de que a propagação da luz não é afetada pelo
movimento da Terra.
Laser 1
Laser 2
Rotação
Detector de
batimentos
1
–
2 Espelho
semitransparente
L
v
L
d
c
Terra
Telescópio
Estrela
φ
v
L
FIGURA 1-9 Arranjo experimental de Jaseja et al. para a versão do expe-
rimento de Michelson-Morley usando lasers.
FIGURA 1-10 Aberração estelar. A luz proveniente de uma estrela, pro-
pagando-se em linha reta com velocidade c, penetra no tubo de com-
primento L de um telescópio. Enquanto a luz atravessa o tubo, o teles-
cópio se desloca de uma distância d = L sen  = vt, considerando que
v é a velocidade orbital da Terra, e t = (L cos )/c é o tempo que a luz
leva para atravessar o tubo. Assim,  = tan-1
(v/c) = 20,5 segundos de
arco. Observações da estrela realizadas seis meses depois, quando o
vetor velocidade da Terra tem o sentido oposto, exigem uma correção
no alinhamento do telescópio de 20,5 segundos de arco no sentido
oposto, ou seja, a variação em um ano na direção de alinhamento do
telescópio para observar a estrela é de 41 segundos de arco. Esta obser-
vação está em desacordo com a hipótese de que uma camada estacio-
nária de éter é arrastada pela Terra, proposta para explicar o resultado
negativo do experimento de Michelson-Morley.

O Experimento de Michelson-Morley 3
FIGURA 1-11 Variação do brilho de Algol, uma estrela binária na
constelação de Perseu. (a) Uma das estrelas é cerca de três vezes
mais brilhante que a outra. Quando a estrela mais brilhante é
eclipsada pela companheira, a redução de intensidade é maior;
quando a estrela eclipsada é a menos brilhante, a redução de
intensidade é menor. As duas estrelas giram em torno do centro
de gravidade do sistema uma vez a cada 69 horas, a uma veloci-
dade de aproximadamente 250 km/s. (b) Em extremidades opos-
tas da órbita de cada estrela, o vetor velocidade orbital v aponta
na direção da Terra e na direção oposta. De acordo com a teoria
clássica da luz, a velocidade da luz de cada uma das estrelas em
pontos extremos da órbita deveria ser c + v e c – v, o que levaria
à formação de imagens “fantasmas”, com uma das estrelas do
par aparecendo simultaneamente em duas posições diferentes. O
fato de que essas imagens não são observadas é considerado uma
conﬁrmação do segundo postulado de Einstein.
4
2
3
0
1
0 1 2
Tempo (dias)
c.m.
Para a Terra
v v
3
Brilho
total
(unidades
arbitrárias)
(a)
(b) A
B

4
CAPÍTULO 1
O Caso dos Gêmeos
Identicamente Acelerados
É importante chamar a atenção para o fato de que a diferença
de idade biológica entre os gêmeos do famoso paradoxo se deve
à relatividade da simultaneidade e não a outra causa qualquer.
S. P. Boughn21
propôs uma engenhosa variante do problema dos
gêmeos que ajuda a refutar a ideia de que a rapidez com a qual
um viajante envelhece depende das acelerações que ele experi-
menta e chama atenção para a importância do sincronismo dos
relógios em muitas previsões da relatividade restrita. Vamos
descrever uma situação na qual os gêmeos são submetidos a
acelerações iguais e, mesmo assim, um deles envelhece mais
depressa.
Suponha que dois gêmeos, Décio e Jane, estão planejando
uma viagem na qual serão acelerados do referencial inercial S,
onde vivem, para um novo referencial inercial, S, que está se
movendo com velocidade v em relação a S. Eles dispõem de
espaçonaves iguais, contendo a mesma quantidade de combus-
tível, que estão estacionadas no eixo x de S. A espaçonave de
Jane se encontra x0 unidades de distância à direita da espaçonave
de Décio (Figura 1-36a). Os gêmeos sincronizam os relógios
com os de Papai e Mamãe, que permanecerão em S durante a
viagem. No dia em que fazem 21 anos, os gêmeos se despedem
dos pais, ligam os motores e aceleram para a direita ao longo
do eixo x. Depois de consumir todo o combustível no mesmo
intervalo de tempo, as duas espaçonaves atingem a mesma velo-
cidade v (já que são iguais e transportavam a mesma quantidade
de combustível) e passam a se mover com velocidade constante
em S. Comparando os registros das duas espaçonaves, Décio e
Jane chegam à conclusão de que sofreram a mesma aceleração,
mas descobrem, perplexos, que Jane está mais velha que Décio!
Além disso, a distância entre as espaçonaves aumentou durante
a viagem (Figura 1-36b). Como isso é possível?
Para compreender o que aconteceu, considere dois eventos
em S: a chegada dos gêmeos ao novo referencial. Suponha
que ambos cheguem no dia do aniversário (lembre-se de que
o tempo de aceleração foi o mesmo para as duas espaçonaves).
De acordo com a transformação de Lorentz, o instante em que
ocorrem esses eventos em S, o novo referencial dos gêmeos,
é dado por
na qual v é a velocidade de S em relação a S e os índices D e J
indicam que as coordenadas se referem a Décio e Jane, respec-
tivamente. Os gêmeos observam que existe um intervalo de
tempo entre seus aniversários (!) dado por
As coordenadas do segundo membro representam o ponto de
vista de Papai e Mamãe, que permanecem em S; logo, tD – tJ = 0,
xJ – xD = x0 e, portanto,
Assim, do ponto de vista dos gêmeos, o aniversário de Jane
ocorreu em t
j, ou seja, vx0/c2
unidades de tempo antes do ani-
versário de Décio. Além disso, a distância entre as espaçonaves
é dada por
A Figura 1-36c mostra as linhas do universo dos gêmeos e ilus-
tra claramente os resultados que acabamos de calcular.
O fato de que um dos gêmeos envelheceu mais depressa que
o outro, embora as acelerações tenham sido iguais, pode pare-
cer paradoxal, mas é fácil de explicar. Como no caso de Homero
e Ulisses, as situações dos gêmeos não são iguais. Se Jane come-
çou a viagem x0 unidades à direita de Décio, embora os relógios
dos irmãos estivessem sincronizados em S, havia uma diferença
de vx0/c2
unidades de tempo entre os relógios em um referen-
cial S dotado de uma velocidade v em relação a S. Quando os
gêmeos chegam ao referencial S, esta é exatamente a diferença
de tempo que observam. Mais uma vez, a explicação de um
suposto paradoxo está na relatividade da simultaneidade.

O Caso dos Gêmeos Identicamente Acelerados 5
x
ct ct´
x´
Chegada
de Décio
a S
Chegada
de Jane
a S
Linha do
universo
de Décio
Linha do
universo
de Jane
(c)
(b)
(a)
x0 x0
xD́
xJ́
tD́
tJ́
x0
> x0
FIGURA 1-36 (a) Os gêmeos, ao iniciarem a viagem. (b) Os
gêmeos, ao chegarem ao referencial S. (c) As linhas do uni-
verso de Décio e Jane, traçadas no referencial inercial S, mos-
tram que a chegada de Jane a S, no dia do seu aniversário,
aconteceu no instante t
j, anterior ao instante t
D da chegada de
Décio, o que a torna mais velha. O gráﬁco foi desenhado para
 = 0,75.

6
CAPÍTULO 2
O Periélio da Órbita de Mercúrio
Uma terceira previsão da teoria da relatividade geral de Einstein
era a de que a precessão da órbita do planeta Mercúrio apresen-
taria um excesso da ordem de 0,01° por século em relação aos
resultados obtidos usando a teoria clássica. Como a discrepân-
cia entre os resultados experimentais e os teóricos era bem
conhecida na época de Einstein, a explicação dessa diferença
constituiu um triunfo imediato para a nova teoria. De acordo
com a mecânica newtoniana, as órbitas dos planetas deveriam
ser elipses fechadas, com o Sol situado em um dos focos e os
eixos apontando sempre para as mesmas direções do espaço. Na
prática, porém, as atrações gravitacionais dos outros planetas
fazem com que os eixos principais da elipse girem lentamente
em torno do Sol (Figura 2-24). Na ausência de outros planetas,
a teoria gravitacional de Newton prevê que a órbita seria uma
elipse perfeita, com a distância r entre o Sol e o planeta sendo
dada por
2-55
sendo rmin a distância do ponto de máxima aproximação, conhe-
cido como periélio, e  é a chamada excentricidade da órbita,
deﬁnida como a razão entre a distância entre os focos e o com-
primento do eixo maior (no caso de um círculo,  = 0) e  é a
coordenadaangulardoplanetaemrelaçãoaoeixomaior.ATabela
2-2 mostra a excentricidade das órbitas de alguns planetas.
A rotação dos eixos principais da elipse é descrita em termos
de uma mudança progressiva na direção de rmin na Figura 2-24
e conhecida como precessão do periélio. A lei da gravitação de
Newton permite determinar a inﬂuência gravitacional dos outros
planetas e, portanto, calcular o valor total da precessão do perié-
lio para um dado planeta. Os resultados, porém, não estão de
acordo com as observações experimentais. No caso de Mercú-
rio, por exemplo, a precessão observada é de 9,55 minutos de
FIGURA 2-24 As órbitas dos planetas são elipses, com o Sol em um dos
focos. A força gravitacional dos outros planetas faz com que os eixos
das elipses girem lentamente em torno do Sol, com a reta que liga o
Sol à posição do periélio se deslocando de um ângulo ∆ a cada revo-
lução. Este deslocamento é conhecido como precessão do periélio. No
caso do planeta Mercúrio, ∆ = 9,55 minutos de arco por século.
Planeta
r
φ
∆φ
Sol
Periélio
rmin
Tabela 2-2 Precessão da órbita de alguns planetas
n  (segundos de arco/século)
Planeta
n (órbitas
por século)  rmin (UA)* Relatividade geral Observado
Mercúrio 415,2 0,206 0,307 43,0 43,1  0,5
Vênus 162,5 0,0068 0,717 8,6 8,4  4,8
Terra 100,0 0,017 0,981 3,8 5,0  1,2
Ícaro† 89,3 0,827 0,186 10,0 9,8  0,8
*Unidade astronômica (UA) = distância média Terra-Sol = 1,50  1011
m.
† Ícaro é um dos milhares de asteroides que existem no Sistema Solar. Foi incluído na tabela porque o periélio de sua
órbita é menor que o da órbita de Mercúrio.

O Periélio da Órbita de Mercúrio 7
arco por século, enquanto a precessão prevista é de apenas 8,85
minutos de arco por século.21
Existe, portanto, uma diferença
sem explicação de cerca de 0,7 minuto (42 segundos) de arco
por século. (O valor exato da discrepância experimental é de
43,1 segundos de arco por século. Veja a Tabela 2-2.)
A existência da discrepância era conhecida na época em que
Einstein formulou a teoria da relatividade geral; ele concluiu o
primeiro artigo que publicou sobre o assunto explicando a ori-
gem da discrepância e mostrando que sua teoria permitia calcu-
lar o valor correto da precessão.22
De acordo com a teoria da
relatividade geral, o ângulo  que aparece na Equação 2-49 deve
ser substituído por um ângulo   ∆:
2-56
sendo que o valor de ∆, a correção relativística da precessão,
é dado por
2-57
em que G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol e R é
o semieixo maior da órbita.
Como era de se esperar, a órbita do planeta Mercúrio, que
possui o menor valor de R e a maior excentricidade, é também
aquela para a qual a correção relativística é maior. Substituindo
os parâmetros da Equação 2-51 por valores apropriados, obte-
mos ∆ = 43,0 segundos de arco por século, em concordância
quase perfeita com os resultados experimentais. (A Tabela 2-2
mostra também os resultados para outros planetas.) Einstein
ﬁcou tão satisfeito com suas conclusões que escreveu em uma
carta endereçada a Arnold Sommerfeld:
O maravilhoso de tudo é que não só ela [a teoria da relatividade
geral] permite chegar à teoria de Newton, em primeira aproxi-
mação, mas também ao movimento do periélio de Mercúrio, em
segunda aproximação.

8
CAPÍTULO 2
O Retardo da Luz em um
Campo Gravitacional
Einstein foi levado a formular a teoria da relatividade geral por-
que a teoria da gravitação de Newton era incompatível com a
teoria da relatividade restrita. A teoria da relatividade geral resol-
veu esse problema, além de remover algumas dificuldades con-
ceituais associadas à teoria de Newton. Entre essas dificuldades
estavam a exclusão das partículas de massa zero da teoria clás-
sica e o fato de que a força gravitacional clássica era uma ação
à distância (isto é, sem contato entre as massas envolvidas) e
transmitida instantaneamente (isto é, com velocidade infinita),
em conflito com o princípio estabelecido pela teoria da relativi-
dade restrita de que a velocidade da luz constituía um limite
absoluto para a transmissão de sinais. Na teoria da relatividade
geral, esta última dificuldade é contornada usando o princípio
de equivalência para substituir o campo gravitacional em todos
os pontos do espaço por referenciais acelerados. Em cada um
desses referenciais locais, a teoria da relatividade restrita pode
ser aplicada, juntamente com o primeiro postulado de Einstein,
o princípio da relatividade. O resultado de tudo isso, que envolve
um tratamento matemático extremamente complexo, é produzir
um intervalo no espaço-tempo modificado ds (Equação 2-43)
que usamos anteriormente em duas dimensões:
2-58
Esta expressão liga a gravidade, representada pelo termo (1 
2GM/c2
r2
), às coordenadas geométricas do espaço-tempo.
Observe que, se M = 0, a expressão para (ds)2
se reduz à forma
já conhecida da relatividade restrita, mas, se M  0, o valor do
intervalo passa a depender da massa. Qualitativamente, se asso-
ciarmos ds a um gradiente, (ds)2
pode ser considerado como o
equivalente à curvatura do espaço-tempo. Assim, chegamos à
ideia de que a presença de massa em uma dada região do espaço
altera a curvatura do espaço-tempo nessa região.
Esta breve discussão qualitativa não faz justiça a um assunto
tão importante e complexo, mas nos permite propor uma ana-
logia bidimensional para o efeito da massa sobre a curvatura do
espaço-tempo. Ilustrando o chamado “modelo da membrana de
borracha”, a Figura 2-25a mostra as trajetórias de um raio lumi-
noso A e uma partícula com uma (pequena) massa de repouso
B que estão atravessando uma região do espaço-tempo bidimen-
sional na qual não existem grandes massas. A linha do universo
do raio luminoso é a linha reta correspondente a uma velocidade
c e ds = 0; na ausência de forças externas, a linha do universo
da partícula também é uma linha reta, mas com uma velocidade
menor que c e ds  0. Na Figura 2-25b, a presença de uma
FIGURA 2-25 Espaço-tempo bidimensional na ausência de massa (a) e
na presença de uma massa M (b), de acordo com o modelo da mem-
brana de borracha. A e B são as linhas do universo de um raio luminoso
e de uma partícula com massa de repouso diferente de zero. Os pontos
T e V indicam as posições da Terra e de Vênus no momento em que
Shapiro realizou uma de suas medições.
A
B
(a)
(b)
B´
V
T
A´
M

O Retardo da Luz em um Campo Gravitacional 9
grande massa M distorce o espaço-tempo. A luz e a partícula
agora se movem ao longo das trajetórias A e B. A trajetória da
partícula revela a “atração gravitacional” da massa M, mas não
como uma misteriosa ação à distância. Na verdade, a partícula
continua a se mover ao longo da trajetória mais curta (a cha-
mada geodésica) do espaço-tempo distorcido. O raio luminoso
faz exatamente a mesma coisa!
Assim, a linha do universo da luz deixa de ser uma reta, o
que faz com que a luz sofra um retardo do ponto de vista de
observadores distantes. Suponha, por exemplo, que a massa M
da Figura 2-25b seja o Sol e que T e V sejam, respectivamente,
a Terra e Vênus. Quando os dois planetas se encontram em posi-
ções diametralmente opostas em relação ao Sol (o que os astrô-
nomos chamam de conjunção superior), a trajetória que a luz
tem que percorrer para ir de um planeta ao outro é ligeiramente
mais longa que o “caminho direto”, isto é, o caminho que a luz
percorreria se uma massa M não estivesse presente para distor-
cer o espaço-tempo. A distância entre os planetas nessa situação
pode ser calculada com grande precisão a partir das órbitas;
assim, não é difícil calcular o tempo necessário para a luz viajar
de um planeta para o outro. Nas circunstâncias, a luz levaria
cerca de 20 minutos para fazer uma viagem de ida e volta entre
Vênus e a Terra. Como a linha do universo para a luz é ligeira-
mente mais comprida na presença do Sol, a luz parece se pro-
pagar mais lentamente que o normal. Assim, se a teoria da rela-
tividade geral estiver correta, a luz levará um pouco mais de 20
minutos para fazer o percurso. A diferença será maior se a luz
passar muito perto do Sol, isto é, se atravessar uma região na
qual o espaço-tempo está muito distorcido.
Em 1971, I. I. Shapiro e colaboradores23
anunciaram os resul-
tadosdeumasériedeexperimentosnosquaissinaisderadarforam
refletidos pelas superfícies de Mercúrio, Vênus e Marte quando o
Sol se encontrava entre a Terra e esses planetas. A Figura 2-26
mostra um gráfico do retardo dos sinais refletidos por Vênus em
FIGURA 2-26 Retardo dos sinais de radar refletidos por Vênus em fun-
ção da data da observação. O retardo máximo, que ocorre quando a
reta que liga a Terra e Vênus tangencia a superfície do Sol, é de 200
s. A curva mostra as previsões teóricas, de acordo com a teoria da
relatividade geral. [Fonte: I. I. Shapiro et al., Physical Review Letters,
26, 1132 (1971).]
–300 –200 –100 0 100 200 300
Tempo (dias)
Retardo
(�s)
40
80
120
160
200
0
Conjunção superior
25 de janeiro de 1970
função do dia da observação. A curva representa a previsão da teo-
ria da relatividade geral. A concordância entre os dados teóricos e
experimentais é evidente, mas o experimento se torna ainda mais
notável quando nos damos conta de que a incerteza nos dados, que
é de 20 s, exige que as posições relativas dos planetas sejam
conhecidas com uma precisão de alguns quilômetros.

10
CAPÍTULO 3
Demonstração da Equação
de Compton
Sejam 1 e 2 os comprimentos de onda dos raios X incidente e
espalhado, respectivamente (Figura 3-18). Os momentos cor-
respondentes são
e
em que foi usada a relação c = f. Como Compton usou a linha
K do molibdênio ( = 0,0711 nm; veja a Figura 3-15b), a ener-
gia do raio X incidente (17,4 keV) é muito maior que a energia
de ligação dos elétrons de valência do alvo de graﬁta (11 eV,
aproximadamente) e, portanto, os elétrons espalhados podem
ser considerados praticamente livres.
De acordo com a lei de conservação do momento, temos:
ou
3-26
considerando que pe é o momento do elétron depois da colisão
e  é o ângulo de espalhamento do fóton, medido como na Figura
3-18. A energia do elétron antes da colisão é simplesmente a
energia de repouso E0 = mc2
(veja o Capítulo 2). Depois da coli-
são, a energia do elétron passa a ser (E2
0  p2
e c2
).
De acordo com a lei de conservação da energia, temos:
Passando o termo p2c para o primeiro membro e elevando
ambos os membros ao quadrado, obtemos:
ou
3-27
Combinando as Equações 3-26 e 3-27 para eliminar o termo
p2
e , obtemos:
Multiplicando ambos os membros por hc/p1p2E0 e usando a
relação  = h/p, obtemos a equação de Compton:
ou
3-25
FIGURA 3-18 O espalhamento de raios X pode ser considerado como
a colisão de um fóton de momento h/1 com um elétron livre. Usando
as leis de conservação do momento e da energia, é possível expressar
a diferença entre os comprimentos de onda do fóton incidente e do
fóton espalhado em função da massa do elétron e do ângulo de espa-
lhamento (Equação 3-25).
E1 = hf1
E2 = hf2
p1 = h/λ1
p2 = h/λ2
φ
θ
m
pe = E2
– E0
2
1
–
–
c

11
CAPÍTULO 4
A Previsão de Rutherford e os
Resultados de Geiger e Marsden
Depois dos resultados animadores descritos no Exemplo 4-2,
Geiger e Marsden iniciaram uma série de experimentos nos quais
mediram:
1. O número de partículas por unidade de área para os quais o
ângulo de espalhamento estava compreendido entre  e  
d.
2. A variação do número de partículas com a espessura da folha
de metal.
3. A variação do número de partículas com a massa atômica
dos elétrons do alvo.
4. A variação do número de partículas espalhadas com a velo-
cidade v das partículas antes do espalhamento, que ajustavam
colocando folhas de um material absorvente entre o feixe e
o alvo.5
O número N de partículas  cujo ângulo de espalhamento
está entre  e d é igual ao número de partículas incidentes cujo
parâmetro de impacto está entre b e b + db (Figura 4-10). Esse
número, por sua vez, é igual ao produto da intensidade do feixe
incidente, I0, pela área 2bdb que aparece na Figura 4-10. Para
determinar a área, começamos por diferenciar a Equação 4-3,
obtendo:
4-7
Ignorando o sinal negativo (já que estamos interessados apenas
no valor absoluto da área), multiplicando a Equação 4-7 por
2bI0 e usando uma identidade trigonométrica (veja o Problema
4-48), obtemos:
4-8
na qual ﬁzemos q = 2e para a partícula  e Q = Ze para o núcleo
do alvo, que contém Z cargas positivas. As N partículas  cujo
ângulo de espalhamento está entre  e   d passam por uma
zona esférica de raio r e centro no átomo responsável pelo espa-
lhamento (Figura 4-11). A área dessa zona é Az = (2rsen)(rd).
Assim, o número de partículas  espalhadas por núcleo e por
unidade de área com ângulo de espalhamento entre  e   d
é dado por6
4-9
FIGURA 4-10 O número de partículas com parâmetro de impacto
entre b e b + db é proporcional à área 2bdb. Para essas partí-
culas, o ângulo de espalhamento está entre  e   d.
Núcleo
da folha
Área 2πb db
dθ
θ
b
db

De acordo com o modelo nuclear de Rutherford, portanto, o
número de partículas  por núcleo observadas na tela de um
cintilômetro de área Az (veja a Figura 4-11) é dado por
4-10
Como o número de núcleos por unidade de área da folha de
metal é igual a nt, o cintilômetro deve observar um número total
∆N = nt∆N1 de partículas com ângulo de espalhamento entre 
e   d. Assim, temos:
4-6
para qual Ek = mv2
/2 é a energia cinética das partículas  antes
do espalhamento.
A Equação 4-6 pode ser usada para calcular teoricamente o
número ∆N de partículas que serão observadas na tela do cinti-
lômetro de acordo com o modelo nuclear de Rutherford. Observe
que, segundo a Equação 4-6, ∆N é proporcional a sen4
(/2), a Z2
,
a t e a E
k
2
. A Figura 4-12 mostra os resultados obtidos por Geiger
e Marsden para o número de partículas  espalhadas por unidade
de área em função de  (Equação 4-9). A energia cinética Ek das
partículas  antes do espalhamento era 7,7 MeV. Também foi
examinada a variação de ∆N com outros parâmetros. No final
do artigo The Laws of Deflection of  Particles through Large
Angles,7
Geiger e Marsden resumem da seguinte forma os resul-
tados das observações:
Os experimentos descritos neste trabalho foram executados para
testarumateoriadoátomopropostapeloProf.Rutherford,baseada
no fato de que existe no centro dos átomos uma carga elétrica
intensa, altamente concentrada. A verificação se baseia nas leis de
espalhamento que foram deduzidas dessa teoria. As seguintes rela-
ções foram verificadas experimentalmente (o negrito é nosso):
1. O número de partículas  que emergem de uma folha de
metal fazendo um ângulo  com o feixe original varia
como 1/sen4
(/2) quando as partículas  são contadas em
uma área definida a uma distância constante da folha. Esta
relação foi testada para ângulos entre 5o
e 150o
; nessa faixa,
o número de partículas  variou entre 1 e 250.000, em boa
concordância com a teoria.
2. O número de partículas  espalhadas em uma dada dire-
ção é diretamente proporcional à espessura da folha de
metal para pequenas espessuras. Para grandes espessuras, a
redução de velocidade das partículas  no interior da folha
faz com que o número de partículas  aumente um pouco
mais rapidamente com a espessura.
3. O espalhamento por átomo para folhas de diferentes mate-
riais varia aproximadamente com o quadrado do peso
atômico. Esta relação foi testada para folhas com átomos de
pesos atômicos entre o do carbono e o do ouro.8
4. O número de partículas espalhadas por uma mesma folha
de metal é aproximadamente proporcional ao inverso da
quarta potência da velocidade das partículas  inciden-
tes [ou seja, a E
k
2
]. Esta relação foi testada para um intervalo
de velocidades tal que o número de partículas espalhadas
variou de 10 vezes.
A excelente concordância, em uma faixa de quatro ordens de
grandeza, entre os valores de ∆N medidos por Geiger e Mars-
den e os valores teóricos está ilustrada na Figura 4-9a, que mos-
tra os resultados obtidos com folhas de ouro e de prata. Como
se pode ver, os pontos experimentais obedecem de perto à varia-
ção linear com sen4
(/2) prevista pela teoria. A Figura 4-9b
mostra os resultados obtidos com folhas de diferentes espessu-
ras. Os dados experimentais mostram que ∆N varia linearmente
com a espessura, como prevê a teoria, para os quatro materiais
investigados. A variação de ∆N com Ek também está de acordo
com as previsões teóricas. Todas essas observações servem para
mostrar que a equação F = kqQ/r2
usada para chegar às Equa-
ções 4-6 e 4-9 está correta e que o modelo nuclear de Ruther-
ford está de acordo com os resultados experimentais.
Folha
Cintilômetro
r sen θ
r
r
dθ
θ
r dθ
FIGURA 4-11 As partículas com ângulo de espalhamento entre  e  
d passam por uma zona esférica de raio r e centro no átomo respon-
sável pelo espalhamento. A área dessa zona é Az = (2rsen)(rd). O
cintilômetro está situado a uma distância r da folha e ocupa uma fra-
ção fci dessa área igual à razão (área do cintilômetro)/(área da superfí-
cie) = Aci/Asup = fci e, portanto, detecta um número de partículas ∆N1 =
(N/Asup)(Aci) = Ncifci devido ao espalhamento de um núcleo.
1
0
30°
60°
90°
120°
150°
180°
N
/
A
sup
θ
10
102
103
104
105
106
1
FIGURA 4-12 Número de partículas  espalhadas por unidade de área
em função do ângulo de espalhamento . A curva é proporcional à fun-
ção sen4
(/2). Os pontos experimentais foram obtidos por Geiger e
Marsden usando partículas  de 7,7 MeV. [Fonte: R.D. Evans, The
Atomic Nucleus, New York, McGraw-Hill, 1955.]

13
CAPÍTULO 4
Crítica da Teoria de Bohr e da
“Velha” Mecânica Quântica
Como vimos neste capítulo e no anterior, muitos fenômenos (a
radiação de corpo negro, o efeito fotelétrico, o efeito Compton,
o espectro ótico do hidrogênio, os espectros de raios X de muitos
elementos) podem ser “explicados” por várias hipóteses de quan-
tização. Essas “teorias”, uma estranha mistura de ideias clássicas
e quânticas, são conhecidas pelo nome genérico de “velha” mecâ-
nica quântica. Aplicar esta mecânica quântica a um problema
específico nos primeiros anos do século XX era uma mistura de
arte e ciência, pois ninguém conhecia exatamente as regras. Os
sucessos da teoria de Bohr, porém, foram inegáveis e espetacu-
lares. Várias linhas espectrais desconhecidas foram previstas e,
maistarde,observadas.NãosóaconstantedeRydbergfoiexpressa
em termos de constantes conhecidas, mas a pequena variação no
valor da constante de elemento para elemento foi explicada pela
pequena variação da massa reduzida. O raio da primeira órbita de
Bohr do hidrogênio, 0,0529 nm, era compatível com o diâmetro
conhecido da molécula de hidrogênio, 0,22 nm. Os comprimen-
tos de onda dos espectros característicos de raios X podiam ser
calculados a partir da teoria de Bohr.
Os fracassos da teoria de Bohr e da velha mecânica quântica
foram mais de omissão. Apesar de prever corretamente as tran-
sições do espectro do hidrogênio, a teoria não permitia calcular
as probabilidades dessas transições, isto é, a teoria era incapaz
de prever as intensidades relativas das linhas do espectro. A teo-
ria também não podia ser aplicada aos espectros óticos de áto-
mos com mais de um elétron. Finalmente, havia um sério pro-
blema filosófico associado ao fato de que as premissas básicas
da teoria não tinham uma justificativa lógica. Por que, por exem-
plo, os elétrons dos átomos, embora possuíssem uma aceleração
centrípeta, não irradiavam energia, como exigia a teoria eletro-
magnética clássica, cuja validade tinha sido exaustivamente tes-
tada? Por que as moléculas das paredes de um corpo negro só
podiam oscilar com certas frequências? Não havia razão para
esperar que a lei de Coulomb continuasse a ser válida e as leis
de radiação tivessem que ser revistas, ou que as leis de Newton
pudessemserempregadas,masapenascertosvaloresdemomento
angular fossem permitidos. Durante a década de 1920, os cien-
tistas procuraram sanar esses problemas e uma teoria sistemá-
tica, hoje conhecida como mecânica quântica ou mecânica ondu-
latória, foi formulada por de Broglie, Schrödinger, Heisenberg,
Pauli, Dirac e outros. Vamos estudar alguns aspectos dessa teo-
ria nos próximos dois capítulos e aplicá-la ao estudo de átomos,
núcleos e sólidos nos capítulos restantes do livro. Como vamos
ver, embora seja muito mais satisfatória do ponto de vista filo-
sófico, esta teoria é algo abstrata e às vezes difícil de aplicar à
solução de problemas. Apesar das limitações, a teoria de Bohr
resulta em um modelo que é fácil de visualizar, permite calcular
os níveis de energia corretos para o hidrogênio e constitui mui-
tas vezes a maneira mais simples de descrever os cálculos da
mecânica quântica.

14
CAPÍTULO 5
O Experimento de Duas Fendas
O significado do dualismo onda-partícula pode ser ilustrado atra-
vés de uma discussão do experimento de duas fendas, seguindo
uma linha de raciocínio proposta por R. P. Feynman.13
Vamos
considerar o caso em que o experimento é realizado com elétrons,
mas o resultado seria o mesmo se as partículas fossem fótons.
A Figura 5-21a mostra o arranjo experimental. (Trata-se de mais
um experimento imaginário; não tente reproduzi-lo em casa!)
Todos os elétrons saem da fonte com a mesma energia e, por-
tanto, com o mesmo comprimento de onda . O detector de elé-
trons pode ser movimentado verticalmente ao longo da parede
para que o número de elétrons que chegam ao detector seja regis-
trado em função do ângulo , o que permite medir o número de
elétrons por minuto (ou seja, a taxa de contagem do detector)
em cada ponto da parede. Durante a execução do experimento,
duas coisas se tornam evidentes. Em primeiro lugar, ou o detec-
tor revela a chegada de um elétron ou permanece sem ser acio-
nado; em outras palavras, não é observado nenhum “meio elé-
tron” ou “elétron parcial”. Em segundo lugar, a taxa de contagem
do detector varia de acordo com a posição ao longo da parede,
ou seja, a probabilidade de que o detector acuse a presença de
um elétron é função do ângulo . O resultado do experimento é
a curva P12 da Figura 5-21b, que mostra o número de elétrons
detectados por minuto em função da posição do detector.
Vamos agora analisar a curva da Figura 5-21b para ver se
conseguimos compreender o comportamento dos elétrons. Como
o detector revela a presença apenas de partículas completas, é
natural imaginar que, para chegar ao detector, cada elétron obser-
vado tenha passado pela fenda 1 ou pela fenda 2. Assim, todos
os elétrons que chegam à parede passaram por uma das duas
fendas e, portanto, a curva observada, P12, deve ser a soma dos
efeitos dos elétrons que passaram pela fenda 1 com os efeitos
dos elétrons que passaram pela fenda 2. Podemos verificar se
este raciocínio está correto bloqueando a fenda 2 e repetindo o
experimento apenas com a fenda 1 aberta. O resultado é a curva
P1 da Figura 5-21c. Quando repetimos o experimento com a
fenda 1 bloqueada e a fenda 2 aberta, o resultado é a curva P2
da Figura 5-21c. Observe que, ao contrário das expectativas, a
curva P12 não é igual à soma das curvas P1 e P2, ou seja, P12 
P1  P2.
Em analogia com nossa experiência com outros tipos de onda,
como as ondas luminosas, por exemplo, atribuímos este resultado
aos efeitos da interferência. P12 é a figura de interferência formada
pelas ondas de matéria associadas aos elétrons. A curva passa por
um máximo em  = 0o
e a posição do primeiro mínimo é dada por
d sen  = /2, na qual d é a distância entre as fendas. Se /d <<
1, como é comum neste tipo de experimento, a posição do pri-
meiro mínimo é dada aproximadamente por  = /2d. Como pode-
mos calcular os efeitos da interferência? Basta procedermos como
no caso das ondas clássicas, em que somamos as amplitudes das
ondas, levando em conta as fases relativas, e elevamos o resultado
FIGURA 5-21 (a) Arranjo experimental para produzir uma figura de interferência no experimento de duas fendas com elétrons. O detector pode
ser deslocado ao longo da parede. (b) Taxa de contagem do detector, P12, com as duas fendas abertas. (c) Taxas de contagem P1 e P2 apenas com
a fenda 1 aberta e apenas com a fenda 2 aberta.
Canhão de
elétrons
Detector
θ
Fendas Parede
1
2
x x
P12
P1
P2
(a) (c)
(b)

O Experimento de Duas Fendas 15
ao quadrado para calcular a intensidade da onda resultante. Assim,
se as funções de onda do elétron são 1 para os elétrons que pas-
sam pela fenda 1 e 2 para os elétrons que passam pela fenda 2,
as intensidades para as três funções que aparecem nas Figuras 5-
21b e 5-21c são as seguintes:
5-29
Isso significa que os elétrons são detectados como partículas,
mas se propagam como ondas. Em outras palavras, os elétrons
se comportam como partículas apenas quando são observados!
É isso que significa o dualismo onda-partícula. Este resultado
é conhecido como princípio de complementaridade de Bohr:
Os aspectos corpuscular e ondulatório são complementares.
Ambos são necessários, mas não podem ser observados simul-
taneamente. Dependendo do arranjo experimental, podemos
observar um ou outro aspecto, mas não os dois ao mesmo
tempo. Existem muitas sutilezas associadas ao fato de que a
natureza funciona desta forma, como a que será discutida a
seguir.
Suponha que uma fonte luminosa tenha sido instalada entre
as fendas e a parede, como na Figura 5-22a. Como as partículas
carregadas espalham a luz, um elétron que passe pela fenda 2 e
chegue ao detector percorrendo a trajetória indicada por uma
linha tracejada produzirá um clarão no ponto A, ou seja, nas
vizinhanças da fenda 2. Do mesmo modo, um elétron que passe
pela fenda 1 produzirá um clarão nas vizinhanças da fenda 1.
Quando realizamos o experimento, eis o que acontece: sempre
que o detector registra a chegada de um elétron, observamos um
clarão das proximidades da fenda 1 ou nas proximidades da
fenda 2, mas nunca das proximidades das duas fendas ao mesmo
tempo; em outras palavras, os elétrons não passam parcialmente
pela fenda 1 e parcialmente pela fenda 2. Em outras palavras,
quando “observamos” o elétron (isto é, quando fazemos incidir
sobre ele um feixe luminoso), podemos determinar qual foi a
sua trajetória. Como este fato parece não estar de acordo com
as conclusões anteriores, vamos examinar a situação mais de
perto.
Se fizermos um gráfico do número de elétrons que chegaram
ao detector passando pela fenda 1 em função da posição do detec-
tor, obteremos a curva P
1 da Figura 5-22c; se fizermos um gráfico
do número de elétrons que chegaram ao detector passando pela
fenda 2, obteremos a curva P
2. Essas curvas são iguais às curvas
P1 e P2 da Figura 5-21c, que foram feitas com uma das fendas
fechada e correspondem exatamente ao que esperamos. Entre-
tanto, quando fazemos um gráfico do número total de elétrons
que chegam ao detector em função da posição do detector, obte-
mos a curva P
12 da Figura 5-22b, que é simplesmente a soma de
P
1 e P
2; a figura de interferência simplesmente desapareceu! Ao
“observarmos” os elétrons no momento em que estão passando
pelas fendas, alteramos as trajetórias. Assim, por exemplo, um
elétron que poderia ter contribuído para um máximo da curva P12
pode ser desviado na direção de um mínimo de P12. Em outras
palavras,foiaobservaçãodoselétronsquefezdesaparecerafigura
de interferência. Em termos mais técnicos, o fato de havermos
determinado que um elétron passou por uma das fendas significa
que localizamos a posição do elétron com uma precisão x  d/2,
considerando que d é a distância entre as fendas. De acordo com
o princípio de indeterminação, devemos ter
Assim, se um elétron estava se dirigindo originalmente para o
máximo de interferência de P12 em  = 0o
com um momento
p = /h, a interação com a luz o faz sofrer um desvio cuja inde-
terminação angular  é dada por
O valor acima corresponde aproximadamente à distância entre
o máximo central e o primeiro mínimo da figura de difração.
Assim, a simples observação do elétron é suficiente para fazer
desaparecer a figura de interferência.
FIGURA 5-22 (a) Uma fonte luminosa é usada para determinar por qual das fendas o elétron passou. (b) Taxa de contagem P
12 com as duas fen-
das abertas e a fonte luminosa ligada. (c) Taxas de contagem P
1 e P
2 para os elétrons que passaram pelas fendas 1 e 2, respectivamente.
Canhão de
elétrons
Detector
Fendas Parede
1
Fonte
luminosa
2
x x
P´12
P´1
P´2
(a) (c)
(b)
A

16
CAPÍTULO 6
Solução Gráfica do Poço
Quadrado Finito
Nesta Leitura Suplementar, é apresentada uma discussão mais
detalhada da aplicação da equação de Schrödinger a um poço
de potencial quadrado unidimensional finito, um problema fisi-
camente mais realista que o poço infinito cuja solução será útil
para futuras discussões. Vamos primeiro deslocar os eixos V(x)
e x de modo a tornar o potencial simétrico em relação ao ponto
x = 0, com as paredes em a, como na Figura 6-8b. O objetivo
é facilitar os cálculos. Como nos casos anteriores, estamos inte-
ressados em soluções para 0 < E < V0.
A Equação 6-33 é a equação de Schrödinger para a > x >
+a com V(x) = V0; a solução geral é
6-36
na qual B1 e B2 são constantes. A condição de que (x) → 0 para
x →  nos dá B2 = 0 para x < a. Da mesma forma, B1 = 0
para x > a e, portanto,
6-37a
6-37b
A Equação 6-26 é a equação de Schrödinger para a > x >
a com V(x) = 0; a solução geral, como vimos, é
6-38
em que A1 e A2 são constantes. Ao contrário do que acontece no
caso do poço quadrado infinito, porém, não podemos eliminar
a função seno ou a função cosseno exigindo que a função seja
nula nas fronteiras do poço, já que a profundidade do poço não
é infinita. Entretanto, como as duas funções senoidais possuem
simetrias diferentes (o cosseno é par e o seno é ímpar), pode-
mos estudá-las separadamente quando o potencial é definido de
forma simétrica, como na Figura 6-8b.
As Equações 6-37 e 6-38 são funções contínuas e as deriva-
das primeiras também são contínuas; assim, as funções comple-
tas (x) e (x) para o poço quadrado finito também são contí-
nuas,oqueésuficienteparaquesejamfunçõesdeondaaceitáveis,
contanto que também sejam contínuas em x = a e x = a.
Como podemos assegurar a continuidade da função de onda
nesses dois pontos? Vamos considerar primeiro a solução par,
(x) = A2 cos kx.
Em x = a,
6-39a
6-39b
Em x = a,
6-40a
6-40b
Observamos imediatamente que B1 = B2, o que também podería-
mos ter concluído a partir da simetria do potencial. Combinando
as Equações 6-39 e 6-40, obtemos:
ou
6-41
Substituindo k e  na equação acima por seus valores, dados
pelas Equações 6-27 e 6-34, obtemos:
6-42
No caso das soluções ímpares, (x) = A1 sen kx, um raciocínio
semelhante leva à condição
6-43

Solução Gráfica do Poço Quadrado Finito 17
Embora muito trabalhosa do ponto de vista matemático, a solu-
ção destas equações transcendentais pode ser obtida grafica-
mente com relativa facilidade. As soluções são os pontos nos
quais os gráficos de tan ka e cot ka têm valores em comum
com /k. A solução gráfica aparece na Figura 6-15. O primeiro
passo consiste em traçar os gráficos de tan ka e cot ka em fun-
ção de ka. Esses gráficos, naturalmente, são a curva de tan  em
função de  e o negativo da curva da cot  em função de  que
estudamos nos cursos de trigonometria. O “ângulo” ka depende
tanto da energia E da partícula quanto da largura 2a do poço. O
segundo passo consiste em traçar a curva de /k em função da
ka. O ponto no qual a curva de /k intercepta o eixo ka é o ponto
E = V0, que corresponde à altura do poço. Vale a pena chamar a
atenção para algumas propriedades das soluções do poço qua-
drado finito:
1. Quando aumentamos gradualmente a profundidade do poço,
ou seja, quando deslocamos para a direita o ponto da Figura
FIGURA 6-15 Soluções gráficas das Equações 6-41 e 6-43. A figura mostra duas curvas diferentes de /k, que correspondem a diferentes valores
de V0. O valor de V0 em cada caso é dado pelo valor de ka para o qual /k = 0, indicado pelas setas. Na curva de cima, por exemplo, /k = 0 para
ka = (2mV0)1/2
a/ = 2,75. Os valores permitidos de E são dados pelos valores de ka nas interseções das curvas de /k com as curvas de tan ka
e cot ka.
0
1
2
3
4
–cot ka
α/k
ka
tan ka
tan ka
α/k
–cot ka
n = 6
n = 5
n = 4
n = 3
n = 2
π 2π 3π
π/2 3π/2 5π/2
6-15 em que /k = 0, uma nova solução e uma nova energia
permitida aparecem toda vez que o ponto em que /k = 0
passa por um múltiplo inteiro de /2.
2. Quando reduzimos gradualmente a profundidade do poço,
ou seja, quando deslocamos para a esquerda o ponto da Figura
6-15 em que /k = 0, uma solução e uma energia permitida
desaparecem toda vez que o ponto em que /k = 0 passa por
um múltiplo inteiro de /2. Entretanto, por menor que seja
a profundidade do poço, existe sempre pelo menos uma ener-
gia permitida, contanto que V0 > 0.
Obter os valores das constantes nas expressões gerais de (x)
não é particularmente útil para nossos propósitos, pois já conhe-
cemos a forma geral das funções de onda do poço quadrado
finito. (Veja a Figura 6-12, lembrando que, nesse caso, L = 2.)
Usando o método gráfico que acabamos de descrever, é possível
construir o diagrama de níveis de energia de um poço quadrado
finito.

18
CAPÍTULO 6
Transições entre Estados
Quânticos
Como vimos, a equação de Schrödinger leva à quantização da
energia em sistemas ligados. A existência de níveis quantizados
de energia é demonstrada experimentalmente através da obser-
vação da energia emitida ou absorvida quando o sistema sofre
uma transição de um nível para outro. Nesta Leitura Suplemen-
tar, vamos examinar alguns aspectos dessas transições em um
sistema unidimensional; os resultados podem ser aplicados facil-
mente a sistemas mais complicados.
Na física clássica, uma partícula carregada emite radiação
sempre que é acelerada. Se a carga está oscilando, a frequência
da radiação emitida é igual à frequência de oscilação. Uma dis-
tribuição estacionária de carga não emite radiação.
Considere uma partícula de carga q em um estado quântico
n descrito pela função de onda
na qual En é a energia e n(x) é uma solução da equação de
Schrödinger independente do tempo para uma certa energia poten-
cial V(x). A probabilidade de que a partícula seja encontrada no
intervalo entre x e x + dx é *
nndx. Se fizermos muitas medições
em sistemas iguais (isto é, em partículas com a mesma função de
onda), a carga média encontrada no mesmo intervalo será dada
por q*
nndx. Assim, a grandeza q*
nn representa uma densi-
dade de carga . Como já observamos, quando a função de onda
está associada a uma única energia, a densidade de probabilidade
é independente do tempo; isso significa que a densidade de carga
nesse caso também é independente do tempo:12
É razoável, portanto, que esta distribuição estacionária de carga
não emita radiação. (Este argumento, no caso do átomo de hidro-
gênio, é usado para explicar o primeiro postulado de Bohr.) Por
outro lado, observamos que os sistemas sofrem transições de
um nível de energia para outro e que as transições são acompa-
nhadas por emissão ou absorção de radiação. A causa das tran-
sições é a interação do campo eletromagnético com uma partí-
cula carregada. Para calcular as probabilidades de emissão e
absorção, é necessário um tratamento detalhado dessa interação.
A solução completa é complexa demais para ser analisada neste
livro; entretanto, podemos aprender muita coisa com um trata-
mento semiclássico, como o que é apresentado a seguir.
Vamos escrever a função de onda de uma partícula que está
sofrendo uma transição do estado n para o estado m como uma
mistura das funções de onda dos estados n e m:
6-52a
Não precisamos nos preocupar com os números a e b; queremos
apenas mostrar que, se a e b forem diferentes de zero, a densi-
dade de probabilidade e a densidade de carga oscilarão com uma
frequência angular nm dada pela relação de Bohr hf = nm =
En  Em, ou seja,
6-52b
Para simplificar a notação, vamos supor que as funções inde-
pendentes do tempo n(x) e m(x) são reais. A densidade de pro-
babilidade associada à função de onda nm(x,t) é dada por
6-52c
Os dois primeiros termos são independentes do tempo. O ter-
ceiro termo da Equação 6-52c contém os produtos
e
onde nm é a frequência angular de Bohr, dada pela Equação
6-52b. Somando esses termos e usando a identidade

Transições entre Estados Quânticos 19
vemos que a densidade de probabilidade depende do tempo e é
dada por
6-52d
Assim, a função de onda formada por uma mistura de funções
de onda correspondentes a dois estados puros leva a uma distri-
buição de carga que oscila com a frequência de Bohr.
Podemos descrever a radiação de um sistema da seguinte
forma: Em um certo instante, um sistema se encontra em um
estado excitado n descrito pela Equação 6-52a com a = 1 e b =
0. Por causa da interação do sistema com o campo eletromag-
nético (que não foi incluído na equação de Schrödinger), a dimi-
nui e b deixa de ser nulo. Nesse momento, a densidade de carga
começa a oscilar com frequência angular nm. Entretanto, o sis-
tema não irradia energia continuamente, como prevê a teoria
clássica. Em vez disso, a oscilação da densidade de carga indica
que existe uma probabilidade finita de que um fóton de energia
nm = En  Em seja emitido, deixando o sistema no estado m,
no qual a = 0 e b = 1. A emissão do fóton é um processo esta-
tístico. A Figura 6-16 mostra a variação de |nm|2
durante uma
transição do primeiro estado excitado para o estado fundamen-
tal do poço quadrado infinito.
Transições Tipo Dipolo Elétrico
O sistema clássico mais simples capaz de irradiar ondas eletro-
magnéticas é o dipolo elétrico oscilante. O valor esperado do
momento dipolar qx de uma partícula cuja função de onda é 
é dado por
De acordo com o que foi discutido anteriormente, se a função
de onda corresponde a um estado estacionário, o valor esperado
do momento dipolar é independente do tempo. Caso, porém, a
função  seja uma mistura como a representada pela Equação
6-52a, a função q(x) possui termos dependentes do tempo que
oscilam com a frequência de Bohr. De acordo com a Equação
6-52d, o momento dipolar pode ser escrito na forma
6-52e
A integral que aparece na Equação 6-52e é chamada de ele-
mento de matriz. Existem muitos casos em que esta integral é
nula. Por exemplo: se n e m são funções de onda do poço qua-
drado infinito, um cálculo direto mostra que o elemento de matriz
da Equação 6-52e é nulo se n e m são ambos pares ou ambos
ímpares. Em casos como esse, dizemos que as transições do tipo
dipolo elétrico são proibidas entre os estados envolvidos. A
ausência de uma transição entre dois estados devido ao fato de
que o elemento de matriz é nulo muitas vezes pode ser expressa
através de uma regra de seleção. Assim, por exemplo, uma regra
de seleção para o poço quadrado infinito especifica que, para
que uma transição do tipo dipolo elétrico seja possível, a dife-
rença entre os números quânticos dos estados envolvidos deve
ser 1, 3, 5, ... (e não 2, 4, 6, ...). Vamos encontrar outros exem-
plos de regras de seleção na próxima seção, quando estudarmos
o oscilador harmônico, e no Capítulo 7, quando examinarmos
as transições entre os estados estacionários dos átomos. As tran-
sições que discutimos até agora, produzidas pela perturbação
de um sistema de cargas pelo campo eletromagnético próprio,
FIGURA 6-16 Densidade de probabilidade nm|2
(Equação 6-52d)
para uma partícula em um poço quadrado infinito sofrendo uma
transição do primeiro estado excitado (n = 2) para o estado funda-
mental (m = 1). As contribuições a e b para a mistura de 2 e 1
(veja a Equação 6-52a) foram calculadas (a) para a = 1 e b = 0; (b)
para a = 0,75 e b = 0,25; (c) para a = 0,50 e b = 0,50; (d) para a =
0,25 e b = 0,75; (e) para a = 0 e b = 1. A distribuição de probabi-
lidade que aparece em (a) é a do primeiro estado excitado, antes
de começar a transição; a que aparece em (e) é do estado funda-
mental, depois de completada a transição.
0 +A
–A
Ψ
nm

2
(c)
0 +A
–A
Ψ
nm

2
(d )
0 +A
–A
Ψ
nm

2
0 +A
–A
Ψ
nm

2
(a)
0 +A
–A
Ψ
nm

2
(e)
(b)

são chamadas de transições espontâneas. Se um sistema (um
átomo, por exemplo) se encontra em um certo estado e é exposto
a uma radiação externa cuja frequência é igual à frequência de
Bohr correspondente a uma transição para um estado de maior
energia, o sistema pode sofrer essa transição absorvendo um
fóton da radiação externa. Se o sistema está em um estado exci-
tado e é exposto a uma radiação externa cuja frequência é igual
à frequência de Bohr correspondente a uma transição para um
estado de menor energia, o sistema pode sofrer essa transição
emitindo um fóton com a mesma frequência que a radiação
externa. Esta emissão estimulada, que acontece nos masers e
nos lasers, é importante porque o fóton emitido está em fase
com o fóton que estimulou a transição. Os lasers serão discuti-
dos no Capítulo 9.

21
CAPÍTULO 6
O Artifício de Schrödinger
A equação de Schrödinger dependente do tempo para o oscila-
dor harmônico simples é
[1]
cujas soluções estacionárias são
nas quais (x) satisfaz a equação independente do tempo
[2]
A solução da Equação 2 para obter as funções de onda (x) e
os níveis de energia correspondentes não é trivial. Entretanto, os
níveis de energia podem ser obtidos (sem recorrer a nenhuma
aproximação!) usando um artifício engenhoso proposto por
Schrödinger.
Lembrando que definimos e,
consequentemente, . Note que  é a frequência
angular clássica do oscilador: x = x0 cos t, que satisfaz a equa-
ção m(d2
x/dt2
) = Kx. Substituindo x e dx em termos de y e dy
na Equação 2, obtemos
e
[3]
Esta última equação pode ser escrita na forma
[4]
Para confirmar que isso é verdade, note que
Assim, a equação de Schrödinger do oscilador harmônico sim-
ples se torna
[5]
Operando na Equação 5 pela esquerda com obtemos
Acontece que, para qualquer função f(y),
Assim, para f(y) = temos:
o que nos dá
[6]
Como, de acordo com a Equação 3,
vemos que, para e E = E  , a Equação 6
se torna
[7]
As Equações 3 e 7 têm exatamente a mesma forma. Isso signi-
fica que se existe uma solução (y) cujo nível de energia cor-

respondente é E, então d
dy
y
d
dy
y
 

 





 também é uma
solução, e a energia correspondente é E  . A mesma trans-
formação pode ser usada várias vezes; cada vez que é executada,
a energia é reduzida de . Isso signiﬁca que o espaçamento
dos níveis de energia do oscilador harmônico simples é .

23
CAPÍTULO 6
O Diodo Túnel
Uma variação do problema do tunelamento consiste em consi-
derar duas barreiras de potencial, de altura finita V0 e largura
finita a, separadas por uma distância L, como na Figura 6-32.
Uma partícula que se encontre inicialmente na região entre as
duas barreiras oscila de um lado para outro, incidindo periodi-
camente nas barreiras. Cada vez que a partícula incide em uma
das barreiras, existe uma probabilidade pequena, mas finita, de
conseguir atravessá-la por tunelamento. Este comportamento é
responsável por vários fenômenos físicos e pelo funcionamento
de dispositivos como o diodo túnel e a junção Josephson.
Como seria de se esperar, também existe a probabilidade de
que um elétron proveniente do exterior consiga atravessar as
duas barreiras, como mostra a Figura 6-32. A região entre as
barreiras pode ser considerada como um poço de potencial; a
diferença está no fato de que, ao contrário do que acontece no
caso do poço de potencial representado na Figura 6-8, paredes
do poço possuem uma largura finita. Como nos casos estudados
anteriormente, a solução da equação de Schrödinger leva a uma
quantização da energia na região entre as duas barreiras, o que
nos dá um resultado muito interessante: se a velocidade v de um
elétron que se aproxima do poço é tal que a energia cinética Ek
é igual a um dos níveis de energia permitidos no interior do
poço, En, isso significa que a largura do poço é igual a um múl-
tiplo inteiro de metade do comprimento de onda do elétron (veja
a Equação 6-23):
6-80
Nesse caso, as ondas refletidas nas paredes do poço interferem
construtivamente e, em consequência, a probabilidade de o
elétron atravessar as duas barreiras pode chegar a 100%,
embora o coeficiente de transmissão associado a cada barreira
seja menor que 0,01! (Um fenômeno ótico análogo é obser-
vado no interferômetro de Fabry-Perot.) Esta transmissão res-
sonante para certas energias levou à criação do diodo túnel
ressonante por Esaki, Chang e Tsu.18
Este dispositivo pode ser
usado em várias aplicações importantes. Os diodos túnel que
aparecem na micrografia que acompanha esta Leitura Suple-
mentar, por exemplo, foram usados para gerar uma frequência
de 720 GHz, o que constituiu na época um recorde para osci-
ladores semicondutores.
FIGURA 6-32 Densidade de probabilidade para
um pacote de ondas incidindo em duas barreiras.
As duas barreiras têm uma altura V0 e a energia
das partículas é E < V0. Como, em cada choque,
parte do pacote é transmitida e parte é refletida,
uma parte do pacote fica retida entre as duas bar-
reiras. Os picos estreitos são causados pelas des-
continuidades do potencial.
Ψ(x, t)2
x
t

Micrograﬁa eletrônica de um conjunto de diodos túnel fabri-
cado por Gerhard Sollner e colaboradores, no MIT Lincoln
Laboratory. Cada diodo tem 8 m de largura. Camadas de
semicondutor com uma espessura da ordem de nanômetros
formam um poço quântico em cada diodo. Os diodos foram
usados para gerar uma frequência de 720 GHz, o que consti-
tuiu na época um recorde para osciladores semicondutores.
[A micrograﬁa é cortesia de T.C.L. Gerhard Sollner, MIT Lin-
coln Laboratory.]

25
CAPÍTULO 7
Átomos com Mais de um
Elétron Externo
Os níveis de energia e espectros óticos são muito mais compli-
cados no caso de átomos com mais de um elétron na camada
externa. Nesta Leitura Suplementar, vamos discutir qualitativa-
mente os níveis de energia do hélio e dos metais alcalinoterrosos,
elementos que pertencem à segunda coluna da tabela periódica.
Esses átomos são formados por um caroço mais dois elétrons em
uma camada externa do tipo s. Quase todos os espectros obser-
vados podem ser explicados em termos da transferência de um
dos elétrons externos para um estado de maior energia. Essas
transições são conhecidas como transições normais. As transi-
ções que envolvem a excitação simultânea dos dois elétrons da
camada externa para estados de maior energia são chamadas de
transições anômalas e serão discutidas apenas de passagem.
No modelo usado para calcular os níveis de energia desses
elementos, o átomo é composto por dois elétrons iguais subme-
tidos ao potencial elétrico do núcleo e dos outros elétrons. O
mais simples desses átomos é o hélio, mas o berílio, o magné-
sio, o cálcio, o estrôncio, o bário e o rádio se comportam de
forma semelhante. Vamos considerar o magnésio (Z = 12) como
um exemplo específico. A configuração do estado fundamental
é (1s2
2s2
2p6
)3s2
. No estado fundamental, os dois elétrons exter-
nos têm os mesmos números quânticos espaciais (n = 3,  = 0,
m = 0) e spins antiparalelos por causa do princípio de exclusão,
de modo que o spin resultante é zero. Quando um dos elétrons
externos é transferido para um estado de maior energia, como
o estado 3p, os números quânticos espaciais dos dois elétrons
não são mais iguais e o spin resultante S pode ser igual a 1 (spins
paralelos) ou a 0 (spins antiparalelos). Os estados com S = 0 são
chamados de singletos. Para S = 1, existem três valores possí-
veis para o momento angular total j, que correspondem às três
orientações possíveis do vetor S em relação a L: j =   1, j =
 e j =   1 (exceto para  = 0, caso em que existe apenas um
valor possível para j, j = ). A interação spin-órbita faz com que
os três estados possuam energias ligeiramente diferentes, ou
FIGURA 7-24 Diagrama de níveis de energia do átomo de hélio.
O desdobramento dos tripletos é pequeno demais para ser visí-
vel na escala da figura. Observe que não existem transições
entre níveis que não pertencem ao mesmo conjunto, pois isso
violaria a regra de seleção ∆S = 0.
Energia,
eV
0 1sns 1snp
Singletos Tripletos
1snd 3sns 3snp 3snd
–3
–4
–5
–6
–2
–1
–24
–25
1
2
2
3
4 4
3
3
4
3
4
2
3
4
2
3
4
1
S 1
P 1
D 3
S 3
P 3
D
5
0
4
,
8
7
2
8
,
1
3
9
6
,
5
5
8
,
4
5
0
1
,
6
4
9
2
,
2
6
6
7
,
8
4
4
7
,
1
5
8
7
,
6
3
1
8
,
8
3
8
8
,
9
4
7
1
,
3
7
0
6
,
5

seja, produz um desdobramento fino. Por essa razão, os estados
com S = 1 são chamados de tripletos. Neste caso, portanto, exis-
tem dois conjuntos diferentes de níveis de energia e dois con-
juntos de linhas espectrais, um para S = 0 e outro para S = 1.
Alguns dos níveis de energia e transições para o átomo de hélio
aparecem na Figura 7-24.
A Figura 7-25 mostra o diagrama de níveis de energia do
magnésio e as transições principais. Na escala deste diagrama,
como na da Figura 7-24, o desdobramento fino dos estados tri-
pleto não pode ser observado. Repare que todas as transições
do magnésio, exceto uma, obedecem à regra de seleção ∆S = 0,
isto é, os estados tripleto e singleto não se misturam. Uma tran-
sição que viole esta regra, como a transição indicada na figura
(entre o estado tripleto 3s3p e o estado fundamental) é conhe-
cida como linha de intercombinação. Observe que, na ausência
de linhas de intercombinação, existem certos estados excitados
a partir dos quais o átomo não pode decair facilmente. Os esta-
dos 21
S0 e 23
S1 do hélio são dois exemplos (veja a Figura 7-24).
Estados desse tipo são conhecidos como estados metaestáveis
e sua existência é importante para o funcionamento dos lasers,
como veremos no Capítulo 9. Voltaremos à questão das linhas
de intercombinação em um momento, após discutirmos a dife-
rença de energia entre os estados singleto e tripleto.
Examinando de perto a Figura 7-25, podemos ver que os
níveis de energia dos singletos são maiores que os dos tripletos
com a mesma configuração eletrônica. Considere, por exemplo,
os estados que possuem um elétron no estado 3p. Se não fosse
pela interação eletrostática dos dois elétrons, o estado singleto
1
P1 (j = 1, já que S = 0 e  = 1) e os estados tripleto 3
Pj (com j =
2, 1 ou 0, já que S = 1 e  = 1) teriam a mesma energia, a não
ser pelo pequeno desdobramento fino. Evidentemente, a energia
de interação eletrostática entre os dois elétrons é muito maior
nos estados singleto do que nos estados tripleto.
A causa dessa diferença de energia é um efeito quântico sutil
que tem a ver com a simetria da função de onda total de duas
partículas iguais. Como vimos na Seção 4-7, a função de onda
de duas partículas em uma dimensão, com uma das partículas
no estado n e a outra no estado m, é dada por
7-66
considerando que o sinal positivo se aplica a uma função simé-
trica em relação à permuta das duas partículas e o sinal negativo
a uma função antissimétrica. Dissemos na ocasião que a função
de onda de um sistema de elétrons é sempre antissimétrica; deve-
mos agora incluir o spin na função de onda. A função de onda
total de duas partículas pode ser escrita como o produto da parte
espacial (x), dada pela Equação 7-66, por uma função  asso-
ciada ao spin. A função de onda total, incluindo o spin, é, por-
tanto, igual a . A parte de spin da função de onda é simétrica
para o estado tripleto (S = 1) e antissimétrica para o estado sin-
gleto (S = 0). Assim, para que a função de onda total seja antis-
simétrica, é preciso que a parte espacial da função de onda seja
antissimétrica se o estado for um tripleto e que seja simétrica
se o estado for um singleto. Observe na Equação 7-66 que, se
FIGURA 7-26 Densidade de probabilidade em função da distância entre
dois elétrons. (a) No estado singleto, a parte espacial S da função de
onda é simétrica e a parte de spin A é antissimétrica. A densidade de
probabilidade é máxima em x = 0. (b) No estado tripleto, a parte espa-
cial é antissimétrica e a parte de spin é simétrica. A densidade de pro-
babilidade é mínima em x = 0. Como a distância média entre os elétrons
é maior no estado tripleto, a energia do sistema é menor neste estado.
E,
eV
0
–3
–4
–5
–6
–7
–1
–2
–7,62 3
4
4
3
4
5
6
4
5
6
5
8
7
6
4
4
4
5
6
5
6
5
3
3
4
5
6
7
1
S 1
P 3
D3,2,1
3
S
1
D
457,11
3
8
3
,
8
3
3
8
3
,
2
3
3
8
2
,
9
4
5
1
8
,
3
7
5
1
7
,
2
7
5
1
6
,
7
4
1502,3
1503,3
7
6
5
,
7
5
1487,7
5
7
1
,
1
1
1182,83
5
5
2
,
8
4
8
8
0
,
6
7
1208,3
2
8
5
,
2
1
2
0
2
,5
8
3sns 3snp
Singletos Tripletos
3snd
1
F
3snf 3snd
3
F4,3,2
3snf
s
P2,1,0
3snp
3sns
3
5
6
7
FIGURA 7-25 Diagrama de níveis de energia do átomo
de magnésio. O desdobramento dos tripletos é pequeno
demais para ser visível na escala da figura. Observe que
as energias dos singletos são maiores que as dos triple-
tos correspondentes. Isso acontece porque, como mostra
a Figura 7-26, a distância média entre os elétrons da
última camada é maior nos estados tripleto do que nos
estados singleto.
ψSχA2
ψAχS2
(a)
(b)

Átomos com Mais de um Elétron Externo 27
FIGURA 7-27 Estados 33
P normal e anômalo do átomo de magnésio.
Os estados de maior energia, 3
P, são estados anômalos e estão apro-
ximadamente duas vezes mais distantes do estado fundamental (que
não aparece na figura) que os estados 3
P normais. Observe que as tran-
sições entre níveis que não pertencem ao mesmo conjunto, ilustradas
pelo espectro experimental que aparece na parte inferior da figura, vio-
lam a regra de seleção ∆  1.
x1 = x2, a função de onda espacial antissimétrica é nula. Este é
um exemplo da propriedade geral, ilustrada na Figura 7-26, de
que, no estado antissimétrico, as partículas tendem a se manter
mais afastadas do que no estado simétrico. Como a energia de
interação devido à repulsão eletrostática é positiva e varia inver-
samente com a distância entre as partículas, essa energia é maior
no estado em que a parte espacial da função de onda é simétrica
e a parte de spin é antissimétrica (S = 0), do que no estado em
que a parte espacial da função de onda é simétrica e a parte de
spin é simétrica (S = 1). A diferença é da ordem de 1 eV, ou seja,
muito maior que o desdobramento fino.16
A simetria das funções de onda também explica a regra de
seleção S = 0 que proíbe transições entre singletos e tripletos.
Como foi visto na Leitura Suplementar Transições Entre Níveis
de Energia, uma transição entre dois estados m e n pode ser
atribuída a uma oscilação da distribuição de carga. No caso de
uma radiação do tipo dipolo elétrico, o momento dipolar de um
elétron isolado é dado por
No caso de estados envolvendo dois elétrons, o elemento de
matriz nxm dx se torna n(x1 + x2)m dx. Como vimos, a
parte espacial da função de onda total é antissimétrica para os
estados tripleto e simétrica para os estados singleto. Assim, em
uma transição de um estado tripleto para um estado singleto, m
é uma função antissimétrica a e n é uma função simétrica s;
nesse caso, a parte dependente do tempo do momento dipolar
se torna
7-67
Acontece (leia com atenção, pois se trata de um raciocínio sutil!)
que, se os dois elétrons forem permutados, o valor de qx não
poderá mudar, já que os elétrons são iguais; entretanto, a troca
faz a mudar de sinal, enquanto os valores de s (veja a Seção
6-7) e x1  x2 permanecem os mesmos. Como o valor da inte-
gral não pode mudar quando os dois elétrons são permutados,
esse valor deve ser nulo. A conclusão é que as transições entre
estados singleto e estados tripleto são proibidas, ou seja, ∆S =
0. (Esta conclusão pode ser estendida a outros conjuntos de esta-
dos e outros tipos de radiação.)
Já que as transições com ∆S  0 são proibidas, o leitor deve
se estar perguntando por que as linhas de intercombinação, como
a linha de 457,11 nm do magnésio mencionada no texto e mos-
trada da Figura 7-25, são observadas experimentalmente. A
explicação está em nossa hipótese de que a função de onda total,
que deve ser antissimétrica em relação ao intercâmbio de partí-
culas idênticas, pode ser escrita como o produto  de uma fun-
ção espacial por uma função de spin, que individualmente podem
ser simétricas ou antissimétricas. Quando o acoplamento spin-
órbita é considerável, a separação entre a parte espacial e a parte
de spin da função de onda deixa de constituir uma boa aproxi-
mação e, portanto, não existe mais uma função espacial  cujo
elemento de matriz possa se anular. No caso dos elementos leves
(pequenos valores de Z), o acoplamento spin-órbita é relativa-
mente fraco e, portanto, a regra de seleção ∆S = 0, que proíbe
as linhas de intercombinação, é respeitada quase absolutamente.
É o que acontece, por exemplo, no caso do hélio (Figura 7-24).
À medida que Z aumenta, porém, a proibição vai se tornando
menos rigorosa, o que explica a existência da linha de intercom-
binação do Mg na Figura 7-25.
Até agora, estivemos discutindo os estados dos átomos nos
quais apenas um dos elétrons externos é transferido para outro
nível. Também existem estados nos quais dois ou mais elétrons
externos são transferidos simultaneamente para outros níveis.
Vamos concluir esta Leitura Suplementar com uma breve dis-
cussão desses chamados estados anômalos. Tomando novamente
o magnésio como exemplo, o primeiro estado excitado normal
é o estado 33
P (veja a Figura 7-25), para o qual a configuração
dos elétrons externos é 3s3p. O primeiro estado anômalo, como
seria de se esperar, é aquele no qual os dois elétrons externos
são transferidos para o nível 3p, isto é, um estado com a confi-
guração 3p2
. A energia de excitação do átomo para atingir este
estado é 5 eV, ou seja, aproximadamente duas vezes maior do
que a energia de excitação para atingir o estado normal 33
P, que
é 2,4 eV (Figura 7-25). A Figura 7-27 mostra os estados 3
3P
normal e anômalo, incluindo o efeito spin-órbita, juntamente
com as transições observadas entre esses estados. Todas as seis
transições (denominadas tripleto anômalo) que ocorrem entre
os níveis 3P e 3P da Figura 7-27 violam a regra de seleção
∆ = 1, Equação 7-28. A regra surgiu da solução da equação
de Schrödinger para um único elétron. No caso de transições
envolvendo estados excitados de dois ou mais elétrons, ∆ para
o átomo como um todo pode ser zero, contanto que as mudan-
ças de nível dos elétrons associados à transição respeitem a regra
de seleção ∆ = 1. Estados anômalos foram observados na
maioria dos elementos, mas são relativamente raros nos elemen-
tos leves, pois nesses elementos a energia de formação desses
estados é, na maioria dos casos, maior que a energia de ioniza-
ção. Por outro lado, os estados anômalos são numerosos nos
elementos pesados, o que explica em parte a maior complexi-
dade dos espectros desses elementos.
2
j
1
0
pp 3
P´
2
1
0
sp 3
P
f

28
CAPÍTULO 7
O Efeito Zeeman
Como foi dito no Capítulo 3, o desdobramento das linhas espec-
trais de um átomo por ação de um campo magnético externo foi
investigado sem sucesso por Faraday, previsto por Lorentz com
base na teoria clássica e observado pela primeira vez por Zee-
man,17
nome pelo qual o efeito é hoje conhecido.
Na mecânica quântica, a mudança da frequência e do com-
primento de onda de uma linha espectral indica que houve uma
mudança da energia de um dos estados envolvidos na transição
ou das energias dos dois estados. Por questões históricas, o efeito
Zeeman associado a transições entre estados do tipo singleto é
chamado de efeito Zeeman normal, enquanto o efeito associado
a transições entre estados dos quais pelo menos um tem o spin
diferente de zero recebe o nome de efeito Zeeman anômalo.18
Como, na verdade, não existe uma diferença fundamental entre
os dois efeitos, não faremos nenhuma distinção entre eles, a não
ser por uma exceção: como a presença do spin complica um
pouco os cálculos no caso do efeito Zeeman anômalo, o efeito
Zeeman em transições entre estados do tipo singleto será discu-
tido em primeiro lugar.
Efeito Zeeman Normal
No caso de estados do tipo singleto, o spin é zero e o momento
angular total J é igual ao momento angular orbital L. Quando
o átomo é submetido a um campo magnético externo, a energia
varia por causa da interação do momento magnético do átomo
com o campo magnético, que é dada por
7-68
onde, como na Equação 7-54, a direção z foi definida como a
direção de B. Substituindo z pelo seu valor, dado pela Equação
7-43, temos: z = mgLB = me/2me e, portanto,
7-69
Como m pode assumir 2  1 valores diferentes, cada nível de
energia é desdobrado em 2  1 níveis. A Figura 7-28 mostra
o desdobramento dos níveis de energia no caso de uma transi-
ção de um estado com  = 2 para um estado com  = 1. De acordo
com a regra de seleção ∆m = 0 ou 1, as únicas transições per-
mitidas são as nove transições mostradas na figura.
Como os desdobramentos do estado inicial e do estado final
são iguais, existem apenas três energias de transição diferen-
tes: E0 + eB/2me, E0 e E0  eB/2me, que correspondem às
transições com ∆m = 1, 0 e 1, respectivamente. É fácil ver
que existem sempre três energias diferentes, sejam quais forem
os valores de  nos estados inicial e final. Como a variação da
frequência de cada linha do espectro com o campo magnético
é igual à variação da energia de transição correspondente divi-
dida por , as variações de frequência das três linhas são eB/2me,
0 e eB/2me.
Efeito Zeeman Anômalo
Como já dissemos, o efeito Zeeman é chamado de anômalo se o
spin de pelo menos um dos estados envolvidos na transição é dife-
rentedezero.Nessecaso,ocálculodosdesdobramentosdosníveis
de energia é complicado pelo fato de que o momento magnético
total não é paralelo ao momento angular total. Isso acontece por-
FIGURA 7-28 Desdobramento dos níveis de energia produzido por um
campo magnético, no caso de estados singleto com  = 2 e  = 1 (efeito
Zeeman normal). Cada nível é desdobrado em 2 + 1 níveis. As nove
transições que respeitam a regra de seleção ∆m = 0 ou 1 dão origem
a apenas três linhas espectrais porque a diferença de energia entre níveis
vizinhos é eB/2me, independentemente do valor de .
ml
+2
+1
l = 2 0
–1
–2
Energia
+1
l = 1 0
–1
B
e
––––
2me
B
e
––––
2me

O Efeito Zeeman 29
que a razão entre o momento magnético associado ao spin e o
momento angular intrínseco é duas vezes maior do que a razão
entre o momento magnético associado ao momento angular orbi-
tal e o momento angular orbital. Considere um átomo com
momento angular orbital L e spin S. O momento angular total é
enquanto o momento magnético total é
Como g = 1 e gs = 2 (aproximadamente; veja a Equação 7-47),
temos:
7-70
A Figura 7-29 mostra um modelo vetorial da combinação de L
e S para determinar o valor de J. Os momentos magnéticos tam-
bém estão representados por vetores. Modelos como este podem
ser usados para determinar o desdobramento dos níveis, mas o
cálculo é muito trabalhoso e nos limitaremos a discutir somente
os resultados.19
Cada nível de energia é desdobrado em 2j  1 níveis, que cor-
respondem aos possíveis valores de m. Para os campos magné-
ticos normalmente produzidos em laboratório, que são pequenos
em comparação com o campo magnético interno associado ao
efeito spin-órbita, os desdobramentos dos níveis são pequenos
em comparação com o desdobramento fino. Ao contrário do que
acontece no efeito Zeeman normal, os desdobramentos de Zee-
man desses níveis dependem de j,  e s, e, em geral, existem mais
de três linhas, já que os desdobramentos dos estados inicial e final
são diferentes. O desdobramento de cada nível, ou seja, a varia-
ção de energia produzida pelo campo magnético, é dado por
7-71
onde g, conhecido como fator g de Landé,20
é dado por
7-72
Observe que, para s = 0, temos j = , g = 1, e a Equação 7-71
fornece um desdobramento igual ao do efeito Zeeman normal,
como era de se esperar. A Figura 7-30 mostra o desdobramento
de Zeeman dos níveis responsáveis pelo dubleto amarelo do
sódio, 2
P1/2, 2
P3/2 e 2
S1/2. De acordo com a regra de seleção ∆mj = 0
ou 1, existem quatro linhas associadas à transição 2
P1/2 → 2
S1/2
e seis linhas associadas à transição 2
P3/2 → 2
S1/2, como está indi-
cado na figura. As energias dessas linhas podem ser calculadas
em função de eB/2me usando as Equações 7-71 e 7-72.
Para valores elevados do campo magnético externo, o des-
dobramento de Zeeman se torna maior que o desdobramento
fino. Quando B é tão grande que o desdobramento fino pode ser
ignorado, o desdobramento de Zeeman passa a ser dado por
FIGURA 7-29 Diagrama vetorial usado para
determinaromomentomagnéticototalpara
S  0. O momento magnético não é para-
lelo ao momento angular total J porque s/S
é duas vezes maior que L/L. (Os sentidos
de L, s e  foram invertidos para tornar
o desenho mais compacto.)
FIGURA 7-30 Desdobramento dos níveis de
energia produzido por um campo magnético
no caso dos níveis 2
P3/2, 2
P1/2 e 2
S1/2 do sódio,
mostrando o efeito Zeeman anômalo. As
transições envolvidas são as linhas D1 e D2
da Figura 7-22 (dubleto amarelo do sódio).
O desdobramento dos níveis depende de L,
S e J, o que faz com que o número de linhas
seja maior do que no efeito Zeeman normal.
[As fotografias foram extraídas de H. E.
White, Introduction to Atomic Spectra, New
York: McGraw-Hill Book Company, 1934,
com permissão da editora.]
B
S
L
J
µs
µ
µL
Campo fraco
Sem campo +3/2
mj
+1/2
–1/2
–3/2
2
P3/2
+1/2
–1/2
2
S1/2
+1/2
–1/2
2
P1/2

FIGURA 7-31 Efeito Paschen-Back. Quando o campo magnético externo é tão intenso que o desdobramento de Zeeman é maior que o desdo-
bramento causado pela interação spin-órbita, os momentos L e S são desacoplados, o espaçamento entre os níveis se torna uniforme e apenas
três linhas espectrais são observadas, como no efeito Zeeman normal. Como mostra a ilustração da direita, cada uma das três linhas é, na reali-
dade, um dubleto constituído por duas linhas muito próximas. As transições são as mesmas que aparecem na Figura 7-30. A posição dos níveis
foi calculada para x = 2,7.
Nesse caso, o desdobramento é semelhante ao que ocorre no
efeito Zeeman normal e apenas três linhas são observadas. Este
comportamento em campos magnéticos elevados é conhecido
como efeito Paschen-Back em homenagem aos descobridores,
F. Paschen e E. Back. A Figura 7-31 mostra a transição do des-
dobramento dos níveis do efeito Zeeman anômalo para o efeito
Paschen-Back com o aumento do módulo de B. A razão para a
diferença é que um campo magnético elevado desacopla os
momentos L e S, fazendo com que passem a executar uma pre-
cessão em torno de B de forma quase independente. Em outras
palavras, as projeções de L se comportam como se S  0 e o
espectro se reduz a três linhas, cada uma das quais é, na reali-
dade, um dubleto de linhas muito próximas.
SOLUÇÃO
A linha D1 é emitida na transição 32
P1/2 → 32
S1/2. Os valores
de g de Landé podem ser calculados com o auxílio da Equa-
ção 7-72.
No caso do nível 32
P1/2, temos:
S1/2, temos:
Os deslocamentos dos níveis de energia podem ser calcula-
dos com o auxílio da Equação 7-71.
P1/2, temos:
S1/2, temos:
2
P1/2
8
6
4
2
0
∆E
–2
–4
–6
–8
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
1
ms
0
–1
0
0
0
–1
+1
2
P3/2
2
S1/2
x
x =
µBB
––––
∆E
3
–
–
2
mj =
ml
0
2
1
–1
–2
1
–1
1
–
–
2
–
1
–
–
2
+
1
–
–
2
–
1
–
–
2
–
1
–
–
2
+
1
–
–
2
–
1
–
–
2
+
ml + 2ms
1
–
–
2
–
1
–
–
2
+
1
–
–
2
1
–
–
2
–
3
–
–
2
–
1
–
–
2
f
EXEMPLO 7-5 Campo Magnético do Sol Os campos mag-
néticos do Sol e das estrelas podem ser estimados medindo o
desdobramento de Zeeman das linhas espectrais. Suponha
que a linha D1 do sódio emitida em uma certa região do disco
solar seja desdobrada em quatro componentes pelo efeito Zee-
man (veja a Figura 7-30). Qual é a intensidade do campo
magnético solar nessa região se a diferença entre a linha com
maior comprimento de onda e a linha com menor compri-
mento de onda é 0,022 nm? (O comprimento de onda da linha
D1 é 589,8 nm.)

O Efeito Zeeman 31
O deslocamento da linha de maior comprimento de onda (que
corresponde à transição mj = 1/2 → mj = +1/2) é dado por
O deslocamento da linha de menor comprimento de onda (que
corresponde à transição mj = +1/2 → mj = 1/2) é dado por
A diferença de energia entre os dois fótons é
Como  = c/f = hc/E, ∆ = hc∆E/E2
= 0,022 nm. Assim,
temos:
onde E = hc/ = hc/589,9. Finalmente, temos:
Em comparação, o campo magnético da Terra é da ordem de
0,5 gauss.

32
CAPÍTULO 8
Temperatura e Entropia
Na Revisão de Conceitos Clássicos A Teoria Cinética dos Gases,
mostramos que a pressão exercida por um gás é proporcional
ao número n de moléculas por unidade de volume e à energia
cinética média E
–
k das moléculas. No caso de um recipiente con-
tendo moléculas monoatômicas de um único tipo,
Comparando este resultado com a lei dos gases perfeitos, mos-
tramos também que a energia cinética média das moléculas é
proporcional à temperatura absoluta:
E
mv kT
T
k = =
2
2
3
2
∝ 8-4a
Assim, a temperatura absoluta é uma medida da energia cinética
média (de translação) de um gás e não depende da composição
do gás ou de suas outras propriedades. Poderíamos usar a ener-
gia cinética média para definir uma escala de temperatura válida
para qualquer substância igualando a energia cinética média à
temperatura absoluta. Na verdade, o que fizemos foi algo pare-
cido: definimos uma escala na qual a temperatura é proporcio-
nal à energia cinética média, como na Equação 8-4a; a constante
de proporcionalidade é a constante de Boltzmann.
Voltando nossa atenção para as máquinas térmicas e usando
um exemplo proposto por Feynman, definimos uma temperatura
padrão ou de referência como 1 K. O calor fornecido por uma
máquina a esta temperatura padrão é chamado de Qs. Isso signi-
fica que, se uma máquina absorve uma quantidade Q de calor a
uma temperatura T, ela fornece a um escoadouro de calor à tem-
peratura padrão uma quantidade de calor Qs. Sabemos (1) que
o calor Q é uma função crescente da temperatura T, já que o
calor é uma forma de energia e T é uma medida de quantidade
de energia; (2) que Q é proporcional a Qs. Podemos expressar
as duas propriedades através da equação
8-46b
considerando que f é uma função crescente de T. Como a efi-
ciência das máquinas reversíveis é independente do fluido de
trabalho, f(T) também é independente do fluido de trabalho e
podemos definir a função f (T) como a própria temperatura,
medida em unidades do nosso padrão:
8-4c
onde
A temperatura T é chamada de temperatura absoluta. (É possí-
vel mostrar que esta temperatura e a temperatura definida ante-
riormente em termos da energia cinética média das moléculas
representam a mesma grandeza.)
Assim, se temos duas máquinas térmicas, uma operando entre
T1 e 1 K e a outra entre T2 e 1 K, os calores absorvidos estão
relacionados através da equação
8-4d
Para uma máquina térmica operando entre T1 e T2, (Q1/T1)absorvido =
(Q2/T2)fornecido e o valor de Q/T permanece constante. A grandeza
Q/T = S recebe o nome de entropia. A unidade de entropia no SI
é o joule/kelvin (J/K). A Equação 8-4d é a expressão matemática
de uma lei da termodinâmica segundo a qual a entropia não muda
nos ciclos reversíveis. No caso dos ciclos irreversíveis, é possível
demonstrar que a entropia aumenta sempre, ou seja, que ∆S > 0.
Como não existem ciclos reversíveis na natureza, concluímos que
a entropia do universo está sempre aumentando.

33
CAPÍTULO 8
Demonstração do Teorema
da Equipartição para um
Caso Particular
Como a demonstração geral do teorema da equipartição exige o
uso de ferramentas soﬁsticadas de mecânica estatística, vamos
demonstrar o teorema apenas para um caso particular, o de um
conjunto de partículas clássicas que se comportam como oscila-
dores harmônicos simples ao se moverem em uma dimensão sob
a ação de uma força elástica semelhante à de uma mola de cons-
tante elástica . Como a energia cinética de uma partícula é mv2
x/2
e a energia potencial é x2
/2, a energia total é dada por
8-15
De acordo com a Equação 8-1, a distribuição de Boltzmann é
8-16
A probabilidade de que um dos osciladores tenha uma energia
E correspondente a uma velocidade entre vx e vx  dx e um des-
locamento entre x e x  dx em relação à posição de equilíbrio
é dada por
8-17
em que a constante A pode ser determinada a partir da condição
de normalização de que a probabilidade total seja igual a 1:
8-18
Separando as integrais, temos:
8-19
As duas integrais da Equação 8-19 têm a mesma forma. Resol-
vendo-as com o auxílio da Tabela B1-1, obtemos:
8-20
A energia média por oscilador é, portanto,
8-21
ou
8-22
Note que o primeiro termo da Equação 8-22 é igual à integral
da energia cinética multiplicada por fB(E), ou seja, é igual à ener-
gia cinética média do oscilador. O segundo termo é igual à energia
potencial média. Essas integrais também podem ser calculadas
com o auxílio da Tabela B1-1. Substituindo A (dado pela Equa-
ção 8-20) e as duas integrais por seus valores na Equação 8-22,
obtemos:
8-23
Os dois aspectos importantes deste resultado são os seguintes:
(1) tanto a energia cinética média como a energia potencial média
dependem apenas da temperatura absoluta; (2) os dois valores
médios são iguais a kT/2. Este resultado, obtido para o caso par-
ticular do oscilador harmônico, constitui um exemplo do teo-
rema geral da equipartição da energia:
Em equilíbrio, cada grau de liberdade contribui com kT/2
para a energia média por molécula.

34
CAPÍTULO 9
Outras Ligações Covalentes
Como já observamos quando estávamos discutindo a molécula
de H2, as ligações covalentes que envolvem dois elétrons s são
conhecidas como ligações s. Outros átomos com um elétron na
última camada também formam moléculas com ligações cova-
lentes tipo s, como K2 e NaH. As energias de dissociação e dis-
tâncias de equilíbrio de várias moléculas com ligações s apare-
cem na Tabela 9-3. Observe que as ligações mais fortes são as
que envolvem o hidrogênio e que duas dessas moléculas, o NaH
e o LiH, também aparecem entre as moléculas iônicas da Tabela
9-2, pois são moléculas com ligações mistas.
Átomos como o oxigênio e o nitrogênio, cujos elétrons de
valência ocupam estados p ( = 1, m = 1, 0, 1) também
podem formar moléculas diatômicas através de ligações cova-
lentes. Como existem seis estados p possíveis (ou seja, três orbi-
tais atômicos) para cada átomo, existem seis orbitais molecula-
res, cada um dos quais pode ser ocupado por dois elétrons. (As
camadas completas praticamente não participam das ligações
moleculares e serão ignoradas na discussão que se segue.) Além
disso, existe uma infinidade de moléculas poliatômicas que pos-
suem ligações covalentes. Essas moléculas podem ser grandes
ou pequenas, variando desde moléculas relativamente simples,
como a água, cuja massa molecular é 18, até moléculas gigan-
tescas, como as proteínas, com massas moleculares que podem
chegar a 1 milhão. Como no caso das moléculas diatômicas, a
estrutura dessas moléculas pode ser explicada pela aplicação
das leis básicas da mecânica quântica às ligações entre os áto-
mos que as compõem. Como o leitor pode imaginar, o estudo
dos orbitais pode se tornar um problema extremamente difícil,
dependendo do número de átomos envolvidos. Nesta Leitura
Suplementar, vamos limitar a discussão a três tipos de ligações
envolvendo os orbitais p: ligações pp, que estão presentes em
moléculas homonucleares como o O2; ligações sp dirigidas,
como as que existem em H2O; e ligações sp híbridas, que ocor-
rem em muitas moléculas que contêm carbono.
No Capítulo 7, resolvemos a equação de Schrödinger para o
átomo de hidrogênio e mostramos na Figura 7-11 as densidades
de probabilidade para os estados com  = 1. No caso do estado
 = 1, m = 0, a função densidade de probabilidade tem a forma
de um haltere, com máximos sobre os semieixos positivo e nega-
tivo do eixo dos z. No caso dos estados  = 1, m = 1, as fun-
ções têm forma toroidal, com o máximo no plano xy. A variação
angular é proporcional a cos  para o estado m = 0 e propor-
cional a sen  ei
para m = 1. Esses resultados, naturalmente,
não podem ser aplicados diretamente a outros átomos, mas a
forma geral das funções permanece a mesma, de modo que
vamos usá-las para estudar os orbitais moleculares tipo p. Para
este fim, é mais conveniente classificar os orbitais p em termos
das direções no espaço ao longo das quais a densidade de pro-
babilidade é máxima em vez de classificá-los através do número
quântico m, o que equivale a escolher certas combinações line-
ares de soluções da equação de Schrödinger. Essas combinações
são conhecidas como orbitais atômicos px, py e pz. O orbital pz é
simplesmente a função de onda correspondente a m = 0. Os
orbitais px e py são combinações lineares das funções de onda
correspondentes a m = 1. A variação angular desses orbitais
é dada por
Tabela 9-3 Energia de dissociação e distância de
equilíbrio para várias moléculas
covalentes com ligações s
Molécula
Energia de
dissociação (eV)
Distância de
equilíbrio (nm)
H2 4,52 0,074
Li2 1,10 0,267
LiH 2,43 0,159
LiNa 0,91 0,281
Na2 0,80 0,308
NaH 2,08 0,189
NaRb 0,61 0,359
K2 0,59 0,392
KNa 0,66 0,347
Rb2 0,47 0,422
Cs2 0,43 0,450

Leituras Suplementares.pdf

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Leituras Suplementares.pdf

Semelhante a Leituras Suplementares.pdf (20)

Leituras Suplementares.pdf