Aula-Modelo-Impedância e Cálculo de Redesv1.pptx

1 de
Instituto Federal da Bahia – IFBA
Professor: Lissandro
MODELO IMPEDÂNCIA E
CÁLCULO DE REDES
Professor: Lissandro Brito Viena
e-mail: lissandroviena@gmail.com
vienalissandro@yahoo.com.br
Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro

2 de
Vimos que a matriz admitância de barra é esparsa e
possui muitos elementos nulos. Vimos também que a
matriz admitância de barra pode ser construída ramo
por ramo de admitâncias primitivas.
A matriz impedância de barra pode ser construída
elemento por elemento usando algoritmos simples
para incorporá um elemento por vez na representação
do sistema.
O trabalho empregado na construção da matriz
impedância de barra é muito maior que o trabalho
empregado na construção da matriz admitância de
barra.

3 de
Entretanto o conteúdo de informação matriz
impedância de barra é maior do que a da admitância
de barra.
Veremos que cada elemento da diagonal da matriz
impedância de barra reflete características
importantes de todo sistema na forma da impedância
de Thevénin da barra correspondente.
A matriz admitância de barra é amplamente usada no
fluxo de potência, enquanto a matriz impedância de
barra favorece a análise de faltas.

4 de
A matriz impedância
e a matriz admitância de barra
Por definição:
Para uma rede de três nós independentes a forma
padrão é:
Para compreender o significado físico das várias
impedâncias da matriz, faremos uma comparação com
a admitância de barra.
1
bus bus
Z Y

11 12 13
bus 21 22 23
31 32 33
Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z
 
 

 
 
 

5 de
Partindo com as equações nodais fornecidas por:
E com relação a barra 2 :
Se as tensões nas barras 1 e 3 são nulas curto-
circuitando as barras 1 e 3 ao nó de referência e a
tensão V2 é aplicada a barra 2 de tal forma que a
corrente I2 entra na barra 2, então a admitância
própria da barra 2 é:
bus bus bus
I Y V

2 21 1 22 2 23 3
I Y V Y V Y V
  
1 3
2
22 V V 0
2
I
Y |
V
 


6 de
A admitância própria de uma barra particular deve ser medida
colocando em curto todas as barras e então encontrando a
razão entre a corrente injetada na barra pela tensão aplicada
na mesma.

7 de
O resultado equivale a adicionar todas as admitâncias
conectadas diretamente a barra, que é o procedimento
quando não existem admitâncias mútuas.

8 de
Já os termos fora da diagonal principal podem ser
calculados através da seguinte forma.
Por definição Y12 é a razão do negativo da corrente da
corrente deixando a rede no nó em curto (1) pela
tensão V2. O negativo da corrente deixando a rede é
utilizada desde que I1 é definida como a corrente
entrando na rede.
A admitância resultante é o negativo da admitância
conectada diretamente entre as barras (1) e (2).
1 3
1 11 1 12 2 13 3
1
12 V V 0
2
I Y V Y V Y V
I
Y |
V
 
  


9 de
Para resolver a equação abaixo:
Observe que V e I são vetores colunas de tensão das
barras e de corrente entrando nas barras a partir de
fontes de corrente.
bus bus
bus
1 1
bus
bus
bus
I Y V
Y I Y Y V
Z I V
V Z I
 





10 de
Expandindo a equação abaixo:
Considerando a equação da barra 2.
bus
V Z I

1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3
V Z I Z I Z I
V Z I Z I Z I
V Z I Z I Z I
  
  
  
1 3
2 21 1 22 2 23 3
2
22 I I 0
2
V Z I Z I Z I
V
Z |
I
 
  


11 de
O circuito é mostrado na figura abaixo:

12 de
É possível medir a impedância de transferência entre
quaisquer duas barras da seguinte maneira:
Por exemplo, Z12 :
As fontes de corrente I1 e I3 devem ser abertas.
Já Z32 :
1 11 1 12 2 13 3
V Z I Z I Z I
  
1 3
1 11 1 12 2 13 3
1
12 I I 0
2
V Z I Z I Z I
V
Z |
I
 
  

1 3
3 31 1 32 2 33 3
3
32 I I 0
2
V Z I Z I Z I
V
Z |
I
 
  


13 de
O Teorema de Thévenin e Zbus
Iremos examinar a relação entre os elementos da
impedância de barra e a impedância de Thévenin
apresentada pela rede em cada uma de suas barras.
Para estabelecer a notação, denota-se as tensões de
barra correspondentes aos valores iniciais de correntes
de barra por I0 .
Quando as correntes de barra são modificadas de seus
valores iniciais para os novos valores:
o o
bus
V Z I

o
I I I
  

14 de
As novas tensões de barra são fornecidas pelo
princípio da superposição:
Em que representa as variações nas tensões de
barra de seus valores originais.
Considere o seguinte esquema:
        
o o
bus bus bus
V Z I I Z I Z I
 
     
 
Vo ΔV
ΔV

15 de
Considere o seguinte esquema:
Inicialmente consideramos que o circuito não está
energizado de maneira que as correntes de barra I0 e
as tensões correspondentes V0 são nulas.

16 de
Então para dentro da barra (k) uma corrente ΔIk é
injetada em direção ao sistema a partir de uma fonte
de corrente conectada ao nó de referência.
Pelo princípio da superposição, haverá variação de
tensão em cada barra do sistema por causa da
variação da corrente injetada na barra (k).
Essa variação é dada através de um vetor:
        
    
0
o o
bus bus bus
V
V 0
bus
V Z I I Z I Z I
V Z I


 
     
 
  

17 de
Expandindo:
        
    
0
o o
bus bus bus
V
V 0
bus
V Z I I Z I Z I
V Z I


 
     
 
  

18 de
Simplificando as equações anteriores:
Supondo agora que as tensões de barras iniciais são
não nulas, podemos adicionar essas variações na
tensão de cada barra resultando na tensão final após a
variação da corrente injetada na barra (k).

19 de
A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado
por:
O circuito correspondente a essa equação é mostrado
abaixo:
0
k k kk k
V V Z I
  

20 de
A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado
por:
Conclusão importante:
A impedância Zkk = Zth corresponde à impedância de
Thévenin entre a barra (k) e a referência.
0
k k kk k
V V Z I
  

21 de
De maneira similar podemos determinar a impedância
de Thévenin entre quaisquer duas barras (j) e (k).
Supomos que as correntes de barra são nulas para
facilitar os cálculos.

22 de
Em função das correntes injetadas nas barras (j) e (k),
as tensões das barras sofrerão variações.

23 de
Adicionando as variações de tensão nas barras (j) e (k)
resulta em:
Colocando em (1) e em (2)
O circuito equivalente é mostrado a seguir:
0
j j jj j jk k
0
k k kj j kk k
V V Z I Z I
V V Z I Z I
    
    
(1)
(2)
 
jk j jk j
Z I Z I
    
kj k kj k
Z I Z I
  
   
   
0
j j jj jk j jk k j
0
k k kj j k kk jk k
V V Z Z I Z I I
V V Z I I Z Z I
       
       

24 de
O circuito equivalente é mostrado a seguir:

25 de
O circuito da figura do slide anterior representa o
circuito equivalente de Thévenin do sistema entre as
barras (j) e (k).
Por inspeção, a tensão de circuito aberto da barra (k)
para a barra (j):
E a impedância encontrada colocando um curto da
barra (k) para a barra (j) é a impedância de Thévenin
entre as barras (j) e (k):
0 0
kj j k
0 0
kj k j
V V V 0
V V V
   
 
th,jk jj kk jk
Z Z Z 2Z
  

26 de
Ao colocar uma impedância Zb entre as barras (k) e
(j), a corrente é dada por:
0 0
k j k j
b
th,jk b b
V V V V
I
Z Z Z
 
 


27 de
EXEMPLO 1:

28 de
Para o sistema anterior, as equações através da matriz
admitância nodal são dadas por:
Podemos encontrar as tensões de barra invertendo a
matriz admitância nodal, além da própria matriz
impedância de barra que relaciona as tensões de barra
com as respectivas fontes de corrente.

29 de
Zbus

30 de
EXEMPLO 2: Um capacitor com reatância igual a 5
pu é conectado entre o nó de referência e a barra (4)
do circuito exemplo 1. As tensões iniciais e as
correspondentes correntes injetadas nas barras (3) e
(4) foram definidas anteriormente. Encontre a
corrente recebida pelo capacitor.
Solução: Não é preciso estudar todo circuito para
analisar essa situação. Podemos simplificar o circuito e
estudá-lo apenas com o equivalente de Thévenin na
barra de interesse, que é a barra (4).

31 de
O circuito equivalente de Thévenin na barra (4) é
constituído por uma fem interna (tensão de Thévenin)
em série com a impedância equivalente de Thévenin
entre a barra (4) e o nó de referência.
A tensão é a tensão da barra (4)
antes da conexão do capacitor. A impedância de
Thévenin Z44 na barra (4) completa o equivalente de
Thévenin.
0 o
4
V 0,94866 20,7466
  

32 de
A corrente recebida pelo capacitor é dada por:
Essa corrente recebida pelo capacitor pode ser
interpretada como o negativo da corrente injetada na
barra (4). Considerando que , então as outras
barras sofrerão mudanças em suas tensões devido à
variação de corrente na barra (4).
 
44 cap
0 o
4
cap
eq
Z Z
V 0,94866 20,7466
I 0,22056 69,2534 pu
Z j0,6989 j5

 
   
 
4 cap
I I
  

33 de
Modificação de uma matriz impedância de barra
existente
Através do uso do circuito equivalente de Thévenin e
de uma Zbus existente é possível encontrar novas
tensões de barra após a adição de um novo ramo sem
que ter que encontrar uma nova matriz impedância de
barra.
Examinaremos como uma matriz impedância de barra
existente pode ser modificada para adicionar novas
barras ou conectar novas linhas as barras existentes.

34 de
É possível reconhecer diversos tipos de modificações
pelas quais um ramo com impedância Zb é adicionada
em uma rede com a matriz impedância de barra
conhecida. A matriz impedância de barra original é
identificada como Zorig, de dimensão N x N.
NOTAÇÃO
As barras existentes serão identificadas por números
ou letras h, i, j, k. A letra p ou letra q designará uma
nova barra a ser adicionada na rede para converter
Zorig em uma matriz (N+1) x (N+1).

35 de
Na barra (k) a tensão inicial será designada por e a
nova tensão após a modificação de Zbus será
identificada por Vk.
Denotará a variação de tensão na barra (k).
CASO 1: Adicionando Zb de uma nova barra (p) ao nó
de referência
A adição de uma nova barra (p) conectada ao nó de
referência através da impedância Zb sem qualquer
conexão com outras barras da rede original não pode
alterar as tensões de barra originais quando a corrente
Ip é injetada na nova barra.
0
k
V
0
k k k
V V V
  

36 de
Para o caso 1, as equações para as tensões de barra são
fornecidas por:

37 de
CASO 2: Adicionando Zb de uma nova barra (p) a
uma barra existente (k)

38 de
A corrente injetada Ip na barra (p) fará com que
ocorra uma variação da corrente que entra na rede
através da barra (k) original.
A corrente após essa mudança que entra na rede pela
barra (k) será a soma Ik + Ip.
A corrente Ip que entra na rede através da barra (k)
aumentará a tensão inicial (antes da conexão da nova
barra) da barra (k) pela variação (Ip Zkk).
0
k k p kk
V V I Z
 

39 de
A tensão da nova (p) será maior do que a tensão da
barra (k) sendo dada por:
E substituindo para :
Essa é a nova linha que deve adicionada na matriz
impedância original do sistema.
0
k p kk
p k p b
p k p b
V I Z
0
p k p kk p b
V V I Z
V V I Z
V V I Z I Z

 
 
  
k1 1 k 2 2 kN N
0
k
0
p k p kk p b
Z I Z I ... Z I
p k1 1 k2 kN N kk b p
V
V V I Z I Z
V Z I Z I ... Z I (Z Z )I
  
  
     

40 de
Para esse caso o esquema da nova matriz impedância
de barra é mostrado abaixo:
Nova linha adicionada na matriz
Zorig

41 de
CASO 3: Adicionando Zb de uma barra existente (k)
ao nó de referência
Inicialmente conectamos uma nova barra (p) através
de uma impedância Zb a barra existente (k)
(correspondente ao caso 2). Depois colocamos a barra
(p) em curto o que equivale ligar a impedância Zb
entre a barra (k) e nó de referência.
p
V 0


42 de
Observe que no caso 3 não criamos uma nova barra
permanente, ela é fictícia. Temos que utilizar a
redução de Kron para eliminar a linha cuja tensão da
barra é nula.
Os novos elementos da nova matriz impedância de
barra são calculados através de:
h(N 1) (N 1)i
atual
hi hi
kk b
Z Z
Z Z
Z Z
 
 


43 de
CASO 4: Adição de Zb entre duas barras existentes (j)
e (k)

44 de
Para efetuar os cálculos da nova matriz impedância de
barra podemos analisar a situação onde ocorre
variação na corrente injetada através de duas barras.

45 de
Observa-se que a variação da tensão em cada barra é
causada pelas correntes injetadas no sistema original
através das barras (j) e (k).
A variação da tensão em cada barra (h) causada pela
corrente injetada Ib através da barra (j) e –Ib através
da barra (k) para dentro do sistema é dada por:
Baseado na definição de variação de tensão podemos
escrever as equações para as tensões de barra. Por
exemplo, para a barra 1:
 
h hj hk b
V Z Z I
  
 
0
1
1
0
1 1 1
1 11 1 1j j 1k k 1N N 1j 1k b
V
V
V V V
V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I

  
     

46 de
De maneira similar para as barras (j) e (k):
Precisamos encontrar mais uma equação desde que Ib
é desconhecida.
 
0
j
j
0
j j j
j j1 1 jj j jk k jN N jj jk b
V
V
V V V
V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I

  
     
 
0
k
k
0
k k k
k k1 1 kj j kk k kN N kj kk b
V
V
V V V
V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I

  
     
0 0
j k b th,jk b
0 V V I Z Z
 
   
 

47 de
é desconhecida.
   
       
0 0
j k b th,jk b
j1 1 jj j jk k jN N k1 1 kj j kk k kN N
b th,jk b
j1 k1 1 jj kj j jk kk k jN kN N
b th,jk b
0 V V I Z Z
0 Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z I ... ...Z I Z I ...Z I
I Z Z
0 Z Z I .. .. Z Z I Z Z I .. Z Z I
I Z Z
 
   
 
       
 
 
 
       
 
 
 
1
1
2
2
N
N
b
I
V
I
V
I
V
I
0
 
   
 
   
 
   
  
   
 
   
 
   
 
   
     
Zorig
Lj-Lk
C
j
-
C
k
Zbb

48 de
é desconhecida.
Resulta em:
0 0
j k b th,jk b
0 V V I Z Z
 
   
 

49 de
O resultado final com a nova matriz impedância de
barra é dado por:
Podemos eliminar a última linha de maneira que as
tensões nas outras barras sejam compensadas pelos
novos elementos da nova matriz.
bb th,jk b jj kk jk b
Z Z Z Z Z 2Z Z
     

50 de
Os novos elementos são calculados através de:
Removendo um ramo: um ramo de impedância Zb
entre duas barras pode ser removido da rede pela
adição do negativo de Zb entre os mesmos terminais.
h(N 1) (N 1)i
atual
hi hi
jj kk jk b
Z Z
Z Z
Z Z 2Z Z
 
 
  

51 de
Síntese dos casos anteriores

52 de
Síntese dos casos anteriores

53 de
Determinação direta de Zbus
No princípio tem-se uma lista de impedâncias de ramo
mostrando as barras nas quais elas estão conectadas.
Inicialmente, escrevemos a equação para uma barra
conectada através da impedância de ramo Za ao nó de
referência.
Por exemplo, uma segunda barra é conectada ao nó de
referência através da impedância Zb.
   
1 a 1
V Z I

a
1 1
b
2 2
Z 0
V I
0 Z
V I
 
   
  
   
   
 

54 de
Exemplo 2:
Determine a matriz impedância de barra da rede
mostrada abaixo onde as impedâncias numeradas de 1
a 6 estão em pu.

55 de
Solução:
1)
Temos uma matriz impedância de barra 1 x 1.
2) Criação de uma nova barra (2) conectada a uma
barra existente (1) através da impedância z2=j0,25.
3) Criação de uma nova barra (3) conectada a uma
barra existente (2) através da impedância z3=j0,4
  
1 1
V j1,25 I

 
bus,1
Z j1,25

bus,2
j1,25 j1,25
Z
j1,25 j1,5
 
  
 
1 2
1
2

56 de
A nova matriz impedância de barra é igual a:
4) Conexão de uma impedância (4) entre a barra (3) e
a referência.
Para esse caso criamos uma barra fictícia (p) e
conectamos a impedância entre a barra (3) e a barra
(p). Depois curto-circuitamos a barra (p).
bus,2
j1,25 j1,25
Z
j1,25 j1,5
 
  
 
bus,3
j1,25 j1,25 j1,25
Z j1,25 j1,5 j1,5
j1,25 j1,5 j1,9
 
 

 
 
 
1 2 3
1
2
3
j1,5 j0,4


57 de
Observe que os outros elementos, com exceção de j3,15
na nova linha e na nova coluna correspondem a linha
3 e a coluna 3 da matriz original (Zbus3).
Podemos eliminar a linha (p) e a coluna (q) pela
redução de Kron.
bus,p
j1,25 j1,25 j1,25 j1,25
j1,25 j1,5 j1,5 j1,5
Z
j1,25 j1,5 j1,9 j1,9
j1,25 j1,5 j1,9 j3,15
 
 
 

 
 
 
1 2 3 p
1
2
3
p

58 de
5) Criação de uma nova barra (4) conectada à barra
(3) através da impedância j0,2.
bus,4
j0,75397 j0,65476 j0,496032
j0,65476 j0,78571 j0,59524
j0,496032
Z
j0,7539
j0,5952 7
4
 
 

 
 
 
1 2 3
1
2
3
bus,5
j0,75397 j0,65476 j0,496032 j0,496032
j0,65476 j0,78571 j0,59524 j0,59524
j0,496032 j0,59524
j0,496032 j0,59
Z
j0,75397 j0,75397
j0,75397 j0,9539
524 7
 
 
 

 
 
 
1 2 3 4
1
2
3
4

59 de
6) Adição entre duas barras existentes de uma
impedância igual a j0,125. As barras são (2) e (4).
Aplica-se agora a redução de Kron para eliminar a
linha e a coluna (q) através da fórmula abaixo:
bus,6
j0,75397 j0,65476 j0,496032 j0,496032
j0,65476 j0,78571 j0,59524 j0,59524
j0,496032 j0,59524
j0,496032 j
j0,15873
j0,19047
Z j0,75397 j0,75397 j0,15873
j0,75397 j0,95397 j0,35873
j0,15873 j0,19047
0,59524
j0,15873
 

 j0,35873 j0,67421
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 q
1
2
3
4
q
h(N 1) (N 1)i
atual
hi hi
jj kk jk b
Z Z
Z Z
Z Z 2Z Z
 
 
  

60 de
Continuando, tem-se que:
Essa é a matriz impedância de barra do sistema.
bus,7
j0,7166 j0,60992 j0,53340 j0,58049
j0,60992 j0,73190 j0,64008 j0,69659
Z
j0,53340 j0,64008 j0,71660 j0,66951
j0,58049 j0,69659 j0,66951 j0,76310
 
 
 

 
 
 

61 de
EXEMPLO 3: Modifique a matriz impedância de
barra abaixo para levar em consideração a conexão de
um capacitor com reatância igual a 5 pu entre a barra
(4) e o nó de referência. Encontre a tensão na barra (4)
usando as impedâncias da nova matriz e as fontes de
corrente abaixo. Compare este valor com o valor
calculado no exemplo anterior.
bus
Z 
bus
I 

62 de
Trata-se do caso 3: Adição de uma impedância Zb
entre uma barra existente e o nó de referência. Nesse
caso cria-se uma barra temporária (p) e efetua-se o
mesmo procedimento do caso 2.

63 de
Como a tensão da nova barra é nula. Podemos
eliminar a quinta linha e a quinta coluna.
A seguir, o cálculo de alguns elementos da nova matriz
impedância de barra:
h(N 1) (N 1)i
atual
hi hi
jj kk jk b
Z Z
Z Z
Z Z 2Z Z
 
 
  
atual
11
j0,63677 j0,63677
Z j0,73128 j0,82555
j4,30110

  


64 de
A matriz impedância de barra é dada por:
O vetor coluna de correntes é multiplicado pela matriz
acima para obter os novos valores da tensões de barra.
atual
11
j0,63677 j0,63677
Z j0,73128 j0,82555
j4,30110

  

atual
24
j0,69890 j0,64178
Z j0,64178 j0,74606
j4,30110

  

   
o o
4
o
4
V j0,64065 1 90 j0,81247 0,68 135
V 1,03131 j0,39066 1,10281 20,7466 pu
       
    

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