Matemáticas

PROBLEMAS & EXERCÍCIOS
SELECCIONADOS DE MATEMÁTICA
ELEMENTAR
CATUMBELA, E.
MADALENA, J.
DOS SANTOS MANUEL, P.
ÁLGEBRA,
TRIGONOMETRIA &
CÁLCULO
DIFERENCIAL I
1ª EDIÇÃO
EDITORA FONTE DO SABER

PROBLEMAS & EXERCÍCIOS SELECCIONADOS
DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
ÁLGEBRA,
TRIGONOMETRIA &
CÁLCULO
DIFERENCIAL I
1º EDIÇÃO
Apostila de matemática publicada em Luanda, Angola (Outubro de 2015)
Sob orientação do Engº Edson J. Catumbela
Endereço electrónico: joedson24@hotmail.com
Editora,
Fonte do Saber, Projecto Futungo
Apostila, revisada pelos académicos:
Engº João Alberto Madalena
Geofísico, Manuel Paulo dos Santos
Engº André Dias dos Santos
Matemáticos, Jerson Anapaz e
Domingos Narciso

CATUMBELA, E.
MADALENA, J.
DOS SANTOS MANUEL, P.
Editora,
Fonte do Saber, Projecto Futungo

ÍNDICE
PREFÁCIO................................................................................................................................................. 6
CAPÍTULO 0: TRANSFORMAÇÕES ALGÉBRICAS ........................................................................ 7
CAPÍTULO I: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS.....................................................................................12
.1 POLINÓMIOS..............................................................................................................................12
.2 DECOMPONHA EM FACTORES ..............................................................................................14
CAPÍTULO II: EXPRESSÕES RACIONAIS & IRRACIONAIS. SIMPLIFICAÇÃO...............16
.1 EXPRESSÕES RACIONAIS......................................................................................................16
.2 EXPRESSÕES IRRACIONAIS.................................................................................................17
CAPÍTULO III: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. SISTEMAS............................................................19
.1 EQUAÇÕES RACIONAIS..........................................................................................................19
.2 EQUAÇÕES IRRACIONAIS ....................................................................................................21
.3 EQUAÇÕES MODULARES.......................................................................................................23
.4 SISTEMA DE EQUAÇÕES RACIONAIS E IRRACIONAIS ...........................................24
CAPÍTULO IV: DESIGUALDADES ALGÉBRICAS. SISTEMAS .................................................31
.1 INEQUAÇÕES RACIONAIS ....................................................................................................31
.2 INEQUAÇÕES IRRACIONAIS..............................................................................................32
.3 INEQUAÇÕES MODULARES .................................................................................................33
.4 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES ALGÉBRICAS....................................................................34
CAPÍTULO V: EXPRESSÕES NÃO ALGÉBRICAS. SIMPLIFICAÇÕES, ..................................36
EQUAÇÕES & SISTEMAS .................................................................................................................36
.1 SIMPLIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES LOGARÍTMICAS.................................................36
.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................37
.3 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ................................................................................................39
.4 SISTEMA DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS ................................43
CAPÍTULO VI: DESIGUALDADES NÃO ALGÉBRICAS ..............................................................47
.1 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS............................................................................................47
.2 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS...........................................................................................48
CAPÍTULO VII: TRIGONOMETRIA.................................................................................................51
.1 EXPRESSÕES TRIGONOMÉTRICAS .....................................................................................51
.2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................................53

.3 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS..................................................................................56
CAPÍTULO VIII: PROBLEMAS ALGÉBRICOS, SUCESSÕES NUMÉRICAS & ANÁLISE
COMBINATÓRIA..................................................................................................................................58
.1 PROBLEMAS ALGÉBRICOS .....................................................................................................58
.2 SUCESSÕES NUMÉRICAS .....................................................................................................60
.3 ANÁLISE COMBINATÓRIA...................................................................................................63
CAPÍTULO IX:GEOMETRIA ANALÍTICA......................................................................................66
GEOMETRIA DOS SÓLIDOS & FIGURAS PLANAS ...................................................................66
.1 DISTÂNCIA ENTRE PONTOS................................................................................................66
.2 EQUAÇÃO DA RECTA & DA CIRCUNFERÊNCIA ..............................................................67
.3 VECTORES NO ESPAÇO ..........................................................................................................70
.4 GEOMETRIA DOS SÓLIDOS & FIGURAS PLANAS.........................................................72
CAPÍTULO X: FUNÇÕES & LIMITES..............................................................................................76
.1 FUNÇÕES .....................................................................................................................................76
.2 LIMITES.......................................................................................................................................81
CAPÍTULO XI: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EM IR ................................................89
.1 DERIVADAS ................................................................................................................................89
.2 INTEGRAIS INDEFINIDAS..................................................................................................94
.3 INTEGRAIS DEFINIDAS ......................................................................................................101
CAPÍTULO XII: NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................................... 104
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................................ 106

PREFÁCIO
A presente apostila de Exercícios & Problemas Seleccionados de Matemática Elementar é
um suporte para os leitores da apostila “Resolução de Problemas & Exercícios de Matemática
Elementar, publicado pela mesma editora”, com finalidade de dar sustento, a partir dos
exercícios seleccionados, as técnicas de cálculos demonstrados pelos autores, que permitem
ao estudante criar bases sólidas na aplicação das mesmas, e por conseguinte, desenvolver
habilidades para resolver problemas, visto que só se aprende a resolver problemas,
resolvendo problemas.
Com o objectivo de entreter e estimular a capacidade intelectual do estudante, os
autores, aos seus critérios, apresentam o grau de dificuldade de cada problema, como se
segue: º (indica exercício super fácil), * (indica exercício fácil), ** (indica exercício de
dificuldade intermédia) e *** (indica exercício difícil).
A colectânea ainda apresenta diversos exercícios seleccionados a partir dos testes de
admissão na Universidade Agostinho Neto, faculdade de Engenharia dos anos anteriores.
Foi com objectivo de desafiar o intelecto dos estudantes que frequentam o ensino
médio e candidatos para o ensino superior, que os autores seleccionaram problemas e
exercícios de matemática elementar nas mais variadas bibliografias que foram referenciadas
no final do livro, racionalizando o tempo de pesquisa do estudante, pois, numa só apostila
os leitores enfrentam exercícios e problemas com índice de dificuldade desafiadores que o
ajudam a ter sucesso nos cursos de engenharias, ciências e tecnologia.
Os autores

PROBLEMAS & EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
Elenco Fonte do Saber – Projecto Futungo: Edson Catumbela (Ed_Cat), João Madalena (Ti_Madó), Gerson
Anapaz, André dos Santos (Andi_Santo), Manuel Paulo (Manú), Domingos Narciso (Ngomith), Lecário
Palma (Declive) & Naní Panzo.
7
CAPÍTULO 0: TRANSFORMAÇÕES ALGÉBRICAS
1. Efectue as seguintes operações aritméticas:
1.1º
1.2º
1.3º
1.4º
1.5º
1.6º
1.7º
1.8º
1.9º
1.10*
2. Simplifique tanto quanto possível:
2.1º
2.2º
2.3º
2.4*
2.4º
2.5º

8
2.6º
2.7º
2.8º
2.9º
2.10º
2.11º
3. Efectua as operações com os radicais e escreva na forma simplificada:
3.1º
3.2º
3.3º
3.4º
3.5º
3.6*
3.7º
3.8º
3.9º
3.10º
3.11º
3.12*

9
3.13*
3.14**
3.15**
3.16**
4. Racionalize as seguintes expressões e simplifica tanto quanto possível:
4.1º
4.2º
4.3º
4.4º
4.5º
4.6º
4.7º
4.8º
4.9*
4.10*
4.11*
4.12º

10
4.13º
4.14*
4.15*
4.16*
4.17*
4.18*
4.19***
5. Simplifique os seguintes radicais
5.1º
5.2º
5.3º
5.4º
5.5º
5.6º
5.7*
5.8*
5.9**
5.10***
5.11º
5.12º

11
5.13*
5.14*
5.15*
5.16
(ISPTEC)
5.14*
5.15**
5.16**
5.17**
5.18**
5.19**
5.20***
6** Simplifique a seguinte expressão:
7. (UAN-FE-2013) Simplifique a expressão: , se .

12
CAPÍTULO I: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
.1 POLINÓMIOS
8. Dado o polinómio determina:
8.1º O valor numérico do polinómio para:
8.2º
9º Determina o valor de sabendo que o polinómio
é identicamente nulo.
10º Determina o valor de para que o polinómio seja idêntico à
.
11. Efectuando a divisão entre polinómios, ache o abaixo utilizando os diferentes métodos:
11.1º
11.2*
11.3º
11.4º
12. Sem efectuar a divisão, determina o resto da divisão de
12.1º
12.2º
12.3º
12.4º
13. Determina o valor de de modo que:
13.1º O resto da divisão de
13.2º O polinómio seja divisível por
14* Determina o polinómio do 1º grau sabendo que .
15* Dados e . Calcule de modo
que: .
16* Determine o valor de para que se verifique a identidade de:
.
17* Indique a expressão geral do polinómio do grau que admite as raízes

13
18** Num polinómio do 3º grau, o coeficiente de é . Se e , calcular o
valor de
19* Determine os valores de e para que o polinómio seja divisível por
.
20** Quatro cubos têm, respectivamente, por arestas, medidas em centímetros,
em que é um número natural. Determine o valor de de modo que a capacidade dos três cubos de
arestas seja exactamente igual á capacidade do cubo de aresta .
21. Encontre os zeros dos seguintes polinómios e factorize quando possível:
21.1º sabendo que é um zero;
22º Sabe-se que é raiz de Calcular o valor de .
23º Dado o polinómio , determina o valor de , sabendo que
dividido por dá resto .
24* Determina os números de modo que o polinómio se
transforme num polinómio divisível por e que dividido por dê resto .
25** Calcule de modo que , para todo o real.
26** O resto da divisão de um polinómio por é e o resto da divisão de por
– é . Determine o resto da divisão de por
27** A identidade:
é válida para todo número real . Determine
28** Qual o resto da divisão de – por – ?
29* Para cada par de valores reais e , a expressão: representa um polinómio.
Para que o polinómio seja divisível por , os valores de e têm que ser,
respectivamente:

14
Outro
30** O polinómio , satisfaz as condições: , então
é igual a:
Outro
31** Qual o resto da divisão de – por – ?
.2 DECOMPONHA EM FACTORES
32º
33º
34º
35º
36º
37º
38º
39*
40**
41**
42**
43*
44*
45**
46**
47**
48**
49**
50**

15
51*
52*
53**
54**
55*
56**
57**

16
CAPÍTULO II: EXPRESSÕES RACIONAIS & IRRACIONAIS. SIMPLIFICAÇÃO
.1 EXPRESSÕES RACIONAIS
58º
59º
60º
61º
62º
63*
64º
65*
66*
67*
68*
69*
70*
71*
72**

17
73**
74*
75***
76**
77***
78***
.2 EXPRESSÕES IRRACIONAIS
79º
80*
81º
82*
83*
84*
85*
86*

18
87*
88**
89***
90**
91***
92***
93**
94**
95**
97**
98**
99**

19
CAPÍTULO III: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. SISTEMAS
.1 EQUAÇÕES RACIONAIS
100º
101º
102º
103º
104º
105º
106*
107*
108*
109*
110*
111*
112*
113*
114*
115**
116**
117**

20
118***
119***
120 (UAN-FE-2014-VE) Resolva a equação:
121 (UAN-FE-2006) Resolva a equação:
122º
123*
124*
125*
126*
127*
128º
129**
130**
131**

21
132**
133**
134**
135**
136 (UAN-FE-2007-V4) Resolva a equação:
.2 EQUAÇÕES IRRACIONAIS
138º
139º
140*
141º
142*

22
143º
144º
145*
146*
147*
148*
149**
150º
151º
152**
153**
154*
155**
156**
157**
158***
159***
160**
161**
162**
163**
164***

23
165**
166***
167***
.3 EQUAÇÕES MODULARES
168º
169º
170º
171*
172*
173º
174º
175*
176**
177*
178*
179***
180**
181**
182**
183**
184*
185***
186***

24
.4 SISTEMA DE EQUAÇÕES RACIONAIS E IRRACIONAIS
Sistemas racionais de duas variáveis
187º
188º
189º
190º
191º
192º
193º
194º
195º
196º
197º
198*
199*

25
200*
201**
202**
203*
204**
205**
206**
207**
208**
209**
210*
211*
212**
213º

26
214**
Sistemas irracionais de duas variáveis
215º
216*
217º
218*
219º
220º
221*
222**
223º
224º
225*

27
226**
227º
228º
229*
230*
231**
232*
233*
234*
235*
Sistemas racionais e irracionais de várias variáveis
236º
237º

28
238º
239º
240º
241º
242***
243**
244***
245*
246***
247**

29
248***
249*
250**
251**
252***
253*
254*
255*
256***
257*

30
258*
259*

31
CAPÍTULO IV: DESIGUALDADES ALGÉBRICAS. SISTEMAS
.1 INEQUAÇÕES RACIONAIS
260º
201º
262º
263º
264*
265*
266**
267*
268*
269*
270*
271*
272*
273*
274**
275º
276º
277*
278*
279*
280*

32
281º
282º
283*
284*
.2 INEQUAÇÕES IRRACIONAIS
285º
286º
287º
288º
289*
290*
291*
292*
293*
294*
295**
296**
297**
298**
299**
300**

33
301**
302***
303 (UAN-FE-2007-V4) Resolva a inequação:
304 (UAN-FE-2007-V2) Resolva a inequação:
.3 INEQUAÇÕES MODULARES
305º
306º
307º
308º
309º
310*
311*
312*
313*
314*
315*
316*

34
317**
318º
319º
320*
321**
322***
.4 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES ALGÉBRICAS
323º
324º
325º
326*
327*
328º
329*
330*
331*
332*
333*
334*
335*

35
336**
337**
338**
339**
340***
341***
342***
343***

36
CAPÍTULO V: EXPRESSÕES NÃO ALGÉBRICAS. SIMPLIFICAÇÕES,
EQUAÇÕES & SISTEMAS
.1 SIMPLIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES LOGARÍTMICAS
344º
345º
346*
347*
348*
349*
350*
351**
352*
353*
354**
355**
356*

37
357**
358*
359º
360º
361*
362º
363*
.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
364º
365º
366**
367*
368º
369º
370*
371*

38
372*
373**
374º
375*
376º
377º
378º
379º
380º
381º
382º
383º
384º
385º
386º
387*
388º
389*
390**
391**
392*
393*
394**

39
395**
396**
397**
398**
399**
400**
401
(ISCED)
402***
.3 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
405*
406º
407º

40
400º
409º
410º
411º
412º
413º
414*
415*
416º
417º
418º
419º
420*
421*
422*
423*
424*
425º
426º
427º
428*
429*
430*
431*
432*
433*

41
434*
435*
436**
437*
438**
439*
440*
441*
442**
443**
444º
445*
446*
447**
448º
449*
450º
451*
452*
453º
454º
455º
456*
457*
458*
459*

42
460*
461*
462*
463**
464**
465*
466*
467*
468º
469*
470*
471*
472*
473*
474**
475*
476**
477***
478**
479***
480*
481**
482**
483**
484*
485**

43
486**
487*
488*
489*
490**
491*
492*
493**
494*
495**
496**
497**
498***
499***
;
; ;
.4 SISTEMA DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
501º

44
502º
503º
504º
505º
506*
507*
508**
509
510º
511º
512º
513º
514º
515º
516º
517*

45
518*
519*
520*
521*
522*
523**
524*
525**
526**
527**
528**
529**
530**
531***

46
532**
533**
534**
535**
536**
537**
538º
539º
540*
541*
542**

47
CAPÍTULO VI: DESIGUALDADES NÃO ALGÉBRICAS
.1 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
543º
544º
545*
546º
547º
548º
549º
550*
551º
552*
553*
554*
555*
556*
557*
558*
559*
560*
561*
562**
563*
564**
565*
566**

48
567***
568*
569**
570**
571**
572**
573 (UAN-FE-2008-V1) Resolva inequaçao:
.2 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
574º
575º
576º
577º
578º
579**
580º
581*
582*

49
583*
584*
585º
586*
587*
588*
589**
590º
591º
592*
593**
594**
595
596*
597*
598*
599*
600**
601**
602º
603º
604**

50
605**
606***

51
CAPÍTULO VII: TRIGONOMETRIA
.1 EXPRESSÕES TRIGONOMÉTRICAS
610º
611º
612*
613*
614*
615*
616º
617*
618º
619º
620*
621º
622*
623*
624*

52
625*
626*
627*
628*
629*
630**
631*
632*
633*
634**
635*
636**
637**
638*
639**
640***
641***
642**

53
643
644*
645***
646**
647**
648
649**
650**
651**
652 (UAN-FE-2008-V3) Simplifique a expressão:
653 (UAN-FE-2008-V2) Simplifique a expressão:
.2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

54
654º
655º
656º
657º
659*
660*
661**
662**
663*
664*
665*
666*
667*
668*
669*
670*
671*
672*
673*
674**
675º
676º
677**
678**

55
679**
680**
681**
681***
682**
683**
684**
685**
686**
687**
688**
689**
690**
691*
692**
693***
694***
695***

56
700 (UAN-FE-2014) Resolva a equação:
.3 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

57
701º
702*
703*
704º
705*
706º
707*
708**
709º
710º
711*
712*
713*
714º
715º
716*
717*
718**
719**
720***

58
CAPÍTULO VIII: PROBLEMAS ALGÉBRICOS, SUCESSÕES NUMÉRICAS &
ANÁLISE COMBINATÓRIA
.1 PROBLEMAS ALGÉBRICOS
Regra de Três (Simples ou Compostas)
721º operários fizeram metros de um muro. Quantos operários, nas mesmas condições, farão
metros do mesmo muro?
722* Se de uma obra foi realizada em dias por operários trabalhando horas por dia, o
restante da obra será feito, agora com operários, trabalhando horas por dia, em quantos dias?
723º operários fazem um serviço em dias. Em quantos dias operários farão o mesmo
serviço?
724º Para proceder auditoria, técnicos previram sua conclusão em dias. Tendo sido observado a
ausência de um dos componentes da equipe, o trabalho agora poderá ser executado em quantos dias?
725* Um automóvel consome litros de gasolina quando funciona durante minutos seguidos. Se
funcionasse durante horas e minutos, quantos litros de gasolina consumiria?
726* operários fazem de determinado serviço em dias, trabalhando horas por dia. Em
quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados operários e o regime de
trabalho diminuindo em uma hora por dia?
727* Trabalhando horas por dia, os operários de uma indústria automoblística produzem
veículos em dias. Quantos dias serão necessários para que operários produzam veículos,
trabalhando horas por dia?
728* Um alfaiate pode fazer uma roupa em dias, e a sua esposa pode faze-la em dias. Trabalhando
juntos, em quantos dias farão a mesma roupa?
729** Um depósito de água tem capacidade de litros, e tem duas torneiras, onde uma delas o
enche em horas e outra o esvazia em horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, em
quantas horas o depósito ficará cheio?
730** Uma caixa d’ gua tem capacidade de litros. Uma torneira a enche em horas, e a outra a
esvazia em horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, quanto tempo levará para a caixa
d’ gua ficar cheia?
Problemas Lineares
731º Para uma campanha de cana-de-açúcar vão pessoas. São mais pessoas que a metade das
pessoas que foram para a campanha de café. Quantas pessoas trabalham na campanha de café?

59
732º Numa fábrica trabalham mulheres. São mais trabalhadores que a quinta parte de todos os
trabalhadores. Quantos trabalhadores tem a fábrica?
733º Na Huíla , na indústria extractiva de granito negro, extraiu-se blocos de granito. Isto
representa blocos a mais da quarta parte do que foi planificado. Quantos blocos se devem extrair de
acordo com o plano?
734º A Valentina comprou cartas postais. Jaquelina comprou cartas postais do mesmo tipo e
pagou Akz menos que Valentina. Quanto custou cada carta postal?
735* A idade do José mais o dobro da idade Pedro soma anos. O dobro da idade do José menos a
idade de Pedro é igual a . Qual é a idade do José e do Pedro?
736* Numa cooperativa cafeteira se recolhem diariamente sacos de café por um grupo de
trabalhadores, homens e mulheres. Cada homen recolhe sacos e cada mulher sacos. Calcular o
número de homens e de mulheres da cooperativa.
737* Um número excede o dobro do outro em unidades. Calcular os números sabendo que eles estão
numa razão de .
738* A soma das duas idades de Cinderela e o seu irmão Zola é meio século, e a diferença entre elas é
de uma dúzia. Sabe-se que a Cinderela é a mais nova. Quais são as suas idades?
739* Numa sala de alunos, a quarta parte dos aprovados excede em ao número de reprovados.
Quantos alunos aprovaram e reprovaram?
740* Na partida final de Basketbol, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de pontos.
Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes
estão na razão de para ?
741** O perímetro de um triângulo é de . As medidas de seus lados são proporcionais aos
números Calcule a medida do lado maior desse triângulo.
742** Uma estrada de foi asfaltada por equipes , cada uma delas atuando,
respectivamente, em um trecho proporcional a . Quantos quilómetros couberam o trecho ?
743** O João, o André e o Makiadi são três irmãos. A soma das suas idades é de setenta anos. Que
idade tem cada um deles sabendo que o André excede 9 anos da idade do Makiadi e cinco anos da
idade do João?
Problemas Quadráticos
744º A área de um rectângulo é de . Nessas condições, determine as dimensões do rectângulo
sabendo que o comprimento mede e a largura mede

60
745º Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e, do resultado, subtrair , você obterá
. Qual é esse número?
746* Num congresso havia pessoas entre eles homens e mulheres. Descubra quantos homens e
quantas mulheres estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades dos dois grupos é igual a
e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de homens.
747º A soma de um número real com o seu quadrado dá . Qual é esse número?
748º Do quadrado de um número real vamos subtrair o quadruplo do mesmo número. O resultado
encontrado é . Qual é esse número?
749º Se você adicionar um número inteiro diferente de zero com o inverso do número, vai obter
. Qual é esse número inteiro?
750* Ao se inscrever para participar de numa feira, um expositor recebeu a informação de que seu
stand deveria ocupar uma área de , ter formato rectangular e perímetro de . Quê
dimensões seu stand deveria ter?
.2 SUCESSÕES NUMÉRICAS
Progressão Aritmética (P.A)
751º Escreva o termo geral da progressão aritmética, em cada caso:
752º Determine de modo que as sequências, em cada caso, sejam P.A:
753º Dada a P.A . Determine o valor de
754º Determine a razão a P.A .
755* Os números reais: , , formam, nesta ordem, um P.A. Determine
o valor de .
756º Interpole seis meios aritméticos entre – .
757º Quantos são os múltiplos de entre e .
758* Calcule quantos números inteiros existem entre que não são múltiplos de .

61
759** Numa P.A (finita), o quarto termo é igual a , e a soma dos vintes primeiros termos é quatro
vezes maior do que a soma dos dez primeiros Então o décimo termo desta progressão é:
Outro
760** Numa P.A dado o , o índice do primeiro termo positivo na progressão é:
Outro
761** A soma dos vinte primeiros termos de uma P.A é e a razão da P.A é o dobro do primeiro
termo. Ache o termo geral.
762** Achar o primeiro termo e a razão da P.A. para qual a soma dos primeiros termos é igual á ,
e trigésimo primeiro termo é igual a .
763** Numa P.A a diferença entre o e o termo é e a soma do e o triplo do é . Calcule
o termo geral dessa P.A
764* Determine a localização do número na P.A. dada por: .
765* Numa P.A. a soma dos segundos e quartos termos é igual a . Então a soma dos primeiros
termos é igual á?
766º Se é o primeiro termo de uma P.A. e , então o número de termos a tomar tal que a
soma dos seus primeiros termos seja é?
767** Determine o segundo termo de uma P.A sabendo que .
768** Obter uma P.A. crescente de três termos tais que sua soma seja e o seu produto seja .
769** Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale e que a soma de
seus quadrados vale .
770** Em uma P.A decrescente os três primeiros termos somam e têm o produto . Determine a
P.A.
771** As medidas dos lados de um triângulo rectângulo estão em P.A de razão . Calcule essas
medidas.
772** Três números estão em P.A. Sendo a soma dos três termos e o produto determine a P.A
sabendo que é crescente.
773** Em um triângulo rectângulo, de perímetro , os lados estão em progressão aritmética.
Determine a razão da progressão aritmética e a medida dos seus lados do triângulo.

62
774*** Os lados de um triângulo rectângulo estão numa P.A. Sabendo que a área do triângulo é de
, determine as medidas dos lados desse triângulo.
775* Os três ângulos internos de um triângulo estão numa P.A. Quanto mede, necessariamente um
dos ângulos?
776* As medidas dos ângulos internos de um triângulo de razão graus estão numa P.A. Determine
o menor ângulo deste triângulo.
777** O Hélder em cada aniversário do Alexandre deposita no seu cofre um número de kwanza igual a
idade do Alexandre. No dia em que o cofre contiver kwanzas, que idade terá o Alexandre.
778** Determine o número de termos de uma progressão aritmética, sabendo que: ;
e .
779*** Sejam números reais que nesta ordem formam uma P.A. de soma . Sabendo que os
restos das divisões de por – e são iguais. Determine a
razão da P.A.
Progressão Geométrica (P.G)
780º Dada as sequências geométricas, encontre o termo geral:
781º Achar a soma dos primeiros termos da P.G. para qual: .
782º Determine de modo que as sequências, em cada caso, sejam P.G
783* Determina a razão da progressão geométrica, de modo que são os termos
da P.G.
784* Determine o termo de uma P.G, na qual dois meios geométricos estão inseridos ente ,
nesta ordem.
785* Numa P.G. de quatro termos a razão é e ultimo termo é . Calcule o primeiro termo desta
progressão.
786* Numa P.G. de termos, o primeiro é e o ultimo termo é . Calcular a razão dessa
progressão.

63
787* Numa P.G. de razão , o primeiro termo é e o ultimo é . Quantos termos tem essa P.G.
788º Dada a P.G. , calcular:
a) A soma dos primeiros termos;
b) O valor de para que a soma dos primeiros termos seja ;
789** Numa P.G. crescente o terceiro termo é do primeiro e o quarto termo excede o segundo
termo em cinco unidades. Determine a expressão do termo geral.
790* Quantos termos tem a P.G, onde ?
791** As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero estão numa P.G de razão . Calcular essas
medidas.
792** Determine o termo geral da P.G de: .
793* Numa P.G o é igual a . Calcule , sabendo que ele é igual a razão.
794** Resolve a equação:
795** Numa P.G infinita, a soma dos termos de ordem par é , ao passo que a soma dos termos e
ordem impar é . Obtenha o primeiro termo e a razão dessa progressão.
796*** Na sequência de números reais , os termos de ordem ímpar
formam uma progressão aritmética e os termos de ordem par, uma progressão geométrica. Determine o
valor de .
797*** São dados quatro números positivos: , sabendo que os três primeiros estão em
progressão aritmética e os três últimos estão em progressão geométrica, determina e .
798*** Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a
, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o
segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em .
Calcule o terceiro termo das progressões.
.3 ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo)

64
799º De quantas maneiras diferentes podemos combinar duas camisas e três calças.
780º Um teatro tem cinco portas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e sair do
teatro?
781º Nelson tem camisas, calças gravatas, pares de sapatos e paletó. De quantas maneiras
diferentes ele poderá se vestir usando uma peça de cada conjunto?
782º Nina tem saias, blusas, pares de sapatos e casacos. De quantas maneiras diferentes ela
poderá se vestir, usando uma peça de cada conjunto?
783* Um baralho tem cartas. Retirando-se duas cartas, uma de cada vez, sem recolocá-las no
baralho, quantas possibilidades existem?
784º Dispomos de cimento, 3 tipos de areia e 4 tipos de brita. Determine a quantidade de tipos
diferentes de concreto que poderiam ser feitos, aparecendo os 3 elementos na sua composição.
Arranjos e Permutações
785º Dez meninas apostam uma corrida. De quantos modos diferentes pode ser formado o grupo das
primeiras colocadas?
786º Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
787º De quantas maneiras podemos organizar livros numa fila.
788* De quantas maneiras quatro livros de matemática, três de história, três de química e dois de
sociologia podem ser organizadas em uma prateleira de tal forma que todos os livros do mesmo
assunto fiquem junto?
789 (UAN–FE-2010) Quantos números de algarismos podem ser formados de algarismos
. Sem repeti-los?
790º Dispomos de cores e queremos pintar uma bandeira de listras, cada listra com uma cor. De
quantas formas isto pode ser feito?
791º De panos todos da mesma dimensão, de cinco cores diferentes, quantas bandeiras tricolores que
se podem fabricar.
792º Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser formados usando os
algarismos .
793º Simplifique:

65
794º Calcule:
Combinações
795º Com pessoas, quantas comissões de pessoas podem ser formadas?
796** No final de uma reunião, foram trocados, apertos de mãos. Sabendo-se que cada pessoa
cumprimentou todas as outras, quantas pessoas haviam nesta reunião?
797º Em uma competição entre participantes, determine o número de possibilidades que podem ser
formados entre os primeiros colocados.
798* De quantas maneiras um comité, constituído por três homens e duas mulheres, pode ser
escolhido entre sete homens e cinco mulheres?
799* Um saco contém seis bolas brancas e quatro bolas vermelhas. Acha o numero de maneiras que
quatro bolas podem ser retiradas do saco, se:
a) Elas podem ser de qualquer cor.
b) Duas devem ser brancas e duas vermelhas.
c) Todas devem ser da mesma cor.
800** Quantos comités de cinco pessoas com um determinado chefe podem ser seleccionado entre
doze pessoas?
801* Temos homens e mulheres. Quantas comissões de pessoas podemos formar se em cada
um deve haver homens e mulheres?
802* Numa prova de questões o aluno deve resolver apenas . De quantas maneiras diferentes ele
poderá escolher estas questões?
803 (UAN-FE-2010-V3) De matemáticos e físicos deve-se constituir uma comissão de
matemáticos e físicos. De quantas maneiras diferentes é possível formar a comissão se os dois
determinados matemáticos não podem pertencer a comissão?

66
CAPÍTULO IX:GEOMETRIA ANALÍTICA.
GEOMETRIA DOS SÓLIDOS & FIGURAS PLANAS
.1 DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
804º Se, na recta real, têm abcissas , respectivamente, calcule o comprimento dos
segmentos:
805º A distância entre dois pontos de abcissas , respectivamente, é igual a . Calcule os
possíveis valores de .
806º Sejam os pontos . A distância entre eles é:
807* A distância entre os pontos é . O valor de é:
808º Qual o ponto do eixo das ordenadas que equidista dos pontos ?
809* O comprimento da circunferência de diâmetro , sendo é:
810* O comprimento da mediana relativa ao lado do triângulo , sendo
é:
811* Sendo o comprimento da mediana relativa ao lado do triângulo onde
, então é igual a:
812* Calcular a área do triângulo de vértices .
813* Calcular a área do triângulo de vértices .
814º A soma das coordenadas do baricentro do triângulo , sendo e é:

67
815* Os pontos: do plano estão alinhados se e somente se:
816* A distância do ponto ao ponto é igual a . Calcule o número ?
817º Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos:
.
818* Calcule o perímetro do triângulo , sabendo que .
819* Os pontos e são equidistantes de . Determine .
820** Determine o ponto do eixo que dista unidades do ponto de coordenadas .
821* Determine a equação da mediatriz dos pontos sendo: .
.2 EQUAÇÃO DA RECTA & DA CIRCUNFERÊNCIA
822* Considere os pontos .
Determine a equação reduzida da recta .
Verifique se o ponto é ou não colinear com os pontos .
823** Calcule e reais positivos, de modo que a recta passe pelo ponto e
forme, com os eixos coordenados, um triângulo de área igual a .
824* Considere as rectas definidas por: .
Determine de modo que: sejam concorrentes; sejam paralelas;
825* Sejam as rectas dadas, respectivamente, pelas equações: – ;
– ; – – Podemos afirmar que:
a) passam pela origem;
b) é perpendicular a é paralela à ;
c) é paralela à e perpendicular à ;
826* As rectas e de equações: – – – respectivamente passam
pelo ponto O valor de é:

68
827** A equação de recta perpendicular à recta ( – e que passa pela intersecção das
rectas é:
828º Qual é a equação da recta que passa pelo ponto e tem coeficiente angular ?
829º Uma recta passa pelo ponto e tem uma inclinação de . Qual é a equação dessa recta?
830º Dado o ponto , calcule as coordenadas do ponto de modo que o
coeficiente angular da recta seja .
831º Determine a equação reduzida da recta que passa pelos pontos:
832* Dada a recta de equação , escreva a equação da recta paralela à recta dada e que
passa pelo ponto .
833** São dados os pontos . Determine a equação da recta , que passa pelo ponto
e que é paralela à recta determinada pelos pontos .
834* As rectas de equações – , – e – se interceptam
em um ponto. Determine e o ponto de intersecção das rectas.
835* A recta passa pelo ponto e é perpendicular à recta de equação .
Determine a equação da recta .
836* Sabe-se que as rectas de equações – – são perpendiculares.
Nessas condições, determine .
837º Calcule distância do ponto à recta de equação – .
838* O ponto é um vértice de um triângulo equilátero cujo lado está sobre a recta
de equação – . Determine a medida da altura desse triângulo.
839 (ISPTEC - MODELO) A equação da recta que passa pelos pontos é:

69
840* O ponto de intersecção entre as rectas é:
841 (UAN-FE-2010-V1) Escreva a equação reduzida da recta perpendicular à recta de equação:
passando pelo ponto .
842 (UAN-FE-2010-V3) Determine a distância do ponto à recta de equação: .
843 (UAN-FE-2011-V1) Os pontos são vértices do trapézio isósceles
. Achar as coordenadas do ponto .
844º Para cada uma das equações identifique o raio e o centro se se tratar de uma circunferência:
845º Escreva a equação da circunferência que tem centro no ponto e raio .
846* Determine o centro e o raio da circunferência que apresenta com equação geral:
.
847** A equação da circunferência que passa pelos pontos e cujo centro é o ponto
médio do segmento é:

70
848 (ISPTEC – MODELO) Escreva a equação geral da circunferência de centro e raio
é:
849 (UAN-FE-2010-V1) Determine a equação de uma circunferência de centro tangente a
recta: .
850 (UAN-F.E-2009-V4) Determine a equação da circunferência com o centro sobre e que passa
pelos pontos
.3 VECTORES NO ESPAÇO
851* Dados os vectores , e . Determinar de modo
que .
852* Dados os pontos , e . Determinar o vector tal que
.
853* Calcular o perímetro do triângulo de vértice , e .
854* Obter um ponto do eixo das abcissas equidistantes dos pontos e
855* Determinar o vector , paralelo ao vector , tal que .
856* Calcular a área do paralelogramo definido pelos vectores e .
857* Calcular a área do triângulo de vértices:

71
858* Calcular o volume do tetraedro , sendo dados:
859 (UAN-FE-2013) Seja o plano que contém os pontos: e ;
o volume do tetraedro formado pela origem das coordenadas e os pontos é:
860* Determinar o ponto da recta que tem abcissa .
861* Determinar para que o ponto pertença à recta
862* Determinar as equações reduzidas, com variável independente , da recta que passa pelo ponto
e tem a direcção do vector .
863* Estabelecer as equações reduzidas, com a variável da recta determinada pelos pares de pontos:
864* Determinar as equações das seguintes rectas:
Recta que passa por por e é paralela ao eixo ;
Recta que passa por e é perpendicular ao plano ;
Recta que passa por e tem a direcção do vector ;
Recta que passa pelos pontos e ;
865 (UAN-FE-2014-V7) A recta que passa pelo ponto e é paralela ao vector
tem como equações paramétricas:

72
.4 GEOMETRIA DOS SÓLIDOS & FIGURAS PLANAS
866 (UAN-FE-2007-V4) Calcular o volume da pirâmide triangular se duas arestas opostas desta
pirâmide são e todas outras arestas são .
867 (UAN-FE-2007-V4) As medianas do triângulo são . Achar a área do triângulo.
868 (UAN-FE-2007-V3) Calcular o comprimento da bissectriz do ângulo do triângulo se os
comprimentos dos lados são:
869 (UAN-F.E-2007-V3) A base do paralelepípedo recto é paralelogramo e um dos ângulos deste
paralelogramo é igual . A área da base é igual a . As áreas das faces laterais do paralelepípedo
são . Achar o volume do paralelepípedo.
870 (UAN-F.E-2007-V2) A base do paralelepípedo recto é paralelogramo que tem ângulo e os
lados A diagonal menor do paralelepípedo é igual à diagonal maior da base. Achar o volume
do paralelepípedo.
871 (UAN-F.E-2006-V2) Num círculo de raio está inscrito um triângulo rectângulo de
perímetro Ache a área desse triângulo.

73
872 (UAN-FE-2006-V1) Sobre um círculo de raio está sobrescrito um trapézio isóscele de
perímetro . Ache a área do trapézio.
873 (UAN-FE-2007-V1) Achar a área do triângulo se os seus lados são e a bissectriz do
ângulo entre estes dois lados é .
874** A área da base da prisma triangular recto é , as áreas das faces laterais são .
Achar o volume do prisma.
875 (UAN-FE-2009-V1) A altura de um triângulo isósceles tracejada à base é igual a e altura
tracejada ao lado lateral é igual a . Qual a área deste triângulo?
876** A aresta lateral da pirâmide regular triangular é igual a e a altura da pirâmide é igual a .
Ache o volume da pirâmide.
877 (UAN-FE-2006-V3) A altura dum triângulo rectângulo, tracejada desde o ângulo recto, divide a
hipotenusa em partes de comprimento e . Ache a área do triângulo.
878** Calcule o comprimento das diagonais do paralelepípedo recto, se todas as suas arestas são iguais
a e um dos ângulos da sua base é igual a .

74
879** No trapézio, com os lados todos laterais iguais, as bases são e o lado lateral é
. Calcule a área desse trapézio.
880** Numa circunferência está inscrito um triângulo rectangular com catetos de comprimento e
. Achar o comprimento da circunferência.
881 (UAN-FE-2008-V2) Determine a área do triângulo se os seus dois lados são igual a e
e a mediana tracejada ao terceiro lado é igual a .
882** Numa circunferência está inscrito um rectângulo com os lados de comprimento e .
Achar o comprimento da circunferência.
883** Num losango o lado é de e uma diagonal é de . A outra diagonal é:
884** Os lados paralelos de um trapézio têm comprimentos respectivamente . O
comprimento dos lados não paralelos é, respectivamente, . Ache a altura do trapézio.

75
885** Num triângulo rectângulo a hipotenusa é igual a e a diferença entre os catetos é igual a
.
886 (UAN-FE-2008-V1) A relação entre os catetos de um triângulo rectangular é igual a e a
diferença dos círculos circunscritos e inscritos é igual a . Determine a área do triângulo.
887 (UAN-FE-2009-V3) Os catetos de um triângulo rectangular são iguais a . Encontre
a bissectriz do triângulo tracejada do vértice do ângulo agudo menor.
888 (UAN-FE-2009-V2) As diagonais de um trapézio são reciprocamente perpendiculares iguais a
e . Qual a altura do trapézio.
889 (UAN-FE-2009-V4) A bissectriz do ângulo de um triângulo rectangular divide a sua hipotenusa
em dois segmentos de comprimento . Qual a área desses triângulo?

76
CAPÍTULO X: FUNÇÕES & LIMITES
.1 FUNÇÕES
890º Onde o gráfico da função cruza os eixos das coordenadas ?
891º O menor valor da função é:
892* A equação da parábola que passa pelos pontos é:
893* Uma raiz da equação é . Determine a outra raiz:
894* Uma bola colocada no chão é chutada por um rapaz para o alto, percorrendo uma trajectória
descrita por , onde é a altura, dada em metros. Qual é a altura máxima atingida pela
bola?
895* Para festejar a entrada do ano novo o Zé Maria lançou um foguete. A altura h (em metros)
alcançada pelo foguete após t segundos é dada por: .
a) Qual terá sido a altura máxima atingida pelo foguete?
b) Em que instante atingiu a altura máxima?
c) Ao fim de quantos segundos o foguete atingiu o solo?
896º Determinar os valores de para que a função quadrática
tenha raizes reais.
897º Determinar os valores de para que função quadrática
tenha dois zeros reais e distintos.
898º Determinar o valor de para que a função do 2º grau não tenha raízes reais

77
899º Determinar o valor de para que a função seja um quadrado
perfeito.
900º Determinar os valores de para que a função tenha duas
raízes reais iguais.
901º Achar se
902º Seja Achar: .
903º A função é linear. Achar esta função, se .
904º Achar uma função racional inteira de segundo grau, se
905º Sabe-se que . Achar o valor aproximado de , considerando que a
função no segmento é linear. (interpolação linear da função).
906º Seja . Achar:
907º Achar , se
908º Achar , se
909º Achar , se
910º Caracterize e , sabendo que:
911* Analisa a paridade das seguintes funções:

78
912 Acha, se existe, a inversa de cada função:
º
º
º
º
*
*
*
**
*
**
Determinar o Domínio ou Campo de Existência das seguintes funções algébricas:
913º –
914º
915º –
916º
917º
918º

79
919º
920º
921*
922º
923º
924º
925*
926*
927*
928*
929*
930**
Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções Logaritmicas:
931º
932*
933º
934*
935*

80
936**
937*
938º
939º
940º
941*
942**
943**
944**
Ache o domínio das funções trigonométricas e diversas:
945*
946*
947*
948*
949*
950**
951**
952*
953**

81
954**
955*
956*
957**
958**
959*
960**
961**
962**
963**
964*** Ache o domínio das funções trigonométricas e diversas:
.2 LIMITES
Achar os limites de sucessão:

82
965*
966*
967*
968º
969*
970*
971º
972*
973º
974*
975º
976º
977*
978*
979º
980º
981**

83
982**
983*
984º
985*
986º
987*
988º
989º
990*
991*
992º
Calcule os limites algébricos:
993º
994º
995*
996*
997*
998º

84
999*
1001*
1002*
1003*
1004*
1005*
1006*
1007*
1008*
1009*
1010º
1011º
1012º
1013º
1014º
1015**
1016**
1017**

85
1018**
Calcule os limites trigonométricos, neperianos e logarítmicos:
1019º
1020º
1021**
1022º
1023*
1024º
1025*
1026*
1027º
1028
1029*
1030**
1031**
1032**
1033**
1034**

86
1035**
1036º
1037*
1038*
1039º
1040*
1041*
1042*
1043º
1044º
1045º
1046º
1047*
1048**
1049*
1050*
1051*
1052*
1053º

87
1054*
1055*
1056*
1057**
Calcular os seguintes limites:
1058**
1059**
1060*
1061**
1062**
1063**
1064**
1065**
1066**
1067**
1068***
1069**

88
1070**
1071***
1072***
1073**
1074**
1075**
1076**
1077**
1078**
1079**
1080**
1081**

89
CAPÍTULO XI: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EM IR
.1 DERIVADAS
Aplicações geométricas e mecânicas das derivadas:
1082º Calcular se .
1083º Achar se
1084* Em que ponto a derivada da função coincide, numericamente, com o valor da
própria função, isto é, ?
1085º Que ângulos formam com o eixo as tangentes à curva nos pontos com
abcissas: ?
1086* Sob que ângulos, as sinusóides cortam o eixo das abcissas na origem das
coordenadas?
1087* Achar os pontos, em que as tangentes à curva são paralelas ao eixo
das abcissas.
1088** Em que ponto, a tangente à parábola é paralela à recta ?
1089** Achar a equação da parábola , que é tangente à recta no ponto .
1090* Escrever a equação da tangente e da normal à curva , no ponto com abcissa
1091** Encontre a equação da recta tangente à curva , que é paralela à recta
1092* Encontre a equação para recta normal à curva no ponto .
1093* Escrever a equação das tangentes e das normais à curva: nos pontos
de sua intersecção com o eixo das abcissas.
1094º A lei do movimento do ponto é , onde a distância é dado em metros e o tempo em
segundos. Achar a velocidade do movimento no instante .
1095º A lei de movimento do ponto no eixo é . Achar a velocidade de movimento
deste ponto nos instantes: ( é dado em centímetros e , em segundos)

90
1096** Pelo eixo movem-se dois pontos, cujas leis de movimento são: ,
onde . Com que velocidade estes pontos afastam-se um do outro no momento do encontro ( é
dado em centímetros e , em segundos)?
1097*** A lei do movimento do ponto material, lançado no plano vertical , formando um ângulo
em relação horizontal, com velocidade incial , é dada pelas fórmulas (não se considerando a
resistência do ar): , onde é o tempo; , a aceleração da força de
gravidade. Achar a trajectória do movimento e seu alcance.
1098º Um corpo move-se directamente pela lei (onde é o tempo em
segundos e o espaço percorrido em metros). Ache a velocidade do corpo no tempo .
1099º Um corpo move-se directamente pela lei (onde é o tempo em segundos e
o espaço percorrido em metros). Ache a velocidade do corpo no tempo .
1100º Calcule a primeira derivada da função: no ponto .
1101* Calcule a primeira derivada da função: no ponto .
1102 (UAN-FE-2013-V1) Sejam dadas as funções e , a derivada das
funções no ponto é:
respectivamente respectivamente
respectivamente respectivamente
Não existe
Encontre a derivadas das seguintes funções:
1103º

91
1104º
1105º
1106º
1107*
1108*
1109*
1110***
1111**
1112***
1113**
1114**
1115***
1116**
1117**
1118**
1119**

92
1120**
1121**
1122**
1123º
1124**
1125*
1126*
1127**
1128*
1129*
1130**
1131**
1132**
1133**
1134***
1135**
1136**

93
1137**
1138**
1039***
1140**
Encontre a derivada das funções diversas
1141***
1142**
1143**
1144º
1145**
1146**
1147*
1148**
1149**
1150**
1151**
1152**

94
1153***
1154***
1155***
1156***
1157***
.2 INTEGRAIS INDEFINIDAS
Achar as seguintes integrais, utilizando as regras principais e as fórmulas de integração:
1158º
1159º
1160º
1161º
1162*
1163*
1164º
1165*
1166*
1167*

95
1168*
1169*
1170º
1171º
1172*
1173º
1174*
1175*
1176º
1177
1178º
1179*
1180*
1181**
1182*
1183*
1184*
1185*

96
1186**
Achar as integrais, aplicando os diferentes métodos de integração:
1187*
1188*
1189**
1190*
1191*
1192*
1193*
1194**
1195
1196**
1197**
1198*
1199**
1200**
1201*

97
1202º
1203*
1204º
1205º
1206**
1207**
Achar as seguintes integrais aplicando os diferentes métodos:
1208*
1209*
1210*
1211*
1212*
1213**
1214**
1215**
1216*
1217**
1218*

98
1219
1220**
1221**
1222**
1223**
1224**
1225**
1226*
1227**
1228*
1229*
1230**
1231*
1232**
1233**
1234**

99
1235**
1236**
1237**
1238**
1239***
1240***
1241***
1242***
1243***
1244***
Achar as integrais trigonométricas
1245*
1246*
1247*
1248*
1249*
1250*

100
1251**
1252**
1253*
1254*
1255*
1256**
1257**
1258**
1259**
1260**
1261**
1262***
1263***
1264***
1265**

101
1266**
1267**
1268***
.3 INTEGRAIS DEFINIDAS
Utilizando a fórmula de Newton-Leibniz, achar as integrais definidas:
1269º
1270º
1271º
1272*
1273**
1274*
1275*
1276*
1277º
1278º
1279**
1280*

102
1281*
1282**
1283**
1284*
1285**
1286 (UAN-FE-2005-V1) Calcula a integral definida:

103
Aplicações geométricas da integral definida
1289* Determinar a área da figura delimitada pelas curvas
1290º Calcular a área da figura limitada pela parábola e pelo eixo das abcissas.
1291* Calcular a área da figura limitada pela curva , pelo eixo e pela recta .
1292** Achar a área da figura limitada pela curva e pelo eixo .
1293** Achar a área da figura limitada pela curva , pela recta e pela vertical .
1294* Calcular a área da figura compreendida entre uma semi-onda de sinusóide e o eixo
.
1295* Calcular a área da figura compreendida entre a curva , o eixo e a recta .
1296* Calcular a área da figura limitada pela curva a recta e o eixo .
1297* Achar a área da figura limitada pela parábola e pela recta .
1298* Calcular a área do segmento da parábola , que corta a recta .
1299** Calcular a área da figura compreendida entre as parábolas e a recta .
1300** Calcular a área da figura compreendida entre as parábolas e .
1301º Calcule a área da região do plano limitado por e .
1302** Determine a área da região do plano limitada pela parábola e pela recta
.
1303*** Determine a área limitada pela curva e pelas rectas .
1304** Calcule a área limitada pelas linhas definidas por e .
1305*** Determine a área limitada por:
1306** Calcule a área limitada por:
1307*** Determine a área limitada pela curva a sua recta tangente no ponto de abcissa e
o eixo .
1308 (UAN-FE-2014-VE) Dada uma função no intervalo . Se a função
é uma primitiva de , então a área da figura limitada pela função e o eixo
é:

104
CAPÍTULO XII: NÚMEROS COMPLEXOS
Calcular:
1309º
1310º
1311º
1312*
1313*
1314*
1315*
1316**
1317**
1318**
1319**
1320**
1321*
Por sob forma trigonométrica as expressões:
1322*
1323*
1324*
1325*
1326*

105
Resolver as equações polinomiais
1327**
1328**
1329**
1330**
1331**
1332**
1333**
1334**
1335**
1336**
1337**
1338**
1339 (UAN-FE-2011-V1) Resolver a equação:

106
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
V. LITINENKO & A. MARDOKÓVICH – Prácticas para resolver problemas – ALGEBRA y
TRIGONOMETRIA – EDITORAL MIR MOSCÚ
V.F. BUTÚZOV – Análisis Matemático en preguntas e problemas – EDITORAL MIR
MOSCÚ – Traduccion al Espanol, Editoral MIR. 1984
V. LIDSKI & OUTROS – Problemas de Matematica Elementales –– EDITORAL MIR
MOSCÚ
– Traduccion al Espanol, Editoral MIR. 1972
G.N. BERMAN – Problemas Y Ejercícios de Análisis Matemático – EDITORAL MIR
CÁLCULO A – DIVA FLEMMING – Makron Books
DEMIDOVITCH - Problemas e Exercícios de Análise Matemática, 4ª Edição - EDITORAL
MIR MOSCÚ – Traduzido do Russo, Editoral MIR. 1977
N. PISKUNOV – Cálculo Diferencial e Integral tomo I 3ª Edição – EDITORAL MIR
MARIA A. F. NEVES –Livro de Matemática da 10ª Classe da Reforma Educativa – PORTO
EDITORA - 2008
MARIA A. F. NEVES –Livro de Matemática da 11ª Classe da Reforma Educativa – PORTO
EDITORA - 2008
MARIA A. F. NEVES –Livro de Matemática da 12ª Classe da Reforma Educativa –
PORTO EDITORA - 2008
M. OLGA BAPTISTA – Cálculo Diferencial em IR, 3ª Edição – EDITORA SÍLABO –
Lisboa, 2006
IEZZI, Gelson, Fundamentos de Matemática Elementar (10 livros – deste Conjuntos até
Geometria Plana)

Anapaz, André dos Santos (Andi_Santo), Manuel Paulo (Manú), Domingos Narciso (Ngomith), Lecário Palma
(Declive) & Naní Panzo.
107
CAT

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