Modelo de controle em colunas de extração de cobre

universidade federal do pará
campus de marabá
faculdade de engenharia de minas e meio ambiente
MANOEL FERREIRA NUNES
MODELAGEM E CONTROLE EM COLUNAS DE
EXTRAÇ ÃO MINERAL
MARABÁ
2013

Trabalho de Conclu¸cão de Curso apresentado à Fa-
culdade de engenharia de minas e meio ambiente
da Universidade Federal do Pará - UFPA, como
requisito para a obten¸cão parcial do grau de Ba-
charel em engenharia de minas e meio ambiente.
Orientador: Profo
. Dr. Reginaldo Sabóia de Paiva
Profo
. da FEMMA - UFPA
MARABÁ
2013

Dados Internacionais de Cataloga¸cão-na-Publi¸cão (CIP)
Biblioteca II do CAMAR/UFPA, Marabá, PA - Brasil
NUNES, MANOEL
MODELAGEM E CONTROLE EM COLUNAS DE EXTRAÇ ÃO
MINERAL / MANOEL NUNES - 2013
45.p; orientador; Reginaldo Sabóia de Paiva
Trabalho de Conclus¸cão de Curso (Gradua¸cão) - Universidade Fe-
deral do Pará, Campus Universitário de Marabá, Faculdade de En-
genharia de Minas e Meio Ambiente, Marabá, 2013.
Metalurgia Extrativa. I.T´ıtulo.
CDD xxxxxxxxxxxxxx

Trabalho de Conclu¸cão de Curso apresentado à Fa-
culdade de engenharia de minas e meio ambiente
da Universidade Federal do Pará - UFPA, como
requisito para a obten¸cão parcial do grau de Ba-
charel em engenharia de minas e meio ambiente.
Aprovado em / /
Conceito
BANCA EXAMINADORA
Profo
. Dr. Reginaldo Sabóia de Paiva
Profo
. da FEMMA - UFPA
Profo
. Dr. Evaldiney Monteiro
Profo
. da FEMMA - UFPA
Profo
. Dr. Denilson da Silva Costa
Profo
. da FEMMA - UFPA

Ao meu pai, que à sua maneira sempre torceu
pelo sucesso de cada um de seus filhos.
A minha mãe e aos meus irmãos, pelo compa-
nheirismo em todos os momentos.

Resumo
O cobre é um dos metais mais importantes industrialmente, é utilizado principalmente
na produ¸cão de materiais condutores de eletricidade, e em ligas metálicas como latão e
bronze. 60% das jazidas da Prov´ıncia Mineral de Carajás são de cobre oxidado. Na região
esse minério é considerado res´ıduo da explora¸cão, devido seu baixo teor e elevado custo de
extra¸cão que o tornam economicamente inviável, ele é descartado em pilhas de rejeitos.
A hidrometalurgia, em particular a lixivia¸cão é atualmente considerada uma alternativa
no processo de extra¸cão de cobre a partir de minérios de baixo teor. Considerando os
elevados custos com reagentes e a dificuldade de processamento desse minério por flota¸cão,
a lixivia¸cão em colunas de extra¸cão mineral torna-se uma alternativa para a extra¸cão de
cobre a partir de minérios de baixo teor, sua principal vantagem é o baixo custo de
capital e de opera¸cão. Porém, necessita-se que o minério seja previamente aglomerado,
essa aglomera¸cão, além de propiciar um leito suficientemente poroso potencializa a a¸cão do
fluido lixiviante através do maior tempo de contato sólido-l´ıquido na coluna de extra¸cão, e
mitiga a a¸cão das part´ıculas finas que afetam a permeabilidade da coluna. A modelagem
matemática é uma poderosa ferramenta a ser utilizada no controle de vazão da coluna
de extra¸cão mineral. Num processo de modelagem vários ramos do Cálculo Diferencial
e Integral podem e devem ser utilizados para que se atinja o objetivo desejado. Não se
deve desvalorizar a mais simples proposi¸cão, nem tão pouco supervalorizar os conteúdos
ditos intelectualmente mais elaborados. Porém, ressalta-se que a Transformada Inversa
de Laplace foi fundamental para a modelo proposto neste trabalho.
Palavras-chaves: modelagem; coluna de extra¸cão; cobre oxidado; transformada Inversa
de Laplace.

Abstract
Keywords: Sets, functions.

Agradecimentos
Mais do que a todos os outros, agrade¸co a Deus por ter me permitido chegar ao
fim desta etapa da minha vida.
Agrade¸co também aos meus pais e irmãos por terem sempre e invariavelmente me incen-
tivado a perseverar nos estudos, ainda que muitas vezes desanimado.
Expresso minha gratidão aos colegas de curso, também agrade¸co a todos os professores da
Faculdade de Engenharia de Minas e Meio Ambiente. Em especial ao professor Reginaldo
Sabóia, por sua inestimável colabora¸cão, e ao professor Kidelmar, por não desanimar
diante da inércia dos alunos.

“Lembra que o sono ´e sagrado e alimenta
de horizontes o tempo acordado de vi-
ver”.
Beto Guedes (Amor de ´Indio)

Sumário
Lista de Figuras 8
1 Introdu¸cão 9
2 Introdu¸cão aos Modelos Matemáticos 11
2.1 Conceito de Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Modelos Mecan´ısticos e Modelos Emp´ıricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Modelos Mecan´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Modelos Emp´ıricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Filtra¸cão 16
3.1 Equa¸cão da Filtra¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Escoamentos 21
4.1 Escoamento em Leito Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Escoamento em Regime Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Escoamento em Regime Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Balan¸co Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Transformadas de Laplace 29
5.0.1 Transformada de Laplace Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Metodologia e Modelo 33
6.1 Estimativa das Equa¸cões de Regressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 conclusão 43
Referências Bibliográficas 44

Lista de Figuras
3.1 V experimental em vários tempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1 Leito fixo ou coluna de recheio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Queda de pressão no escoamento através de leitos compactos . . . . . . . . 26
5.1 fun¸cão Degrau de Heaviside ou fun¸cão degrau unitário . . . . . . . . . . . 31
6.1 fun¸cão passo unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 Dom´ınio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3 Curva Transladada (Aglomerado + Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 Curva Transladada (Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.5 Curva Transladada (Aglomerado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6 Curva ajustada (Aglomerado + Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.7 Curva ajustada (Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.8 Curva ajustada (Aglomerado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9
1 Introdu¸cão
O cobre é um dos metais mais importantes industrialmente, de colora¸cão aver-
melhada, dúctil, maleável e que apresenta alta condutibilidade elétrica e térmica, ponto
de fusão a 1083 ◦
C e densidade correspondente a 8, 96g/cm3
(a 20◦
C). É utilizado, atu-
almente, para a produ¸cão de materiais condutores de eletricidade (fios e cabos), e em
ligas metálicas como latão e bronze. Entre as suas propriedades mecânicas destacam-se
sua excepcional capacidade de deforma¸cão e ductibilidade. A flexibilidade do uso e alto
´ındice de recupera¸cão ao final do seu ciclo de vida lhe conferem superioridade em rela¸cão
a materiais similares e são responsáveis pela sua larga utiliza¸cão.
A Prov´ıncia Mineral de Carajás possui um grande potencial para produzir cobre.
Diversas jazidas foram descobertas como Sossego, Alvo 118, Salobo, Alemão, Pojuca,
Serra Verde, Cristalino e Águas Claras. Alguns concentrados de cobre presentes nesses
depósitos possuem caracter´ısticas mais favoráveis a processos hidrometalúrgicos, como é
o caso do minério oxidado, presente em cerca de 60 % das jazidas existentes na Serra
dos Carajás. Atualmente, porém este cobre alterado é considerado res´ıduo da explora¸cão,
pois devido o seu baixo teor o custo de sua extra¸cão é pouco eficiente e economicamente
inviável, sendo atualmente descartado em pilhas de rejeito. A hidrometalurgia tem a
vantagem de necessitar de pequenos investimentos e ter baixo custo de opera¸cão, quando
comparada com a pirometalurgia, além de reduzir os impactos ambientais provenientes
das descargas de SO2 na atmosfera. Frente às vantagens dos processos hidrometalúrgicos
e ao desafio de pesquisar condi¸cões favoráveis para a recupera¸cão do cobre oxidado via
lixivia¸cão tendo em vista a grande utilidade deste mineral e a esgotabilidade das jazidas
de minérios, torna-se fundamental o desenvolvimento de pesquisas e tecnologias mais
competitivas, a fim de utilizar-se este cobre como matéria-prima no mercado nacional e
internacional de metais.
O objetivo central deste trabalho é propor um modelo matemático capaz de prever
a altura ótima do fluido na coluna de lixivia¸cão. Desta maneira é poss´ıvel estimar o tempo
de contato entre o agente lixiviante e o minério. Logo, é poss´ıvel controlar o tempo de
residência suficiente para saturar o meio fluido criando uma vazão de entrada e sa´ıda.

1 Introdu¸cão 10
Assim, pretende-se avan¸car nos estudo da lixivia¸cão do minério de cobre com solu¸cões
de ácido sulfúrico (H2SO4), com propósito contribuir para a otimiza¸cão do processo de
lixivia¸cão em colunas.
Com rela¸cão a organiza¸cão deste Trabalho de Conclusão de Curso TCC, optou-
se por uma distribui¸cão e organiza¸cão de conteúdos relevantes ao desenvolvimento do
trabalho na ordem a seguir. A introdu¸cão come¸ca abordando a importância do cobre
para o uso industrial, destacando o grande potencial produtivo da Prov´ıncia Mineral de
Carajás, e sua tendência futura de produ¸cão de cobre via processos hidrometalúrgicos
para o minério de cobre oxidado.
No cap´ıtulo 2 desenvolveu-se uma breve introdu¸cão aos modelos matemáticos, no
qual destaca-se os modelos emp´ıricos e os modelos mecan´ısticos. Esses dois métodos de
modelos muitas vezes fará parte da prática do modelador, de modo que ele fará progresso
com qualquer dos métodos ou com ambos. O cap´ıtulo 3 fala sucintamente da filtra¸cão,
o tema é desenvolvido até se obter uma equa¸cão para a filtra¸cão. Na parte de escoa-
mentos, no 4o
cap´ıtulo, foca-se em escoamentos em leito fixo, descrevendo escoamento
em regime laminar e em regime turbulento. O balan¸co material, tema imprescind´ıvel
para os objetivos desse trabalho é abordado no fim do cap´ıtulo. A Transformada de
Laplace é aborda na sequência, procurou-se não aprofundar em carregado formalismo e
demonstra¸cões matemáticas. Optou-se apenas pelos teoremas e defini¸cões essenciais à
apresenta¸cão da Transformada Inversa de Laplace. Na metodologia e modelo, cap´ıtulo
6, desenvolveu-se o modelo de equa¸cão proposto no in´ıcio do trabalho, sua aplica¸cão, e a
análise dos resultados. Finalmente, na sequência, a conclusão fecha o trabalho.

11
2 Introdu¸cão aos Modelos Matemáticos
Modelos matemáticos são utilizados em muitos campos da atividade humana,
como: Engenharia, Matemática, Economia, F´ısica, Qu´ımica, Biologia, Psicologia, Co-
munica¸cão, Demografia, Astronomia, etc. São largamente utilizados na representa¸cão de
sistemas dinâmicos e estáticos.
Um sistema é uma combina¸cão de componentes que atuam em conjunto para satis-
fazer um objetivo especificado. O sistema é dito estático, quando a sa´ıda atual do sistema
depende somente da entrada atual. A sa´ıda do sistema só varia se a sua entrada variar.
O sistema é dito dinâmico, se a sua sa´ıda depende da entrada e dos valores passados
da entrada. Num sistema dinâmico a sa´ıda varia se ela não estiver num ponto de equil´ıbrio,
mesmo que nenhuma entrada esteja sendo aplicada.
O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como sendo o conjunto
de equa¸cões que representam a dinâmica do sistema com certa precisão. O modelo ma-
temático de um dado sistema não é único, isto é, um sistema pode ser representado por
diferentes modelos dependendo da análise que se deseja fazer.
Na obten¸cão do modelo matemático para um dado sistema deve-se ter um com-
promisso entre a simplicidade do modelo e a sua precisão. Nenhum modelo matemático,
por mais preciso que seja, consegue representar completamente um sistema [9].
Em geral deve-se obter um modelo matemático, que seja adequado para solucionar
o problema espec´ıfico que esta em análise. Porém, é importante ressaltar que os resulta-
dos obtidos desta análise serão válidos somente para os casos em que o modelo é válido.
Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos al-
gumas propriedades f´ısicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam
na resposta do sistema são pequenos, então uma boa semelhan¸ca entre os resultados da
análise matemática e os resultados práticos do sistema é obtida [9].
Em geral os sistemas dinâmicos são não lineares. Porém, os procedimentos ma-
temáticos para a obten¸cão de solu¸cão de modelos lineares são muito complicados. Por

2.1 Conceito de Modelo Matemático 12
isto, geralmente substitu´ı-se o modelo não linear por um modelo linear, com validade
somente em uma região limitada de opera¸cão, ou para um ponto de opera¸cão.
Muitos problemas práticos necessitam usar modelos matemáticos e às vezes, as
situa¸cões são muito diferentes, mas a abordagem e a filosofia subjacentes são as mesmas.
Como se vê em [2], existe uma forma matemática unificada para tratar muitas
teorias cient´ıficas e matemáticas e tais técnicas podem ser descritas como uma dinâmica
geral, que tem sido desenvolvida em áreas conhecidas como Teoria de Sistemas e Teoria
de Controle, como é o caso do Calculo Diferencial e Equa¸cões Diferenciais.
2.1 Conceito de Modelo Matemático
Conceitualmente, um modelo matemático ou simplesmente modelo, pode ser apre-
sentado como uma representa¸cão de um sistema real, o que significa que um modelo deve
representar um sistema e a forma como ocorrem às modifica¸cões no mesmo.
O objetivo mais importante de um modelo é que ele permite o entender do próprio
modelo de uma forma simples ou então descrever este modelo mais completamente, de
modo que o modelo possa ser tão preciso quanto o mundo real.
Um modelo e normalmente uma simplifica¸cão do mundo real ou alguma forma
conveniente de trabalhar com este mundo, mas as caracter´ısticas essenciais do mundo real
devem aparecer no modelo, de modo que o seu comportamento seja igual ou semelhante
àquele do sistema modelado.
Um modelo matemático consiste de um conjunto de equa¸cões que representam de
uma forma quantitativa, as hipóteses que foram usadas na constru¸cão do modelo, as quais
se apoiam sobre o sistema real. Tais equa¸cões são resolvidas em fun¸cão de alguns valores
conhecidos ou previstos pelo modelo real e podem ser testadas através da compara¸cão
com os dados conhecidos ou previstos com as medidas realizadas no mundo real.
As equa¸cões matemáticas de um modelo não proporcionam a própria explica¸cão
cient´ıfica do modelo, mas simplesmente interpretam as hipóteses de um ponto de vista
quantitativo, dando-nos a condi¸cão de deduzir consequências e mostrar-nos onde estão os
detalhes que deverão ser aceitos ou recusados [4].

2.2 Modelos Mecan´ısticos e Modelos Emp´ıricos 13
2.2 Modelos Mecan´ısticos e Modelos Emp´ıricos
Existem pelo menos duas abordagens diferentes para o uso de modelos em pes-
quisa, sendo que cada uma delas e escolhida em fun¸cão do que se espera que o modelo
seja: mecan´ıstico ou emp´ırico. É importante ressaltar que deveremos estar advertido so-
bre os objetivos do modelo, de modo que estes sejam real´ısticos e isto poderá salvar-nos de
comprometer-se com modelagem quando o modelo não estiver apropriado, ou quando es-
tiver construindo uma classe errada de modelos [9]. Os dois tipos de modelos: mecan´ıstico
ou emp´ırico serão considerados na sequência.
2.2.1 Modelos Mecan´ısticos
Se desejarmos entender a resposta de um sistema cient´ıfico em termos de um meca-
nismo, um modelo mecan´ıstico devera ser usado. Este tipo de modelo pode ser constru´ıdo
pela visão da estrutura do sistema, dividindo-se o sistema em várias componentes e ten-
tando entender o comportamento de todo o sistema através de cada parte e através das
intera¸cões que ocorrem com as partes.
Ao tentar construir um modelo mecan´ıstico, e necessário construir algumas hipóteses
sobre quais devem ser as componentes (também conhecidas como variáveis) que são im-
portantes no sistema, quais delas devem ser ignoradas e como elas devem se comportar.
Estas hipóteses são à base deste tipo de modelo.
A seguir, o modelo deve ser descrito matematicamente e as hipóteses deverão
aparecer nas equa¸cões.
Os dois passos mais importantes na constru¸cão desses modelos, são: constru¸cão das
hipóteses e descri¸cão matemática. Estes devem assumir que determinadas componentes
devem obedecer a determinadas equa¸cões. Estas duas etapas no processo de modelagem
mecan´ıstica, fornecem o conteúdo real do modelo.
Finalmente, as equa¸cões devem ser resolvidas e as solu¸cões, que poderão ser fun¸cões
ou números, serão as previsões dos dados através do modelo.
Os próximos passos analisam a solu¸cão, comparando-a com os valores previstos
com os dados experimentais. Nesta fase gastamos muito tempo e cometemos erros.

Quando um modelo é testado pela compara¸cão de suas previsões com os dados
experimentais, na verdade, testamos também as hipóteses do modelo, considerando que
os trabalhos algébricos e numéricos tenham sido executados sem erros.
2.2.2 Modelos Emp´ıricos
É poss´ıvel e às vezes valioso tentar obter e entender a resposta de um sistema sem
passar pelos estágios de estruturar um sistema, fazendo hipóteses sobre as componentes
do sistema e então tentando trabalhar sem usar as consequências matemáticas daquelas
hipóteses.
Em s´ıntese, o método emp´ırico consiste em ver os dados experimentais, possivel-
mente fazendo alguma analise dos dados e tentando fazer alguma suposi¸cão inteligente
(quase sempre muito simples) na forma de conjunto de equa¸cões ou mesmo através de
explica¸cões intuitivas, que poderão ser usadas como um modelo matemático e com os
dados de uma forma conveniente.
Embora este método pare¸ca pobre e arbitrário, em alguns casos ele e desejável,
quando não e o único a ser usado para atacar o problema.
Se uma resposta excelente for obtida com dados experimentais através da aborda-
gem emp´ırica, então ela pode ser supervalorizada para um mecanismo que pode levantar
aquele tipo de resposta desejada, e isto tem sido realizado de uma forma normal pelos
cientistas, ao fazer dedu¸cões sobre mecanismos de dados experimentais [9].
O modelador mecan´ıstico construirá seus modelos antes de fazer os experimentos,
pensando sobre os poss´ıveis mecanismos e dedu¸cões das suas consequências por meio do
modelo, o experimento testara as suas hipóteses e possivelmente definirá um mecanismo
ao invés de outro.
No entanto, pensando sobre o mecanismo constru´ıdo na mente do modelador, ele e
guiado pela existência de dados e o conhecimento para este mecanismo, pode ser aplicado
para a sua própria combina¸cão do uso emp´ırico e da sua intui¸cão.
Por outro lado, o modelador emp´ırico pode fazer pressupor a existência de um
mecanismo após fazer o experimento e ver os dados, assim, ela come¸ca uma investiga¸cão
como um emp´ırico e a termina como um mecanicista.

Na prática, o modelador fica se movendo como um pêndulo entre os dois métodos
de modelos: mecan´ıstico e emp´ırico, de modo que ele devera fazer progresso com qualquer
um dos dois métodos e possivelmente com os dois, de modo a obter resultado desejado.

16
3 Filtra¸cão
A filtra¸cão é uma das aplica¸cões mais comuns do escoamento de fluidos através
de leitos compactos. A opera¸cão industrial é análoga às filtra¸cões realizadas em um
laboratório, que utilizam papel de filtro e funil. É uma opera¸cão que pode ser denominada
como a separa¸cão de part´ıculas sólidas presente em um fluido atravessando um meio
filtrante onde os sólidos se depositam. O fluido (um l´ıquido ou um gás ) circula através
do meio filtrante em virtude de uma diferen¸ca de pressão no meio.
O processo unitário filtra¸cão consiste na separa¸cão de uma fase sólida de uma fase
liquida. Basicamente, uma opera¸cão de separa¸cão de sólidos presentes em uma polpa na
qual a fase l´ıquida chamado filtrado, é compelida a passar através de um meio poroso,
este denominado meio filtrante, ao passo que a fase sólida, nomeada torta de filtra¸cão,
firma uma camada sobre a superf´ıcie do meio poroso. O objetivo da opera¸cão é separar
mecanicamente as part´ıculas sólidas de uma suspensão l´ıquida com o aux´ılio de um leito
poroso.
Quando se for¸ca a suspensão através do leito, o sólido da suspensão fica retido
sobre o meio filtrante, formando um depósito que se denomina torta e cuja espessura vai
aumentando no decorrer da opera¸cão. O l´ıquido que passa através do leito é chamado de
filtrado.
Em filtra¸cões industriais o conteúdo de sólidos pode variar de tra¸cos a uma per-
centagem elevada. O fluido circula através do meio filtrante em virtude de uma diferen¸ca
de pressão no meio. Este aspecto classifica os filtros como aqueles que operam com alta
pressão sobre o meio, os que operam em pressão atmosférica e os que operam a baixas
pressões (vácuo). Pressões acima da atmosférica podem ser conseguidas por a¸cão da for¸ca
da gravidade atuando sobre uma coluna de l´ıquido, por meio de bombas e compressores,
bem como pela a¸cão da for¸ca centr´ıfuga.

3.1 Equa¸cão da Filtra¸cão 17
3.1 Equa¸cão da Filtra¸cão
Na filtra¸cão, a resistência do meio ao fluxo do fluido aumenta com o passar do
tempo à medida que o meio filtrante vai sendo obstru´ıdo ou quando se forma uma torta.
As principais magnitudes de interesse são a velocidade do fluxo através do filtro e a
queda de pressão na unidade. À medida que o processo ocorre, diminui a velocidade
do fluxo ou aumenta a queda de pressão. Na chamada filtra¸cão a pressão constante,
a queda de pressão permanece constante e a velocidade do fluxo vai diminuindo com o
tempo. Menos frequente é o aumento progressivo da pressão para obter uma filtra¸cão à
velocidade constante.
A partir desses fatores fundamentais obtém-se uma expressão envolvendo constan-
tes que podem ser determinadas experimentalmente. As equa¸cões de projeto são desenvol-
vidas a partir de ensaios em escala reduzida. A velocidade de opera¸cão é dada pela rela¸cão:
V =
FP
R
(3.1)
com:
V = Velocidade
FP = For¸ca propulssora;
R =Resistência.
A for¸ca propulsora (FP ) é a soma da queda de pressão na torta e no meio fil-
trante. As resistências (R), podem ser consideradas em série e desta forma teremos uma
resistência da torta e uma do meio filtrante. A resistência da torta varia com o tempo
devido ao aumento de sua espessura e a resistência do sistema (meio filtrante + canais do
filtro) permanece constante ao longo do processo. Para o equacionamento da equa¸cão de
filtra¸cão será considerado o processo de filtra¸cão com forma¸cão de torta incompress´ıvel.
Para o Cálculo de ∆P1 (resistência da torta), iremos admitir fluxo unidimensional
e velocidade constante.
dv
dx
= 0 (3.2)
Considerando a Lei de Darcy para o escoamento de um fluido em um meio poroso

e baseando-se principalmente na queda de pressão do sistema, temos:
dP1
dx
=
µ
k
ν (3.3)
Onde dP1 é a queda de pressão através da torta e k é a permeabilidade da torta.
Nestas condi¸cões a massa de sólidos (dm) na camada da torta é:
dm = (1 − )Adxρs (3.4)
Onde:
ρs = massa especifica dos sólidos;
A = área;
= porosidade do meio poroso.
Rearranjando,
dx =
dm
(1 − )Aρs
(3.5)
Substituindo 3.5 em 3.3 temos,
dP1 =
1
kρs(1 − )
·
µν
A
dm (3.6)
Consideremos α, a resistividade espec´ıfica da torta (m/kg), se:
α =
1
kρs(1 − )
(3.7)
Então:
dP1 = α
µν
A
dm (3.8)
Integrando:
∆P1 = α
µν
A
m (3.9)
Analogamente, para ∆P2, (resistência do sistema) temos:
dP2
dx
=
µ
k
ν (3.10)
Onde dP2 é a queda de pressão através do filtro
Integrando 3.10:
∆P2 =
µν
k
Lm (3.11)

onde Lm, espessura do meio filtrante é constante. Como,
Rm =
Lm
k
(3.12)
com Rm = resistência do meio filtrante.
Logo,
∆P2 = µνRm (3.13)
A queda total de pressão (∆P) é expressa pela equa¸cão abaixo:
∆P = ∆P1 + ∆P2 (3.14)
Substituindo as equa¸cões 3.9 e 3.13 em 3.14 temos:
∆P = µν
αm
A
+ Rm (3.15)
Seja, cs = concentra¸cão da suspensão, então:
cs =
m
ν
=
massa de sólidos na suspens~ao
volume de filtrado
(3.16)
v =
1
A
·
dV
dt
(3.17)
Substituindo 3.16 e 3.17 em 3.15,
∆P =
αcsV
A
+ Rm µ
1
A
·
dV
dt
(3.18)
Rearranjando,obtemos a equa¸cão fundamental da filtra¸cão.
dV
dt
=
µ
A∆P
αcsV
A
+ Rm (3.19)
Considerando a filtra¸cão com pressão constante podemos, separar os termos e
introduzir as constantes Kp e B desta forma:
dV
dt
=
µcsα
A2∆P
V +
µRm
A∆P
= KpV + B (3.20)
Onde as unidades no SI para Kp são s/m6
e para B s/m3
.
Kp =
µcsα
A2∆P
(3.21)

B =
µRm
A∆P
(3.22)
Para filtra¸cão a pressão constante, α é constante (torta incompress´ıvel) e V e t são
as únicas variáveis da equa¸cão 3.20
Separando as variáveis em 3.20 e integrando:
t
0
dt =
V
0
(KpV + B) dV (3.23)
t =
Kp
2
ν2
+ BV (3.24)
Dividindo a equa¸cão 3.24 por V temos:
t
V
=
Kp
2
ν + B (3.25)
Para determinar os valores de α e Rm utilizamos a equa¸cão 3.24. Com os dados
experimentais de V em vários tempos t, plota-se ∆t
∆V
∼= dt
dV
versus V = V1+V2
2
e ajusta-se
a melhor reta tal que Kp = tg(θ)
Figura 3.1: V experimental em vários tempos
Fonte: Elaborada pelo autor

21
4 Escoamentos
Baseados em diferentes critérios os escoamentos de fluidos podem ser classificados
em vários tipos. Pode-se ter, por exemplo, escoamentos estacionários ou permanentes que
são aqueles cujas grandezas como velocidade e pressão não variam com o tempo. Caso
contrário, eles são ditos transientes ou não permanentes. Uma outra classifica¸cão foi pro-
posta nos meados do século XIX, por Reynolds [5]. Ele verificou experimentalmente a
existência de dois tipos de escoamentos, o laminar e o turbulento. Escoamento laminar
é idealizado como aquele no qual camadas muito finas, ou lâminas, de fluido parecem
escorregar umas sobre as outras havendo somente troca de quantidade de movimento
molecular. Já o escoamento turbulento é aquele no qual as part´ıculas de fluido individu-
ais apresentam um movimento desordenado, isto é, a velocidade apresenta componentes
transversais ao movimento geral do conjunto ao fluido. Neste ponto deve-se salientar que
laminar ou turbulento não são caracter´ısticas do fluido, mas um estado em que ele se
encontra devido às condi¸cões do escoamento.
A natureza de um escoamento, isto é, se laminar ou turbulento e sua posi¸cão
relativa numa escala de turbulência é indicada pelo número de Reynolds (Re). O número
de Reynolds, parâmetro adimensional, é a rela¸cão entre as for¸cas inerciais (Fi) (devido à
velocidade) e as for¸cas viscosas (Fµ), podendo ser escrita como:
Re =
Fi
Fµ
=
ρLV
µ
(4.1)
onde ρ é a densidade e µ a viscosidade do fluido. L e V são comprimentos e velocidades
caracter´ısticas do escoamento, e dependem do problema em estudo. Para dutos circulares
de diâmetro D, temos:
Re =
ρLD
µ
(4.2)
A magnitude do número de Reynolds indica a importância para o escoamento das
for¸cas inerciais (Re > 10) e das for¸cas viscosas (Re < 1). Quando Re 1, as for¸cas
viscosas são importantes somente nas regiões adjacentes às superf´ıcies sólidas, devido à
presen¸ca da camada limite ( fina região ao redor da superf´ıcie de corpos em movimento
imersos em fluido na qual o gradiente de velocidade ∂ν
∂t
normal a superf´ıcie do corpo é

4.1 Escoamento em Leito Fixo 22
significativo). De acordo com [1], não é poss´ıvel definir precisamente as faixas de números
de Reynolds que indicam se o escoamento é laminar, de transi¸cão ou turbulento. Nos
projetos de engenharia os seguimtes valores são apropriados: o escoamento num tubo é
laminar se o número de Reynolds é menor que aproximadamente 2100; o escoamento é
turbulento se o número de Reynolds é maior que 4000. Para números de Reynolds entre
estes dois limites, o escoamento pode apresentar alternadamente e de um modo aleatório,
caracter´ısticas laminares e turbulentas (escoamento de transi¸cão).
A forma do perfil de velocidade do escoamento num tubo depende se este é laminar
ou turbulento e também do comprimento da região de entrada le. O adimensional compri-
mento de entrada, le/D, também correlaciona-se muito bem com o número de Reynolds.
Os valores t´ıpicos dos comprimentos de entrada são dados por:
Le
D
= 0.06Re (para escoamento laminar) (4.3)
Le
D
= 4.4(Re)1/6
(para escoamento turbulento) (4.4)
4.1 Escoamento em Leito Fixo
O desenvolvimento de uma descri¸cão anal´ıtica para o escoamento de um fluido é
baseado nas leis f´ısicas relacionadas com o escoamento, expressas em forma matemática
adequada. As equa¸cões que descrevem o escoamento em um meio poroso ou em leito fixo
serão descritas a seguir.
O primeiro trabalho experimental de escoamento em meios porosos foi feito por
Darcy, em 1830, no qual constatou que para escoamentos laminares a taxa de fluxo é
proporcional a queda de pressão (∆P) e inversamente proporcional a viscosidade (µ) e ao
comprimento (∆L).
ν =
q
A
=
k
µ
·
∆p
∆L
(4.5)
onde ν é a velocidade superficial, µ a viscosidade do fluido e k a permeabilidade do
material. A equa¸cão ajusta-se a baixas vazões, entretanto a complexidade do escoamento
através de sólidos particulados e a diversidade de situa¸cões práticas permitiu o uso de
rela¸cões previamente deduzidas para avaliar perdas por atrito em tubula¸cões.

4.2 Escoamento em Regime Laminar 23
Figura 4.1: Leito fixo ou coluna de recheio
Fonte: UFSC - Depto. de Enga
. Qu´ımica - Adaptada
4.2 Escoamento em Regime Laminar
Para determinar as caracter´ısticas do escoamento em leitos empacotados usaremos
algumas rela¸cões geométricas relativas as part´ıculas que o compõe. A porosidade (ε) em
um leito empacotado e definida de acordo com a rela¸cão:
ε = volume de vazios no leito /volume total do leito
A superf´ıcie especifica da part´ıcula (aν) em m−1
e definida como:
aν =
Sp
Vp
(4.6)
onde Sp é a área de superf´ıcie da part´ıcula em m2
e Vp o volume da part´ıcula em m3
.
Para part´ıculas esféricas temos que:
aν =
6
Dp
(4.7)
Considerando o diâmetro efetivo (Dp = 6/av) para leitos empacotados com part´ıculas
não esféricas e que a fra¸cão de volume das part´ıculas no leito é igual a (1 − ε) temos:
a = aν · (1 − ε)
6
Dp
· (1 − ε) (4.8)
onde a é a razão entre a superf´ıcie total do leito e o volume total do leito. A veloci-
dade intersticial média (ν) em m/s está relacionada com a velocidade superficial ν que
considera a seçcão transversal do leito sem o material de empacotamento.
ν = ε · ν (4.9)

4.2 Escoamento em Regime Laminar 24
O raio hidráulico rH pode ser definido como a razão entre a área da se¸cão trans-
versal dispon´ıvel para o escoamento e o per´ımetro molhado.
rH = volume de vazios / volume do leito
ssuperf´ıcie molhada / volume do leito
rH = volume de vazios dispon´ıvel para o escoamento
superf´ıcie total molhada dos sólidos
rH =
ε
a
(4.10)
Combinando as equa¸cões 4.8 e 4.10:
rH =
ε
6 (1 − ε)
Dp (4.11)
Uma vez que o diâmetro equivalente (D) é igual a 4 × rH, o número de Reynolds
para um leito empacotado, utilizando as equa¸cões 4.9 e 4.11, pode ser escrito como:
NRe =
(4rH) νρ
µ
=
4ε
6 (1 − ε)
Dp ·
ν · ρ
ε · µ
=
4
6 (1 − ε)
·
Dpν ρ
µ
(4.12)
Para leitos empacotados Ergun, em [7] definiu o NRe de acordo com a equa¸cão
acima sem a fra¸cão 4/6; logo.
NRe,p =
Dpν ρ
µ (1 − ε)
(4.13)
Para escoamento laminar podemos combinar a equa¸cão de Hagen- Poiseuille1
que
relaciona a queda de pressão com a velocidade média em tubos horizontais com as equa¸cões
4.11 e 4.9, desta forma:
∆P =
32µν∆L
D2
=
32µ ν /ε ∆L
(4rH)2 =
72µν ∆L (1 − ε)2
ε3D2
p
(4.14)
O valor correto de ∆L é maior devido ao percurso tortuoso, e o uso de raio
hidráulico prediz valores de ν maiores. Em [6] e [7], experimentos indicam uma cons-
tante cujo valor deve ser igual a 150, resultando na equa¸cão de Blake-Kozeny para fluxo
laminar, onde a porosidade < 0, 5 e NRe,p, < 10; logo;
∆P =
150µ · ν ∆L
D2
p
·
(1 − ε)2
ε3
(4.15)
1
A equa¸cão Q = πD4
∆P/128µL foi derivada experimentalmente e independentemente pelo engenheiro
hidráulico alemão Heinrich Ludwig Hagen (1839) e pelo médico francês Jean Louis Marie Poiseuille (1838).

4.3 Escoamento em Regime Turbulento 25
Com:
∆P =queda de pressão no leito;
∆L =comprimento do leito;
ε = porosidade ou fra¸cão de vazios;
µ = viscosidade do fluido;
ν = velocidade superficial do fluido;
Dp = diâmetro efetivo da part´ıcula.
4.3 Escoamento em Regime Turbulento
Para escoamento turbulento às perdas por energia cinética podem ser calculadas a
partir da equa¸cão deduzida para determinar a queda de pressão em tubos.
∆Pf = 4fρ
∆Lν2
2D
(4.16)
substitu´ıdo as rela¸cões para a velocidade superficial e o raio hidráulico temos:
∆P = 1, 75
3f · ρ(ν )2
· ∆L · (1 − ε)
Dp · ε3
(4.17)
Considerando o escoamento turbulento o fator de friçcão alcan¸ca um valor cons-
tante. Dados experimentais indicam que 3f = 1, 75. Desta forma a equa¸cão para escoa-
mento turbulento NRe > 1000, denominada equa¸cão de Burke-Plummer, pode ser escrita
da seguinte forma.
∆P = 1, 75
ρ(ν )2
· ∆L · (1 − ε)
Dp · ε3
(4.18)
A equa¸cão semi-emp´ırica de Ergun, válida para os regimes Laminar e Turbulento
e:
∆P
∆L
= 150
µν · (1 − ε)2
D2
p · ε
+ 1, 75
ρ(ν )2
· (1 − ε)
Dp · ε3
(4.19)
O primeiro termo da equa¸cão de Ergun é predominante para o regime laminar,
enquanto que o segundo tem maior importância para valores mais elevados de Reynolds,
devido ao termo quadrático de velocidade superficial.

4.3 Escoamento em Regime Turbulento 26
De maneira geral, pode-se descrever o comportamento de um Leito Fixo ajustando-
se a forma da equa¸cão abaixo aos dados experimentais.
∆P
∆L
= α1ν + α2(ν )n
(4.20)
Figura 4.2: Queda de pressão no escoamento através de leitos compactos
Fonte: Foust, A. S. - Princ´ıpio de Opera¸cões Unitárias, pg.565
A figura 4.2 mostra a curva interpolatriz que se obtém plotando-se os dados expe-
rimentais provenientes de várias fontes com a coordenada [(−∆P)gcDp/LρVsm2 ][ε3
(1−ε)]
em fun¸cão do número de NRe/(1 − ε), ref. [5].
Existem três variáveis muito utilizadas em rela¸cão ao escoamento de um fluido que
por conveniência iremos definir agora. A primeira é a vazão, que representa o volume de
fluido que atravessa uma se¸cão reta por unidade de tempo.
Q =
dV
dt
= Aν (4.21)
onde ν é a velocidade, em m/s, e A é a área, em m2
. A segunda é a vazão mássica, ou
descarga, que é a quantidade de massa de fluido que cruza uma se¸cão reta por unidade
de tempo.
Qm =
dm
dt
= ρνA (4.22)
onde ρ é a massa espec´ıfica, em kg/m3
. E por último, o fluxo que representa a quantidade
de uma grandeza f´ısica que cruza uma dada área por unidade de tempo.

4.4 Balan¸co Material 27
4.4 Balan¸co Material
Na sua forma mais simples, o balan¸co de massa ou balan¸co material nada mais é
que a contagem das unidades de massa envolvidas. A lei da conserva¸cão da massa afirma
que a massa total de todas as substâncias que tomam parte num processo se mantém
constante. Embora existam exce¸cões a essa lei em rea¸cões e processos nucleares, a lei é
válida para os objetivos da engenharia [5]. Verbalmente escrevemos:
Entrada de massa − sa´ıda de massa = acumula¸c~ao de massa (4.23)
Desta equa¸cão uma outra pode ser implementada através de um balan¸co diferencial,
que é aplicável em um determinado instante do Processo. Supondo o componente A
(acumula¸cão de massa) envolvido em um processo e considerando qe, (kg/s) e qs (kg/s) as
taxas de entrada e sa´ıda do componente através dos limites do sistema, podemos assumir
que as variáveis qe, e qs, podem variar com o tempo.
Podemos então escrever o balan¸co para um per´ıodo de tempo variando de t até
t + ∆t, supondo uma pequena varia¸cão de ∆t onde as quantidades de qe, e qs, podem ser
consideradas constantes. Desta forma os termos do balan¸co podem ser calculados:
entra = qe(kg/s) · ∆t(s) (4.24)
sai = qs(kg/s) · ∆t(s) (4.25)
Podemos supor também que a massa de A no sistema muda em uma quantidade
∆m (kg), desta forma a equa¸cão de balan¸co pode ser escrita como:
∆m = (qe − qs)∆t (4.26)
Dividindo a equa¸cão por ∆t e aproximando-o de zero, temos que a razão ∆m/∆t
se torna a derivada de m com rela¸cão a t (dm/dt) logo, a equa¸cão pode ser escrita como:
dm
dt
= qe − qs (4.27)
Nesta equa¸cão geral de balan¸co m é a parcela da quantidade balanceada no sistema
e os dois termos a direita na equa¸cão são taxas que podem variar com o tempo. Quando
a densidade for constante o termo de acumula¸cão pode escrito da seguinte forma:
A(Acúmulo) =
dm
dt
=
d(ρV )
dt
= ρ
dV
dt
(4.28)

4.4 Balan¸co Material 28
A equa¸cão aplicada a um sistema cont´ınuo em estado estacionário determina que
m seja constante indicando que a derivada é igual a zero, logo:
E − S = Ac (4.29)
Entretanto, se qualquer termo varia com o tempo, a derivada ao lado esquerdo
da equa¸cão permanece como parte da equa¸cão. Logo a equa¸cão de balan¸co para um
sistema em estado não estacionário a um determinado instante de tempo será uma equa¸cão
diferencial.

29
5 Transformadas de Laplace
A transformada de Laplace é um método de resolu¸cão de equa¸cões diferenciais e dos
correspondes problemas de valor inicial e de contorno. Ela é importante para o controle
automático porque os modelos matemáticos dos sistemas f´ısicos que se deseja controlar
são, em geral, descritos por equa¸cões diferenciais. A aplica¸cão da transformada de Laplace
permite prever o que deve acontecer no futuro de um sistema, o que é fundamental para
o controle deste sistema. Em outras palavras, pode prever qual será a resposta de um
sistema a uma entrada conhecida. Nas situa¸cões de Engenharia é essencial a análise
desses sistemas e a determina¸cão de seu comportamento em resposta a certas excita¸cões
iniciais (condi¸cões iniciais). Dessa forma é poss´ıvel visualizar e descrever o comportamento
dinâmico de sistemas em termos de sinais e suas interrela¸cões com as opera¸cões executadas
no sistema.
Em alguns casos, o modelo matemático, constitu´ıdo de equa¸cões diferenciais, de um
sistema dinâmico, pode ser transformado num modelo de equa¸cões algébricas, por meio
de transformadas funcionais Essas transformadas funcionais são definidas por fun¸cões
convenientemente definidas.
Quando o modelo matemático de um fenômeno é constitu´ıdo de equa¸cões diferen-
ciais onde o tempo é uma variável independente, existe uma transformada funcional que
transforma o modelo em equa¸cões diferenciais num modelo em equa¸cões algébricas. Essa
transformada funcional é chamada de Transformada de Laplace.
Defini¸cão 5.0.1 (A transformada de Laplace). Dada uma fun¸cão f(t) definida para todo
t ≥ 0, a transformada de Laplace de f é a fun¸cão F de s definida como segue:
L {(f)} = F(s) =
∞
0
e−st
f(t)dt (5.1)
para todos os valores de s para os quais a integral imprópria converge.
Assim a transformada de Laplace transforma uma fun¸cão f de variável indepen-
dente t, numa outra fun¸cão, que denotaremos F, de variável independente s. É comum
incluir o zero no intervalo de integra¸cão, isto é, quando o limite à direita e à esquerda de

zero são diferentes, usa-se o valor à esquerda para incluir os fatos que ocorrem quando
t = 0.
Teorema 5.0.1 (Linearidade da Transforma¸cão de Laplace). 1
Se a e b são constantes,
então
L {af(t) + bg(t)} = aL {f(t)} + bL {g(t)} (5.2)
para todo s tal que as transformadas de Laplace das fun¸cões f e g ambas existem.
O teorema 5.0.1 é particularmente importante na justificativa do uso da transfor-
mada de Laplace no processo de modelagem desenvolvido no próximo cap´ıtulo.
Se f é cont´ınua por partes para t ≥ 0, segue-se que a
b
0
e−st
f(t)dt existe para todo
b < ∞. Mas para que F(s) - o limite desta útima integral quando b → ∞ possa existir,
precisamos de alguma condi¸cão sobre a taxa de crescimento de f(t) quando t → ∞.
A fun¸cão f é tida como ordem exponencial quando t → ∞ se existem constantes não-
negativas M, c e T tais que
|f(t)| ≤ Mect
parat ≥ T (5.3)
Teorema 5.0.2 (Existência da Transformada de Laplace). 2
Se a fun¸cão f é cont´ınua
por partes para t ≥ 0 e é de ordem exponencial quanto t → ∞, então sua transformada de
Laplace F(s) = L {f(t)} existe. Mais precisamente, se f é cont´ınua por partes e satisfaz
a condi¸cão 5.3, então F(s) existe para todo s > c.
Teorema 5.0.3 (Unicidade da Transformada Inversa de Laplace). 3
Suponha que as
fun¸cões f(t) e g(t) satisfazem as hipóteses do teorema 5.0.2, de modo que suas transfor-
madas de Laplace F(s) = G(s) para todo s > c (para algum c), então f(s) = g(s) onde
quer que f e g sejam ambas cont´ınuas.
Deste modo, duas fun¸cões cont´ınuas por partes, de ordem exponencial, com a
mesma transformada de Laplace, podem diferir apenas nos seus pontos de descontinuida-
des isolados. Isto não é importante na maioria das aplica¸cões práticas. Logo, podemos
considerar as transformadas inversas de Laplace como sendo essencialmente únicas.
1
A prova do teorema 5.0.1 encontra-se demonstrada na ref. [3], pg. 242.
2
A prova do teorema 5.0.2 é demonstrada na ref. [3], pg. 246.
3
O teorema 5.0.3 é provado no Cap. 6 de Matemática Operacional de Churchill, 3a
ed. (New York:
McGral-Hill, 1972), apud [3]

Defini¸cão 5.0.2 (Fun¸cão degrau unitário). A fun¸cão degrau unitário é definida por:
u(t) =



1 se t ≥ 0
0 se t < 0
Esta fun¸cão apresenta uma descontinuidade em t = 0, uma vez que o valor de u(t)
se modifica instantaneamente de 0 para 1 quando t=0. É interessante observar que se
pode criar outras fun¸cões baseando-se na fun¸cão degrau unitário.
Figura 5.1: fun¸cão Degrau de Heaviside ou fun¸cão degrau unitário
Fonte: Laus, L. P.
5.0.1 Transformada de Laplace Inversa
De acordo com o teorema 5.0.3 duas fun¸cões diferentes que sejam ambas cont´ınuas
para todo t ≥ 0 não podem ter a mesma transformada de Laplace. Assim, se F(s) é a
transformada de alguma fun¸cão cont´ınua f(t), então f(t) é univocamente determinada.
Esta observa¸cão nos permite fazer a seguinte defini¸cão:
Se F(s) = L {f(t)}, então chamamos f(t) a transformada de Laplace inversa de
F(s) e escrevemos:
f(t) = F(s) = L −1
{F(s)} (5.4)
Se for poss´ıvel, obter em uma tabela de Transformadas de Laplace, uma fun¸cão
de t que, uma vez transformada para s, seja igual à fun¸cão a qual se deseja a transfor-
mada inversa, o trabalho é imediato. Evidentemente, o teorema 5.0.1, da linearidade da
Transformada de Laplace ajuda muito; através de um pequeno trabalho algébrico é fácil
de converter a fun¸cão desejada para a forma que ela se apresenta na tabela. A maioria
das fun¸cões do tempo t, quando transformadas para frequência complexa de s através

da aplica¸cão da transformada de Laplace, se apresenta na forma de uma fra¸cão de po-
linômios (uma fun¸cão racional). Além disso, a maioria dos sistemas são descritos por
equa¸cões diferenciais, que quando transformadas para s se tornam polinômios ou quoci-
entes de polinômios. Por isso, nos casos que mais há interesse prático, pode-se escrever
uma fun¸cão de s como:
F(s) =
G(s)
H(s)
(5.5)
onde G(s) e H(s) são ambos polinômios de s. Para calcular transformada inversa com o
uso de tabelas é necessário dividir (ou particionar) F(s) em uma representa¸cão de tal forma
que cada termo possua sua inversa já tabelada. A tabela 5.1 ilustra as transformadas
inversas de Laplace úteis neste trabalho.
Tabela 5.1: Transformadas inversas de Laplace
L {F(s)} fun¸cão no dom´ınio do tempo
1 δ(t) impulso unitário
1
s
u(t) degrau unitário
1
s(s+a)
1
a
(1 − e−at
)
Fonte: Edwards, C. H. Jr. - Adaptada

33
6 Metodologia e Modelo
Inicialmente, considerou-se o balan¸co material aplicado a um processo cont´ınuo em
regime estacionário nos termos da equa¸cão 4.29
E − S = Ac
Supondo na alimenta¸cão uma vazão de entrada qe(L/s) e densidade de corrente
ρe(g/L) temos:
1. Entra (g/s) = qe(L/s) · ρe(g/L)
2. Sai (g/s) = qs(L/s) · ρs(g/L)
3. Acúmulo (g/s) = dm/dt = d(ρsV )/dt
Da´ı:
d (ρsV )
dt
= (qe) (ρe) − (qs) (qs) (6.1)
Resolvendo:
V
dρs
dt
+ ρs
dV
dt
= ρeqe − ρsqs (6.2)
Considerou-se não haver varia¸cão substancial na densidade antes e após o processo,
dρ/dt = 0. Portanto a equa¸cão fica:
ρs
dV
dt
= ρeqe − ρsqs (6.3)
Com a considera¸cão que ρe = ρs ⇒ dV
dt
= qe − qs
Ou seja: qe − qs = ∂V
∂t
, equivalentemente:
qe − qs =
εA∂H (t)
∂t
(6.4)
Considerando as condi¸cões do escoamento em colunas empacotadas, é razoável
considerar uma resistência para qs. Tal resistência R é diretamente proporcional à altura

H, logo:
qs
∼=
H(t)
R
⇒ qs = φ
H(t)
R
(6.5)
Substituindo 6.5 em 6.4, temos:
qe − φ
H (t)
R
=
εA∂H (t)
∂t
(6.6)
Aplicando a defini¸cão da Transformada de Laplace no segundo membro da equa¸cão
6.6, e em seguida fazendo o produto de ambos os membros da equa¸cão por R
φ
, obtemos:
R
φ
qe − H (t) =
εAR
φ
H (t) s (6.7)
equivalente a:
R
φ
qe =
εAR
φ
s + 1 H (t) (6.8)
resolvendo para H(t), com qe = cte
H (t) =
R/φ
εAR
φ
s + 1
qE
(6.9)
Fazendo a análise dimensional na equa¸cão 6.5, ⇒ R = H
qs
= m
m3/h
= h
m2 , logo o
termo AR = m2
· h
m2 = h. Faremos h = L
A defini¸cão 5.0.2 (Fun¸cão degrau unitário) nos permite definir a fun¸cão f(t) = a,
com a ≤ t ≤ ∞ ⇒ f(t) = a
s
. (pertuba¸cão passo unitário)
Figura 6.1: fun¸cão passo unitário

Substituindo a
s
= qe e AR = L na equa¸cão 6.9 temos:
H (t) =
R/φ
εL
φ
s + 1
·
a
s
(6.10)
equivalente a:
H (t) =
aR
φ
·
1
s(εL
φ
s + 1)
(6.11)
donde,
H (t) =
aR
εL
·
1
s s + φ
εL
(6.12)
é a fun¸cão que representa o dom´ınio da frequência.
O teorema 5.0.1, da linearidade da Transformada de Laplace nos permite fazer as
manipula¸cões algébricas até agora executadas. A finalidade é converter a fun¸cão H(t)
para uma forma que se apresenta na tabela 5.1. Desta forma:
H (t) =
aR
ε L
ε L
φ
1 − e− φ
εL
t
(6.13)
simplificando, obtemos a fun¸cão H(t) no dom´ınio do tempo.
H (t) =
aR
φ
1 − e− φ
L
t
(6.14)
Figura 6.2: Dom´ınio do tempo
H(t) no dom´ınio do tempo, quando t = 0 ⇒ H(t) = 0 e para t = ∞ ⇒ H(t) = aR
φ

6.1 Estimativa das Equa¸cões de Regressão 36
6.1 Estimativa das Equa¸cões de Regressão
Tomou-se a equa¸cão 6.14 que representa a altura do fluido na coluna em fun¸cão
do tempo t. Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equa¸cão, fica assim:
ln(H(t)) = ln
aR
φ
+ bx (6.15)
Onde bx = ln 1 − e− φ
L
t
. E o problema original de encontrar o ajuste1
de
m´ınimos quadrados não linear para o conjunto de valores para a fun¸cão 6.14 passa a
ser o problema de ajuste linear do conjunto de dados {{xi, lnfi}}n
i=1.
Os dados práticos utilizados para estimar as equa¸cões de regressão foram obtidos
no Trabalho de Conclusão de curso (TCC) de Ferraz Neto, W. S. Dispon´ıvel em [10], e
estão ilustrados na tabela 6.1. As colunas: britado + aglomerado, britado e aglomerado,
ilustram os dados obtidos diretamente na coluna de extra¸cão mineral. Onde: V = vazão
de sa´ıda, H = altura do fluido na coluna e T = tempo.
As equa¸cões de regressão foram estimadas por análise de regressão linear no apli-
cativo Minitab 16. Seguem:
Aglomerado + Britado:
ln(h) = 2, 71 + 0, 00241x (6.16)
tomando o antilogaritmo nas constantes
H = 15, 48 + 1, 00241X (6.17)
Britado:
ln(h) = 2, 59 + 0, 00421x (6.18)
H = 13, 330 + 1, 00428X (6.19)
Aglomerado:
ln(h) = 2, 231 + 0, 0155X (6.20)
1
Os dados para ajuste são {{xi, fi}}
n
i=1, onde o conjunto X = {xi}
n
i=1 é utilizado para definir o produto
interno (·, ·)x. Se f for conhecida, fi ≡ f(xi), caso contrário fi é um dado de entrada no problema de
ajuste.

6.1 Estimativa das Equa¸cões de Regressão 37
H = 9, 31 + 1, 0156X (6.21)
Verificou-se nos resultados, que ao se confrontar os dados práticos com a equa¸cão
6.14 haveria a necessidade de se introduzir uma constante de ajuste.
Tabela 6.1: Dados experimentais: vazão, altura na coluna e tempo
Brit. + Aglo. Britado Aglomerado
V H T V H T V H T
0.8 4.00 6.00 0.3 4.00 5.00 4.2 4.00 6.00
1.3 8.00 8.00 1.3 8.00 7.00 4.2 8.00 7.00
1.6 12.0 9.00 1.7 12.0 8.00 4.2 12.0 8.00
1.1 16.0 10.0 2.4 16.0 11.0 4.2 16.0 9.00
0.2 20.0 11.0 2.6 20.0 13.0 0.4 20.0 23.0
1.8 26.3 21.0 3.1 24.0 23.0 0.5 21.5 33.0
2.3 29.0 31.0 3.4 24.5 33.0 0.3 22.5 43.0
2.4 28.3 41.0 3.3 24.3 42.0 0.3 22.9 53.0
2.7 28.5 51.0 3.0 23.8 62.0 0.3 23.4 63.0
2.3 23.5 71.0 2.9 22.5 82.0 0.1 24.0 83.0
2.1 22.5 91.0 2.4 21.4 102 0.1 24.6 103
2.1 22.8 111 2.3 20.0 122 - - -
2.0 22 131 2.3 20.7 142 - - -
2.0 21.5 151 2.3 20.0 162 - - -
2.0 20.5 1171 - - - - - -
2.0 20.3 191 - - - - - -
2.0 20 211 - - - - - -
Fonte: Ferraz Neto, W. S.
Os coeficientes da equa¸cão 6.14, foram obtidos através da rela¸cão linear que há
entre os coeficientes das equa¸cões de regressão e as coordenadas de seus pontos.
A saber;
1. Aglomerado + Britado

6.2 Resultados e Discussões 38
Da equa¸cão 6.17 vem; 15, 48 · aR
φ
= 20 ⇒ aR
φ
= 1, 29199
⇒ − φ
L
= 1, 00241
2. Britado
Da equa¸cão 6.19 vem; 13, 330 · aR
φ
= 20 ⇒ aR
φ
= 1, 50037
⇒ − φ
L
= 1, 00428
3. Aglomerado
Analogamente, da equa¸cão 6.22 vem; 9, 31 · aR
φ
= 24 ⇒ aR
φ
= 2, 57787
⇒ − φ
L
= 1, 0156
6.2 Resultados e Discussões
Em virtude dos valores alcan¸cados para as constantes realizou-se a compara¸cão
entre as curvas práticas e as curvas teóricas. Nas figuras 6.3, 6.4 e 6.5 pode-se observar
claramente um padrão de comportamento entre as curvas teóricas e práticas. A curva
teórica diverge da prática diretamente na sua imagem (Transforma¸cão de transla¸cão em
rela¸cão ao eixo y), isto indica a presen¸ca de um incremento no coeficiente linear da equa¸cão
de regressão.
Figura 6.3: Curva Transladada (Aglomerado + Britado)

Figura 6.4: Curva Transladada (Britado)
As figuras 6.3, 6.4 e 6.5 estão ilustradas com o parâmetro ausente.
Figura 6.5: Curva Transladada (Aglomerado)
Frente ao comportamento transladado na curva, Surgiram perguntas. Como adi-
cionar uma constante de ajuste na equa¸cão? Qual seria o critério para definir adequada-
mente este parâmetro? Na busca às respostas , observou-se o surgimento de uma razão
aproximadamente constante ente as imagens dessas fun¸cões. Seria o incremento?
Nota-se uma transforma¸cão de transla¸cão dos pontos das três curvas em rela¸cão a

coordenada y. Isto é um indicador de que há um fator de transforma¸cão no gráfico. Por-
tanto, determinando este fator ou a inversa dessa transforma¸cão determina-se o parâmetro
necessário ao ajuste dos pontos do gráfico.
Para calcular a magnitude do incremento e verificar o comportamento da curva em
cada situa¸cão, calculou-se um parâmetro de ajuste λ.
Para determinar o parâmetro λ, definiu-se,
λ =



a + bx = λy
a + bx = y
dividindo o sistema membro a membro fica,
λ = y
y
para quaisquer pontos da forma P1(x1; y1) e P2(x1; y2). Dessa forma, o parâmetro λ em
cada experimento é:
1. Aglomerado + Britado
λ = y
y
= 0, 774 ⇒ aR
φ
· λ = 0, 99923
2. Britado
λ = y
y
= 0, 666 ⇒ aR
φ
· λ = 0, 99926
3. Aglomerado
λ = y
y
= 0, 387 ⇒ aR
φ
· λ = 0, 99984
Para quaisquer pontos P1(x1; y1) e P2(x1; y2).
Após a determina¸cão do parâmetro, a equa¸cão 6.14 fica reajustada da seguinte
forma:
H (t) =
aR
φ
λ 1 − e− φ
L
t
(6.22)
e desta maneira, para os pontos P1, P2, ..., Pn da tabela 6.1 tem-se abaixo, em forma
gráfica, os seguintes resultados ajustados com λ = 0, 774, 0, 666 e 0, 387, para os materiais
aglomerado + britado, britado e o aglomerado, respectivamente.

Figura 6.6: Curva ajustada (Aglomerado + Britado)
As figuras 6.6, 6.7 e 6.8 ilustra a concordância das séries prática e teórica.
Figura 6.7: Curva ajustada (Britado)

Figura 6.8: Curva ajustada (Aglomerado)
Nas figuras 6.6, 6.7 e 6.8 nota-se uma concordância entre as curvas teóricas e
práticas absolutamente semelhante em termos estat´ısticos. A linearidade da Transfor-
mada de Laplace aliada ao teorema 5.0.3 (Unicidade da Transformada Inversa de Laplace),
afirma que duas fun¸cões cont´ınuas por partes, de ordem exponencial, com a mesma trans-
formada de Laplace, podem diferir apenas nos seus pontos de descontinuidades isolados.
Portanto, para fins de engenharia admite-se que a inversa de Laplace é única.
Portanto, este fato é suficiente para justificar o comportamento da equa¸cão 6.14
frente aos dados analisados, pois se a Inversa de Laplace é única para ambas as curvas,
elas só poderão diferir na presen¸ca de uma constante. A linearidade da Transformada de
Laplace é suficiente para provar este fato.
Entretanto, ressalta-se a necessidade de se realizar uma análise matemática mais
acurada para consolidadar esse fato.

43
7 conclusão
Conhecer os aspectos operacionais da coluna de lixivia¸cão permite que se tenha o
controle de parâmetros importantes nos ensaios de lixivia¸cão, como a altura de fluido na
coluna e o tempo de contato entre o agente lixiviante e minério.
Para que a lixivia¸cão seja eficiente, é necessário que o agente lixiviante permane¸ca
em contato, por um tempo determinado, com todas as part´ıculas de minério. Esta
eficiência pode ser facilmente atingida se houver uma ferramenta capaz de prever o tempo
necessário, e o correspondente controle na altura de fluido presente na coluna. A equa¸cão
6.14, mostrou ser uma ferramenta poderosa para se fazer o controle de altura do fluido na
coluna de lixivia¸cão, sua elevada capacidade de modelagem e controle de altura do fluido
permite fazer previsões quanto ao tempo m´ınimo necessário para que ocorra a satura¸cão
do meio lixiviante, seja diretamente no modelo ou, de acordo com a ocasião, e de forma
prática, em sua equa¸cão de regressão, levando em conta a taxa de varia¸cão que se deseja
e determinadas caracter´ısticas f´ısicas do minério.
Durante o processo de lixivia¸cão há a necessidade de se fazer ajustes pontuais na
vazão de entrada, para evitar transbordo. Esta é uma medida de controle, sua utiliza¸cão
no decorrer do processo faz a vazão de sa´ıda variar com o tempo até atingir o equil´ıbrio,
este ocorre quando quando a vazão de sa´ıda se aproximar do valor de entrada, quando
isso ocorre a altura da coluna de fluido se mantém constante.
A relevância deste estudo se deve a possibilidade de se vislumbrar novos horizontes
na produ¸cão de cobre, via lixivia¸cão em colunas, através do aproveitamento do minério
de cobre oxidado, que hoje é estocado por se considerado estério.
Esses resultados servirão de base para no futuro aprofundarem-se os estudos de
lixivia¸cão em colunas, e o posterior dimensionamento de colunas e circuitos de colunas de
lixivia¸cão. Deve-se levar em considera¸cão a concentra¸cão de cobre no agente lixiviante,
pois, neste estudo não se considerou este parâmetro, ao invés do uso de ácido usou-se
água, o ideal seria submeter o minério de cobre oxidado à lixivia¸cão com ácido sulfúrico
(H2SO4). Esta é uma recomenda¸cão a ser considerada em trabalhos futuros.

Referências Bibliográficas
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4a
ed. São Paulo: Edigard Blücher, 2004. 582 P.
[2] Brunetti, Franco. Mecânica dos fluidos. 2a
ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2008. 420 p.
[3] Edwards, C.H. Jr.; David, E. Penney. Equa¸cões Diferenciais Elementares;”com
problemas de contorno”. 3a
ed. Rio de Janeiro: PHB, 1995. 643 p.
[4] Farina, E. Modelos Matemáticos de Sistemas Dinâmicos: Notas de Aulas.
Erechim, 2006. Trabalho não publicado.
[5] Foust, A. S. et al. Princ´ıpios das Opera¸cões Unitárias. 2a
ed. Rio de Janeiro:
Guanabara Dois, 1982. 670 p.
[6] Geankoplis, C. J.; Procesos de Transporte y operaciones unitárias. 3a
ed.
México: Compañia Editorial Continental, 1998. 999 p.
[7] Massarani, G.; Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. 2a
ed. Rio de Ja-
neiro: COPPE/UFRJ, 2001. 151 P.
[8] Maia, L. C.; Raul. N. C. Junio; Reginaldo. S. de Paiva. Estudo do Comporta-
mento da Recupera¸cão Metalúrgica do Cobre Oxidado da Mina do Sossego
de Canaã dos Carajá Submetido à Lixivia¸cão com H2SO4. XXIV ENTMME-
2011. Salvador/ Bahia.
[9] Sodré, U. Modelos Matemáticos: Notas de Aulas. Londrina, 2007. Trabalho não
publicado.
[10] Ferraz Neto, W. S.; Levantamento de Parâmetros F´ısicos em Colunas de Ex-
tra¸cão Mineral no Estudo de Aproveitamento do Cobre Oxidado de Canaã
dos Carajás/PA. TCC (Gradua¸cão em Engenharia de Minas e Meio Ambiente)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 45
- Universidade Federal do Pará, Faculdade de Enga
. de Minas e Meio Ambiente,
Marabá, 2013.

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