Matemática 11º ano. Matemática dos caos

1. A ORDEM DO CAOS:
Contributos para o fim da incerteza
Joao Pereira, Nº15, CT3
Carlota Sousa Nº3 CT3
Gustavo Pereira Nº13 CT3
Disciplina: Matemática

2. • INTRODUÇÃO
• DETERMINISMO E IMPREVISIBILIDADE
• FENÓMENOS ALEATÓRIOS
• TEORIA DO CAOS
• A MATEMÁTICA DO CAOS
• MAIS MATEMÁTICA
• TEORIA DAS PROBABILIDADES
• SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO
• CONCLUSÃO
ÍNDICE

3. O caos é um fenómeno complexo e imprevisível
que pode surgir em sistemas dinâmicos (não-
lineares), como o clima, o corpo humano, finanças
e até mesmo o tráfego rodoviário.
Apesar da sua natureza aleatória, muitos cientistas
e matemáticos têm tentado entender, prever o
caos há décadas.
Nesta apresentação, pretende-se, além de
identificar e caracterizar os fenómenos aleatórios,
responder às seguintes questões: Será o caos
previsível? Quais são as teorias e modelos
matemáticos usadas para prever eventos
aleatórios com antecedência.
INTRODUÇÃO

4. O cálculo diferencial e integral de Isaac
Newton (1643-1727), e o excesso de
confiança na capacidade de a ciência
fazer previsões exatas.
DETERMINISMO E IMPREVISIBILIDADE
Enquadramento histórico
“O demônio de Laplace”
Jules Henri Poincaré (1854-1912), identificou
que a dificuldade de resolução apresentada por
certos sistemas dinâmicos não estava limitada à
quantidade e qualidade de técnicas até então
existentes, mas sim a limitações intrínsecas .
Hadamard, Duhem associaram-se a Poincaré e
perceberam a existência de sistemas dinâmicos,
não-lineares, com sensibilidade às condições
iniciais, porém essa descoberta não repercutiu
imediatamente sobre a comunidade científica.
Embora tenha sido percebido desde a época de
Poincaré, o comportamento caótico em sistemas
não-lineares só foi reconhecido, enquanto tal, no
início dos anos de 1960.
Em 1963, a revelação mais convincente do
comportamento caótico aplicado a um
problema prático veio através de uma
simulação em computador realizada por
Edward Norton Lorenz e ficou conhecido como
“Efeito Borboleta”
Entre os anos de 1970 e 1980 o físico
australiano Robert May retomou o trabalho de
Verhulst sobre a “Equação Logística”,
apresentando-o numa versão simplificada que
passou a ser denominada de ”Mapa Logístico”.
Esse mapa, pelas suas características, é
bastante representativo da Teoria do Caos.

5. “Podemos considerar o presente estado do
universo como resultado de seu passado e a
causa do seu futuro. Se um intelecto em certo
momento tiver conhecimento de todas as forças
que colocam a natureza em movimento, e a
posição de todos os itens dos quais a natureza é
composta, e se esse intelecto for grandioso o
bastante para submeter tais dados à análise, ele
incluiria numa única fórmula os movimentos dos
maiores corpos do universo e também os dos
átomos mais diminutos; para tal intelecto nada
seria incerto e o futuro, assim como o passado,
estaria ao alcance de seus olhos.”
Pierre Simon Laplace
“O DEMÓNIO DE LAPLACE”
O sucesso dos sistemas dinâmicos lineares,
com solução analítica, concentrou a atenção
de várias gerações de cientistas.
DETERMINISMO E IMPREVISIBILIDADE
Na posse de todas as variáveis que determinam o
estado do universo em um instante t , ele pode
prever o seu estado no instante t’>t .

6. “Uma causa muito pequena, que nos passa
despercebida, determina um efeito considerável que
não podemos deixar de ver, e então dizemos que o
efeito é devido ao acaso. Se conhecêssemos
exatamente as leis da natureza e a situação do
universo no momento inicial, poderíamos prever
exatamente a situação desse mesmo universo no
momento seguinte. Contudo, mesmo que as leis
naturais já não tivessem segredos para nós, ainda
assim poderíamos conhecer a situação
aproximadamente. Se isso nos permitisse prever a
situação seguinte com a mesma aproximação, seria
tudo o que precisaríamos, e diríamos que o fenômeno
tinha sido previsto, que é governado por leis. Mas
nem sempre é assim; pode acontecer que pequenas
diferenças nas condições iniciais produzam diferenças
muito grandes nos fenômenos finais. Um pequeno
erro nas primeiras produzirá um erro enorme nas
últimas. A previsão torna-se impossível. “
Jules Henri Poincaré
DETERMINISMO E IMPREVISIBILIDADE

7. Em 1952, o escritor de ficção científica norte-
americano Ray Bradbury publicou o conto "O som do
trovão". Nesse conto, um personagem pisa em uma
borboleta e esse pequeno detalhe traz graves
consequências - incluindo a chegada de um líder
fascista ao poder.
Em 1961, o que era ficção tornou-se realidade
científica. Naquele ano, o meteorologista Edward
Lorenz, também norte-americano, trabalhava em um
modelo matemático para a previsão do tempo.
Para isso, ele introduziu no seu computador dados
como temperatura, umidade, pressão e direção do
vento e observou os resultados. Em seguida, ele
introduziu novamente os mesmos dados para conferir
os resultados obtidos na primeira vez.
E eis que, inesperadamente, partindo dos mesmos
dados nas duas oportunidades, a segunda previsão do
tempo foi completamente diferente da primeira.
No princípio, as duas previsões eram parecidas, mas,
à medida que o modelo avançava no tempo, as
diferenças entre os dois resultados se tornavam cada
vez maiores.
O EFEITO BORBOLETA DE EDWARD LORENZ
DETERMINISMO E IMPREVISIBILIDADE

8. FENÓMENOS
ALEATÓRIOS
Os fenómenos aleatórios são eventos dinâmicos que ocorrem
de forma não linear, incerta e imprevisível.
Estes fenómenos podem ser encontrados em diversas áreas do
conhecimento como a matemática, a física, a biologia a
economia, etc.
No entanto, o fato de serem imprevisíveis por definição e
dominados por caos aparente, não impede de serem estudados
no sentido de perceber a probabilidade da sua ocorrência.
Na matemática o estudo dos fenómenos aleatórios, em regra,
envolve a análise de dados estatísticos e a aplicação de
diferentes teorias como o objetivo de criar modelos que
possam prever o futuro por mais incerteza que este possa
projetar.

9. • Eles não podem ser previstos com
precisão (imprevisibilidade).
• Qualquer mudança nas condições
iniciais afeta o resultado final de
forma mais ou menos substancial.
• Eles são dinâmicos e podem (ou
não) apresentar padrões repetidos.
Características principais
FENOMENOS ALEATÓRIOS
Exemplos de fenómenos aleatórios
• Crescimento económico
• Crescimento de populações no tempo
• Resultados eleitorais do governo
• Evolução do desemprego no tempo
• Clima
• Resultado de jogar uma moeda ao ar
• Frequência dos batimentos cardíacos
• Aparecimento de doenças cancerígenas

10. TEORIA DO CAOS
Virtualmente, todos os físicos antes dos anos 1970
fixaram−se nos chamados processos “lineares” −
processos em que pequenas mudanças produziam
resultados opcionalmente pequenos ou nulos. Mas
um grande número de fenómenos − não só na
meteorologia e na física, como também na biologia,
ecologia, economia, e assim por diante − eram
aleatórios e obedeciam a processos “não−lineares”,
onde as equações envolvem taxas variáveis de
mudança, e não taxas fixas, em que as mudanças são
multiplicadas em vez de adicionadas, e pequenos
desvios podem ter vastos efeitos.

11. Quando os gregos queriam se referir a um vazio abissal, usavam a
palavra cháos.
As sementes da “Teoria do Caos” remontam aos anos 60, quando
Edward Lorenz desenvolveu modelos computacionais para padronizar
a previsão do tempo.
Seguidamente, nos anos 70, o matemático James Yorke e o biólogo
Robert May, examinaram as propriedades da “equação logística” que,
entre outras coisas, servia como um modelo simples para
crescimento da população.
Em 1975, Yorke utilizou, pela primeira vez, o termo caos para se
referir a uma desordem ordenada,ou seja, concretizava que existia um
determinado um padrão de organização por trás da aparente
casualidade dos fenómenos aleatórios.
A “Teoria do Caos” só maistardeem 1980 é aceite pela maioria dos
investigadores como instrumento de análise.
TEORIA DO CAOS - Resenha histórica

12. A MATEMÁTICA DO CAOS

13. A instabilidade das equações não-lineares
A MATEMÁTICA DO CAOS
Até determinada altura, qualquer equação utilizada para explicar um
determinado fenómeno tinha sempre um resultado específico. Todas as
diferenças que se notassem em relação à realidade seriam fruto da imprecisão
nos cálculos ou na sua formulação.
Depois, verificou que certas imprecisões não eram erros nos cálculos mas
derivavam da resolução das próprias equações, tornando-as não-lineares.
Exemplo:
ax2 + bx + c = 0 onde a, b, c são constantes = equação linear
Quando a, b, c forem funções, normalmente em razão do tempo, e não
constantes, a equação acima se torna não linear.
a(t)x2 + b(t)x + C(t) = 0 = equação não-linear

14. INSTRUMENTOS

15. (DO EFEITO BORBOLETA DE EDWARD LORENZ)
LEMBRAM-SE

16. O QUE ACONTECEU?
A diferença tão radical entre os dois prognósticos ocorreu simplesmente
porque, na segunda vez, o computador de Lorenz havia arredondado os
dados, ou seja, ele considerou algumas casas decimais a menos.
Assim se percebeu que algumas poucas casas decimais aparentemente
insignificantes, ao longo do tempo, podem ocasionar alterações
monumentais. Para Lorenz, isso equivalia a dizer que o vento que causa o
bater de asas de uma borboleta no Brasil pode ocasionar um tornado no
Texas, nos Estados Unidos.
Assim nascia a teoria do caos com seu efeito borboleta, indicando que
variações muito pequenas podem parecer insignificantes, mas geram
enormes mudanças ao longo do tempo, provocando uma sensação de caos.

17. “EQUAÇÃO LOGÍSTICA”
Seria possível prever a evolução da população de uma
espécie animal?
Daria para prever sua extinção ou a estagnação em um
determinado número de indivíduos?
Modelo linear de
Thomas Robert Malthus
Modelo não-linear de
Pierre François Verhulst
Mapa logístico de
Robert May
Evolução da Equação Logística

18. James Yorke e o biólogo Robert May, identificaram as
propriedades da chamada “equação logística”. Um modelo
simples para o crescimento da população.
Sinalizaram, entre outros aspetos, que equação funciona de
maneira em que os resultados vão sempre alimentando a
equação de modo a se obterem novos resultados.
O interessante é que, dependendo de como utilizamos
certo fator, os resultados podem se tornar altamente
previsíveis ou altamente caóticos.
A equação, conhecida também como mapa logístico, onde
os valores de x representam percentagens da população ao
longo do tempo, é uma equação determinística: sua
situação futura será determinada pelas condições
presentes.
O que chamou a atenção de May foi que o comportamento
deste mapa varia radicalmente para diferentes valores de k.
O comportamento desse sistema passa de periódico a
caótico devido a pequenas variações de k.
“EQUAÇÃO LOGÍSTICA”
“MAPA LOGÍSTICO”

19. FRATAIS
Padrões matemáticos infinitos
apelidados de 'impressão digital
de Deus'

20. O termo foi adotado pelo matemático polaco Benoit Mandelbrot.
O principio parte de uma base matemática simples para as
formas irregulares, aleatórias, caóticas e imprevisíveis do mundo
real, contrariando as formas idealizadas, como linhas retas ou
círculos perfeitos, com que os matemáticos viam estudavam essa
formas através de equações lineares.
No entanto, ele não tinha uma maneira adequada ou sistemática
de descrever as formas ásperas e imperfeitas que dominam o
mundo real.
Será que as superfícies esponjosas das nuvens, os galhos das
árvores, os flocos de neve, os brócolos, os batimento cardiacos e
os rios compartilhavam alguma característica matemática
comum?
FRATAIS
"As nuvens não são esferas, as montanhas
não são cones, os litorais não são círculos
e as cascas das árvores não são lisas,
tampouco os raios se deslocam em linha
reta“
Mandelbrot.

21. FRATAIS
Entre outros (extensão infinita dos limites fractais e a
permeabilidade dos limites fractais), subjacente a quase todas as
formas no mundo natural, existe um princípio matemático
conhecido como autossimilaridade, que descreve qualquer coisa
onde a mesma forma se repete sucessivamente em escalas cada vez
menores.
Ao dividir-se o todo em partes iterativamente, as partes, por menores
que sejam, apresentamformas e características semelhantes ao
todo. A parte reflete a estrutura do todo.
A autossimilaridade proporciona um sentido de ordem a estruturas
aparentemente irregulares.
Pois parece que sim

22. Fractais são objetos gerados pela
repetição de um mesmo
processo recursivo,
apresentando autossemelhança
e complexidade infinita.
A Geometria Fractal
do floco de neve de Koch
DEFENIÇÃO POSSIVEL
FRATAIS

23. A Geometria Fractal é considerada a
geometria da Teoria do Caos porque insiste
e mostra que é ela, e não a geometria
clássica euclidiana.
São as estruturas quebradas, complexas,
estranhas e belas dessa geometria que
conferem uma certa ordem ao Caos.
A matemática fractal revelou a beleza
oculta do mundo e inspirou cientistas de
muitas áreas, incluindo cosmologia,
medicina, engenharia e genética, além de
artistas e músicos.
Mostrou que o universo é fractal e
intrinsecamente imprevisível tal como o
mundo real.
Vista do conjunto de Mandelbrot.
FRATAIS

24. O JOGO DO
CAOS

25. O JOGO DO CAOS
Este jogo, tradicionalmente feito com papel, caneta e régua, lhe permite desenhar uma figura fractal
Marque três pontos num plano de modo que
formem um triângulo equilátero e os nomeie como
A, B e C. Escolha agora um outro ponto ao acaso no
interior e marque no plano o ponto médio entre este
e qualquer um dos vértices A, B ou C. Repita
indefinidamente.
Ao longo do procedimento, é notado o aparecimento de uma
figura. Um triângulo com vários outros triângulos dentro. Este é
chamado de Triângulo de Sierpinski.
Este triângulo é uma das formas elementares da geometria fractal
e apresenta algumas propriedades bem peculiares:
•Possui tantos pontos quanto o conjunto dos números reais;
•Possui área igual a zero;
•Uma parte sua é idêntica ao todo;
•Não perde a sua definição inicial à medida que é ampliado.
O método é suficientemente simples? O mais fascinante é que o
Jogo do Caos pode ser replicado em qualquer conjunto de
pontos, dando origem a outros fractais igualmente interessantes.

26. Podem experimentar https://www.geogebra.org/m/jgfjmuqb
O JOGO DO CAOS

27. MAIS MATEMÁTICA

28. Pierre-Simon Laplace (1812) fez a
primeira tentativa de deduzir
uma regra para a combinação de
observações dos princípios da
teoria das probabilidades.
TEORIA DAS PROBABILIDADES
sorte”
“risco”
“azar”
"chance“
“incerteza”
“duvidoso”

29. TEORIA DAS
PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades é o ramo da matemática que desenvolve e
avalia modelos para descrever fenómenos aleatórios, servindo de base
teórica para o desenvolvimento da estatística.
Basicamente consiste em descrever o conjunto de resultados possíveis de
determinado fenómeno, atribuir “pesos” a cada possível resultado,
refletindo suas possibilidades de ocorrência, estes ”pesos” são as
chamadas probabilidades.
Imagine um lançamento de um dado comum. Mesmo que todos os
resultados tenham a mesma chance de ocorrer, o resultado que será
observado é imprevisível. O lançamento de dado comuns é um
experimento aleatório.
Os teoremas de base das probabilidades podem ser demonstrados a
partir dos axiomas de probabilidade e da teoria de conjuntos.

30. Experimento aleatório
É o experimento que, ao ser realizado várias vezes nas
mesmas condições, ainda sim, gera
um resultado imprevisível.
Espaço amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um
evento aleatório. Conhecido também
como conjunto universo.
Ponto amostral
É um elemento que pertence ao espaço amostral, ou seja,
um entre os vários resultados possíveis do experimento
aleatório.
Conceitos
TEORIA DAS PROBABILIDADES

31. Dado um experimento aleatório, calculamos a chance de um determinado evento ocorrer, essa
probabilidade é dada pela razão entre o número de elementos do meu conjunto evento, ou seja, o número
de casos favoráveis sobre o número de elementos no meu espaço amostral, ou seja, o número de casos
possíveis.
Observações:
•A probabilidade pode ser representada como fração, como percentagem ou como número decimal.
•A probabilidade é sempre um número decimal entre 0 e 1, ou uma percentagem entre 0% e 100%.
•Se P(A) = 0 então A é um evento impossível.
•Se P(A) = 1 então A é um evento certo.
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Cálculo da probabilidade

32. Dai podemos concluir que a probabilidade de sair uma bola não branca é de 0,52 ou 52%
Exemplo
Uma urna contém bolas brancas, vermelhas e verdes. Sabendo-se que nela há 12
bolas brancas, 8 vermelhas e que as 5 restantes são brancas, se uma bola for
retirada ao acaso, qual é a probabilidade de que ela seja branca:
Nosso evento A é → sair uma bola branca. Sabemos que n(A) = 12, ou seja, há 12
casos favoráveis.
Nosso espaço amostral possui um total de 12 + 8 + 5 = 25, então n(Ω) = 25.
Dessa forma, a probabilidade de o evento A ocorrer pode ser representada por:
TEORIA DAS PROBABILIDADES

33. Simulação de
Monte Carlo
John von Neumann e Stanislaw Ulam inventaram a
simulação de Monte Carlo, ou o método de Monte
Carlo, na década de 1940. O nome é uma
homenagem ao famoso local de jogo no Mónaco,
pois o método compartilha a mesma característica
aleatória do jogo de roleta.
A simulação de Monte Carlo é uma técnica usada
para modelar fenómenos aleatórios por meio de
experiências computacionais. Essa técnica é
amplamente utilizada em muitas áreas do
conhecimento.

34. Simulação de Monte Carlo
Em contraste com os métodos convencionais
de previsão, mais determinísticos, a
simulação de Monte Carlo é um modelo
probabilístico que pode incluir um elemento
de incerteza ou aleatoriedade na previsão,
fornecendo assim vários resultados possíveis
e a probabilidade de cada um deles com base
em um grande conjunto de amostras de
dados aleatórios.

35. Se não temos guarda-chuva e sabemos que amanhã choverá com 80% de probabilidade, comprar guarda-chuva hoje é uma boa decisão.
Se finalmente não precisarmos disso, nada acontecerá. Mas se precisarmos e não tivermos, podemos ficar muito molhados e ficar
doentes.
Será então o caos previsível?
A necessidade do homem de saber o que vai acontecer é evolucionária. E, certamente, esse estudo nos dá uma melhor compreensão
dos fenômenos. Consequentemente, permite-nos tomar melhores decisões. Todavia, o caos dos sistemas complexos, aleatórias e não
lineares como o clima e outras vastas áreas de conhecimento, não podem em teoria ser totalmente previsíveis, pode no entanto ser
mitigado e reduzido o seu elevado grau de incerteza e imprevisibilidade.
Quais são as teorias e modelos matemáticos usadas para prever eventos aleatórios com antecedência.
Ultrapassado o “demônio de Laplace”, hoje a matemática dispõem de vários instrumentos para prever com relativa exatidão (cada vez
maior e mais acurada) para prever eventos aleatórios com maior antecedência. Associados à teoria do caos, Lorensz co efeito borboleta,
James Yorke e seu amigo, o biólogo Robert May, com a “equação logística” e os fratais de Benoit Mandelbrot , bem como numa outra
dimensão, a teoria da probabilidades de Pierre-Simon Laplace ou a simulação de Monte Carlo de John von Neumann e Stanislaw
Ulam, ajudaram a criar modelos matemáticos valiosos efetivos para a antecipação de eventos imprevisíveis.

36. FONTES
BIBLIOGRÁFICAS

37. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO
Joao Pereira, Nº15, CT3
Carlota Sousa Nº3 CT3
Gustavo Pereira Nº13 CT3