Análise de confiabilidade estrutural: introdução aos conceitos básicos

COC796-Confiabilidade Estrutural PEC/COPPE/UFRJ
Introdução
3
1. INTRODUÇÃO
A existência de incertezas nas cargas, nas propriedades mecânicas,
nos parâmetros de resistência do solo e nas propriedades geométricas
contribui para que exista uma probabilidade não nula de que a estrutura não
atenda aos objetivos para os quais ela fora concebida. Esta probabilidade é
definida como probabilidade de falha e pode ser avaliada pelos métodos de
análise de confiabilidade estrutural.
A confiabilidade estrutural é uma ferramenta que permite ao
engenheiro considerar as incertezas inerentes às variáveis de projeto,
através das correspondentes distribuições de probabilidade, permitindo obter,
entre outros resultados, a probabilidade de falha da estrutura e a
sensibilidade do projeto em relação a estas variáveis. Esta informação pode
ser de fundamental importância na tomada de decisões que envolvam a
segurança da estrutura.
Existem várias aplicações práticas da confiabilidade estrutural e entre
elas podemos citar: calibrações de normas de projeto, re-análise de
estruturas existentes, revisão de planos de inspeções, avaliação de
segurança de novas concepções estruturais e na escolha de alternativas de
projeto.
A maioria das normas de projeto utiliza fatores parciais de carga e de
resistência. Antigamente estes coeficientes eram, basicamente, definidos na
experiência de profissionais envolvidos em projetos estruturais. Atualmente,
com o auxílio da confiabilidade estrutural é possível calibrar os fatores de
segurança de uma maneira racional, a partir da definição de um nível alvo
considerado aceitável para a probabilidade de falha estrutural. Neste sentido,
a confiabilidade tem sido muito usada na revisão de normas antigas e na
elaboração de códigos de projeto para novas concepções estruturais.
As estruturas existentes estão sujeitas a acidentes e desgastes ao
longo da vida útil, tais como: corrosão, trincas, etc. Porém, devido à
redundância estrutural e a certas características de projeto, a falha (ou o
desgaste) de um elemento não representa necessariamente a falha da
estrutura como um todo. Através da análise de confiabilidade estrutural é
possível avaliar o nível de segurança global da estrutura como um todo. Esta

Introdução
4
informação se constitui num elemento auxiliar valioso na tomada de decisões
com relação à operação, à segurança física e ao estabelecimento de um
cronograma de reparos para a estrutura.
Nas estruturas submetidas a cargas cíclicas, a fadiga é muitas vezes
um fator determinante do projeto. Devido à existência de muitas incertezas no
cálculo da vida útil à fadiga, é comum inspecionar estas estruturas ao longo
de sua vida útil. Geralmente os dados de inspeções anteriores não eram
considerados na determinação do cronograma das inspeções futuras. Porém,
com a utilização da análise de confiabilidade e da teoria Bayesiana de
probabilidades, é possível reavaliar os prazos de inspeção em função dos
resultados obtidos nas últimas inspeções, de forma a manter um nível de
segurança aceitável da estrutura ao longo de sua vida útil.
Muitas vezes o engenheiro deve decidir qual a alternativa de projeto a
ser escolhida dentre várias alternativas possíveis, envolvendo a utilização de
novos materiais e de novas concepções estruturais. Nestes casos, a
confiabilidade estrutural, juntamente com a análise de custos, fornece as
informações necessárias para a avaliação dos riscos associados aos
projetos, fornecendo deste modo uma informação fundamental para a análise
de decisões.
Embora a confiabilidade possa ser uma ferramenta de apoio muito
importante nos vários ramos da engenharia, é importante ressaltar que a
análise confiabilidade depende da qualidade dos dados estatísticos
relacionados ao problema e da precisão do modelo matemático usado para a
análise das funções de estado limite.
Embora neste curso o enfoque da análise de confiabilidade seja para
problemas estruturais, observa-se que a mesma metodologia pode ser
utilizada em outros problemas que envolvam variáveis com distribuições de
probabilidades contínuas e funções de estado limite. Um exemplo comum de
aplicação fora da área estrutural é na análise de investimentos.

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
5
2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADES
Se os resultados dos experimentos de um determinado fenômeno são
previsíveis, o fenômeno é chamado de determinístico. Por outro lado, se os
resultados dos experimentos não forem previsíveis o fenômeno é chamado de
aleatório ou randômico. Neste caso, cada experimento deve ser associado a
um valor de probabilidade de ocorrência do evento relacionado ao fenômeno
em observação. Intuitivamente pode-se observar que: (a) a probabilidade está
relacionada com a frequência de ocorrência do evento ao longo de uma
seqüência com um grande número de experimentos; (b) ela deverá estar
situada entre 0 e 1 e (c) a soma da probabilidade de todos os possíveis
resultados do fenômeno deverá ser igual a 1.
Os vários resultados de um fenômeno aleatório podem ser vistos como
os resultados de uma função. Esta função é definida como variável aleatória e
é usualmente representada por uma letra maiúscula. Valores específicos de
uma variável aleatória são representados por letras minúsculas.
Sendo X uma variável aleatória, a sua função densidade de
probabilidades f xX ( ) é definida de tal forma que
P x
dx
X x
dx
f x dxX( ) ( )− ≤ ≤ + =
2 2
(2.1)
onde P(.) significa a probabilidade de (.). Usualmente uma função densidade de
probabilidade é identificada por PDF (Probability Density Function).
A expressão
P a X b f x dxX
a
b
( ) ( )≤ ≤ = ∫ (2.2)
indica a probabilidade da variável X assumir valores entre a e b. Qualquer f xX ( )
que satisfaça as seguintes condições pode ser considerada como uma PDF:
a) f xX ( ) .≥ 0 0 para qualquer x;

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidades
6
b) f x dxX ( ) .
−∞
∞
∫ = 10 (área unitária) e; (2.3)
c) f x dx P a X bX
a
b
( ) ( )∫ = ≤ ≤
A função cumulativa de probabilidades F xX ( ) de X é definida da seguinte
forma:
F a f x dxX X
a
( ) ( )=
−∞∫ (2.4)
onde F aX ( ) significa a probabilidade da variável X assumir valores menores ou
iguais a a. Uma função cumulativa de probabilidades deve satisfazer as
seguintes propriedades:
a) FX ( ) .−∞ = 0 0 ;
b) 0 10≤ ≤F xx( ) . e; (2.5)
c) FX ( ) .∞ = 10
Graficamente f xX ( )e F xX ( ) são apresentados na Figura (2.1).
(a) (b)
Figura 2.1 - Funções (a) densidade e (b) cumulativa de probabilidades
Notar que a seguinte relação pode ser observada
f x
dF x
dx
X
X
( )
( )
= (2.6)
Na literatura existem muitas funções teóricas que satisfazem as
condições descritas anteriormente. A escolha de uma delas para representar
um determinado fenômeno (ou variável) passa basicamente por um processo

7
de ajuste em relação aos dados coletados (ou observados) do mesmo, como
será visto mais adiante.
2.1 Valores Característicos de Uma Variável Aleatória
O valor médio, ou a média, ou o valor esperado de uma variável
aleatória X é definido como:
E X xf x dxX x( ) ( )= =
−∞
∞
∫µ (2.7)
onde f xX ( ) é a PDF de X definida anteriormente. Outro resultado interessante é
o valor médio quadrático de X definido como:
E X x f x dxx( ) ( )2 2
=
−∞
∞
∫ (2.8)
A variância mede a dispersão dos valores da variável em torno da média
e é definida como
Var X x f x dxX X( ) ( ) ( )= − =
−∞
+∞
∫ µ 2
x f x dx xf x dx f x dxX x X x X
2 2
2
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
∫ ∫ ∫− +( ) ( ) ( )µ µ
(2.9)
Var X E X X( ) ( )= −2 2
µ
O desvio padrão de X é definido como a raiz quadrada da variância, i.e.,
σX Var X= ( ) (2.10)
O coeficiente de variação de X é definido como a razão entre o desvio
padrão e a média, ou seja,
COV= δ
σ
µ
X
x
x
= (2.11)
O coeficiente de variação mede, de forma adimensional (ao contrário da
variância) a dispersão dos dados da variável aleatória em torno da média.
Coeficientes de variação baixos indicam que os valores da variável aleatória
estão distribuídos próximos a média, enquanto que valores altos indicam uma
forte dispersão em torno da mesma.
O coeficiente de skewness θ1 indica a simetria ou a assimetria da função
densidade de probabilidades fx(X) com relação a média e é definido por

8
( )θ
µ
σ
1
3
3
=
−E X x
x
(2.12)
onde
( )E X x f x dxX X x( ) ( )− = −
−∞
∞
∫µ µ3 3
(2.13)
Valores positivos de θ1 indicam que os valores de X maiores que a média são
mais dispersos que os menores, valores negativos indicam o contrário e um
valor nulo indica que a função é simétrica com relação a média, conforme
ilustrado na Figura (2.2).
Figura 2.2 - Ilustração do coeficiente de skewness
O coeficiente de kurtosis θ2 é uma medida de suavidade de uma função
densidade de probabilidades, ou seja, quanto maior é este valor mais suave (os
picos são menos agudos) é a função. θ2 é definido como
( )θ
µ
σ
2
4
4
=
−E X x
x
(2.15)
onde
( )E X x f x dxX X x( ) ( )− = −
−∞
∞
∫µ µ4 4
(2.16)
Os coeficientes de skewness e kurtosis podem ser úteis na seleção de
distribuições teóricas que podem se ajustar a um determinado fenômeno em
estudo. Estes coeficientes também são bastante usados na análise de
processos aleatórios não-lineares, que é um tema que foge ao escopo deste
curso.
Usando a analogia com as propriedades de uma área, a média e a
variância de uma variável aleatória X correspondem respectivamente, ao centro
de gravidade, c.g., e o momento de inércia (com relação ao c.g.) da área
definida por f xx( ) como será mostrado a seguir. Usando a Figura (2.3) como
referência, o c.g. é calculado como

9
x
xf x dx
area
xf x dx
xf x dxc g
x x
x. .
( ) ( )
.
( )= = =−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞∫ ∫
∫10
(2.17)
que também é o primeiro momento da área (momento estático) de f xx( ) com
relação à origem. O momento de inércia com relação ao c.g. é igual a
( )I x x f x dxy c g x= −
−∞
∞
∫ . . ( )
2
(2.18)
Comparando-se (2.17) e (2.18) com (2.7) e (2.9), observa-se então que a
média corresponde ao xc.g. e a variância ao momento de inércia de f xx( ) com
relação ao centro de gravidade. Por motivo desta analogia, é comum chamar a
média de como o primeiro momento de f xx( ) e a variância como o momento de
segunda ordem. A mesma analogia poderia ser usada para os coeficientes de
skewness e kurtosis. Neste caso estes seriam, respectivamente, o momento de
terceira e de quarta ordem.
Figura 2.3 - Uma área irregular representando uma PDF
Outras medidas importantes com relação à uma variável aleatória X
qualquer são a moda e a mediana. A mediana é o valor da variável aleatória X
cuja probabilidade de ocorrerem valores menores que ele ou maiores é 50%,
ou seja, F(xmediana ) .= 0 50 . A moda é o valor mais provável da variável
aleatória, ou seja, é aquele para o qual o valor da função densidade de

10
probabilidades é máximo. A Figura (2.4) ilustra estas medidas. Notar que para
uma distribuição simétrica e unimodal (um só pico) a média, a mediana e a
moda são iguais.
Figura 2.4 - Moda e mediana de uma variável aleatória
2.2 - Distribuições de Probabilidades
Como dito anteriormente qualquer função que satisfaça as condições
dadas pela equação (2.3) pode ser usada como uma distribuição de
probabilidades. O uso prático desta função depende da capacidade dela
representar estatisticamente um determinado fenômeno que está sendo
investigado. Porém, na literatura já existem várias funções que atendem às
condições citadas anteriormente e que podem ser usadas na prática da
engenharia. Algumas destas funções serão apresentadas a seguir.
2.2.1 - Distribuição Normal ou Gaussiana
Uma variável X é dita normalmente distribuída ou simplesmente uma
variável Gaussiana, se a sua PDF for da seguinte forma:
f x
x
X
x
x
x
( ) exp ( )= −
−





1
2
1
2
2
σ π
µ
σ
(2.19)
Esta distribuição tem somente como parâmetros a média µx e do desvio
padrão σx da variável aleatória e é geralmente denotada por N(µx, σx). A sua
função cumulativa só pode ser avaliada por integração numérica, ou usando
tabelas disponíveis em livros de estatística. Na Figura (2.5) são mostradas as
formas de duas distribuições normais com diferentes médias e desvios
padrões.

11
0.00 40.00 80.00 120.00 160.00
X, Y
0.00
0.04
0.08
0.12
pdf(x),pdf(y)
Y = N(70.00,5.00)
X = N(80.00,20.00)
0.00 40.00 80.00 120.00 160.00
X, Y
0.00
0.40
0.80
1.20
F(x),F(y)
Y = N(70.00,5.00)
X = N(80.00,20.00)
(a) (b)
Figura 2.5 - Funções (a) densidade e (b) cumulativa de probabilidades de
variáveis aleatórias normais.
Uma alternativa equivalente e muito valiosa para a expressão (12) é
obtida através da introdução de uma variável auxiliar, também conhecida como
variável reduzida, definida como
Y
X X
X
=
− µ
σ
(2.20)
que como veremos mais adiante, conduz à conhecida distribuição normal
padrão de probabilidades
f y y yY ( ) ( ) exp= = −





φ
π
1
2
1
2
2
(2.21)
cuja média e desvio padrão são iguais a 0 e 1, respectivamente. A função
cumulativa de probabilidades desta distribuição é usualmente denotada por
Φ( )y e é definida por
( ) ( )Φ y f y dyY
y
=
−∞∫ (2.22a)
No Apêndice A está uma tabela para avaliação de Φ( )y . Na Figura (2.6) esta
distribuição é ilustrada graficamente.
Se uma variável X segue uma distribuição normal, i.e. ( )X N x x= µ σ, , a
probabilidade da mesma assumir valores entre a e b conforme a Figura (2.7),
pode ser obtida usando as expressões (2.20) e (2.22a), i.e.,
P a X b e ds
b as
a x x
b x x
x
x
x
x
( ) ( ) ( )
( )/
( )/
≤ ≤ = =
−
−
−
−
−
−
∫
1
2
1
2
2
π
µ
σ
µ
σµ σ
µ σ
Φ Φ (2.22b)

12
onde Φ(.) é a função cumulativa normal padrão.
2.2.2 - Distribuição Lognormal
Uma variável X tem uma distribuição lognormal quando estatisticamente
ln( )X pode ser representado por uma distribuição normal. A CDF de uma
variável lognormal é definida como :
f x
x
x
X ( ) exp (
ln
)= −
−





1
2
1
2
2
ξ π
λ
ξ
(2.23)
onde λ é o valor esperado de ln( )X , i.e. λ µ= =E x x(ln ) ln , e ξ é o desvio
padrão de ln( )X , i.e. ξ σ= =Var x x(ln ) ln . λ e ξ se relacionam com a média e
o desvio padrão de X através da seguintes relações
ξ
σ
µ
2 2
1= +





ln ( )x
x
(2.24)
λ µ ξ= −ln x
1
2
2
-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00
y
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
f(y)-normalpadrão
Y - N(0.0,1.0)
-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00
y
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
F(y)-normalpadrão
Y - N(0.0,1.0)
(a) (b)
Figura 2.6 - Funções (a) densidade e (b) cumulativa da distribuição normal
padrão
Se X é uma variável aleatória lognormal, P a X b( )≤ ≤ pode ser calculada
como
P a X b
b aX
X
X
X
( ) (
ln
) (
ln
)≤ ≤ =
−
−
−
Φ Φ
λ
ξ
λ
ξ
(2.25)

13
Notar que a equação acima corresponde exatamente à equação (2.22b), onde
a variável reduzida é definida como Y
X X
X
=
−ln λ
ξ
.
Figura 2.7 - Ilustração gráfica da probabilidade P a X b( )≤ ≤
2.2.3 - Outras Distribuições de Probabilidades
Além da distribuição normal e lognormal, existem muitas outras
disponíveis na literatura [1,2]. Porém, para facilidade de uso a Tabela (2.1)
apresenta um resumo daquelas mais empregadas para modelar as variáveis
relacionadas à análise de confiabilidade estrutural.
2.2.4 - Distribuições de Probabilidades de Valores Extremos
Em muitos problemas de engenharia, os valores relevantes de uma
determinada variável são os extremos, ou seja, os valores mínimos ou
máximos da mesma. No caso específico da engenharia estrutural, o interesse
recai sobre os valores máximos extremos dos carregamentos atuantes sobre a
estrutura durante sua vida útil e de valores mínimos de resistência da mesma.
Na avaliação da distribuição de probabilidades dos valores extremos o
ideal seria ajustar uma distribuição de probabilidades à amostras de valores
extremos observados. Por exemplo, a determinação da distribuição de valores
extremos anuais de uma variável aleatória seria baseada em um banco de
dados com os valores máximos observados em cada ano durante muitos anos
(no mínimo 20 a 25 anos), ou seja, uma distribuição de probabilidades seria
ajustada a estes valores. Na prática, na grande maioria das vezes, dados de

14
valores extremos máximos ou mínimos não constituem uma amostragem
significativa para proceder de tal forma.
Em virtude do que foi dito anteriormente, surgiu a chamada Estatística
de Extremos que possibilidade definir a distribuição dos valores extremos
(máximos e mínimos) de uma variável aleatória X a partir da função distribuição
de probabilidades da mesma (observe que está variável inclui todo o intervalo
de variação da variável em questão). Este tópico será abordado nas seções
seguintes.

15
Distribuição fx(x), PDF F xX ( ), CDF E(X), (média) Var X( ) , (des. padrão)
Normal 1
2
1
2
2
πσ
µ
σ
exp −
−













x Φ
x −





µ
σ µ σ
Lognormal 1
2
1
2
2
πξ
λ
ξx
x
exp
ln( )
−
−













Φ
ln( )x −





λ
ξ
exp λ ξ+






1
2
2
E X( ) exp( )ξ2
1−
Exponencial ( )λ λexp − x ( )1− −exp λx 1
λ
1
λ
Rayleigh
x x
R Rσ σ2
2
1
2
exp −














1
1
2
2
− −














exp
x
Rσ
π
σ
2
R 2
2
−






π
σR
Uniforme 1
b a−
x a
b a
−
−
a b+
2
b a−
12
Tipo I (máx.)
(Gumbel)
( ) ( )( )( )α α αexp exp− − − − −x u x u exp( exp( ( )))− − −α x u
u +
0 5772.
α
π
α6
Tipo I
(mínimos)
( ) ( )( )( )α α αexp expx u x u− − − 1− − −exp( exp( ( )))α x u
u −
0 5772.
α
π
α6
Tipo II
(máximos)
k
v
v
x
v
x
k k





 −














+1
exp exp −














v
x
k
v
k
Γ 1
1
−






v
k k
Γ Γ1
2
1
12
1
2
−





 − −












Tipo III (min.)
(Weibull)
k
v
x
v
x
v
k k





 −














−1
exp 1− −













exp
x
v
k
v
k
Γ 1
1
+






v
k k
Γ Γ1
2
1
12
1
2
+





 − +












Nota: ( )Γ é a função Gamma.
Tabela 2.1 - Algumas Distribuições de Probabilidades

16
2.2.4.1 - Distribuições Teóricas de Valores Extremos Máximos e Mínimos
Tomando-se diferentes conjuntos de observações (com n amostras cada
uma) de uma variável aleatória X, verifica-se que o valor máximo observado em
cada uma delas geralmente é diferente. Portanto, a população dos valores
máximos de X constituem uma população própria, ou seja, o valor máximo
extremo da variável aleatória X é também uma variável aleatória com uma
distribuição própria de probabilidades. O mesmo raciocínio é válido para o valor
mínimo extremo.
Considere que a variável aleatória inicial X tenha a sua própria função
cumulativa de probabilidades F XX ( ) e considere também várias amostras de
tamanho n de X, i.e. ( )x x xn1 2, , , , onde os índices representam o primeiro, o
segundo, ..., e o n-ésimo valor observado em cada uma das amostras. Uma
vez que cada valor observado é imprevisível antes da observação, pode-se
assumir que cada observação é o valor de uma variável aleatória e o conjunto
de observações ( )x x xn1 2, , , é uma realização de variáveis aleatórias
( )X X Xn1 2, , , . O valor máximo extremo de uma amostra de tamanho n é uma
variável aleatória definida como:
( )Y max X X Xn n= 1 2, , , (2.26)
Observe que se Yn , o máximo valor entre ( )X X Xn1 2, , , , é menor que um
determinado valor y, então necessariamente todas as variáveis ( )X X Xn1 2, , ,
devem ser menores que y. Assumindo-se que cada valor coletado numa
amostra da variável X é independente dos demais e que X X Xn1 2, , são
identicamente distribuídos como a variável X, tem-se que
F x F x F x F xX X Xn X1 2
( ) ( ) ( ) ( )= = = = (2.27)
Assim a função cumulativa do valor máximo extremo pode ser definida como
( )
[ ]
F y P Y y
F y P X y X y X y
F y F y
Yn n
Yn n
Yn X
n
( )
( ) ( , , )
( ) ( )
= ≤
= ≤ ≤ ≤
=
1 2  (2.28)
e a correspondente função densidade de probabilidades
[ ]f y
dF y
dy
n F y f yYn
Yn
X
n
X( )
( )
( ) ( )= =
−1
(2.29)

17
onde fX (.) é função densidade de probabilidades da variável inicial X.
O valor mínimo de uma amostra de tamanho n, pode ser definido como
( )Y min X X Xn1 1 2= , , , (2.30)
Observe que se Y1, o mínimo entre ( )X X Xn1 2, , , , é maior que y, então todas
as variáveis ( )X X Xn1 2, , , devem ser maiores que y. Assumindo-se as
mesmas hipóteses definidas acima, tem-se que
( )
[ ]
1
1
1 1
1
1 1 2
1
− = >
− = > > >
− = −
F y P Y y
F y P X y X y X y
F y F y
Y n
Y n
Y X
n
( )
( ) ( , , )
( ) ( )
 (2.31)
ou seja, a função cumulativa do valor mínimo extremo é dada por
( ) [ ]F y Fx yY
n
1
1 1= − − ( ) (2.32)
cuja correspondente função densidade de probabilidades é
[ ]f y
dF y
dy
n Fx y f yY
Y n
X1
1 1
1( )
( )
( ) ( )= = −
−
(2.33)
Nesta metodologia a distribuição de probabilidades (incluindo todas as
observações) de X é chamada de distribuição parente. A variável n se refere ao
número de amostras da variável X coletadas durante um determinado período
de tempo. Por exemplo, se n significar o número de amostras coletadas em um
ano as distribuições definidas por (2.28) e por (2.32) se referem ao valor
máximo extremo anual e ao valor mínimo extremo anual, respectivamente.
Nas Figuras (2.7) e (2.8) são apresentadas as funções cumulativa e
densidade de probabilidades do valor máximo, obtidas a partir de uma
distribuição normal (distribuição parente) com média 25.00 e desvio padrão
5.00,i.e., N(25.0,5.00). Nas Figuras (2.9) e (2.10) são apresentadas as funções
correspondentes ao valor mínimo.
2.2.4.2 - Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
Através de várias pesquisas no passado, estatísticos observaram que as
distribuições de extremos tendem a distribuições assintóticas quando n tende a
infinito. Foi também observado, que a forma da distribuição assintótica
depende basicamente do comportamento da extremidade de interesse
(máximos ou mínimos) da distribuição parente da variável investigada.

18
0 20 40 60 80
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
parente
extremos N=10
extremos N=100
extremos N=1000
X
PDF
Figura 2.7 - PDF dos valores extremos máximos para uma parente N(25,5).
Na literatura [2] são encontrados, basicamente, três tipos de
distribuições assintóticas para valores extremos máximos e mínimos:
distribuição de extremos Tipo I, Tipo II e Tipo III. As expressões matemáticas
destas distribuições são mostradas na Tabela (2.2).
Distribuição F xX ( ) Média Desvio Padrão
Tipo I (máx.)
(Gumbel)
exp( exp( ( )))− − −α x u u +
0 5772.
α
π
α6
Tipo I
(mínimos)
1− − −exp( exp( ( )))α x u u −
0 5772.
α
π
α6
Tipo II
(máximos)
exp −














v
x
k
v
k
Γ 1
1
−






v
k k
Γ Γ1
2
1
12
1
2
−





 − −












Tipo III (min.)
(Weibull)
1− −













exp
x
v
k
v
k
Γ 1
1
+






v
k k
Γ Γ1
2
1
12
1
2
+





 − +












Nota: Γ(.) é a função Gamma
Tabela 2.2 - Distribuições Assintóticas de Extremos

19
0 20 40 60 80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
parente
extremos N=10
extremos N=100
extremos N=1000
X
CDF
Figura 2.8 - CDF dos valores extremos máximos para uma parente N(25,5).
0 10 20 30 40 50
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
parente
extremos N=10
extremos N=100
extremos N=1000
X
PDF
Figura 2.9 - CDF dos valores extremos mínimos para uma parente N(25,5).
Embora as distribuições apresentadas na Tabela (2.2) tenham sido
obtidas na análise de extremos, elas podem ser usadas igualmente como

20
distribuições de probabilidades para representar variáveis aleatórias que não
representem valores extremos.
O valor prático destas distribuições na análise de extremos é que para
alguns tipos de distribuições parentes já se sabe a priori que suas distribuições
de valores extremos tendem para distribuições assintóticas cujos parâmetros
são facilmente calculados em função dos parâmetros das primeiras. Isto evita o
uso das expressões (2.28) e (2.31). Alguns destes casos serão mostrados a
seguir.
Se uma variável X tem uma distribuição de Rayleigh com parâmetro σR ,
ou seja
( )F x
x
X
R
= − −





1
1
2
2
2
exp
σ
(2.34)
então, pode se demonstrar que a distribuição dos seus valores máximos
extremos Xn é do Tipo I com média e desvio padrão dados por
( )
( )
µ σ
σ
σ
π
σ
Xn R
R
Xn R
n
n
n
= +








=
2 05772
2
2 3
ln .
ln
ln( )
(2.35)
0 10 20 30 40 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
parente
extremos N=10
extremos N=100
extremos N=1000
X
CDF
Figura 2.10 - CDF dos valores extremos mínimos para uma parente N(25,5).

21
Se Y for uma variável aleatória normal com média µ e desvio padrão σ, a
distribuição dos valores máximos extremos assintoticamente se aproxima de
uma Tipo I (máximos) com os parâmetros u e α dados por
α
σ
σ
π
µ
=
= −
+




 +
2
2
4
2 2
ln( )
ln( )
ln(ln( )) ln( )
ln( )
n
u n
n
n
(2.36)
Na Figura (2.11) é feita uma comparação entre a distribuição exata e
assintótica tomando como base uma distribuição normal N(25,5). Como pode
se observar, elas vão ficando mais próximas para valores maiores de n.
0 20 40 60 80
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
parente
extremos N=10 (exata)
extremos N=10 (assint.)
extremos N=100 (exata)
( i )
X
PDF
Figura 2.11 - Comparações entre as distribuições exata e assintótica.
Se Z for uma variável lognormal com parâmetros λZ e ξZ , então a
distribuição dos seus valores extremos assintoticamente se aproxima de uma
distribuição Tipo II com os parâmetros
k
n
v n
n
n
Z
Z Z
=
= −
+




 +








2
2
4
2 2
ln( )
exp ln( )
ln(ln( )) ln( )
ln( )
ξ
ξ
π
λ
(2.37)

22
Para outros tipos de distribuições (parentes) as distribuições assintóticas
podem ser obtidas através de ajustes utilizando-se os métodos dos momentos
(conforme a seção seguinte). Inicialmente calcula-se a distribuição teórica de
extremos usando as expressões (2.28) e (2.29) ou, dependendo do caso,
(2.31) e (2.32) e a partir delas calcula-se a média e o desvio padrão
(momentos) da distribuição teórica usando as expressões (2.7) e (2.10). Com a
média e desvio padrão calculam-se os parâmetros das distribuições Tipo I, II e
III de acordo com a Tabela (2.2). Através de um software gráfico, plotam-se a
distribuição teórica e as distribuições assintóticas e dentre estas últimas
observa-se qual delas é a que melhor se ajusta à primeira. A vantagem de se
trabalhar com assintóticas é que elas geralmente estão disponíveis em
qualquer software de confiabilidade, enquanto que a distribuição teórica deve
ser programada caso a caso.
2.2.4.3 - Um Breve Comentário Sobre Distribuições de Extremos
Para evitar grandes erros (devido ao expoente n), devemos usar como
distribuição parente da variável em análise, aquela distribuição que melhor se
ajusta aos valores observados na extremidade de interesse (máximos ou
mínimos).
Exercício 2.1
Escolha parâmetros quaisquer para três distribuições, uma normal, uma lognormal e
uma Rayleigh. Para cada uma delas compare as distribuições teóricas de valores
máximos com as distribuições de valores extremos assintóticas de acordo com descrito
anteriormente. Considere os seguintes valores n=10, 100 e 1000. (Use o Mathcad)
Exercício 2.2
Assumindo-se que as elevações da superfície do mar, num estado de mar definido por
um Hs e um Tz, constituem um processo aleatório gaussiano, é possível demonstrar que
as alturas individuais das ondas seguem uma distribuição de Rayleigh do tipo
( )F h
h
Hs
H = − −











1 2
2
exp
Assumindo que os estados de mar são de três horas, calcule em função de Hs, qual é o
valor máximo esperado e qual o valor mais provável da altura da onda máxima extrema
em três estados cujos Tz’s são 8s, 10.8s e 12s. Observe que o número de ondas em
estado de mar é dado aproximadamente por (duração do estado de mar)/Tz.

23
2.3 - Ajuste de Distribuições de Probabilidades a Dados Observados
A representação de um determinado fenômeno por uma função
distribuição de probabilidades é algo que facilita bastante o tratamento da
mesma, i.e., uma vez definida a distribuição e os respectivos parâmetros é fácil
calcular os níveis de probabilidades associadas aos diversos eventos que
envolvem tal fenômeno.
Na prática o problema é então definir qual é a função e os respectivos
parâmetros que representam um fenômeno em observação. A base de
definição são os valores medidos e registrados sobre o mesmo.
A seguir serão apresentados alguns procedimentos para definições dos
parâmetros estatísticos de uma variável aleatória a partir dos dados
observados, bem como, o ajuste de uma distribuição de probabilidades aos
mesmos.
2.3.1 - Determinação de Parâmetros Estatísticos
A partir da existência de uma amostra coletada da variável aleatória X
(que representa o fenômeno de interesse) igual a ( )X x x xn= 1 2, , , , podem ser
calculados vários parâmetros e definidas algumas representações gráficas.
Uma representação gráfica bastante usada é o chamado histograma de
frequência relativa, conforme a Figura (2.12). Neste diagrama a variável
aleatória é dividida em pequenos intervalos. Para cada intervalo é observado o
número de ocorrências dos valores da amostra. Depois disto então monta-se o
diagrama representando cada intervalo versus a frequência relativa dos
mesmos, ou seja, versus o número de ocorrências do intervalo dividido pelo
número total de amostras.
Figura (2.12) - Histograma de Frequências Relativas
O tamanho do intervalo de um histograma é definido em função da experiência
ou a partir de algumas expressões sugeridas na literatura [1].

24
A partir dos dados contidos numa determinada da amostra de tamanho
N da variável aleatória X, podem ser definidos os valores característicos da
mesma. A média da amostra é dada por
X
N
xi
i
N
=
=
∑
1
1
(2.38)
A variância da amostra por
s
N
x X
N
x NXX i
i
N
i
i
N
2 2
1
2
1
21 1
= − = −
= =
∑ ∑( ) ( ) (2.39)
O desvio padrão e o coeficiente de variação são definidos respectivamente por
s Variância sX x= = 2
(2.40)
e
δX
Xs
X
= (2.41)
Os coeficientes de skewness e de kurtosis são definidos, respectivamente, por
θ
σ
1
3
3
1
1
=
−
=
∑N
x Xi
xi
N
( )
(2.42)
e
θ
σ
2
4
4
1
1
=
−
=
∑N
x Xi
xi
N
( )
(2.43)
Usando dados já agrupados em k intervalos de um histograma de frequências
relativas, onde qi é frequência relativa associada ao i-ésimo intervalo e xi o
valor médio deste intervalo intervalo, tem-se que a média da amostra é dada
por
X q xi k
i
k
=
=
∑1
(2.44)
a variância por

25
s q x XX i i
i
k
2 2
1
= −
=
∑ ( ) (2.45)
e os coeficientes de skewness e de kurtosis, respectivamente, por
θ
σ
1
3
3
1
=
−
=
∑
q x Xi i
xi
k
( )
(2.46)
e
θ
σ
2
4
4
1
=
−
=
∑
q x Xi i
xi
k
( )
(2.47)
Estes valores são representativos da amostra em questão e, portanto,
podem não representar a população total da variável X , exceto no caso em
que a amostra seja suficientemente grande. Em outras palavras os parâmetros
definidos anteriormente são apenas uma aproximação dos parâmetros reais da
variável aleatória X. Intervalos de confiança sobre os valores calculados acima
podem ser obtidos por vários procedimentos encontrados na literatura [1].
Porém, na prática, é necessário de alguma forma estimar os parâmetros
estatísticos da variável aleatória de interesse e isto pode ser feito de várias
maneiras. No que segue, serão apresentados duas destas maneiras.
2.3.1.1 - Métodos dos Momentos
Neste procedimento assume-se que os valores característicos da
amostra da variável aleatória sejam iguais ao da sua população, i.e.,
E X X
Var X s
X
X
( )
( )
= ≈
= ≈
µ
σ2 2
(2.48)
Como estas grandezas estão diretamente relacionadas aos parâmetros das
distribuições de probabilidades (veja Tabela (2.1) ), estes últimos podem ser
facilmente obtidos. Por exemplo, para uma distribuição normal os parâmetros µ
e σ2
correspondem exatamente à média e a variância da variável.
2.3.1.2 - Método da Máxima Probabilidade
Este procedimento possibilita a avaliação dos parâmetros de uma
distribuição diretamente a partir da amostra. Supondo que estamos
interessados em obter o parâmetro θ de uma distribuição cuja PDF é definida
por fx(x, θ) para verificar se a mesma se ajusta ou não à amostra observada
( )X x x xn= 1 2, , , (note que, por enquanto, a distribuição tem um só parâmetro).
Baseado nesta amostra, a seguinte pergunta pode ser feita: Qual o valor mais
provável de θ que produz o conjunto de observações x x xn1 2, , , ? Ou em

26
outras palavras, qual é o valor de θ que maximiza a possibilidade de obter a
sequência x x xn1 2, , , ? A possibilidade de se obter tal sequência pode ser
assumida como sendo proporcional ao valor da função densidade de
probabilidades (PDF) calculada em cada xi. Assim, uma função de
“probabilidades” pode ser definida como
( ) ( ) ( ) ( )P x x x f x f x f xn X X X n1 2 1 2, ,...., , , , ..... ,θ θ θ θ= (2.49)
O valor de θ que maximiza esta função pode ser obtido resolvendo-se a
seguinte expressão
( )∂ θ
∂θ
P x x xn1 2
0
, ,...., ,
= (2.50)
Para distribuições dependentes de mais de um parâmetro, a função de
probabilidades torna-se
( ) ( ) ( ) ( )P x x x f x f x f xn m X m X m X n m1 2 1 1 1 2 1 1, , , , , , , , , , , , ..... , , ,    θ θ θ θ θ θ θ θ= (2.51
e os mesmos são obtidos através da solução do seguinte sistema de equações
( )
( )
∂ θ θ
∂θ
∂ θ θ
∂θ
P x x x
P x x x
n m
n m
m
1 2 1
1
1 2 1
0
0
, ,...., , ,....,
, ,...., , ,....,
=
=


(2.52)
Exercício 2.3
Determine analiticamente usando o método da máxima probabilidade o parâmetro de
uma distribuição de Rayleigh e o parâmetro de uma distribuição exponencial para uma
amostra X = (x1, x2, ...., xn).
2.3.1 - Determinação da Distribuição de Probabilidades
Até agora foi mostrado como são definidos os parâmetros das
distribuições de probabilidades, porém nada foi dito a respeito de qual é a

27
distribuição (normal, lognormal, exponencial, etc.) que melhor representa o
fenômeno em observação. Em outras palavras, usando o método dos
momentos, por exemplo, podem ser calculados os parâmetros da distribuições
teóricas (ver Tabela 2.1) que reproduzem estes mesmos momentos, porém,
isto não significa que a forma da distribuição reproduza a forma do histograma
da amostra.
Definidos os parâmetros das várias distribuições alguns procedimentos
podem ser usados para verificar qual delas melhor representa o fenômeno
observado. Este será o tópico das seções seguintes, porém antes é necessário
chamar atenção que os procedimentos citados anteriormente são baseados na
comparação da distribuição de probabilidades teórica com a distribuição
aproximada dos dados observados. Uma aproximação da função densidade de
probabilidades é obtida a partir do histograma de frequência relativa. Como
este diagrama representa probabilidade, a densidade média de cada intervalo
é dada por
f x
Q x
dx
x i
i
( )
( )
= (2.53)
onde Q(xi) é frequência relativa do intervalo e dx é o intervalo do histograma.
Assim a distribuição teórica de probabilidades que melhor representa a variável
X é aquela que melhor se ajusta a f xx i( ) .
2.3.2.1 - Testes de Aderência
Uma das maneiras de verificar se uma distribuição teórica se ajusta ao
fenômeno investigado ou não é através de testes de aderência. Através de
funções empíricas e certas tolerâncias definidas pelo usuário, estes testes
comparam a distribuição teórica com a aproximada (eq. 2.53) para cada
intervalo do diagrama de frequências relativas e no final dizem, de acordo com
nível de confiança pré-estabelecido, se a distribuição teórica pode representar
o fenômeno. Dentre estes testes estão o Teste Chi-quadrado e o Teste
Kolmogorov-Smirnov. Maiores detalhes sobre estes testes podem ser obtidos
na literatura sobre probabilidade e estatística [1].
2.3.2.2 - Comparação Visual
Outra maneira de verificar o ajuste de distribuições de probabilidade é
visualmente. Anos atrás isto era feito através dos chamados “papéis de
probabilidade”, porém, hoje em dia isto se faz utilizando programas de
computador (exemplo: Mathcad, Maple, Statgraph, etc.). Nestes programas
todas as distribuições teóricas são definidas e depois plotadas num mesmo
gráfico que também inclui a distribuição aproximada. Visualmente o engenheiro
(usuário) pode verificar qual delas melhor se ajusta.

28
2.4- Várias Variáveis Aleatórias
Frequentemente mais de uma variável aleatória precisam ser associadas
a um experimento e então, o comportamento conjunto destas variáveis passa a
ser de interesse. Aqui serão abordados experimentos dependentes de somente
duas variáveis aleatórias X e Y, porém os conceitos empregados são válidos
para qualquer número de variáveis aleatórias.
De forma semelhante ao tratamento dado a uma única variável aleatória,
a função densidade de probabilidades conjunta, f x yX Y, ( , ), das variáveis
aleatórias X e Y é definida de tal forma que
P x
dx
X x
dx
y
dy
Y y
dy
f x y dxdyX Y( , ) ( , ),− ≤ ≤ + − ≤ ≤ + =
2 2 2 2
(2.54)
A função cumulativa conjunta de probabilidades é definida por
F x y P X a Y b f x y dydxX Y X Y
ba
, ,( , ) ( , ) ( , )= ≤ ≤ =
−∞−∞ ∫∫ (2.55)
Para atender os axiomas básicos da teoria das probabilidades, a função
densidade de probabilidades conjunta das variáveis X e Y deve satisfazer as
seguintes condições:
a) f x yX Y, ( , ) .≥ 0 0 para todo e qualquer x e y
b) f x y dydxX Y, ( , ) .
−∞
∞
−∞
∞
∫∫ = 10 (2.56)
c) P a X b c Y d f x y dydxX Y
c
d
a
b
( , ) ( , ),≤ ≤ ≤ ≤ = ∫∫
A Figura (2.13) ilustra uma função densidade de probabilidades
conjunta para duas variáveis X e Y.
Quando as variáveis X e Y são estatisticamente independentes, ou seja
a ocorrência de um valor de X não interfere na ocorrência de um valor de Y, a
função densidade de probabilidades conjunta das variáveis X e Y pode ser
escrita como
f x y f x f yX Y X Y, ( , ) ( ) ( )= (2.57)
sendo f xX ( ) e f yY ( ) as funções densidade de probabilidades de X e Y
respectivamente, obtidas tratando-se os dados de ambas independentemente.

29
Figura (2.13) - Ilustração da função densidade de probabilidades conjunta
As distribuições marginais de cada uma das variáveis aleatórias X e Y,
quando f x yX Y, ( , ) é conhecida, são obtidas da seguinte forma:
f x f x y dyX X( ) ( , ),Y=
−∞
∞
∫
(2.58)
f y f x y dxY X Y( ) ( , ),=
−∞
∞
∫
A covariância entre as variáveis X e Y é definida como
Cov X Y E X Y E XY E X E Yx y( , ) [( )( )] ( ) ( ) ( )= − − = −µ µ
(2.59)
Cov X Y E XY x y( , ) ( )= − µ µ
sendo que o valor esperado do produto XY, i.e. E(XY), é dado por
E XY xyf x y dxdyX Y( ) ( , ),=
−∞
∞
−∞
∞
∫∫ (2.60)
Quando X e Y são independentes
E XY E X E Y X y( ) ( ) ( )= = µ µ (2.61)
e a covariância então, torna-se nula.
Fisicamente, o significado da covariância pode ser melhor entendido
através do coeficiente de correlação que é definido por

30
ρ
σ σ
X Y
x y
Cov X Y
,
( , )
= (2.62)
onde σ X e σ Y são respectivamente os desvios padrões das variáveis X e Y,
obtidos em função das distribuições marginais e da expressão (2.10). Pode ser
demonstrado que ρX Y, .
2
10≤ e que quando ρX Y, .= ±10 existe uma forte relação
linear entre X e Y. No caso de ρX Y, .= 10 , quando X assumir uma valor grande
com relação a µx , Y também assumirá um valor grande, na mesma proporção
que X, com relação a µY . Por outro lado, caso ρX Y, .= −10, então quando X
assumir uma valor grande com relação a µx , Y tenderá assumir um valor
pequeno, mantendo a proporção absoluta de X, com relação µY . Quando
ρX Y, .= 0 0 significa que não há uma relação linear entre X e Y, isto contudo não
significa que não possa haver um outro tipo de relação entre elas. A ilustração
do significado do coeficiente de correlação é mostrada na Figura (2.14).
ρ = 10. ρ = 0 0. ρ = −10.
0 10< <ρ . ρ = 0 0. ρ = 0 0.
Figura (2.14) - Interpretação gráfica do coeficiente de correlação
Para várias variáveis aleatórias X1, X2,...,Xn, a matriz de correlação entre
as mesmas é definida por

31
ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
ρ
=














X X X X X Xn
X X X Xn
Xn Xn
Sim
1 1 1 2 1
2 2 2
, , ,
, ,
,
...
...
. ... ...
(2.64)
onde ρXi Xj, é o coeficiente de variação entre as variáveis Xi e Xj.
Exercício 2.4
Demonstre que a correlação de uma variável aleatória X com ela mesma é igual a 1.
2.5 - Soma ou Diferença de Variáveis Aleatórias
2.5.1 - Soma ou Diferença de Variáveis Aleatórias Normais
Se X e Y forem duas variáveis independentes e normais, Z = X + Y é
também uma variável normal com média e desvio padrão dados por:
µ µ µ
σ σ σ
Z X Y
Z X Y
= +
= +2 2
(2.65)
Os resultados acima podem ser generalizados para qualquer função linear de
variáveis randômicas normais, ou seja, se Z for igual a
Z a a Xi i
i n
n
= +
=
∑0 (2.66)
onde ai são constantes e Xi variáveis aleatórias normais estatisticamente
independentes, então Z é uma variável normal com média e variância dados
por
µ µ
σ σ
Z i xi
i n
n
Z i
i
n
xi
a a
a
= +
=
=
=
∑
∑
0
2 2
1
2
(2.67)
onde µxi
e σ xi
são a média e o desvio padrão, respectivamente, de cada
variável aleatória Xi. É possível também demonstrar que quando Z for uma
combinação linear de variáveis normais estatisticamente dependentes, a sua
média e sua variância correspondem respectivamente a

32
µ µ
σ ρ σ σ
Z i xi
i n
n
Z i j ij xi
j
n
i
n
xj
a a
a a
= +
=
=
==
∑
∑∑
0
2
11
(2.68)
onde ρXi Xj, é o coeficiente de variação entre as variáveis Xi e Xj. Qualquer nível
de probabilidade associado a um evento que envolva Z pode ser calculado
usando ( )Z N z z= µ σ, .
Utilizando os resultados acima é possível calcular a média e o desvio
padrão da variável reduzida Y definida na equação (2.20), ou seja ,
Y
X X
X
=
− µ
σ
(2.69)
Y pode ser visto como uma função linear da variável X, portanto a sua média é,
µ µ
µ
σ σ
µY i xi
X
Xi n
n
X
Xa a= + = − + =
=
∑0
1
0 0.
e o seu desvio padrão é
σ σ
σ
σY i
i
n
xi
x
xa2 2
1
2
2
21
10= =





 =
=
∑ .
Assim fica demonstrado que Y é uma variável normal com média 0.0 e desvio
padrão 1.0.
Considerando agora a soma de duas variáveis normais estatisticamente
independentes X e Y, ou seja, Z = X + Y e introduzindo as variáveis W e U
como as correspondentes variáveis reduzidas de X e Y, então, Z pode ser
escrita como
Z W UX X Y Y= + + +σ µ σ µ
onde a sua média é dada por
µ µ µ µ µ µ µ µ µZ W U X Y X Y X Y= + + + = + + + = +0 0 0 0. .
e o desvio padrão
σ σ σ σ σ σ σ σ σZ X W Y T X Y X Y= + = + = +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1

33
Pode-se observar que os resultados acima são idênticos aos valores fornecido
na Equação (2.65). Portanto, no caso da combinação linear de variáveis
aleatórias normais, pode-se também operar com as variáveis reduzidas
definidas usando a expressão (2.69).
2.5.2 - Soma ou Diferença de Variáveis Aleatórias com Distribuições Quaisquer
Quando uma variável aleatória Z é definida como uma combinação linear
de outras variáveis e pelo menos uma destas variáveis não é normal, não é
mais possível definir a sua distribuição de probabilidades diretamente como no
item anterior. Neste caso, somente é possível avaliar o valor médio e a
variância de Z. Estas grandezas são obtidas da mesma forma que no item
anterior, ou seja, usando a equação (2.68). Deve ser observado mais uma vez
que dispondo somente destas grandezas não é possível atribuir valores de
probabilidade associados a eventos de Z, uma vez que a distribuição de
probabilidades da mesma não é obvia como no item anterior.
2.6 - Produto de Variáveis Aleatórias Lognormais
Considere agora o caso de uma variável Z definida como
Z Xi
i
n
=
=
∏1
(2.70)
onde Xi são variáveis lognormais e estatisticamente independentes. A
equação (2.70) pode ser reescrita como:
ln lnZ Xi
i
n
=
=
∑1
(2.71)
Lembrando que se Xi é lognormal, ln Xi é normal com média λXi
e desvio
padrão ξXi
(ver item 2.2.2) . Então, de acordo com o que foi apresentado no
item (2.5.1), lnZ é uma variável aleatória normal com média
E Z Z Xi
(ln ) = = ∑λ λ (2.72)
e desvio padrão dado por
ξ ξZ Xi
i
n
=
=
∑ 2
1
(2.73)
Então, Z é uma variável lognormal com os parâmetros λZ e ξZ . Generalizando,
o produto de variáveis lognormais também é uma variável lognormal.

34
Exercício 2.5
Uma determinada variável de interesse S é definida como
S
PBI
M
=
Assumindo que P,B,I e M são variáveis lognormais, cujas médias e coeficientes de
variação são mostrados na tabela abaixo, calcule a probabilidade de S assumir valores
maiores que 0.20.
Variável Média COV
P 1.00 0.10
B 6.00 0.00
I 0.60 0.10
M 32.0 0.15
2.7 - Média e Variância de Uma Função Genérica
Considere a variável aleatória Z definida como
( )Z g X X Xn= 1 2, , , (2.74)
onde g(.) é uma função qualquer das variáveis aleatórias Xi (normais ou não).
Assumindo-se que as variáveis Xi são estatisticamente independentes, a média
e a variância exatas de Z são dadas por
( ) ( ) ( ) ( )E Z g X X X f x f x dx dxn x xn n n=
−∞
∞
−∞
∞
∫∫   1 2 1 1 1, , (2.75)
e
( ) ( ) ( )( )Var Z E Z E Z= −2 2
(2.76)
onde
( ) ( ) ( ) ( )E Z g X X X f x f x dx dxn x xn n n
2
1 2
2
1 1 1=
−∞
∞
−∞
∞
∫∫   , , (2.77)
Deve-se observar que nas expressões (2.75) e (2.77) é necessário
avaliar uma integral n-dimensional que, dependendo do caso, pode ser uma
tarefa bastante pesada. Para evitar tal integração uma aproximações da média
e da variância de Z podem ser obtidas através da linearização ( )g X X Xn1 2, , ,
em torno da média das variáveis aleatórias, através da série de Taylor, i.e.,

35
( ) ( ) ( )Z g X
g X X X
x
X X Xn i Xi
i
n
n
i
≈ + −
=
∑µ µ µ µ
∂
∂1 2
1
1 2
, , ,
, ,


(2.78)
Usando o que foi apresentado na seção (2.5.2) tem-se então que
( ) ( )E Z g X X Xn
≈ µ µ µ1 2
, , , (2.79)
e
( )
( )Var Z
g X X X
x
n
i
X i
=





∑
∂
∂
σ
1 2
2
2, ,
(2.80)
Notar mais uma vez que além das expressões (2.79) e (2.80) serem valores
aproximados, a distribuição de probabilidades de Z não pode ser definida.
2.8 - Correlação entre Duas Funções Lineares de Variáveis Aleatórias
Dado um conjunto de variáveis aleatórias ( )X X Xn1 2, , , e duas outras
variáveis aleatórias Y e Z que são funções lineares das mesmas, i.e.,
Y a a Xi i
i n
n
= +
=
∑0 (2.81)
e
Z b b Xi i
i n
n
= +
=
∑0 (2.82)
O coeficiente de correlação entre Y e Z pode ser calculado como:
ρ
σ σ
Y Z
Y Z
Cov Y Z
,
( , )
= (2.83)
onde
Cov Y Z E Y Z E YZ E Y E ZY Z( , ) [( )( )] ( ) ( ) ( )= − − = −µ µ
(2.84)
Cov Y Z a bi i
i
n
i j Xi Xj
i
n
( , ) ,=
==
∑∑ 11
ρ σ σ
e

36
σ σ
σ σ
Y i Xi
i
n
Z i Xi
i
n
a
b
=








=








=
=
∑
∑
2 2
1
1
2
2 2
1
1
2
(2.85)
Notar que na equação (2.84) o coeficiente de correlação de uma variável com
ela mesma é um, ou seja, ρi i, .= 10 . Também deve ser observado que a
correlação entre Y e Z independe do tipo de distribuição de probabilidades das
variáveis.
Exercício 2.6:
Dadas as variáveis aleatórias Y e Z, onde
Y = S + 2T + 4W - 2.5R
Z = 1.5S + 2W - R
e sabendo-se que S=T=W=R=N(1,0.2) e são estatisticamente independentes, calcule
a) a probabilidade de Y ser maior que 6.0;
b) a probabilidade de Z ser maior que 4.0 e menor que 5.0;
c) a coeficiente de correlação entre as variáveis Y e Z.

37
2.9 - Distribuições Normais Equivalentes
Para uma variável aleatória X, cuja distribuição de probabilidades não é
normal, uma distribuição normal equivalente num ponto x∗
pode ser obtida,
igualando-se as funções cumulativa e densidade de probabilidades de uma
normal e da distribuição real de X no referido ponto. Este procedimento é
ilustrado na Figura (2.15). Obter uma normal equivalente significa obter a
média e o desvio padrão desta distribuição. Estas grandezas são calculadas
através da resolução do seguinte sistema de equações:
Φ( ) ( )
x
F xX
N
X
N X
∗
∗−
=
µ
σ
(2.86)
1
σ
φ
µ
σX
N
X
N
X
N X
x
f x( ) ( )
∗
∗−
=
onde φ(.) e Φ(.) correspondem, respectivamente, às funcões densidade e
cumulativa da distribuição normal padrão, fX (.) e FX (.)correspondem,
respectivamente, às funcões densidade e cumulativa da variável X e
σ µX
N
X
N
e são, respectivamente, a média e desvio padrão da normal
equivalente no ponto x∗
.
Figura 2.15 - Princípio da Normal Equivalente
A solução do sistema de equações (2.86) é dada por
[ ]{ }
[ ]
σ
φ
µ σ
X
N X
X
X
N
X
N
X
F x
f x
x F x
=
= −
− ∗
∗
∗ − ∗
Φ
Φ
1
1
( )
( )
( )
(2.87)
sendo que Φ−1
(.) corresponde a inversa da distribuição cumulativa normal
padrão. Em outras palavras, Φ−1
( )p corresponde ao valor da variável reduzida
cuja probabilidade de ocorrerem valores menores ou iguais a ela seja igual a p.

38
Exemplo 2.2:
Uma variável aleatória Y tem média ( µY ) 10.00 e desvio padrão (σ Y ) 2.00 e sua
distribuição de probabilidades é uma Tipo I para valores máximos. Calcule a média e o
desvio padrão da normal equivalente no ponto y∗
= 14 00. .
Solução
A PDF e a CDF de uma distribuição Tipo I para valores máximos são
f y y u y u
F y y u
Y
Y
( ) exp( ( ) exp( ( )))
( ) exp( exp( ( )))
= − − − − −
= − − −
α α α
α
onde
α
π
σ
π
µ
α
= = =
= − = − =
6
1
6
1
2 00
0 64128
0 5772
10 00
0 5772
0 64128
910
Y
Yu
.
.
.
.
.
.
.
Desta forma
f y f
F y F
Y Y
Y Y
( ) ( . ) .
( ) ( . ) .
*
*
= =
= =
14 0 0 026522
14 0 0 95774
Para encontrarmos a normal equivalente temos que resolver [ ]Φ− ∗1
F yY ( ) . Usando uma
tabela de distribuição normal padrão tem-se
[ ] [ ] [ ]Φ Φ Φ− ∗ − −
= = =1 1 1
14 00 0 95774 17258F y FY Y( ) ( . ) . .
Lembrando que
φ
π
( ) exp( )x x= −
1
2
1
2
2
tem-se que
[ ]{ }φ φΦ− ∗
= =1
17258 0 089978F yY ( ) ( . ) .
e assim

39
[ ]{ }σ
φ
Y
N
Y
Y
F y
f y
= = =
− ∗
∗
Φ 1
0 089978
0 026522
3 3927
( )
( )
.
.
.
[ ]µ σY
N
Y
N
Yy F Y x= − = − =∗ − ∗
Φ 1
14 00 3 3927 17258 8144976( ) . . . .
são os parâmetros da distribuição normal equivalente.
Exercício 2.7:
Demonstrar que a média e o desvio padrão de uma distribuição normal equivalente a
uma variável aleatória X lognormal, com parâmetros λ e ξ , no ponto x∗
, correspondem
respectivamente a :
µ λ
σ ξ
X
N
X
N
x x
x
= − +
=
∗ ∗
∗
( ln )1
Exercício 2.8 :
Uma variável aleatória X foi observada durante um ano. Os valores observados da
mesma com o respectivo número de ocorrências são indicados na tabela abaixo:
X 0.00 -
0.50
0.50 -
1.00
1.00 -
1.50
1.50 -
2.00
2.00 -
2.50
2.50 -
3.00
3.00 -
3.50
3.50 -
4.00
4.00 -
4.50
4.50 -
5.00
No. de
ocorr.
113318 192959 154047 85294 41072 16850 7269 2914 1312 585
X 5.00 -
5.50
5.50 -
6.00
6.00 -
6.50
6.50 -
7.00
7.00 -
7.50
7.50 -
8.00
8.00 -
8.50
8.50 -
9.00
9.00 -
9.50
9.50 -
10.00
No. de
ocorr.
266 116 51 20 18 3 5 1 2 2
A partir dos dados acima :
a) ajuste uma distribuição de probabilidades para a variável X;
b) estabeleça a distribuição (assint.) do valor máximo extremo centenário.
Sugestão: use o Mathcad ou software similar
2.10 - Referências Bibliográficas
1. Ang, A.H-S. and Tang, W.H. - Probability Concepts in Engineering
Planning and Design, Vol. I, John Willey and Sons, New York, 1975.
Planning and Design, Vol. II, John Willey and Sons, New York, 1984.

Alguns Conceitos em Confiabilidade Estrutural
43
3. ALGUNS CONCEITOS EM CONFIABILIDADE
ESTRUTURAL.
O principal objetivo da confiabilidade estrutural é a avaliação da
segurança de uma estrutura, ou a avaliação da probabilidade de que a mesma
não falhe em atender aos objetivos para os quais ela foi projetada, durante a
sua vida útil. Na realidade não existe estrutura 100% confiável, sempre existe o
risco dela vir a falhar, porém, ele deve ser mantido em níveis aceitáveis de
acordo com critérios de segurança e economia.
A confiabilidade de uma estrutura, C, é definida como o complemento da
probabilidade de falha pf, ou seja,
C pf= −1 (3.1)
Como geralmente pf é pequena para estruturas, na ordem de 10
-3
a 10
-6
, é
comum usar pf como a medida de confiabilidade de uma estrutura. A avaliação
de pf é objeto do capítulo 4, porém, a seguir serão apresentados alguns tópicos
que são introdutórios a tal capítulo. Maiores detalhes sobre os tópicos a serem
apresentados a seguir podem ser encontrados nas referências [1-3].
3.1 - Definição de Probabilidade de Falha
Como já foi dito anteriormente, a probabilidade de falha é uma medida
muito importante na análise de segurança de estruturas. A avaliação da
probabilidade de falha é baseada numa função de performance do sistema em
estudo. Esta função também é conhecida como função de estado limite, ou
função de falha ou margem de segurança e é denominada ( )G U (ou
simplesmente Z), onde U é um vetor que inclui todas as variáveis aleatórias
consideradas na análise. indicado na Figura (3.1) para o caso bidimensional. O
limite ( )G U = 0 0. é conhecido como superfície de falha.

44
Figura 3.1 - Definição da função de falha
Para a avaliação da segurança de uma estrutura, o interesse recai
justamente na possibilidade de acontecerem falhas, ou seja, na probabilidade
da função de falha assumir valores pertencentes ao domínio de falha. Esta
probabilidade é usualmente definida como probabilidade de falha e é definida
por
( )pf G= ≤P ( ) .U 0 0 (3.2)
Sabendo-se que fu U( ) representa a função densidade de probabilidades
conjunta de todas as variáveis randômicas U envolvidas na análise, a
probabilidade de falha pode ser reescrita como:
pf f d
F
= ∫ u U u( ) (3.3)
onde F indica o domínio de falha ( G( )U ≤ 0), conforme ilustra a Figura (3.2)
para o caso bidimensional (duas variáveis aleatórias).
A avaliação da expressão (3.3) não é muito simples, uma vez que ela
envolve a avaliação de uma integral n-dimensional num domínio complexo
( G( ) .U ≤ 0 0 ), onde n é o número de variáveis aleatórias pertencentes a U .
Mesmo com o desenvolvimento de técnicas modernas de integração numérica
e com computadores cada vez mais eficientes, na prática a avaliação da
equação (3.3), por integração, tem se restringido a problemas com 5 a 6
variáveis aleatórias no máximo. Devido a isto outros métodos para avaliar a
probabilidade de falha foram desenvolvidos, como será visto mais adiante. A

45
avaliação da probabilidade de falha de estruturas, geralmente, é identificada
simplesmente como análise de confiabilidade estrutural.
Figura 3.2 - Representação gráfica da probabilidade de falha
A seguir será apresentado de forma sucinta o índice de confiabilidade de
segunda ordem e depois disto, para facilitar o entendimento dos métodos de
avaliação de pf, será apresentada em detalhes a análise de confiabilidade de
um sistema do tipo R-S (resistência - solicitação).
3.2 - Índice de Confiabilidade de Segunda Ordem
Devido às dificuldades ilustradas acima, as atividades iniciais dos
pesquisadores em confiabilidade estrutural, levaram ao uso do chamado índice
de confiabilidade de segunda ordem, βSO , na avaliação da segurança de uma
estrutura. Este índice baseia-se simplesmente na média e no desvio padrão das
variáveis U aleatórias e também no coeficiente de correlação entre elas (não
considera o tipo de distribuição das variáveis) e é definido como
( )( )
( )
βSO
E G
Var G
=
U
U( )
(3.3)
onde E(G(U)) e Var(G(U)) são, respectivamente, o valor esperado e a variância
de G(U) que podem ser calculados de acordo com o item 2.7 deste trabalho.
Como pode ser observado na figura (3.3) este índice mede a distância
entre o valor médio de G(U) e zero em unidades de desvios padrões. Porém

46
como já ilustrado no item (2.7), para uma função qualquer os valores calculados
da média e da variância de G(U) são aproximados, pois os mesmos dependem
do ponto onde foi linearizada a função. O índice βSO é somente invariante para
o caso de funções lineares.
Para análise de confiabilidade, a expressão (3.3) apresenta certas
inconsistências. Uma delas é que para uma determinado problema que pode ter
sua função de falha representada por duas funções de estado limite diferentes,
porém equivalentes, os índices de confiabilidade obtidos para ambas podem ser
diferentes, como ilustrado no exemplo (3.1).
Exemplo 3.1
Suponha uma barra de treliça com resistência R e solicitação S, ambas
aleatórias onde são conhecidos os seus valores médios ( µR e µS ) e os
respectivos desvios padrões ( σR e σS ).
Uma função de falha para esta barra pode ser simplesmente definida como
Z R S= −
Para este caso, usando as equações (3.3), (2.79) e (2.80), o índice de
confiabilidade de segunda ordem é dado por
β
µ µ
σ σ
SO
R S
R S
=
−
+2 2
Observe que uma outra função de falha, significando a mesma coisa, pode ser
simplesmente definida como
Z
R
S
=





ln
porém para esta expressão tem-se que
β
µ µ
σ
µ
σ
µ
µ µ
δ δ
SO
R S
R
R
S
S
R S
R S
=
−





 +






=
−
+
ln( ) ln( ) ln( ) ln( )
2 2 2 2
onde δR e δS são os coeficientes de variação de R e S, respectivamente.
Como pode se observar βSO não é o mesmo e portanto inconsistente uma vez
que o problema é o mesmo.

47
Figura 3.3 - Ilustração do índice de confiabilidade de segunda ordem
O índice de confiabilidade de segunda ordem foi simplesmente o começo da
análise de confiabilidade estrutural uma vez que o mesmo significa uma medida
de segurança e com ele não é possível avaliar pf (exceto o caso de uma função
linear de variáveis normais). As inconsistências foram sendo superadas e
permitiram o desenvolvimento de métodos eficientes para avaliação da
probabilidade de falha, como será visto no capítulo seguinte. Portanto, o índice
βSO tem um sentido histórico e por isto foi incluído neste curso.
3.3 - Sistemas do Tipo R-S (Resistência-Solicitação)
A análise de confiabilidade estrutural pode ser vista como um problema
de suprimento versus demanda, i.e., um problema de confiabilidade pode ser
definido como avaliação da probabilidade de que a demanda (i.e., a carga
máxima na estrutura) exceda a capacidade de suprimento (i.e., a resistência da
estrutura), durante a vida útil da mesma. Genericamente para um elemento de
treliça podemos definir
R = capacidade de suprimento = resistência do elemento
S = demanda = carga máxima na estrutura
Assim a função de falha ( )G U , com ( )U = R S, , pode ser escrita como
G Z R S( )U = = − (3.4)

48
É também comum na análise de confiabilidade estrutural definir ( )G U ou Z
como “margem de segurança”. Assumindo que as distribuições de
probabilidades de R e S são conhecidas e estatisticamente independentes, a
probabilidade de falha pode ser calculada como
pf f r f s drds F s f s dsR S R
s
S= =
−∞
∞
−∞−∞
∞
∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) (3.5)
ou como
pf f r f s dsdr F r f r drR S S
r
R= = −
−∞
∞∞
−∞
∞
∫∫∫ ( ) ( ) ( ( )) ( )1 (3.6)
onde f rR( ) e f sS( ) são as funções densidade de probabilidades e F rR( ) e F sS( )
são as funções cumulativas de probabilidades de R e S, respectivamente.
Se as distribuições de R e S são normais e relembrando que uma
combinação linear de variáveis aleatórias normais resulta numa variável normal,
tem-se
pf P Z Z
Z
= ≤ =
−




 = −( . )
.
( )0 0
0 0
Φ Φ
µ
σ
β (3.7)
onde µ µ µZ R S= − , σ σ σZ R S= +2 2
, Φ(.) a distribuição cumulativa normal
padrão (ver Apêndice A) e β é o chamado índice de confiabilidade, definido
como
β
µ µ
σ σ
=
−
+
R S
R S
2 2
(3.8)
Deve-se observar que a avaliação da probabilidade de falha utilizando a
equação (3.8) é bem mais simples que empregar a expressão (3.5) ou a (3.6). A
equação (3.8) representa a mesma coisa que as outras duas, porém devido as
propriedades da distribuição normal, o cálculo se torna bem mais simples.
3.3.1 - Espaço Reduzido
A avaliação da probabilidade de falha para um sistema R-S, com R e S
normais, pode ser também feito utilizando as variáveis reduzidas (variáveis
normais com média 0 e desvio padrão 1, conforme item 2.2.1), i.e.,

49
s
S S
S
=
− µ
σ
(3.9)
r
R R
R
=
− µ
σ
No espaço das variáveis reduzidas a função de falha Z (ou G(U)) pode
ser escrita como
Z r rR R S S= + − −σ µ σ µ (3.10)
Na Figura (3.4) é mostrada a superfície de falha ( ( )G U = 0 0. ) no espaço
das variáveis reduzidas.
Figura 3.4 - Representação da superfície de falha no espaço reduzido
Através da geometria analítica é fácil demonstrar que a distância da reta
( )G U = 0 0. até a origem, no espaço das variáveis reduzidas, é igual a
d R S
R S
=
−
+
µ µ
σ σ2 2
(3.11)
que justamente coincide com o índice de confiabilidade β definido na equação
(3.8), a distância do ponto sobre a superfície de falha mais próximo a origem até
a origem é o próprio índice de confiabilidade. Deve ser observado que o ponto
sobre a superfície de falha e mais próximo a origem (r s∗ ∗
, ) é também o ponto
sobre a reta, cujo valor da função densidade de probabilidades conjunta
( f r s r sR S, ( , ) ( ) ( )= φ φ ) das duas variáveis é maior. Este ponto é chamado de ponto
de projeto ou ponto mais provável de falha.

50
Os resultados acima podem ser estendidos facilmente para um número n
qualquer de variáveis aleatórias normais estatisticamente independentes
( )U Ni i i= µ σ, , i.e., usando U para identificar as variáveis aleatórias envolvidas
na análise e u para as correspondentes variáveis reduzidas, tem-se
( )G a a Ui i
i
n
U = +
=
∑0
1
(3.12)
onde o índice confiabilidade é dado por
β
µ
σ
=
+
=
=
∑
∑
a a
a
i Ui
i
n
i Ui
i
n
0
1
2 2
1
(3.12)
A expressão (3.12) corresponde à distância do hiperplano, que representa a
superfície de falha, até a origem no espaço das variáveis reduzidas.
É possível também demonstrar que as coordenadas do ponto mais
próximo à origem, u∗
, no espaço das variáveis reduzidas são dadas por
ui i
∗
= −α β (3.13)
onde αi é a componente do vetor normal à superfície de falha, calculado no
ponto de projeto, e definida por
α
∂
∂
∂
∂
i
i
ii
n
Z
u
Z
u
=






=
∑
2
1
(3.14)
onde
∂
∂
Z
ui
é a componente relacionada à variável ui , do vetor gradiente da
função de falha Z, i.e.
∂
∂
Z
u
, avaliado no espaço das variáveis reduzidas e no
ponto de projeto. Em outras palavras, αi é o cosseno diretor do vetor que une o

51
ponto de projeto à origem com relação ao eixo da variável ui , como mostra a
Figura (3.5).
O ponto de projeto no espaço original, pode ser obtido através da
generalização da expressão (3.9), ou seja,
U ui i i i
∗ ∗
= +σ µ (3.15)
De acordo com as equações (3.4) e (3.10), observa-se que o gradiente
da função de falha no espaço reduzido se relaciona ao gradiente avaliado no
espaço original através da seguinte expressão
∂
∂
σ
∂
∂
Z
u
Z
Ui
i
i
= (3.16)
Figura 3.5 - Relações geométricas nos espaço das variáveis reduzidas
3.4 - Classificação das Incertezas na Análise de Confiabilidade Estrutural
As várias incertezas relacionadas ao projeto, fabricação e uso de uma
estrutura podem ser classificadas em incertezas normais e incertezas
associadas a erros humanos e outros fatores que independem do engenheiro
estrutural [2-3].
As incertezas normais podem ser ainda subdivididas em incertezas
inerentes ou fundamentais e incertezas devido ao incompleto ou imperfeito
conhecimento na avaliação das cargas, solicitações e resistência de uma
estrutura. As incertezas inerentes ou fundamentais resultam da variabilidade
natural de uma determinada variável, por exemplo, altura de onda, velocidade
do vento, etc. Estas incertezas não podem ser eliminadas com um maior número

52
de informações. As incertezas devido ao imperfeito ou incompleto
conhecimento, também denominadas como epistêmicas, estão diretamente
relacionadas à quantidade limitada de dados para definir estatisticamente as
incertezas fundamentais e à imperfeição nos modelos matemáticos usados para
calcular cargas, solicitações e a capacidade resistente de uma estrutura. Estas
incertezas podem ser reduzidas a partir de um número maior de informações ou
através do emprego de modelos matemáticos mais precisos.
Incertezas associadas a erros humanos e outros fatores, tais como
sabotagem, colisões, etc., estão presentes no projeto, execução, manutenção e
uso de uma estrutura e podem ser reduzidas através de mecanismos como
controle de qualidade, inspeções, sistemas de alarme, etc.
As incertezas normais podem ser representadas através de variáveis
aleatórias enquanto que as incertezas associadas a fatores humanos não. Estas
últimas podem ser tratadas através de uma taxa de ocorrência a partir de um
histórico de observações e contempladas no âmbito da confiabilidade de
sistemas.
A análise de confiabilidade estrutural determina a probabilidade de uma
estrutura falhar associada às incertezas normais e não contempla aquelas
relacionadas a erros humanos. Assim esta probabilidade constitui-se de apenas
uma parcela que contribui para a probabilidade “real”de falha de uma estrutura.
Por este motivo, a probabilidade de falha calculada pela confiabilidade
estrutural não pode ser comparada a valores obtidos a partir de falhas
acontecidas com estruturas.
3.5 - Referências Bibliográficas
Planning and Design, Vol. II, John Willey and Sons, New York, 1984.
2. Madsen, H.O., Krenk, S., Lind, N.C. - Methods of Structural Safety,
Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1986.
3. Melchers, R.E. - Structural Reliability: Analysis and Prediction, Ellis
Horwood, Chichester, 1987.

Métodos Analíticos para Análise de Confiabilidade
53
4. MÉTODOS ANALÍTICOS PARA ANÁLISE DE
CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
De acordo com o que foi definido anteriormente, um dos objetivos da
confiabilidade é a avaliação da integral apresentada na equação (3.3). Para
problemas reais , onde podem existir várias variáveis dependentes uma das
outras e não-normais e a função de falha complexa, a avaliação numérica da
equação (3.3) é não é tarefa fácil de ser executada. Por este motivo, métodos
alternativos são geralmente empregados na sua avaliação. Estes métodos se
dividem basicamente em métodos analíticos e métodos baseados na simulação
de Monte Carlo. A seguir serão apresentados os métodos analíticos, conhecidos
como FORM e SORM.
4.1 - Método FORM (First Order Reliabilty Method)
Como foi visto no item (3.3.1), no espaço reduzido das variáveis normais
padrão estatisticamente independentes e para uma função de falha linear, a
confiabilidade pode ser facilmente obtida através da distância da função até a
origem. Esta é a idéia principal do método FORM.
No método FORM, as variáveis aleatórias U, cujas distribuições são
quaisquer e podem ser dependentes entre si ou não, são transformados em
variáveis V normais padrões estatisticamente independentes. A função de falha
G(U) é escrita em função das variáveis V como g(V). Depois disto, a superfície
de falha g(V)=0.0 é aproximada por uma superfície linear (ou hiperplano) no
ponto com a menor distância até a origem, identificado como V ∗
(é o ponto de
projeto no espaço das variáveis reduzidas). A partir disto a probabilidade de
falha, de acordo com o que foi apresentado no item 3.3, pode ser simplesmente
calculada como
pf = −Φ( )β (4.1)

54
onde β é a distância do ponto V ∗
até a origem e é calculado como
β = ∗
V (4.2)
Da mesma forma que foi mostrado no item 3.3.1, temos que
V
V
∗
=
= −
= − ∑
α β
β αg vi i
i
n
( )
1
(4.3)
onde α é o vetor normal à superfície de falha no ponto de projeto.
Na Figura (4.1) é ilustrado o procedimento de cálculo da probabilidade de falha
pelo método FORM.
Figura (4.1) - Representação gráfica do método FORM
Deve ser observado que o método FORM é um método que calcula a
probabilidade de falha de forma aproximada e dependendo da forma da função
g(V) no espaço das variáveis reduzidas. Como mostra a Figura (4.2), esta
aproximação pode ser a favor da segurança quando g(V) for convexa em torno
do ponto de projeto ou ser contra a segurança no caso contrário. Porém, para

55
casos práticos de estruturas, a diferença entre valor real e o valor aproximado
da probabilidade de falha é irrelevante.
O principais desafios no método FORM são a busca ao ponto de projeto
V ∗
e a transformação das variáveis em variáveis normais padrão. Como será
visto a seguir, a transformação das variáveis pode ser feita utilizando a
distribuições normais equivalentes e o ponto de projeto pode ser obtido através
da solução de um problema de otimização (ou programação não-linear).
4.1.1 - Transformação de variáveis
Existem várias possibilidades para transformar as variáveis aleatórias U
em variáveis normais padrão e estatisticamente independentes V. Porém, a
metodologia com maior uso em confiabilidade estrutural, baseia-se na
transformação de variáveis normais correlacionadas em variáveis em normais
estatisticamente independentes. Este transformação é conhecida como
transformação de Nataf [Kiureghian and Liu, 1986].
Figura (4.2) - Aproximação pelo FORM para superfícies côncavas e convexas
Se U contiver somente variáveis normais e estas forem correlacionadas
entre si (ou não) um conjunto de variáveis normais padrão estaticamente
independentes pode ser obtido pela seguinte transformação:
V U m= −−
Γσ 1
( ) (4.4)

56
onde m é o vetor com as médias das variáveis U, σ é uma matriz diagonal
contendo aos desvios padrões das variáveis U e Γ = −
L 1
, sendo L a matriz
triangular inferior obtida da decomposição de Choleski da matriz dos
coeficientes de correlação de U, e é expressa por
L =












L
L L
L L Ln nn
11
12 22
1 2n
0 0 0
0 0
. . . .
.
(4.5)
onde n é o número de variáveis aleatórias envolvidas na transformação e os
termos Lij são definidos como
L
L
L
L
r L L
L L
i i
ik
kk
ik ij
j
k
kj
ii ij
j
i
11
1 1
1
1
2
1
1
10
1
1
=
=
= −








=
−
∑
∑
.
ρ i = 1, n
1< k < i
= - i > 1
=
-
(4.6)
onde ρij é o coeficiente de correlação entre as variáveis Ui e Uj .
Como será visto no item seguinte, para a determinação do ponto de
projeto é necessário a definição do Jacobiano da transformação, ou seja,
J
V
U
=
∂
∂
(4.7)
A partir da equação (4.4) temos
J = −
Γ σ 1
(4.8)
Na maioria dos casos as variáveis não são normais e para estes casos,
então, uma transformação em normal equivalente, como apresentada no item
2.9, pode ser empregada para podermos operar com a equação (4.4). Deve ser
colocado que a transformação em normais equivalentes, apresentada no item

57
2.9, não considera casos onde as variáveis são correlacionadas. No caso de
variáveis correlacionadas também é possível usar a mesma transformação para
obtermos normais equivalentes, desde que os coeficientes de correlações entre
as variáveis originais sejam corrigidos para coeficientes de correlações entre as
normais equivalentes.
Sejam duas variáveis Ui e Uj com distribuições de probabilidades
quaisquer e dependentes entre si, cuja dependência é definida pelo coeficiente
de correlação ρij , então, o coeficiente de correlação equivalente entre as duas
distribuições normais equivalentes às variáveis Ui e Uj pode ser definido como
ρ ρij
E
ijF= (4.9)
onde F é um valor que depende somente de ρij e dos coeficientes de variação
das variáveis Ui e Uj . Este valor não depende do ponto onde transformação
está sendo realizada. Kiureghian and Liu [1986] desenvolveram expressões
analíticas para o fator F para um grande número de distribuições de
probabilidades.
Uma vez definidas as normais equivalentes para as variáveis U e as
suas correlações equivalentes, a expressão (4.4) pode ser então empregada
para obter variáveis normais padrões estatisticamente independentes V.
A transformação de Nataf exposta anteriormente simplesmente opera
com a distribuição marginal das variáveis aleatórias e com o coeficiente de
correlação entre as variáveis, ou seja, a função densidade de probabilidades
conjunta fu U( ) não é conhecida. Por este motivo, se diz que tais informações,
distribuição marginal e coeficientes de correlação, são informações
probabilísticas incompletas. Porém, este é o caso da grande maioria das
aplicações práticas.
No caso onde as informações probabilísticas completas são conhecidas,
ou seja fu U( ) é conhecida, a transformação de Rosenblatt [Madsen, et al. 1986]
é a mais indicada para a transformação das variáveis V em U. Esta
transformação é definida como
( )
( )
( )
V F U
V F U U
V F U U U U
U
U
n Un n n
1
1
1 1
2
1
2 2 1
1
1 2
=
=
=
−
−
−
Φ
Φ
Φ
( )
( / )
( / )


(4.10)

58
onde F U U U UUi i i( / )1 2 1 − é a função cumulativa de probabilidades da variável Ui
condicionada a valores conhecidos da variáveis U1, U2, ..., Ui-1 e Φ−1
(.)é o
inverso da função cumulativa normal padrão.
Como poucas vezes na prática estão disponíveis os dados na forma
adequada para serem utilizados na transformação de Rosenblatt, a
transformação de Nataf é a mais usada. Mesmo para os casos onde distribuição
de probabilidade conjunta das variáveis é conhecida, o modelo de Nataf pode
ser empregado, utilizando alguns detalhes a mais do que foi apresentado
anteriormente. Este tópico foge ao escopo deste curso mas pode ser visto com
maiores detalhes em [Kiureghian and Liu, 1986].
4.1.2 – Pesquisa do Ponto de Projeto
Um dos passo fundamentais para o cálculo da probabilidade de falha
pelo método FORM é o de encontrar o ponto V ∗
sobre a superfície de falha
mais próximo à origem. Isto pode ser formulado como um problema de
otimização P1 (ou programação não-linear) com uma restrição tal que
P1
0
:
( )
minimize
sujeito a g
V
V =
(4.11)
Existem vários algoritmos de otimização para resolver este
problema. O algoritmo mais usado na análise de confiabilidade estrutural é
aquele desenvolvido por Hasofer and Lind [1974] e aprimorado po Rackwitz and
Fiessler [1978]. Este algoritmo é comumente identificado como HLRF e é
resumido pela seguinte expressão recursiva:
[ ]V
V
V V V VK
K
K T K K K T
g
g g+
=
∇
∇ − ∇1
2
1
g
( )
( ) ( ) ( ) (4.12)
onde ∇g K
( )V é o gradiente da função de falha no espaço reduzido e g K
( )V é o
valor da função de falha, ambos avaliados no ponto V K
.
Para a utilização do método HL-RF, são de extrema utilidade as
seguintes relações
g( ) ( )V UG=
V U m= −−
Γσ 1
( ) (4.13)

59
∇ = ∇−
g GT
( ) ) ( )V J U( 1
onde ∇G(U) é o gradiente da função de falha no espaço original avaliado no
ponto U. As demais variáveis já foram definidas previamente.
A experiência tem mostrado que embora na maioria das vezes este
método alcance a convergência rapidamente, ele pode não convergir em
algumas situações.
4.2 - Método SORM (Second Order Reliabilty Method)
A idéia do método analítico SORM é basicamente a mesma do FORM. A
diferença entre ambos consiste na aproximação feita para superfície de falha
no espaço reduzido. No SORM, ao invés de se fazer uma superfície linear no
ponto de projeto V ∗
se faz uma aproximação por uma superfície quadrática,
como mostra a Figura (4.3).
Figura 4.3 - Ilustração dos Métodos Analíticos FORM e SORM

60
Para esta aproximação várias expressões para o cálculo da probabilidade
de falha pf foram propostas, porém a mais simples delas é a fórmula de Breitung
[Breitung, 1984]
( ) ( )pf
i
n
i= − +
=
−
−
Φ Πβ βκ
1
1
1 2
1
/
(4.14)
onde κi são as curvaturas principais da superfície de falha no ponto de projeto
V*
e n o número de variáveis randômicas na análise. A avaliação de κi é feita
segundo procedimentos apresentados em [Liu and Kiureghian, 1989; Madsen et
al., 1986; Breitung, 1984]. Esses procedimentos envolvem a avaliação das
derivadas de segunda ordem da função de falha no ponto de projeto.
A expressão (4.14) é uma aproximação assintótica, i.e., ela converge
para o valor exato para valores pequenos de pf. A solução exata para a
probabilidade correspondente a uma superfície de estado limite quadrática foi
recentemente obtida por Tvedt [1990]. Esta solução é um pouco mais
complicada que a expressão (4.14) pois a mesma envolve uma integração
envolvendo números complexos.
4.3 - Algoritmo para Análise de Confiabilidade pelos Métodos FORM e
SORM
De acordo com o que foi apresentado anteriormente, a análise de
confiabilidade pelos métodos analíticos FORM e SORM podem ser resumida
pelo seguinte algoritimo:
1) Avaliar as correlações equivalentes entre as variáveis e montar a matriz Γ;
2) Escolher um ponto de partida U no espaço original (geralmente as médias);
3) Avaliar as médias e desvios padrões das normais equivalentes no ponto de
partida através das expressões
( )( ){ }
( )
σ
ϕ
Ui
N
Ui i
Ui i
F U
f U
=
-1
Φ *
*
( )( )µ σUi
N
i Ui
N
Ui iF UU= − −* *
Φ 1
e depois montar as matrizes σ e m, com os respectivos desvios padrões e
médias das normais equivalentes;
4) Avaliar a função de falha G(U), o Jacobiano e o gradiente de G(U) no espaço
reduzido através das expressões

61
g( ) ( )V UG=
J 1
= −
Γσ
∇ = ∇−
g GT
( ) ) ( )V J U( 1
5) Transformar o ponto de partida para o espaço reduzido usando
V J(U m)= −
6)Avaliar o novo ponto V next
através do algoritmo HLRF
[ ]V
V
V V V Vnext
g=
∇
∇ − ∇
1
2
g
g gT T
( )
( ) ( ) ( )
7) Avaliar o índice de confiabilidade
β = V next
8) Avaliar o novo ponto Unext
no espaço original através da seguinte expressão
( )U U J V Vnext T next
= + −−1
( )
9) Tomar Unext
como novo ponto de partida e repetir os passos 3 a 8 até a
convergência, i.e.,
V V
V
next
next
TOL
−
≤
10) Avaliar a probabilidade de falha pelo método FORM por
pfFORM
= −Φ( )β
ou pelo método SORM como
( ) ( )pfSORM
i
n
i= − +
=
−
−
Φ Πβ βκ
1
1
1 2
1
/
A avaliação da probabilidade de falha pelo método FORM envolve além
da avaliação da função de falha nos pontos calculados pelo algoritmo a
avaliação das suas derivadas para compor o vetor gradiente. Para problemas

62
práticos o cálculo destas derivadas pode ser feito numericamente via diferenças
finitas. Este cálculo envolve no mínimo n avaliações a mais da função de falha
por iteração do algoritmo HLRF, onde n é o número de variáveis aleatórias.
Portanto, para problemas onde a função de falha G(U) é computacionalmente
cara de ser avaliada é melhor se possível trabalhar com derivadas analíticas e
não numéricas.
No SORM é necessário calcular as derivadas de segunda ordem de G(U)
para a avaliação das curvaturas no ponto de projeto. Embora o cálculo destas
derivadas possa ser feito somente quando houve a convergência do algoritmo
HLRF, valem as observações feitas anteriormente para funções de falha que
requerem elevados tempos de computador para serem avaliadas.
Na grande maioria dos problemas práticos apenas o método FORM tem
sido usado.
Exemplo 4.1
Uma barra com resistência R está submetida a uma solicitação S. Sabendo-se que R é uma
variável aleatória com distribuição lognormal com média 10.0 e desvio padrão 2.0 e S é
uma variável aleatória com distribuição normal com média 5.0 e desvio padrão 2.0, calcule
a probabilidade da barra falhar.
Solução
Definição da função de falha:
U
U
=
= −
( , )
( )
R S
G R S
Parâmetros da distribuição de R
ξ
σ
µ
R
R
R
= +





 =ln .1 0198
2
2
λ µ ξR R= − =ln( ) .
1
2
2 2832
Equações para cálculo das normais equivalentes
Para R : µ λR
N
RR R= − +( ln )1 e σ ξR
N
RR=
Para S: µ µR
N
R= e σ σR
N
R=
Passos do algoritmo

63
1) Γ =






1 0
0 1
2) Ponto de Partida ( )U T
= 10 5,
3) Usando as expressões acima
µ λR
N
RR R= − + =( ln ) .1 9 804 ; σ ξR
N
RR= = 198.
µ µS
N
S= = 5 0. ; σ σS
N
S= = 2 0.
e σ
σ
σ
=





 =






R
N
S
N
0
0
198 0
0 2 0
.
.
; ( ) ( )mT
R
N
S
N
= =µ µ, . , .9 804 5 00
4) Avaliação da função de falha e seus gradientes no espaço original e reduzido
( )G R SU = − = − =10 0 5 00 5 00. . . ; ( ) ( )G GV U= = 5 00.
J = =






−
Γσ 1 0 505 0
0 0 500
.
.
; ( )J 1−
=






T 198 0
0 2 00
.
.
( ) ( )∆G
T
U = −1 1, ; ∇ = ∇ =
−






−
g GT
( ) ) ( )
.
.
V J U( 1 198
2 00
5) Ponto de partida no espaço reduzido
V J U m= − =





( )
.
.
0 099
0 000
6) Novo ponto de projeto
[ ]V
V
V V V Vnext
g=
∇
∇ − ∇ =
−





1 1201
12132
g
g gT T
( )
( ) ( ) ( )
.
.
7) Índice de confiabilidade
β = V next
β = 1707.
8) Ponto de projeto no espaço original

64
( )U U J V V1next T next
= + − =






−
( )
.
.
7 426
7 426
A partir de agora o processo se repete até a convergência. O resumo da análise é
mostrado na tabela abaixo.
Iteração Variável Ponto de
Projeto U
σUi
N
µUi
N
β Novo
ponto de
Projeto
1 R 10.00 1.980 9.804 1.707 7.426
S 5.000 2.000 5.000 7.426
2 R 7.426 1.471 9.490 1.809 7.914
S 7.426 2.000 5.000 7.914
3 R 7.914 1.567 9.610 1.814 7.856
S 7.914 2.000 5.000 7.856
4 R 7.856 1.556 9.598 1.814 7.864
S 7.856 2.000 5.000 7.864
5 R 7.864 1.557 9.599 1.814 7.863
S 7.864 2.000 5.000 7.863
onde a probabilidade de falha pelo método FORM é dada por
pfFORM
= − = − =Φ Φ( ) ( . ) .β 1814 0 035
O valor exato da probabilidade de falha, calculado pelas equações (3.5) ou (3.6) é
pf = 0 032.
Exemplo 4.2
Seja a função de performance
( )G YW MU = −
onde U T
Y W M= ( , , ) com as seguintes características estatísticas
Variável Média COV (δ) Distribuição
Y 40.00 0.125 Lognormal
W 50.00 0.050 Lognormal

65
M 1000.00 0.2000 Ext. Tipo I
Assumindo que Y e W são correlacionados com ρY W, .= 0 40. Calcule a probabilidade de
G(U) assumir valores menores ou iguais a zero.
Solução
Passos do algoritmo
1) Cálculo das correlações equivalentes
ρ ρY W
E
Y WF, ,=
F para duas distribuições lognormais (Liu and Kiureghian, 1986)
F
Y W Y W
Y W W Y
=
+
+ +
=
ln( )
ln( )ln( )
.
,
,
1
1 1
1003
2 2
ρ δ δ
ρ δ δ
e
ρY W
E
, . . .= × =1003 0 40 0 4013
Com isto a matriz de correlação entre as variáveis é dada por
ρ =










1 0 4013 0
0 4013 1 0
0 0 1
.
.
Usando a expressão (4.6) tem-se
Γ = −










1 0 0
0 438 1092 0
0 0 1
. .
2) Ponto de Partida ( )U T
= 40 501000, ,
3)usando as expressões as equações para transformação de normais equivalentes
µY
N
= 39 69. ; σY
N
= 4 98.
µW
N
= 49 94. ; σW
N
= 2 50.
µM
N
= 966 09. ; σM
N
= 19123.

66
e σ
σ
σ
σ
=










=










Y
N
W
N
M
N
0 0
0 0
0 0
4 98 0 0
0 2 50 0
0 0 19123
.
.
.
;
( ) ( )mT
Y
N
W
N
M
N
= =µ µ µ, , . , . , .39 69 49 94 966 09
4)Avaliação da função de falha e seus gradientes no espaço original e reduzido
( )G YW MU = − = × − =40 50 1000 1000 00. ; ( ) ( )G GV U= = 1000 00.
J 1
= = −










−
Γσ
0 20078 0 0
0 08797 0 4370 0
0 0 0 005229
.
. .
.
;
( )J 1−
=










T
4 9806 10026 0
0 2 2884 0
0 0 191229
. .
.
.
( ) ( )∆G W Y
T
U = −, , 1 ; ∇ = ∇ =
−










−
g GT
( ) ) ( )
.
.
.
V J U( 1
289 14
9154
19123
5)Ponto de partida no espaço reduzido
V J U m= − = − −










( )
.
.
.
0 06226
5 33 15
0 17732
E
6)Novo ponto de projeto
[ ]V
V
V V V Vnext
g=
∇
∇ − ∇ =
−
−










1
2 285
0 723
1511
2
g
g gT T
( )
( ) ( ) ( )
.
.
.
7)Índice de confiabilidade
β = V next
β = 2 8335.
8)Ponto de projeto no espaço original

67
( )U U J V V1next T next
= + − =










−
( )
.
.
.
28 31
45 99
1255 09
A partir de agora o processo se repete até a convergência. O resumo da análise é
mostrado na tabela abaixo.
Iteração Variável Ponto
de
Projeto
(U)
σU
N
i
µU
N
i
β G(U) Novo
Ponto
de
Projeto
1 Y 40.00 4.98 39.69 28.31
W 50.00 2.50 49.94 2.8330 1000.00 45.99
Z 1000.00 191.23 966.09 1255.09
2 Y 28.31 3.53 37.88 32.64
W 45.99 2.30 48.78 2.7460 48.87 47.42
Z 1255.09 286.43 893.82 1541.45
3 Y 32.64 4.06 39.02 33.69
W 47.42 2.37 49.87 2.6660 6.174 47.72
Z 1541.45 389.18 718.94 1607.46
4 Y 33.69 4.19 39.21 33.78
W 47.72 2.38 49.89 2.6644 0.3216 47.75
Z 1607.46 411.21 670.57 1612.99
5 Y 33.78 4.21 39.23 33.78
W 47.75 2.39 49.89 2.6644 0.0025 47.75
Z 1612.99 413.02 666.42 1613.28
6 Y 33.78 4.21 39.23 33.78
W 47.75 2.39 49.89 2.6644 3.93E-5 47.75
Z 1613.28 413.12 66.20 1613.30
A probabilidade de falha pelo método FORM é dada por
pfFORM
= − = − =Φ Φ( ) ( . ) .β 2 6644 0 003857
Exercício 4.1
Dada a seguinte função de performance
( )G dmax AF BFU = − − −2
ε

68
onde
( )U T
A F B= , , ,ε
cujas variáveis aleatórias são as seguintes
Variável Média COV (ou σ) Distribuição
F 25.00 0.23 Lognormal
A 0.00113 0.30 Tipo I (max.)
B 0.0006 0.30 Lognormal
ε 0.0 σ=0.10 normal
Assumindo que A e B são correlacionados com ρA B, .= 0 60 , calcule a probabilidade de
G(U) ser menor ou igual a zero para dmax=1.0.
4.4- Medidas de Sensibilidade
O método analítico FORM fornece, além da probabilidade de falha, outras
medidas de grande importância para análises práticas de confiabilidade. Estas
medidas são conhecidas como medidas de sensibilidade. Existem várias
medidas de sensibilidade, como pode ser visto em [Madsen, et al., 1986]. Neste
curso somente serão comentadas algumas delas: fatores de importância, fatores
de omissão e fatores de sensibilidade paramétricos.
O fator de importância de cada variável aleatória i envolvida na análise de
confiabilidade e definido por
Ii i= α2
(4.15)
onde αi é o cosseno diretor com relação a variável Ui do vetor normal a
superfície de falha no ponto de projeto e no espaço das variáveis reduzidas. De
acordo com o que foi definido no item 4.1.1
αi
ig
g
=
∆
∆
( )
( )
*
*
V
V
(4.16)
onde ∆g i( )*
V é a componente do gradiente da função de falha no espaço das
variáveis reduzidas avaliado no ponto de projeto V *
. Os fatores de importância

69
indicam, como o nome próprio nome diz, qual é a importância relativa de cada
variável no valor final da probabilidade de falha. As variáveis com fator de
importância baixo podem ser consideradas como determinísticas na análise.
Somente as variáveis com fatores de importância altos que efetivamente
contribuem para a probabilidade de falha. Assim, para melhorar um projeto por
exemplo, um investimento maior deveria ser feito sobre estas variáveis.
O chamado fator de omissão está diretamente ligado ao fator de
importância e é definido como a relação inversa entre o índice de confiabilidade
atual e o índice de confiabilidade considerando que a variável aleatória Ui é
determinística. Para variáveis estatisticamente independentes e o valor
determinístico como sendo a média este fator é definido por
( )γ
β µ
β α
Ui
i Ui
i
U
=
=
=
−
1
1 2
(4.17)
Para variáveis dependentes e valores determinísticos diferentes da média a
expressão geral do fator de omissão pode ser vista em [Madsen, 1988; Sagrilo,
1994].
Os fatores de sensibilidade paramétricos são aqueles que fornecem a
variação do índice de confiabilidade quando ocorrem mudanças nos parâmetros
que definem a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Para uma
variação ∆pj em um parâmetro pj da distribuição de probabilidades da variável i,
o novo índice de confiabilidade é dado por
β β
∂β
∂
novo velho
j
i j
p
p= + ∆ (4.18)
sendo
∂β
∂pj
i
obtido através de expressões que envolvem a transformação de
variáveis, o índice de confiabilidade (“velho” ou atual) e o ponto de projeto como
pode ser visto em [Madsen, et al. 1986; Sagrilo, 1994]. Através da expressão
(4.18) é possível fazer uma previsão dos valores de um determinado parâmetro
de uma determinada variável de forma a atender um determinado índice de
confiabilidade, sem repetir a análise.
4.5 - Análise de Confiabilidade de Sistemas pelo Método FORM
Existem casos em que um mesmo problema pode envolver mais de uma
função de performance. Como um simples exemplo, uma viga-coluna que pode
falhar por flexão ou por flambagem, i.e., mais de um modo de falha e cada um
deles representado por sua função de performance (ou de falha) particular.

70
Neste caso, a probabilidade de falha pode ser calculada, usando o método
FORM, para cada modo de falha, sendo depois avaliada a probabilidade do
sistema falhar como um todo, considerando a contribuição de todos os modos. A
representação gráfica de alguns destes casos é mostrada na Figura (4.4). Estes
problemas são tratados na análise de confiabilidade estrutural dentro de uma
linha denominada confiabilidade de sistemas.
Um sistema é chamado de sistema em série quando a falha de um dos
seus modos (ou componentes) leva o mesmo a falhar também, por outro lado
um sistema é chamado de sistema em paralelo quando a falha do mesmo ocorre
depois da falha de todos os seus modos (ou componentes).
Figura 4.4 - Definições de Sistemas na Análise de Confiabilidade Estrutural
(a) sistemas em série e (b) sistemas em paralelo
Outros problemas, como a existência de mais de um ponto de mínimo no
espaço reduzido para uma mesma função de falha conforme ilustra a Figura
(4.5), também se enquadram na definição de sistemas.
A avaliação da probabilidade de falha para sistemas, usando o método
FORM, é uma extensão do que foi apresentado anteriormente como será visto a
seguir.
Deve-se enfatizar que componentes e sistemas na análise de
confiabilidade estrutural tem uma conotação diferente da análise estrutural
propriamente dita. Por exemplo, uma simples viga pertencente a uma

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