macs

1. 1
Elisabete Longo
Isabel Branco
MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS – 10.o
ANO Duração: 90 minutos
Na resposta a cada item, apresente todos os cálculosquetiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Quando para um resultado não for pedida aproximação, apresente sempre o valor exato.
Sempre que recorrer à calculadora, apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização.
As respostas aos itens que envolvam o uso da calculadora gráfica devem apresentar, consoante a situação:
• os gráficos obtidos, a janela de visualização e as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução
(por exemplo, coordenadas de pontos de interseção de gráficos, máximos ou mínimos);
• as linhas da tabela obtida que são relevantes para a resolução;
• as listas introduzidas na calculadora para se obterem as estatísticas pedidas (por exemplo, média, desvio
padrão, coeficiente de correlação, declive ou ordenada na origem de uma reta de regressão).
1. NaescoladoDuarteapresentaramcandidaturaàassociaçãode estudantesquatrolistas:Criativos(C),
Descontraídos (D), Empolgados (E) e Pacatos (P).
Todosos1746 alunosdaescolapodiamexerceroseudireitode voto,emboranemtodosotenham
feito.
Na tabela seguinte, onde se apresentam os resultados, faltam alguns valores.
Listas
Votos
Número Percentagem
C 21,68%
D 162 10,45%
E 27,74%
P 528
Em branco 58 3,74%
Nulos
1.1 Complete atabela.Apresente onúmerode votosde cada listaarredondadoàs unidadese as
respetivas percentagens arredondadas às centésimas.
1.2 O número de votos validamente expressos foi:
(A) 1746 (B) 1550 (C) 1456 (D) 528
1.3 Determine a percentagem de abstenção, apresentando o resultado final com uma casa
decimal.
Nome______________________________________________________N.o
_______Turma _________Data ____ /out./2020
Avaliação ___________________E. Educação __________________ Professor__________________________
Teste de Avaliação 1

2. 2 Elisabete Longo
Isabel Branco
1.4 Considerandoosistemamaioritário,qual foialistavencedora?Indique,justificando,otipode
maioria com que venceu.
1.5 Considere agoraque paravencer estaeleiçãoé necessáriaumamaioriaabsolutacontabilizada
apenas com base nos votos validamente expressos.
Comestainformação,aslistasCe Edecidemassociar-senumacoligaçãoficando,deste modo,
com mais votos que qualquer uma das outras listas.
Será esta uma opção vencedora?Justifique asua respostacomeçando por indicaro número
de votos desta coligação.
2. Quatro candidatos, Olho (O), Vivo (V), Pé (P) e Ligeiro (L), concorrem a diretor de um clube
desportivo. Os resultados da votação foram organizados na tabela seguinte.
Ordem
de preferência
Número de votos
60 78 84 25 105
1.a O L V L P
2.a L V O P O
3.a V O L O V
4.a P P P V L
2.1 Atualmente, a seleção do diretor deste clube desportivo resulta da aplicação do método
a seguir descrito:
• Efetua-se acontagemdonúmerode primeiraspreferênciasdecadacandidatoe verifica-se
se algum deles obtém a maioria absoluta na primeira preferência.Caso isso se verifique,
esse candidato é o vencedor.
• Caso contrário, elimina-se o candidato menos votado como primeira preferência. Em
seguida, a tabela de preferências é reestruturada, e, em cada coluna, os candidatos que
ocupavamos lugaresabaixodo candidatoeliminadosobemumalinha,mantendo-sepela
mesma ordem.
• Os procedimentosanterioressãoaplicadosànovatabelade preferênciasobtidanopasso
anterior.
• O processo repete-se até que um dos candidatos obtenha maioria absoluta na primeira
preferência.
Determine qual dos candidatos conseguiu ficar com o cargo de diretor. Na sua resposta,
aplique o método descrito, apresentando todos os cálculos efetuados.

3. 3
Elisabete Longo
Isabel Branco
2.2 O método anteriormente utilizado para a seleção do diretor do clube era o que a seguir se
descreve:
• Seleciona-seumparde candidatose,nãoalterandoosnúmerosde votosnemaordemde
cada uma das preferências, elabora-se uma nova tabela apenas com os dois candidatos
que constituem esse par.
• Comparam-se esses candidatos, contabilizando-se apenas a primeira linha; o candidato
com o maior número de votos na primeira linha é o vencedor do par escolhido.
• Repetem-se ospassosanterioresaté teremsidocomparadostodososparesde candidatos.
• Indica-se,casoexista,o candidatoque ganha quandocomparado com todosos restantes
candidatos.Casonão exista,sorteia-seovencedorde entre osque vencerampelomenos
um confronto direto.
Considere a afirmação: «Se estivesse ainda em vigor o método anteriormente utilizado, ele
poderia não ter conseguido o cargo de diretor!»
Determine qual, ou quais, os candidatos que poderiam ter proferido a afirmação anterior.
Na sua resposta, aplique o método descrito, apresentando todos os cálculos efetuados
e justifique a resposta.
2.3 Considere, agora, apenas as duas primeiras preferências de cada votante. Determine, caso
exista,o candidatoque fica com o lugar de diretordo clube desportivousandoosistemade
aprovação.
3. Numa votação com quatro candidatos, A, B, C e D, obtiveram-se os resultados seguintes após
a aplicação do sistema preferencial.
Número
de votos
Ordem de preferência
1.a 2.a 3.a 4.a
50 A C B D
40 B D A C
3.1 Segundo o método de contagem de Borda, a escolha do vencedor faz-se de acordo com os
seguintes critérios e etapas:
• Para que um votosejaconsideradoválido,cadavotante ordena,umaúnicavez,osnomes
dos quatro candidatos de acordo com as suas preferências.
• Na ordenação final dos candidatos, cada primeira preferência recebe tantos pontos
quantos os candidatos em votação.
• Cada segunda preferência recebe menos um ponto do que a primeira, e assim
sucessivamente, recebendo a última preferência um ponto.
• É escolhido o candidato com maior número de pontos.
Utilize o método de Borda para determinar o vencedor desta votação.

4. 4 Elisabete Longo
Isabel Branco
3.2 Suponhaagora que,porirregularidadesdetetadasapósavotação,o candidatoC foi retirado.
3.2.1 Elabore esquemas preferenciais que traduzam esta alteração.
3.2.2 Utilize novamenteométododeBordaparadeterminarovencedornestanovasituação.
Compare os resultados obtidos em 3.1. e tire conclusões.
4. Doisirmãos,Pedroe Tatiana,herdaramalgunsbensde umtio-avôsolteirão:umrelógiode pé alto,
uma pianola, um quadro de Paula Rego e uma escultura de Soares dos Reis. Os irmãos decidem
fazer a partilha dos bens usando o método que a seguir se descreve:
• Cada irmão atribui, secretamente, pontosa cada um dos bens, de modo que o total dos seus
pontos seja 100.
• Cada bem é atribuído, temporariamente, ao irmão que mais o valoriza. Determina-se o total
de pontos dos bens atribuídos temporariamente a cada irmão. Seja A o irmão com o total de
pontos mais elevado e B o outro irmão.
• Procede-se ao ajuste da partilha, poisos irmãos devem ficar com um número total de pontos
igual. Dos bens do irmão A, o bem que tiver o menor quociente entre o número de pontos
atribuídospeloirmãoA e onúmerode pontosatribuídopelooutroirmão,seráusadoparafazer
o ajuste, isto é, será esse o bem a partilhar pelos irmãos.
• Representa-se o total final de pontos a atribuir ao irmão A pela diferença entre o total
temporário dos seus pontos e x por cento do valor por ele atribuído ao bem a partilhar.
• Representa-se ototal final de pontos a atribuirao irmão B pelasoma do total temporáriodos
seus pontos com x por cento do valor por este atribuído ao bem a partilhar.
• Igualam-se os dois totais finais de modo a determinar o valor de x para o qual a partilha fica
equilibrada.
Oregistodonúmerode pontosatribuídopeloPedroepelaTatianaaosbensapartilharencontra-se
na tabela seguinte.
Bens Pedro Tatiana
Relógio 15 24
Pianola 40 21
Quadro 28 42
Escultura 17 13

5. 5
Elisabete Longo
Isabel Branco
Faça a partilha dos bens usando o método referido.
Na sua resposta deve:
- indicar a partilha temporária dos bens pelas dois irmãos;
- determinar o total de pontos dos bens atribuídos temporariamente a cada irmão;
- selecionar o bem a utilizar no ajuste da partilha;
- apresentar a equação que traduz o equilíbrio da partilha e resolvê-la;
- provar que, com a solução encontrada (valor em percentagem arredondado às décimas), os
dois irmãos ficam com igual total de pontos;
- apresentar a partilha final dos bens.
FIM
Cotações:
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2.1 3.2.2 4
20 10 15 10 15 20 20 15 20 10 15 30
Total: 200 pontos