Apostila sp1 luciano

760 visualizações

Publicada em

Sistemas de Potencia

Publicada em: Engenharia
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
760
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
16
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
33
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Apostila sp1 luciano

  1. 1. UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS ESCOLA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA ENGENHARIA ELÉTRICA SISTEMAS DE POTÊNCIA I − 052814 NOTAS DE AULA Prof. LUCIANO VITORIA BARBOZA, Dr.Eng.
  2. 2. SUMÁRIO Capítulo 1. Representação dos Sistemas de Potência .................................................................. 1 1.1. Aspectos gerais ....................................................................................................................... 1 1.2. Modelo de circuito de uma máquina síncrona ........................................................................ 1 1.3. Transformador ideal ............................................................................................................... 3 1.4. Circuito equivalente de um transformador real ...................................................................... 5 1.5. Circuito equivalente de um transformador real com tap fora do valor nominal .................... 7 1.6. Autotransformador ................................................................................................................. 9 1.7. Grandezas em por unidade ................................................................................................... 10 1.8. Impedância por unidade em circuitos com transformadores ................................................ 11 1.9. Impedância por unidade de transformadores de três enrolamentos ...................................... 13 1.10. Diagrama unifilar ............................................................................................................... 15 1.11. Diagramas de impedâncias e reatâncias ............................................................................. 17 1.12. Lista de exercícios .............................................................................................................. 20 Capítulo 2. Cálculo de Redes ....................................................................................................... 23 2.1. Aspectos gerais ..................................................................................................................... 23 2.2. Equivalência de fontes .......................................................................................................... 23 2.3. Equações nodais ................................................................................................................... 24 2.4. Partição de matrizes .............................................................................................................. 27 2.5. Eliminação de nós pela álgebra matricial ............................................................................. 28 2.6. Matrizes admitância e impedância de barra ......................................................................... 31 2.7. Modificação de uma matriz impedância de barra já existente ............................................. 32 Caso 1: Adição de um ramo de uma nova barra p até à barra de referência ............................ 32 Caso 2: Adição de um ramo de uma nova barra p até uma barra k já existente ....................... 33 Caso 3: Adição de um ramo de uma barra k já existente até à barra de referência .................. 34 Caso 4: Adição de um ramo entre duas barras j e k já existentes ............................................. 35 2.8. Determinação direta da matriz impedância de barra ............................................................ 36 2.9. Lista de Exercícios ............................................................................................................... 38
  3. 3. Sumário Prof. Luciano Vitoria Barboza Sistemas de Potência I iii Capítulo 3. Fluxo de Potência ...................................................................................................... 41 3.1. Aspectos gerais ..................................................................................................................... 41 3.2. Formulação do problema ...................................................................................................... 41 3.3. Fluxos de potências ativa e reativa .........................................................................................43 3.3.1. Linhas de transmissão ..................................................................................................... 43 3.3.2. Transformadores em fase ................................................................................................ 44 3.4. Formulação matricial ............................................................................................................ 45 3.5. Equacionamento em termos das variáveis do sistema .......................................................... 47 3.6. Métodos iterativos de Gauss e de Gauss-Seidel ................................................................... 49 3.7. Método iterativo de Newton-Raphson ................................................................................. 50 3.8. Métodos iterativos desacoplados .......................................................................................... 52 3.8.1. Método de Newton-Raphson desacoplado ..................................................................... 53 3.9. Fluxo de potência linearizado ou Fluxo de carga CC ........................................................... 54 3.9.1. Linearização .................................................................................................................... 55 3.9.2. Formulação matricial ...................................................................................................... 55 3.10. Características dos métodos de solução do fluxo de potência ............................................ 56 3.11. Ajustes e controles .............................................................................................................. 57 3.12. Cargas variáveis com a tensão ............................................................................................ 59 Capítulo 4. Operação Econômica de Sistemas de Potência ...................................................... 60 4.1. Aspectos gerais ..................................................................................................................... 60 4.2. Distribuição de carga entre as unidades de uma mesma central .......................................... 60 4.3. Perdas na transmissão em função da geração da central ...................................................... 64 4.4. Distribuição de carga entre centrais ..................................................................................... 67 4.5. Controle automático de geração ........................................................................................... 69 4.6. Lista de exercícios ................................................................................................................ 72 Apêndice A. Algoritmos para Fluxo de Potência ...................................................................... 75 A.1. Método de Gauss ................................................................................................................. 75 A.2. Método de Gauss-Seidel ...................................................................................................... 76 A.3. Método de Newton-Raphson ............................................................................................... 77 A.4. Método de Newton desacoplado ......................................................................................... 78
  4. 4. I. REPRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE POTÊNCIA 1.1. Aspectos Gerais Neste ponto do estudo sobre sistemas de potência, já se completou o desenvolvimento do modelo do circuito de uma linha de transmissão e já se iniciou os cálculos de tensão, corrente e potência em uma linha. Neste capítulo, serão desenvolvidos os modelos de circuito para a máquina síncrona e para o transformador de potência. Dessa forma, será possível representar o sistema de energia por inteiro. 1.2. Modelo de Circuito de uma Máquina Síncrona A tensão terminal em uma máquina síncrona, atuando como gerador, pode ser expressa como t f a ar a l t f a SV E jI X jI X V E jI X= − − ⇒ = − (1.1) onde Vt é a tensão terminal sob carga; Ef é a tensão gerada a vazio; Ia é a corrente na armadura; jIaXar é a tensão devido à reação da armadura; jIaXl é a tensão devido à reatância de dispersão da armadura; XS é a reatância síncrona, onde XS = Xar + Xl. Se a resistência da armadura Ra for relevante, a equação (1.1) torna-se ( )t f a a SV E I R jX= − + (1.2) A equação (1.2) pode ser representada através de um circuito equivalente, como mostrado na Fi- gura 1.1.
  5. 5. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 2 + − + − Vt RaXlXar Ef Ia XS Figura 1.1. Circuito equivalente para o gerador síncrono. Neste ponto, tem-se a representação do gerador por um circuito equivalente bastante simples, po- rém muito conveniente. A resistência da armadura, normalmente, é bem menor do que a reatância síncrona de modo que a sua omissão não apresenta grande influência nos resultados numéricos. Os princípios até aqui abordados podem ser estendidos ao motor síncrono. O circuito equivalente para o motor é idêntico ao do gerador com o sentido inverso da corrente. O circuito equivalente para o motor síncrono está mostrado na Figura 1.2. + − + − Vt Ra XlXar Ef Ia XS Figura 1.2. Circuito equivalente para o motor síncrono. As tensões geradas internamente no gerador e no motor são, geralmente, identificadas pela nota- ção de subíndice simples como Eg e Em, respectivamente, ao invés de Ef, especialmente quando eles estão no mesmo circuito, como mostrado na Figura 1.3. As equações para este circuito são et g a g t m a mV E jI X V E jI X= − = + (1.3) As reatâncias síncronas do gerador e do motor são Xg e Xm, respectivamente, e as resistências das armaduras foram desprezadas.
  6. 6. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 3 + − + − Xg Xm Eg Em Ia + − Vt Figura 1.3. Circuito equivalente para a conexão de um gerador síncrono e um motor síncrono. Quando são estudados curto-circuitos em máquinas síncronas, a corrente que circula imediata- mente após a ocorrência da falta difere do valor que circula em regime permanente. Em vez da rea- tância síncrona, usa-se a reatância subtransitória X″ ou a reatância transitória X′ na simulação de máquinas síncronas para cálculos de faltas. 1.3. Transformador Ideal Os transformadores são equipamentos constituídos por duas ou mais bobinas situadas de tal for- ma que são enlaçadas pelo mesmo fluxo magnético. Num transformador de potência, as bobina são colocadas sobre um núcleo de material ferromagnético de modo a confinar o fluxo de uma maneira que a quase totalidade desse fluxo enlace todas as bobinas. Suponha que o fluxo magnético varia sinusoidalmente no núcleo e que o transformador é ideal, ou seja, a permeabilidade magnética μ do núcleo é infinita e a resistência dos enrolamentos é nula. Com a permeabilidade do núcleo sendo infinita, todo o fluxo fica confinado no núcleo e, portanto, enlaça todas as espiras de ambos os enrolamentos. A tensão e induzida em cada enrolamento é tam- bém a tensão terminal v dos enrolamentos, pois a resistência dos enrolamentos é nula. Pela lei de Faraday, tem-se 1 1 2 2e d d v N v N dt dt φ φ = = (1.4) onde φ é o valor instantâneo do fluxo magnético no núcleo; N1 e N2 são os números de espiras dos enrolamentos primário e secundário; v1 e v2 são as tensões nos enrolamentos primário e secundário. Supondo uma variação sinusoidal para o fluxo, convertendo para a forma fasorial e combinando as equações (1.4), obtém-se
  7. 7. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 4 1 1 2 2 V N a V N = = (1.5) onde a é a relação de espiras ou relação de transformação do transformador. Por outro lado, sendo o transformador ideal, este não apresenta perdas. Portanto, as potências aparentes nos enrolamentos primário e secundário devem ser iguais. Então, tem-se 1 1 2 2V I V I= (1.6) Pela equação (1.6), tem-se que 2 1 1 1 2 2 I V N a I V N = = = (1.7) o que leva a conclusão de que, no transformador ideal, I1 deve ser nula se I2 for nula. O enrolamento ao qual uma impedância ou outra carga é conectada chama-se enrolamento se- cundário. De modo similar, o enrolamento que está ligado à fonte de energia é chamado enrolamen- to primário. Em sistemas de potência, a energia geralmente circula em ambos os sentidos através do transformador e a designação de primário e secundário perde seu significado. Se uma impedância Z2 é ligada ao enrolamento secundário do transformador, tem-se 2 2 2 V Z I = (1.8) e substituindo V2 e I2 pelos valores obtidos nas equações (1.7), tem-se 2 21 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 N V N N V V Z N N I a II N ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.9) e essa impedância vista dos terminais do enrolamento primário será
  8. 8. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 5 2 21 1 2 2 2 1 2 V N Z Z a Z I N ⎛ ⎞ ′ = = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.10) Portanto, a impedância ligada ao lado secundário fica refletida (ou referida) ao primário multi- plicando a impedância no secundário pelo quadrado da relação de espiras do transformador. Exemplo 1.1: Um transformador monofásico ideal possui valores nominais de 20 kVA, 480/120 V, 60 Hz. Uma fonte conectada ao enrolamento de 480 V alimenta uma carga conectada ao enrolamen- to de 120 V. A carga consome 15 kVA com um fator de potência de 0,8ind quando a tensão na car- ga é 118 V. Calcule: a) a tensão no enrolamento de 480 V; b) a impedância da carga; c) a impedância da carga referida ao enrolamento de 480 V; d) as potências ativa e reativa no enrolamento de 480 V. 1.4. Circuito Equivalente de um Transformador Real O transformador real difere do transformador ideal pois: (1) a sua permeabilidade não é infinita; (2) as resistências dos enrolamentos estão presentes; (3) perdas ocorrem no núcleo devido às variações cíclicas do sentido do fluxo; (4) nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento, enlaça os outros enrolamentos. Quando uma tensão sinusoidal for aplicada ao enrolamento de um transformador com núcleo de ferro e com o secundário em aberto, uma pequena corrente circulará no primário. Essa corrente é chamada corrente de magnetização do transformador. As perdas no ferro ocorrem devidas, primei- ramente, às variações cíclicas do sentido do fluxo no ferro as quais requerem energia que é dissipa- da como calor e é chamada perda por histerese. A segunda perda ocorre por correntes circulantes que são induzidas no ferro devido ao fluxo variável e estas correntes produzem uma |I|2 R no ferro chamada perda por correntes parasitas. A perda por histerese é reduzida com o uso, no núcleo, de ligas de aço especiais. As perdas por correntes parasitas são reduzidas montando o núcleo com fo- lhas de aço laminadas. Para representar o circuito equivalente de magnetização do transformador,
  9. 9. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 6 considera-se uma corrente IE circulando em um circuito paralelo formado por uma susceptância BL e uma condutância G. No transformador real de dois enrolamentos, parte do fluxo que enlaça o enrolamento primário não enlaça o secundário. Esse fluxo é proporcional à corrente do primário e causa uma queda de tensão que corresponde a uma reatância indutiva x1, chamada de reatância de dispersão, a qual é colocada em série com o enrolamento primário do transformador ideal. Uma reatância x2 semelhan- te deve ser acrescentada ao enrolamento secundário para levar em conta a tensão devido ao fluxo que enlaça o secundário porém não enlaça o primário. Quando também são consideradas as resis- tências r1 e r2 dos enrolamentos, tem-se o modelo de transformador mostrado na Figura 1.4. Neste modelo, o transformador ideal é a conexão entre os parâmetros r1, x1, G e BL colocados no primário do transformador e r2 e x2 colocados no secundário. N1 N2 GBL IE 1 2 2 N I N r1 x1 x2 r2 + − − + V2 V1 I1 I2 Figura 1.4. Circuito equivalente do transformador usando o conceito de transformador ideal. O transformador ideal pode ser omitido no circuito equivalente referindo-se todos os parâmetros do transformador para um dos lados. Por exemplo, referindo todas as tensões, correntes e impedân- cias do circuito da Figura 1.4 para o primário do transformador, tem-se o circuito equivalente mos- trado na Figura 1.5. GBL IE r1 x1 a2 x2 a2 r2 + − − + aV2 V1 I1 2I a Figura 1.5. Circuito equivalente do transformador com a corrente de magnetização. Muitas vezes, a corrente de magnetização (IE) é desprezada porque ela é muito pequena compa-
  10. 10. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 7 rada aos valores usuais das correntes de carga. Para simplificar ainda mais o circuito, pode-se fazer 2 2 1 1 2 1 1 2eR r a r X x a x= + = + (1.11) para obter o circuito equivalente mostrado na Figura 1.6. Todas as impedâncias e tensões no secun- dário devem, agora, ser referidas ao primário do transformador. R1 X1 + − − + aV2 V1 I1 Figura 1.6. Circuito equivalente do transformador desprezando a corrente de magnetização. Os parâmetros R e X do transformador de dois enrolamentos são determinados pelo teste de cur- to-circuito. A impedância é medida nos terminais de um enrolamento enquanto o outro enrolamento é curto-circuitado. Como é requerida apenas uma pequena tensão, a corrente de magnetização é in- significante e a impedância medida é praticamente R + jX. Exemplo 1.2: Um transformador monofásico tem 2.000 espiras no enrolamento primário e 500 no secundário. As resistências dos enrolamentos são r1 = 2,0 Ω e r2 = 0,125 Ω. As reatâncias de disper- são são x1 = 8,0 Ω e x2 = 0, 5 Ω. A resistência da carga Z2 é 12 Ω. A tensão aplicada nos terminais do enrolamento primário é de 1.200 V. Determine a tensão V2 e a regulação de tensão. Despreze a corrente de magnetização. 1.5. Circuito Equivalente de um Transformador Real com Tap Fora do Valor Nominal Os transformadores com tap fora do nominal podem esquematicamente ser representados por um transformador ideal com relação de transformação a:1 em série com a sua admitância. A Figura 1.7 mostra o esquema de um transformador com tap fora do valor nominal conectado entre as barras i e k de um sistema de potência.
  11. 11. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 8 Ei Ek Iik Iki p i k yik a:1 Figura 1.7. Esquema de um transformador com tap fora do seu valor nominal. Para o transformador ideal da Figura 1.7, tem-se 1 eki i p k ik ki ik I E aE a E I I y a ⎛ ⎞ = = − + = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.12) A partir das equações (1.12), pode-se escrever que 2 1 1 1 ki ik i ik k ik ik i ik k I y E y E a I y E y E a a = − + = − (1.13) Um transformador com tap fora do valor nominal pode ser modelado por um circuito equivalente π, conforme mostrado na Figura 1.8, onde os parâmetros A, B e C são admitâncias. Ei Ek Iik Iki i k A CB Figura 1.8. Circuito equivalente π de um transformador com tap fora do nominal. As equações que representam o modelo π equivalente são ( ) ( ) ik i k ki i k I A B E AE I AE A C E = + − = − + + (1.14)
  12. 12. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 9 Comparando as equações (1.13) e (1.14) e identificando-se os coeficientes das tensões Ei e Ek, pode-se escrever 2 2 1 1 1 ik ik ik a a A y B y C y a a a − − = = = (1.15) que são os parâmetros A, B e C do circuito π equivalente do transformador com tap fora do valor nominal. 1.6. Autotransformador O autotransformador difere do transformador comum pois os seus enrolamentos são, ao mesmo tempo, eletricamente conectados e acoplados por um fluxo mútuo. Pode-se estudar o autotransfor- mador ligando eletricamente os enrolamentos de um transformador ideal. A Figura 1.9(a) é o dia- grama esquemático de um transformador ideal e a Figura 1.9(b) mostra como os enrolamentos são conectados eletricamente de modo a formar um autotransformador. Nesta figura, os enrolamentos estão dispostos de maneira que suas tensões sejam aditivas, embora eles possam ser ligados de mo- do a se oporem mutuamente. A grande desvantagem do autotransformador é que a isolação elétrica entre os enrolamentos fica perdida, mas o exemplo seguinte demonstra o aumento da potência no- minal que se verifica. + + − − V1 V2 I1 I2 N1 N2 + − + − V1 I1 N1 N2 I2 Ient V2 (a) conectado na maneira usual (b) conectado como um autotransformador Figura 1.9. Diagrama esquemático do transformador ideal. Exemplo 1.3: Um transformador monofásico de 30 kVA, com tensões nominais 240/120 V, é co- nectado como autotransformador como mostra a Figura 1.9(b). A tensão nominal é aplicada ao en- rolamento de baixa tensão. Considere o transformador como sendo ideal e a carga sendo tal que as
  13. 13. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 10 correntes nominais |I1| e |I2| circulem nos enrolamentos. Determine |V2| e os kVA nominais do auto- transformador. Pelo exemplo, observa-se que o autotransformador forneceu uma relação de tensão maior que o transformador comum e transmitiu mais potência elétrica entre os seus dois enrolamentos. Portanto, o autotransformador fornece maior potência nominal pelo mesmo custo. Ele também opera mais eficientemente pois as perdas permanecem as mesmas da conexão comum. Entretanto, a perda da isolação elétrica entre os lados de AT e BT do autotransformador é geralmente o fator decisivo em favor da conexão comum na maioria das aplicações. Em sistemas de potência, os autotransformado- res trifásicos são usados freqüentemente para produzirem pequenos ajustes nas tensões das barras. 1.7. Grandezas em Por Unidade Os sistemas de energia elétrica são operados em níveis de tensão onde o kV é a unidade mais conveniente para expressar a tensão. Para a potência transmitida, MW e MVA são termos comuns. Entretanto, estas quantidades, bem como Ampères ou Ohms, são comumente expressas como por- centagem ou como por unidade (pu) de uma base ou valor de referência especificado para cada grandeza. O valor pu de qualquer quantidade é definido como a relação da quantidade pelo valor base, expresso em decimal. Os cálculos utilizando valores em pu são mais simples do que os que usam os valores em unidades reais. Tensão, corrente, potência e impedância estão relacionadas entre si de modo que a escolha de va- lores bases para quaisquer duas delas determina os valores bases das demais. Para sistemas trifási- cos, escolhe-se a tensão de linha (Vbase, em kV) e a potência aparente trifásica (Nbase, em MVA) co- mo bases. As bases para as demais grandezas podem então ser determinadas como 2 e 3 base base base base basebase N V I Z NV = = (1.16) Não raras vezes, a impedância em pu de um componente do sistema é expressa numa base dife- rente daquela selecionada para a parte do sistema na qual o componente está localizado. Como to- das as impedâncias devem ser expressas na mesma base de impedância, é necessário converter im- pedâncias pu de uma base para outra. Para calcular a impedância em pu, dividi-se o valor real da
  14. 14. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 11 impedância pelo valor de base. Portanto, podemos escrever que ( ) ( ) (pu) e (pu) ant nova ant nova base base Z Z Z Z Z Z Ω Ω = = (1.17) Combinando as equações (1.17), tem-se (pu) (pu) ant nova base nova ant base Z Z Z Z = (1.18) Por outro lado, as impedâncias bases antiga e nova podem ser expressas como 2 2 eant nova ant nova ant nova base base base base base base V V Z Z N N = = (1.19) Substituindo as equações (1.19) na equação (1.18), obtém-se 2 (pu) (pu) nova ant ant nova base base nova ant base base N V Z Z N V ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.20) Com a equação (1.20), pode-se modificar o valor de uma impedância em pu de uma base antiga para uma base nova. 1.8. Impedância Por Unidade em Circuitos com Transformadores Os valores ôhmicos da resistência e da reatância de dispersão de um transformador dependem de que lado se efetuam as medidas, se do lado de AT ou de BT do transformador. Se seus valores são expressos em pu, a base de potência é tomada como sendo a potência nominal do transformador. A tensão base é escolhida como sendo a tensão nominal do enrolamento no qual a resistência e a rea- tância de dispersão estiverem referidas. A impedância em pu do transformador é a mesma, indepen- dente do fato de ter sido obtida a partir dos valores ôhmicos referidos nos lados de AT ou de BT do transformador.
  15. 15. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 12 Exemplo 1.4: Os valores nominais de um transformador monofásico são 2,5 kVA e 110/440 V. A reatância de dispersão medida no lado de BT é 0,06 Ω. Calcule a reatância de dispersão em pu. Exemplo 1.5: Três partes de um sistema elétrico monofásico são designadas por A, B e C e estão in- terligadas através de transformadores, como mostra a Figura 1.10. As características dos transfor- madores são: A – B : 10.000 kVA, 138/13,8 kV, Xdisp = 10% B – C : 10.000 kVA, 138/69 kV, Xdisp = 8% Se as bases no circuito B forem 10.000 kVA e 138 kV, calcule a resistência da carga de 300 Ω em pu referida aos circuitos A, B e C. Trace um diagrama de impedâncias, desprezando a corrente de magnetização e as resistências dos transformadores e a impedância da linha. Determine também a regulação de tensão se a tensão na carga for 66 kV com a suposição de que a tensão de entrada no circuito A permaneça constante. A B C 1:10 A−B 2:1 B−C 300 Ω Figura 1.10. Circuito do Exemplo 1.5. Com base no exemplo anterior, os seguintes pontos devem ser ressaltados quando se trabalha com valores em pu: 1) São escolhidos uma base de tensão e uma base de potência em uma parte do sistema. Os valo- res bases para um sistema trifásico são a potência trifásica e a tensão de linha. 2) Para outras partes do sistema, isto é, nos outros lados dos transformadores, a base de tensão para cada parte é determinada de acordo com as relações de transformação dos transformado- res. A base de potência será a mesma em todas as partes do sistema. 3) As informações sobre impedâncias dos transformadores trifásicos, geralmente, são disponí- veis em valores percentuais ou em pu, em relação às bases determinadas por seus valores no- minais. 4) Para três transformadores monofásicos ligados numa conexão trifásica, seus valores nominais de potência e tensão ficam determinados de acordo com as características nominais de cada transformador monofásico. A impedância percentual para a unidade trifásica é a mesma que se usa para cada transformador monofásico.
  16. 16. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 13 5) Uma impedância em pu dada numa base diferente daquela estabelecida para a parte do siste- ma na qual o elemento está localizado deve ser mudada para a base apropriada de acordo com a equação (1.20). Exemplo 1.6: Três transformadores monofásicos com valores nominais de 25 MVA, 38,1/3,81 kV, cada um, são conectados em Y−Δ e ligados a uma carga equilibrada constituída de três resistores de 0,6 Ω ligados em Y. Adote os valores de 75 MVA e 66 kV como bases para o lado de alta tensão e especifique a base para o lado de baixa tensão. Determine a resistência da carga em pu na base do lado de BT. Então, determine a resistência da carga referida ao lado de AT e o valor em pu dessa re- sistência na base escolhida. Exemplo 1.7: Um transformador trifásico tem 400 MVA e 220Y/22Δ kV como valores nominais. A impedância de curto-circuito medida no lado de BT do transformador é 0,121 Ω e, devido à baixa resistência, este valor pode ser considerado igual à reatância de dispersão. Determine a reatância em pu do transformador e o valor usado para representar este transformador em um sistema cujas bases no lado de AT são 100 MVA e 230 kV. 1.9. Impedância Por Unidade de Transformadores de Três Enrolamentos Tanto o primário como o secundário de um transformador de dois enrolamentos possuem a mesma potência nominal, porém os enrolamentos de um transformador de três enrolamentos podem apresentar potências nominais diferentes. A impedância de cada enrolamento de um transformador desse tipo pode ser expressa em valor percentual ou pu tomando como base os valores nominais de seus próprios enrolamentos, ou podem ser realizados testes para determinar as impedâncias. Em qualquer caso, entretanto, todas as impedâncias em pu no diagrama de impedâncias devem ser ex- pressas em relação a uma mesma potência base. As três impedâncias podem ser medidas pelo teste-padrão de curto-circuito, como a seguir: Zps → impedância medida no primário com o secundário curto-circuitado e o terciário aberto; Zpt → impedância medida no primário com o terciário curto-circuitado e o secundário aberto; Zst → impedância medida no secundário com o terciário curto-circuitado e o primário aberto. Se as três impedâncias medidas em Ohms forem referidas a um dos enrolamentos, as impedân-
  17. 17. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 14 cias de cada enrolamento em separado referidas a esse mesmo enrolamento estarão relacionadas às impedâncias medidas como ps p s pt p t st s t Z Z Z Z Z Z Z Z Z = + = + = + (1.21) onde Zp, Zs e Zt são as impedâncias dos enrolamentos primário, secundário e terciário referidas ao circuito primário se Zps, Zpt e Zst forem as impedâncias medidas e referidas ao circuito primário. Re- solvendo as equações (1.21), obtem-se ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 p ps pt st s ps st pt t pt st ps Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z = + − = + − = + − (1.22) As impedâncias dos três enrolamentos são ligadas como mostra a Figura 1.11 para representar o circuito equivalente monofásico do transformador de três enrolamentos, desprezando a corrente de magnetização. Os pontos p, s e t são conectados às extremidades do diagrama de impedâncias que representa as partes do sistema que estão ligadas aos enrolamentos primário, secundário e terciário do transformador. Desde que os valores ôhmicos das impedâncias devem estar referidos à mesma base, conclui-se que a conversão para impedâncias em pu exige a mesma potência base para todos os três circuitos e exige também que as bases de tensão nos três circuitos apresentem as mesmas re- lações de transformação que as tensões de linha nominais dos três circuitos do transformador.
  18. 18. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 15 Zp ZtZs p s t Figura 1.11. Circuito equivalente de um transformador trifásico de três enrolamentos. Exemplo 1.8: Os valores nominais de um transformador de três enrolamentos são: Primário: conexão Y, 66 kV, 15,0 MVA; Secundário: conexão Y, 13,2 kV, 10,0 MVA; Terciário: conexão Δ, 2,3 kV, 5,0 MVA. Desprezando as resistências, as impedâncias são: Zps = 7% na base de 15,0 MVA e 66 kV; Zpt = 9% na base de 15,0 MVA e 66 kV; Zst = 8% na base de 10,0 MVA e 13,2 kV. Calcule as impedâncias em pu do circuito equivalente em estrela, tomando como base 15,0 MVA e 66 kV no circuito primário. Exemplo 1.9: Uma fonte de tensão constante (barra infinita) alimenta uma carga resistiva pura de 5 MW – 2,3 kV por fase e um motor síncrono de 7,5 MVA – 13,2 kV com reatância de X″ = 20%. A fonte está ligada ao primário do transformador de três enrolamentos descrito no Exemplo 1.8. O motor e a carga resistiva estão conectados ao secundário e ao terciário do transformador, respecti- vamente. Trace o diagrama de impedâncias do sistema e coloque as impedâncias em pu para uma base de 66 kV, 15,0 MVA no primário. 1.10. Diagrama Unifilar O diagrama unifilar é um circuito simplificado no qual se representa, através de símbolos padro- nizados, os elementos associados a um sistema de energia elétrica. Os parâmetros do circuito não são indicados e uma linha de transmissão é representada por uma reta entre duas barras.
  19. 19. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 16 A finalidade do diagrama unifilar é fornecer, de forma concisa, as principais informações sobre o sistema. As informações encontradas em um diagrama unifilar variam de acordo com o problema que se tem em mãos. Por exemplo, a localização de disjuntores e relés não é importante no estudo de previsão de carga em um sistema elétrico. Portanto, disjuntores e relés não serão representados se a função principal do diagrama for fornecer informações para estudos de carga. O American National Standards Institute (ANSI) e o Institute of Electrical and Electronics En- gineers (IEEE) publicaram um conjunto de símbolos padronizados para os diagramas elétricos. Po- rém, nem todos os autores seguem esses símbolos de forma consistente, especialmente na represen- tação de transformadores. A Figura 1.12 apresenta alguns dos símbolos mais utilizados. Armadura de máquina girante Transformador de potência de dois enrolamentos Transformador de potência de três enrolamentos Fusível Transformador de corrente Disjuntor de potência a óleo Disjuntor a ar Conexão trifásica em delta Conexão trifásica em estrela com neutro não aterrado Conexão trifásica em estrela com neutro aterrado Transformador de potencial Carga estática A VAmperímetro Voltímetro Figura 1.12. Símbolos dos dispositivos de potência mais utilizados. A Figura 1.13 é o diagrama unifilar de um sistema de potência muito simples. Dois geradores, um aterrado através de um reator e outro através de um resistor, são interligados a uma barra e, a- través de um transformador elevador, a uma linha de transmissão. Outro gerador, aterrado através de um reator, é ligado a uma barra e, através de um transformador, à extremidade oposta da linha de transmissão. Uma carga é ligada a cada barra. No diagrama também estão representadas as cone- xões dos dois transformadores. Carga A Carga B 1 2 T1 T2 3 Figura 1.13. Diagrama unifilar de um sistema elétrico simples.
  20. 20. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 17 1.11. Diagramas de Impedâncias e Reatâncias Com o objetivo de calcular o desempenho de um sistema sob condições de carga ou na ocorrên- cia de uma falta, um sistema trifásico equilibrado pode ser resolvido como um circuito monofásico composto de uma das três linhas e o retorno de neutro. A Figura 1.14 combina os circuitos equiva- lentes dos vários componentes mostrados na Figura 1.13, de modo a formar o diagrama de impe- dâncias do sistema. O diagrama de impedâncias não inclui as impedâncias limitadoras de corrente mostradas no diagrama unifilar entre os neutros dos geradores e a terra porque nenhuma corrente circula pela terra sob condições equilibradas e os neutros dos geradores estão no mesmo potencial do neutro do sistema. + − E1 + − E2 + − E3 Geradores 1 e 2 Carga A Transformador T1 Transformador T2Linha de transmissão Gerador 3 Carga B Figura 1.14. Diagrama de impedâncias correspondente ao diagrama unifilar da Figura 1.13. A corrente de magnetização de transformadores geralmente é desprezível comparada com a cor- rente de plena carga, portanto, a admitância em paralelo é comumente omitida no circuito equiva- lente do transformador. Também as resistências do sistema são geralmente omitidas quando se efe- tua o cálculo de faltas, mesmo em programas computacionais. Naturalmente a omissão da resistên- cia introduz algum erro, porém os resultados são satisfatórios porque a reatância indutiva do sistema é muito maior do que sua resistência. As cargas que não incluem máquinas rotativas apresentam pouco efeito sobre a corrente total de linha durante uma falta e geralmente são omitidas. As cargas com motor síncrono, entretanto, sempre são incluídas para se fazer os cálculos de falta porque suas forças eletromotrizes geradas contribuem para a corrente de curto-circuito. O diagrama pode levar em conta os motores de indução, considerando uma fem gerada em série com uma reatância induti- va se o diagrama for usado para determinar a corrente imediatamente após a ocorrência de uma fal- ta. Porém, os motores de indução são ignorados ao se calcular a corrente alguns ciclos após a ocor- rência da falta porque a contribuição de corrente do motor de indução desaparece muito rapidamen- te após ele ser curto-circuitado. Para simplificar o cálculo das correntes de falta, desconsideram-se todas as cargas estáticas, to-
  21. 21. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 18 das as resistências, a corrente de magnetização dos transformadores e a capacitância das linhas de transmissão. Assim, o diagrama de impedâncias se reduz ao diagrama de reatâncias, mostrado na Figura 1.15. Estas simplificações aplicam-se apenas ao cálculo de falta e não ao estudo de fluxo de carga, que será estudado mais adiante. + − + − + − EG3EG1 EG2 XT1 XT2 XLT Neutro 1GX ′′ 2GX ′′ 3GX ′′ Figura 1.15. Diagrama de reatâncias adaptado da Figura 1.14. Se os dados forem fornecidos com o diagrama unifilar, pode-se determinar todos os valores em pu e, assim, obter o diagrama de reatâncias em pu. A grande vantagem em se utilizar os valores em pu é que não são necessários cálculos para referir uma impedância de um lado do transformador para o outro. Em pu, os valores são os mesmos. Exemplo 1.10: Um gerador trifásico de 300 MVA, 20 kV, tem uma reatância subtransitória de 20%. O gerador alimenta um certo número de motores síncronos através de uma linha de transmis- são de 64 km, tendo transformadores em ambas as extremidades, como mostra o diagrama unifilar da Figura 1.16. Os motores, todos de 13,2 kV, estão representados por dois motores equivalentes. O neutro do motor M1 está aterrado através de uma reatância. O neutro do motor M2 não está aterrado (situação não usual). As entradas nominais para os motores são 200 MVA para M1 e 100 MVA para M2. Para ambos os motores X″ = 20%. O transformador trifásico T1, de 350 MVA, 230/20 kV, apre- senta reatância de 10%. O transformador T2 é composto de três transformadores monofásicos, cada um de 100 MVA, 127/13,2 kV, com reatância de 10%. A reatância em série da linha de transmissão é 0,5 Ω/km. Trace o diagrama de reatâncias com todas as reatâncias em pu. Escolha os valores no- minais do gerador como base no circuito deste. G M1 M2 T1 T2 Figura 1.16. Diagrama unifilar para o Exemplo 1.10.
  22. 22. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 19 Exemplo 1.11: Se os motores M1 e M2 do Exemplo 1.10 tiverem entradas de 120 e 60 MVA, res- pectivamente, a 13,2 kV e ambos operem com fator de potência unitário, determine a tensão nos terminais do gerador.
  23. 23. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 20 1.12. Lista de Exercícios 1.1. Um transformador de 30 kVA, 1.200/120 V é ligado como autotransformador para fornecer 1.320 V a partir de uma barra de 1.200 V. a) Trace um diagrama nas conexões do transformador mostrando as marcações de polaridade nos enrolamentos e os sentidos escolhidos como positivo para a corrente em cada enrola- mento de forma que as correntes estejam em fase. b) Determine a potência aparente nominal do equipamento funcionando como autotransfor- mador. c) Se o rendimento do transformador ligado para funcionamento em 1.200/120 V com carga nominal e fator de potência unitário é de 97%, determine seu rendimento como autotrans- formador com corrente nominal nos enrolamentos, funcionando com tensão nominal e atendendo a uma carga com fator de potência unitário. 1.2. Uma carga resistiva de 8.000 kW, ligada em Δ, está conectada ao lado de BT, ligado em Δ, de um transformador Y−Δ de 10 MVA, 138/13,8 kV. Calcule a resistência da carga em Ω em ca- da fase, vista do lado de AT do transformador. Desconsidere a impedância do transformador e suponha a aplicação de tensão nominal ao primário do transformador. 1.3. Resolva o Exercício 1.2 considerando os mesmos resistores ligados em estrela. 1.4. Três transformadores, cada um de 5 kVA, 220 V no lado secundário, são conectados em Δ−Δ e estão abastecendo uma carga puramente resistiva de 15 kW, 220 V. É feita uma alteração que reduz a carga para 10 kW, ainda puramente resistiva. Alguém sugere que, com dois terços da carga, um transformador pode ser removido e o sistema pode ser operado com delta aberto. Ainda estará sendo fornecida tensão trifásica equilibrada à carga porque duas das tensões de linha, portanto também terceira, permanecem inalteradas. Para investigar esta sugestão: a) Determine cada uma das correntes de linha (módulo e ângulo) para a carga de 10 kW e re- movido o transformador entre a e c. Suponha Vab = 220∠20° V e seqüência direta de fases (abc). b) Calcule os kVA fornecidos individualmente pelos transformadores restantes. c) Que restrição deve ser colocada à carga para funcionamento em delta aberto com esses transformadores?
  24. 24. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 21 1.5. Um transformador de 210 MVA, 345Y/22,5Δ kV interliga, a uma linha de transmissão, uma carga de 180 MW – 22,5 kV, com fator de potência 0,8ind. Determine: a) as características nominais de cada um dos três transformadores monofásicos que, adequa- damente conectados, serão equivalentes ao transformador trifásico; b) a impedância complexa da carga em pu no diagrama de impedâncias, adotando como base 100 MVA – 345 kV na linha de transmissão. 1.6. Um gerador de 120 MVA – 19,5 kV tem XS = 1,5 pu e é ligado a uma linha de transmissão a- través de um transformador de 150 MVA, 230Y/18Δ kV com X = 0,1 pu. Se a base a ser usa- da nos cálculos for 100 MVA e 230 kV para a linha de transmissão, determine os valores em pu a serem usados para as reatâncias do transformador e do gerador. 1.7. Um transformador trifásico de 5 MVA, 115/13,2 kV apresenta uma impedância igual à (0,007 + j0,075) pu. O transformador é ligado a uma linha de transmissão curta cuja impedân- cia é (0,02 + j0,10) pu numa base de 10 MVA, 13,2 kV. A linha alimenta uma carga trifásica de 3,4 MW, 13,2 kV com fator de potência 0,85ind. Se a tensão AT permanece constante em 115 kV quando a carga na extremidade da linha é desligada, calcule a regulação de tensão na carga. Trabalhe usando pu e adote como base 10 MVA – 13,2 kV no circuito da carga. 1.8. O diagrama unifilar de um sistema sem carga está representado na Figura 1.17. São mostra- dos, no diagrama, as reatâncias das duas seções da linha de transmissão. Os geradores e trans- formadores apresentam as seguintes características: Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, X″ = 0,20 pu Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, X″ = 0,20 pu Gerador 3: 30 MVA, 20 kV, X″ = 0,20 pu Transformador T1: 25 MVA, 220Y/13,8Δ kV, X = 10% Transformador T2: unidades monofásicas, cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, X = 10% Transformador T3: 35 MVA, 220Y/22Y kV, X = 10% Trace o diagrama de reatâncias com todas as reatâncias representadas em pu e use letras para indicar os pontos correspondentes ao diagrama unifilar. Adote como base 50 MVA – 13,8 kV no circuito do gerador 1.
  25. 25. Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 22 1 3 2 A B C D FET1 T3 T2 j80 Ω j100 Ω Figura 1.17. Diagrama unifilar para o Exercício 1.8. 1.9. Trace o diagrama de reatâncias para o sistema de potência mostrado na Figura 1.18. Repre- sente as impedâncias em pu. Use como base 50 MVA – 132 kV na linha de transmissão de 40 Ω. As características dos geradores, motores e transformadores são: Gerador 1: 20 MVA, 18 kV, X″ = 20% Gerador 2: 20 MVA, 18 kV, X″ = 20% Motor síncrono 3: 30 MVA, 13,8 kV, X″ = 20% Transformadores trifásicos Y–Y: 20 MVA, 138Y/20Y kV, X = 10% Transformadores trifásicos Y–Δ: 15 MVA, 138Y/13,8Δ kV, X = 10% 1 2 3 A B C j40 Ω j20 Ω j20 Ω Figura 1.18. Diagrama unifilar para o Exercício 1.9. 1.10. Se a tensão na barra C no Exercício 1.9 for 13,2 kV quando o motor absorver 24 MW com fa- tor de potência 0,8cap, calcule as tensões nas barras A e B. Suponha que os dois geradores di- vidam a carga igualmente. Dê a resposta em Volts e em pu em relação à base escolhida no Exercício 1.9. Calcule as tensões nas barras A e B quando o disjuntor que interliga o gerador 1 à barra A estiver aberto enquanto o motor solicita 12 MW na tensão de 13,2 kV com fator de potência 0,8cap. Todos os demais disjuntores permanecem fechados.
  26. 26. II. CÁLCULO DE REDES 2.1. Aspectos Gerais A solução de redes de grande porte através de programas computacionais é dependente, em grande parte, das equações desta rede. Conseqüentemente, é importante para o engenheiro da área de sistemas de potência entender a formulação das equações das quais, com o objetivo de obter uma solução, é desenvolvido um programa computacional. Este capítulo se propõe a rever e expandir os métodos de análise para os quais os programas computacionais de solução de problemas em sistemas de potência são grandemente dependentes. De particular importância, neste capítulo, é a introdução sobre matrizes admitância de barras e im- pedância de barras que provarão ser utilíssimas em estudos futuros. 2.2. Equivalência de Fontes Um procedimento útil em alguns problemas de análise de redes é o da substituição de uma fonte de corrente em paralelo com uma impedância por uma fem em série com uma impedância, ou vice- versa. Na Figura 2.1, ambas as fontes com suas impedâncias associadas estão conectadas a uma im- pedância de carga ZL. + − Eg Zg ZL + − IL VL a) Fonte real de tensão + − Is Zs ZL IL VL b) Fonte real de corrente Figura 2.1. Equivalência de fontes. Para a fonte de tensão real, Figura 1.1(a), a tensão na carga é L g g LV E Z I= − (2.1) onde IL é a corrente que circula pela carga.
  27. 27. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 24 Para o circuito contendo a fonte real de corrente, Figura 1.1(b), a tensão na carga vale ( )L s s L s s s LV Z I I Z I Z I= − = − (2.2) As duas fontes e suas impedâncias serão equivalentes se a tensão na carga VL for a mesma em ambos os circuitos. Comparando as equações (2.1) e (2.2), conclui-se que eg s s g sE Z I Z Z= = (2.3) que é a condição para que a fonte de tensão real seja equivalente à fonte de corrente real. 2.3. Equações Nodais Considere o diagrama unifilar mostrado na Figura 2.2. Os geradores estão ligados através de transformadores às barras de alta tensão 1 e 3 e estão alimentando um motor síncrono na barra 2. O diagrama de reatâncias, com as reatâncias em pu, está indicado na Figura 2.3. Se o circuito for rede- senhado com as fontes de tensão substituídas por suas equivalentes fontes de corrente, o diagrama resultante está mostrado na Figura 2.4. Os valores em pu são os das admitâncias ao invés dos das impedâncias. G1 G2 M 43 2 1T1 T2 T3 Figura 2.2. Diagrama unifilar do sistema-exemplo.
  28. 28. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 25 + − EG1 EG2 + − + − EM j1,15 j0,1 j0,1 j1,15 j1,15 j0,1 j0,4j0,25 j0,2 j0,2 j0,125 1 3 2 4 Figura 2.3. Diagrama de reatâncias para o sistema-exemplo. Valores das reatâncias em pu. −j0,8 −j0,8 −j0,8I1 I3 I2 −j2,5−j4,0 −j5,0 −j5,0 −j8,0 1 2 3 4 Yd Yh Yg Yf Ye Ya Yc Yb Figura 2.4. Diagrama de admitâncias para o sistema-exemplo com a substituição das fontes de tensão por suas equivalentes fontes de corrente. Valores das admitâncias em pu. Aplicando a análise nodal aos nós do diagrama de admitâncias da Figura 2.4, obtém-se ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 4 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 0 a d f f d b g h g h f g c e f g e d h e d e h Y Y Y E Y E Y E I Y Y Y E Y E Y E I Y E Y E Y Y Y Y E Y E I Y E Y E Y E Y Y Y E + + − − = + + − − = − − + + + + − = − − − + + + = (2.4) As equações (2.4) podem ser expressas na forma matricial como
  29. 29. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 26 11 22 33 4 11 12 13 141 21 22 23 242 31 32 33 343 41 42 43 44 0 0 0 0 a d f f d b g h g h f g c e f g e d h e d e h Y Y Y Y Y EI Y Y Y Y Y EI Y Y Y Y Y Y Y EI Y Y Y Y Y Y E Y Y Y Y EI Y Y Y YI Y Y Y YI Y Y Y Y + + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − + + + − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 2 3 4 E E E ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2.5) A matriz Y recebe o nome de matriz admitância de barras e é designada por Ybarra. Esta matriz é simétrica em relação à diagonal principal. Os elementos pertencentes à diagonal principal (Yii) são chamados de admitâncias próprias e correspondem à soma de todas as admitâncias conectadas à barra i. Os demais elementos da matriz Ybarra (Yik, i ≠ k) são chamados de admitâncias mútuas ou de transferência e correspondem ao negativo da admitância conectada entre as barras i e k. Em notação vetorial, tem-se barra= YI E (2.6) onde I é o vetor com as injeções de corrente nas barras do sistema elétrico; E é o vetor com as tensões complexas nas barras do sistema elétrico. A expressão geral da equação nodal para o nó i de uma rede elétrica com n barras é: 1 1 n n i ik k ii i ik k k k k i I Y E Y E Y E = = ≠ = = +∑ ∑ (2.7) Utilizando a equação (2.6), pode-se determinar as tensões complexas nas barras do sistema elé- trico como 1 1 1 barra barra barra barra barra − − − = ⇒ = = Y Y Y Y Z I E E I E I (2.8)
  30. 30. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 27 A matriz inversa da matriz admitância de barras é chamada matriz impedância de barras e é de- signada por Zbarra. Exemplo 2.1: Escreva na forma matricial as equações nodais necessárias para calcular as tensões complexas nas barras do sistema-exemplo da Figura 2.4. A rede é equivalente àquela da Figura 2.3. As fem’s indicadas na Figura 2.3 são EG1 = 1,5∠0° pu, EG2 = 1,5∠0° pu e EM = 1,5∠−36,87° pu. Após, calcule as tensões complexas E1, E2, E3 e E4. 2.4. Partição de Matrizes Esta técnica consiste em identificar várias partes de uma matriz como submatrizes que serão tra- tadas como simples elementos quando da aplicação das regras usuais de operações com matrizes. Por exemplo, 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ A (2.9) A matriz é particionada em quatro submatrizes pelas linhas tracejadas horizontal e vertical. Por- tanto, a matriz A pode ser reescrita como ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ D E A F G (2.10) onde as submatrizes são [ ] 1311 12 2321 22 31 32 33 aa a aa a a a a ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = = D E F G (2.11) Para indicar os passos para a multiplicação em termos de submatrizes, assuma que A deva ser pós-multiplicada por uma matriz B para formar o produto C, onde
  31. 31. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 28 11 12 21 22 31 32 b b b b b b ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ B (2.12) com a sua partição sendo [ ]11 12 31 32 21 22 b b b b b b ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ H B H J J (2.13) Então, o produto é +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ D E H DH EJ M C AB F G J FH GJ N (2.14) onde M = DH + EJ e N = FH + GJ. Se somente a submatriz N for de interesse, pelas partições resulta que [ ] [ ] [ ]11 12 31 32 33 31 32 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 21 22 b b a a a b b a b a b a b a b a b a b b b ⎡ ⎤ = + = + + + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ N (2.15) As matrizes a serem multiplicadas devem ser compatíveis originariamente. Cada linha de parti- ção vertical entre as colunas r e r+1 da matriz-multiplicando requer uma linha de partição horizon- tal entre as linhas r e r+1 da matriz-multiplicadora para que se possa efetuar a multiplicação das submatrizes corretamente. Linhas de partição horizontal podem ser traçadas entre quaisquer linhas da matriz-multiplicando e linhas verticais de partição entre quaisquer colunas da matriz-multiplica- dora ou ainda omitidas em uma delas ou em ambas. 2.5. Eliminação de Nós pela Álgebra Matricial Nós podem ser eliminados por manipulação de matrizes referentes às equações nodais estudadas anteriormente. Entretanto, somente os nós nos quais não haja injeção de corrente para a rede podem
  32. 32. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 29 ser eliminados. As equações nodais na sua forma matricial é barra= YI E (2.16) onde I e E são vetores colunas e Ybarra é uma matriz quadrada e simétrica. Os vetores colunas po- dem ser rearranjados de tal modo que os elementos associados com os nós a serem eliminados este- jam presentes nas suas linhas inferiores. Os elementos da matriz admitância de barra são colocados em concordância. Os vetores colunas são particionados de tal modo que os elementos associados com os nós a serem eliminados são separados dos outros elementos. A matriz admitância é particio- nada de tal modo que os elementos identificados somente com os nós a serem eliminados estejam separados dos outros elementos por linhas horizontais e verticais. Quando particionada de acordo com estas regras, a equação (2.16) torna-se A A T X X ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ K L L M I E I E (2.17) onde IX é o subvetor composto pelas injeções de corrente nos nós a serem eliminados e EX é o sub- vetor composto pelas tensões complexas nestes nós. Obviamente, cada elemento de IX é zero, senão os nós não poderiam ser eliminados. As admitâncias próprias e mútuas compondo K são aquelas identificadas somente com os nós que serão conservados. A matriz M é composta de admitâncias próprias e mútuas identificadas somente com os nós a serem eliminados. Esta matriz M é uma ma- triz quadrada de ordem igual ao número de nós a serem eliminados. A matriz L e sua transposta LT são compostas somente das admitâncias mútuas comuns a algum nó a ser mantido e a outro que será eliminado. Executando a multiplicação indicada na equação (2.17), obtem-se A A X= +K LI E E (2.18) T X A X= +L MI E E (2.19) Como todos os elementos de IX são zeros, resulta que T T A X A X= + ⇒ − =L M L M0 E E E E (2.20)
  33. 33. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 30 e pré-multiplicando ambos os lados da equação (2.20) por M−1 , tem-se 1 T A X − − =M L E E (2.21) Substituindo a equação (2.21) na equação (2.18), resulta ( )1 1T T A A A A − − = − = −K LM L K LM LI E E E (2.22) que é uma equação nodal tendo como matriz admitância nodal 1 nova T barra − = −Y K LM L (2.23) Com esta nova matriz admitância de barras, pode-se construir uma nova rede elétrica, equivalen- te à original, com os nós indesejados já eliminados. Exemplo 2.2: Se o gerador e o transformador na barra 3 são removidos do circuito da Figura 2.3, elimine os nós 3 e 4 pelo procedimento algébrico-matricial descrito, encontre o circuito equivalente com aqueles nós eliminados e a potência complexa transferida para dentro e para fora da rede nas barras 1 e 2, respectivamente. Determine também a tensão na barra 1. A utilização desta técnica apresenta um inconveniente. Para a eliminação de um grande número de nós, a matriz M, cuja inversa deve ser determinada, possuirá uma grande dimensão. Isto inviabi- liza o cálculo explícito de sua inversa. A inversão da matriz M pode ser evitada fazendo a eliminação de um nó por vez. O nó a ser eli- minado deve ser o de numeração mais alta e, provavelmente, uma renumeração deva ser necessária. A matriz M torna-se de um único elemento e M−1 é o recíproco deste elemento. A matriz admitân- cia original particionada nas submatrizes K, L, LT e M fica
  34. 34. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 31 11 1 1 1 1 j n k kj knbarra n nj nn Y Y Y Y Y Y Y Y Y ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Y … … … … … … (2.24) e a matriz reduzida (n−1) × (n−1), de acordo com a equação (2.23), será 11 1 1 1 1 1 nova j n barra n nj k kj knnn Y Y Y Y Y Y Y YY ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Y … … … … … … (2.25) E quando a manipulação indicada das matrizes for executada, o elemento na linha k e coluna j da matriz novabarraY será novo orig kn nj kj kj nn Y Y Y Y Y = − (2.26) Exemplo 2.3: Faça a eliminação de nós do Exemplo 2.2, primeiro removendo o nó 4 e, em seguida, removendo o nó 3. 2.6. Matrizes Admitância e Impedância de Barras No Exemplo 2.1, invertemos a matriz admitância de barras Ybarra e chamamos a sua inversa de matriz impedância de barras Zbarra. Por definição: 1 barra barra − =Z Y (2.27) Como Ybarra é simétrica em relação à diagonal principal, Zbarra também o será. Os elementos de
  35. 35. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 32 Zbarra na diagonal principal são chamados de impedâncias próprias dos nós. Os elementos fora da diagonal principal são chamados de impedâncias de transferência ou impedâncias mútuas dos nós. A matriz impedância de barra é muito útil no cálculo de faltas em sistemas de potência e para a sua determinação não é necessário primeiro determinar a matriz admitância de barra, como será visto na Seção 2.8. Exemplo 2.4: Um capacitor com uma reatância de 5,0 pu está ligado ao nó 4 do circuito do Exemplo 2.1. As fem’s EG1, EG2 e EM permanecem as mesmas do exemplo. Determine a corrente absorvida pelo capacitor. Exemplo 2.5: Se uma corrente de 0,316∠−101,97° pu é injetada na barra 4 do Exemplo 2.1, encontre as tensões resultantes nas barras 1, 2, 3 e 4. 2.7. Modificação de uma Matriz Impedância de Barras Já Existente Nesta seção, será examinado como modificar Zbarra para adicionar novas barras ou conectar no- vas linhas às barras já existentes. Entendido como modificar Zbarra, pode-se analisar como construí- la diretamente. Vários casos podem ser estudados em modificações envolvendo a adição de um ramo de impedância Zb a uma rede cuja Zbarra original já é conhecida e identificada por Zorig (n×n). Caso 1: Adição de um ramo de uma nova barra p até a barra de referência A adição de uma nova barra p ligada à barra de referência através de uma impedância Zb sem conexão com nenhuma das outras barras da rede original não pode alterar as tensões de barra originais do sistema quando a corrente Ip for injetada na nova barra. A tensão Ep na nova barra será igual a ZbIp. Então 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 n n p pb E I E I E I E IZ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦… (2.28)
  36. 36. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 33 Note que a matriz coluna das correntes multiplicada pela nova Zbarra não alterará as tensões nas barras da rede original e resultará na tensão correta na nova barra p. Caso 2: Adição de um ramo de uma nova barra p até uma barra k já existente A adição de uma nova barra p ligada através de uma impedância Zb a uma barra existente k com Ip injetada na barra p, modificará a injeção de corrente na rede original na barra k que virá a ser a soma de Ik e Ip, conforme mostrado na Figura 2.5. Rede original com a barra k e a barra de referência extraídas k p Zb Ik Ip Ik + Ip Figura 2.5. Adição de uma nova barra p ligada através de uma impedância Zb a uma barra k já existente. A corrente Ip fluindo para a barra k aumentará a tensão original Ek de um valor igual a ZkkIp, nova origk k kk pE E Z I= + (2.29) e Ep será maior do que o novo Ek de um valor de tensão igual a ZbIp. Assim, ( )1 1 2 2 origp k kk p b p p k k kn n kk b p E E Z I Z I E Z I Z I Z I Z Z I = + + = + + + + +… (2.30) Como Zbarra é uma matriz quadrada e simétrica, resulta que devemos adicionar uma nova coluna que é transposta da nova linha, ou seja,
  37. 37. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 34 1 11 2 22 1 2 k k n nnk p pk k kn kk b E IZ E IZ E IZ E IZ Z Z Z Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦… (2.31) Note que os primeiros n elementos da nova linha são os elementos da linha k da Zorig e os primeiros n elementos da nova coluna são os elementos da coluna k da Zorig. Caso 3: Adição de um ramo de uma barra k já existente até a barra de referência Para alterar a matriz Zorig pela ligação de uma impedância Zb desde uma barra k já existente até a barra de referência, deve-se adicionar uma nova barra p ligada através de Zb à barra k. Então, se curto-circuita a barra p à barra de referência, fazendo Ep igual a zero, a fim de se obter a mesma equação matricial (2.31), com exceção de que Ep agora é nula. A Figura 2.6 mostra o procedimento explicado. Rede original com a barra k e a barra de referência extraídas k p Zb Ik Ip Ik + Ip Figura 2.6. Adição da impedância Zb entre uma barra k já existente e a barra de referência. Para a modificação, procede-se de modo a criar uma nova linha e uma nova coluna, exatamente do mesmo modo como no Caso 2. Entretanto, agora, elimina-se a linha (n+1) e a coluna (n+1) criadas, o que é possível devido à existência do zero no vetor das tensões. Para isso, utiliza-se a equação (2.26). Portanto, cada elemento da nova matriz Zbarra será igual a ( 1) ( 1) nova orig h n n i hi hi kk b Z Z Z Z Z Z + + = − + (2.32)
  38. 38. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 35 Caso 4: Adição de um ramo entre duas barras j e k já existentes A Figura 2.7 ilustra a adição de um ramo com impedância Zb entre duas barras j e k já existentes. A corrente Ib está indicada com fluindo através de Zb da barra k para a barra j. Da Figura 2.7 pode-se escrever que ( ) ( )1 11 1 12 2 1 1j j b k k bE Z I Z I Z I I Z I I= + + + + + − +… … (2.33) ou rearranjando a equação (2.33), tem-se ( )1 11 1 12 2 1 1 1 1j j k k j k bE Z I Z I Z I Z I Z Z I= + + + + + + −… … (2.34) Rede original com as barras j, k e de referência extraídas j k Zb Ij Ib Ij + Ib Ik Ik − Ib Figura 2.7. Adição de um ramo de impedância Zb entre as barras já existentes j e k. De forma semelhante ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 j j j jj j jk k jj jk b k k k kj j kk k kj kk b E Z I Z I Z I Z I Z Z I E Z I Z I Z I Z I Z Z I = + + + + + + − = + + + + + + − … … … … (2.35) Por outro lado 0k j b b j k b bE E Z I E E Z I− = ⇒ − + = (2.36) Substituindo as equações (2.35) na equação (2.36), obtem-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 0j k j k jj kj j jk kk k jj jk kj kk b bZ Z I Z Z I Z Z I Z Z I Z Z Z Z Z I− + − + + − + − + + − − + + =… … (2.37)
  39. 39. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 36 Definindo 2bb jj kk jk bZ Z Z Z Z= + − + (2.38) pode-se escrever a seguinte equação matricial 1 1 11 2 2 22 1 1 2 20 j k j k orig jj jk jj kj kk kk nj nk nn j k j k jj kj jk kk jn kn bb b Z Z IE Z Z IE Z Z IE Z Z IE Z Z IE Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z I −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Z … (2.39) Eliminando a linha (n+1) e a coluna (n+1) da matriz da equação Erro! Fonte de referência não encontrada., cada elemento da nova matriz Zbarra é ( 1) ( 1) 2nova orig h n n i hi hi jj kk kj b Z Z Z Z Z Z Z Z + + = − + − + (2.40) Exemplo 2.6: Modificar a matriz impedância de barra do Exemplo 2.1 de modo a considerar a conexão de um capacitor com uma reatância de 5,0 pu entre a barra 4 e a barra de referência do circuito da Figura 2.4. Então, determine E4 usando a impedância da nova matriz. Compare este va- lor de E4 com o encontrado no Exemplo 2.4. 2.8. Determinação Direta da Matriz Impedância de Barras Para começar, dispõe-se uma lista de impedâncias indicando as barras que estão conectadas. Começa-se, então, escrevendo a equação de uma barra ligada através de uma impedância Za à barra de referência como
  40. 40. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 37 1 1aE Z I= (2.41) Agora, pode-se adicionar uma nova barra ligada à primeira ou à barra de referência. No caso da segunda barra estar ligada à barra de referência através de Zb, tem-se a seguinte equação matricial 1 1 2 2 0 0 a b ZE I ZE I ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (2.42) e prossegue-se a determinação direta da matriz impedância adicionando outras barras, seguindo os procedimentos descritos na seção anterior. Normalmente, as barras de um sistema elétrico devem ser renumeradas para concordar com a ordem na qual elas devem ser adicionadas à matriz Zbarra. Exemplo 2.7: Determine Zbarra para a rede mostrada na Figura 2.8, onde as impedâncias estão indicadas em pu. j1,2 j1,5 j0,2 j0,15 j0,3 2 31 Figura 2.8. Rede para o Exemplo 2.7.
  41. 41. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 38 2.9. LISTA DE EXERCÍCIOS 2.1. Escreva as equações nodais para o circuito da Figura 2.9 e calcule as tensões nos nós 1 e 2. + − + − 1 2 0 j1,0 Ea = 1,0∠30° Eb = 1,0∠0° j1,0 j1,25 j0,2 j0,8 Figura 2.9. Circuito para o Exercício 1. Os valores indicados são tensões e impedâncias em pu. 2.2. Elimine os nós 3 e 4 da rede da Figura 2.10 simultaneamente pelo método da partição de ma- trizes para encontrar a matriz admitância resultante 2×2, Ybarra. Desenhe o circuito correspon- dente à matriz resultante e indique no circuito os valores dos parâmetros. Calcule os valores de E1 e E2. 1 20∠−30° 3 4 2 −j40 −j50 40∠−90°−j1−j2 −j10 −j20 −j20 −j20 0 Figura 2.10. Circuito para os Exercícios 2.2 e 2.3. Os valores indicados são correntes e admitâncias em pu. 2.3. Elimine os nós 3 e 4 da rede da Figura 2.10 para encontrar a matriz admitância resultante 2×2 pela eliminação do nó 4 primeiro e, depois, do nó 3. 2.4. Elimine os nós 3, 4 e 5 do circuito da Figura 2.11 e desenhe o circuito descrito pela nova ma- triz admitância de barras.
  42. 42. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 39 + − + − EA EB −j5 −j2 −j1 −j1 −j8 −j5 −j4 1 3 4 5 2 0 Figura 2.11. Circuito para o Exercício 2.4. Os valores indicados são admitâncias em pu. 2.5. Modifique Zbarra dada no Exemplo 2.1 adicionando um novo nó ligado à barra 4 através de uma impedância de j1,2 pu. 2.6. Modifique Zbarra dada no Exemplo 2.1 pela adição de um ramo tendo uma impedância de j1,2 pu entre o nó 4 e a barra de referência. 2.7. Determine as impedâncias da primeira linha de Zbarra do Exemplo 2.1 com a impedância liga- da entre a barra 3 e a barra de referência removida. Faça a determinação pela modificação da matriz Zbarra encontrada no Exemplo 2.1. Então, com as fontes de corrente ligadas somente nas barras 1 e 2, encontre a tensão na barra 1 e compare este valor com o encontrado no Exemplo 2.2. 2.8. Modifique Zbarra dada no Exemplo 2.1 pela remoção da impedância ligada entre os nós 2 e 3. 2.9. Encontre Zbarra para a rede da Figura 2.12 pelo processo de determinação direta. Barra de referência j1,0 j1,25 j0,2 j0,051 2 3 Figura 2.12. Circuito para o Exercício 2.9. Os valores indicados são reatâncias em pu. 2.10. Para a rede de reatâncias da Figura 2.13, encontre: a) Zbarra pela formulação direta e por inversão de Ybarra; b) a tensão em cada barra;
  43. 43. Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 40 c) a tensão em cada barra do sistema com a ligação de um capacitor com uma reatância de 5,0 pu entre a barra 3 e o neutro; d) a corrente absorvida pelo capacitor; e) a mudança na tensão em cada barra quando o capacitor está ligado à barra 3. + − + − 1,28∠0° 1,20∠30°j2,0 j0,2 j0,4 j1,0 j0,5 1 2 3 j0,8 Figura 2.13. Circuito para o Exercício 2.10. Tensões e impedâncias em pu.
  44. 44. III. FLUXO DE POTÊNCIA OU FLUXO DE CARGA 3.1. Aspectos Gerais O cálculo do fluxo de potência em uma rede de energia elétrica consiste essencialmente na de- terminação do estado desta rede (tensões complexas em todas as barras) e da distribuição dos fluxos de potências ativa e reativa nos circuitos. A modelagem do sistema é estática, significando que a re- de é representada por um conjunto de equações algébricas. Esse tipo de representação é usado em situações nas quais as variações com o tempo são suficientemente lentas para que se possam ignorar os efeitos transitórios. O cálculo do fluxo de carga é, em geral, realizado utilizando-se métodos computacionais desenvolvidos especificamente para a resolução de sistemas de equações algébricas não-lineares que constituem o modelo estático da rede. Os componentes de um sistema de energia elétrica podem ser classificados em dois grupos: • os que estão ligados entre uma barra e a terra: por exemplo, geradores, cargas, reatores e ca- pacitores; • os que estão ligados entre duas barras quaisquer da rede (circuitos): por exemplo, linhas de transmissão e transformadores. Os geradores e cargas são considerados a parte externa do sistema e são modelados através de in- jeções de potências nas barras. Os demais componentes formam a parte interna do sistema. As e- quações do fluxo de carga (balanços de potências) são obtidas impondo-se a conservação das potên- cias ativa e reativa em cada barra da rede, ou seja, a potência líquida injetada tem que ser igual à soma das potências que fluem pelos componentes internos que têm esta barra como um de seus ter- minais. 3.2. Formulação do Problema A cada barra da rede estão associadas quatro variáveis: • Vk : magnitude da tensão complexa na barra k; • θk : ângulo da tensão complexa na barra k; • Pk : injeção líquida de potência ativa na barra k, ou seja, kk dG PP − ; • Qk : injeção líquida de potência reativa na barra k, ou seja, kk dG QQ − .
  45. 45. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 42 Dependendo de quais variáveis entram como dados e quais são consideradas incógnitas, defi- nem-se três tipos de barras: • PQ (Tipo 0) : são dados Pk e Qk, e calculados Vk e θk; • PV (Tipo 1) : são dados Pk e Vk e calculados θk e Qk; • Vθ, referência ou folga (Tipo 2) : são dados Vk e θk e calculados Pk e Qk. As barras do tipo PQ e PV são utilizadas para representar as barras de carga e as barras de gera- ção, respectivamente. A barra Vθ fornece a referência angular do sistema e é usada para fechar o balanço de potências levando em conta as perdas de transmissão que não são conhecidas antes de se ter a solução final do problema. O conjunto de equações do problema do fluxo de carga é formado por duas equações para cada barra, cada uma delas representando o fato das potências ativa e reativa injetadas em uma barra se- rem iguais à soma dos fluxos correspondentes que deixam a barra através dos circuitos (linhas de transmissão, transformadores, ...). Isso pode, matematicamente, ser expresso por ( ) ( ) ( ) , , , , , , k k k km k m k m m sh k k k km k m k m m P P V V Q Q V Q V V θ θ θ θ ∈Ω ∈Ω = + = ∑ ∑ (3.1) onde k = 1, 2, ..., nb, sendo nb o número de barras da rede; Ωk é o conjunto de barras vizinhas à barra k; Vk e Vm são as magnitudes das tensões complexas nas barras k e m; θk e θm são os ângulos de fase das tensões complexas nas barras k e m; Pkm é o fluxo de potência ativa no circuito k−m; Qkm é o fluxo de potência reativa no circuito k−m; sh kQ é o componente da injeção de potência reativa devido ao elemento shunt conectado na barra k ( 2sh sh k k kQ b V= , sendo sh kb a susceptância shunt ligada à barra k). As equações (3.1) são montadas considerando-se a seguinte convenção de sinais: • as injeções líquidas de potência são positivas quando entram na barra (geração) e negativas quando saem da barra (carga); • os fluxos de potência são positivos quando saem da barra e negativos quando entram;
  46. 46. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 43 • para os elementos shunt das barras é adotada a mesma convenção que para as injeções. 3.3. Fluxos de Potências Ativa e Reativa 3.3.1. Linhas de Transmissão O modelo equivalente π de uma linha de transmissão, representado na Figura 3.1, é definido por três parâmetros: a resistência série rkm, a reatância série xkm e a susceptância shunt sh kmb . A impedân- cia do elemento série é zkm = rkm + jxkm e, portanto, a admitância série é 2 2 2 2 1 km km km km km km km km km km r x y j g jb z r x r x = = − = + + + (3.2) k m ykm = gkm + jbkm sh kmjbsh kmjb Ikm Imk Figura 3.1. Modelo equivalente π de uma linha de transmissão. A corrente Ikm pode ser calculada como ( ) sh km km k m km kI y E E jb E= − + (3.3) onde ek mj j k k m mE V e E V eθ θ = = . Analogamente, a corrente Imk é ( ) sh mk km m k km mI y E E jb E= − + (3.4) O fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é
  47. 47. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 44 ( )( )k k m kj j j jsh km km km k km k km km k m km kS P jQ E I V e g jb V e V e jb V eθ θ θ θ−∗ ∗ ⎡ ⎤= − = = + − +⎣ ⎦ (3.5) Os fluxos Pkm e Qkm são obtidos identificando-se as partes reais e imaginárias dessa equação complexa ( ) ( ) ( ) 2 2 cos sen cos sen km k km k m km km km km sh km k km km k m km km km km P V g V V g b Q V b b V V b g θ θ θ θ = − + = − + + − (3.6) onde θkm = θk − θm. Os fluxos Pmk e Qmk são obtidos analogamente, ou seja, ( ) ( ) ( ) 2 2 cos sen cos sen mk m km k m km mk km mk sh mk m km km k m km mk km mk P V g V V g b Q V b b V V b g θ θ θ θ = − + = − + + − (3.7) onde θmk = θm − θk. 3.3.2. Transformadores em fase A Figura 3.2 mostra o circuito equivalente de um transformador em fase. k m ykm Ikm Imk p a:1 Figura 3.2. Modelo de transformador em fase. Na Seção 1.5, deduziu-se que as correntes nos enrolamentos de um transformador em fase são expressas por
  48. 48. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 45 2 1 1 1 km km k km m mk km k km m I y E y E a a I y E y E a = − = − + (3.8) O fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é km km km k kmS P jQ E I∗ ∗ = − = (3.9) e, portanto, os fluxos de potência ativa e reativa são obtidos identificando-se as partes real e imagi- nária dessa expressão. Isto resulta em ( ) ( ) 2 2 2 2 cos sen cos sen k km k m km km km km km k km k m km km km km km V g V V P g b a a V b V V Q b g a a θ θ θ θ = − + = − + − (3.10) Por outro lado, o fluxo de potência complexa da barra m para a barra k é mk mk mk m mkS P jQ E I∗ ∗ = − = (3.11) e, portanto, os fluxos de potência ativa e reativa são ( ) ( ) 2 2 sen cos cos sen k m mk m km km km km km k m mk m km km km km km V V P V g b g a V V Q V b b g a θ θ θ θ = + − = − + + (3.12) 3.4. Formulação Matricial Das equações nodais para um sistema elétrico, tem-se I = YbarraE, onde I é o vetor de injeções de corrente, E é o vetor das tensões nodais e Ybarra é a matriz admitância de barras. Os elementos da matriz admitância, generalizados, são
  49. 49. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 46 ( )2 1 1 k k sh sh sh sh km km kk k km km mm m km km m mkm Y y Y jb jb y Y jb jb y a a∈Ω ∈Ω ⎛ ⎞ = − = + + = + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ (3.13) A matriz Ybarra pode ser decomposta em duas matrizes barra barra barraj= +Y G B (3.14) onde Gbarra é a matriz condutância nodal; Bbarra é a matriz susceptância nodal. A injeção líquida de corrente na barra k pode ser escrita como k k kk k km m m I Y E Y E ∈Ω = + ∑ (3.15) Considerando que Ykk = Gkk + jBkk, Ykm = Gkm + jBkm , ek mj j k k m mE V e E V eθ θ = = , a equação (3.15) pode ser reescrita como ( ) ( )k m k j j k kk kk k km km m m I G jB V e G jB V eθ θ ∈Ω = + + +∑ (3.16) A injeção de potência complexa na barra k é k k k k kS P jQ E I∗ ∗ = − = (3.17) e, substituindo a equação (3.16) na equação (3.17), as injeções de potências ativa e reativa na barra k podem ser escritas como ( ) ( ) 2 2 cos sen sen cos k k k kk k k m km km km km m k kk k k m km km km km m P G V V V G B Q B V V V G B θ θ θ θ ∈Ω ∈Ω = + + = − + − ∑ ∑ (3.18)
  50. 50. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 47 3.5. Equacionamento em Termos das Variáveis do Sistema Dados para o fluxo de carga: • Pk e Qk nas barras PQ; • Pk e Vk nas barras PV; • Vk e θk na barra de folga (referência angular). Incógnitas no fluxo de carga: • Vk e θk nas barras PQ; • θk nas barras PV. Sejam npq e npv o número de barras PQ e PV, respectivamente. Então, o problema do fluxo de carga envolve 2npq + npv equações algébricas não-lineares com o mesmo número de incógnitas. Estas equações são conhecidas como balanços (mismatches) de potências ativa e reativa e, mate- maticamente, são expressas por ( ) ( ) 2 2 cos sen 0 para barras e sen cos 0 para barras k k esp kk k k m km km km km k m esp kk k k m km km km km k m G V V V G B P PV PQ B V V V G B Q PQ θ θ θ θ ∈Ω ∈Ω + + − = − + − − = ∑ ∑ (3.19) onde ;k k esp k G dP P P= − .k k esp k G dQ Q Q= − Os balanços de potências ativa e reativa, equações (3.19), podem ser reescritas, de uma forma mais compacta, como 0 para barras e 0 para barras calc esp k k k calc esp k k k P P P PV PQ Q Q Q PQ Δ = − = Δ = − = (3.20) Uma vez resolvido este problema, estará conhecido o estado de todas as barras da rede (tensões
  51. 51. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 48 complexas em todas as barras). Então, calcula-se ( ) ( ) 2 2 cos sen para a barra de folga sen cos para barras e de folga k k k k k k G kk k k m km km km km d m G kk k k m km km km km d m P G V V V G B P Q B V V V G B Q PV θ θ θ θ ∈Ω ∈Ω = + + + = − + − + ∑ ∑ (3.21) As incógnitas podem ser agrupadas no vetor x como ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x V θ (3.22) onde θ é o vetor dos ângulos de fase das tensões complexas nas barras PV e PQ; V é o vetor das magnitudes das tensões complexas nas barras PQ. As equações (3.20) podem ser colocadas na forma vetorial como para barras e para barras calc esp calc esp PV PQ PQ Δ = − = Δ = − = P P P 0 Q Q Q 0 (3.23) onde ΔP é o vetor dos desbalanços de potência ativa nas barras PV e PQ; ΔQ é o vetor dos desbalanços de potência reativa nas barras PQ. Seja f(x) o vetor de funções ( ) Δ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦ P f x Q (3.24) Dessa forma, o sistema de equações algébricas não-lineares a ser resolvido pode ser colocado na seguinte forma ( ) =f x 0 (3.25) A resolução desse sistema pode ser realizada por vários métodos iterativos que serão estudados a
  52. 52. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 49 seguir. A inicialização do problema é feita arbitrando valores para as magnitudes das tensões nas barras PQ e para os ângulos de fase de todas as barras, exceto a de folga. Normalmente, utiliza-se a inicialização com perfil plano (flat start), onde se adota 1,0 pu para as magnitudes das tensões e 0° para os ângulos de fase. Os critérios de convergência para os métodos de solução iterativos são os balanços de potência ativa nas barras PV e PQ e de potência reativa nas barras PQ que devem tender a zero. Na prática, estes balanços deverão satisfazer uma tolerância pré-especificada (em geral, 10−3 ). 3.6. Métodos Iterativos de Gauss e de Gauss-Seidel Da equação (3.17), tem-se k k k k P jQ I E∗ − = (3.26) Por outro lado, da equação (3.15), pode-se escrever 1 k k k km m mkk E I Y E Y ∈Ω ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (3.27) Substituindo a equação (3.26) na equação (3.27), obtém-se 1 k k k k km m mkk k P jQ E Y E Y E∗ ∈Ω ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (3.28) a qual envolve somente tensões complexas como variáveis. Formulando o fluxo de carga dessa forma, obtém-se um conjunto de equações não-lineares que pode ser resolvido iterativamente. Para a aplicação desse método algum cuidado deve ser tomado em relação ao tipo da barra: • a tensão da barra de folga não participa do processo iterativo, tendo o seu valor sido previa- mente estipulado; • para as barras PQ, utiliza-se 1 k esp esp calc k k k km m mkk k P jQ E Y E Y E∗ ∈Ω ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (3.29)
  53. 53. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 50 • para as barras PV, utiliza-se 1 k esp calc calc k k k km m mkk k P jQ E Y E Y E∗ ∈Ω ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (3.30) onde { } k k calc k k k kk k km m k kk k km m m m Q Im S Im E Y E Y E Im E Y E Y E∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∈Ω ∈Ω ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = + = − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ∑ ∑ (3.31) e, após, corrige-se o valor de calc kE por esp corrig calc k k k calc k V E E E = (3.32) Ao final de cada iteração do método de Gauss, atualizam-se as tensões complexas, isto é, para as barras para as barras calc k k corrig k k E E PQ E E PV ← ← (3.33) A diferença fundamental entre os métodos de Gauss e de Gauss-Seidel reside na forma de atuali- zação das tensões complexas. Enquanto o método de Gauss atualiza as tensões somente ao final da iteração, o método de Gauss-Seidel atualiza imediatamente os valores já calculados para as tensões complexas. 3.7. Método Iterativo de Newton-Raphson Considere a resolução do problema genérico f(x) = 0. A resolução deste problema pelo método de Newton-Raphson consiste, inicialmente, em expandir o vetor f(x) em série de Taylor na direção Δx e truncá-lo nos termos de primeira ordem. Assim, tem-se ( ) ( ) ( ) ∂ + Δ ≈ + Δ = ∂ f x f x x f x x 0 x (3.34) onde ( )∂ ∂ f x x é a matriz Jacobiana de f(x), ou seja, é uma matriz de primeiras derivadas. Dessa forma, a cada etapa do processo iterativo, sucessivas aproximações para a solução x po-
  54. 54. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 51 dem ser obtidas como 1 ( ) ( ) h h h − ⎡ ⎤∂ Δ = − ⎢ ⎥∂⎣ ⎦ f x x f x x (3.35) 1 1h h h+ + = + Δx x x (3.36) onde h é a iteração corrente. Das equações (3.24) e (3.22), se deduz que ( ) h h h ⎡ ⎤Δ = ⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦ P f x Q h h ⎡ ⎤Δ Δ = ⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦ x V θ (3.37) e, portanto, a matriz Jacobiana J(x) é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∂ Δ ∂ Δ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∂ ∂⎢ ⎥= ∂ Δ ∂ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂⎣ ⎦ J P P V x Q Q V θ θ (3.38) Considerando as expressões dos vetores ΔP e ΔQ, dadas na equação (3.23) e lembrando que Pesp e Qesp são constantes, a matriz Jacobiana, equação (3.38), pode ser reescrita como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) calc calc calc calc ⎡ ⎤∂ ∂ ⎢ ⎥ ∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ J P P V x Q Q V θ θ (3.39) As submatrizes que compõem a matriz Jacobiana J, dada na equação (3.39), são, geralmente, re-
  55. 55. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 52 presentadas por calc calc calc calc ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ H N M L P P V Q Q V θ θ (3.40) onde o sinal de menos vem da equação (3.35). Substituindo as equações (3.37), (3.39) e (3.40) na equação (3.35), resulta 1h h h h h h h h − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ Δ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ H N M L P V Q θ (3.41) Os componentes das submatrizes H, N, M e L são dadas por ( ) 2 sen coskm k m km km km km calc kk k kk k H V V G B H Q B V θ θ⎧ = − −⎪ ⎨ ⎪ = +⎩ H (3.42) ( ) 2 cos senkm k km km km km calc k kk k kk k N V G B P G V N V θ θ⎧ = − + ⎪⎪ ⎨ + = −⎪ ⎪⎩ N (3.43) ( ) 2 cos senkm k m km km km km calc kk kk k k M V V G B M G V P θ θ⎧ = +⎪ ⎨ ⎪ = −⎩ M (3.44) ( ) 2 sen coskm k km km km km calc kk k k kk k L V G B B V Q L V θ θ⎧ = − − ⎪⎪ ⎨ − =⎪ ⎪⎩ L (3.45) 3.8. Métodos Iterativos Desacoplados Os métodos desacoplados baseiam-se no desacoplamento P−θ e Q−V, ou seja, são obtidos consi- derando o fato de que as sensibilidades VQP ∂∂∂∂ eθ são mais intensas do que as sensibilida-
  56. 56. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 53 des θ∂∂∂∂ QVP e . Este tipo de relação, em geral, verifica-se para redes de transmissão em ex- tra-alta tensão (EAT, maiores do que 230 kV) e ultra-alta tensão (UAT, maiores do que 750 kV). O desacoplamento possibilita a adoção de um esquema de resolução segundo o qual os subpro- blemas P−θ e Q−V são resolvidos alternadamente: na resolução do subproblema P−θ são utilizados os valores atualizados de V; na resolução do subproblema Q−V são utilizados os valores atualizados de θ. Nos métodos desacoplados são introduzidas aproximações apenas na matriz Jacobiana, sendo os valores dos balanços de potências ΔP e ΔQ calculados da mesma forma que no método de Newton- Raphson, ou seja, utilizando as equações (3.19). A introdução de aproximações na matriz Jacobiana altera o processo de convergência, ou seja, modifica o caminho entre a solução inicial e a solução final, mas não altera a solução final, pois o problema resolvido permanece o mesmo. O desacopla- mento é introduzido apenas no algoritmo de resolução, sem afetar o modelo de rede. 3.8.1. Método de Newton-Raphson Desacoplado O algoritmo básico do método de Newton-Raphson, desenvolvido na Seção 3.7, pode ser colo- cado na forma Δ = Δ + Δ Δ = Δ + Δ ← + Δ ← + Δ H N M L P V Q V V V V θ θ θ θ θ (3.46) A dedução do método desacoplado baseia-se na aplicação das seguintes etapas. • Efetuar o desacoplamento e aplicar o esquema alternado de resolução. Pelo desacoplamen- to P−V e Q−θ os termos NΔV e MΔθ são desprezados. • Dividir os vetores ΔP e ΔQ por V. Isto torna os segundos membros lineares em V. Estas alterações produzem o seguinte sistema desacoplado
  57. 57. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 54 Δ ′= Δ ← + Δ Δ ′= Δ ← + Δ H L P V Q V V V V V θ θ θ θ (3.47) onde as componentes das submatrizes H′ e L′ são expressas por ( )sen coskm m km km km km calc k kk kk k k H V G B Q H B V V θ θ′⎧ = − − ⎪⎪ ′ ⎨ ′ = +⎪ ⎪⎩ H (3.48) 2 cos senkm km km km km calc k kk kk k L B G Q L B V θ θ′ = −⎧ ⎪ ′ ⎨ ′ = −⎪ ⎩ L (3.49) 3.9. Fluxo de Potência Linearizado ou Fluxo de Carga CC O fluxo de potência ativa em um circuito é aproximadamente proporcional à abertura angular do circuito e se desloca no sentido dos ângulos maiores para os ângulos menores. A relação entre os fluxos de potência ativa e as aberturas angulares é do mesmo tipo que entre os fluxos de corrente e as quedas de tensão em um circuito de corrente contínua, para o qual é válida a Lei de Ohm. Esta propriedade possibilita o desenvolvimento de um modelo aproximado de fluxo de carga CC que permite estimar, com baixo custo computacional e com precisão aceitável para muitas aplicações, a distribuição dos fluxos de potência ativa em uma rede de transmissão. O fluxo de carga CC é baseado no acoplamento entre as variáveis P e θ (potência ativa – ângulo de fase das tensões complexas) e apresenta resultados tanto melhores quanto mais elevado for o ní- vel de tensão do sistema. Este modelo linearizado, no entanto, não é aplicável para sistemas de dis- tribuição em baixa tensão, nos quais os fluxos de potência ativa dependem também, e de maneira significativa, das magnitudes das tensões complexas nas barras. Deve-se observar que o modelo CC não leva em conta as magnitudes das tensões nodais, as po- tências reativas e os tapes dos transformadores. Por esta razão, ele não pode substituir por completo os métodos não-lineares de fluxo de potência, mas tem, todavia, grande utilidade em fases prelimi-
  58. 58. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 55 nares de estudos que exigem a análise de um grande número de casos, o que dificilmente poderia ser feito utilizando-se os métodos convencionais. Em fases subseqüentes dos estudos, se for neces- sário o conhecimento de variáveis como as magnitudes das tensões, os fluxos de potência reativa e os valores dos tapes de transformadores, então se deve utilizar métodos que forneçam soluções exa- tas (como Newton-Raphson, desacoplado, ...). 3.9.1. Linearização Para proceder-se a linearização das equações da rede elétrica considerando apenas o acoplamen- to P – θ, deve-se considerar as seguintes aproximações: • Vk = 1,0 pu em todas as barras; • Desprezar todos os shunts na formação de Ybarra; • Desprezar todas as resistências série dos circuitos; • Considerar senθkm ≅ θkm em radianos; • Considerar todos os tapes unitários. Dessa forma as equações (3.6), (3.10) e (3.12) que fornecem os fluxos de potência ativa em li- nhas de transmissão e transformadores em fase, podem ser escritas como ( ) k m km km km km k m km P b b x θ θ θ θ θ − = − = − − = (3.50) onde xkm é a reatância equivalente de todos os circuitos em paralelo que existem no ramo k − m. Esta equação tem a mesma forma que a Lei de Ohm aplicada a um resistor percorrido por cor- rente contínua, sendo Pkm análogo à intensidade da corrente, θk e θm análogos às tensões terminais e xkm análogo à resistência elétrica do resistor. Por esta razão, o modelo de rede de transmissão basea- do na equação (3.50) é conhecido como modelo CC. 3.9.2. Formulação Matricial A injeção de potência ativa na barra k é igual à soma dos fluxos que saem da barra, ou seja,
  59. 59. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 56 ( )1 1 1 k k k k km k m km k km m m m m P x x xθ θ θ θ− − − ∈Ω ∈Ω ∈Ω = − = −∑ ∑ ∑ (3.51) que, por sua vez, admite uma representação matricial do tipo ′= BP θ (3.52) onde P é o vetor das injeções líquidas de potência ativa; θ é o vetor dos ângulos de fase das tensões complexas; B′ é uma matriz tipo susceptância nodal, cujos elementos são 1 1 k km km kk km m B x B x− − ∈Ω ′ ′= − = ∑ (3.53) A matriz B′ dada na equação (3.53) é singular pois, como as perdas de transmissão foram ig- noradas, a soma dos componentes de P é nula, ou seja, a injeção de potência em uma barra qualquer da rede pode ser obtida a partir da soma algébrica das demais. Para resolver este problema, elimina- se uma das equações do sistema linear (3.52) e adota-se a barra correspondente como referência an- gular do sistema (θ = 0°). Dessa forma, esse sistema passa a ser não-singular com dimensão (nb − 1) e os ângulos de fase das (nb − 1) barras restantes podem ser determinados a partir das inje- ções de potência ativa especificadas nessas (nb − 1) barras. 3.10. Características dos Métodos de Solução do Fluxo de Potência De uma forma genérica, pode-se dizer o seguinte sobre cada um dos métodos estudados: a) Método de Gauss-Seidel: • é um método exato de cálculo; • tende a apresentar um número elevado de iterações (da ordem do tamanho do sistema); • se a diagonal da matriz Ybarra for fraca, pode apresentar problemas de divergência. b) Método de Newton-Raphson: • é um método exato de cálculo; • apresenta convergência quadrática;
  60. 60. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 57 • baixo número de iterações; • custo computacional relativamente elevado por iteração; • a matriz Jacobiana é tão esparsa quanto a Ybarra, é simétrica quanto à estrutura e é assimétrica numericamente; • muito sensível quanto à inicialização (o ideal é fornecer valores iniciais próximos à solução final). c) Método de Newton-Raphson desacoplado: • é um método exato de cálculo; • utiliza o acoplamento existente entre as variáveis P – θ e Q – V em redes de EAT e UAT; • solução dos subsistemas alternadamente com atualização das incógnitas; • a velocidade de convergência dos subsistemas pode ser diferente. d) Método linearizado (Fluxo de potência CC) • é um método aproximado de cálculo; • sempre apresenta convergência, mesmo que para valores absurdos; • melhor desempenho em redes de alta relação r x (EAT, UAT); • é adequado a problemas onde a exatidão não é um fator preponderante e/ou em problemas on- de haja necessidade de muitas soluções de casos, como, por exemplo, em planejamento de ex- pansão; • apresenta uma solução rápida; • apresenta a desvantagem de ser um método aproximado de cálculo (geralmente, apresenta um erro de 3 a 5% nos ângulos para sistemas de linhas médias). 3.11. Ajustes e Controles Nas seções anteriores, foram apresentados os principais métodos de resolução das equações bási- cas do problema do fluxo de carga. Essas equações representam os componentes mais importantes de um sistema de energia elétrica, que são as cargas, os geradores, as linhas de transmissão, os transformadores em fase, os capacitores e reatores shunt. Além desses componentes, um sistema de energia elétrica possui uma série de dispositivos de controle que influem diretamente na operação e, portanto, devem ser incluídos na modelagem do sistema para que se possa simular corretamente seu
  61. 61. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 58 desempenho. À formulação básica do problema de fluxo de carga devem, então, ser incorporadas as equações que representam esses dispositivos de controle bem como as inequações associadas aos limites de operação do sistema. Entre os controles que geralmente são representados em problemas de fluxo de carga estão: • controle da magnitude de tensão nodal (local e remota) por injeção de reativos; • controle da magnitude de tensão nodal por ajuste de tap (transformadores em fase); • controle de fluxo de potência ativa (transformadores defasadores); • controle de intercâmbio entre áreas. Os limites de operação mais comuns são: • limites de injeção de potência reativa em barras PV; • limites de tensão em barras PQ; • limites dos taps de transformadores; • limites de fluxos em circuitos. Existem basicamente três modos de representar os controles mencionados anteriormente: a) Classificação por tipo de barra (PQ, PV, Vθ). Isto significa que, por exemplo, o controle de tensão em barras PV já está representado nas equações do fluxo de carga pela própria defi- nição de barra PV. b) Mecanismos de ajuste executados alternadamente, ou seja, durante o cálculo de uma itera- ção as variáveis de controle permanecem inalteradas e, entre uma iteração e outra, essas variáveis são reajustadas procurando-se fazer que as variáveis controladas se aproximem cada vez mais dos respectivos valores especificados. c) Incorporação de equações e variáveis adicionais às equações básicas do fluxo de carga ou substituição de equações e/ou variáveis da formulação básica do fluxo de carga por novas equações e/ou variáveis. Por exemplo, um transformador em fase, cuja variável de controle é a relação de transformação a e a variável controlada é a magnitude da tensão em uma de suas barras terminais, pode ser representado pela simples alteração do vetor de variáveis dependentes x, no qual a magnitude da tensão controlada é substituída pela relação de transformação a, mantendo-se inalterado o conjunto de equações. Em relação ao processo de resolução das equações básicas do fluxo de carga, a introdução da representação de controles traz algumas complicações adicionais que devem ser observadas. A con- vergência do processo iterativo geralmente fica mais lenta. A interferência entre controles que são
  62. 62. Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza Sistemas de Potência I 59 eletricamente próximos pode levar, em alguns casos, à não-convergência do processo iterativo. A- lém disso, a ocorrência de soluções múltiplas para um mesmo problema torna-se freqüente quando os dispositivos de controle são incluídos na modelagem do sistema. 3.12. Cargas Variáveis com a Tensão A representação de cargas por injeções constantes de potência ativa e reativa nem sempre cor- responde ao comportamento real do sistema. A rigor, a modelagem por injeção de potência constan- te somente seria inteiramente correta se as magnitudes das tensões nodais das cargas permaneces- sem iguais aos respectivos valores nominais. Entretanto, em algumas aplicações do cálculo do fluxo de carga, como é o caso dos programas de análise de estabilidade transitória, a modelagem das car- gas tem efeito direto sobre os resultados. A modelagem por potência constante (independente da tensão) é, em geral, mais crítica que a modelagem por admitância constante (a carga varia com o quadrado da magnitude da tensão). Nesse tipo de aplicação, freqüentemente são observados casos estáveis classificados como instáveis porque não foram consideradas as variações das cargas com as magnitudes das tensões. Um modelo geral para as cargas ativas e reativas é dado por ( ) ( ) 2 2 k k nom d p p k p k k nom d q q k q k k P a b V c V P Q a b V c V Q = + + = + + (3.54) em que a + b + c = 1, ou seja, para Vk = 1,0 pu, as cargas esp k esp k QP e assumem os valores nominais enom nom k kP Q . Essa alteração na definição das cargas provoca algumas pequenas mudanças na mon- tagem da matriz Jacobiana, pois agora esp k esp k QP e deixam de ser constantes e passam a ser funções de Vk. São afetados os elementos Nkk e Lkk das submatrizes N e L, que passam a ser calculados como ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 nom calc kk p p k k k kk k k nom calc kk q q k k k kk k k N b c V P V G V P L b c V Q V B V Q − − = + − + = + + − (3.55) em que calc k calc k QP e são os valores calculados em função da estimativa mais recente do estado da rede, durante o processo iterativo de resolução das equações do fluxo de potência.

×