O documento fornece uma introdução sobre polígonos planos, incluindo: 1) Definições de polígonos, suas partes e tipos como convexo, concavo, equilátero e regular. 2) Regras para nomear polígonos de acordo com o número de lados. 3) Propriedades de polígonos similares e regulares, como relações entre lados, áreas e perímetros.

1. TECHNOLOGICAL UNIVERSITY OF THE PHILIPPINES
Ayala Blvd., Ermita, Manila
www.tup.edu.ph
C h a p t e r 1:
P L A N E
F I G U R E S
L a n d r i t o , C h r i s t o p h e r L o u i e O .
P r o f . N i c k S a r t e
E C E T -2D

2. 1.1 POLYGONS
Definition of Polygon
A p o l y g o n i s a c l o s e d p l a n e
f i g u r e f o r m e d b y l i n e s e g m e n t s .
Parts of a Polygon:
1.T h e s i d e o r t h e e d g e o f a
p o l y g o n i s o n e o f t h e l i n e
s e g m e n t s t h a t m a k e u p t h e
p o l y g o n . A d j a c e n t s i d e s a r e
p a i r o f s i d e s t h a t s h a r e a
c o m m o n e n d p o i n t .
2.T h e v e r t i c e s o f a p o l y g o n a r e
t h e e n d p o i n t s o f e a c h s i d e o f
t h e p o l y g o n . A d j a c e n t
v e r t i c e s a r e e n d p o i n t s o f t h e
s i d e .
3.A d i a g o n a l o f a p o l y g o n i s a
l i n e s e g m e n t j o i n i n g t w o n o n -
a d j a c e n t v e r t i c e s o f t h e

3. S i d e o r
e d g e
I n t e r i
o r
a n g l e
V e r
t e x
E x t e
r i o r
A n g l
e
s e g m e n t s s u c h
t h a t :
i) E a c h v e r t e x
i s a c o m m o n
e n d p o i n t o f
t w o
a d j a c e n t
l i n e
s e g m e n t s ;
ii) N o t w o
a d j a c e n t
l i n e
s e g m e n t s
i n t e r s e c t s
e x c e p t a t
a n e n d p o i n t ;
a n d
iii) N o t w o
s e g m e n t s
w i t h t h e

4. Types of Polygons
1. E q u i a n g u l a r P o l y g o n
A p o l y g o n i s e q u i a n g u l a r
i f a l l o f i t s a n g l e s a r e
c o n g r u e n t .
2. E q u i l a t e r a l P o l y g o n
A p o l y g o n i s e q u i l a t e r a l
i f a l l o f i t s s i d e s a r e
e q u a l .
3. R e g u l a r P o l y g o n
R e g u l a r p o l y g o n s a r e b o t h
e q u i a n g u l a r a n d
e q u i l a t e r a l .
4. I r r e g u l a r P o l y g o n

5. 5. C o n v e x P o l y g o n
E v e r y i n t e r i o r a n g l e o f a
c o n v e x
p o l y g o n i s l e s s t h a n 180’. I f a
l i n e
i s d r a w n t h r o u g h t h e c o n v e x
p o l y g o n ,
t h e l i n e w i l l i n t e r s e c t a t
m o s t
t w o s i d e s .
6. C o n c a v e P o l y g o n
A c o n c a v e p o l y g o n h a s a t
l e a s t
o n e i n t e r i o r a n g l e t h a t
m e a s u r e s
m o r e t h a n 180’. I f a l i n e i s d r a w n

6. Naming Polygons
P o l y g o n s a r e n a m e d
a c c o r d i n g t o t h e i r n u m b e r
a n d s i d e s . G e n e r a l l y , a
p o l y g o n w i t h n s i d e s i s
c a l l e d a n n -g o n . T o f o r m t h e
n a m e o f p o l y g o n s w i t h 13 t o
99 s i d e s , b e g i n w i t h t h e
p r e f i x f o r t h e t e n s d i g i t ,
f o l l o w e d b y K a i (t h e G r e e k
w o r d f o r a n d ) a n d t h e
p r e f i x f o r t h e u n i t s d i g i t .
N u mb e r o f
S i d e s
N a me o f
P o l y g o n
N N-gon
3 Triangle or trigon
4 Quadrilateral or tetragon
5 Pentagon
6 Hexagon
7 Heptagon

7. N u mb e r o f
S i d e s
N a me o f
P o l y g o n
8 Octagon
9 Nonagon or enneagon
10 Decagon
11 Undecagon or hendecagon
12 Dodecagon
13 Tridecagon or triskaidecagon
14 Tetradecagon or tetrakaidecagon
15 Pentadecagon or pentakaidecagon
16 Hexadecagon or hexakaidecagon
17 Heptadecagon or heptakaidecagon
18 Octadecagon or octakaidecagon
19 Enneadecagon or enneakaidecagon
20 Icosagon

8. N u mb e r o f
S i d e s
N a me o f
P o l y g o n
40 Tetracontagon
50 Pentacontagon
60 Hexacontagon
70 Heptacontagon
80 Octacontagon
90 Enneacontagon
100 Hectogon or hecatontagon
1,000 Chiliagon
10,000 Myriagon
10-6 Megagon
10100 Googolgon

9. S i d
e s
P r e f i x
A n
d
S i d e
s
(O n e s
D i g i t )
S u f f
i x
20 Icosi or Icosa 1 Henagon
30 Triaconta 2 Digon
40 Tetraconta 3 Trigon
50 Pentaconta 4 Tetragon
60 Hexaconta Kai + 5 Pentagon
70 Heptaconta 6 Hexagon
80 Octaconta 7 Heptagon
90 Enneaconta 8 Octagon
9 Enneagon

10. F o r n u m b e r s f r o m 100
t o 999, f o r m t h e n a m e o f
t h e p o l y g o n b y s t a r t i n g
w i t h t h e p r e f i x f o r t h e
h u n d r e d s d i g i t s t a k e n
f r o m t h e o n e s d i g i t
t a k e n f r o m t h e o n e s
d i g i t , a f f i x t h e w o r d
h e c t a , t h e n f o l l o w t h e
r u l e o n n a m i n g p o l y g o n s
w i t h 3 t o 99 s i d e s .
H o w e v e r , o n e m a y u s e t h e
f o r m n -g o n a s i n 24-g o n
f o r a p o l y g o n w i t h 24
s i d e s , i n s t e a d o f u s i n g

11. Examples:
1. A 54-s i d e d p o l y g o n i s c a l l e d a
p e n t a c o n t a k a i t e t r a g o n .
2. A 532-s i d e d p o l y g o n i s c a l l e d
p e n t a h e c t a t r i a c o n t a k a i d i g o
n .
50 a n d 4
P e n t a c o
n t a
K a i t e t r a g o
n
500 30 A n d 2
P e n t a h
e c t a
T r i a c o
n t a
K a i D i g o n

12. 60 a n d 9
H e x a c o n
t a
K a i e n n e a g o
n
3. A 60-s i d e d p o l y g o n i s c a l l e d a
H e x a c o n t a k a i e n n e a g o n .
4. A 1069-s i d e d p o l y g o n i s c a l l e d
C h i l i a h e x a c o n t a k a i e n n e a g o n
.
1000 60 A n d 9
Chilia Hexaconta K a i e n n e a g
o n

13. Similar Polygons
T h e r a t i o o f t w o
q u a n t i t i e s i s t h e q u o t i e n t
o f o n e q u a n t i t y . N o t e ,
h o w e v e r , t h a t t h e t w o
q u a n t i t i e s m u s t b e o f t h e
s a m e k i n d . F o r e x a m p l e , t h e
r a t i o o f t h e m e a s u r e o f a
s i d e a n d a n i n t e r i o r a n g l e
i s m e a n i n g l e s s b e c a u s e t h e y
a r e n o t q u a n t i t i e s o f t h e
s a m e k i n d . A p r o p o r t i o n i s a n
e x p r e s s i o n o f e q u a l i t y
b e t w e e n t w o r a t i o s . T h a t i s ,
i f t w o r a t i o s a :b a n d c :d a r e
e q u a l , t h e n t h e e q u a t i o n

14. C o n s i d e r t h e g i v e n s i m i l a r
p o l y g o n s b e l o w :
T h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s
b e t w e e n t h e t w o p o l y g o n s a r e
o b t a i n e d u s i n g t h e c o n c e p t o f
r a t i o a n d p r o p o r t i o n :
1. T h e r a t i o o f a n y t w o
c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f
s i m i l a r p o l y g o n s a r e e q u a l .
Y 1
X 1
A 1
Y 2
X 1
A 1

15. 2. T h e r a t i o o f t h e a r e a s o f
s i m i l a r p o l y g o n s i s t h e
s q u a r e o f t h e r a t i o o f a n y
t w o c o r r e s p o n d i n g s i d e s .
3. T h e r a t i o o f t h e p e r i m e t e r s
o f s i m i l a r p o l y g o n s i s e q u a l
t o t h e r a t i o o f a n y t w o
c o r r e s p o n d i n g s i d e s .
2

16. P r o p e r t i e s o f a
R e g u l a r P o l y g o n
A r e g u l a r p o l y g o n o f n
s i d e s c a n b e s u b d i v i d e d i n t o
n c o n g r u e n t I s o s c e l e s
t r i a n g l e s , w h o s e b a s e i s a
s i d e o f t h e p o l y g o n . T h e
c o m m o n v e r t e x o f t h e s e
t r i a n g l e s i s t h e c e n t e r o f
t h e p o l y g o n . a
.
s

17. P e r i m e t e r
P =n s
,
T o f i n d t h e p e r i m e t e r
o f a p o l y g o n , a d d t h e
l e n g t h s o f t h e s i d e s o f
t h e p o l y g o n . S i n c e
r e g u l a r p o l y g o n s a r e
e q u i l a t e r a l , t h e
f o r m u l a i n f i n d i n g t h e
p e r i m e t e r o f a r e g u l a r
p o l y g o n i s

18. T h e a n g l e t h a t i s
o p p o s i t e a s i d e o f a
r e g u l a r p o l y g o n i s a
c e n t r a l a n g l e o f t h e
p o l y g o n . I t i s t h e a n g l e
f o r m e d b y t w o l i n e s d r a w n
f r o m t h e c e n t e r o f t h e
p o l y g o n t o t w o a d j a c e n t
v e r t i c e s . R e g u l a r
p o l y g o n s a r e
e q u i a n g u l a r . T h u s , t h e
m e a s u r e o f e a c h c e n t r a l
a n g l e i s g i v e n b y
C e n t r a l
A n g l e

19. A p o t
h e m
T h e a l t i t u d e o f t h e
i s o s c e l e s t r i a n g l e s
t h a t c a n b e f o r m e d f r o m a
r e g u l a r p o l y g o n i s t h e
a p o t h e m o f t h e r e g u l a r
p o l y g o n . T h e a p o t h e m
b i s e c t s t h e c e n t r a l
a n g l e a n d i t s o p p o s i t e
s i d e . T h u s , w e c a n c o m p u t e
f o r t h e a p o t h e m a s
f o l l o w s :
S o l v e
f o r a ,

20. I n t e r i o
r A n g l e
I n e a c h i s o s c e l e s
t r i a n g l e , t h e m e a s u r e
o f t h e b a s e a n g l e s c a n
b e d e n o t e d b y , a n d e a c h
i n t e r i o r a n g l e o f t h e
r e g u l a r p o l y g o n b y 2 .
T h u s , t h e m e a s u r e o f
e a c h i n t e r i o r a n g l e i s
s o l v e d a s f o l l o w s :

21. S u m o f
I n t e r i o r
A n g l e
S i n c e t h e n u m b e r o f
s i d e s e q u a l s t h e n u m b e r
o f i n t e r i o r a n g l e s ,
t h e n t h e s u m o f
i n t e r i o r a n g l e s i s n
t i m e s t h e m e a s u r e o f
t h e i n t e r i o r a n g l e .
H e n c e ,

22. A r e
a
A r e a i s t h e a m o u n t o f
t w o -d i m e n s i o n a l s p a c e
t h a t a p l a n e f i g u r e
o c c u p i e s . T o g e t t h e a r e
o f a r e g u l a r p o l y g o n ,
m u l t i p l y t h e a r e a o f
t h e i s o s c e l e s t r i a n g l e
b y t h e n u m b e r o f
t r i a n g l e s f o r m , o r .
N o t e t h a t t h i s i s t h e
s a m e a s o n e -h a l f o f t h e
p r o d u c t o f i t s
p e r i m e t e r a n d i t s

23. T h e f o r m u l a f o r a r e a
o f a r e g u l a r p o l y g o n
c a n b e e x p r e s s e d i n
t e r m s o f i t s n u m b e r o f
s i d e s a n d t h e m e a s u r e
o f o n e s i d e s a s f o l l o w s :

24. D i a g o
n a l
F r o m a n y g i v e n v e r t e x
o f a r e g u l a r p o l y g o n , a
d i a g o n a l i s d r a w n f r o m
t h e v e r t e x t o a n o n -
a d j a c e n t v e r t e x . T h i s
m e a n s t h a t y o u c a n
c o n s t r u c t a d i a g o n a l
f r o m e a c h v e r t e x o f a
p o l y g o n w i t h n s i d e s i n
n – 3 w a y s . S i n c e t h e r e a
n v e r t i c e s a n d e a c h
d i a g o n a l h a s t w o
e n d p o i n t s , y o u c a n d o

25. Example:
F i n d t h e a r e a o f a
r e g u l a r n o n a g o n
w h o s e s i d e s m e a s u r e
3 u n i t s . D e t e r m i n e
t h e n u m b e r o f
d i s t i n c t d i a g o n a l s
t h a t c a n b e d r a w n
f r o m e a c h v e r t e x a n d
t h e s u m o f i t s

26. S o l u t i o n :
A n o n a g o n i s 9-s i d e d
p o l y g o n .
T h u s , n =9, s =3. S o l v e a s f o l l o w s :
A r e a o f t h e p o l y g o n :

27. N u mb e r o f D i a g o n a l s :
S u m o f i n t e r i o r a n g l e s :

28. 1.1
E x e r c i s
e s1. U s e t h e d i a g r a m b e l o w t o
a n s w e r t h e q u e s t i o n s (a ) t o
(d ).
a) I s t h e p o l y g o n c o n v e x o r
c o n c a v e ?
b) H o w m a n y d i a g o n a l s c a n b e
d r a w n f r o m v e r t e x A ?
c) H o w m a n y s i d e s d o e s t h e
A

29. 2. U s e t h e d i a g r a m b e l o w t o
a n s w e r q u e s t i o n s (a ) t o (d ).
a) I s t h e p o l y g o n c o n v e x o r
c o n c a v e ?
b) H o w m a n y d i a g o n a l s c a n b e
d r a w n f r o m v e r t e x A ?
c) H o w m a n y s i d e s d o e s t h e
p o l y g o n h a v e ?
d) Wh a t i s t h e n a m e o f t h e
A

30. 3. Wh a t i s t h e m e a s u r e o f a n
i n t e r i o r a n g l e o f a r e g u l a r
p e n c o n t a k a i t r i g o n ?
5. N a m e e a c h p o l y g o n w i t h t h e
g i v e n n u m b e r o f s i d e s .
a . 39
b .127
c . 821
d . 86
6. T h e n u m b e r o f d i a g o n a l s o f
a r e g u l a r p o l y g o n i s 35. F i n d
t h e a r e a o f t h e p o l y g o n i f

31. 7. F i n d t h e n u m b e r o f
d i a g o n a l s o f a r e g u l a r
p o l y g o n w h o s e i n t e r i o r
a n g l e m e a s u r e s .
8. T h e r a t i o o f a r e a s b e t w e e n
t w o s i m i l a r t r i a n g l e s i s 1:4.
I f o n e s i d e o f t h e s m a l l e r
t r i a n g l e i s 2 u n i t s , f i n d
t h e m e a s u r e o f t h e
c o r r e s p o n d i n g s i d e o f t h e
o t h e r t r i a n g l e .
9. T h e s u m o f t h e i n t e r i o r
a n g l e s o f a r e g u l a r p o l y g o n
i s . F i n d t h e a r e a o f
t h e p o l y g o n i f i t ’s

32. 1.2 Triangles
T h e m o s t f u n d a m e n t a l
s u b s e t o f p o l y g o n i s t h e s e t
o f T r i a n g l e s .
C l a s s i f i c a t i o n o f
T r i a n g l e s a c c o r d i n g t o
S i d e s
1. E q u i l a t e r a l – a t r i a n g l e
w i t h t h r e e c o n g r u e n t s i d e s
a n d t h r e e c o n g r u e n t a n g l e s .
E a c h a n g l e m e a s u r e s
2. I s o s c e l e s – a t r i a n g l e
w i t h t w o c o n g r u e n t s i d e s a n d
t w o c o n g r u e n t a n g l e s .S c a
l e n
I s o s E q u i l
a t e r a

33. C l a s s i f i c a t i o n o f
T r i a n g l e s a c c o r d i n g t o
A n g l e s
1. R i g h t – a t r i a n g l e w i t h a
r i g h t a n g l e ( ).
2. O b l i q u e – a t r i a n g l e w i t h
n o r i g h t a n g l e .
a ) A c u t e – a t r i a n g l e w i t h
t h r e e a c u t e a n g l e s
(l e s s t h a n ).
b ) E q u i a n g u l a r – a
t r i a n g l e w i t h t h r e e
c o n g r u e n t a n g l e s . E a c h

34. C o n g r u e n t
T r i a n g l e s
T h e w o r d c o n g r u e n t i s
d e r i v e d f r o m t h e L a t i n
w o r d , c o n g r u e r e , w h i c h m e a n s
a g r e e . T w o t r i a n g l e s a r e
c o n g r u e n t w h e n t h e y h a v e
t h e s a m e s h a p e a n d s i z e .
C o n g r u e n t t r i a n g l e s c a n b e
m a d e t o c o i n c i d e p a r t b y
p a r t . C o r r e s p o n d i n g p a r t s
o f c o n g r u e n t t r i a n g l e s a r e
c o n g r u e n t . T h e s y m b o l f o r

35. S i m i l a r
T r i a n g l e
s
T w o t r i a n g l e s a r e
s i m i l a r i f t h e i r
c o r r e s p o n d i n g a n g l e s a r e
c o n g r u e n t a n d t h e i r
c o r r e s p o n d i n g s i d e s a r e
p r o p o r t i o n a l . S i m i l a r
t r i a n g l e s h a v e t h e s a m e
s h a p e b u t d i f f e r i n s i z e .
L o o k a t t h e s i m i l a r
t r i a n g l e s b e l o w .

36. S i n c e t h e t w o t r i a n g l e s
a r e s i m i l a r , t h e n t h e
r e l a t i o n s t h a t e x i s t
b e t w e e n t w o s i m i l a r
p o l y g o n s a l s o h o l d . T h u s , i t
f o l l o w s t h a t :

37. P a r t s o f a
T r i a n g l e
A t r i a n g l e h a s t h r e e
p o s s i b l e b a s e s a n d t h r e e
p o s s i b l e v e r t i c e s . A n y o f
t h e t h r e e s i d e s o f t h e
t r i a n g l e s m a y b e
c o n s i d e r e d a s t h e b a s e o f
t h e t r i a n g l e . T h e a n g l e
o p p o s i t e t h e b a s e i s c a l l e d
v e r t e x a n g l e . T h e t w o
a n g l e s a d j a c e n t t o t h e b a s e
a r e c a l l e d b a s e a n g l e s .
a l i n e s e g m e n t d r a w n f r o m
a v e r t e x p e r p e n d i c u l a r t o
t h e o p p o s i t e s i d e i s c a l l e d
a l t i t u d e . T h e p o i n t o f

38. A n a n g l e b i s e c t o r
d i v i d e s a n a n g l e o f t h e
t r i a n g l e i n t o t w o
c o n g r u e n t a n g l e s a n d h a s
e n d p o i n t s o n a v e r t e x a n d
t h e o p p o s i t e s i d e . T h e
p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f
t h e a n g l e b i s e c t o r s o f a
t r i a n g l e i s c a l l e d
i n c e n t e r .
A p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r
o f a s i d e o f a t r i a n g l e
d i v i d e s t h e s i d e i n t o t w o
c o n g r u e n t s e g m e n t s a n d i s
p e r p e n d i c u l a r t o t h e s i d e .
T h e c i r c u mc e n t e r i s t h e

39. P r o p e r t i e s o f
T r i a n g l e C e n t e r s
1. O r t h o c e n t e r – i s n o t a l w a y s i n t h e
i n t e r i o r o f t h e t r i a n g l e . I n a n
o b t u s e t r i a n g l e , t h e t w o s i d e s o f
t h e o b t u s e a n g l e a n d t h e
c o r r e s p o n d i n g a l t i t u d e s a r e
e x t e n d e d t o m e e t a p o i n t o u t s i d e
t h e t r i a n g l e . I n t h e r i g h t r i g h t
t r i a n g l e , t h e o r t h o c e n t e r i s o n a
v e r t e x o f t h e t r i a n g l e .
2. C e n t r o i d – k n o w n a s t h e c e n t e r o f
m a s s o f t h e t r i a n g l e . U n l i k e t h e
o r t h o c e n t e r , t h e c e n t r o i d i s
a l w a y s i n s i d e t h e t r i a n g l e a n d
f o r r i g h t , i s o s c e l e s a n d
e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s , t h e
c e n t r o i d i s l o c a t e d o n e -t h i r d o f
t h e a l t i t u d e f r o m t h e b a s e .

40. C o n s i d e r a n a r b i t r a r y
t r i a n g l e w i t h s i d e s a , b , a n d
c , a n d a n g l e s A , B , a n d C . L e t
b e t h e l e n g h t s o f t h e
a l t i t u d e , m e d i a n , a n d a n g l e
b i s e c t o r f r o m v e r t e x
C , r e s p e c t i v e l y . T h e n ,
A l t i t u d e :
A l t i t u d e , M e d i a n , a n d
A n g l e B i s e c t o r F o r m u l a s
C
ab
A B
c

41. Wh e r e s i s t h e s e m i -p e r i m e t e r
o f t h e t r i a n g l e a n d
M e d i u m:
A n g l e B i s e c t o r :
C
ab
A B
c
a
b
A B
c
C

42. F a c t s a b o u t
T r i a n g l e s
1. T h e s u m o f t h e l e n g t h s o f
a n y t w o s i d e s o f a t r i a n g l e
i s a l w a y s g r e a t e r t h a n t h e
t h i r d s i d e . T h e d i f f e r e n c e
b e t w e e n t h e l e n g t h s o f a n y
t w o s i d e s i s a l w a y s l e s s
t h a n t h e t h i r d s i d e o f a
t r i a n g l e .
2. T h e s u m o f t h e m e a s u r e s o f
t h e i n t e r i o r a n g l e s o f a
t r i a n g l e i s .
3. T w o e q u i a n g u l a r t r i a n g l e s
a r e s i m i l a r .
4. T w o t r i a n g l e s a r e s i m i l a r

43. 6. I f a n y t w o s i d e s o f a r i g h t
t r i a n g l e a r e g i v e n , t h e
t h i r d s i d e c a n b e o b t a i n e d
b y t h e P y t h a g o r e a n t h e o r e m
.
7. T w o t r i a n g l e s a r e e q u a l i f
t h e m e a s u r e o f t h e t w o
s i d e s a n d i n c l u d e d a n g l e o f
o n e t r i a n g l e a r e e q u a l t o
t h e m e a s u r e o f t h e t w o
s i d e s a n d t h e i n c l u d e d
a n g l e o f o t h e r t r i a n g l e .
8. T h e l i n e s e g m e n t w h i c h
j o i n t h e m i d p o i n t s o f t w o
s i d e s o f a t r i a n g l e i s
p a r a l l e l t o t h e t h i r d s i d e
a n d e q u a l t o o n e -h a l f t h e

44. T r i a n g l e s . E a c h o f t h e
t r i a n g l e s f o r m e d b y t h i s
a l t i t u d e i s s i m i l a r t o t h e
o r i g i n a l t r i a n g l e .
11. E a c h l e g o f a r i g h t
t r i a n g l e i s t h e g e o m e t r i c
m e a n b e t w e e n t h e
h y p o t e n u s e a n d t h e
p r o j e c t i o n o f t h e l e g o n
t h e h y p o t e n u s e .
h
x
c -
x

45. F o r m u l a s f o r t h e
a r e a o f a T r i a n g l e
I n g e n e r a l , t h e a r e a o f
t h e t r i a n g l e i s o n e h a l f
t h e p r o d u c t o f i t s b a s e a n d
a l t i t u d e .
T o s o l v e f o r t h e a r e a o f a
t r i a n g l e g i v e n t h e
m e a s u r e s o f t w o s i d e s a n d

46. S A S (S i d e – A n g l e – S i d e )
F o r m u l a :
T h e a r e a o f a t r i a n g l e i s
o n e -h a l f t h e p r o d u c t o f
a n y t w o s i d e s a n d h e s i n e
o f t h e i r i n c l u d e d a n g l e .
Wh e n t h e m e a s u r e s o f t h e
t h r e e s i d e s o f t r i a n g l e
a r e g i v e n , t h e a r e a o f t h e
b
a

47. H e r o n ’s F o r m u l a o r S S S
(T h r e e s i d e s ) F o r m u l a :
Wh e r e i s c a l l e d s e m i -
p e r i m e t e r .
B
A C
c a
b

48. 1.2
E x a m p l e s
P r o b l e m:
1. T h e m e a s u r e o f t h e
t h r e e s i d e s o f a
t r i a n g l e a r e
A B = 30 i n ., a n d B C = 60 i n .
f r o m a p o i n t D o n s i d e
A B , a l i n e D E i s d r a w n
t h r o u g h a p o i n t E o n
s i d e A C s u c h t h a t a n g l e
A E D i s e q u a l t o a n g l e
A B C . I f t h e p e r i m e t e r o f

49. S o l u t i o n :
D r a w t h e f i g u r e a n d l a b e l
t h e p a r t s w i t h t h e g i v e n
m e a s u r e .
T h e p e r i m e t e r o f t r i a n g l e
A B C i s :
P = 30+60+50=140 i n . N o t i c e t h a t
t r i a n g l e A B C a n d t r i a n g l e
A D E a r e s i m i l a r t r i a n g l e s
30
D
A E
50
C
60

50. o f t h e i r p e r i m e t e r s i s
e q u a l t o t h e r a t i o o f a n y o f
t h e i r c o r r e s p o n d i n g s i d e s .
H e n c e , B D +E C = 10+38 = 48 i n .
B D = 30 –
A D
= 30 – 20
= 10
E C = 50 –
A E
= 50 – 12
= 38

51. 2. I f o n e s i d e o f a t r i a n g l e
i s 20 u n i t s a n d t h e
p e r i m e t e r i s 72 u n i t s , w h a t
i s t h e m a x i m u m a r e a t h a t
t h e t r i a n g l e c a n h a v e ?
S o l u t i o n :
I m a g i n e t h e s i d e o f l e n g t h
20 u n i t s a s t h e b a s e o f t h e
t r i a n g l e . T h u s , t h e s u m o f
t h e l e n g t h s o f t h e o r d e r
t w o -s i d e s i s P – 20= 52 u n i t s .
S i n c e t h e a r e a o f t h e
t r i a n g l e i s m a x i m u m w h e n
t h e h e i g h t i s a l s o m a x i m u m ,
t h e t r i a n g l e i s i s o s c e l e s

52. H e n c e , t h e a r e a i s
26 26
1010
h

53. 3. D e r i v e f o r m u l a s f o r t h e
h e i g h t a n d a r e a o f a n
e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h
s i d e s .
S o l u t i o n :
I n a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e ,
t h e a l t i t u d e d i v i d e s t h e
t r i a n g l e i n t o t w o c o n g r u e n t
r i g h t t r i a n g l e s . T h u s , b y
t h e P y t h a g o r e a n T h e o r e m .
h
s

54. S i n c e e a c h i n t e r i o r a n g l e
m e a s u r e s , u s e t h e S A S
f o r m u l a t o f i n d t h e a r e a o f
t h e t r i a n g l e .

55. 1. F i n d t h e a l t i t u d e a n d t h e
a r e a o f a n e q u i l a t e r a l
t r i a n g l e w h o s e s i d e i s 8c m
l o n g .
2. I s i t p o s s i b l e t o f o r m a
t r i a n g l e w i t h s i d e s 2,4 a n d 8
u n i t s ? J u s t i f y y o u r a n s w e r .
3. T h e r a t i o o f t h e b a s e o f a n
i s o s c e l e s t r i a n g l e t o i t s
a l t i t u d e i s 3:4. F i n d t h e
m e a s u r e s o f t h e a n g l e s o f
t h e t r i a n g l e .
4. I n a n a c u t e t r i a n g l e A B C , a n
a l t i t u d e A D i s d r a w n . F i n d
t h e a r e a o f t r i a n g l e A B C i f
1.2
E x e r c i s
e s

56. 6. I n a r i g h t t r i a n g l e , t h e
b i s e c t o r o f t h e r i g h t a n g l e
d i v i d e s t h e h y p o t e n u s e i n
t h e r a t i o 3 i s t o 50. D e t e r m i n e
t h e m e a s u r e s o f t h e a c u t e
a n g l e o f t h e t r i a n g l e .
7. I n a r i g h t t r i a n g l e , a l i n e
p e r p e n d i c u l a r t o t h e
h y p o t e n u s e d r a w n f r o m t h e o f
o n e o f t h e s i d e s d i v i d e s t h e
h y p o t e n u s e i n t o s e g m e n t s
w h i c h a r e
10 c m a n d 6 c m l o n g . F i n d t h e
l e n g t h s o f t h e t w o s i d e s o f
t h e t r i a n g l e s .
8. I s i t p o s s i b l e t o f o r m a

57. A q u a d r i l a t e r a l , a l s o k n o w n
a s t e t r a g o n o r q u a d r a n g l e , i s a
g e n e r a l t e r m f o r a f o u r -s i d e d
p o l y g o n .
T h e c o m m o n p a r t s o f a
q u a d r i l a t e r a l a r e d e s c r i b e d a s
f o l l o w s :
1. S i d e – i s a l i n e s e g m e n t s w h i c h
j o i n s a n y t w o a d j a c e n t
v e r t i c e s .
2. I n t e r i o r a n g l e – i s t h e a n g l e
f o r m e d b e t w e e n t w o a d j a c e n t
s i d e s .
3. H e i g h t a n d a l t i t u d e – I t i s
t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o
p a r a l l e l s i d e s o f a
1.3 Quadrilateral

58. C l a s s i f i c a t i o n
o f
Q u a d r i l a t e r a l s
T h e c l a s s i f i c a t i o n o f
q u a d r i l a t e r a l s i s b a s e d
o n t h e n u m b e r o f p a i r s o f
i t s p a r a l l e l s i d e s a s
s h o w n i n t h e f i g u r e b e l o w .Q u a d r
i l a t e
r a l
P a r a l l
e l o g r a
mR e c t a
n g l e
R h o m b
u s
T r a p e z
o i d
S q u a r
T r a p e
z i u m

59. P a r a l l e l o g r a m h a s t w o
p a i r s o f p a r a l l e l s i d e s .
T r a p e z o i d h a s o n l y o n e
p a i r o f p a r a l l e l s i d e s .
T r a p e z i u m d o e s n o t h a v e
a n y p a i r o f p a r a l l e l
s i d e s .

60. G e n e r a l F o r m u l a s f o r
t h e A r e a o f
Q u a d r i l a t e r a l s
C o n s i d e r t h e q u a d r i l a t e r a l
b e l o w .
T h e r e a r e s e v e r a l u s e f u l
f o r m u l a s f o r t h e a r e a o f a
p l a n e c o n v e x q u a d r i l a t e r a l
A
a b
d
D
c
B
C

61. A m o n g t h e m a r e t h e f o l l o w i n g :
F o r m u l a 1:
Wh e r e i s t h e a n g l e f o r m e d
b e t w e e n a n d .
F o r m u l a 2:
Wh e r e t h e f o u r s i d e s a r e
l a b e l e d s u c h t h a t
F o r m u l a 3:

62. P a r a l l e l o g r
a mA p a r a l l e l o g r a m i s a
q u a d r i l a t e r a l i n w h i c h t h e
o p p o s i t e s i d e s a r e
p a r a l l e l . T h e f i g u r e b e l o w
i l l u s t r a t e s a n e x a m p l e o f
p a r a l l e l o g r a m .
A
C
B
D
h (height)
b (base)

63. P a r a l l e l o g r a m s h a v e t h e
f o l l o w i n g i m p o r t a n t
p r o p e r t i e s :
1. O p p o s i t e s i d e s a r e
e q u a l .
2 O p p o s i t e i n t e r i o r
a n g l e s a r e c o n g r u e n t .
3. A d j a c e n t a n g l e s a r e
s u p p l e m e n t a r y .
4. A d i a g o n a l d i v i d e s t h e
p a r a l l e l o g r a m i n t o t w o
c o n g r u e n t t r i a n g l e s .

64. D i a g o n a l s o f a
P a r a l l e l o g r a mI f s i d e s a a n d b , a n d t h e
a n g l e a r e g i v e n , t h e n b y t h e
C o s i n e l a w , t h e d i a g o n a l
m a y b e o b t a i n e d b y t h e
e q u a t i o n .
I f a n y t w o p a r t s o f a
p a r a l l e l o g r a m a r e
g i v e n , t h e r e l a t i o n s h i p
a m o n g a , h a n d m a y b e
o b t a i n e d f r o m t h e r i g h t
t r i a n g l e . U s i n g t h e o t h e r

65. P e r i m e t e r o f a
P a r a l l e l o g r a m
O p p o s i t e s i d e s o f a
p a r a l l e l o g r a m a r e
e q u a l . T h u s , i t s
p e r i m e t e r i s g i v e n
b y

66. A r e a o f a
P a r a l l e l o g r a m
T h e a r e a o f a p a r a l l e l o g r a m
c a n b e o b t a i n e d b y a n y o f
t h e f o l l o w i n g f o r m u l a s :
F o r m u l a 1:
w h e r e b i s t h e l e n g t h o f t h e
b a s e , a n d h i s t h e h e i g h t .
F o r m u l a 2:
w h e r e a a n d b a r e t h e
l e n g t h s o f t h e s i d e s o f t h e
p a r a l l e l o g r a m a i s a n y i s
a n y i n e t r i o r a n g l e .
A = bh,

67. I n p r o b l e m s i n v o l v i n g a r e a
o f a p a r a l l e l o g r a m , o n e
w i l l h a v e t o f i n d t h e
h e i g h t h , o r t h e a n g l e
u s i n g t h e r i g h t t r i a n g l e
c o n t a i n i n g t h e p a r t s
a , h , a n d .
S i n c e a d i a g o n a l d i v i d e s
t h e p a r a l l e l o g r a m i n t o t w o
c o n g r u e n t t r i a n g l e s , t h e
a r e a o f t h e p a r a l l e l o g r a m
i s t w i c e t h e a r e a o f o n e o f
t h e t w o t r i a n g l e s . T h u s , i f
t w o s i d e s a a n d b , a n d a n
a n g l e a r e g i v e n y o u c a n
o b t a i n e d t h e a r e a u s i n g S A S
f o r m u l a . T h e a r e a o f t h e

68. R e c t a n g l e
A r e c t a n g l e i s
e s s e n t i a l l y a
p a r a l l e l o g r a m i n w h i c h
t h e i n t e r i o r a n g l e s a r e
a l l r i g h t a n g l e s .
A
h
B
CD
b

69. D i a g o n a l s o f
a R e c t a n g l e
A d i a g o n a l o f a r e c t a n g l e
c u t s t h e r e c t a n g l e i n t o t w o
c o n g r u e n t r i g h t t r i a n g l e s .
T h e d i a g o n a l A C d i v i d e s t h e
r e c t a n g l e A B C D i n t o
c o n g r u e n t r i g h t t r i a n g l e s
A D C a n d A B C . S i n c e t h e
d i a g o n a l o f t h e r e c t a n g l e
f o r m s r i g h t t r i a n g l e s t h a t
i n c l u d e t h e d i a g o n a l a n d
t w o s i d e s o f t h e
r e c t a n g l e , o n e c a n a l w a y s
c o m p u t e f o r t h e t h i r d s i d e
w i t h t h e u s e o f t h e

70. P e r i m e t e r o f a
R e c t a n g l e
T h e p e r i m e t e r i s t h e s u m o f
t h e f o u r s i d e s . T h u s ,
P = 2b +
2hA r e a o f a
R e c t a n g l eI f b i s t h e l e n g t h o f t h e
b a s e a n d h i s t h e h e i g h t ,
t h e n t h e f o r m u l a f o r t h e
a r e a o f a r e c t a n g l e i s
A =
b h

71. S q u a r e
A s q u a r e i s a s p e c i a l
t y p e o f a r e c t a n g l e i n
w h i c h a l l t h e s i d e s a r e
e q u a l . S i n c e a l l s i d e s a n d
i n t e r i o r a n g l e s a r e
e q u a l , a s q u a r e i s
c l a s s i f i e d a s a r e g u l a r
p o l y g o n o f f o u r s i d e s .
a
a
d

72. D i a g o n a l o f
a S q u a r e
T h e s t e p s i n f i n d i n g t h e
d i a g o n a l o f a s q u a r e i s
s i m i l a r t o t h e s t e p s u s e d
i n a r e c t a n g l e . T h u s ,
w h e r e a i s t h e
l e n g t h o f o n e s i d e o f a
s q u a r e .
N o t e t h a t , i f t h e l e n g t h
o f t h e d i a g o n a l i s g i v e n
o n e c a n a l w a y s c o m p u t e f o r

73. A r e a o f
S q u a r e
T h e f o r m u l a f o r t h e
a r e a o f a s q u a r e i s
g i v e n b y

74. R h o m b u s
A r h o mb u s i s a
p a r a l l e l o g r a m i n w h i c h a l l
s i d e s a r e e q u a l .
A r h o m b u s m a y a l s o b e
d e f i n e d
a s a n e q u i l a t e r a l
p a r a l l e l o g r a m .
T h e t e r m s “r h o m b ” a n d
“d i a m o n d ” a r e s o m e t i m e s
u s e d
i n s t e a d o f r h o m b u s .
A r h o m b u s w i t h a n i n t e r i o r
h

75. T h e D i a g o n a l o f
a R h o m b u s
J u s t l i k e t h e s q u a r e , t h e
d i a g o n a l s o f a r h o m b u s a r e
p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s .
T h u s t h e a n g l e f o r m e d b y
t h e d i a g o n a l ,m e a s u r e a n d
t h e l e n g t h o f e a c h s i d e o f
t h e r h o m b u s i s g i v e n b y
A l s o , t h e d i a g o n a l s o f t h e
r h o m b u s a r e a n g l e
b i s e c t o r s o f t h e v e r t i c e s .

76. T h u s ,
a n d
O n e c a n a l s o v e r i f y t h a t
t h e a n g l e o p p o s i t e t h e
s h o r t e r d i a g o n a l m a y b e
o b t a i n e d b y t h e f o r m u l a
Wh e r e d i s t h e l o n g e r
d i a g o n a l a n d i s t h e a n g l e
o p p o s i t e t h e s h o r t e r

77. T h e P e r i m e t e r
o f a R h o m b u s
I f b i s t h e m e a s u r e
o f o n e s i d e o f a
r h o m b u s , t h e n t h e
p e r i m e t e r i s g i v e n
b y

78. A r e a o f a
R h o m b u s
T h e a r e a o f a r h o m b u s m a y b e
d e t e r m i n e d b y a n y o f t h e
f o l l o w i n g w a y s :
T h e a r e a i s o n e h a l f t h e
p r o d u c t o f i t s t w o
d i a g o n a l s .
S i n c e a r h o m b u s i s a
p a r a l l e l o g r a m , t h e a r e a i s
a l s o t h e p r o d u c t o f t h e
A =
b h

79. T h e a r e a i s t w i c e t h e
a r e a o f o n e o f t w o
c o n g r u e n t t r i a n g l e s f o r m e d
b y o n e o f i t s d i a g o n a l s .
T h i s i s t h e s a m e m e t h o d
u s e d i n f i n d i n g t h e a r e a o f
a p a r a l l e l o g r a m .

80. T r a p e z o i d
A t r a p e z o i d i s a
q u a d r i l a t e r a l w i t h o n e
p a i r o f p a r a l l e l s i d e s .
• I f t h e n o n -p a r a l l e l s i d e s
a r e c o n g r u e n t , t h e
t r a p e z o i d i s c a l l e d a n
I s o s c e l e s T r a p e z o i d .
• A t r a p e z o i d w h i c h c o n t a i n s
h
a
b
h

81. A r e a o f
T r a p e z o i d
T h e a r e a o f a t r a p e z o i d i s
e q u a l t o t h e p r o d u c t o f t h e
m e a n o f t h e b a s e s a n d t h e
h e i g h t . I n s y m b o l s , t h e
a r e a s i s g i v e n b y t h e
f o r m u l a .
T h e m e d i a n o f a t r a p e z o i d
i s t h e l i n e s e g m e n t

82. T r a p e z i u m
A t r a p e z i u m i s a
q u a d r i l a t e r a l w i t h
n o p a r a l l e l s i d e s . I n
f i n d i n g t h e a r e a o f
t h e t r a p e z i u m y o u
m a y u s e t h e t h r e e
f o r m u l a s f o r t h e
a r e a o f t h e
q u a d r i l a t e r a l .

83. P r o b l e m:
1. F i n d t h e a r e a a n d t h e
p e r i m e t e r o f t h e r i g h t
t r a p e z o i d s h o w n i n t h e
f i g u r e .
1.3
E x a m p l e s
8
11

84. S o l u t i o n :
T o f i n d t h e a r e a , T h e l e n g t h
o f t h e b a s e a n d t h e h e i g h t
o f t h i s t r i a n g l e a r e 3 a n d h ,
r e s p e c t i v e l y , w h e r e :
t h u s t h e a r e a a n d t h e
p e r i m e t e r o f t h e t r a p e z o i d
a r e :

85. 2. I f A B C D i s a r h o m b u s ,
A C =4, a n d A D C i s a n
e q u i l a t e r a l t r i a n g l e ,
w h a t i s t h e a r e a o f
r h o m b u s ?
S o l u t i o n :
A
B
CD

86. 3. F i n d t h e a r e a o f a
p a r a l l e l o g r a m w i t h a b a s e
o f 12 c e n t i m e t e r s a n d a
h e i g h t o f 5 c e n t i m e t e r s .
S o l u t i o n :
A = b h
A= (12 cm) · (5 c m )
A = 60 c m 2

87. 1. D e t e r m i n e t h e a r e a o f a
r e c t a n g l e w h o s e
d i a g o n a l i s 24 c m a n d
t h e a n g l e b e t w e e n t h e
d i a g o n a l s i s 60 d e g r e e .
2. A g a r d e n p l o t i s t o
c o n t a i n 240 s q . f t . i f i t s
l e n g t h i s t o b e t h r e e
t i m e s i t s w i d t h , w h a t
s h o u l d i t s d i m e n s i o n s
b e ?
3. A r h o m b u s h a s
1.3
E x e r c i s
e s

88. 4. I f y o u d o u b l e t h e l e n g t h
o f t h e s i d e o f t h e s q u a r e
b y h o w m u c h d o y o u
i n c r e a s e t h e a r e a o f t h e
s q u a r e ?
5. F i n d t h e a r e a a n d
p e r i m e t e r o f t h e s q u a r e
w h o s e d i a g o n a l i s 15 u n i t s
l o n g .
6. T h e v e r t i c a l e n d o f a
t r o u g h , w h i c h i s t h e f o r m
o f a t r a p e z o i d , h a s t h e
f o l l o w i n g d i m e n s i o n s :
w i d t h a t t h e t o p i s 1.65 m ,
w i d t h a t t h e b o t t o m i s 1.15

89. 8. I f t h e l e n g t h a n d w i d t h
o f t h e r e c t a n g l e a r e
d o u b l e d , b y w h a t f a c t o r
i s t h e l e n g t h o f i t s
d i a g o n a l m u l t i p l i e d ?
9.F i n d t h e h e i g h t o f a
p a r a l l e l o g r a m w i t h
s i d e s 10 a n d 20 i n c h e s
l o n g , a n d a n i n c l u d e d
a n g l e o f 35 d e g r e e . A l s o

90. The End :)
P r e p a r e d b y :
L a n d r i t o , C h r i s t o p h e r
L o u i e O .
E C E T -2D