Tradução de um texto sobre a história da matemática

1. História em Educação Matemática
O Estudo ICMI
Edity por JOHN FAUVEL
A Universidade Aberta,
Reino Unido
e
JAN VAN MAANEM
Universidade de Groningem,
Holanda
Kluwer ACADÊMICOS EDITORIAIS 2000
Dordrecht / BOSTON / LONDRES
Indagando matemática com a história e software
Masani Isoda
Muitos instrumentos matemáticos são discutidos na seção anterior. cada
instrumento também pode ser representado pela algum software de computador. Esta
seção discute software do ponto de vista da integração de instrumentos tradicionais e
computadores para pesquisa matemática no clasroom Como um exemplo de integração
conceitual , no que se segue a palavra ferramenta seja confirmada tanto para instrumentos
e software para matemática.
Software de matemática nos permite representar matemática em um computador
e mudar a representação dependendo regras matemáticas.Figura 10.7 mostra a história
recente de inovação de software para usuários em geral da matemática: Gráficos de
Software (expressão algebrica, investigação de função , Cálculo limitado, etc.); Dinâmica
Software Geometric (DGS) (Cabri, Sketchpad1, etc); Planilhas (Excel, Lotus, etc.) de
álgebra computacional de Sistemas (CAS) (Drive, Mathematica, o Maple, etc.) Usando
funções ou macros, alguns desses pacotes pode ser estendido para projetar instrumentos
especiais. Alguns foram desenvolvidos para pesquisa (investigação), mas a evolução da
interface fez tal software mais acessivel para usuários em geral. Estes dias, muitos pacotes
de software matemáticos incorporaram recursos de representação múltipla (Yerushalmy
& Schwartz 1993, 47) e que nos permitirá usá-lo na World Wide Web com java (Cabri
Applet,Apoiador Applet etc).
1 Sketchpad: Sketchpad foi um editor gráfico desenvolvido porIvan Sutherland, no MIT, em 1963, durante
o seu curso de doutorado (PhD). Por vários motivos é um marco na Informática, sendo o primeiro editor
gráfico orientado a objetos (no sentido que conhecemos o termo, atualmente). Não apenas era possível
colocar bits coloridos no canvas (cavalete), mas criar objetos que poderiam ser manipulados distintamente
dos outros.

2. Figura 10.7: Evolução do software de matemática para usuários em geral.
Fonte:Adaptado de (FAUEL e MAANEM, p.351,2000).
Vários estudos já indicaram o poder de representação múltipla das ferramentas
para a construção do conhecimento. Para a utilização dessas ferramentas, que podem
ajudar os alunos a traduzir e interpretar conceitos através de diversas (Lesh, Laudau &
Hamilton 1983.271; Kaput 1989, 171; Isoda 1998a, 270), e ajudar os alunos a perguntar
sobre ideias matemáticas.
10.2.3.1 Pesquisas utilizando várias ferramentas derepresentação: uma
perspectiva histórica
O uso de softwares e instrumentos de investigação matemáticos, devemos sugerir
alguns recursos de ferramentas utilizadas em tais consultas. A seguir, as funções das
ferramentas e o contexto de sua utilização são discutidos a partir de uma perspectiva
histórica. Além disso, um exemplo de estudantes inquérito é apresentado.
Um monte de exemplos históricos indica as seguintes funções de ferramentas de
investigação:
a) determinar o objeto da investigação matemática;
b) dar um método matemático para a pesquisa;
c)revelando os obstáculos epistemológicos inerentes no aparelho utilizando
ferramentas em contexto específico.
As ferramentas clássicas régua e compasso são bem conhecidas por todos os três
destes funções.
Como David Dennis e Jere Confrey (1997) discutido, o problema da utilização de
ferramentas está intimamente relacionado com o problema de representação porque
qualquer ferramenta pode ser usada para representar uma idéia. Por exemple, no século
XVII Descartes (1628) lamentou a perda de intuição geométrica possuída pelos antigos.
Assim, em 1737, ele aplicou uma representação algébrica e geométrica dos antigos e
procurou desenvolver uma nova análise de como realizar investigação matemática.
Ele deixou a restrição da régua e compasso era estranho como ele poderia usar
muitas ferramentas fora do contexto de Euclides. Devemos reconhecer os seguintes
pontos sobre o contexto de uso de ferramentas:
1. Não podemos mudar o papel de ferramentas dependendo do contexto;
2. Podemos apoiar a compreensão dos alunos através da troca de ferramentas e
representações.
A história nos diz que é utilizado para investigação matemática reformulações
matemáticas (especialmente algébricas), representações matemáticas, a revolução

3. científica procurou selecionar, localizar ou construir representações convenientes e
instrumentos citados para a sua pesquisa.
Embora Pascal (1640) tentou manter a geometria antiga para a discussão da
verdade, verificamos que 200 anos mais tarde sua geometria projetiva foi reconstruída
utilizando representações algébricas. Tais contextos computacionais permitiram que
matemáticos desenvolvessem softwares inovadores para matemática, para que todos
possam usar várias representações de softwares nos computadores.
Na área da educação, o crescente domínio da formulação algébrica de idéias matemáticas
influenciaram fortemente escolas matemática até a idade de modernização. Os pontos
positivos são compensadas por alguns aspectos negativos. Hoje, em muitos países,
estudantes e até professores, não têm oportunidade de aprender sobre a maior conceito de
representação geométrica de curvas, porque eles só aprenderam sobre curvas através de
representação algébrica. Para garantir a pergunta do aluno, devemos evitar inversão anti-
didático (Freudenthal 1973,122). Assim, devemos adicionar o seguinte ponto adicional
sobre o contexto para a utilização de ferramentas:
3. embora a generalidade da viabilidade de idéias matemáticas depende da representação,
devemos dar aos alunos a oportunidade de escolher, encontrar ou criar novas ferramentas
ou representações para a construção de conhecimento.
Na última década, a representação múltipla ambiente de ferramentas tem
estimulado novas abordagens laboratoriais e contextos de aprendizagem (Zimmermann
et al 1990; Leinbach et al 1991). Este ambiente auxilia os alunos na sua investigação
matemática através de diversas representações (veja a figura 10.8, Isoda 1998a, 269). Em
um ambiente como este, sem ênfase indevida deve ser dada a uma determinada
representação ou ferramenta, para que os alunos compreendam melhor o poder e a beleza
de diversas representações ou ferramentas.
Figura 10.8 : Investigação baseada em ferramentas que permitem múltiplas
Representações. Fonte: Adaptado de (FAUEL e MAANEM, p.353,2000).
Por exemple, Jan van Maanen (1991) discute sua atividade docente em sala de
aula com base em problema de peso de L'Hospital (Hospital L'1996,62) com instrumentos
físicos (Figura 10.9).

4. Seja F polia, pendurado livremente no final de uma CF corda que é preso em C, e
D Vamos ser um peso. D está pendurado no final da DFB corda, que passa por trás da
polia F e é suspenso no B de tal modo que o ponto B e C estão na mesma linha horizontal.
Supõe-se que a polia e as cordas não têm massa; E uma pergunta em que lugar o
D de peso ou a polia F será.
Figura 10.9 : o problema da Análise do infinitamente pequeno (1696) que o L'Hôspital
usado para mostrar o poder do cálculo diferencial.
Usando este problema físico, O L'Hôspital demonstra a importância do método de
cálculo, mostrando que o resultado é o mesmo que o obtido pelo método da geometria. O
problema pode ser investigada na sala de aula atual usando um modelo concreto, através
dos meios da álgebra de computador (CAS) ou software dinâmico (DG). Doutores
Masami Isoda matemática observou os alunos de graduação investigam: os papéis a,b,c e
os contextos 1,2,3 se foram confirmados.
Usando essas ferramentas, os alunos experimentaram a correspondência visual
entre representações geométricas de movimento e representações gráficas estáticas, as
mesmas equações por diferenciação e pelo raciocínio geométrico, o correspondência
entre os dados de medição e os resultados da matemática e assim por diante. Estas
correspondências são não o mesmo que na discussão de L'Hospital, mas os alunos são
capazes de experimentar os aspectos metodológicos a correspondência entre geometria e
cálculo que L'Hospital quis realçar. Assim os alunos a apreciar o poder ea beleza dessas
correspondências.
10.2.3.2 Tecnologia e história
A tecnologia pode ajudar os alunos a compreender melhor a história, e, assim, a
matemática mais profundamente. Quando os alunos podem ler a geometria de Descartes
com base em seus conhecimentos da escola de geometria algébrica, eles não podem
entendê-lo muito bem, porque eles não estão começando de onde Descartes estava
começando. Descartes estava tentando fazer um novo universo de matemática além
geometria clássica, incluindo se movendo para além do limite de três dimensões
geométricas. Se os alunos pensam que digamos, a multiplicação é única representação
numérica e gráficos são conjuntos de pares ordenados, então é difícil para, em seguida,
para entender o raciocínio geométrico de Descartes. Mas se eles tentarem desenhar cada
figura em sua Geometria Dinâmica usando DGS, eles facilmente descobrir por que

5. Descartes tinha para discutir a representação geométrica da multiplicação desde o início.
Assim, a tecnologia nos ajuda a entender a história de forma mais adequada. Mas continua
a haver uma diferença cognitiva distinta entre Descartes e os alunos. Usando DGS, os
alunos podem compreender bem mais próxima a Descartes. (By using DGS, students
understanding may well closer to that of Descartes.)
Mas o lamento de Descartes que as antigas intuições tinham sido perdidas e não
podem ser compreendidas pelos estudantes, não menos importan DGS dá-lhes a
alternativa para intuições para a investigação. Descartes teve de reconstruir a matemática
baseada na álgebra como uma nova forma de saber. Assim, o uso da tecnologia em não
colocar os alunos de volta em Descartes estrutura, a mente, mas está ampliando a
consciência da riqueza da matemática e as suas raízes. Uma das principais preocupações
pedagógicas por muitos anos tem sido que os alunos perderam a oportunidade de fazer a
experiência das instituições geométricas clássica, que se não substituir por uma névoa de
símbolos algébricos; DSG começa a oferecer De forma semelhante, calculadoras
programáveis modernas permitem que os estudantes de hoje possam refazer os cálculos
dos tempos antigos, muitas vezes para uma maior precisão e muito mais para o cálculo.
Em captar em poucos segundos um cálculo que pode ter tomado no século XVI um
astrónomo por dias ou meses, os alunos não estão presumivelmente recapturar a
experiência dos antigos, mas gerando uma nova. Alguns alunos de hoje podem ser
capazes de encontrar coisas nas figuras que os seus antecessores não podiam.
Outro exemplo é o Wasan matemática japonês ou matemática tradicionais (Smith
e Mikami 1914). Alguns dos métodos numéricos de alto nível desenvolvidos no Japão
antes do afluxo de matemática ocidentais do século XIX foram perdidos; tudo o que é
sabido é que eles eram diferentes das baseadas em prova matemática ocidentais, e os
resultados que estão correctos. A comparação dos resultados nos dizer a correção dos
métodos perdidos japoneses, mas não poderíamos saber o método por esta comparação.
Para explorar o que os seus métodos, poderiam ter sido, software de computador está
disponível para rastrear através dos cálculos sob diferentes hipóteses. É, portanto, uma
ferramenta poderosa para verificar conjecturas sobre métodos históricos, bem como fazer
matemática, mas também introduz a possibilidade de mal-entendido, tanto quanto se
fizermos conjecturas sobre antigos métodos de cálculo sand-board usando papel e lápis.

6. Figura 10,10: applet Java da elipse bússola por Schooten, Japoneses sobre um web-page
que visitas Bartolini Bussi, "museum" (htp: //www.museo.unimo.ela/labmat/)
10.2.3.3 A integração com ferramentas de abordagem
São muitos projetos de pesquisa que tenham sido concebidos para analisar a
integração da matemática com as ferramentas. Alguns projectos em curso que visam ao
desenvolvimento do currículo da matemática com ferramentas e outros no
desenvolvimento de um currículo que integra matemática e história, mas cada um deles
adota história na sala de aula. Como exemplos de projectos que têm como foco no
desenvolvimento do currículo com as ferramentas, Jere Confrey e David Dennis
(1995,1997) nos Estados Unidos, e mais tarde Masani Isoda no Japão (1997,1998b), tem
desenvolvido projectos de integração de geometria, álgebra e cálculo utilizando
instrumentos de desenho e representação múltipla software incluindo DGS.
Seus instrumentos físicos são feitos a partir de peças intercambiáveis, de modo que os
novos instrumentos são de fácil construção. Para que os alunos possam construir
instrumentos, Jere Confrey e Massami Isoda (ver referência da Web) começou a utilizar
peças LEGO. Seus projetos usa ferramentas para a integração de várias representações
que são suportados pela história. Como são dois exemples de projectos que têm como
foco o desenvolvimento de um currículo que integra matemática e história.
Recentemente, em Itália, o projeto de Maria G. Bartolini Bussi desenvolvimento de
ferramentas em Java (Figura 10.10) para seu laboratório matemática virtual e agora em

7. seu projeto, muitos tipos de ferramentas de representação, instrumentos e software são
variáveis para o ensino de matemática e história. Projeto Azzarellos na Itália
originalmente chamado EuCat (Euclides & Descartes) é focado no ensino da prova. o
projeto usa as várias ferramentas de representação dos DGS e CAS. No projeto, há um
foco em três períodos históricos: Euclides, Descartes e Hilbert, com em introdução de
fontes originais na sala de aula, emolduradas por introdução do professor. DGS está
orientado para o desenvolvimento da semântica da prova enquanto CAS é orientado para
desenvolver a sintaxe da prova.
10.2.3.4 Além desvantagens de cada ferramenta
Um instrumento pode ser feito a partir de diversos tipos de representações. Cada
representação tem vantagens e desvantagens. Um objetivo de integrar várias ferramentas
ou representações é desenvolver a competência para estudantes selecionar e criar
ferramentas ou diligências adequadas. Por exemple, na álgebra, geometria e cálculo para
todos projeto por Isoda (1999), os alunos foram convidados a exemples elipses, com
imagens originais de Van Schooten (Maanen 1992; veja também a figura 10.11), usando
várias representações. Quando os estudantes usaram peças de LEGO Físico, eles
comentou sobre a mudança de resistência física quando tentaram desenhar uma elipse.
No caso do DGS, eles , eles não fizeram com as ferramentas físicas, os estudantes
discutiram a dificuldade de usá-los para desenhar.
Figura 10,11: Van Schootens elipses desenhadas (1646); uma tela mostrando uma Java
simulação é mostrado na figura 10,10
No caso da DGS, os alunos poderão tirar algumas partes de uma elipse com
bastante facilidade, mas para desenhar outras partes que precisavam construções
adicionais e esta vantagem levam a mal-entendidos por parte de alguns alunos. Um
estudante relatou que é preciso primeiro resolver equações, se quisermos representar uma
elipse usando BASIC. Os alunos começaram a mudar as peças sem a intervenção do
professor, porque eles tinham experiência de troca de peças LEGO quando eles eram
jovens. Mas os estudantes não tentaram mudar os parâmetros da equação até que o
professor sugeriu. Usando LEGO e DGS, os alunos poderão encontrar a equação geral de
uma elipse. Quando o professor pediu aos alunos para fazer uma ferramenta de desenho
de LEGO com parâmetros diferentes, alguns alunos mudou os parâmetros da figura em
primeiro DGS; que levaram ao sucesso. Em suma, várias representações suportar
múltiplas capacidades de raciocínio dos alunos e o desenvolvimento de sua compreensão
relacional.