Potência e Raíz

1. COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – MEIO AMBIENTE - PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
LISTA DE POTÊNCIAS E RAÍZES - GABARITO
1. Simplifique as potências.
a)
2
1
3
1
2
1
3
2
34316125 







++ b) 







−







−
−−
4
3
4
3
3
2
3
2
1616.2727
Solução. Escreve-se na forma de potências e aplicam-se as propriedades.
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 636742572572534316125 2
1
22
2
1
3
1
52
1
43
2
3
2
1
3
1
2
1
3
2
==++=++=





++=







++
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )=−−=





−





−=







−







− −−−−−−
33224
3
44
3
43
2
33
2
34
3
4
3
3
2
3
2
22.3322.331616.2727
70
8
63
.
9
80
8
1
8.
9
1
9 =











=





−





−=
2. (FUVEST-SP) Efetue a expressão 3
3028
10
22 +
.
Solução. Aplicando as propriedades de radiciação e algébricas, temos:
512222.2
2
2
10
)5(2
10
)21(2
10
2.22
10
22 93 273 1283
28
3
28
3
228
3
28228
3
3028
======
+
=
+
=
+ −
3. Simplifique a expressão
( ) ( )
( ) bababa
abbaab
13122
214212
..
..
−−−
−−−
e calcule o seu valor para a = 10-3
e b = – 10-2
.
Solução. Aplicando as propriedades das potências e agrupando as bases iguais, temos:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10010.110.1.10
..
..
10.10....
.
.
.....
.....
..
..
210512
13122
214212
5243541341
13
41
3162
28224
13122
214212
−=−=−=⇒
⇒−=====
−
−−−
−−−
−−−−−−
−
−
−−−
−−−
−−−
−−−
bababa
abbaab
bababa
ba
ba
bbbaaa
bbbaaa
bababa
abbaab
4. Utilize as propriedades de potências e radicais e encontre o valor de x em cada caso.
a) ( ) 642 =
x
b) 81
3
1
=





x
c) ( ) 7293
1
=
+xx
d) 11312
84.2 −++
= xxx
e) ( ) ( ) 12
3
13
162
−−
=
xx
f)
x
10.115,0
02,0
3,2
= g) ( ) 001,0100 =
x
Solução. Usam-se as propriedades de potências procurando igualar as bases.
a) ( ) ( ) 126
2
2222642 62/62/1
=⇒=⇒=⇒=⇒= x
xxxx
b) ( ) 44333381
3
1 441
−=⇒=−⇒=⇒=⇒=




 −−
xxxx
x

2. c) ()



=
−=
⇒=−+⇒=−+⇒=⇒= ++
2
3
0)2)(3(06337293 261 2
x
x
xxxxxxxx
d) ( ) ( ) 5
6
33261222.222.284.2 332612131321211312
−=⇒−=+++⇒=⇒=⇒= −++−++−++
xxxxxxxxxxxxx
e) ( ) ( ) ( ) ( ) 7
5
81639
3
48
2
13
22162
123/4132/112
3
13
=⇒−=−⇒
−
=
−
⇒=⇒=
−−−−
xxx
xxxxxx
f) 3101010
10
1
10.10.11511510.10.115
2
230
10.115,0
02,0
3,2 3
3
33
=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= −
−−
xxxxxx
g) ( ) ( ) 2
3
3210101010001,0100 3232
−=⇒−=⇒=⇒=⇒= −−
xxxxx
5. (OBM) O valor de 44
.94
.49
.99
é igual a:
( ) 1313
( ) 1336
( X ) 3613
( ) 3636
( ) 129626
Solução. Agrupando as bases e aplicando as propriedades, temos: ( ) 131313139494
369.49.49.9.4.4 ===
6. (OBM) Quando 1094
– 94 é desenvolvido, a soma dos algarismos do resultado é igual a:
( ) 19 ( ) 94 ( ) 828 ( X ) 834 ( ) 840
Solução. A potência 1094
é um número com o algarismo 1 seguido de 94 zeros. Representando a subtração,
temos:
95
ª
94
ª
93
ª
92
ª
91
ª
3
ª
2
ª
1ª
1 0 0 0 0 ..
.
9 0 0
- 9 4
9 9 9 9 ..
.
9 0 6
Após as subtração há 92 ordens com o algarismo 9 (94ª à 3ª), um algarismo zero e a unidades simples, 6.
Logo a soma dos algarismos será: 9 + 9 + 9 + ... + 9 + 0 + 6 = (92 x 9) + 0 + 6 = 828 + 6 = 834.
7. (CESP-SP) Desenvolvendo ( )2
128 ++ , obtemos o resultado 2ba + , com a e b racionais. Calcule a.
Solução. Desenvolvendo a raiz de 8 e simplificando, vem:
( ) ( ) ( ) 192619126181231222128
222
=⇒+=++=+=++=++ a
8. Simplifique a expressão ( ) ( )22
3333 ++−=A .
Solução. Como cada radicando está ao quadrado, extraímos a raiz na forma de módulo.
i) ( ) ( ) 33333333
22
++−=++−
ii) Como 033 <− , temos:
( )




+=+
−−=−
3333
3333
.
Logo, ( ) ( ) 633333333
22
=+++−=++−

3. 9. (OCM) Determine qual é o maior dos dois números: 999
999
10123457
10123456
+
+
e 999
999
10123458
10123457
+
+
Solução. Podemos representar as parcelas da seguinte forma: 1123457
123456
+=
=
a
a
e b
a
=
+=
999
10
2123458
. Supondo
o 1ª termo menor que o segundo, a diferença entre eles deverá ser menor que zero. Temos:
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
2.1
1
2.1
21222
2.1
21222
2.1
12.
2
1
1
2222
22222
<
++++
−=
++++
−−−−−−+++
=
=
++++
+++++−+++
=
++++
+++++
=
++
++
−
++
+
babababa
bbabaababaa
baba
bbabaababaa
baba
bababa
ba
ba
ba
ba
Logo, 999
999
10123458
10123457
+
+
é o maior número.
10. Transforme em soma de radicais simples os radicais duplos.
a) 245 + b) 347347 −++ c) 12
−− aa
Solução. Um radical duplo pode ser reduzido a uma soma de radicais mediante a seguinte transformação:
22
CACA
BA
−
±
+
=± , onde BAC −= 2
e é um quadrado perfeito.
a) A = 5, B = 24 e C = 52
– 24 = 1 (quadrado perfeito). Logo 23
2
15
2
15
245 +=
−
+
+
=+
b) Temos que 483.434 2
== . Dessa forma A = 7, B = 48 e C = 72
– 48 = 1 (quadrado perfeito). Logo,
43232
2
17
2
17
2
17
2
17
487487347347 =−++=
−
−
+
+
−
+
+
=−++=−++
c) A = a, B = a2
– 1 e C = a2
– (a2
– 1) = 1 (quadrado perfeito). Logo, 2
1
2
1
12 −
+
+
=−+
aa
aa
11. Simplificar os radicais.
a) 3333
1928124375 −+− b) 33 443 43 4
3 ababbabababa −++
c)
21217
223
21217
223
+
+
−
−
−
d)
1
1
1
1
2
2
2
2
−+
−−
−
−−
−+
xx
xx
xx
xx
Solução. Aplicando as propriedades de potências e radicais, temos:
a) 333333 333 33 33 33333
3.23.43.33.23.52.2.33.32.35.31928124375 =−+−=−+−=−+−
b) 03333 33333333 443 43 4
=−=−++=−++ ababababababababababababababbabababa
c)
( )
( )
( )
( )
=
−
−
×
+
+
−
+
+
×
−
−
=
+
+
−
−
−
21217
21217
21217
223
21217
21217
21217
223
21217
223
21217
223
( ) ( ) ( ) ( )
8383
288289
223
288289
223
21217
4823423651
21217
4823423651
2222
−−+=
−
−
−
−
+
=
−
−+−
−
−
−−+
=
A última expressão é um radical duplo com A = 3 e B = 8. Logo C = 32
– 8 = 9 – 8 = 1. Temos:
( ) ( ) 212121212
2
13
2
13
2
13
2
13
8383 =+−+=−−+=






 −
−
+
−






 −
+
+
=−−+

4. d)
( )( ) ( )( )
( )( ) =
−+−−
−−−−−−+−+
=
−+
−−
−
−−
−+
1.1
1.11.1
1
1
1
1
22
2222
2
2
2
2
xxxx
xxxxxxxx
xx
xx
xx
xx
( ) ( ) 14
1
112112 2
22
2
222
2
222
−=
+−
−−−+−−+−+
= xx
xx
xxxxxxxx