Primeira Lista de Exercícios – Integral definida1) Calcular as integrais.     2                         2                 ...
7) Rejeitos radioativos são embalados em longos recipientes de paredes finas, de comprimento (L) eformato cilíndrico. Os r...
9) O reservatório de um equipamento hidropneumático tem a forma de cone e contem óleo delubrificação. O reservatório possu...
12) Um aquecedor elétrico funciona com uma corrente de 6A e 220V durante 10 horas. Determine aenergia que deve ser forneci...
15) Conhecer o valor atual de um fluxo de rendimentos contínuo é um fator importante quando sãoanalisadas oportunidades de...
19) Suponha que, após t anos de operação, um campo petrolífero está produzindo petróleo a uma razão dePP( t ) = 50 + 6t − ...
25) Circuitos RC são circuitos onde um resistor de resistência R é associado em série a um capacitor decapacitância C e a ...
Substituindo os valores e fazendo Q = 0 tem-se:                                                             ∂M( x ) 2No tr...
Respostas:1) a)         31        160                      b) 2 ln 2 −                                     3              ...
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  1. 1. Primeira Lista de Exercícios – Integral definida1) Calcular as integrais. 2 2 π/2 1 1 dx x 2 dx ∫ x6 b) ∫ x ln x dx ∫ sen x dx ∫ e) ∫ x e x dx 2a) c) d) 1 1 0 −1 x3 + 3 02) Calcule a área formada sob a curva das funções:a) f (x ) = 5x + 3 no intervalo x ∈ [0,3] b) f (x ) = − x 2 + 163) Calcule a área limitada pelas curvas: xa) f (x ) = x 2 e f (x ) = x + 2 b) f (x ) = x 3 e f (x ) = x c) f (x ) = 6 + x , f (x ) = x 3 e f (x ) = − . 24) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo x da funçãof (x ) = x 2 + 1 para x = −1 e x = 2 .5) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo x da superfície limitadapelas curvas f (x ) = 4x − 2x 2 e f (x ) = 2x − x 2 .6) Três aquecedores elétricos de comprimento L = 250 mm e diâmetro D = 250 mm estão submersos emum tanque com 10 galões de água, inicialmente a 295K, como indicado na figura abaixo. A água pode serconsiderada com densidade ρ = 990kg / m 3 e calor especifico c = 4180 J / kg.K . Sabendo que quando osaquecedores são ativados, cada trocador dissipa q1 = 500 W , estime o tempo necessário para elevar em40K a temperatura da água. Dados: 1galão = 3,79.10 −3 m 3Dica: Através de hipóteses simplificadoras e aplicando a lei de conservação da energia para sistemasfechados (tanque), tem-se que a taxa total de calor trocado em qualquer instante de tempo é dado por: Tf dT ρVcq = ρVc dt ⇒ t= ∫ Ti q dT 1
  2. 2. 7) Rejeitos radioativos são embalados em longos recipientes de paredes finas, de comprimento (L) eformato cilíndrico. Os rejeitos geram energia térmica de acordo com a expressão:q(r ) = q 0 [1 − (r / r0 ) 2 ]& &Na expressão acima, (q) é a taxa local de geração de energia, (q 0 ) é constante e (r0 ) é o raio do & &recipiente. As condições de regime permanente são mantidas pela submersão do recipiente em um líquidoa uma determinada temperatura, que permite um coeficiente de convecção uniforme. Determine a taxatotal de geração de energia por recipiente. Dados: q 0 = 30 W / m 3 , r0 = 10 cm e L = 1 m . &Dica: Com as devidas simplificações e sabendo que (A s = 2 π r L ) é a área lateral do cilindro, a taxa totalde geração de energia pode ser determinada por: r0E g = ∫ q dV = ∫ q (r ) A s dr& & & 08) Uma fabrica que produz molho de tomate necessita de água aquecida a uma temperatura de 100ºC parao preparo do molho. O calor residual de um forno utilizado em outra parte do processo pode seraproveitado para aquecer a água. Um engenheiro sugere aquecer uma tubulação de raio (r0 ) com o calorresidual do forno e fazer com que a água escoe por esta tubulação, como mostra a figura abaixo. Nestecaso, considerando o escoamento laminar plenamente desenvolvido, a velocidade (u ) e a temperatura(T) da água na direção radial na seção de saída da tubulação são expressas por: u (r ) = 100[1 − (r / r0 ) 2 ] T(r ) = 100[4 − (r / r0 ) 2 ]Com unidades cm/s e K, respectivamente. Qual a temperatura média (Tm ) da água na saída da tubulação?Do ponto de vista térmico, o problema foi resolvido? Por quê? Dados: r0 = 1 cm .Dica: Aplicando algumas hipóteses simplificadoras, a temperatura média de mistura é dada por: r0 r 2 2 0Tm = U m r02 ∫ u (r) T(r) r dr 0 onde Um = r02 ∫ 0 u (r ) r dr 2
  3. 3. 9) O reservatório de um equipamento hidropneumático tem a forma de cone e contem óleo delubrificação. O reservatório possui um orifício no fundo para a liberação do óleo. A altura do cone e oraio da base têm h 0 = 1 m e r0 = 1 m , respectivamente. Se a equipe responsável pela manutenção doequipamento preencheu totalmente o reservatório, em quantas horas deverá ser realizada uma nova π10 −3recarga? Dados: A1 = m 2 e g = 10 m / s 2 . 108 20 π r02 h 2Volume de óleo: V(h ) = 2 3h0Velocidade na saída do orifício: v1 (h ) = 2 g hDica: Se o escoamento é incompressível com densidade constante, o tempo necessário para que todo oóleo extravase através do orifício no fundo do recipiente pode ser determinado por: hdV V(h ) = − ∫ v dA ⇒ t = −∫ dhdt s .c . v (h ) A1 h0 1Onde (h 0 ) e (h ) são as alturas inicial e final respectivamente. A velocidade com que o óleo passa peloorifício está indicada por ( v1 ) e a área do orifício por (A1 ) .10) Um jato comercial Boeing 777-200 pesa, totalmente carregado, aproximadamente 3500kN. O pilotoleva as duas turbinas no empuxo máximo de decolagem de 450kN cada, antes de soltar os freios.Desprezando as resistências aerodinâmicas e de rolamento, estime os valores mínimos do comprimentoda pista e do tempo para atingir a velocidade de decolagem de 60 m/s. Considere que o empuxo dasturbinas permaneça constante durante a corrida no solo. Dados: g = 10 m / s 2 . vf vf mv mDica: s = ∫ ∑ F dv vi e t= ∫ ∑ F dv viOnde ( v i ) e ( v f ) representam a velocidade inicial e final do Boeing, respectivamente.11) Um bloco de 10kg é puxado para cima ao longo de um plano inclinado. O deslocamento é de 5m. Nobloco atuam uma força R de 70N paralela ao plano inclinado e a força da gravidade. Admitindo aausência de atrito determine o trabalho que a força R realiza sobre o bloco. Dados: g = 10 m / s 2 . sfDica: w = ∫ F ds si 3
  4. 4. 12) Um aquecedor elétrico funciona com uma corrente de 6A e 220V durante 10 horas. Determine aenergia que deve ser fornecida ao aquecedor durante esta operação. tfDica: w = ∫ P dt tiOnde (P) é a potencia consumida pelo aquecedor.13) Um dispositivo pistão cilindro horizontal contém ar inicialmente a P1 = 100 kPa e volumeV1 = 2.10−3 m 3 e a face do pistão se encontra na posição x = 0 . Nesta posição, a mola não exerce forçaalguma sob o pistão. A pressão atmosférica é de 100kPa e a área do pistão é 16,2.10−3 m 2 . O ar seexpande lentamente ate atingir um volume V2 = 3.10−3 m3 . Durante o processo, a força que a mola exercesobre o pistão varia de acordo com a expressão F = k x , onde k = 16,2.103 N / m . Não há atrito entre opistão e o cilindro. Determine o trabalho realizado pelo ar em kJ.Dica: Fgás = Fatm + Fmola ⇒ P A p = Patm A p + kx kx k (V − V1 ) P = Patm + ⇒ P = Patm + Ap Ap Vf O trabalho é determinado por ⇒ w = ∫ P dV V14) Um gás se encontra em um tanque rígido e fechado. O tanque possui um agitador (hélice) o qual éacionado durante 10 min. A potência fornecida pelo agitador do gás varia com o tempo de acordo com aequação w = − t / 6 onde ( w ) esta em watts e (t) em segundos. Sabendo que ocorre a transferência do gás & &para as vizinhanças a uma taxa constante de 50W, determine a variação de energia do gás após 10minutos.Dica: Da Primeira Lei da termodinâmica para sistemas tem-se que E2 t2 t2dE &dt = Q−w & ⇒ ( & & ) ∫ dE = ∫ Q − w dt ⇒ & & ( ∆E = ∫ Q − w dt ) E1 t1 t1 4
  5. 5. 15) Conhecer o valor atual de um fluxo de rendimentos contínuo é um fator importante quando sãoanalisadas oportunidades de investimentos ou nos processos de decisão administrativos que envolvem aseleção ou substituição de novos equipamentos. Supondo uma contínua capitalização de juros, a fórmulapara determinar o valor atual de um fluxo de rendimentos é dada por C = K e − rt , onde (K ) é a taxa anualde rendimentos, (r) a taxa de juros (juro composto continuamente) e (t) o período em anos.Uma tipografia deseja adquirir um novo equipamento, mas antes quer analisar o valor atual do fluxo derendimentos deste equipamento. A companhia calcula que a taxa de renda produzida pelo equipamento notempo t será de K ( t ) = 10000 − 100 t reais por ano. Determinar o valor atual deste fluxo contínuo derendimentos durante os próximos 10 anos, com uma taxa de juros de 0,1%. Dados: e0,1 ≈ 1 t2Dica: CT = ∫ K ( t ) e −rt dt t116) Uma indústria de brinquedos determina que seu custo marginal é de 3 x 2 − 2x + 10 reais por unidadede produto fabricado ao nível de produção x. São produzidos normalmente 10 unidades do produto.Determine o custo adicional da produção de mais 30 unidades.Dica: Se C( x ) é o custo de produção de x unidades de algum produto, então a derivada de C( x ) échamada de custo marginal e mede a razão segundo a qual os custos crescem (crescimento unitário) nonível de produção. Assim, a função custo é uma antiderivada do custo marginal: xfC( x ) = ∫ C ( x ) dx ⇒ CT = ∫ C ( x ) dx xiOnde (CT ) fornece o custo total de produção de ( x f − x i ) unidades adicionais, considerando que ( x i )unidades foram produzidas anteriormente.17) Uma linha de montagem de uma fábrica de fornos industriais produz fornos a uma taxa deP( t ) = 160 + 2t − 3t 2 unidades do produto por hora. Quantas unidades serão produzidas entre 4 e 8 horasde operação?18) Em 1973, aproximadamente 20 bilhões de barris de petróleo foram utilizados no mundo. A procura depetróleo indica estar crescendo exponencialmente a uma taxa de aproximadamente 10% ao ano. Assim, ataxa anual de consumo de petróleo, TP ( x ) , em um determinado tempo t (onde t = 0 corresponde a 1973)pode ser aproximada para TP ( x ) = 20 e 0,1t . Admitindo que a procura de petróleo continue a crescer 10%ao ano, quanto de petróleo será consumido entre 1973 e 2023 (meio século). Dados: e5 ≈ 148 5
  6. 6. 19) Suponha que, após t anos de operação, um campo petrolífero está produzindo petróleo a uma razão dePP( t ) = 50 + 6t − 3 / 10t 2 milhões de barris de petróleo por ano. Quanto petróleo será produzido durante oterceiro e o quarto ano de operação (de t = 2 a t = 4 )?20) Uma epidemia de gripe espalha-se por uma cidade de tal modo que no tempo t novas pessoas ficamdoentes a uma taxa de PD( t ) = 200t − 3t 2 pessoas por dia. Quantas pessoas ficarão doentes durante osétimo, oitavo, nono e décimo dia da epidemia (a partir de t = 6 a t = 10 )?21) Uma determinada cultura de bactérias cresce de acordo com a lei N( t ) = 50 e 0,5 t bactérias por hora.Qual o tamanho médio da cultura no intervalo de tempo de t = 0 a t = 10 horas?22) Depois que uma substância estranha é introduzida no sangue, a taxa à qual os anticorpos são tproduzidos é dada por a ( t ) = , onde a ( t ) , válida para o intervalo 0 ≤ t ≤ 5 , indica milhares de t +12anticorpos por minutos e o tempo t é medido em minutos. Qual a quantidade de anticorpos no sangue aofinal dos três primeiros minutos? Dados: ln(10) = 2,323) Água flui para um tanque a uma taxa de r ( t ) = 20 − 4 t galões por hora válida para 0 ≤ t ≤ 5 . Quantosgalões de água o tanque possui ao final das duas primeiras horas?24) Um capacitor é um componente eletrônico que tem a propriedade de armazenar carga elétrica. Atensão em seus terminais é proporcional à carga armazenada e pode ser expressa por t 0 t q(t ) ∫ ic (t ) dt ∫ ic (t ) dt + ∫ ic (t ) dtvc (t ) = = −∞ = −∞ 0 C C COnde q( t ) é a carga armazenada, C indica a capacitância (propriedade do dispositivo de armazenar 0energia elétrica) e a integral ∫ i (t ) dt = q(0) representa a carga armazenada no tempo c t = 0 . Assim: −∞ t q(0) + ∫ i c ( t ) dt t t 1vc (t) = 0 = v c (0) + ∫ i c ( t ) dt e q ( t ) = q (0) + ∫ i c ( t ) dt C C0 0Se os terminais de um capacitor são conectados a uma fonte de corrente i( t ) = 5 mA (5. 10 −3 Ampères) nointervalo de 0 ≤ t ≤ 2 ms e sua capacitância é C = 1µF (1. 10 −6 Farad). Qual a tensão medida no capacitorno tempo t = 2 ms se q(0) é nulo? Qual a carga armazenada em µC ( 10 −6 Coulomb)? 6
  7. 7. 25) Circuitos RC são circuitos onde um resistor de resistência R é associado em série a um capacitor decapacitância C e a uma bateria que produz uma diferença de potencial V. Em circuitos eletrônicos, ocircuito RC é de fundamental importância porque a combinação resistor - capacitor determina a rapidezdo circuito eletrônico. Considere o circuito RC abaixoOnde uma bateria de 10 V e de resistência interna desprezível, é usada para carregar um capacitor de2µF através de um resistor de 100 Ω. Determinar a carga do capacitor após 500 ms . Considere que nãohá carga no capacitor em t = 0 . Dados: e −2,5 ≈ 0,1Dica: Se em t = 0 o valor de q(0) é nulo, a corrente elétrica pode ser determinada por t Vi( t ) = e −t / RC e q ( t ) = ∫ i c ( t ) dt R 026) Considere uma viga de aço de seção W 250 × 22,3 bi-apoiada suportando uma laje em uma de suasextremidades. A laje permite um carregamento distribuído (q) sob a viga de 15 kN / m , como indicado nafigura abaixo. Deseja-se determinar o deslocamento vertical (δ) no ponto D da viga. Dados: módulo deelasticidade do aço E = 200 GPa e momento de inércia para o perfil W 250 × 22,3 I ≈ 3.10 −7 m 4 .Dica: Pelo Teorema de Castigliano, o deslocamento ou rigidez flexional da viga é dado por: L 1 ∂M ( x )δ= ∫ M(x ) ∂Q dx EI 0Onde M ( x ) é o momento fletor para cada carregamento. Fazendo um diagrama de corpo livre de toda aviga tem-se que ⎛ qb 2 b⎞ ∂M( x ) bNo trecho A-D ⇒ M(x) = ⎜ +Q ⎟x ⇒ = x ⎝ 2L L⎠ ∂Q L ⎡ qb(a − 1 / 2b) a⎤ x2 ∂M ( x ) aNo trecho D-B ⇒ M(x) = ⎢ +Q ⎥x− ⇒ = x ⎣ L L⎦ 2 ∂Q LOnde Q é um carregamento no ponto D de valor nulo. 7
  8. 8. Substituindo os valores e fazendo Q = 0 tem-se: ∂M( x ) 2No trecho A-D ⇒ M ( x ) = 10.000x e = x ∂Q 3 x2 ∂M ( x ) 1No trecho D-B ⇒ M ( x ) = 10.000x − e = x 2 ∂Q 3Assim, o deslocamento vertical será dado por: 1 ⎛ ∂M( x ) ⎞ L D B 1 ∂M ( x ) ∂M ( x ) EI ∫δ= M( x ) dx = ⎜ ⎜ ∫ M(x) dx + ∫ M( x ) dx ⎟ ∂Q EI ⎝ A ∂Q ∂Q ⎟ 0 D ⎠27) Verifique se a integral imprópria é convergente ou divergente. 1 2 ∞ ∞ ∞ dx dx dx dxa) ∫ 2 / 3 ∫x x ∫x x d) ∫ ∫xe −x 2 b) c) e) dx 0 ( x + 3) 3 0 x 0 1 −∞ 8
  9. 9. Respostas:1) a) 31 160 b) 2 ln 2 − 3 4 c) π 4 d) 2 2 3 ( 5−2 ) e) 1 63 2562) a) u.a b) u.a 2 3 9 13) a) u.a b) u.a c) 22 u.a 2 4 78π4) u.v 5 16 π5) u.v 56) Aproximadamente 70 minutos 15π7) W 1008) Tm ≈ 94º C9) 10 horas10) 700m e 23,3s11) 350 N.m12) 13,2 kW/h13) 195,5 J14) 015) CT ≈ 100.000 reais16) CT = 25.400 reais17) 240 unidades18) aproximadamente 29400 bilhões de barris19) 130,4 milhões de barris20) 5616 pessoas21) 14700 bactérias22) aproximadamente 1,15 mil anticorpos23) 32 galões24) 10 V e 10 µC25) 18 µC26) aproximadamente 6 mm27) a) 3, convergente b) ∞ , divergente c) 2, convergente d) 1/2, convergente e) 0, convergente 9

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