O documento apresenta a prova de que: 1) O argumento da multiplicação de números complexos z1 e z2 é igual à soma dos argumentos de z1 e z2 2) O argumento da razão entre números complexos z1 e z2 é igual à diferença entre os argumentos de z1 e z2 3) Estes resultados podem ser generalizados para a multiplicação e razão de qualquer número finito de números complexos

1. Mod-Arg Relations

2. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2

3. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2

4. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof:

5. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2

6. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 

7. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 

8. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   i sin 1 cos 2  cos1 sin  2 

9. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   i sin 1 cos 2  cos1 sin  2 
 r1r2 cos1   2   i sin 1   2 

10. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
 r1r2 cos1   2   i sin 1   2 
 z1 z 2  r1r2
 z1 z 2

11. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
 r1r2 cos1   2   i sin 1   2 
 z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2
 z1 z 2  arg z1  arg z 2

12. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
 r1r2 cos1   2   i sin 1   2 
 z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2
 z1 z 2  arg z1  arg z 2
NOTE: it follows that;

13. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
 r1r2 cos1   2   i sin 1   2 
 z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2
 z1 z 2  arg z1  arg z 2
NOTE: it follows that;
z1 z 2 z3  z n  z1 z 2 z3  z n

14. Mod-Arg Relations
1 z1 z2  z1 z2
arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
 r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
 r1r2 cos1   2   i sin 1   2 
 z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2
 z1 z 2  arg z1  arg z 2
NOTE: it follows that;
z1 z 2 z3  z n  z1 z 2 z3  z n
arg z1 z 2 z3  z n   arg z1  arg z 2  arg z3    arg z n

15. z1 z1
2  
z2 z2

16. z1 z1
2  
z2 z2
z 
arg 1   arg z1  arg z 2
 z2 

17. z1 z1
2  
z2 z2
z 
arg 1   arg z1  arg z 2
Proof:  z2 

18. z1 z1
2  
z2 z2
z 
arg 1   arg z1  arg z 2
Proof:  z2 
z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2
 
z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2

19. z1 z1
2  
z2 z2
z 
arg 1   arg z1  arg z 2
Proof:  z2 
z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2
 
z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2
r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
  
r2  cos  2  sin  2
2 2


20. z1 z1
2  
z2 z2
z 
arg 1   arg z1  arg z 2
Proof:  z2 
z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2
 
z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2
r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
  
r2  cos  2  sin  2
2 2

r1
 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
r2

21. z1 z1
2  
z2 z2
z 
arg 1   arg z1  arg z 2
Proof:  z2 
z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2
 
z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2
r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
  
r2  cos  2  sin  2
2 2

r1
 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
r2
r1
 cos1   2   i sin 1   2 
r2

22. z1 z1
2  
z2 z2
z 
arg 1   arg z1  arg z 2
Proof:  z2 
z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2
 
z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2
r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
  
r2  cos  2  sin  2
2 2

r1
 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
r2
r1
 cos1   2   i sin 1   2 
z1 r1 r2
 
z 2 r2
z1

z2

23. z1 z1
2  
z2 z2
z 
arg 1   arg z1  arg z 2
Proof:  z2 
z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2
 
z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2
r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
  
r2  cos  2  sin  2
2 2

r1
 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2 
r2
r1
 cos1   2   i sin 1   2 
z1 r1 r2
 
z 2 r2  z1 
arg   1   2
z1  z2 
  arg z1  arg z 2
z2

24. NOTE: it follows that;

25. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4

26. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
z z 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4

27. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
z z 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4
3 z  z
n n

28. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
z z 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4
3 z  z
n n
argz n   n arg z

29. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
z z 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4
3 z  z
n n
argz n   n arg z
5  i  2  i 
e.g. Find the modulus and argument of z 
3  2i

30. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
z z 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4
3 z  z
n n
argz n   n arg z
5  i  2  i 
e.g. Find the modulus and argument of z 
3  2i
52  12  2    1
2 2
z
32  2 2

31. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
z z 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4
3 z  z
n n
argz n   n arg z
5  i  2  i 
e.g. Find the modulus and argument of z 
3  2i
52  12  2    1
2 2
z
32  2 2
26 5

13

32. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
z z 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4
3 z  z
n n
argz n   n arg z
5  i  2  i 
e.g. Find the modulus and argument of z 
3  2i
52  12  2    1
2 2
z
32  2 2
26 5

13
 10

33. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
z z 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4
3 z  z
n n
argz n   n arg z
5  i  2  i 
e.g. Find the modulus and argument of z 
3  2i
5  1  2    1
2 2 2 2
z 1  1  1   1  1  2 
32  2 2 arg z  tan    tan    tan  
26 5 5   2  3

13
 10

34. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2

z3 z 4 z3 z 4
zz 
arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4
z z 
 3 4
3 z  z
n n
argz n   n arg z
5  i  2  i 
e.g. Find the modulus and argument of z 
3  2i
5  1  2    1
2 2 2 2
z 1  1  1   1  1  2 
32  2 2 arg z  tan    tan    tan  
5   2  3
 1119   153 26  33 41
26 5

13
 10  175 48

35. Exercise 4B; evens
Exercise 4C; 1 to 10 evens, 12 to 15 all