5. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
6. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
7. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos1 cos 2 i sin 1 cos 2 i cos1 sin 2 sin 1 sin 2
8. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos1 cos 2 i sin 1 cos 2 i cos1 sin 2 sin 1 sin 2
r1r2 cos1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos1 sin 2
9. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos1 cos 2 i sin 1 cos 2 i cos1 sin 2 sin 1 sin 2
r1r2 cos1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos1 sin 2
r1r2 cos1 2 i sin 1 2
10. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos1 cos 2 i sin 1 cos 2 i cos1 sin 2 sin 1 sin 2
r1r2 cos1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos1 sin 2
r1r2 cos1 2 i sin 1 2
z1 z 2 r1r2
z1 z 2
11. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos1 cos 2 i sin 1 cos 2 i cos1 sin 2 sin 1 sin 2
r1r2 cos1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos1 sin 2
r1r2 cos1 2 i sin 1 2
z1 z 2 r1r2 arg z1 z 2 1 2
z1 z 2 arg z1 arg z 2
12. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos1 cos 2 i sin 1 cos 2 i cos1 sin 2 sin 1 sin 2
r1r2 cos1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos1 sin 2
r1r2 cos1 2 i sin 1 2
z1 z 2 r1r2 arg z1 z 2 1 2
z1 z 2 arg z1 arg z 2
NOTE: it follows that;
13. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos1 cos 2 i sin 1 cos 2 i cos1 sin 2 sin 1 sin 2
r1r2 cos1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos1 sin 2
r1r2 cos1 2 i sin 1 2
z1 z 2 r1r2 arg z1 z 2 1 2
z1 z 2 arg z1 arg z 2
NOTE: it follows that;
z1 z 2 z3 z n z1 z 2 z3 z n
14. Mod-Arg Relations
1 z1 z2 z1 z2
arg z1 z 2 arg z1 arg z 2
Proof: let z1 r1cis1 and z 2 r2 cis 2
z1 z 2 r1 cos1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos1 cos 2 i sin 1 cos 2 i cos1 sin 2 sin 1 sin 2
r1r2 cos1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos1 sin 2
r1r2 cos1 2 i sin 1 2
z1 z 2 r1r2 arg z1 z 2 1 2
z1 z 2 arg z1 arg z 2
NOTE: it follows that;
z1 z 2 z3 z n z1 z 2 z3 z n
arg z1 z 2 z3 z n arg z1 arg z 2 arg z3 arg z n
26. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
z z
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
27. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
z z
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
3 z z
n n
28. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
z z
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
3 z z
n n
argz n n arg z
29. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
z z
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
3 z z
n n
argz n n arg z
5 i 2 i
e.g. Find the modulus and argument of z
3 2i
30. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
z z
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
3 z z
n n
argz n n arg z
5 i 2 i
e.g. Find the modulus and argument of z
3 2i
5 1 2 1
2 2 2 2
z
32 2 2
31. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
z z
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
3 z z
n n
argz n n arg z
5 i 2 i
e.g. Find the modulus and argument of z
3 2i
5 1 2 1
2 2 2 2
z
32 2 2
26 5
13
32. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
z z
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
3 z z
n n
argz n n arg z
5 i 2 i
e.g. Find the modulus and argument of z
3 2i
5 1 2 1
2 2 2 2
z
32 2 2
26 5
13
10
33. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
z z
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
3 z z
n n
argz n n arg z
5 i 2 i
e.g. Find the modulus and argument of z
3 2i
5 1 2 1
2 2 2 2
z 1 1 1 1 1 2
32 2 2 arg z tan tan tan
26 5 5 2 3
13
10
34. NOTE: it follows that;
z1 z 2 z1 z 2
z3 z 4 z3 z 4
zz
arg 1 2 arg z1 arg z 2 arg z3 arg z 4
z z
3 4
3 z z
n n
argz n n arg z
5 i 2 i
e.g. Find the modulus and argument of z
3 2i
5 1 2 1
2 2 2 2
z 1 1 1 1 1 2
32 2 2 arg z tan tan tan
5 2 3
1119 153 26 33 41
26 5
13
10 175 48