TRANSLAÇAO E ROTAÇAO DE EIXOSf

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
UNIDADE DE DOURADOS
LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS NO IR²
JOICE DO CARMO DE SOUZA
DOURADOS-MS
NOVEMBRO-2011

TRANSLAÇAO E ROTAÇÃO DE EIXOS NO IR²
Monografia apresentada para obtenção do
Título de graduação em Licenciatura Plena em
Matemática pela Universidade Estadual de
Mato Grosso do Sul, sob orientação do Prof. Dr.
Aguinaldo Lenine Alves.
DOURADOS-MS
NOVEMBRO-2011

TRANSLAÇAO E ROTAÇÃO DE EIXOS NO IR²
Monografia apresentada para obtenção do Título de
graduação em Licenciatura Plena em Matemática
pela Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul,
sob orientação do Prof. Dr. Aguinaldo Lenine
Alves.
Aprovada em: 10/11/2011
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Aguinaldo Lenine Alves
Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul – UEMS
Prof. Dr. Antônio Aparecido Zanforlim
Prof. Esp. Enio Gonçalves Vasconcelos

DEDICATÓRIA
Dedico especialmente aos meus pais Mauro e
Maria do Carmo, dando-me força e conselhos,
aturando meus altos e baixos, sem deixar-me
desistir. Dedico também a minha madrinha
Eliane ao meu orientador Prof. Dr. Aguinaldo
Lenine Alves e aos meus saudosos irmãos
Lindomar e Mauro Sérgio.

RESUMO
Este trabalho apresenta um breve histórico sintetizado de geometria analítica, com
algumas definições de sistema de coordenadas cujo enfoque maior é dado nas demonstrações
das fórmulas de translação e rotação no IR² aplicadas às equações de cônicas degeneradas. As
operações de translação e rotação são intervenções, pelas quais uma fórmula é modificada de
acordo com um dado princípio. Analiticamente este princípio é dado por uma ou mais
equações denominadas equações de transformação.
Palavras-Chave: translação; rotação; cônicas e suas aplicações.

AGRADECIMENTOS
Á Deus, pelo dom da vida.
À minha família, que em todos os momentos me apoiou em minhas buscas para um
futuro melhor.
À Coordenação do curso de matemática da unidade de Dourados.
Aos professores, que contribuíram para o meu crescimento acadêmico, profissional e
pessoal.
Aos professores avaliadores da banca D.r. Antônio Aparecido Zanforlim e Enio
Gonçalves Vasconcelos.
Aos novos amigos que fiz durante o curso.
É com grande honra e satisfação, que termino esse curso mais preparada para novos
desafios.

SUMÁRIO
INTRODUÇÃO..........................................................................................................................5
1-História da Geometria Analítica..........................................................................................6
2- O Sistema de Coordenadas Cartesianas .............................................................................9
2.1-Transformação de Coordenadas no IR² ........................................................................9
3-Translação dos Eixos Coordenados...................................................................................10
4-Rotação dos Eixos Coordenados .......................................................................................11
5-Cônicas ..............................................................................................................................14
5.1- A Parábola .....................................................................................................................15
5.1.1- Definição:................................................................................................................15
5.1.2- Os Principais Elementos da Parábola .....................................................................16
5.1.3– Equação da Parábola com Vértice na Origem e Concavidade Para Cima .............16
5.1.4– Equação da Parábola com Vértice na Origem e Concavidade Para a Direita........17
5.1.5– Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema:...............................18
5.1.6– Equação da Parábola na Forma Explicita:..............................................................19
5.2– A Elipse.........................................................................................................................20
5.2.1– Definição:...............................................................................................................20
5.2.2- Os Principais Elementos da Elipse .........................................................................20
5.2.3– Equação da Elipse de Centro na Origem do Sistema.............................................21
5.2.3– Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema.....................................23
5.3– A Hipérbole...................................................................................................................25
5.3.1-Definição:.................................................................................................................25
5.3.3– Equação da hipérbole com centro na origem do sistema .......................................28
5.3.4–Equação da hipérbole com centro fora da origem do sistema.................................29
6-Identificação de uma Cônica.................................................................................................31
6.1-1ºCaso: Eliminar Por Meio de Uma Translação os Termos de 1ºgrau...........................31
6.2-2ºCaso: Eliminar Por Meio de Uma Rotação o Termo Misto xy. ..................................33
6.2.1-Demonstração: .........................................................................................................35
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................................39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................40

5
INTRODUÇÃO
Um dos objetivos da Geometria Analítica é a determinação das propriedades de várias
curvas e configurações geométricas, porém, à medida que se avança neste estudo, verifica-se
que tais curvas e suas equações podem-se tornar mais sofisticadas e mais abstratas; em
conseqüência disto, torna-se necessário, em várias ocasiões, aplicar outros recursos a fim de
se facilitar tal estudo. Assim, é conveniente introduzir a noção de transformação de
coordenadas, recurso este que poderá permitir uma simplificação das equações destas curvas.
Uma transformação é uma operação por meio da qual uma relação, expressão ou figura
é mudada de acordo com uma dada lei. Analiticamente a lei dada é expressa por uma ou mais
equações denominadas equações de transformação.
Uma solução simples é exprimir os valores das coordenadas de um ponto genérico no
sistema particular, em função das coordenadas do mesmo ponto num novo sistema, a partir de
uma determinada lei de transformação (Sousa, Mara. C. 2011).
São vários os motivos que se sugere a substituição de um sistema de coordenadas por
outro. Neste trabalho, será abordada a relação de um sistema de coordenadas qualquer, com o
plano cartesiano xy. Para isto, serão utilizados dois recursos, a translação e a rotação de eixos
coordenados que será aplicado também, no estudo da translação e da rotação no
desenvolvimento das cônicas no IR².

6
1-História da Geometria Analítica
A Geometria como ciência dedutiva foi criada pelos gregos. No entanto apesar do
seu brilhantismo, faltava operacionalidade, que veio a calhar mediante a álgebra, para um
princípio unificador. Entretanto, foi somente no século XVII que a álgebra estaria
razoavelmente aparelhada, para tal fusão criativa com a geometria.
Personagens importantes como: os franceses, Pierre de Fermat (1.601-1.665) e René
Descartes (1.596-1.650), ambos graduados em Direito, foram responsáveis por grande avanço
científico na matemática. O primeiro, movido basicamente pela paixão matemática e o
segundo, por razões filosóficas, acabaram por transformar a geometria analítica (ciência
matemática) em mais um exemplo de disciplina racionalizada de maneira simultânea e ao
mesmo tempo independente, embora nenhum deles fossem matemáticos profissionais.
Se o bem-sucedido Pierre de Fermat, zeloso e competente conselheiro junto ao
Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática,
certamente não era porque faltassem outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na
verdade, Fermat simplesmente não conseguia fugir à sua verdadeira vocação e, apesar de
praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o
avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental
na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da Teoria
dos Números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.
A contribuição de Fermat à Geometria Analítica encontra-se num pequeno texto
intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos em 1.636, que só foi publicado
postumamente em 1.679, junto com sua obra completa. Compete lembrar que Fermat era
bastante modesto e avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de
Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.
O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no College de la Fleche,
escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressara aos oito anos de idade.
Mas, por uma razão muito especial, já revelava suas vertentes filosóficas: a certeza
proporcionada pelas demonstrações ou justificativas matemáticas. Aos vinte e um anos de
idade, depois de freqüentar rodas matemática em Paris (além de outras), já graduado em
Direito, ingressa, voluntariamente, na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas”
que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Por volta de
1628, Descartes aplicou seus novos métodos ao problema das três e quatro retas de Papus e
resolveu-o sem dificuldade.

7
A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1.637 no pequeno texto chamado A
Geometria, como um dos três apêndices do Discurso do Método (1628), obra considerada o
marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático
como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. O La géométrie (A
Geometria) é dividido em três partes. A primeira parte contém uma explanação de alguns dos
princípios da álgebra geométrica e revela um avanço real em relação aos gregos. Enquanto
para eles o produto de duas e três variáveis representava, respectivamente, a área de um
retângulo e o volume de um paralelepípedo, para Descartes, não sugeria uma área, mas sim o
quarto termo da proporção, que pode ser facilmente representado por um segmento quando se
conhece a incógnita x e também já utilizava notação de potência, o que os gregos ainda não
utilizavam.
A segunda parte traz, entre outras coisas, uma classificação de curvas e um método
interessante de se construir tangentes às curvas (cônicas). A terceira parte trata da resolução
de equações de grau maior que dois e da regra de sinais de Descartes que determinava limites
para o número de raízes positivas e negativas de um polinômio.
Mais tarde Jan De Witt, La Hire e Johann Bernoulli também deram a sua
contribuição para a geometria analítica, com a idéia do sistema de coordenadas polares em
1691. Introduzidas por Bernoulli, levando os geômetras a romper com os sistemas cartesianos
já utilizados, quando necessário nas situações que indicavam um referencial mais
conveniente. Em 1731, Antoine Parent foi o primeiro a escrever analiticamente sobre curvas
não-planas no espaço. Depois Leonhard Paul Euler (1707-1783) prosseguiu com o assunto.
Enquanto a geometria sintética fazia avanços, a geometria analítica atolava-se num
pantanal de cálculos algébricos. Consistindo em desenvolver novos e avançados
procedimentos necessários para iniciar seu período áureo. Julius Plücker foi um dos pioneiros
a contribuir no aprimoramento da geometria analítica. Sua obra Analytisch-geometrische
Entwicklungen(O Desenvolvimento da Geometria Analítica), em dois volumes, publicada em
1828 e 1831. O primeiro volume apresentou o primeiro tratamento extenso do principio da
notação abreviada, apesar de já ter sido empregado por Gabriel Lamé e Étienne Bobillier.
Notação esta que facilitou em representar expressões longas por letras únicas. Assim,
teoremas aparentemente complexos, do ponto de vista algébrico, puderam ser demonstrados
de forma mais breve e clara.
No segundo volume, Julius Plücker redescobriu um novo sistema de coordenadas
que já tinha sido estudado independentemente três vezes: as coordenadas homogêneas. Um de

8
seus inventores foi Feuerbach o outro Möbius; o mais conhecido, que publicou o seu sistema
em 1827 e também Étienne Bobillier que publicou o seu trabalho em 1827-1828.
A princípio Plücker tomou suas três coordenadas x, y e t de um ponto P como sendo
as três distâncias de P aos lados de um triângulo de referência. Mais tarde, no segundo
volume de sua obra deu a definição mais usual. Um ponto P de coordenadas cartesianas (X,
Y) tem como coordenada homogênea qualquer terno ordenado (x, y, t), tal que X = x/t e Y =
y/t e, com esta definição as ternas (x, y, t) e (kx, ky, kt); k ϵ IR representam o mesmo ponto.
Plücker ainda escreveu mais dois livros, em 1835 o System der analytischen
Geometrie (Sistema de geometria analítica) que contém uma classificação completa das
curvas cúbicas baseadas na natureza de seus pontos no infinito. Em 1839, sua Theorie der
algebraischen Curven (Teoria das curvas algébricas) que apresentou uma enumeração das
curvas de quarta ordem e suas quatro equações relacionando as singularidades de uma curva
algébrica (www.ime.usp.br).
A história das cônicas se inicia na Grécia antiga. Estudando-as sob ponto de vista da
intersecção de cone e plano utilizando a excentricidade, Menaechmus (350 A.C) foi um dos
pioneiros no estudo das cônicas. Apolônio (225 A.C) escreveu sete livros sobre as cônicas,
com os primeiros quatro livros baseados no de Euclides (300 A.C. obra em que se perdeu) e
nomeou as cônicas; elipse, parábola e hipérbole (Inst.Mat. UFRJ, 2007).
Kepler (1604) descobriu pela análise de observações astronômicas e Newton (1670)
provou matematicamente, baseando-se na lei da gravitação universal, que os planetas se
movimentavam em trajetórias elípticas, geometria esta antiga (aparentemente “inútil”) dos
gregos que se tornou a base da astronomia moderna.
O estudo das cônicas seja por qualquer um dos três modos distintos; Geometria
Espacial, Plana e Analítica, fornecem um belo exemplo de como as mudanças de coordenadas
podem simplificar o tratamento de problemas, abordados de formas distintas
Atualmente a Geometria Analítica pouco se assemelha às contribuições deixadas por
Fermat e Descartes. Inclusive, sua marca mais característica é um par de eixos ortogonais, que
não fora empregada por nenhum deles. Mas ambos sabiam que a idéia central era de associar
equações a curvas e superfícies em particular, que neste quesito Fermat foi mais feliz. Embora
Descartes o supera-se na notação algébrica (EVES, Howard, 1992).

9
2- O Sistema de Coordenadas Cartesianas
Deve-se a René Descartes (1596-1650), matemático e filósofo francês, o estabelecer
da correspondência biunívoca entre pontos de um plano e pares de números reais, assim como
entre pontos do espaço e ternos de números reais. Graças a este princípio é que se pode, por
exemplo, interpretar o comportamento de uma função através do seu gráfico, num sistema de
coordenadas cartesianas (Cattai, 2011).
Dados dois conjuntos não vazios A e B, se a ∈ A e b ∈ B, define-se par ordenado,
denotado por (a, b), onde primeiro elemento é a ∈ A, e o segundo elemento é b ∈ B. O
produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos esses pares ordenados e será indicado
por AXB.
Em símbolos, escreve-se: AXB = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.
Observações:
 Dados (a, b), (c, d) ∈ AXB tem-se: (a, b) = (c, d) ⇔ a = b e c = d.
 Quando A = B, ⇨ AXB = AXA=A2
.
Pode-se fazer a representação gráfica do seguinte modo. Considere dois eixos
perpendiculares Ox e Oy cuja interseção é definida como o ponto O. Analisando
simultaneamente estes eixos, obtêm-se a formação de um plano. O eixo horizontal (ou eixo-
x), será definido como eixo das abscissas, e o vertical (ou eixo-y), das ordenadas. Interpreta-
se cada um desses eixos como cópias de uma semi-reta real, de tal forma que a origem de
cada uma corresponda ao ponto de interseção dos mesmos, definindo-se origem do sistema
cartesiano (Cattai,2011).
Os números reais positivos correspondem, na reta vertical, aos pontos da semi-reta
superior, e na reta horizontal aos pontos da semi-reta à direita da origem. O Plano Cartesiano
é o plano gerado por essas duas retas perpendiculares, ou seja, o produto cartesiano RXR =
R². Este sistema divide o plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes e auxilia no
processo de construção de pontos e lugares geométricos.
2.1-Transformação de Coordenadas no IR²
Freqüentemente, em Geometria Analítica, somos levados a passar de um sistema de
coordenadas adotado inicialmente (antigos eixos) para outro mais conveniente (novos eixos).
Essa maior conveniência pode ser devida a vários fatores, por exemplo: se o primeiro sistema
não for ortogonal pode surgir à necessidade de mudar para um sistema ortogonal; outras
vezes, o objetivo é simplificar os cálculos algébricos, ou explorar melhor certas simetrias, etc.

10
O problema central será sempre estabelecer relações entre as “antigas” e as “novas”
coordenadas. Esse problema se resolve pela dedução de fórmulas, denominadas fórmulas de
transformação de coordenadas, que relacionam as coordenadas de um ponto qualquer do
plano, referidas ao primeiro sistema, com as coordenadas do mesmo ponto referidas ao
segundo sistema. A principal aplicação da transformação de coordenadas é a simplificação
das equações pela escolha conveniente dos eixos.
A seguir, serão analisados dois casos de transformação de coordenadas no IR2
: a
translação e a rotação dos Eixos Coordenados.
3-Translação dos Eixos Coordenados
Considere no plano cartesiano x0y um ponto 0’(h, k), arbitrário. Introduza a partir de
0’ um novo sistema x’0’y’ tal que os eixos 0’x’ e 0’y’, tenham a mesma unidade, a mesma
direção e o mesmo sentido dos eixos 0x e 0y. Nestas condições, diz-se que o novo sistema
x’0’y’ foi obtido por uma translação do antigo sistema x0y.
Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são:
 x e y em relação ao sistema x0y e
 x’ e y’ em relação ao sistema x’0’y’
Pela figura acima se tem: x = x’ + h e y = y’ + k ou x’ = x – h e y’ = y – k ,
que são as Fórmulas de Translação que permitem Transformar Coordenadas de um sistema
para outro.

11
Exemplo1: Considere as curvas x
y  e 1
-
x
y  e observe seus respectivos gráficos.
As curvas têm equações diferentes, no entanto a “forma” é a mesma em (I) e (II).
Pode-se dizer que:
O gráfico (II) pode ser obtido de (I) deslocando-se a curva (I) uma unidade para
direita ou o gráfico (II) pode ser obtido de (I) transladando-se o eixo Oy em (I) de uma
unidade para esquerda (Constr. Graf.UFBA,2011).
Se podendo tomar os eixos coordenados como desejado, eles podem ser escolhidos
de tal maneira que as equações sejam tão simples quanto possível.
4-Rotação dos Eixos Coordenados
Preliminarmente considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy.
Mantendo fixa a origem O, fazendo-se uma rotação nos eixos Ox e Oy de um mesmo ângulo
, no sentido anti-horário. Obtém-se assim um novo sistema x’0’y’ por uma rotação de xOy.
Através da Figura abaixo, percebe-se um sistema de eixos xy no plano, com as direções dos
respectivos vetores unitários i e j . O vetor r tem, nesses eixos, as coordenadas x e y.
Passando agora dos eixos iniciais para um novo sistema, girado em relação ao primeiro de um
ângulo . Os novos eixos serão expressos nas direções dos vetores i' e j' , e são também
ortogonais entre si. As coordenadas de r em relação aos novos eixos são x’ e y’ mostradas na
Figura abaixo.

12
Inicialmente estabelecer-se há relações entre as componentes do vetor r

para o
primeiro e no segundo sistema. Estas relações são comumente chamadas de fórmulas de
transformação das coordenadas de um vetor. (Swokowski,)
O vetor r

pode ser expandido na base formada pelos vetores unitários i e j , como
sendo: yj
xi
r 
 .
O mesmo vetor r pode ser expandido na base formada pelos vetores unitários i' e
j' , como sendo: j'
y'
i'
x'
r 
 .
Analisando a Figura acima se tem:
I) Cos α = x’ / r  ⇨ x’ =  r  . Cos α;
II) Sen α = y’ / r  ⇨ y’ =  r  . Sen α;
III) Cos (α +) = x / r  ⇨ x = r  . Cos (α +);
IV) Sen (α +) = y / r  ⇨ y =  r  . Sen (α +).
Como:
 Cos (α +) = Cos α . Cos  – Sen α . Sen  ;
 Sen (α +) = Sen α . Cos  + Sen . Cos .
Então:
V) x =  r  Cos α . Cos –  r  Sen α . Sen 

13
VI) y =  r  Sen α . Cos +  r  Sen  . Cos α
Substituindo I e II em V e VI, tem-se:





Cosθ
y'
+
Senθ
x'
=
y
Senθ
y'
-
Cosθ
x'
=
x
(A)
Resolvendo o sistema acima, tendo como variável x’ e y’, tem-se:





Cosθ
y
+
Senθ
x
= -
y'
Senθ
y
+
Cosθ
x
=
x'
(B). Os sistemas (A) e (B) podem ser usados para passar
de um sistema de coordenadas para outro. Denominando-se Fórmula de Rotação dos Eixos
de um Ângulo .
Observa-se que nestes novos sistemas obtidos através da translação e da rotação de
eixos a forma da curva não é afetada. No entanto, há alterações na equação das mesmas.
Exemplo 1. Determinar as novas coordenadas do ponto P(3, −4) quando os eixos coordenados
são girados em 45 .
Solução: Pela equação (A), as tem-se:



Cos45º
y'
+
Sen45º
x'
=
4
-
Sen45º
y'
-
Cos45º
x'
=
3
, e, pela
equação (B) tem-se:



4Cos45º
-
3Sen45º
= -
y'
4Sen45º
-
= 3Cos45º
x'
.

14
5-Cônicas
Considerando-se e e g duas retas concorrentes, não perpendiculares, cuja intersecção
é um ponto O. Mantendo-se fixa a retas e como sendo o eixo, e girando-se 360◦ g em torno
deste eixo á um ângulo constante: obtêm-se como objeto gerado uma superfície cônica
formada por duas folhas ou, simplesmente, superfície cônica, e separadas pelo vértice O.
O conjunto de pontos obtidos pela intersecção de um plano π com a superfície cônica
é chamada de seção cônica, ou simplesmente cônica.
Conforme mostra a Figura abaixo, seccionando-se uma superfície cônica por um
plano arbitrário π, que não contém o vértice O, obtêm-se uma cônica dita não degenerada, e,
à medida que se varia a posição de π obtêm-se as seguintes cônicas não degeneradas:
 Parábola: é obtida através da interseção paralela do plano π a uma geratriz da
superfície cônica.
 Elipse: é obtida através da interseção obliqua de π com o eixo da superfície cônica
interceptando apenas uma das folhas da mesma;
 Circunferência: é obtida através da interseção perpendicular do plano π e ao eixo e.
 Hipérbole: é obtida através da interseção paralela do plano π com o eixo e e intercepta
as duas folhas da mesma.
Quando o plano π contém o vértice O da superfície, as cônicas se degeneram em:

15
 Um ponto: se o plano π intercepta somente o vértice;
 Uma reta: se o plano π contém somente uma geratriz;
 Duas retas: se o plano π contém o eixo e.
As cônicas possuem equações, chamadas reduzidas ou canônicas, que se tornam mais
úteis, visto que, através destas, podem-se determinar certos elementos que as melhor
caracterizam. Entretanto, para se chegar a estas equações serão definidas em termos de
lugares geométricos.
Tais cônicas não-degeneradas como: a elipse pode ser encontrada na geometria das
órbitas de alguns planetas e cometas, na forma da luz de uma lanterna projetada numa
superfície plana; à hipérbole na geometria das trajetórias de alguns cometas e de outros corpos
celestes, à parábola na trajetória de um projétil lançado num campo gravitacional e na
trajetória de um jato d’ água; a circunferência, que é símbolo da perfeição na Grécia Antiga e
pode ser encontrada nas ondas produzidas por uma pedra na superfície de um lago ou até
mesmo na roda. Em Física na parte óptica, acústica e de transmissão por meio da parabólica e
satélites, em Química para descrever a órbita dos elétrons, na Astronomia para descrever os
signos entre outros, em Engenharia e Arquitetura como no caso das pontes, pórticos, cúpulas,
torres e arcos, usam-se as cônicas devido às suas propriedades físicas e até mesmo estéticas.
5.1- A Parábola
5.1.1- Definição:
Considere um plano π determinado por uma reta d e um ponto F ∉ d. A parábola é o
conjunto de todos os pontos de π que eqüidistam de F e de d.
Segue da definição que, dados F e d ∈ π, ⩝ P ∈ π eqüidistante de F e d, pertence a
uma parábola, ou seja: d(P, F) = d(P, d) ⇔ P ∈ Parábola.
Geometricamente pode-se afirmar que o conjunto de pontos de π que satisfazem
estas condições possui a seguinte característica:

16
5.1.2- Os Principais Elementos da Parábola
Como elementos da parábola têm-se:
 O foco F: ponto fixo da parábola;
 A diretriz d: reta fixa da parábola;
 O eixo focal EF: reta que passa pelo foco F e é perpendicular a diretriz d;
 O vértice V: é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo. Situado exatamente
no ponto médio do segmento FE;
 O raio focal: é o segmento de reta de extremos no foco e num ponto da parábola.
 Parâmetro p: é a distância do foco a diretriz.
Observação:
Deve-se considerar o fato de que F ∉ d, pois, caso contrário, a parábola se
degeneraria numa reta.
5.1.3– Equação da Parábola com Vértice na Origem e Concavidade Para Cima
Seja P(x, y) um ponto qualquer da parábola apresentada na Figura abaixo, cujo foco
está localizado no ponto F(0,
2
p
). Conforme definição de parábola tem-se: '
PP
PF  .
E
V

17
Como P’
(x, -
2
p
), tem-se: 






 















2
p
y
x,
x
2
p
y
0,
x
'
PP
PF
    






 















2
2
p
y
2
x
x
2
2
p
y
2
0
x     






 















2
2
p
y
2
x
x
2
2
p
y
2
0
x






 















2
p
2
y
2
2
p
yp
2
y
2
x
2
yp 2
x py
2

Esta equação é chamada de equação reduzida da parábola e constitui a forma
padrão da equação da parábola de vértice na origem tendo para eixo o eixo dos y.
Através da equação anterior, pode-se afirmar que o termo 2yp será sempre positivo
ou nulo, já que o mesmo é igual a x2
 0. Com isto os termos y e p, terão sempre sinais iguais
e conseqüentemente, se p  0 a parábola terá concavidade voltada para cima e caso p  0 a
parábola terá concavidade voltada para baixo.
5.1.4– Equação da Parábola com Vértice na Origem e Concavidade Para a
Direita
Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola, Figura abaixo, cujo o foco está
localizado no ponto F(
2
p
, 0), sua equação reduzida é obtida de forma análoga ao caso
anterior, ou seja: y2
= 2px.

18
Considerando a figura acima, vê-se claramente que:
 Foco: F (
2
p
, 0 )
 Diretriz: é a reta x = -
2
p
;
 Eixo de simetria e: é a reta y = 0;
De forma análoga, tem-se que o termo 2px será sempre positivo ou nulo, já que o
mesmo é igual a y2
 0. Com isto os termos x e p, terão sempre sinais iguais e, se p  0 a
parábola terá concavidade voltada para direita e caso p  0, terá concavidade voltada para
esquerda.
5.1.5– Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema:
5.1.5.1– Eixo de simetria paralelo ao eixo y
Seja uma parábola de vértice V(h, k) e eixo de simetria paralelo ao eixo dos y, sendo
h e k coordenadas de V em relação ao sistema x0y, conforme mostra a Figura abaixo.

19
Se P (x, y) é um ponto qualquer da parábola em relação ao sistema x0y e x’
0’
y’
é um
novo sistema de eixos onde V coincide com 0 ’
. Então, conforme Figura anterior tem-se:
x’ 2
= 2py’
.
Como pela translação de eixo x’
= x - h e y’
= y - k, tem-se: (x - h)2
= 2p (y - k)
definida como forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo
ao eixo dos y.
5.1.5.2– Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo x
De forma análoga ao caso anterior, tem-se: (y - k)2
= 2p (x - h)
Observação:
Quando p  0 a parábola terá concavidade voltada para cima ou para a direita e caso
p  0 a parábola terá concavidade voltada para baixo ou para a esquerda.
5.1.6– Equação da Parábola na Forma Explicita:
Sabe-se que a forma padrão de uma equação da parábola que possui o vértice em um
ponto V(h, k) qualquer do plano e eixo de simetria paralelo ao eixo y é dada pela seguinte
fórmula: (x - h)2
= 2p (y - k). Para transformar esta equação para a forma explícita, basta
isolar o y, sendo a mesma escrita da seguinte maneira: y = ax2
+ bx + c, onde os coeficientes
a, b e c são reais obtidos através do desenvolvimento da forma padrão.
Caso a equação tenha o eixo de simetria paralelo ao eixo x, deve-se então isolar o x,
ficando a mesma escrita da seguinte maneira: x = ay2
+ by + c.
Observações:
 Quando o eixo de simetria da parábola não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados, a
equação é “mais complicada”, mas também se enquadra na forma geral da equação do
2 grau a duas incógnitas Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 e, por uma rotação dos
eixos coordenados, podem-se reluzi-la a forma A′x² + C′y² + D′x + E′y + F ′ = 0; que
facilmente é identificada;
 Excentricidade da Parábola: Define-se como excentricidade (e) da parábola a razão
entre as distâncias de um ponto arbitrário P da curva ao foco e de P à diretriz d. Neste
caso, se terá sempre e = 1.

20
5.2– A Elipse
5.2.1– Definição:
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos desse plano é constante.
Considere no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d(F1,F2) = 2c e
seja um real a tal que 2a2c. Dá-se o nome de Elipse, ao conjunto de todos os pontos P do
plano tal que: d(P,F1) + d(P,F2) = 2 a.
Para se construir uma elipse no papel, sugere-se: nos pontos F1 e F2 fixe dois
percevejos e neles amarre um fio não esticado. Tome um lápis e distenda (estique) com sua
ponta o fio, marcando um ponto P. Então a soma das distâncias d(P,F1) + d(P,F2) é o
comprimento do fio. Ao deslizar o lápis sobre o papel, mantendo o fio sempre esticado, estará
sendo descrita a elipse, e os pontos F1 e F2 serão chamados de focos da elipse. A constante 2a
será o comprimento do fio.
Ao variar as posições de F1 e F2, a forma da elipse irá variar. Assim, quanto mais
próximos os focos mais a elipse se assemelha a uma circunferência. Pôr outro lado, quanto
mais afastados os focos, mais achatada será a elipse.
5.2.2- Os Principais Elementos da Elipse
Como elementos da elipse têm-se:
 Focos: São os pontos F1 e F2;
 Distância focal: É à distância 2c entre os focos;
 Centro: é o ponto médio c do segmento F1F2;
 Eixo maior: É o segmento A1A2 de comprimento 2a , e que contém os focos F1 e F2;
 Eixo menor: É o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2  A1A2 no seu ponto
médio);
 Vértices: são os pontos A1, A2, B1, B2;
 Excentricidade: É o número e = c/a, como c a tem-se 0 e  1.

21
Observação:
Em toda a elipse vale a relação a2
= b2
+ c2
veja:
5.2.3– Equação da Elipse de Centro na Origem do Sistema
5.2.3.1– Primeiro Caso: O Eixo Maior Sobre o Eixo dos x
Seja P (x, y) um ponto qualquer de uma elipse de focos F1 (-c,0) e F2 (c,0).
Pôr definição tem-se: d(PF1) + d(PF2) = 2 a ou 2a
PF
PF 2
1 

Substituindo nos pontos, suas respectivas coordenadas, tem-se:
d (PF1) + d (PF2) = 2 a  a
2







 2
2
2
2
0)
(y
c)
(x
0)
(y
c)
(x 
2
2
2
2
0)
(y
c)
(x
0)
(y
c)
(x 






 2a 
Elevando os dois membros ao quadrado, tem-se:

22
2
2
2



















 2
2
2
2
0)
(y
c)
(x
0)
(y
c)
(x a 
x2
+ 2xc + c2
+ y2
= 4 a2
- 4a 2
2 0)
(y
c)
(x 

 + x2
– 2xc + c2
+ y2

4a 2
2 0)
(y
c)
(x 

 = 4 a 2
– 4xc  a 2
2 0)
(y
c)
(x 

 = a 2
– xc 
2
. 







 2
2
0)
(y
c)
(x
a = (a 2
– xc)2

a2
.(x2
–2xc + c2
+ y2
) = a4
– 2 a2
xc + x2
c2

a2
x2
– 2 a2
xc + a2
c2
+ a2
y2
= a4
– 2 a2
xc + x2
c2

a2
x2
+ a2
c2
+ a2
y2
= a4
+ x2
c2

a2
x2
- x2
c2
+ a2
y2
= a4
- a2
c2

x2
. (a2
– c2
) + a2
y2
= a2
.(a2
– c2
); como b2
= a2
– c2
tem-se:
x2
b2
+ a2
y2
= a2
b2
; dividindo ambos os membros por a2
b2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
b
a
y
a
b
a
b
x 
 .
Portanto a equação da elipse com centro na origem e eixo maior no eixo x será:
1
b
y
a
x
2
2
2
2

 onde a é o eixo maior e b é o eixo menor.
5.2.3.1 – Segundo caso: O Eixo Maior está Sobre o Eixo dos y
Com um procedimento análogo ao 1 caso obtendo-se a equação reduzida
1
a
y
b
x
2
2
2
2


Observação:

23
Tendo em vista que a2
= b2
+ c2
, segue que: a2
 b2
e daí a  b, com isso tem-se que
o maior dos denominadores na equação reduzida representa o número a2
, onde a é a medida
do semi-eixo maior. Ainda mais, se na equação o número a2 é denominador de x2
, a elipse
tem seu eixo maior sobre o eixo dos x.
Exemplos:
a) A equação reduzida da elipse abaixo é: 1
4
y
9
x 2
2


b) A equação reduzida da elipse abaixo é: 1
9
y
4
x 2
2


5.2.3– Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema
Considere uma elipse de centro C(h, k) e seja P(x, y) um ponto qualquer da mesma.

24
5.2.3.1– Primeiro caso: Eixo Maior Paralelo ao Eixo x
Quando esta elipse tem o centro fora da origem sua equação será dada por:
1
b
k)
-
(y
a
h)
-
(x
2
2
2
2

 , ou seja, é análoga ao estudo da parábola com vértice fora da origem.
5.2.3.2 – Segundo Caso: Eixo Maior Paralelo ao Eixo y.
Quando esta elipse tem o centro fora da origem sua equação será dada por:
1
a
k)
-
(y
b
h)
-
(x
2
2
2
2

 .
Observações:

25
 Excentricidade da Elipse: Define-se como excentricidade (e) da elipse a razão entre os
comprimentos do segmento F1F2 e do segmento A1A2. Neste caso, tem-se e = c/a
 Como 0 < c < a, a excentricidade de uma elipse é um número real não negativo menor do
que 1.
 Se F1 = F2, tem-se c = 0, então a elipse reduz-se a uma circunferência de raio a = b. Além
disso, como c = 0, então e = 0. Assim, uma circunferência é uma elipse de excentricidade
nula.
5.3– A Hipérbole
5.3.1-Definição:
A Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias,
em valor absoluto, a dois pontos fixos (focos) desse mesmo plano é constante.Pode-se chegar
à equação de uma hipérbole fazendo um desenvolvimento análogo ao feito para a elipse.
Considere no plano dois pontos F1 e F2 tal que a distância entre eles seja
constante e igual a 2c, onde 2c  2a ou c  a.
Ao conjunto dos pontos P(x, y) do plano, Figura abaixo, tais que d(PF1) - d(PF2)
= 2 a ou 2a
PF
PF 2
1 
 , dá-se o nome de Hipérbole.
Como se vê através da figura acima, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Sendo
assim, para que um ponto P qualquer esteja na hipérbole é necessário que: d(PF1) - d(PF2) =
 2 a, ou seja, caso P esteja no ramo da direita à diferença será + 2a e, em caso contrário, será
– 2a.
Conforme a figura abaixo, considere: uma reta que passa por F1 e F2, os pontos de
interseção desta reta com a hipérbole A1 e A2 e outra reta perpendicular a primeira e que passa
pelo ponto médio C do segmento F1F2.

26
Percebe-se então que a hipérbole é uma curva simétrica em relação a duas retas
(horizontal e vertical) e também em relação ao ponto C, ou seja. Sendo P1 um ponto da
hipérbole, então tem se: P2 simétrico a P1 em relação a reta horizontal, P3 simétrico a P1 em
relação a reta vertical e P4 simétrico a P1 em relação ao ponto C.
Observação:
Outras duas relações importantes são:
d(A1, F1) = d(A2, F2) e d(A1, A2) = 2a
5.3.2– Elementos da hipérbole
Em uma hipérbole arbitrária têm-se os seguintes elementos:
 Focos: São os pontos fixos F1 e F2;
 Distância focal: É à distância 2c entre F1 e F2.
 Vértices: São os pontos de interseção A1 e A2 da hipérbole com a reta que passa pelos
focos;
 Centro: É o ponto médio C do segmento F1F2 ou A1A2;
 Eixo real ou transverso: É o segmento A1A2 de comprimento 2a;
 Eixo imaginário ou conjugado: É o segmento B1B2 de comprimento 2b, onde B1B2 
A1A2 no seu ponto médio;
Observação:
Para caracterizar o eixo imaginário B1B2 realiza-se o seguinte procedimento.
Conforme mostra a Figura abaixo, considere uma circunferência de raio c (onde c é a metade

27
da distância F1F2) e cujo centro esteja localizado no ponto C anteriormente definido como
centro da hipérbole, Tome um valor arbitrário para a (onde a é a metade da distância A1A2) e
marque os pontos A1 e A2 que definem o vértice da hipérbole. Por estes pontos trace cordas
perpendiculares ao diâmetro F1F2. Os quatro pontos de interseção destas cordas com a
circunferência definem os vértices de um retângulo MNPQ, cujas dimensões são dadas por 2a
e 2b.
Definidas estas dimensões, percebe-se então a seguinte relação: c2
= a2
+ b2
, onde
a, b e c são os lados do triângulo retângulo A2CB2.
 Excentricidade: É o número e = c / a onde e > 1, pois c > a;
A excentricidade está relacionada com a abertura dos ramos da hipérbole.
Mantendo os focos fixos e variando os vértices A1A2, tem-se: quanto mais próximos estiverem
os vértices, maior será a abertura dos ramos e quanto mais afastados estiverem os vértices,
menor será a abertura dos ramos da hipérbole.
Assíntotas: São as retas r e s que contêm as diagonais do retângulo MNPQ. As
assíntotas constitui um excelente guia para traçar o esboço do gráfico, já que os ramos da
hipérbole tendem a se aproximam das assíntotas no infinito sem, no entanto, jamais atingi-las.
As equações das assíntotas são dadas pelas seguintes equações: y =  ( b/a) x, onde  b/a
representam os coeficientes angulares das assíntotas.
Observação:
Quando a = b tem-se uma hipérbole eqüilátera, cujas assíntotas neste caso, são
perpendiculares entre si.

28
5.3.3– Equação da hipérbole com centro na origem do sistema
5.3.3.1– Primeiro caso: Eixo real sobre o eixo x
Seja P(x, y) um ponto qualquer da hipérbole cujos focos estão situados nos pontos:
F1(-c, 0) e F2(c, 0).
Por definição, tem-se: d(PF1) - d(PF2) = 2a, cuja notação vetorial é dada por:
2a
PF
PF 2
1 
 ou         2a
2
0
y
2
c
x
2
0
y
2
c
x 







Com procedimento de simplificação análogo ao que foi usado na dedução da
equação da elipse, e relembrando que c2
= a2
+ b2
, chega-se à equação: 1
b
y
a
x
2
2
2
2

 onde a é
o semi-eixo real e b o semi-eixo imaginário.
Observação:
A hipérbole representativa dessa equação tem interseções com o eixo x nos pontos
A1(-a, 0) e A1(-a, 0) e sua interseção com o eixo y é vazia, porém, é uma curva simétrica em
relação a ambos os eixos. Resolvendo esta equação em relação x obtém:
1
b
y
1
a
x
2
2
2
2


 . Portanto, a hipérbole não entra na região vertical entre as retas x = - a e
x = a e suas assintotas são representadas pelas retas: As retas y =  ( b/a).
5.3.3.2–Segundo Caso: Eixo real sobre o eixo y.
Através da Figura abaixo, percebe-se que, assim como na parábola e na elipse, a
equação da hipérbole com eixo real sobre o eixo y só difere da anterior, pela troca de posição
de suas variáveis, ou seja: 1
b
x
a
y
2
2
2
2



29
Neste caso, as assíntotas são as retas y =  ( a/b)..
5.3.4–Equação da hipérbole com centro fora da origem do sistema
5.3.4.1-Primeiro caso: Eixo real paralelo ao eixo x
Conforme Figura abaixo, considere uma hipérbole de centro C(h, k) e seja um ponto
P(x, y) um ponto qualquer da mesma.
De forma análoga ao estudo realizado para a elipse, a equação da hipérbole de eixo
real paralelo ao eixo x e centro em C(h,k) tem equação: 1
b
k)
-
(y
a
h)
-
(x
2
2
2
2


5.3.4.2-Segundo caso: Eixo Real Paralelo ao Eixo y.
Caso a hipérbole tenha seu eixo real paralelo ao eixo y e centro em C(h, k), seu
gráfico será dado por:

30
Enquanto que sua equação será dada por: 1
b
h)
-
(x
a
k)
-
(y
2
2
2
2


Observação: Excentricidade da Hipérbole: define-se a excentricidade (e) da
hipérbole a razão entre os comprimentos dos segmentos F1F2 e A1A2. Neste caso, tem-se:
e =

31
6-Identificação de uma Cônica
Desenvolvendo a equação [(x-a)+(y-b)]²=0, tem-se:
(x-a)²+2(x-a).(y-b)+(y-b)²=0
x²-2ax+a² +2xy-2bx-2ay+2ab+ y²-2by+b²=0
x²+y²+2xy+(-2a-2b)x+(-2a+2b)y+a²+2ab+b²=0
Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0 (Equação Geral do 2ºgrau em x y).
Muitas vezes para identificar uma curva representada por este tipo de equação, (se é
circunferência, elipse, hipérbole, parábola, ou degeneração) seria interessante eliminar por
meio das operações de translação e rotação os termos lineares em x e y (neste caso os termos
D e F) e também o termo xy ( o termo C).
A seguir serão apresentados estes dois procedimentos.
6.1-1ºCaso: Eliminar Por Meio de Uma Translação os Termos de
1ºgrau.
Este caso consiste em descobrir o ponto (h, k) para o qual se deve transladar o
sistema xy de modo que a equação acima se transforme numa equação do tipo:
Ax’²+By’²+Cx’y’+Dx’+Ey’+F = 0
Para achar o ponto deve-se, substituir as equações x = x’ + h e y = y’ + k na equação
geral, ou seja:
A(x’ + h)² + B(y’ + k)² + C(x’ + h)(y’ + k) + D(x’ + h) + E(y’ + k) + F = 0 
Ax’²+2Ahx’+Ah²+By’²+2Bky’+Bk²+Cx’y’+Ckx’+Chy’+Chk+Dx’+Dx’+Dh+Ey’+Ek+F=0
(I) - Ax’²+By’²+Cx’y’+(2Ah+Ck+D)x’+(2Bk+Ch+E)y’+Ah²+Bk²+Chk+Dh+Ek+F=0;
Então, devem-se achar h e k de modo que:
(II)









0
E
Ch
2Bk
0
D
Ck
2Ah

32
Se o sistema acima em h e k possuir solução, o problema esta resolvido. Porem, se o
mesmo for impossível não terá como eliminar os termos de primeiro grau por meio de
translação.
Exemplo:
Elimine através do procedimento anterior, os termos de 1ºgrau, das equações
quadráticas abaixo:
a) x² + y² - 4x - 6y + 4 = 0
b) x² + 4y² + 4xy - 2x + 6y + 3 = 0
c) 5x² + 5y² + 6xy - 4x + 4x + 8 = 0
Observação: Através dos exemplos acima as seguintes propriedades podem ser
comprovadas:
A operação de translação não afeta os coeficientes dos termos de segundo grau;
Após translação, o novo termo independente F’ pode ser obtido da seguinte maneira:
F’=Ah²+Bk²+Chk+Dh+Ek+F
Caso a equação dada não apresente o termo xy, pode-se achar h e k (translação) se
completando o quadrado.
Voltando-se ao objetivo, deve-se anular o termo misto x’y’, ou seja, tornar C’ = 0.
com isso tem-se: (B-A).sen2 +C.cos2 =0, com C≠0 (Se C=0, não haveria a necessidade
de efetuar-se estes cálculos).
Pode-se concluir então que:
Se B=A, cos2 =0, e, portanto pode ser /4 ou 3 .
 Se = /4, substituindo este valor em a) e b), tem-se: A’=1/2(A+B+C) e
B’=1/2(A+B-C).
 Se = /4, substituindo este valor em a) e b), tem-se A’=1/2(A+B-C) e
B’=1/2(A+B+C).
Se A≠B ⇔ (B-A).sen2 +C.cos2 =0 ⇔ (B-A).sen2 =-C.cos2 ⇔ = C ⇔
tg2 C/(A-B);0<2 < .
Resumindo, para eliminar-se o termo xy das equações quadráticas abaixo:

33
a. x² + 4y² +4xy - 2x + 6y + 3 = 0
b. 5x² + 5y² + 6xy - 4x + 4y + 8 = 0
6.2-2ºCaso: Eliminar Por Meio de Uma Rotação o Termo Misto xy.
Este processo é um pouco mais trabalhoso que o anterior, consiste em descobrir um
ângulo de rotação tal que a equação geral se transforme após a rotação em uma equação do
tipo:
Ax’² + By’² + Dx’ + Ey’ + F = 0
Para isso devem-se substituir as equações x = x’cos - y’sen e y = x’sen +y’cos
na equação geral, ou seja:
A(x’cos – y’sen)2
+ B(x’sen + y’cos)2
+ C(x’cos – y’sen). (x’sen + y’cos) +
D(x’cos – y’sen) + E( x’sen + y’cos) + F = 0 
Ax’ 2
cos2
 – 2Ax’.y’.cos sen + Ay’ 2
sen2
 + Bx’ 2
sen2
 + 2Bx’.y’sen cos + By’2
cos2
 + Cx’2
cos sen + Cx’y’cos2
 – Cx’y’sen2
 – Cy’ 2
sen cos + Dx’cos –
Dy’sen + Ex’sen + Ey’cos + F = 0 
(Acos2
 + Bsen2
 + C.cos sen)x’ 2
+ (Asen2
 + Bcos2
 – C.sen cos)y’ 2
+
[– 2Asen cos + 2Bsen cos + C(cos2
 – sen2
)x’y’] + (Dcos + Esen)x’ +
(– Dsen + Ecos)y’ + F = 0 .
Fazendo-se então:
a) A’ = A.cos² + B.sen² + C.cos sen
b) B’ = A.sen² + B.cos² – C.cos .sen
c) C’ = (B - A).sen2 + C.cos2
d) D’ = D.cos + E.sen
e) E’ = E.cos – D.sen
f) F’ = F.
Tem-se: A’x’² + B’y’² + C’x’y’ + D’x’ + E’y’ + F’ = 0.
Resolvendo as equações a), b) e c) citadas logo a baixo, tem-se:
a) x² + y² - 4x - 6y + 4 = 0
Sendo A = 1, B = 1, C = 0, D = -4, E = -6 e F = 4 e substituindo na equação (II) abaixo:

34



















3
k
2
h
6
2k
4
2h
-E
2Bk
Ch
D
-
Ck
2Ah
Substituindo na equação (I) abaixo:
Ax’²+By’²+Cx’y’+(2Ah+Ck+D)x’+(2Bk+Ch+E)y’+Ah²+Bk²+Chk+Dh+Ek+F=0
x’² + y’² - 9 = 0 ⇔ x’² + y’² = 9
b) x² + 4y² + 4xy - 2x + 6y + 3 = 0
Sendo A = 1, B = 4, C = 4, D = -2, E = 6 e F = 3 substituindo na equação (II) tem-se:







-6
8k
4h
2
4k
2h
Este sistema não é possível, por isso não é possível resolver por translação a
equação.
c) 5x² + 5y² + 6xy - 4x + 4x + 8 = 0
Sendo A = 6, B = 5, C = 6, D = -4, E = 4 e F = 8 substituindo na equação (II) tem-se:













-1
k
1
h
-4
10k
6h
4
6k
10h
Substituindo na equação (I) acima tem-se: 5x’² + 5y’² + 6x’y’ + 4 = 0
Voltando ao objetivo, deve-se anular o termo misto x’.y’, ou seja , torna C’ = 0.com
isso deve-se ter: (B - A).sen2 + C.cos2 = 0, com C ≠ 0.
Observação: Se C = 0 não haveria necessidade de efetuar estes cálculos.
Pode-se concluir então que:
 Se B = A  cos 2 = 0, e, portanto  pode ser /4 ou 3/4.
 Se  = /4, substituindo este valor em a) e b), tem-se: A’ = 1/2(A + B + C) e
B’ = 1/2(A + B – C).
 Se  = 3/4, substituindo este valor em a) e b), tem-se: A’ = 1/2(A + B – C) e
B’ = 1/2(A + B + C).
Observações:

35
 No caso em que A = B, deve-se procurar um ângulo em que a tangente não
exista, ou seja: 2 = /2   = /4. Assim, no caso em que A=B basta tomar
um a rotação de 45o
.
 Sempre haverá dois ângulos diferentes que eliminarão o termo xy. Qualquer
um dos dois nos servirá.
 Se B  A  (B – A).sen2 + C.cos2 = 0 
(B – A).sen2 = – C.cos2
(A – B).
cos2θ
sen2θ = C  tg2 = C/(A – B) ;
2
3
2θ
2



 .
Sabendo-se que
2
cos2
-
1
senθ

 e
2
cos2
1
cosθ


 , pode-se então substituir
estas expressões nas equações do sistema:





Cosθ
y'
+
Senθ
x'
=
y
Senθ
y'
-
Cosθ
x'
=
x
e em seguida substituir
na equação original Ax2
+ B y2
+ Cxy + Dx + Ey + F = 0.
Outra maneira de se chegar à equação A’x’ 2
+B’ y’ 2
+C’x’y’+D’x’ +E’y’ +F’ = 0 é
utilizando os valores que já se conhece de A, B, C, D, E, F, sen e cos, basta substituí-los
nas equações a); b); c); d); e) e f) acima. Em suma, para eliminar-se o termo xy da equação
geral onde C  0, deve-se escolher um ângulo  conforme a fórmula acima e em seguida
aplicar na equação original.
6.2-Teorema da Identificação
O gráfico da equação Ax2
+ B y2
+ Cxy + Dx + Ey + F = 0 pode representar ou não
uma cônica. Caso represente uma cônica, tem-se:
 - Uma parábola, se C2
– 4AB = 0;
 - Uma elipse, se C2
– 4AB < 0;
 - Uma hipérbole, se C2
– 4AB > 0.
6.2.1-Demonstração:
Girando os eixo x e y em um ângulo ·. Com o auxilio das formas de rotação tem-se
A’x’ 2
+ B’ y’ 2
+ C’x’y’ + D’x’ + E’y’ + F’ = 0.
Com as fórmulas A’, B’ e C’ mostradas anteriormente pode-se mostrar que:

36
(C’)2
– 4A’B’ = C2
– 4AB, veja:
(C’)2
– 4A’B’ = [(B – A).sen2 + C.cos2]2
– 4.( A.cos2
 + B.sen2
 + C.cos.sen).
( A.sen2
 + B.cos2
 – C.cos.sen). Fazendo-se as devidas operações tem-se:
(C’)2
– 4A’B’ = (B – A)2
.sen2
2 + 2.(B – A).sen2 .C.cos2 + C2
.cos2
2 – 4.A2
.
sen2
 . cos2
 – 4AB cos4
 + 4AC cos3
. sen – 4AB sen4
 – 4.B2
. sen2
 . cos2
 + 4BC
sen3
. cos – 4AC sen3
. cos – 4BC sen. cos3
 + 4.C2
. sen2
 . cos2
 
(C’)2
– 4A’B’ = (B2
–2 AB +B 2
).(2sen.cos)2
+ 2.(B – A).2sen.cos .C.(cos2
 –
sen2
) + C2
.(cos2
 – sen2
 )2
– 4.A2
. sen2
 . cos2
 – 4AB cos4
 + 4AC cos3
. sen – 4AB
sen4
 – 4.B2
. sen2
 . cos2
 + 4BC sen3
. cos – 4BC sen. Cos3
 +
4.C2
. sen2
 . cos2
 
(C’)2
– 4A’B’ = 4B2
.sen2
.cos2
 – 8AB.sen2
.cos2
 + 4A2
.sen2
.cos2
 +
( 4.BC.sen.cos – 4. AC.sen.cos ).(cos2
 – sen2
) + C2
.(cos2
 – sen2
 )2
– 4.A2
. sen2
 .
cos2
 – 4AB cos4
 + 4AC cos3
. sen – 4AB sen4
 – 4.B2
. sen2
 . cos2
 + 4BC sen3
.
cos – 4AC sen3
 + 4.C2
. sen2
 . cos2
 
(C’)2
– 4A’B’ = – 8AB.sen2
.cos2
 + 4.BC.sen.cos3
 – 4.BC.sen3
.cos – 4.
AC.sen.cos3
 + 4. AC.sen3
.cos + C2
.(cos2
 – sen2
 )2
– 4AB cos4
 + 4AC cos3
. sen
– 4AB sen4
 + 4BC sen3
 + 4.C2
. sen2
 .
cos2
 
(C’)2
– 4A’B’ = – 8AB.sen2
.cos2
 + C2
.cos4
 – 2 C2
cos2
 sen2
 + C2
sen4
 –
4AB cos4
 – 4AB sen4
 + 4.C2
. sen2
 . cos2
 
(C’)2
– 4A’B’ = 2 C2
cos2
 sen2
 – 8AB.sen2
.cos2
 + C2
.cos4
 + C2
sen4
 –
4AB cos4
 – 4AB sen4
 
(C’)2
– 4A’B’ = 2 cos2
 sen2
 .( C2
– 4AB) + sen4
.( C2
– 4AB ) + cos4
 .( C2
–
4AB) 
(C’)2
– 4A’B’ = ( C2
– 4AB) . (sen4
 + 2 cos2
 sen2
 + cos4
 ) 
(C’)2
– 4A’B’ = ( C2
– 4AB) . (sen2
 + cos2
 )2
= 1 
(C’)2
– 4A’B’ = ( C2
– 4AB) 
Observação: Relembrando que sen2
 + cos2
=1
Para uma rotação adequada de eixos, tem-se C’ = 0, ou seja:
A’x’ 2
+ B’ y’ 2
+ D’x’ + E’y’ + F’ = 0.
Para que a equação acima seja:

37
 Uma Elipse deve-se ter: A’B’ > 0, ou seja A’ e B’ devem possuir o mesmo sinal;
 Uma Hipérbole deve-se ter A’B’ < 0, ou seja A’ e B’ devem possuir sinais opostos;
 Uma Parábola deve-se ter A’B’ = 0, ou seja A’ ou B’ devem ser nulo.
Porém, se C’ = 0  C2
– 4AB = – 4A’B’, neste caso tem-se:
 Uma parábola, se C2
– 4ab = 0;
 Uma elipse, se C2
– 4ab < 0;
 Uma hipérbole, se C2
– 4ab > 0 
Aplicando as definições anteriores: Determine o tipo de curva que representa a
equação quadrática e esboce seu gráfico, cuja função seja: 3x² - 4xy + 4y² + 8x – 1 = 0
Pelo Teorema da Identificação, tem-se; que: C² - 4AB
Tem-se: A = 3, B = 4, C = - 4; D = 8, E = 0 e F = - 1
Como C² - 4AB tem-se que: (-4)²- 4.(3).(4) ⇨ 16 – 54 < 0 ⇨ - 32 < 0
Portanto a Equação representa uma Elipse.
Achar seu Centro e Vértice; A ≠ B
= 0.99 retirando o arco-cosseno encontra-se o valor do ângulo
ϴ, que será aproximadamente 38°.

38
Substituindo na equação





Cosθ
y'
+
Senθ
x'
=
y
Senθ
y'
-
Cosθ
x'
=
x
e completando o quadrado
obtém-se a equação e conseqüentemente seu centro e assim pela a² = b² + c²
encontra-se os vértices e o foco da mesma.
Gráfico da função: 3x² - 4xy + 4y² + 8x – 1 = 0 Com o termo C≠0
3x² - 4xy + 4y² + 8x – 1 = 0
3x² - 4xy + 4y² + 8x – 1 = 0
Gráfico da função: 3x² + 4y² + 8x – 1 = 0 Com o termo C=0

39
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Seja um sistema transformação quaisquer de translação ou rotação de eixos no IR²
aplicado numa equação de uma cônica qualquer. É de suma importância e base para o
aprimoramento e evolução de outras disciplinas, tais como Cálculo e Álgebra Linear, além de
auxiliar no desenvolvimento de outras áreas das ciências exatas, como na Física, Engenharia e
Computação entre outras.
Segundo Prado, A. Enéias. et. al, O estudo da Geometria envolve também uma
visão mais ampla que está relacionada com aprender a enxergá-la também no ambiente que
está a nossa volta, como as grandes edificações como as de Oscar Niemeyer e ou as pequenas
lanternas nas quais se nota profundamente a presença de conceitos e idéias matemáticas.
Apesar de existirem vários trabalhos nessa área optou-se por fazer um trabalho
simples e objetivo, mas de fácil compreensão, que possa levar o leitor a obter mais
curiosidade interdisciplinar de outras matérias e com suas aplicações.

40
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, Howard. Cálculo. Um novo horizonte. Vol. 1 e 2. 6ª.ed. Bookman, Porto Alegre:
2000.
BOULOS, Paulo & CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3ª
ed. Pearson Education: São Paulo, 2005.
CABRAL; CARDOSO; COSTA; FERREIRA; SOUZA. Vetores, Retas e Planos. Publicação
Interna do Departamento de Matemática da UFBA.
Swokowski, Earl W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1 ed. MCGRAW HILL. 2ªed.
BOYER, Carl B. História da Matemática. Edgar Bluncher Ltda.: São Paulo, 1996.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Ed. Unicamp: Campinas, 1997.
EVES, Howard. História da geometria. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo:
Atual, 1992.
LEHMAN, Charles H. Geometria Analítica. Editora Globo: 9ªed.Porto Alegre,1998.
Apostilas em PDF do professor Reginaldo de Jesus Santos.
PRADO, E.A.; GERALDINI, D.A.; BELUSSI, G.M.; BARISON, M.B. APLICAÇÕES DE
CONCORDÂNCIA, TANGÊNCIA E CURVAS CÔNICAS NA ARQUITETURA.
Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina.
SOUSA, MARA, Transformação de coordenadas: translação e rotação e coordenadas
polares. Universidade Estadual do Rio de Janeiro – UERJ, 2008.
URL<http://cattai.mat.br/site/images/stories/UNEB/MatBasica/TransfCoord_Conicas.pdf
Acesso em 12 de junho de 2011 as 22h00.
URL<http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/ganalitica.html
Texto de: Fernanda Buhrer Rizzato; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César
Polcino Milies
URL<http://arquivoescolar.org/bitstream/arquivo-e/105/1/conicas.pdf
Texto de: Departamento de Matemática aplicada, Instituto de Matemática – UFRJ.
prof.Marco Aurélio P. Cabral
URL<http://www.fund198.ufba.br/apos_cnf/transeixos.pdf
Texto de: Universidade Federal da Bahia-UFBA. Construção de gráficos - translação de eixos

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