1. Planolândia
Matemática - a mais humana das ciências
(Imaginação)
José Roberto S. Nascimento
Universidade Federal do Pará
Faculdade de Matemática
e-mail: jrsn19@hotmail.com
22 de Julho de 2018
J. Roberto Nascimento
9. Planolândia
Jeffrey Weeks conta em seu livro "The Shape of Space"como os habitantes
da Planolândia descobriram a forma do mundo em que viviam.
J. Roberto Nascimento
10. Planolândia
Relatos antigos sugeriam a possibilidade de dar a "volta ao mundo". De-
vido a estes relatos, duas expedições foram organizadas levando barbantes
coloridos.
J. Roberto Nascimento
11. Planolândia
Relatos antigos sugeriam a possibilidade de dar a "volta ao mundo". De-
vido a estes relatos, duas expedições foram organizadas levando barbantes
coloridos.
J. Roberto Nascimento
13. Planolândia
Um visionário sugeriu que o mundo deveria ter a forma de um hipercírculo:
Porém, os barbantes se cruzavam somente um vez.
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15. Planolândia
Então um matemático sugeriu um forma para a planolândia (conjectura).
O toro:
Porém, o matemático se deu conta de que existiam várias possibilidades:
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18. Planolândia
Mundo bizarro
Um grupo de aventureiros, animados com a teoria dos matemáticos, saíram
em mais uma expedição. Mas eles voltaram diferentes.
Voltaram como se tivessem saído de um espelho.
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19. Planolândia
Mundo bizarro
Um grupo de aventureiros, animados com a teoria dos matemáticos, saíram
em mais uma expedição. Mas eles voltaram diferentes.
Voltaram como se tivessem saído de um espelho.
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24. Planolândia
Geometria e Topologia
Classificação da Superfícies:
Teorema
Qualquer superfície fechada orientável é topologicamente equivalente a
uma esfera ou a uma soma conexas de toros.
Teorema
Qualquer superfície fechada nã-orientável é topologicamente equivalente
a uma soma conexas de planos projetivos.
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26. Planolândia
Fazendo mapa
Sabemos que o plano e o cilindro possuem a mesma geometria. Sabemos
também que não existe mapa fiel do globo terrestre. Isto se explica pela
curvatura da Terra.
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27. Planolândia
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo no plano é igual
a π.
Em um esfera de raio r, a fórmula para a soma dos ângulos internos de
um triângulo geodésico é
α + β + γ − π =
1
r2
· areaT
Curvatura da esfera K =
1
r2
.
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28. Planolândia
Idéia
O excesso α + β + γ − π mede a quantidade de curvatura contida em um
triângulo geodésico.
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29. Planolândia
Toda superfície pode ser triangulada.
Quando se tem uma triangulação, surge o número inteiro
χ = v − a − t
onde, v-vértice, a-arestas, t-qnt. triângulos.
Teorema (Gauss-Bonnet)
A curvatura total de um superfície fechada é igual à característica de
Euler mutiplicada por 2π
C = 2πχ.
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30. Planolândia
A forma da planolândia
Depois de mapearem cuidadosamente a planolândia por triângulos, uma
equipe concluiu que a curvatura total da planolândia é negativa e com
χ = −1.
A classificação das superfícies eliminou de uma vez por todas as dúvidas.
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31. Planolândia
A forma da planolândia
Depois de mapearem cuidadosamente a planolândia por triângulos, uma
equipe concluiu que a curvatura total da planolândia é negativa e com
χ = −1.
A classificação das superfícies eliminou de uma vez por todas as dúvidas.
A única superfície fechada com χ = −1 é a soma conexa de um toro e
um plano projetivo.
J. Roberto Nascimento
