Ordenação de pares e ímpares

Revista Brasileira de Computação Aplicada (ISSN 2176-6649), Passo Fundo, v. 5, n. 2, p. xx-xx, out. 2013 1
Ordenação de pares e ímpares
Diego Antonio Lusa1
Resumo: Este artigo visa descrever duas propostas de solução construídas para a resolução do
problema de ordenação de pares e ímpares. O desafio apresentado pelo problema consiste em
classificar determinado conjunto de entrada de modo eficiente, utilizando o critério crescente para
valores pares e decrescente para ímpares. Foram utilizados os algoritmos MergeSort e QuickSort
na etapa de ordenação, cada um aplicado a uma solução em específico. No decorrer do texto, a
estratégia de resolução, os resultados obtidos e desafios vivenciados são abordados
detalhadamente.
Palavras-chave: Ordenação. QuickSort. MergeSort.
Abstract: This article aims to describe two different approaches for resolving the odd and even
ordering problem. The challenge showed by the problem consists in ordering a certain input set of
values efficiently using ascending order for odd values and descending order for evens. The
MergeSort and QuickSort algorithms were used at classification step, each of them applied in a
distinct solution. During the text, the resolution strategy, the results and challenges experienced
are described in details.
Keywords: Sorting. QuickSort. MergeSort.
1 Introdução
Como parte da ementa da disciplina de Algoritmos e Estruturas de Dados do Mestrado em Computação
Aplicada da Universidade de Passo Fundo (UPF), foi proposto a resolução de um problema presente na
ferramenta URI Online Judge, que fosse pertencente à categoria “Estruturas de Dados e Bibliotecas” e que
apresentasse nível de dificuldade maior ou igual a três.
Com base nos critérios acima, optou-se pela escolha do problema intitulado “Pares e Ímpares”. O desafio
proposto por este problema reside na ordenação de um conjunto de valores numéricos inteiros e positivos, de
cardinalidade c (onde 1 < c < 105
), dentro de uma janela máxima de execução de 1 segundo.
O critério de ordenação proposto pelo problema exige que a paridade dos elementos seja considerada no
momento da classificação dos elementos. Em vista disso, o processo de ordenação deve obedecer a duas regras
fundamentais pré-definidas, que são:
 Valores pares devem ser classificados em ordem crescente;
 Valores ímpares devem ser classificados em ordem decrescente;
Para obter os elementos do conjunto de entrada, o algoritmo necessita respeitar um padrão de entrada de
dados específico. Neste padrão, estipula-se que a primeira informação repassada ao algoritmo refere-se à
cardinalidade do conjunto de dados, ou seja, determina o número total de elementos que serão informados na
sequência.
Com base na cardinalidade (c) informada, o algoritmo deve recepcionar cada um dos elementos En
subsequentes (onde, 1<= n <= c) que irão compor o conjunto de entrada.
1
Mestrado em Computação Aplicada, UPF, Campus 1 - BR 285 - Passo Fundo (RS) - Brasil
{83473@upf.br}
http://dx.doi.org/10.5335/rbca.2013.XXX

Por fim, o problema especifica ainda o formato da saída dos dados. A regra estabelecida neste caso é
apresentar um elemento a cada linha, considerando o seguinte protocolo:
 Primeiramente os valores pares em ordem crescente;
Na sequência, valores ímpares, em ordem decrescente;
A Tab. 1 apresenta um exemplo dos formatos de entrada e saída definidos para o problema. No exemplo,
informa-se ao algoritmo um conjunto de oito elementos para ordenação (coluna “Entrada”). A saída esperada
após o processamento é apresentada na coluna “Saída”. Por fim, a primeira e a última coluna representam,
respectivamente, informações relevantes acerca das entradas e saída do algoritmo.
Tabela 1: Formato de entrada e saída de dados
Descrição Entrada Saída Descrição
Cardinalidade(c) 8 10
Pares em ordem
crescente
E1 10 20
E2 15 30
E3 20 40
E4 25 45
Ímpares em
ordem
decrescente
E5 30 35
E6 35 25
E7 40 15
E8 45
Uma vez conhecidas as regras e formatos necessários à resolução do problema de ordenação de pares e
ímpares, foram desenvolvidas duas soluções distintas. Em ambas as soluções, contudo, o algoritmo de resolução
executa sequencialmente três etapas básicas, denominadas coleta de dados, ordenação e apresentação dos
resultados.
O que diferencia de fato uma solução da outra é o algoritmo de classificação utilizado na etapa de
ordenação. Na primeira solução desenvolvida, utilizou-se o QuickSort, enquanto que na segunda, o algoritmo
usado foi o MergeSort. As demais etapas (coleta de dados e apresentação dos resultados) têm codificação única.
A Fig. 1 apresenta o diagrama funcional da abordagem de resolução em três etapas considerada para as
duas soluções propostas.
Figura 1: Etapas do algoritmo de resolução do problema “Pares e Ímpares”
Nas seções seguintes, cada uma das etapas de resolução é descrita em detalhes. Ao final, apresenta-se um
comparativo dos resultados obtidos na execução das duas soluções propostas.
2 Etapa I - Coleta de dados
A etapa de coleta de dados é a primeira a executar, sendo responsável por capturar os dados submetidos
ao algoritmo conforme o formato de entrada definido (vide Tab. 1). À medida que os dados são recepcionados,
as devidas estruturas de dados utilizadas pelo algoritmo são alimentadas.

A execução da etapa de coleta de dados passa por dois estágios distintos. No primeiro deles, a
cardinalidade do conjunto de entrada é obtida. Pela definição do problema, seu valor será sempre um inteiro
positivo variando de 1 a 105
, não inclusos.
Visto que a cardinalidade determina o tamanho do conjunto de entrada, ela acaba por servir de base ao
segundo estágio, no qual o algoritmo entre em laço para recepcionar cada um dos elementos do conjunto de
entrada.
Durante a recepção dos elementos, os valores pares são postos em um arranjo unidimensional (vetor)
específico e elementos ímpares em outro. Essa separação visa unicamente facilitar a apresentação dos
classificados, na etapa III do algoritmo. Não há, portanto, qualquer objetivo de ganho de desempenho nesta
abordagem.
A Fig. 2 apresenta detalhadamente a etapa de coleta de dados, com os respectivos passos e estágios.
Figura 2: Descrição funcional da etapa de coleta de dados
Somente após a execução bem sucedida da etapa de coleta de dados, o algoritmo torna-se apto a avançar
para a próxima etapa, responsável pela ordenação dos elementos. Conforme já mencionado, a etapa II apresenta
duas abordagens de classificação distintas, as quais diferenciam propriamente a solução I da solução II.
O vetor de elementos pares e o vetor de elementos ímpares representam as entradas esperadas para a etapa
II, que é descrita na sequência.
3 Etapa II – Ordenação
A escolha pelo algoritmo de ordenação mais eficiente é de fundamental importância para a resolução do
problema de pares e ímpares. Um algoritmo de baixa eficiência computacional, embora eficaz em termos de
resultados, não colabora para manter a execução da solução proposta dentro do tempo máximo estabelecido, o
que desqualifica sua escolha.
Em vista disso, ambas as soluções de ordenação utilizadas na resolução do problema foram escolhidas
com base na medida da complexidade assintótica, em específico, a complexidade para o caso médio e para o pior
caso.
Aplicando-se o critério da complexidade na escolha dos algoritmos clássicos de classificação presentes na
literatura, chegou-se ao QuickSort e ao MergeSort, dois algoritmos que fazem uso da técnica de divisão e
conquista em sua implementação e que apresentam excelente eficiência computacional para o caso médio. A
única ressalva fica a cargo do QuickSort, que apresenta complexidade elevada para o pior caso. Contudo,
conforme será descrito a seguir, tal característica não trás deméritos em seu uso.
De posse dos algoritmos de ordenação de melhor complexidade, foram construídas duas soluções
distintas para a etapa de ordenação, cada uma delas fazendo uso de um dos algoritmos escolhidos. Contudo,

antes de descrever cada uma em detalhes, é necessário apresentar as premissas básicas que ambas as soluções
devem respeitar. Basicamente, as premissas se resumem a dois pontos fundamentais:
 A ordem crescente deve ser utilizada como critério de classificação em ambas as soluções;
 Tanto o vetor de valores pares quanto o de ímpares deve ser submetido à classificação, sem
qualquer distinção funcional entre eles.
Uma vez conhecidos os algoritmos de classificação e as premissas envolvidas na etapa de ordenação,
segue-se com a descrição das soluções desenvolvidas, a começar pela solução I, que faz uso do QuickSort.
3.1 Solução I - QuickSort
Em termos de eficiência computacional, o QuickSort é um dos algoritmos de ordenação não estável mais
eficientes disponíveis na literatura. Sua complexidade para o caso médio é igual a O (n log n) e para o pior caso é
O (n2
) [1].
Embora a complexidade para o pior caso pareça elevada à primeira vista, ela depende de um conjunto
muito específico de condições na disposição dos elementos do conjunto de entrada e na escolha do elemento
pivô, algo difícil de ocorrer. Desta forma, o QuickSort atende a contento a premissa de eficiência estabelecida
para a resolução do problema.
Quanto ao seu funcionamento, o algoritmo consiste em particionar o conjunto inicial em subconjuntos
menores, de modo a ordená-los separadamente de forma recursiva. Ao final, os subconjuntos classificados são
unidos para formar o conjunto final classificado.
A primeira etapa do QuickSort requer a escolha de um elemento pivô. Tecnicamente, sua escolha pode
ser aleatória, ou seja, qualquer elemento do conjunto de entrada poderia ser utilizado como pivô. Na
implementação utilizada, o elemento pivô será sempre aquele que está mais ao centro do vetor que representa o
conjunto de dados de entrada.
Na sequência, baseado no pivô, todos os elementos de chave menor são rearranjados de modo a antecedê-
lo. Analogamente, os elementos de chave maior são postos como seus sucessores. Neste exato momento, três
importantes constatações podem ser feitas a respeito do conjunto de dados em processo de classificação:
 O elemento pivô encontra-se em sua posição final;
 Pode haver um subconjunto de valores menores que o elemento pivô desordenado;
 Pode haver um subconjunto de valores maiores que o elemento pivô desordenado;
Para os subconjuntos restantes aplica-se recursivamente todos os passos do QuickSort novamente, até que
hajam apenas subconjuntos vazios ou com apenas um elemento. Ao alcançar tal situação, o processo de
classificação é concluído unindo-se os subconjuntos classificados em um único conjunto, através da árvore de
recursão construída durante a execução do algoritmo.
A Fig. 3 apresenta em forma de árvore um exemplo de ordenação crescente de um conjunto de cinco
elementos utilizando o QuickSort. A determinação do elemento pivô segue a implementação escolhida, que
considera sempre o elemento mais ao centro do conjunto de entrada.

Figura 3: Exemplo da árvore de recursão criada durante a execução do algoritmo QuickSort. Em vermelho
estão destacados os elementos pivôs. Em verde, os elementos já ordenados em sua posição final.
3.2 Solução II - MergeSort
Assim como o QuickSort, o MergeSort é um algoritmo que utiliza a técnica de divisão e conquista para
atingir seus objetivos. Em termos de complexidade, apresenta valor constante tanto para o caso médio quanto
para o pior caso, sendo igual a O(n log n) [1].
Diferentemente do QuickSort porém, o MergeSort apresenta-se como um algoritmo de classificação
estável, que preserva a posição inicial relativa dos elementos que já encontram-se na ordem esperada. Também é
característica do algoritmo realizar a separação do problema inicial em subproblemas de tamanho semelhante,
mantendo a arvore de recursão relativamente balanceada.
Em termos de funcionamento, o MergeSort é composto por duas etapas, que são a divisão do conjunto de
entrada e a intercalação dos resultados. Na solução desenvolvida, todo o processo é feito de modo recorrente, até
encontrar o caso base (subconjunto contendo apenas um elemento). Ao encontrar o caso base, os subconjuntos
resultantes são intercalados a cada retorno compondo assim o conjunto final.
A Fig. 4 apresenta a sequência de passos executados pelo MergeSort para classificar em ordem crescente
um vetor de cinco elementos.
Figura 4: Passo a passo de execução do algoritmo MergeSort. Em vermelho estão descritas as etapas do
processo de divisão. Já em azul, os passos subsequentes de intercalação.

4 Etapa III – Apresentação dos resultados
Dispondo dos vetores de pares e ímpares já classificados em ordem crescente pela etapa II, a etapa de
apresentação dos resultados fica incumbida simplesmente de exibir na saída padrão os elementos respeitando a
ordem e o formato de saída definidos para o problema (vide Tabela 1).
Para cumprir com as exigências de saída do problema, todos os elementos pares são exibidos por
primeiro, em ordem crescente, um a cada linha. Tal tarefa é facilmente executada percorrendo-se o vetor de
valores pares da primeira posição para a última.
Na sequência, os valores ímpares são exibidos. Aqui, o vetor de valores ímpares é percorrido de modo
inverso ao de pares, visto que a saída destes deve ser feita em ordem decrescente. Para tanto, inicia-se pela
última posição do vetor e, iterativamente, chega-se a primeira. Do mesmo modo que acontece na exibição dos
pares, cada valor ímpar é colocado em uma linha distinta.
A representação funcional da etapa III é demonstrada pela Fig. 5, que segue.
Figura 5: Descrição funcional da etapa de apresentação dos resultados. Nela, são escritos primeiramente na
saída padrão todos os elementos do vetor de valores pares (do primeiro até o último) e após todos os ímpares,
estes últimos partindo-se do final do vetor até alcançar o início.
5 Resultados
Ambas as soluções desenvolvidas, quando submetidas à ferramenta URI OnLine Judge, obtiveram o
resultado esperado. Além de exibir os dados corretamente, tanto a solução I quanto a II tiveram tempo total de
execução abaixo de 1 segundo, ficando assim dentro do intervalo de tempo máximo estipulado pelo problema.
Ainda com relação ao tempo de execução, observou-se uma considerável diferença entre as duas
soluções. Para o caso da solução I (que utiliza o QuickSort), a execução do programa teve duração de 0,072
segundos. Já a solução II, que utiliza o MergeSort, mostrou-se mais rápida, concluindo a tarefa em 0,048
segundos.
Com base unicamente nos tempos evidenciados pela ferramenta URI OnLine Judge e desconsiderando
qualquer outra variável envolvida, pode-se, a princípio, afirmar que a solução II tem eficiência 33,33% maior
que a solução I na resolução do problema de pares e ímpares. Contudo tal afirmação beira ao empirismo, visto
que elementos importantes, como o conjunto de entrada e hardware utilizado na execução deveriam
obrigatoriamente ser os mesmos para ambos os testes, fatos estes que não se tem conhecimento nem
comprovação.
Portanto, embora observado certa diferença nos tempos de execução, não é possível comprovar que a
solução II é efetivamente mais eficiente que a I. Pode-se unicamente concluir que ambas as soluções são eficazes
na resolução do problema de pares e ímpares.

6 Conclusões
A resolução do problema de pares e ímpares trouxe a tona importantes questões. A primeira delas e,
certamente, uma das mais relevantes diz respeito à seleção do algoritmo mais adequado ao universo do problema
considerado.
Por vezes, e aqui é possível incluir o caso da ordenação de pares e ímpares, limitar-se à escolha de um
algoritmo simplesmente eficaz não é suficiente. É preciso ir além e buscar por aqueles que apresentam melhor
eficiência em termos de complexidade assintótica.
Fundamentar a escolha dos algoritmos pela complexidade gerou bons resultados na resolução do
problema de pares e ímpares. Conforme pôde-se observar na discussão dos resultados, ambos os algoritmos
escolhidos para dar cabo ao problema, a saber, o QuickSort e o MergeSort, tiveram resultados excelentes, visto
que executaram numa faixa de tempo menor do que 10% do tempo total que dispunham para fazê-lo.
Outro importante ponto que teve forte impacto no processo de desenvolvimento das soluções foi a escolha
da linguagem de programação. Inicialmente, optou-se pelo desenvolvimento das soluções em Java, por questões
de afinidade com a linguagem. Contudo o código se mostrou pouco eficiente, principalmente na etapa coleta dos
dados. Em vista disso, a linguagem C++ passou a ser considera no desenvolvimento e a partir de então não
houveram mais problemas dessa natureza.
Por fim, no que diz respeito às soluções construídas, ficou evidente a possibilidade de otimização na etapa
II, responsável pela ordenação do conjunto de entrada. Não haveriam dificuldades, por exemplo, de se paralelizar
o processo de classificação dos vetores de pares e ímpares, oriundos da etapa I. A separação destes em
estruturadas de dados distintas permite a ordenação concorrente utilizando threads, sem a necessidade de uso de
semáforos ou outra forma de bloqueio de seção crítica.
Referências
[1] TENENBAUM, A. M. et al. Estrutura de dados usando C. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.

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