Conversores CC CC

CONVERSORES CC-CC ISOLADOS DE ALTA
FREQÜÊNCIA COM COMUTAÇÃO SUAVE

Ivo Barbi
Fabiana Pöttker de Souza
Endereço: INEP – Instituto de Eletrônica de Potência
UFSC – Universidade Federal de Santa Catarina
Caixa Postal 5119
88040 – 970. Florianópolis – SC
Brasil
Fone: (048)-331.92.04
Fax: (048)-234.54.22
Internet: http://www.inep.ufsc.br
E-mail: ivo@inep.ufsc.br
fabiana@inep.ufsc.br

IVO BARBI
FABIANA PÖTTKER DE SOUZA
CONVERSORES CC-CC ISOLADOS DE ALTA
FREQÜÊNCIA COM COMUTAÇÃO SUAVE
Florianópolis
Edição dos Autores
1999

Ilustração da Capa: Danilo Quandt (Designflo Computação Gráfica)
Diagramação: Juliano Anderson Pacheco
Catalogação na Fonte
B236c Barbi, Ivo
Conversores CC-CC isolados de alta freqüência com
comutação suave / Ivo Barbi, Fabiana Pöttker de Souza.
− Florianópolis : Ed. dos autores, 1999.
376 p. : il. , grafs. , tabs.
Inclui bibliografia.
1. Eletrônica de potência. 2. Conversores estáticos.
3. Comutação Suave. I. Souza, Fabiana Pöttker de. II.
Título.
CDU:621.38
Catalogação na fonte por: Onélia Silva GuimarãesCRB-14/071
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem a prévia
autorização dos Autores.

Os autores dedicam a presente edição deste livro aos
formandos em Engenharia Elétrica 1999.1, da Universidade
Federal de Santa Catarina.
Alex Sandro de Oliveira
Ana Bárbara Knolseisen
Carlos Eduardo Paghi
César Davi Ávila do Nascimento
Eduardo Schacherl de Lima
Elton Hiroshi Kakinami
Emerson Alexandre Fonseca Costa
Fabiano Bachmann
Glauco André Wolff Gisz
Gustavo Adolpho Rangel Monteiro
Hélio Alexandre Lopes Loureiro
Klystenes Beber
Leonardo Faria Costa
Maro Jimbo
Marcos Aurélio Pedros
Nelson Thomaz Michels
Phabio Junckes Setubal
Rodrigo Pires
Rodrigo Soave Pascon
Rubens Alessandro Selinke

BIOGRAFIA DOS AUTORES
Ivo Barbi nasceu em Gaspar, Santa Catarina em 1949.
Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de
Santa Catarina em 1973. Obteve o título de Mestre em
Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Catarina
em 1976 e o título de Doutor em Engenharia Elétrica pelo Institut
National Polytechnique de Toulouse, França, em 1979. Fundou a
Sociedade Brasileira de Eletrônica de Potência e o Instituto de
Eletrônica de Potência da Universidade Federal de Santa
Catarina. Atualmente é professor titular da Universidade Federal
de Santa Catariana. Desde 1992, é Editor Associado na área de
Conversores Estáticos de Potência da IEEE Transactions on
Industrial Electronics.
Fabiana Pöttker de Souza nasceu em Florianópolis, Santa
Catarina em 1971. Formou-se em Engenharia Elétrica pela
Universidade Federal de Santa Catarina em 1995. Obteve o título
de Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de
Santa Catarina em 1997. Atualmente está concluindo o programa
de doutorado em Engenharia Elétrica no Instituto de Eletrônica de
Potência da Universidade Federal de Santa Catarina.

AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao Eng. Juliano Anderson Pacheco
pela sua inestimável colaboração na preparação deste livro. A ele
devemos a formatação do texto e figuras. A sua competência e a
sua intensa dedicação são alvo de nossa admiração e do nosso
respeito.
É incontável o número de doutorandos e mestrandos do INEP
que ao longo dos anos através de leituras e sucessivas revisões
ajudaram os autores a melhorar a qualidade técnica do texto. A
todos agradecemos imensamente.
Agradecemos também a todas as pessoas que direta ou
indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.

PREFÁCIO
As fontes de alimentação ditas chaveadas são destinadas à
alimentação de circuitos eletrônicos que realizam as mais diversas
funções e são largamente empregadas na alimentação de
computadores, equipamentos para telecomunicações,
equipamentos médicos, aparelhos eletrodomésticos e vários
outros equipamentos de uso residencial, comercial e industrial.
Apesar de ser um sistema muito mais complexo que a fonte
de alimentação linear tradicional baseada no controle da queda de
tensão de um transistor bipolar, a fonte chaveada se popularizou e
se tornou imprescindivel, fundamentalmente por operar com
elevado rendimento e permitir o isolamento galvânico com
transformadores de alta freqüência, Os dois fatores combinados
permitem o projeto de fontes com elevada densidade de potência
ou baixos volume e peso.
Ao estabelecer que o mérito de uma fonte chaveada reside
basicamente na sua eficiência e na sua compacticidade, contínuos
esforços foram feitos por fabricantes de semicondutores de
potência, de materiais magnéticos, capacitores e circuitos
integrados dedicados, projetistas e pesquisadores, para reduzir
as perdas e o volume para o maior número de aplicações
possíveis.
A busca de volumes menores levou à necessidade de
operação com frequências de chaveamento cada vez mais
elevadas do conversor CC-CC isolado que é a parte mais
importante da fonte, em torno do qual todo o projeto é
desenvolvido.
Por outro lado, o aumento da freqüência desencadeou a
busca por topologias que operam com baixas perdas de
comutação. Nasceram então os conversores conhecidos como
conversores com comutação suave.

Os primeiros conversores CC-CC isolados com comutação
suave foram os ressonantes, que inicialmente foram empregados
para permitir o bloqueio dos Tiristores sem a utilização de circuitos
auxiliares de comutação forçada. O primeiro de todos foi o
Conversor Série Ressonante.
Com o advento do Transistor Bipolar, percebeu-se que,
apesar de não necessitar da ressonância para o bloqueio, ela
propiciava uma redução significativa das perdas de comutação,
permitindo operação com frequências maiores que as que podiam
ser alcançadas com as topologias convencionais.
A partir dessa constatação, várias topologias foram criadas,
com o uso da ressonância, para redução das perdas de
comutação e operação com frequências cada vez mais elevadas.
O mais importante conversor gerado nesse período foi o
Conversor Paralelo Resonante.
Os primeiros conversores à comutação suave baseados no
fenômeno da ressonância permitiam a comutação dos transistores
de potência, do tipo ZCS (Zero Current Switching – comutação
sob corrente nula). Logo se percebeu que havia uma comutação
dual, que passou a ser denominada ZVS (Zero Voltage
Switching – comutação sob tensão nula), que oferecia mais
segurança aos semicondutores, reduzia as perdas de comutação,
e aproveitava componentes parasitas do MOSFET, como diodos e
capacitores.
Esforços foram feitos pelos pesquisadores para descobrir
topologias cada vez mais adequadas para a comutação ZVS.
Vários circuitos foram inventados e rapidamente empregados nos
projetos de fontes chaveadas de alto desempenho.
O objetivo do livro que ora publicamos é apresentar os mais
importantes conversores CC-CC isolados existentes atualmente
(Agosto de 1999), descrever o seu funcionamento e apresentar
análise orientada para projeto.
O texto destina-se a ser empregado principalmente nos
programas de pós-graduação dos cursos de engenharia elétrica, e
também servir como fonte de consulta para engenheiros

responsáveis por projetos e desenvolvimento de equipamentos
em empresas e centros de pesquisa.
Muitas das idéias e dos conceitos apresentados são de
autoria dos próprios autores do texto, e são resultados de intensas
atividades de pesquisa realizada no INEP (Instituto de Eletrônica
de Potência) da Universidade Federal de Santa Catarina.
Os autores esperam que o texto seja útil aos profissionais e
estudantes que formam a comunidade de eletrônica de potência e
com grado receberão comentários e críticas que possam
aperfeiçoar o texto.
Florianópolis, 05 de Agosto de 1999.
Ivo Barbi e Fabiana Pöttker de Souza.

SUMÁRIO
CAPÍTULO I
CIRCUITOS BÁSICOS COM INTERRUPTORES, DIODOS
E TIRISTORES
1.1 - CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM 1
1.2 - CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM 11
1.3 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 28
CAPÍTULO II
CONVERSOR SÉRIE RESSONANTE
2.1 - INTRODUÇÃO 33
2.2 - OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO EQUIVALENTE 33
2.3 - ANÁLISE PARA OPERAÇÃO NO MODO DE CONDUÇÃO CONTÍNUA 36
2.4 - ANÁLISE PARA OPERAÇÃO NO MODO DE CONDUÇÃO DESCONTÍNUA 77
Sumário I

CAPÍTULO III
CONVERSOR SÉRIE RESSONANTE COM
GRAMPEAMENTO DA TENSÃO DO CAPACITOR
RESSONANTE
3.2 - ETAPAS DE FUNCIONAMENTO 104
3.3 - FORMAS DE ONDA BÁSICAS 107
3.4 - EQUACIONAMENTO 107
3.5 - PLANO DE FASE 111
3.6 - DEFINIÇÃO DAS FAIXAS DE OPERAÇÃO 111
3.7 - CORRENTE MÉDIA NA FONTE VO' 113
3.8 - POTÊNCIA MÉDIA NA FONTE VO' 114
3.9 - ESFORÇOS NOS SEMICONDUTORES 114
3.10 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS RESULTADOS DA ANÁLISE 117
3.11 - VARIAÇÕES TOPOLÓGICAS 119
3.12 - METODOLOGIA E EXEMPLO DE PROJETO 121
3.13 - RESULTADOS DE SIMULAÇÃO 123
CAPÍTULO IV
CONVERSOR SÉRIE RESSONANTE COM
GRAMPEAMENTO DA TENSÃO DO CAPACITOR
RESSONANTE, MODULAÇÃO POR LARGURA DE
PULSO E COMUTAÇÃO SOB CORRENTE NULA (ZCS)
II Conversores CC-CC Isolados de Alta Freqüência com Comutação Suave

4.5 - PLANO DE FASE 141
4.6 - DEFINIÇÃO DA FAIXA DE OPERAÇÃO 141
4.7 - LIMITES DA TENSÃO DE SAÍDA 143
4.8 - CARACTERÍSTICA DE SAÍDA 143
CAPÍTULO V
CONVERSOR SÉRIE RESSONANTE COM MODULAÇAO
EM FREQÜNCIA E COMUTAÇÃO POR ZERO DE TENSÃO
(ZVS)
5.5 - PLANO DE FASE RESULTANTE 178
5.6 - CARACTERÍSTICA DE SAÍDA 181
5.7 - CARACTERÍSTICA DE SAÍDA APROXIMADA 182
5.8 - CORRENTE DE COMUTAÇÃO 185
Sumário III

CAPÍTULO VI
CONVERSOR EM PONTE COMPLETA, NÃO
RESSONANTE, MODULADO POR LARGURA DE PULSO,
COM COMUTAÇÃO SOB TENSÃO NULA (ZVS) E COM
SAÍDA EM FONTE DE TENSÃO
6.6 - CORRENTE DE COMUTAÇÃO 229
CAPÍTULO VII
CONVERSOR EM PONTE COMPLETA, NÃO
RESSONANTE, MODULADO POR LARGURA DE PULSO,
COM COMUTAÇÃO SOB TENSÃO NULA (ZVS) E COM
SAÍDA EM FONTE DE CORRENTE
IV Conversores CC-CC Isolados de Alta Freqüência com Comutação Suave

7.5 - ANÁLISE DA COMUTAÇÃO 260
CAPÍTULO VIII
CONVERSOR TRÊS NÍVEIS, MODULADO POR LARGURA
DE PULSO, COM COMUTAÇÃO SOB TENSÃO NULA
(ZVS) E COM SAÍDA EM FONTE DE CORRENTE
CAPÍTULO IX
CONVERSOR MEIA-PONTE, MODULADO POR LARGURA
DE PULSO, COM COMUTAÇÃO SOB TENSÃO NULA
(ZVS) E COM COMANDO ASSIMÉTRICO
Sumário V

CAPÍTULO X
CONVERSOR FORWARD COM GRAMPEAMENTO ATIVO,
MODULAÇÃO POR LARGURA DE PULSO E
COMUTAÇÃO SOB TENSÃO NULA (ZVS)
BIBLIOGRAFIA 375
VI Conversores CC-CC Isolados de Alta Freqüência com Comutação Suave

CAPÍTULO I
CIRCUITOS BÁSICOS COM
INTERRUPTORES, DIODOS E
TIRISTORES
1.1 CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM
1.1.1 Circuito RC em Série com um Tiristor
Seja o circuito apresentado na Fig. 1.1.
+
Vi -
iC
vC
+
-
+
-
T
R
C
vR
Fig. 1.1 - Circuito RCT série.
Antes do disparo do tiristor, o capacitor C está descarregado e vC=0.
No instante t=0, o tiristor é disparado. Assim tem-se (1.1) e (1.2).
Vi = vC (t) + R iC (t) (1.1)
dv (t)
i (t) = C C
C (1.2)
dt
Substituindo (1.2) em (1.1) obtém-se a expressão (1.3).
dv (t)
V C
i = v C (t) + RC (1.3)
dt
Resolvendo a equação (1.3), obtém-se a expressão (1.4).
⎞
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜
= −
⎝
t
−
RC
vC(t) Vi 1 e (1.4)

Derivando-se a expressão (1.4) e multiplicando por C, obtém-se a
corrente, dada pela expressão (1.5).
t
RC
V
i
C e
R
i (t)
−
= (1.5)
As formas de onda de vC(t) e iC(t) em função do tempo são
apresentadas nas Fig. 1.2.
A partir do instante em que a corrente se anula, o tiristor readquire a
sua capacidade de bloqueio.
Vi
V
R i
iC
vC
0 0 (a) t 0 0 (b) t
Fig. 1.2 - Tensão e corrente no capacitor.
1.1.2 Circuito RL em Série com um Tiristor
Seja o circuito representado na Fig. 1.3.
+
Vi -
iL
+
vL
-
T
L
R
+
vR
-
Fig. 1.3 - Circuito RLT série.
Antes do disparo do tiristor, a corrente no indutor é nula. No instante
t=0 o tiristor é disparado. Assim tem-se as equações (1.6) e (1.7).
2 Conversores CC-CC Isolados de Alta Freqüência com Comutação Suave

Vi = vL (t) + vR (t) (1.6)
R i (t)
di (t)
L
V L L
i = + (1.7)
dt
Resolvendo-se a equação (1.7) obtém-se as expressões (1.8) e (1.9).
⎞
⎟ ⎟ ⎟
i (t) (1.8)
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜
V
= −
⎝
R t
−
L
i
L 1 e
R
R t
L
vL (t) Vi e
−
= (1.9)
As formas de onda estão representadas nas Fig. 1.4.
V
R i
Vi
vL iL
0 0
0 t 0
(a) t (b)
Fig. 1.4 - Tensão e corrente no indutor.
Na estrutura apresentada, a extinção do tiristor só é possível com o
emprego de circuitos auxiliares, denominados “circuitos de comutação
forçada”.
1.1.3 Circuito com Diodo de Circulação
Seja a estrutura apresentada na Fig. 1.5.
Cap. I – Circuitos Básicos com Interruptores, Diodos e Tiristores 3

D
S
D
S
+
L
+
-
(a) (b)
+
Vi -
iL
vL
-
R
vR
+
Vi -
iL
+
vL
-
L
R
+
-
vR
Fig. 1.5 - Circuito com diodo de circulação.
(a) Primeira etapa.
(b) Segunda etapa.
Na primeira etapa o interruptor S está fechado e o diodo D está
bloqueado. As expressões (1.10), (1.11) e (1.12) definem esta etapa.
V
I i
o = (1.10)
R
vL (t) = 0 (1.11)
vR (t) = Vi (1.12)
No instante t=0, o interruptor S é aberto. A presença do indutor L
provoca a condução do diodo D, iniciando a segunda etapa de
funcionamento, também denominada de etapa de circulação ou roda-livre.
Tem-se portanto a equação (1.13).
vL (t) + vR (t) + VD = 0 (1.13)
Sabendo-se que VD = 0 , tem-se a equação (1.14).
di (t)
L L
L + R i (t) = 0
(1.14)
dt
Resolvendo-se a equação (1.14) obtém-se (1.15).
R t
L
iL (t) Io e
−
= (1.15)

Durante a etapa de circulação a energia acumulada em L é
transformada em calor em R. A desmagnetização do indutor é tanto mais
rápida quanto maior for o valor de R.
Caso não houvesse o diodo no circuito, no instante de abertura de S
o indutor provocaria uma sobretensão, que seria destrutiva para o
interruptor.
A energia dissipada em R é dada pela expressão (1.16):
W = 1 2
(1.16)
LIo
2
1.1.4 Circuito com Diodo de Circulação e com Recuperação
Em muitas aplicações práticas em que ocorre o fenômeno
mencionado, pode ser importante reaproveitar a energia inicialmente
acumulada no indutor. O circuito básico que possibilita a recuperação
está representado na Fig. 1.6.
No instante t=0, em que o interruptor é aberto, a corrente no indutor
é igual a Io.
Durante a circulação pelo diodo, o circuito é representado pelas
equações (1.17) e (1.18).
di (t)
L = − (1.17)
L V
dt
i
E
i (t) I 1
L = o − (1.18)
t
L
D
S
+
Vi -
iL
+
vL
-
- L
1 + E
Fig. 1.6 – Circuito com diodo de circulação e com recuperação.
Quando a corrente iL se anula, tem-se t=tf. Assim escreve-se (1.19).

o
L I
t = (1.19)
1
f E
Portanto, quanto maior for o valor de E1, menor será o tempo de
recuperação tf.
Toda a energia inicialmente acumulada no indutor é transferida à
fonte E1.
1.1.5 Circuito de Recuperação com Transformador
Nos casos em que não se dispõe de uma segunda fonte para absorver
a energia armazenada na indutância, emprega-se um transformador, numa
configuração que permite a devolução de energia para a própria fonte Vi.
Esta método é empregado em fontes chaveadas com transformadores de
isolamento e nos circuitos de ajuda à comutação dos conversores CC-CC
de grandes correntes.
Seja a estrutura representada na Fig. 1.7.
D
S
+
Vi - N1 N2
Fig. 1.7 - Circuito de recuperação com transformador.
Quando S está fechada, a energia é armazenada na indutância
magnetizante do transformador. A polaridade da tensão secundária é tal
que o diodo D se mantém bloqueado neste intervalo. Quando S abre, a
polaridade da tensão secundária se inverte. O diodo entra em condução e
transfere energia armazenada no campo magnético para a fonte Vi. Para
analisar o fenômeno quantitativamente será utilizado o circuito
equivalente do transformador, ignorando as resistências e a dispersão,
representado na Fig. 1.8.

S D
+
Vi - N1 N2
+
- i Lm V
Fig. 1.8 - Circuito equivalente da Fig. 1.7.
A primeira etapa de funcionamento está representada na Fig. 1.9.
S D
+
Vi - N1 N2
+
- i i1 Lm V
Fig. 1.9 - Primeira etapa.
A segunda etapa de funcionamento está representada na Fig. 1.10.
Nesta etapa a indutância magnetizante é referida ao secundário do
transformador.
D
+
- i V 'm
L i2
Fig. 1.10 - Segunda etapa.
As correntes terão as formas apresentadas na Fig. 1.11.
t
I1
1 i2 i I2
T1 T2
Fig. 1.11 - Corrente para um período de funcionamento.
As condições iniciais são dadas por (1.20) e (1.21).

V
1 T
I = (1.20)
1
i
m
L
N
1
2 I
I = (1.21)
1
2
N
A corrente na segunda etapa é dada por (1.22).
t
V
= − (1.22)
2 2 ′
L
i (t) I
i
m
No final da segunda etapa a corrente atinge zero. Assim tem-se
(1.23).
V
2 T
= − (1.23)
2
i
0 I ′
m
L
Substituindo (1.21) em (1.23) obtém-se (1.24) e (1.25).
1 =
T 0
V
− (1.24)
L
I
N
N
2
i
m
1
2
′
N = (1.25)
2
V T N
m 2
2
i 2 1
1
1
2
L N
I
N
Rescrevendo (1.25) obtém-se (1.26) e (1.27).
N
1
I L = V T (1.26)
2
1 m i 2 N
V N
= 1
(1.27)
2
m 1 i 2
i
m
N
L T V T
L
Assim, tem-se a expressão (1.28) que relaciona os tempos T1 e T2.

2 T
1
2
N
1
N
T = (1.28)
Variando-se a relação de transformação pode-se variar o tempo de
recuperação T2.
A evolução da tensão sobre o interruptor S é analisada como segue.
Quando S está conduzindo VS = 0 .
Durante a recuperação, a tensão VS pode ser obtida a partir da Fig.
1.12, como mostra a equação (1.29).
S D
+
Vi - N1 N2
+
- i V 'm
L
Fig. 1.12 - Etapa de recuperação.
VS = − Vi + V ) (1.29)
A tensão V1 é dada por (1.30).
(1
N
V = (1.30)
1 V
i
1
2
N
Substituindo (1.30) em (1.29) tem-se a equação (1.31).
N
⎛
1 V ⎟ ⎟⎠
S V
i
1
2
N
⎞
⎜ ⎜⎝
= − + (1.31)
Após a recuperação, com o interruptor aberto, VS = Vi .
A forma de onda da tensão nos terminais do interruptor está
representada na Fig. 1.13.

t
I1
1 i2 i I2
T1 T2
t
vS
Vi
⎞
⎟ ⎟⎠
⎛
+
V 1 N
⎜ ⎜⎝
1
i N
2
Fig. 1.13 - Formas de onda para o circuito representado na Fig. 1.12.
1.1.6 Carga de um Capacitor à Corrente Constante
Seja o circuito representado na Fig. 1.14. Inicialmente a corrente I
circula pelo diodo D. O capacitor encontra-se descarregado.
No instante t=0 o interruptor S é fechado. O diodo se bloqueia. A
corrente I passa a circular pelo capacitor, que se carrega com corrente
constante. O circuito está representado na Fig. 1.15.
S C
D I
+
Vi -
S C
I + -
D I
+
Vi -
vC

A tensão vC evolui segundo a expressão (1.32).
v I C (t) = t
(1.32)
C
Quando vC = Vi, o diodo entra em condução. Assim tem-se as
equações (1.33) e (1.34).
vC (t1 ) = Vi (1.33)
V C
t 1 = i
(1.34)
I
O capacitor permanece carregado com a tensão Vi.
A forma de onda da tensão vC está representada na Fig. 1.16.
t t
vC
Vi
f
Fig. 1.16 - Tensão nos terminais do capacitor da Fig. 1.15.
1.2. CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM
1.2.1 Análise do Circuito LC Submetido a um Degrau
de Tensão
Seja o circuito representado na Fig. 1.17, com as condições iniciais
vC(0) = VC0 e iL(0) = IL0 .
L
S C
+ -
+
Vi - vC
iL
Fig. 1.17 - Circuito LC.

No instante t=0 o interruptor S é fechado. O circuito passa a ser
representado pelas equações (1.35) e (1.36).
di (t)
V v (t) L L
i = C + (1.35)
dt
dV (t)
i (t) = C C
L (1.36)
dt
Substituindo (1.36) em (1.35), obtém-se (1.37).
d v (t)
C
V = v (t) + LC (1.37)
2
Resolvendo-se a equação (1.37), obtém-se a sua solução,
2
i C
dt
representada pelas expressões (1.38) e (1.39).
v (t) = − V − V cos w t + I L + (1.38)
C ( i C0 ) ( o ) L0 sen (wot) Vi
C
i (t) V V sen w t I L
C
( ) ( ) (t
cos w
C
L
L = i − C0 o + L0 o ) (1.39)
Multiplicando-se a expressão (1.39) por j e adicionando-se a
expressão (1.38), obtém-se a expressão (1.40).
( )[ ( ) ( )]
i (t) V V cos w t jsen w t
C
+ = − − −
C L i C0 o o
j I L
[ ( ) ( )] L0 o o i
cos w t jsen w t V
C
v (t) j L
+ − +
(1.40)
onde:
w 1 o = .
LC
Sejam as definições das expressões (1.41), (1.42) e (1.43).
z(t) v (t) j L = C + L (1.41)
i (t)
C
z 1 = − ( V L i − V C0 )
+ jI L0 (1.42)
C

e t
−jwo t = cos ( wot ) − jsen wo
) (1.43)
Assim obtém-se a expressão (1.44).
(i
jw t
z(t) = z1 e o + V − (1.44)
A. CASOS PARTICULARES
A.1) VC0=0, IL0=0, Vi≠0
Com as condições iniciais definidas obtém-se (1.45).
z1 = −Vi (1.45)
Para t=0, tem-se z(0) = 0
Assim, a expressão (1.44) fica representada pela expressão (1.46).
i
jw t
z(t) = −Vi e o + V − (1.46)
A expressão (1.46) está representada graficamente na Fig. 1.18.
0 z(0)
0
vC
wot
z1
Vi 2Vi
i L
L C
Fig. 1.18 - Plano de fase para VC0 = IL0 = 0 e Vi ≠ 0.

A.2) IL0=Vi=0,VC0>0.
Com as condições iniciais definidas obtém-se (1.47), (1.48) e (1.49).
z1 = VC0 (1.47)
z(t) = VC0 (1.48)
jw t
z(t) VC0 e o = ⋅ − (1.49)
A expressão (1.49) está representada graficamente na Fig. 1.19.
0 z(0)
0
vC
wot
VC0
z1
i L
L C
Fig. 1.19 - Plano de fase para IL0 = Vi = 0 e VC0 > 0.
A.3) VC0=Vi=0, IL0>0
Com as condições iniciais definidas obtém-se (1.50), (1.51) e (1.52).
z jI L 1 = L0 (1.50)
C
z(0) jI L = L0 (1.51)
C

z(t) = jI L − jw t
(1.52)
L0 e o
C
A expressão (1.52) está representada na Fig. 1.20.
0
i L
0
z(0)
vC
wot
z1
L C
Fig. 1.20 - Plano de fase para VC0 = Vi = 0 e IL0 > 0.
Em qualquer dos casos apresentados valem as relações (1.53) e
(1.54).
vC (t) = ℜe{z(t)} (1.53)
i (t) L L = Im{z(t)
} (1.54)
C
Assim tem-se (1.55) e (1.56).
{ jw t
} i
vC(t) =ℜe z1 e o + V − (1.55)
i (t) L = { − jw t
} (1.56)
L Im z1 e o
C

1.2.2 Análise do Circuito LC Submetido a um Degrau
de Tensão Com um Tiristor
Seja o circuito apresentado na Fig. 1.21.
L
T C
+ -
+
Vi - vC
iL
Fig. 1.21 - Circuito LCT série.
Inicialmente o tiristor encontra-se bloqueado. VC0=0 e IL0=0. No
instante t=0, o tiristor é disparado. No plano de fase as grandezas
evoluem de acordo com a Fig. 1.22.
0
Vi
0
π/2
vC
wot
Vi 2Vi
i L
L C
Fig. 1.22 - Plano de fase para o circuito LCT série.
Em função do tempo as grandezas evoluem de acordo com a Fig.
1.23.
Quando t=π/wo, a corrente se anula e o tiristor se bloqueia. O
capacitor nesse instante encontra-se carregado com vC=2Vi e manterá
esse valor.

0
2Vi
0
π/2 π t
Vi
i L
0
0 π/2 π t
(a) (b)
vC
Vi
L C
Fig. 1.23 - Tensão e corrente no circuito LCT série.
O circuito é representado pela expressões (1.57) e (1.58).
vC (t) = −Vi cos (wo t) + Vi (1.57)
i (t) L L = i o ) (1.58)
(t
V sen w
C
1.2.3 Inversão da Polaridade de um Capacitor
+ -
L
+
-
C
T
vC
vL
Fig. 1.24 - Circuito para inversão da polaridade de um capacitor.
Inicialmente o tiristor encontra-se bloqueado e o capacitor com
tensão vC=-VC0. No instante t=0 o tiristor é disparado. O capacitor
inverte a sua polaridade e o tiristor se bloqueia. A evolução de vC e iL no
plano de fase e em função do tempo está representada nas Figs. 1.25 e
1.26.

0
i L
0
π/2
vC
wot
L C
-VC0 VC0
Fig. 1.25 - Plano de fase para o circuito da Fig. 1.24.
VC0
0
0
VC0
i L
0
π/2 π t 0
(a) π/2 (b) π t
vC
L C
-VC0
Fig. 1.26 - Tensão e corrente para o circuito da Fig. 1.24.
1.2.4 Aumento da Tensão de um Capacitor
A. Primeiro Circuito

T1 T2
+
-
+ C
Vi -
L
vC
iL
Fig. 1.27 - Circuito para o aumento da tensão em um capacitor.
Disparando-se T1 e T2 sucessivamente, encontra-se as grandezas
representadas na Fig. 1.28.
0
0
3Vi
Vi
0
i L
-2Vi
π 2.π 3.π 4.π 0
t π 2.π 3.π t 4.π
(a) (b)
vC
L C
4Vi
2Vi
-2Vi
-4Vi -4Vi
Fig. 1.28 - Formas de onda para o circuito da Fig. 1.27.
A representação do comportamento do circuito no plano de fase
encontra-se na Fig. 1.29.
0
4Vi
2Vi
0
vC
L
L C
i
2Vi 4Vi
-2Vi
-4Vi
-4Vi -2Vi

Como se trata de um circuito ideal, sem elemento dissipativo, o
amortecimento é nulo e a energia acumulada no capacitor aumenta
indefinidamente.
B. Segundo Circuito
+
- C
L
+
Vi -
vC
iL 1 T
T2
Fig. 1.30 - Circuito para o estudo da evolução da tensão de um capacitor.
Seja VC0<0 e IL0=0, com T1 e T2 bloqueados. No instante t=0, T1 é
disparado. A tensão do capacitor começa a se inverter. Antes que a
corrente se anule, T2 é disparado. T1 se bloqueia no mesmo instante. A
corrente é comutada de T1 para T2. Uma parcela da energia é transferida
de Vi para C. A tensão no capacitor torna-se maior que Vi. As grandezas
em função do tempo estão representadas na Fig. 1.31.
Quando T1 conduz, tem-se a expressão (1.59).
vC(t) = −VC0 cos wo )
(t
)
(1.59)
Ao final desta etapa tem-se as condições iniciais apresentadas em
(1.60) e (1.61).
V1 = −VC0 cos (woτ (1.60)
L ) (1.61)
I1 =VC0 sen (woτ
C

2
0
0
i L
L C
0
wot a
i L
t 0
(a) (b)
vC
Vf
VC1
1 C
π 2 woτ π
− VC0
t o a π 2 woτ π w t
Fig. 1.31 - Tensão e corrente para o circuito da Fig. 1.30.
Quando T2 conduz, tem-se as expressões (1.62) e (1.63).
z 1 = ( V 1 − V )
+ jI L i 1 (1.62)
C
z(0) = V 1 + jI L 1 (1.63)
C
No final desta etapa a tensão no capacitor é dada por (1.64).
Vf = Vi + z1 (1.64)
Substituindo (1.60) e (1.61) em (1.62) obtém-se (1.65).
z1 2
= ( V C0 cos ( w o τ)− V 2
2 2
i
) + V C0
sen (w oτ
)
( )
(1.65)
Substituindo (1.65) em (1.64) tem-se (1.66).
= + ( ( τ)− ) 2
+ 2 2
C0
oτ
Vf Vi VC0 cos wo Vi V sen w (1.66)
Deste modo, fica demonstrado que o valor final da tensão do
capacitor é controlada pelo ângulo woτ .
Seja o caso particular em que . Assim a tensão Vf é dada
por (1.67) ou (1.68).
woτ = π

( ) 2
i i C0
Vf = Vi + − VC0 − Vi = V − V − V (1.67)
Vf = −VC0 (1.68)
A estrutura analisada aparece no estudo de alguns conversores a
comutação forçada e conversores ressonantes.
A representação no plano de fase aparece na Fig. 1.32.
0
0
z(0)
VC1 Vf
vC
i L
1 C
i L
L C
woτ
− VC0
1.2.5 Circuito RLC com Pouco Amortecimento
É muito comum o emprego em conversores de circuitos RLC com
alto fator de qualidade. Seja o circuito representado na Fig. 1.33.
C L R
+ -
+
Vi -
vC
iC
Fig. 1.33 - Circuito RLC de baixas perdas.

A solução da equação que representa o circuito é dada por (1.69) e
(1.70).
−
= −α −α (1.69)
i (t) o t
C − − γ
e sen (wt )
w
w
e sen (wt) I
V V
i o
w
o
t
L
I
v (t) V V V w t o t
= − ( − ) −α + γ + e −α sen (wt)
(1.70)
wC
e sen (wt )
w
o
C i i o
onde:
w 1 o =
LC
α = R ⎟⎠
2L
γ = arc tg w ⎞
2 2
⎛
α
⎜⎝
w2 = w − α
o
Se as perdas são pequenas, tem-se:
wo ≅ w (1.71)
X = L = w L ≅ 1
(1.72)
w C
C
ψ = X (1.73)
R
1
ψ
R
= =
α
2
2w L
w
(1.74)
π
γ = (1.75)
2
sen (w t − γ) = − cos (wt) (1.76)
Com estas aproximações obtém-se as equações (1.77) e (1.78).

wt
ψ
−
⎞
i (t) (1.77)
⎟⎠
⎛
⎜⎝
+
V −
V
= 2
o
i o
L sen (wt) I cos (wt) e
X
−
wt
[ ( ) ] ψ
= + − − 2
vC(t) Vi XIo sen (wt) Vi Vo cos (wt) e (1.78)
wt
−
e ψ e−α
pois: 2 =
t
Sabendo que:
2 2 3 3
t
6
t α
e 1 t t
2
−
α
−α = − α + (1.79)
E considerando α muito pequeno, pode-se adotar:
e−α t =1− α t (1.80)
Esta simplificação pode ser muito útil na solução de alguns
problemas práticos.
Seja a relação (1.81).
z(t) = v C (t) + j L i L (t)
(1.81)
C
Por manipulação matemática, obtém-se (1.82)
jwt t
z(t) Vi z1 e e = + − −α (1.82)
A expressão (1.82) é semelhante à expressão (1.44), na qual o
amortecimento incide sobre o valor de z1.
1.2.6 Circuito LC Submetido a uma Fonte de Tensão e
uma Fonte de Corrente

L
iL iC
+
- C I
+
- i V
vC
Fig. 1.34 - Circuito LC excitado por fonte de tensão e corrente.
Sejam as equações (1.83) e (1.84) que representam o circuito da Fig.
1.34.
Vi = vL (t) + vC (t) (1.83)
iL (t) = iC (t) + I (1.84)
Com as definições de tensão em um indutor e corrente em um
capacitor tem-se (1.85) e (1.86).
( )
di (t)
L
v (t) L L C C
L =
dt
d I i (t)
L
dt
di (t)
dt
+
= = (1.85)
dv (t)
i (t) = C C
C (1.86)
dt
Substituindo (1.86) em (1.85) obtém-se (1.87).
d v (t)
C
v (t) = LC (1.87)
2
2
L
dt
Substituindo (1.87) em (1.83) tem-se as equações (1.88) e (1.89).
C
2
i = + (1.88)
V LC 2 C
v (t)
d v (t)
dt
d v (t) C V
i
LC
v (t)
LC
C
dt
2
2
+ = (1.89)

Com as equações (1.88) e (1.88) obtém-se as soluções dadas por
(1.90) e (1.91).
v (t) = V − V cos w t + L − + (1.90)
( ) ( ) ( ) ( )i
C C0 i o IL0 I sen wot V
C
I I cos w t L
i (t) V V sen w t L
C
( ) ( ) ( ) ( ) I
C
C
L
L = − C0 − i o + L0 − o + (1.91)
Seja a definição de plano de fase dada por (1.92).
z(t) = v C (t) + j L i (t)
(1.92)
C
L Substituindo (1.90) e (1.91) em (1.92) tem-se (1.93).
⎛
⎡
= + (1.93)
z(t) V j L I V V j L
C
⎥⎦
− ( ) ( ) jw t
− + − + ⎟ ⎟
⎠
i C0 i IL0 I e o
C
⎤
⎢⎣
⎞
⎜ ⎜
⎝
Da equação (1.93) obtém-se (1.94) e (1.95).
z V j L o = i + (1.94)
I
C
z 1 = ( V C0 − V L i ) + j I
− ) (1.95)
C
L0 Assim o plano de fase pode ser representado por (1.96).
I
(jw t
z(t) zo z1 e o = + − (1.96)
A expressão (1.96) representa um círculo com centro em zo e com
raio z1, como pode-se observar na Fig. 1.35.

0
I L
0
z(0)
vC
z1
i L
L C
C
Vi
Fig. 1.35 - Plano de fase para o circuito apresentado na Fig. 1.34.
Dois casos particulares são muito freqüentes:
1O Caso: I =0
Com esta condição inicial tem-se (1.97).
⎡
z(t) V V V j L − ⎥⎦
( ) jw t
i C0 i IL0 e o
= + − + (1.97)
C
⎤
⎢⎣
Este caso particular já foi estudado no item 1.2.1 e representado pela
expressão (1.44).
2O Caso: Vi =0
Com esta condição inicial tem-se (1.98).
⎡
⎥⎦
z(t) j L I V V j L
− C
( ) ( ) jwt
C0 i IL0 I e
= + − + − (1.98)
C
⎤
⎢⎣
A equação (1.98) representa o circuito LC paralelo excitado por uma
fonte de corrente contínua, como está representado na Fig. 1.36.

+
-
C
I - vC
+
iL
vL
iC
L
Fig. 1.36 - Circuito LC paralelo excitado por uma fonte de corrente.
__________________________________________________
1.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Nos circuitos (a), (b) e (c) da Fig. 1.37, para L=100μH e C=25μF,
fazer a análise, representando graficamente as formas de onda de i, vL e
vC. O tiristor é disparado com o capacitor pré-carregado, com as
seguintes condições iniciais:
Circuito (a) vC(0) = 0V
Circuito (b) vC(0) = -50V
Circuito (c) vC(0) = -50V
Circuito (c) vC(0) = 50V
+
-
T
100V
+ -
L
+
C -
D
D
vL
L
T
+
- 100V
+ -
+
vC
C -
vL
L
-
+
C -
+
-
T +
100V
vC
(a) (b) (c)
vC
vL
Fig. 1.37 - Exercício 1.
2. Nos circuitos (a), (b), (c) e (d) da Fig. 1.38, tem-se L=100μH e
C=25μF. Fazer a análise dos circuitos supondo que vC (0) = −100V em
cada caso.
3. Seja o circuito da Fig. 1.39. L=30μH e C=120μF. O tiristor T é
disparado quando t=0. Descrever gráfica e analiticamente em função do
tempo as grandezas i, vL, vC e iD, considerando vC(0) = -75V.
4. Considerar o circuito da Fig. 1.40. Inicialmente o capacitor
encontra-se descarregado. T1 e T2 são disparados ciclicamente, após o

transitório do semiciclo anterior ter terminado. L=200μH e C=20μF. O
fator de qualidade do circuito é igual a 5. Determinar o valor da tensão
final do capacitor, depois de um grande número de ciclos. Representar a
evolução de vC e iL ao longo do tempo e no plano de fase.
vL
+ -
L
+
C -
D
T
T + -
L
+
- C D
vC
(a) (b)
vC
vL
T
vL
+ -
L
+-
C
D
T
+ -
L
+-
C
vC
(c) (d)
vC
vL
+
iD
L
D
-
T
i
+
vL
100V- - +
75V
+-
vC C
5. Seja o circuito da Fig. 1.41. C=300μF e VC0=0V. O valor de di/dt
máximo que o tiristor pode tolerar é igual a 100A/μs. Determinar o valor
mínimo de L para que esse valor seja respeitado.
O tiristor T é disparado quando t=0 e a corrente inicial no indutor é
nula.
6. Seja o circuito da Fig. 1.42. N1=100 e N2=200. A chave S é
aberta quando t=0, após ter permanecido fechada durante um tempo

muito longo. A indutância magnetizante do transformador é igual a
200μH. Estabelecer as expressões analíticas e representar graficamente
em função do tempo.
C
L
+
Vi -
T1 T2
R
L
-
+
C -
+
-
T +
600V
vL
vC
1Ω
+ -
D
S
+
Vi -
N1 N2
vS
7. Seja a estrutura da Fig. 1.43. Os tiristores T1 e T2 são disparados
simultaneamente, complementarmente a T3 e T4. Determinar o valor da
tensão vC depois de um grande número de ciclos. T1 e T2 são disparados
inicialmente e VC0=-100V. Representar as grandezas vC e iL no plano de
fase. Para garantir o bloqueio, os tiristores somente são disparados após a
corrente iL ter se anulado. Considerar Vi=100V e α=10.
8. Considere os circuitos (a), (b) e (c) da Fig. 1.44. O interruptor S
encontra-se inicialmente fechado. No instante t=0, S é aberto. Mostrar o
funcionamento de cada circuito em função do tempo e no plano de fase.

+
100V-
C L
- +
V =100V
T1
T3
R
T2
T4 C0
S
L
S C
I I I D1
C L
S
D C L
(a) (b) (c)
D2
9. Seja o circuito da Fig. 1.45. Inicialmente o tiristor T encontra-se
bloqueado. Antes do disparo do tiristor a corrente I circula pelo diodo. No
instante t=0 o tiristor é disparado. Descrever o funcionamento do circuito,
representar vC e iL em função do tempo e no plano de fase. As condições
iniciais são nulas.
I L < .
Considerar C Vi
C D
T L
+
i - I V
10. Seja os circuitos (a) e (b) da Fig. 1.46. Considerar as condições
iniciais nulas. No instante t=0 o interruptor S é aberto. Descrever o
funcionamento do circuito, obter as grandezas vC e iL e representá-las ao
longo do tempo e no plano de fase, sabendo que S é novamente fechado
quando vC = 0.

S
D2
I C
I
D1
L
+
-
S
L
C
D1
(a) (b)
D2
Vi +
i - V
11. Seja o circuito da Fig. 1.47. T1 e T2 são disparados
complementarmente, com freqüência igual a 6kHz. Sabendo-se que
L=100μH, C=5μF e R=0,447Ω, determinar:
a) Etapas de funcionamento.
b) Formas de onda para iL e vC.
c) Valores de pico de iL e vC em regime permanente.
d) Potência dissipada no resistor R.
+
-
100V
100V
+
-
L C R
- +
T1
T2
iL vC
12. Seja o circuito da Fig. 1.48. A chave S permanece fechada
durante um tempo T1 e em seguida é aberta. Determinar o tempo de
desmagnetização do transformador, sendo Vi=100V, L=1H e T1=1s.
D
S
+
Vi - N 2N
13. Obter as expressões (1.41), (1.42), (1.76), (1.77), (1.89), (1.97) e
(1.98) do texto.

CAPÍTULO II
CONVERSOR SÉRIE RESSONANTE
2.1 INTRODUÇÃO
Estes conversores utilizam um circuito série ressonante, que
propicia a comutação não dissipativa nas chaves. A diminuição das
perdas por comutação possibilita um aumento na freqüência de
chaveamento, reduzindo o volume e peso dos elementos reativos.
Entretanto, as perdas por condução nas chaves aumentam devido à
circulação de uma energia reativa proveniente do circuito ressonante.
Existem várias configurações possíveis, porém neste trabalho será
abordada a configuração apresentada na Fig. 2.1.
.
+
V i .
- Lt2
+
Co Ro Vo
-
S1 D1
C r /2
S2 D2
D3 D4
D5 D6
Lt1
Lr
C r /2
Fig. 2.1 - Conversor Série Ressonante CC-CC.
2.2 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO EQUIVALENTE
Supondo que o número de espiras do primário é igual ao número de
espiras do secundário, e que a tensão induzida no primário é igual a Vo′ ,
obtém-se a configuração mostrada na Fig. 2.2 quando a chave S1 está
conduzindo.

+
-
+
-
V' o
iCr1
- + - +
S1 D1
C r /2
S2 D2
+
Vi -
Lr
C r /2
iCr2 iLr
vCr1
vCr2
Fig. 2.2 - Chave S1 conduzindo.
Da malha externa de tensão obtém-se a equação (2.1):
Lr
i = o′ + r + (2.1)
V V L Cr2
v (t)
di (t)
dt
Da malha interna de tensão obtém-se a equação (2.2):
Lr
= o′ + r − (2.2)
0 V L Cr1
v (t)
di (t)
dt
Somando (2.1) e (2.2) e dividindo por dois, obtém-se a equação
(2.3):
v (t) v (t)
i −
= ′ + + (2.3)
V Lr Cr2 Cr1
2
di (t)
dt
V L
2
o r
Por inspeção obtém-se (2.4).
Vi = vCr1(t) + vCr2 (t) (2.4)
Derivando-se a equação (2.4) e multiplicando por Cr/2, obtém-se
(2.5):
dv (t)
= ⎛ (2.5)
+ ⎛ ⎟⎠
0 ⎟⎠
r Cr 1 r Cr 2 dt
C
2
dv (t)
dt
C
2
⎞
⎜⎝
⎞
⎜⎝
Com (2.5) e com a definição de corrente no capacitor tem-se (2.6).
iCr1(t) = −iCr2 (t) (2.6)

Escrevendo a equação do nó 1, obtém-se (2.7).
iCr1(t) + iLr (t) = iCr2 (t) (2.7)
i (t)
i (t) i (t) Lr
− Cr1 = Cr2 = (2.8)
2
As tensões nos capacitores Cr1 e Cr2 são dadas por (2.9) e (2.10).
i (t)
i (t) dt 1
v (t) 1 Lr
= ∫ = ∫− dt
Cr1 (2.9)
2
C 2
C 2
r
Cr1
r
i (t)
i (t) dt 1
v (t) 1 Lr
= ∫ = ∫ dt
Cr2 (2.10)
2
C 2
C 2
r
Cr2
r
Substituindo (2.9) e (2.10) em (2.3), obtém-se (2.11).
1
di (t)
= ′ + + ∫i (t) dt
i (2.11)
C
dt
V L
V
2
Lr
r
L r
o r
A equação (2.11) resultante corresponde ao circuito equivalente
mostrado na Fig. 2.3.
Observa-se que o circuito elétrico equivalente obtido corresponde
também ao circuito equivalente do conversor série ressonante meia-ponte
mostrado na Fig. 2.4. Assim, a análise matemática será feita utilizando-se
este conversor.
+
-
Cr iLr Lr
vCr
+ -
+ -
+
-
Vi /2 +-Vo'
Fig. 2.3 - Circuito elétrico equivalente.
Cap. II – Conversor Série Ressonante 35

V' o
S1 D1
- + a b
D2 2 S +-
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
+-
Vi /2
Fig. 2.4 - Conversor Série Ressonante Meia-Ponte.
2.3 ANÁLISE PARA OPERAÇÃO NO MODO DE
CONDUÇÃO CONTÍNUA
No modo de condução contínua a entrada em condução das chaves é
dissipativa e seu bloqueio é suave (comutação por zero de corrente –
ZCS: Zero Current Switching). Portanto, as perdas por comutação não
são totalmente eliminadas. Além disso, a tensão de pico no capacitor
ressonante, que é função da freqüência de chaveamento, pode atingir
valores bem maiores do que o da fonte de alimentação.
2.3.1 Etapas de Funcionamento
Para simplificar os estudos teóricos, todos os componentes ativos e
passivos serão considerados ideais. O conversor está referido ao lado
primário do transformador, a tensão induzida no primário é denominada
Vo′ e a corrente no primário I′o .
1a Etapa (t0, t1)
A chave S2 estava conduzindo na etapa anterior. No instante t0 a
corrente no indutor atinge zero, colocando o diodo D2 em condução,
como mostrado na Fig. 2.5. Nesta etapa ocorre devolução de energia para
a fonte Vi/2.
A chave S2 deve ser bloqueada durante a condução do diodo D2.
Assim seu bloqueio é suave, pois enquanto o diodo conduz a tensão na
chave é zero.
Esta etapa termina quando a chave S1 for comandada a conduzir.

+
-
a b
+
+ -
-
V' o
D1
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
2a Etapa (t1, t2)
A segunda etapa está representada na Fig. 2.6. No instante t1 a
chave S1 é habilitada, ocorrendo então uma comutação dissipativa entre o
diodo D2 e esta chave. O capacitor Cr se descarrega e então se carrega
com a polaridade oposta. A corrente no indutor cresce e decresce
senoidalmente até atingir zero. No final desta etapa o capacitor estará
carregado com uma tensão VC0, e a corrente no indutor será igual a zero.
Durante esta etapa a fonte transfere energia para a carga.
+
-
a b
+
+ -
-
V' o
D1
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
3a Etapa (t2, t3)
Quando a corrente no indutor atinge zero no instante t2, o diodo D1
entra em condução devolvendo energia para a fonte Vi/2, como mostrado
na Fig. 2.7. A chave S1 deve ser bloqueada durante a condução do diodo
D1. Seu bloqueio é não dissipativo, pois enquanto o diodo conduz a
tensão na chave é zero.
Esta etapa termina quando a chave S2 é comandada a conduzir.

No final desta etapa a tensão no capacitor é VC1, e a corrente no
indutor é –I1.
+
-
a b
+
- +
-
V' o
D1
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
Fig. 2.7 - Terceira etapa.
4a Etapa (t3, t4)
A quarta etapa de funcionamento está representada na Fig. 2.8. No
instante t3, S2 é habilitada, ocorrendo uma comutação dissipativa entre o
diodo D1 e esta chave.
Durante esta etapa a fonte transfere energia à carga.
No final desta etapa o capacitor está carregado com uma tensão
VC0, e a corrente no indutor é igual a zero. Quando a corrente no indutor
ressonante atinge zero, o diodo D2 entra em condução, iniciando-se outro
período de funcionamento.
+
-
a b
+
- +
-
V' o
D1
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
Fig. 2.8 - Quarta etapa.
2.3.2 Formas de Onda Básicas
As formas de onda mais importantes, com indicação dos intervalos
de tempo correspondentes, para as condições idealizadas descritas na
Seção 2.3.1, estão representadas na Fig. 2.9.

t
t
t
t
t
t
-(I 1 )
(VC 0 )
comando
S1
comando
S2
iS2
vS2
iS1
iLr
vS1
(I 1 )
vCr
(VC 1 )
t0 t1 t2 t3 t4
- (VC 1 )
- (VC 0 )
Fig. 2.9 - Formas de onda básicas.

2.3.3 Equacionamento
Nesta seção são obtidas as expressões de vCr(t) e iLr(t) para os
diferentes intervalos de tempo. Por ser o circuito simétrico, será analisado
apenas meio período de operação.
A. Primeira Etapa
Seja as seguintes condições iniciais:
i (t ) 0
⎩ ⎨ ⎧
=
Lr 0
v (t ) = −
V
Cr 0 C0
Do circuito equivalente da primeira etapa obtém-se as expressões
(2.12) e (2.13):
di (t)
V = − − − ′ (2.12)
i v (t) V
Cr o
Lr
r
dt
L
2
dv (t)
i Cr
Lr (t) = C r (2.13)
dt
Aplicando a transformada de Laplace às equações (2.12) e (2.13),
obtém-se as expressões (2.14) e (2.15):
( )
i o = − −
sL i (s) v (s)
V 2 V
s
r Lr Cr
+ ′
(2.14)
iLr (s) = sCr vCr (s) + Cr VC0 (2.15)
Definindo-se:
V
V i
1 =
2
w = 1
o L C
r r
Obtém-se então a expressão (2.16) para a tensão no capacitor Cr.
( )
( ) ( 2 )
− + ′
= (2.16)
o
2
V
C0
V V w
2
o
2
2
1 o o
Cr
s w
s
s s w
v (s)
+
−
+
Aplicando-se a anti-transformada de Laplace à expressão (2.16),
obtém-se a expressão (2.17):

vCr (t) = −(− V1 − Vo′ + VC0 )cos (wo t) − V1 − Vo′ (2.17)
Derivando a expressão (2.17), e multiplicando-a por Cr, obtém-se a
corrente no indutor, parametrizada em função da impedância
característica z.
iLr (t) z = (− V1 − Vo′ + VC0 )sen (wot) (2.18)
Sendo:
r
C
r
L
z =
A.1 Plano de Fase da Primeira Etapa
Seja a definição (2.19).
r
z 1 (t) = v Cr (t) + j i Lr
(t)
(2.19)
Substituindo (2.17) e (2.18) em (2.19), obtém-se (2.20) e (2.21).
L
C
r
z1(t) = −V1 − Vo′ − (− V1 − Vo′ + VC0 )cos( wot) + j(− V1 − Vo′ + VC0 )sen( wot) (2.20)
( ) jw t
z1(t) V1 Vo V1 Vo VC0 e o = − − ′ + + ′ − − (2.21)
Na Fig. 2.10 é apresentado o plano de fase relativo à expressão
(2.21).

0
VCr
R1
L
C
i
r
r
Lr
V 2 V 2 V 0 C o 1 − ′ − − Vo ′
−VC0 −V1−
0
Fig. 2.10 - Plano de fase da primeira etapa.
Do plano de fase, obtém-se (2.22)
R1 = VC0 − V1 − Vo′ (2.22)
B. Segunda Etapa
i (t ) I
⎩ ⎨ ⎧
=
Lr 0 1
v (t ) = −
V
Cr 0 C1
Do circuito equivalente da segunda etapa obtém-se as expressões
(2.23) e (2.24).
V = L + + ′ (2.23)
Cr o
di (t)
Lr
1 r v (t) V
dt
dv (t)
i Cr
Lr (t) = C r (2.24)
dt
obtém-se as expressões (2.25) e (2.26):
1 o = − +
sL i (s) L I v (s)
V V
s
r Lr r 1 Cr
− ′
(2.25)
iLr (s) = sCr vCr (s) + Cr VC1 (2.26)

Substituindo (2.26) em (2.25), obtém-se (2.27) e (2.28).
1 o = + − +
sL (sC v (s) C V ) L I v (s)
V V
s
r r Cr r C1 r 1 Cr
− ′
(2.27)
( )
( ) ( ) ( w L I
2 )
= (2.28)
o
2
r 1
2
o
2
o
2
V
C1
− ′
V V w
2
o
2
2
1 o o
Cr
s w
s w
s
s s w
v (s)
+
+
+
−
+
Aplicando-se a anti-transformada de Laplace à equação (2.28),
obtém-se a expressão (2.29):
vCr (t) = −(V1 − Vo′ + VC1)cos (wo t) + I1 z sen (wo t) + V1 − Vo′ (2.29)
Derivando a equação (2.29), e multiplicando-a por Cr, obtém-se a
corrente no indutor, parametrizada em função da impedância
característica z.
iLr (t) z = (V1 − Vo′ + VC1)sen (wot) + I1 z cos (wot) (2.30)
B.1 Plano de Fase da Segunda Etapa
Seja a definição (2.31).
z2 (t) = vCr (t) + jz iLr (t) (2.31)
Substituindo (2.29) e (2.30) em (2.31), obtém-se a expressão (2.32)
e (2.33).
( )
= − ′ − − ′ + + +
z (t) V V V V V cos (w t) I z sen (w t)
2 1 o 1 o C1 o 1 o
j[(V V V )sen (w t) I z cos (w t)]
+ − ′ + +
1 o C1 o 1 o
(2.32)
( jw t
z2 (t) V1 Vo V1 Vo VC1 jI1 z)e o = − ′ − − ′ + + − (2.33)
Na Fig. 2.11 é apresentado o plano de fase relativo à equação (2.33).

0
VC0
L
r
v Cr
R2
C
-i
r
1
L
C
i
r
r
Lr
L
C
r
−VC1 −V1−Vo′
i
r
1
0
Fig. 2.11 - Plano de fase da segunda etapa.
Do plano de fase, obtém-se (2.34).
R2 2
= ( V′ o − V C1 − V 2
2
1
) + (I 1
z) (2.34)
C. Condições Iniciais
Agrupando os planos de fase da primeira e segunda etapas em um
mesmo diagrama, obtém-se a representação mostrada na Fig. 2.12.

r
ψr ψo θ 0 V 0 C
v Cr
R2
L
C
i
r
r
Lr
−VC1
L
C
i
r
1
0
R1
-VC0
Fig. 2.12- Plano de fase da primeira e segunda etapa.
Do plano de fase da primeira e segunda etapa, obtém-se (2.35),
(2.36) e (2.37).
− VC1 = −V1 − Vo′ − R1 cos (ψr ) (2.35)
I1 z = R1 sen (ψr ) (2.36)
VC0 = R2 + V1 − Vo′ (2.37)
Substituindo (2.22) em (2.35) e (2.36), obtém-se (2.38) e (2.39).
− VC1 = −V1 − Vo′ − (VC0 − V1 − Vo′ )cos (ψr ) (2.38)
I1 z = (VC0 − V1 − Vo′ )sen (ψr ) (2.39)
( ) 2
( 1
) 2
1 o
VC0 = Vo′ − VC1 − V1 + I z + V − V′ (2.40)
Substituindo (2.38) e (2.39) em (2.40), obtém-se (2.41).

[ ]
q cos( )
(1 q) 1 cos( )
V V
C0
C0 − ψ
V
r
r
1
+ − ψ
= = (2.41)
Sendo:
V
o
V
1
q
′
=
[ ]
⎤
C1 (2.42)
⎥⎦
⎡
⎢⎣
q 1 − cos ( ψ
)
− ψ
V
C1
= = +
q cos ( )
(1 q)
V
V
r
r
1
1
+ −
I r
sen ( )
(1 q) (1 q)
1 ψ
= = (2.43)
q cos ( )
I z
V
− ψ
1 r
D. Ângulos ψr e ψo
Sejam as relações (2.44) e (2.45).
f
o s
= (2.44)
o
w
1
s 2
f
T
π
Ts = 2 (TD + TT ) (2.45)
onde: TD - tempo de condução do diodo
TT - tempo de condução da chave
Ts – período de chaveamento
Substituindo a equação (2.45) em (2.44), e definindo-se μo como a
relação entre a freqüência de chaveamento e a freqüência de ressonância,
obtém-se (2.46).
1 o
μ
w
( ) o
2 T T
D T 2
π
=
+
(2.46)
Isolando-se μo, obtém-se (2.47).

π
μ = (2.47)
o w T + w T
o D o T
Sejam as relações (2.48) e (2.49).
wo TD = ψr (2.48)
wo TT = θ (2.49)
Assim obtém-se (2.50).
π
o (2.50)
ψ + θ
μ =
r
Do plano de fase da Fig. 2.12, obtém-se (2.51).
θ = π − ψo (2.51)
Substituindo a equação (2.51) em (2.50), tem-se (2.52).
π
o (2.52)
ψ −ψ + π
μ =
r o
Rearranjando-se a equação (2.52) obtém-se (2.53).
ψ − ψ + π − 0
(2.53)
⎛
π
r o = ⎟ ⎟⎠
o
⎞
⎜ ⎜⎝
μ
Da Fig. 2.12 obtém-se (2.54).
⎞
⎟ ⎟⎠
⎛
⎜ ⎜⎝
z I
1
arc tan (2.54)
o V − V ′ +
V
ψ =
1 o C1
Dividindo a equação (2.54) por V1 e substituindo (2.42) e (2.43),
obtém-se (2.55) e (2.56).

⎤
⎥⎦
(1 + q) (1 −
q)
⎡
⎢⎣
⎞
r
q (1 − cos ψ
)
− ψ
⎛
− +
ψ ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
− ψ
ψ =
r
r
r
o
q cos
(1 q) (1 q)
sen
q cos
arc tan (2.55)
⎤
o (2.56)
⎥⎦
⎡
⎢⎣
(1 q) (1 q) sen
+ − ψ
r
− − ψ + + − ψ
ψ =
(1 q) (q cos ) q (1 q) (1 cos )
arc tan
r r
Substituindo (2.56) em (2.53) obtém-se (2.57).
+ − ϕ (2.57)
0
(1 q) (1 q) sen
⎛
π
− π + ϕ − ⎥⎦
r = ⎟ ⎟⎠
(1 q) (q cos ) q (1 q) (1 cos )
arc tan
o
r
r r
⎞
⎜ ⎜⎝
μ
⎤
⎡
⎢⎣
− − ϕ + + − ϕ
A equação (2.57) pode ser resolvida algebricamente para obter-se o
valor do ângulo ψr e ψo.
O tempo de condução das chaves (Δts) e dos diodos (Δtd) pode ser
calculado com o uso de (2.58) e (2.59).
o
o
s w
t
π −ψ
Δ = (2.58)
r
o
d w
t
ψ
Δ = (2.59)
E. Tensão no Capacitor
Dividindo a equação (2.29) por V1, e substituindo (2.42) e (2.43),
obtém-se (2.60).
[ ]
= Cr
=− + (2.60)
+ −
⎤
⎡
− ψ
v (t) r o
sen( )sen(w t) (1 q)
cos(w t) (1 q)(1 q)
Cr ψ + −
q cos( )
q 1 qcos( )
1
q cos( )
v (t)
V
r
o
r
r
1
− ψ
+ ⎥⎦
⎢⎣
− ψ
F. Corrente no Indutor Ressonante Lr
F.1 Durante a condução do diodo D2
Dividindo (2.18) por V1, e substituindo (2.41), obtém-se (2.61).

⎤
⎡
+ −
i (t) o
sen (w t)
(1 q) (1 q)
= = (2.61)
q cos ( )
i (t) z
V
⎢⎣
1 r
D
D ⎥⎦
− ψ
F.2 Durante a condução de S2
Dividindo (2.30) por V1, e substituindo (2.42), obtém-se (2.61).
[ ]
+ −
⎤
⎡
− ψ
= = + (2.62)
i (t) r o
sen( )cos(w t)
sen(w t) (1 q) (1 q)
q cos( )
q 1 qcos( )
q cos( )
1
i (t) z
V
r
o
r
r
1
S
S ψ
− ψ
+ ⎥⎦
⎢⎣
− ψ
G. Correntes de Pico, Média e Eficaz nas Chaves
Derivando a equação (2.62) e igualando a zero, obtém-se o instante
no qual a corrente na chave é máxima, dado por (2.63).
[ ]
⎤
o a (2.63)
⎥⎦
⎡
⎢⎣
q - cos ( ψ ) + q 1 − q cos ( ψ
)
r r
+ − ψ
=
(1 q) (1 q) sen ( )
w t arc tan
r
Substituindo (2.63) em (2.62), obtém-se a corrente de pico nas
chaves, dada por (2.64).
[ ]
+ −
⎞
⎛
− ψ
= = + (2.64)
i r o a
sen( )cos(w t )
sen(w t ) (1 q)(1 q)
q cos( )
q 1 q.cos( )
1
q cos( )
i z
V
r
o a
r
r
1
S
S
pico
pico
ψ
− ψ
+ ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
− ψ
A corrente média nas chaves é calculada de acordo com a expressão
(2.65).
Δ
I 1 (2.65)
∫
Smed =
i (t) dt
t s
0
S
T
s
Substituindo (2.62) em (2.65), e resolvendo-se a integral, obtém-se
(2.66).
[A[1 cos ( )] Bsen ( )]
f f
Smed
I o o
Smed − π − ψ + π − ψ
= = (2.66)
2
I z
V
s o
1
π
A corrente eficaz nas chaves é calculada de acordo com a expressão
(2.67).

Δ
I 1 (2.67)
∫[ ]
Sef =
i (t) dt
t s
0
2
S
T
s
Sendo:
f = 1 ,
s T
s
f π
s
2
w T
o o s
f
= ,
f
o s
o
w
1
s 2
f
T
π
=
(2.68).
( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
Sef (2.68)
⎦
⎡
A ( ) sen2( )
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎛ π−ψ
π−ϕ −
B ( ) sen2( )
+ π−ϕ +
⎣
⎞
⎟⎠
⎛ π−ψ
⎜⎝
⎞
ψ − π + ⎟⎠
⎜⎝
π
I z
Sef
= =
2
2AB sen( )
2
V 4
I
o
o
2
2
o
o
o
2
fs fo
1
Onde:
[ ]
q cos ( )
q 1 q.cos ( )
A 1
− ψ
(1 + q) (1 −
q)
= + , sen ( )
r
r
− ψ
B r
q cos ( )
r
ψ
− ψ
=
H. Correntes de Pico, Média e Eficaz nos Diodos em
Anti-Paralelo com as Chaves
A equação (2.61) é uma senóide, que atinge seu valor máximo em
t=π/2. Assim tem-se (2.69).
(1 + q) (1 −
q)
= = (2.69)
Dpico − ψ
q cos ( )
I z
Dpico
V
I
1 r
A corrente média nos diodos é calculada de acordo com a expressão
(2.70).
Δ
I 1 (2.70)
∫
D =
i (t)dt
D
med
t
0
D
T
s
(2.71).
= = [1 cos ( )
] (2.71)
(1 q) (1 q)
Dmed
⎡
+ −
I r
D med q cos ( )
⎥⎦
− ψ f f
2
I z
V
r
s o
1
⎤
⎢⎣
− ψ
π

A corrente eficaz nos diodos é calculada de acordo com a expressão
(2.72).
Δ
I 1 (2.72)
∫[ ]
Def =
i (t) dt
tD
0
2
D
T
s
(2.73).
[ ]
⎤
⎥ ⎥
Def (2.73)
⎦
⎡ ψ
⎢ ⎢
− ψ ⎥⎦
⎣
⎤
⎡
⎢⎣
(1 + q) (1 −
q)
− ψ
f f
π
I z
Def
= =
sen ( )
2
q cos ( )
2
V
I
2
r
r
2
r
s o
1
I. Corrente Eficaz no Indutor e Capacitor
A corrente eficaz no indutor, igual à corrente eficaz no capacitor,
que é 2 vezes a raiz quadrada da soma dos quadrados das correntes
eficazes nos diodos e chaves, é dada por (2.74)
( ) ( )2
I = I = = + (2.74)
Def
2
I z
Lref Cr ef 2 I I
Sef
Cr ef
V
1
J. Correntes Média e Eficaz na Fonte E
Vo′
( Smed Dmed
A corrente média na fonte , dobro da soma das correntes médias
nas chaves e nos diodos, é dada por (2.75).
I z
omed
omed 2 I I
I = +
V
1
′
′ = ) (2.75)
Vo′
( ) ( )2
A corrente eficaz na fonte , que é a mesma corrente eficaz no
indutor e capacitor, é dada por (2.76).
Def
2
I z
I = +
oef 2 I Sef
I
oef
V
1
′
′ = (2.76)

K. Potência Fornecida pela Fonte Vo′
A potência fornecida pela fonte é calculada de acordo com a
expressão (2.77).
Vo′
Δ
P 1 (2.77)
∫
V ′ =
V i (t) dt
s
o
t
0
1 S
T
s
[ ] [ ]
⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
⎤
1 cos( ) (1 q)(1 q)
q1 qcos( )
1
P z
s o r
V
′ sen( )sen( )
P r o
ψ − π ψ ⎥⎦
⎡
− ψ
⎢⎣
+ −
⎤
+ ψ − π − ⎥⎦
⎡
⎢⎣
− ψ
− ψ
+
π
′
= =
q cos( )
1 cos( )
f f
V
r
o
r
2
1
V
o
o
(2.78)
L. Correntes de Pico, Média e Eficaz nos Diodos da
Ponte Retificadora
A corrente de pico nos diodos retificadores, igual à corrente de pico
nas chaves, é dada por (2.79).
I = = (2.79)
Spico
I z
DRpico
DRpico I
V
1
A corrente média dos diodos da ponte retificadora, para relação de
transformação unitária, é a soma das corrente médias nos diodos e chaves
do primário do transformador, e é dada por (2.80).
I z
I = = + (2.80)
DRmed I I
Smed Dmed
DRmed
V
1
A corrente eficaz dos diodos da ponte retificadora, para relação de
transformação unitária, é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados
das correntes eficazes nas chaves e diodos do primário do transformador,
e representada por (2.81).
( ) ( )2
I = = + (2.81)
Def
2
I z
DRef I I
Sef
DRef
V
1

2.3.4 Representação Gráfica dos Resultados da Análise
A. Ângulos ψr e ψo
Os ábacos dos ângulos ψr e ψo são traçados nesta seção. O ângulo
ψr é obtido algebricamente pela expressão (2.82) e o ângulo ψo é
calculado com a expressão (2.83).
(1+ q) (1- q) sen ( )
⎛
ψ (2.82)
π
− π + ϕ − ⎥⎦
r = ⎟ ⎟⎠
[ ] [ ( )] 0
(1- q) q cos ( ) (1+ q) q 1 cos ( )
arc tan
o
r
r r
⎞
⎜ ⎜⎝
μ
⎤
⎡
⎢⎣
− ψ + − ψ
⎤
(1 + q) (1 − q) sen ( ψ
)
r
o (2.83)
[ ] ( [ ] )⎥⎦
⎡
⎢⎣
− − ψ + + − ψ
ψ
(1 q) q cos ( ) (1 q) q 1 cos ( )
= arc tan
r r
μo= 0,5
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,87
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
200o
150o
100o
50o
0 o
q
ψr
Fig. 2.13 – Ângulo ψr em função do ganho estático q, tendo μo como parâmetro.

0,87
0,85
0,80
0,75
0,70
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
80o
60o
40o
20o
0 o
20o
0,65
μo= 0,5
ψo
q
Fig. 2.14 –Ângulo ψo, em função do ganho estático q, tendo μo como parâmetro.
B. Característica de Saída
A característica de saída foi traçada utilizando-se a expressão (2.84).
A corrente média na fonte Vo′ está parametrizada em função da relação
(z/V1). Observa-se na Fig. 2.15 que para uma determinada relação de
freqüências (μo=fs/ff), na ocorrência de um curto-circuito na carga (q=0),
a corrente de curto-circuito fica limitada. Ou seja, este conversor pode ser
auto-protegido contra curto-circuito na carga, se for apropriadamente
projetado.
⎞
⎞
⎛
omed (2.84)
+ −
I A 1 cos ( ) Bsen ( ) (1 q)(1 q) r
[ ( ) ] ( )⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
′ = 1 cos ( )
⎝
ψ − ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
− ψ
− π − ψ + π − ψ +
μ
π
q cos ( )
r
o o
o

0,5 1 1,5 2 2,5 3
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
μo=0,50 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,87
q
I′omed
Fig. 2.15 – Característica de saída.
C. Esforços nos Semicondutores
Os ábacos da corrente média e eficaz nas chaves, corrente média nos
diodos em anti-paralelo com as chaves e nos diodos da ponte retificadora,
são traçados nesta seção. Todas as corrente estão parametrizadas em
função da relação (z/V1).
0,87
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,5
μo=
q
ISmed
Fig. 2.16 – Corrente média nas chaves em função do ganho estático q,
tendo μo como parâmetro.

0,87
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
2
1,5
1
0,5
0
0,5
μo=
q
ISef
Fig. 2.17 – Corrente eficaz nas chaves em função do ganho estático q,
0,87
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,50
μo=
q
IDmed
Fig. 2.18 – Corrente média nos diodos em anti-paralelo com as chaves em
função do ganho estático q, tendo μo como parâmetro.

0,87
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
1,5
1
0,5
0
0,50
μo=
q
IDRmed
Fig. 2.19 – Corrente média nos diodos da ponte retificadora em função do
ganho estático q, tendo μo como parâmetro.
D. Tensão de Pico no Capacitor
Nesta seção é traçado o ábaco da tensão de pico no capacitor,
parametrizada em relação a V1. Pode-se observar que a tensão de pico no
capacitor pode atingir valores bastante elevados.
0,87
0,85
0,80
0,75
0,70
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
6
5
4
3
2
1
0
0,65
μo=0,50
q
VC0
Fig. 2.20 - Tensão de pico no capacitor, em função do ganho estático q,

2.3.5 Metodologia e Exemplo de Projeto
Nesta seção são apresentadas metodologia e exemplo de projeto do
conversor estudado, empregando os ábacos e expressões apresentados nas
seções anteriores.
Sejam as seguintes especificações:
Vi = 400V
Vo = 50V
Io = 10A
Po = 500W
Pomin = 50W
f 40 103Hz
smax = ×
A. Operação com Potência Nominal
Escolhendo-se uma relação de freqüências (μo=fs/fo) de 0,87 para
obter-se uma ampla faixa de variação de carga, e I′omedmax = 2,5 ,
obtém-se o valor do ganho estático (ábaco da Fig. 2.15):
0,6
V
′
V 2
q
i
o =
=
Portanto:
V Vi
o′ = = × =
0,6 120V
q 400
2
2
2,4
120
1 = =
50
V
o
V
N
N
o
2
′
=
4,16667A
10 1
′omed = o = × =
2,4
N
N
I I
2
1

Calcula-se então os ângulos Ψr e Ψo.utilizando-se as expressões
(2.82) e (2.83).
ψr =1,182 rad
ψo = 0,713 rad
Com o valor de I′omed , obtém-se uma relação para Lr e Cr.
I L
1
r
r
omed
omed V
C
I
′
′ =
14400
L 2 2
2,5 200
⎛ ×
=
⎞
⎛
⎟⎠
r 4,16667
⎟ = I V
omed 1
I
C
omed
r
⎞
⎜ ⎜⎝
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
′
′
=
Com a relação de freqüências (μo) e com a freqüência de
chaveamento, calcula-se a freqüência de ressonância e uma segunda
relação para Lr e Cr:
45977,0115Hz
40 ×
10
0,87
0,87
f
f
3
smax
o = =
=
288882,7586 rad / s
w 1
o = =
L C
r r
12
Lr Cr 11,98276 10= × −
Assim:
C = 28,9976 × 10 −
9 r
F
L = 413,233 × 10 −
r
6H
Os tempos de condução das chaves e dos diodos são calculados
utilizando-se as expressões (2.58) e (2.59).

t 6
8,407 10 s
0,713
288882,75
w
o
o
s
= × −
π −
=
π − ψ
Δ =
t 6
4,093 10 s
1,182
288882,75
w
r
o
D
= = × −
ψ
Δ =
As condições iniciais e os esforços nos semicondutores são então
calculados, de acordo com as expressões apresentadas na seção 2.3.3.
VC0 = 889,173V VC1 = 538,904V I1 = 4,483A
ISpico = 6,854A ISmed =1,667A ISef = 3,083A
IDpico = 4,843A IDmed = 0,417A IDRmed = 2,084A
B. Operação com Potência Mínima
Uma vez definidos os valores de Lr e Cr, a freqüência de
ressonância está determinada, como calculado anteriormente. Para que se
tenha uma variação de potência é necessário alterar-se a freqüência de
chaveamento.
Sejam as seguintes especificações para potência mínima:
Pomin = 50W Vo = 50V Io = 1A
Definindo-se I′omedmin =1, e para q=0,6 obtém-se a relação de
freqüências para a potência mínima:
0,70
f
o
f
s
μo = =
Logo:
fsmin = fo μo = 45977 × 0,7 = 32183,91Hz
Calcula-se então os ângulos Ψr e Ψo.utilizando-se as expressões
(2.82) e (2.83).
ψr = 1,756 rad ψo = 0,409 rad
Os tempos de condução das chaves e dos diodos são calculados
utilizando-se as expressões (2.58) e (2.59).

t 6
9,458 10 s
0,409
288882,75
w
o
o
s
= × −
π −
=
π − ψ
Δ =
t 6
6,078 10 s
1,756
288882,75
w
r
o
D
= = × −
ψ
Δ =
As condições iniciais e os esforços nos semicondutores são então
calculados, de acordo com as expressões apresentadas na seção 2.3.3.
VC0 = 483,235V VC1 = 289,941V I1 = 1,345A
ISpico = 3,378A ISmed = 0,722A ISef =1,403A
IDpico =1,368A IDmed = 0,18A IDRmed = 0,902A
Escolhendo-se q, I′omedmax e I′omedmin , fica definida uma região
de operação, conforme mostrado na Fig. 2.21.
0,5 1 1,5 2 2,5 3
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
μo=0,50 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,87
Região de
Operação
q
I′omed
Fig. 2.21 - Região de operação.

C. Cálculo das indutâncias do primário Lt1 e
secundário Lt2
Sendo a corrente de pico no indutor igual a 6,864A, supõe-se que a
corrente magnetizante seja 10% deste valor, ou seja, 0,6864A.
Assim:
( )
L 3
1 10 H
25 10
4
50 2,4
0,6864
T
4
V N N
o 1 2
I
6
s
Lp
T1
−
−
= ×
×
×
×
= =
⎞
⎛
× × = ⎟ ⎟⎠
⎛
L L 6
173,6 10 H
1 10 1
2,4
N
N
2
3
2
2
1
T2 T1
− = × − ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
⎞
⎜ ⎜⎝
=
A indutância de dispersão para um coeficiente de acoplamento de
0,98, corresponde a 2% de Lt1, ou seja, 20μH.
2.3.6 Resultados de Simulação
O programa de simulação utilizado foi o PROSCES. Os
interruptores são modelados por uma resistência binária. Definiu-se uma
resistência de condução de 0,1Ω, e a de bloqueio de 1MΩ.
Foram feitas três simulação para a potência nominal, uma
considerando que o transformador induz no primário uma tensão Vo′ ,
uma utilizando-se um transformador com um fator de acoplamento
k=0,999999 e outra com k=0,99. Além disso foi feita uma simulação para
potência mínima, considerando que o transformador induz no primário
uma tensão Vo′ .
A. Operação com Potência Nominal e com Fonte de
Tensão Ideal como Carga
O circuito simulado ideal é apresentado na Fig. 2.22 e em seguida é
apresentada a listagem do arquivo de dados simulado.

3
+
-
a b
2
1
7
4 5 6
8
- +
+
-
V' o
D1
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
Fig. 2.22 - Circuito simulado.
Listagem do arquivo de dados:
v.1 2 1 200 0 0
v.2 3 2 200 0 0
v.3 7 8 120 0 0
cr.1 4 2 28.998n 539.629
t.1 3 6 0.1 1M 40k 0 0 1 0 8.5u
t.2 6 1 0.1 1M 40k 0 0 1 12.4989u 20.9989u
d.1 6 3 0.1 1M
d.2 1 6 0.1 1M
d.3 5 7 0.1 1M
d.4 6 7 0.1 1M
d.5 8 5 0.1 1M
d.6 8 6 0.1 1M
lr.1 5 4 413.23u 4.491
.simulacao 0 1m 0 0 1
Na Fig. 2.23 apresenta-se a tensão no capacitor Cr e a corrente no
indutor Lr e na Fig. 2.24 pode-se observar a tensão vab e a corrente no
indutor, nas chaves e em seus diodos em anti-paralelo. Na Fig. 2.25 (a) é
apresentada em detalhe a comutação nas chaves. Como se pode observar
a entrada em condução das chaves é dissipativa e o bloqueio é suave
(comutação por zero de corrente – ZCS). Na Fig. 2.25 (b) é mostrada a
corrente na fonte Vo′ .

(a) t (s)
vCr (V)
(b) t (s)
i Lr (A)
Fig. 2.23 – (a) Tensão no capacitor e (b) corrente no indutor.
t (s)
(a)
vab (V)
(b)
t (s)
iLr (A)
iD1
iS1 iD2
iS2
Fig. 2.24 – (a) Tensão vab e (b) corrente no indutor, nas chaves e seus diodos em
anti-paralelo.
Observa-se nestes resultados de simulação como os valores obtidos
estão próximos dos calculados. Isto porque o circuito foi simulado com a
fonte Vo′
, utilizada na análise teórica. As diferenças que ocorreram
podem ser atribuídas às perdas nas chaves (modelo de resistência
binária), que na análise teórica foram consideradas nulas.

(a) t (s)
vS2
vS1
iS2 × 50
iS1 × 20
t (s)
I ′o (A)
(b)
Fig. 2.25 – (a) Detalhe da comutação nas chaves e (b) corrente na fonte Vo ′
.
B. Operação com Potência Nominal e com
Transformador Ideal, Filtro Capacitivo e Carga
Resistiva
O circuito simulado é apresentado na Fig. 2.26. O fator de
acoplamento utilizado foi 0,999999. A listagem do arquivo de dados
simulado é apresentada a seguir.
Vi /2 S1
.
3
+
-
2
+
-
-
1
+
S3
+
-
.
4 5 6
7
6
8
9
10
Vo
D1
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
vCr iLr
Co Ro Ro
Lt1
Lt2
Fig. 2.26 - Circuito simulado.
v.1 2 1 200 0 0
v.2 3 2 200 0 0
cr.1 4 2 28.998n 539.629
c.2 8 9 50u
t.1 3 6 0.1 1M 40k 0 0 1 0 8.8u
t.2 6 1 0.1 1M 40k 0 0 1 0 12.4989u 21.2989u
t.3 8 10 0.1 1M 166.67 0 0 1 3m 6m

d.1 6 3 0.1 1M
d.2 1 6 0.1 1M
d.3 7 8 0.1 1M
d.4 6 8 0.1 1M
d.5 9 7 0.1 1M
d.6 9 6 0.1 1M
r.1 8 9 5
r.2 10 9 5
l.1 5 6 1m
l.2 7 6 0.1736m
lr.3 5 4 413.23u 4.491
m.1 l.1 l.2 0.416653m
.simulacao 0 2.1m 2m 0 1
Na Fig. 2.27 apresenta-se a tensão vab e a corrente no indutor, nas
chaves e em seus diodos em anti-paralelo. Na Fig. 2.28 é apresentado em
detalhes a comutação nas chaves S1 e S2. Praticamente não há diferença
entre esta simulação em relação à simulação com fonte de tensão Vo′ ,
por ter sido utilizado um fator de acoplamento elevado para o
transformador.
Nas Figs. 2.29 e 2.30 (a) observa-se a tensão, corrente e potência na
carga, respectivamente. Apesar de se utilizar um fator de acoplamento de
0,999999, existe uma pequena indutância de dispersão, que somando-se
com a indutância ressonante Lr diminui a freqüência de ressonância.
Pode-se observar no ábaco da Fig. 2.15 que um aumento na relação de
freqüência μo=fs/fo, corresponderá, para uma mesma carga, a um
aumento de q, ou seja, da tensão de saída, que é confirmado pela Fig.
2.29.
Na Fig. 2.30 (b) são apresentadas as tensões nos enrolamentos
primário e secundário do transformador.
Na Fig. 2.31 observa-se a dinâmica da tensão de saída, partindo de
condições iniciais nulas, e com uma variação da carga de 50% em 3ms.
No ábaco da Fig. 2.15 observa-se que um aumento de carga, mantendo-se
a freqüência de chaveamento constante, provocará uma diminuição de q,
ou seja, da tensão de saída. Na prática seria utilizada uma malha de

controle para detectar a mudança de carga e então variar a freqüência de
chaveamento, para manter a tensão de saída no valor desejado.
t (s)
(a)
vab (V)
(b)
t (s)
vC r (V)
i L r (A)
iD1
iS2
i iS1 D2
Fig. 2.27 - (a) Tensão vab e (b) tensão no capacitor, corrente no indutor, nas
chaves e seus diodos em anti-paralelo.
t (s)
vS2
vS1
iS2 ×20
iS1 ×20
Fig. 2.28 - Detalhe da comutação nas chaves.

t (s)
V′ o (V)
I ′o (A)
(a) (b)
t (s)
Fig. 2.29 – (a) Tensão de saída e (b) corrente de saída.
(a) t (s)
Po (W)
t (s)
(b)
v L t 1 (V)
v L t 2 (V)
Fig. 2.30 – (a) Potência de saída e (b) tensão nos
enrolamentos do transformador.
t (s)
V′ o (V)
Fig. 2.31 - Dinâmica da tensão de saída com condições iniciais nulas
e com uma variação de carga de 50% em 3ms.

C. Operação com Potência Nominal e com
Transformador Real, Filtro Capacitivo e Carga
Resistiva
O circuito simulado é o mesmo apresentado na Fig. 2.26, com o
fator de acoplamento modificado para 0,99. A listagem do arquivo de
dados simulado é apresentada a seguir.
v.1 2 1 200 0 0
v.2 3 2 200 0 0
cr.1 4 2 28.998n 539.629
c.2 8 9 50u
t.1 3 6 0.1 1M 40k 0 0 1 0 9.1u
t.2 6 1 0.1 1M 40k 0 0 1 0 12.4989u 21.5989u
t.3 8 10 0.1 1M 166.67 0 0 1 3m 6m
d.1 6 3 0.1 1M
d.2 1 6 0.1 1M
d.3 7 8 0.1 1M
d.4 6 8 0.1 1M
d.5 9 7 0.1 1M
d.6 9 6 0.1 1M
r.1 8 9 5
r.2 10 9 5
l.1 5 6 1m
l.2 7 6 0.1736m
lr.3 5 4 413.23u 4.491
m.1 l.1 l.2 0.4125m
indutor Lr. Os valores de pico são maiores devido à presença de uma
indutância de dispersão maior, que diminuiu a freqüência de ressonância,
aumentando a relação de freqüências fs/fo.
Na Fig. 2.33 são mostradas a tensão vab e a corrente no indutor, nas
chaves e em seus diodos em anti-paralelo. Na Fig. 2.35 é apresentada em
detalhes a comutação nas chaves S1 e S2. Observa-se que a entrada em

condução da chave é dissipativa. O bloqueio no entanto é suave
(comutação por zero de corrente - ZCS).
Na Fig. 2.35 e 2.36 (a) observa-se a tensão, corrente e potência na
carga, respectivamente. Um fator de acoplamento de 0,99 corresponde a
uma indutância de dispersão maior, que somando-se com a indutância Lr
diminuirá ainda mais a freqüência de ressonância, o que provocará um
aumento ainda maior tensão de saída, como se pode observar na Fig.
2.35. Na prática, o mais aconselhável é construir o transformador e medir
sua indutância de dispersão, para então construir o indutor Lr, de maneira
que a freqüência de ressonância não seja alterada.
Na Fig. 2.36 (b) são apresentadas as tensões nos enrolamentos
primário e secundário do transformador. Observa-se como a indutância
de dispersão deforma a tensão no primário do transformador.
Na Tabela I são apresentadas algumas grandezas calculadas e
obtidas por simulação. Para a simulação com a fonte Vo′ o erro é
pequeno. Nas simulações com transformador, mesmo com o fator de
acoplamento de 0,999999, uma pequena indutância de dispersão é
acrescentada ao circuito diminuindo a freqüência de ressonância e
aumentando a relação fs/fo. Por isto, o erro das simulações com
transformador é maior. Quanto menor o fator de acoplamento, maior a
indutância de dispersão e portanto maior o erro.
(a) t (s)
vCr (V)
(b) t (s)
i Lr (A)

(a) t (s)
vab (V)
i Lr (A)
A
(b) t (s)
iD1
iS1
iD2
iS2
Fig. 2.33 – (a) Tensão vab e (b) corrente no indutor, nas chaves e
seus diodos em anti-paralelo.
t (s)
vS2
vS1
iS2 × 20
iS1 × 20
Fig. 2.34 - Detalhe da comutação nas chaves.
t (s)
V ′o (V)
(a)
t (s)
I ′o (A)
(b)
Fig. 2.35 – (a) Tensão de saída e (b) corrente de saída.

t (s)
(a)
Po (W)
(b) t (s)
v L t 1 (V)
v L t 2 (V)
Fig. 2.36 – (a) Potência de saída e (b) tensão nos enrolamentos do
transformador.
TABELA I
Calculado
Simulação com
Fonte de
Tensão Vo′
Simulação com
Transformador
k=0.999999
Simulação com
Transformador
k=0.99
I′omed (A)
Io (A)
ISmed (A)
ISef (A)
ISpico (A)
IDmed (A)
IDRmed (A)
I1 (A)
VC1 (V)
VC0 (V)
4,16667
10
1,667
3,083
6,854
0,417
2,084
4,483
538,904
889,173
4,14
1,664
3,072
6,82
0,405
2,07
4,42
540
892,5
10,31
1,774
3,263
7,215
0,38
2,154
4,5
590
932,9
11,363
2,05
3,688
8,009
0,354
2,372
4,72
735
1038,432
D. Operação com Potência Mínima e com Fonte de
Tensão Ideal como Carga
O circuito simulado é o mesmo apresentado na Fig. 2.22, porém
com uma freqüência de chaveamento e tempo de condução das chaves

calculados para a potência mínima. A listagem do arquivo de dados
simulado é apresentada a seguir.
v.1 2 1 200 0 0
v.2 3 2 200 0 0
v.3 7 8 120 0 0
cr.1 4 2 28.998n 289.941
t.1 3 6 0.1 1M 32183.91 0 0 1 0 9.5u
t.2 6 1 0.1 1M 32183.91 0 0 1 0 15.537u 25.037u
d.1 6 3 0.1 1M
d.2 1 6 0.1 1M
d.3 5 7 0.1 1M
d.4 6 7 0.1 1M
d.5 8 5 0.1 1M
d.6 8 6 0.1 1M
lr.1 5 4 413.23m 1.344
indutor Lr e na Fig. 2.38 a tensão vab e a corrente no indutor, nas chaves
e em seus diodos em anti-paralelo. Na Fig. 2.39 (a) tem-se em detalhes a
comutação nas chaves. A entrada em condução é dissipativa e o bloqueio
é suave (comutação por zero de corrente – ZCS). Na Fig. 2.39 (b)
observa-se a corrente na fonte Vo′ .
Na Tabela II apresenta-se algumas grandezas calculadas e obtidas
por simulação. Observa-se o pequeno erro cometido na simulação.

(a) t (s)
vCr (V)
(b) t (s)
i Lr (A)
(a) t (s)
vab (V)
A
A
(b) t (s)
iS1 iD2
iD1
iS2
i Lr (A)
Fig. 2.38 – (a) Tensão vab e (b) corrente no indutor, nas chaves e seus diodos em
anti-paralelo.
vS2
(a) t (s)
vS1
iS2 ×20
iS1 × 20
t (s)
I ′o (A)
(b)
Fig. 2.39 – (a) Detalhe da comutação nas chaves e (b) corrente na fonte Vo′ .

TABELA II
Calculado Simulação com Fonte
de Tensão Vo′
I′omed (A)
ISmed (A)
ISef (A)
ISpico (A)
IDmed (A)
IDRmed(A)
I1 (A)
VC1 (V)
VC0 (V)
1,804
0,722
1,403
3,378
0,18
0,902
1,345
289,941
483,235
1,86
0,841
1,53
3,38
0,166
0,84
1,32
290
482,12
2.3.7 Análise Simplificada do Conversor Série Ressonante
A análise exata no domínio do tempo apresentada nos parágrafos
anteriores é complexa e trabalhosa.
Nesta seção apresenta-se a obtenção da característica de saída
empregando um procedimento muito mais simples e rápido, no domínio
freqüência.
Seja o conversor série ressonante com está representado na Fig.
2.40.
a
b
c
b
S1
S3
+ - +
-
D1
D2
S2
Lr Cr
V1 iLr vCr
Vo
D3
D4
S4
Fig. 2.40 – Conversor série ressonante.

No modo de condução contínua, a ponte S1,2,3,4 produz entre os
pontos a e b uma tensão retangular cuja amplitude é igual à V1.
A ponte retificadora formada por D1,2,3,4 produz entre os pontos c e
b uma tensão retangular e em fase com a corrente iLr, cuja amplitude é
igual à Vo′ .
O conversor encontra-se representado de uma maneira mais simples
na Fig. 2.41.
+
- Ponte
+
-
a
c Lr Cr
iLr
V1' Vo
b b
Io
V1 Vo'
Fig. 2.41 – Diagrama representativo do conversor série ressonante.
Seja as definições das equações (2.85), (2.86), (2.87) e (2.88).
1p V1 V 4
= (2.85)
π
op Vo V 4 ′
′ = (2.86)
π
z = jw L + 1 (2.87)
s s r jw C
s r
2
⎛
= − (2.88)
z 2
1 s ⎟⎠
⎟ w L
w C
s r
s r
⎞
⎜ ⎜⎝
Onde: V1p - amplitude da componente fundamental da tensão vab.
Vo′ p - amplitude da componente fundamental da tensão vcb.

iLp - amplitude da componente fundamental da corrente iLr.
Ignorando-se a presença das harmônicas de tensão e corrente, o
circuito pode ser representado por um diagrama fasorial, como
representado na Fig. 2.42.
zs ILp
ILp
V1
Vo′
Fig. 2.42 - Diagrama fasorial.
Do diagrama fasorial da Fig. 2.42, obtém-se (2.89).
V1p 2
= V′ 2
+ ( op
z ) 2
s I Lp
(2.89)
Substituindo (2.85), (2.86) e (2.88) em (2.89), obtém-se (2.90).
Lp
1
s
o
w
⎛
2 o
s
I
z
V
w
w
w
4 1 q
⎞
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
− = −
π
(2.90)
Sabe-se que:
I′omeds = 0,637 ILp (2.91)
Substituindo (2.91) em (2.90) e isolando Io, obtém-se (2.92).
⎞
⎟ ⎟⎠
1 q
⎛
⎜ ⎜⎝
−
⋅
π
−
=
′
′ =
s
r
2
r
s
omeds
1
omeds
w
w
w
w
4 0,637
V
z I
I (2.92)
Na Fig. 2.43 é apresentado o ábaco da característica de saída
utilizando-se a expressão simplificada (2.92). A característica de saída
obtida na análise simplificada é bastante semelhante à obtida através da
análise feita no domínio do tempo. Pode-se utilizar a análise simplificada

para um estudo inicial de um conversor, visto que o equacionamento é
muito mais simples, porém para se projetar, é necessário fazer algumas
correções.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
μo= 0,50 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,87
q
I′omed s
Fig. 2.43 - Característica de saída simplificada.
O erro cometido pelas simplificações feitas é calculado como mostra
a equação (2.93). Um gráfico do erro percentual é apresentado na Fig.
2.44.
100%
′ − ′
I I
omed omeds
ε = (2.93)
I
%
′
omed

0,87
0,85
0,80
0,75
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
100
ε%
80
60
40
20
0
0,65
0,70
μo=0,50
q
Fig. 2.44 - Erro percentual em função de q, tendo μo como parâmetro.
Observa-se que a medida que o ganho estático “q” aumenta o erro
cometido aumenta. Além disso para relações de freqüência (μo=fs/fo)
menores, o erro é maior.
2.4 ANÁLISE PARA OPERAÇÃO NO MODO DE
CONDUÇÃO DESCONTÍNUA
No modo de condução descontínuo as duas comutação, entrada em
condução e bloqueio, são suaves, do tipo ZCS. Assim, praticamente não
há perdas por comutação. Além disso, a tensão de pico no capacitor fica
limitada ao valor Vi. Porém os picos de corrente nas chaves são maiores,
aumentando as perdas por condução.
No modo de condução contínua a freqüência de chaveamento varia
entre 0,5fo ≤ fs ≤ fo
, porém no modo de condução descontínua esta
varia entre 0 ≤ fs ≤ 0,5 fo
, sendo que o limite entre os dois modos de
condução, também denominada condução crítica, ocorre em
fs = 0,5fo
2.4.1 Etapas de Funcionamento
1a Etapa (t0, t1)
No instante t0 a chave S1 entra em condução sem perda de
comutação, pois a corrente é nula no instante t0. A corrente no indutor

cresce senoidalmente, e o capacitor que estava carregado com uma tensão
negativa, começa a se descarregar. Durante esta etapa a fonte transfere
energia para a carga. Na Fig. 2.45 tem-se o circuito representativo desta
etapa.
Esta etapa termina quando a corrente no indutor se anula.
+
-
+
+ -
-
V' o
D1
a b
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
2a Etapa (t1, t2)
Esta etapa está representada na Fig. 2.46. No instante t1 a corrente
no indutor se inverte, e o diodo D1 começa a conduzir. Durante este
intervalo a chave S1 deve ser bloqueada. Assim seu bloqueio é não
dissipativo, pois enquanto o diodo conduz a tensão na chave é zero.
Esta etapa termina quando a corrente no indutor atingir zero
novamente.
+
-
+
- +
-
V' o
D1
a b
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
3a Etapa (t2, t3)
Quando a corrente no indutor atinge zero no instante t2, nenhuma
chave conduz, pois S1 foi bloqueada e ainda não existe ordem de
comando para S2. Na Fig. 2.47 tem-se a representação desta etapa.

Esta etapa termina quando a chave S2 é comandada a conduzir.
+
-
+
- +
-
V' o
D1
a b
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v i L r =0 Cr
Vi /2
S1
Fig. 2.47 - Terceira etapa.
4a Etapa (t3, t4)
No instante t3, que equivale à metade do período de chaveamento,
S2 é habilitada, como mostrado na Fig. 2.48. A entrada em condução
desta chave é suave, pois a corrente é zero no instante t3.
Durante esta etapa a fonte transfere energia à carga.
+
-
+
- +
-
V' o
D1
a b
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
Fig. 2.48 - Quarta etapa.
5a Etapa (t4, t5)
No instante t4 a corrente no indutor se inverte, e o diodo D2 começa
a conduzir, como mostrado na Fig. 2.49. Durante este intervalo a chave
S2 deve ser bloqueada. Assim seu bloqueio é não dissipativo, pois
enquanto o diodo conduz a tensão na chave é zero.

a b
+ -
+
-
+
-
V' o
D1
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v iLr Cr
Vi /2
S1
Fig. 2.49 - Quinta etapa.
6a Etapa (t5, t6)
Quando a corrente no indutor atinge zero no instante t6, nenhuma
chave conduz, pois S2 foi bloqueada e ainda não existe ordem de
comando para S1. Esta etapa está representada na Fig. 2.50.
Quando a chave S1 é comandada a conduzir finaliza esta etapa,
iniciando-se outro período de funcionamento.
a b
+ -
+
-
+
-
V' o
D1
S2 D2
Vi /2
Cr Lr
v i L r =0 Cr
Vi /2
S1
Fig. 2.50 - Sexta etapa.
2.4.2 Formas de Onda Básicas
As formas de onda mais importantes, com indicação dos intervalos
de tempo correspondentes, para as condições idealizadas descritas na
Seção 2.4.1, estão representadas na Fig. 2.51.
2.4.3 Equacionamento
Nesta seção são obtidas as expressões de vCr(t) e iLr(t) para os
diferentes intervalos de tempo. Por ser o circuito simétrico, será analisado
apenas meio período de operação.

A Primeira Etapa
i (t ) 0
⎩ ⎨ ⎧
=
Lr 0
v (t ) = −
V
Cr 0 C1
Do circuito equivalente, obtém-se as expressões (2.94) e (2.95):
V i di (t)
= + v (t) + V
′ (2.94)
Cr o
Lr
r
dt
L
2
dv (t)
i (t) C Cr
Lr = r (2.95)
dt
obtém-se (2.96) e (2.97).
( )
i o = +
s L I (s) v (s)
V 2 V
s
r Lr Cr
− ′
(2.96)
ILr (s) = sCr vCr (s) + Cr VC1 (2.97)
Definindo-se:
V
V i
1 = ,
2
w = 1
o L C
r r
( )
( ) ( 2 )
= (2.98)
o
2
V
C1
− ′
V V w
2
o
2
2
1 o o
Cr
s w
s
s s w
v (s)
+
−
+
obtém-se (2.99).
vCr (t) = −(V1 − Vo′ + VC1)cos (wot) + V1 − Vo′ (2.99)

Derivando a equação (2.99), e multiplicando-a por Cr, obtém-se na
equação (2.100) a corrente no indutor parametrizada em função da
impedância característica z = Lr Cr :
iLr (t) z = (V1 − Vo′ + VC1)sen (wot) (2.100)
Esta etapa termina quando a corrente no indutor atinge zero. Pode-se
então calcular sua duração, como mostrado nas equações (2.101) e
(2.102).
(V1 − Vo′ + VC1)sen (wo Δts ) = 0 (2.101)
wo Δts = π (2.102)
A.1 Plano de Fase da Primeira Etapa
Seja a expressão (2.103).
z1(t) = vCr (t) + jz iLr (t) (2.103)
Substituindo (2.99) e (2.100) em (2.103), obtém-se (2.104) e
(2.105).
z1(t) = V1 − Vo′ − (V1 − Vo′ + VC1)cos(wot) + j(V1 − Vo′ + VC1)sen (wot) (2.104)
( ) jw t
z1(t) V1 Vo V1 Vo VC1 e o = − ′ − − ′ + − (2.105)
O plano de fase correspondente está representado na Fig 2.52, do
qual obtém-se a expressão (2.106).
R1 = VC1 + V1 − Vo′ (2.106)

t
t
t
t
t
t
0
(VC 0 )
comando
S1
comando
S2
iS2
vS2
iS1
iLr
vS1
(I p 1 )
vCr
(VC 1 )
t0 t1 t2 t3 t4
- (VC 1 )
- (VC 0 )
t5 t6
TS /2 TS
(I p 2 )
Fig. 2.51- Formas de onda básicas.

R1
0 VCr
L
C
i
r
r
Lr
Vo ′
V1− VC0
Ip1
0 −VC1
Fig. 2.52 - Plano de fase da primeira etapa.
B. Segunda Etapa
i (t ) 0
⎩ ⎨ ⎧
=
Lr 1
v (t ) =
V
Cr 1 C0
Do circuito equivalente obtém-se as expressões (2.107) e (2.108):
V = −L + − ′ (2.107)
Cr o
di (t)
Lr
1 r v (t) V
dt
dv (t)
i (t) C Cr
Lr = − r (2.108)
dt
obtém-se (2.109) e (2.110).
1 o = − +
s L I (s) v (s)
V V
s
r Lr Cr
+ ′
(2.109)
ILr (s) = −sCr vCr (s) + Cr VC0 (2.110)

+ ′ sL [ sC v (s) C V ] v (s)
(2.111)
V V
1 o = − − + +
s
r r Cr r C0 Cr
Isolando-se a tensão no capacitor obtém-se (2.112).
( )
( ) ( 2 )
= (2.112)
o
2
V
C0
+ ′
V V w
2
o
2
2
1 o o
Cr
s w
s
s s w
v (s)
+
+
+
obtém-se (2.113)
vCr (t) = −(V1 + Vo′ − VC0 )cos (wo t) + V1 + Vo′ (2.113)
Derivando a equação (2.113), e multiplicando-a por Cr, obtém-se na
equação (2.114) a corrente no indutor, parametrizada em função da
impedância característica z.
iLr (t) z = (V1 + Vo′ − VC0 )sen (wot) (2.114)
Esta etapa termina quando a corrente no indutor atinge zero. Pode-se
então calcular sua duração como mostrado a seguir nas equação (2.115) e
(2.116).
(V1 + Vo′ − VCo )sen (wo ΔtD) = 0 (2.115)
wo ΔtD = π (2.116)
B.1 Plano de Fase da Segunda Etapa
Seja a expressão (2.117).
z2 (t) = vCr (t) + jz iLr (t) (2.117)
Substituindo (2.113) e (2.114) em (2.117), obtém-se (2.118) e
(2.119).
z2(t) = V1 + Vo′ − (V1 + Vo′ − VC0 )cos(wot) + j(V1 + Vo′ − VC0 )sen (wot) (2.118)
( ) jw t
z2 (t) V1 Vo V1 Vo VC0 e o = + ′ − + ′ − − (2.119)

O plano de fase correspondente está representado na Fig. 2.53, do
qual obtém-se a expressão (2.120).
R2 = [VC0 − (V1 + Vo′ )] (2.120)
r
0
VC0
vCr
R2
L
C
i
r
Lr
VC1 V1+Vo′
-Ip2
Fig. 2.53 - Plano de fase da segunda etapa.
C. Plano de Fase Completo e Tensões no Capacitor
Ressonante
Agrupando os dois planos de fase em um mesmo diagrama, obtém-se
a Fig. 2.54, da qual se obtém a expressão (2.121).
VC1 = VC0 − 2R2 (2.121)
Substituindo (2.120) em (2.121), obtém-se (2.122) e (2.123).
VC1 = VC0 − 2[VC0 − (V1 + Vo′ )]
)
(2.122)
(o
VC1 = −VC0 + 2 V1 + V′ (2.123)
Do mesmo modo, a partir do plano de fase, se obtém a expressão
(2.124).
VC0 = R1 + V1 − V′ )
(o
)
(2.124)
( ) (o
VC1 = −R1 − V1 − Vo′ + 2 V1 + V′ (2.125)

VC0 0
vCr
R2
L
C
i
r
r
Lr
R1
0
VC1 V1+Vo′
-Ip2
Vo ′
V1−
Ip1
-VC1
Fig. 2.54- Plano de fase da primeira e segunda etapa.
Substituindo (2.106) em (2.125), obtém-se a expressão de VC1, dada
por (2.127).
VC1 = −VC1 − V1 + Vo′ + V1 + 3Vo′ (2.126)
VC1 = 2Vo′ (2.127)
Ainda a partir do plano de fase, obtém-se a expressão (2.128).
VC0 = VC1 + 2R2 (2.128)
VC0 = VC1 + 2VC0 − 2 (V1 + Vo′ ) (2.129)
Substituindo (2.127) em (2.129), obtém-se a expressão de VC0 dada
por (2.131).
− VC0 = 2Vo′ − 2V1 − 2Vo′ (2.130)
VC0 = 2V1 (2.131)
A partir das relações anteriores, obtém-se (2.132) e (2.133).
R1 = V1 + Vo′ (2.132)

R2 = V1 − Vo′ (2.133)
Portanto:
R1 > R2
D. Corrente Média de Saída
Um diagrama representativo do conversor série ressonante no modo
de condução descontínua é apresentado na Fig. 2.55. A corrente média de
saída (na fonte Vo′
) é obtida calculando-se as áreas A1 e A2, como
mostrado na Fig. 2.56.
Do ábaco da Fig. 2.54 obtém-se os valores das correntes de pico
parametrizadas da primeira e segunda etapas, dadas por (2.134) e (2.135).
Ip1 = Ip1 z = R1 = V1 + Vo′ (2.134)
Ip2 = Ip2 z = R2 = V1 − Vo′ (2.135)
+
-
Lr Cr
iLr
Vo
Io
Fig. 2.55 - Diagrama representativo do conversor série ressonante em DCM.
Portanto:
+ ′
V V
I 1 o
p1
= (2.136)
z
− ′
V V
I 1 o
p2
= (2.137)
z

t
t
A A2 1
t1 t 2
Ip1
iLr
ΔtS ΔtD
Io′
− Ip2
T S /2 TS
Fig. 2.56 - Correntes no indutor e na saída.
Cálculo da área A1:
A área A1 é calculada de acordo com (2.138).
ts
Δ
p1
I
∫ [ ]
A I sen (w t)dt (2.138)
1 p1 o cos(w Δ t ) −
cos(0)
−
= =
0
o s
o
w
Como wo Δts = π , obtém-se a equação (2.139) para a área A1.
V V
1 o
f z
A
o
1 π
+ ′
= (2.139)
Cálculo da área A2:
A área A2 é calculada de acordo com (2.140).
tD
Δ
p2
I
∫ [ ]
A I sen (w t)dt (2.140)
2 p2 o cos (w Δ t ) −
cos(0)
−
= =
0
o D
o
w
Como wo ΔtD = π , obtém-se a equação (2.141) para a área A2.

V V
1 o
f z
A
o
2 π
− ′
= (2.141)
Somando as áreas A1 e A2, obtém-se (2.142).
2V
1
+ = (2.142)
f z
A A
o
1 2 π
A corrente média na fonte Vo′ é dada por (2.143).
( )
2f 2V
1
f z
I 2 A A
1 2
omed π
T
o
s
s
=
+
′ = (2.143)
Rearranjando-se (2.143) obtém-se (2.144).
f
z
I 4 V
1 s
′ = (2.144)
o
omed π
f
Parametrizando-se a corrente média na fonte Vo′ , obtém-se (2.145).
s
o
I z
omed
omed f
1
4 f
V
I
π
=
′
′ = (2.145)
E. Correntes de Pico, Média e Eficaz nas Chaves
A corrente de pico nas chaves é igual a Ip1. Parametrizando-se em
relação à z/V1, obtém-se (2.146).
1 q
I z
Spico
Spico = = + (2.146)
V
A corrente média nas chaves é calculada de acordo com a expressão
I
1
(2.147).
Δ
I 1 (2.147)
∫
Smed =
I sen (w t)dt
ts
0
Spico o
T
s

Resolvendo-se a integral obtém-se (2.148).
s
= = (2.148)
o
I z
Smed
+
Smed f
1
1 q f
V
I
π
A corrente eficaz nas chaves é calculada de acordo com a expressão
(2.149).
Δ
∫[ ]
I 1 (2.149)
Sef =
I sen (w t) dt
ts
0
2
Spico o
T
s
s
o
I z
Sef
1 q
Sef f
1
f
2
V
I
+
= = (2.150)
F. Correntes de Pico, Média e Eficaz nos Diodos em
Anti-Paralelo com as Chaves
A corrente de pico nos diodos em anti-paralelo com as chaves é
igual a Ip2. Parametrizando-se em relação à (z/V1), obtém-se (2.151).
1 q
I z
Dpico
Dpico = = − (2.151)
V
A corrente média nos diodos em anti-paralelo com as chaves é
I
1
calculada de acordo com a expressão (2.152).
Δ
I 1 (2.152)
∫
Dmed =
I sen (w t)dt
tD
0
Dpico o
T
s
s
= = (2.153)
o
I z
Dmed
−
Dmed f
1
1 q f
V
I
π

A corrente eficaz nos diodos em anti-paralelo com as chaves é
calculada de acordo com a expressão (2.154).
Δ
∫[ ]
I 1 (2.154)
Def =
I sen (w t) dt
tD
0
2
Dpico o
T
s
s
o
I z
Sef
1 q
Def f
1
f
2
V
I
−
= = (2.155)
G. Correntes de Pico, Média e Eficaz nos Diodos da
Ponte Retificadora
A corrente pico nos diodos da ponte retificadora, igual à corrente de
pico nas chaves, é dada por (2.156).
1 q
I z
DRpico
DRpico = = + (2.156)
V
I
1
A corrente média dos diodos da ponte retificadora, para relação de
transformação unitária, é a soma das correntes médias nos diodos e
chaves do primário do transformador, representada pela expressão
(2.157).
I z
I = = + (2.157)
DRmed I I
Smed Dmed
DRmed
V
1
A corrente eficaz dos diodos da ponte retificadora, para relação de
transformação unitária, é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados
das correntes eficazes nas chaves e diodos do primário do transformador,
representada pela expressão (2.158).
( ) ( )2
I = = + (2.158)
Def
2
I z
DRef I I
Sef
DRef
V
1

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