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CAPÍTULO 1
FUNDAMENTOS EM ANTENAS
1.1 Introdução
Antena é um dispositivo por meio do qual recebe ou transmite uma onda eletromagnética.
Qualquer pedaço de fio pode ser usado como uma antena, sendo que evidentemente pode
não possuir um bom rendimento. É comum pendurar um pedaço de fio na entrada da antena
de uma TV ou rádio para melhorar a recepção do sinal. A explicação porque uma antena
transmite ou recebe um campo elétrico, não é uma tarefa as vezes fácil. A análise e cálculo
dos campos irradiados e recebidos de uma antena é explicado pelas equações de Maxwell,
que por meio das quais calculamos os campos elétrico e magnético à uma distância
qualquer da antena, como veremos futuramente.
Uma outra função de uma antena é direcionar a intensidade de radiação em uma
determinada direção na qual se deseja transmitir o sinal, como é o caso de ligação ponto a
ponto de um enlace de microondas e comunicação via satélite.
Figura 1.1 Antena como um dispositivo de transmissão
1
Os principais tipos de antenas existentes na literatura são:
- Radiador Isotrópico
O radiador isotrópico é uma antena hipotética que irradia igualmente em todas as direções,
como se fosse uma fonte pontual. Normalmente as propriedades das outras antenas são
definidas com respeito ao radiador isotrópico.
- Dipolo meia onda e maior do que meia onda
O dipolo meia onda é uma antena tipo filamentar que possui tamanho l = λ/2 e é o mais
usado na prática, devido a sua facilidade de construção e de casamento de impedância.
Outras antenas de tamanho maior como de um comprimento de onda, um e meio
comprimento de onda , etc. também podem ser encontradas na literatura. A figura 1.2b
mostra um dipolo meia onda com sua distribuição de corrente ao longo do mesmo. As
figuras 1.2c e 1.2d mostra um dipolo para outros comprimentos diferentes do meio
comprimento de onda, com com suas distribuições de correntes.
Figura 1.2 dipolo (a) curto, (b) meia onda, (c) e (d) outros valores de l
- Dipolo ideal e dipolo curto
O dipolo curto e dipolo ideal são antenas do tipo filamentar cujo comprimento (l) da
mesma é muito menor do que o comprimento de onda ( l << λ) . Estas antena são usadas
2
quando a frequência é muito baixa, como é o caso de f < 1 Mhz. A figura 1.2a apresenta um
dipolo curto alimentado por uma corrente de intensidade linear I. O grande problema
destas antenas surge devido ao casamento de impedância pois a resistência de radiação das
antena dipolo curto é muito baixa, como veremos. Estas antenas apresentam também como
um elemento capacitivo dificultando também o casamento de impedância, sendo
necessário adicionar uma bobina no circuito da antena. A vantagem desta antena é possuir
um tamanho reduzido, pois quando trabalhamos com baixas frequências o comprimento de
onda é grande, e o tamanho da antena dipolo meia onda fica muito impraticável ( como por
exemplo para uma frequência de 1 MHz, uma antena dipolo meia onda terá comprimento
de 150m ).
- Antena tipo loop
A antena tipo loop apresenta na forma de uma espira ou mais como mostra a Fig. 1.3b. Ela
as vezes pode ser feita como uma bobina, em que o núcleo pode ser de ar ou ferrite. Uma
antena muito utilizada na prática quando se usa polarização circular é a antena helicoidal,
como mostra a Fig. 1.3c.
Figura 1.3 (a) dipolo, (b) loop circular, (c) helicoidal
- Antena Monopolo
A antena dipolo curto é uma antena filamentar de tamanho igual à um quarto de
comprimento de onda ( l = λ/2). Elas são usadas em transmissão de rádio AM, e são
colocadas verticalmente próximo `a superfície da terra, e como a frequência é baixa a terra
torna boa condutora fazendo com que a teoria das imagens seja aplicada, e tudo se passa em
termos de radiação como se antena fosse de meio comprimento de onda. Para aumentar a
condutividade do solo coloca-se fios de cobre radialmente distribuídos a partir do ponto
central é colocada a antena. Em algumas situações estas antenas são colocadas sobre
regiões pantanosas pois nestas regiões a condutividade do solo é alta.
3
- Antenas faixa Larga
As antenas faixa larga são usadas quando se deseja que a mesma opere em uma faixa de
frequência larga como é o caso a banda dos canais de TV. As duas antenas mais comuns
usadas como faixa larga são : helicoidal e log-periódica .
A antena helicoidal é construida como uma hélice e sua polarização é circular. A antena
log-periódica é constituída de vários dipolos colocados em paralelo, como será visto no
capítulo V. O ganho desta antena pode variar de 10 até aproximadamente 100 vezes
comparado ao radiador isotrópico.
- Antena Yagi-Uda
A antena Yagi-Uda (Fig. 1.4a) é formada também de um conjunto de dipolos em paralelo
onde apenas um elemento é ativo e os outros elementos são elementos passivos que são
usados como refletores e diretores aumento o ganho para valores em média de 10 vezes
comparadas à um radiador isotropico.
Figura 1.4 (a) antena Yagi, (b) conjunto, (c) conjunto de guias de ond
4
- Conjunto de Antenas
Um conjunto de antenas é constituído por uma ou mais antenas de maneira disposta tal
que o ganho do conjunto é maior do que quando se usa apenas uma antena. A distância
entre as antenas e a fase da corrente que alimenta as mesmas é feita de modo a termos um
efeito construtivo dos campos no ponto que se deseja calcular o campo.
- Antena Tipo Abertura
As antenas em abertura mais comuns são as antenas cornetas ( Fig. 1.5) Estas antenas são
largamente usadas em comunicações via satélite por possuir um ganho elevado.
Figura 1.5 Antenas tipo abertura
- Antenas Refletora
O processo de reflexão é o fenômeno explicado com base na teoria da ótica geométrica,
quando um raio incidente em uma superfície da origem `a uma onda refratada e uma onda
refletida. A onda refletida pode estar em fase com a onda direta produzindo um fenômeno
construtivo.
5
A superfície refletora pode ter várias configurações. A superfície refletora mais comum
encontrada na prática é do tipo parabólica. Estas antenas possuem um ganho de potência
elevado e pode atingir valores superiores à 100 mil vezes quando comparado ao ganho do
radiador isotrópico. Elas são mais usadas em frequência superior a 1 Ghz, como é o caso de
enlaces de comunicação via satélite e microondas. A Fig. 1.6 mostra alguns tipos de
superfícies refletoras com seus elementos alimentadores. A Fig. 1.6(a) mostra um refletor
parabólico com alimentador frontal, a Fig.1.6(b) mostra um refletor parabólico com um
sub-refletor também parabólico no foco da parábola. Esta configuração é chamada de
Casseggrain. A Fig. 1.6(c) mostra um refletor tipo refletor de canto. Todos produzem um
focolização dos feixes para o ponto focal onde se situa o alimentador ou o sub-refletor
como no caso da antena tipo Cassegrain.
Figura 1.6 Antenas refletoras
1.2 Mecanismos de Irradiação
Uma das primeiras perguntas que surge sobre as antenas é “como se dá o
processo de radiação de uma antena ?“. Em outras palavras como um campo
eletromagnético é gerado em uma fonte, guiada por uma linha e escapa para o espaço livre?
Vamos considerar uma fonte de tensão conectada à uma linha de transmissão de dois
condutores que é conectada à uma antena, como mostrado na figura 1.7 . A tensão
aplicada nos dois condutores cria um campo elétrico entre os dois condutores da linha. O
6
campo elétrico tem associado à ele suas linhas de força as quais são tangentes ao campo
elétrico em cada ponto e sua intensidade é proporcional à intensidade do campo elétrico. As
linhas de força do campo elétrico tem uma tendência de atuar nos eletrons livres associados
aos condutores e força os mesmos a se deslocarem. O movimento das cargas cria uma
corrente que por sua vez cria em torno dos um campo magnético. Associados ao campo
magnético estão as linhas força magnética as quais são tangentes ao campo magnético.
As linhas de força magnética sempre formam loops fechadas enciclando os condutoes
porque não há carga magnética.
As linhas do campo elétrico desenhadas entre os dois condutores auxilia a distribuição das
cargas. Se assumimos que a fonte de tensão é sinoidal, esperamos que o campo elétrico
entre os condutores também é senoidal com período igual ao da fonte.
A intensidade do campo elétrico indicará a densidade das linhas de força com a seta
mostrando a direção relativa (positiva ou negativa). A criação do campo elétrico e
magnético variável no tempo entre os dois condutores forma uma onda eletromagnética que
viaja ao longo da linha de transmissão. A onda eletromagnética entra na antena e tem
associado a ela cargas elétricas e as correspondentes correntes. Se removemos parte da
antena mostrado na figura , ondas no espaço livre pode ser formadas por conexão do final
aberto das linhas elétricas. As ondas no espaço livre são periódicas mas um ponto de fase
constante Po move para fora com velocidade da luz e desloca para uma distância λ/2
(ponto P1) em um tempo de meio período.
A figura mostra a criação e deslocamento no espaço livre de ondas no espaço livre de
uma antena meio comprimento de onda em instante de tempo t = 0, T/2, T/4, 3T/8.
Figura 1.7 Fonte de radiação fonte e linha de transmissão
7
As linhas de força partem do campo elétrico partem das cargas positivas para as negativas.
Elas também podem partir das cargas positivas e terminar no infinito ou partir do infinito e
terminar nas cargas negativas ou formar um loop não partindo nem terminando em nehuma
carga
1.3 Equações Eletromagnéticas Fundamentais
O sistema de coordenadas usados nos capítulos seguintes são dados na figura
1.8. Faremos aqui uma análise resumida de como calcular o campo produzido por uma
distribuição de corrente em um volume qualquer. Inicialmente calculamos calcula-se o
vetor potencial elétrico e o potencial escalar para em seguida obter o campo elétrico e
magnético. O campo calculado por uma antena dipolo ideal será alvo de discussão no
parágrafo seguinte, mas para isso precisamos determinar o vetor potencial.
Figura 1.8 Coordenadas esféricas para um sistema de radiação
As equações fundamentais do eletromagnetismo são,
t
b
ex
∂
∂
−=∇


(1.1a)
Tj
t
d
hx



+
∂
∂
=∇ (1.1b)
8
)(. td Tρ=∇

(1.1c)
0. =∇b

(1.1)
t
t
j T
T
∂
∂
−=∇
)(
.
ρ
(1.1e)
dbe

,, são o campo elétrico, a indução magnética e o vetor deslocamento, respectivamente
e TTj ρ,

são a corrente total e densidade de corrente. Todas as os campos possuem
variação com x,y,z e t.
Considerando os campos como tendo variação harmônica, ou seja a variação no
tempo é do tipo ejωt
,
tj
ezyxEtzyxee ω
),,(),,,(

== (1.2 a)
tj
ezyxBtzyxbb ω
),,(),,,(

== (1.2 b)
etc.
Utilizando a notação simplificada,
),,( zyxEE

=
),,( zyxBB

=
etc.
e substituindo nas quatro equações de Maxwell teremos,
HjEx

ωµ−=∇ (1.3a)
TJDjHx

+=∇ ω (1.3b)
TD ρ=∇

. (1.3c)
0. =∇H

(1.3d)
TT jJ ωρ−=∇. (1.3e)
a corrente total JT é dada por,
JEJT

+=σ (1.4)
9
A corrente total é a soma da corrente de condução (σĒ) e da corrente imposta J. A corrente
de condução aparece no elemento condutor devido à indução que é produzida pela corrente
imposta que normalmente passa em outro condutor.
As relações constitutivas são dadas por,
ED

ε= , e HB

µ= (1.5)
substituindo (1.4) e (1.5) em (1.3b) temos,
JEEjJDjHx T

++=+=∇ σωεω
JE
j
jHx

++=∇ )(
ω
σ
εω (1.6)
O conjunto de equações(1.3) poderá ser escrito como,
HjEx

ωµ−=∇ (1.7a)
JEjHx

+=∇ 'ωε (1.7b)
'/. ερTD =∇

(1.7c)
0. =∇H

(1.7d)
ωρjJT −=∇. (1.7e)
onde,
)/( ωσεε j−=′
A potência complexa Ps por uma fonte no volume v é igual a soma da potência fluindo da
superfície s, a potência média Pdav dissipada em v, mais a potência média armazenada em v,
)(2 eavmavdavfs WWjPPP −++= ω
O fluxo de potência através da superfície s é dada por,
∫∫=
s
f sdHxEP

.
2
1 *
10
onde,
*
2
1
HxE

é o vetor de Poynting
A potência média dissipada no volume v é dada por,
∫∫∫=
v
dav dvEP
2
σ
A energia magnética média armazenada é
∫∫∫=
v
mav dvHW
2
2
1
2
1 
µ
A energia elétrica média armazenada é,
∫∫∫=
v
eav dvEW
2
2
1
2
1 
ε
O fluxo de potência real através da superfície S é dada por,
∫∫=
sf sdHxEP ).Re(
2
1 * 
- Solução das Equações de Maxwell para o problema de radiação
Da relação A-9 do apêndice,
0).( =∇∇ Ax

mas pela equação 1.7d,
0).( =∇ H

podemos escrever,
AxH

∇= (1.8)
onde A

é chamado de vetor potencial magnético.
11
Substituindo a equação (1.8) em (1.7a) ficamos com:
( ) 0AjEx =ω µ+∇

(1.9)
Usando a equação A10 do apêndice,
0)( =∇∇ φx ,
a equação (1.9) pode ser escrita,
φ−∇=ωµ+ AjE

onde φ é o potencial escalar elétrico.
φ∇−ωµ−= AjE

(1.10)
Pela equação (1.7a),
JEjAxxHx

+ε′ω=∇∇=∇ (1.11)
usando a identidade,
( ) AA.Axx 2

∇−∇∇=∇∇ (1.12)
Substituindo (1.10) em (1.11)
( ) ( ) JAjjAA. 2

+φ∇−ω µ−ε′ω=∇−∇∇ (1.13)
ou
( ) JA.jAA 22

−=∇+φε′ω∇−ε′µω+∇ (1.14)
Pela condição de Lorentz,
φε′ω−=∇ jA.

(1.15)
A equação (1.14) fica,
JAA 22

−=ε′µω+∇ (1.16)
esta é chamada equação da onda na forma vetorial. Usando a equação (1.10) e (1.15)
( )
ε′ω
∇∇
+ωµ−=
j
A.
AjE


(1.17)
12
nota se que para calcular o valor do campo elétrico basta conhecer a intensidade de A

.
Da equação (1.10),
( )φ∇−∇=∇ωµ+∇ .A.jE.

(1.18)
usando as equações (1.5) e (1.15),
( ) ( )φ∇−∇=φε′ω−ωµ+ε′ρ .jj/ (1.19)
ou
ε′ρ−=φε′ωµ+φ∇ /2
(1.20)
A equação da onda vetorial pode ser resolvida usando três equações escalares.
Primeiramente podemos decompor o vetor A

em suas três componentes,
z
2
y
2
x
22
AzˆAyˆAxˆA ∇+∇+∇=∇

(1.21)
A equação (1.16) pode ser escrita como,
xxx
2
JAA −=β+∇
yy
2
y
2
JAA −=β+∇ (1.22)
zz
2
z
2
JAA −=β+∇
onde ε′µω=βε′µω=β ou22
O conjunto (1.22), apresentam a mesma forma e soluções semelhantes.
Inicialmente considerando a equação,
)z()y()x(2
δδδ−=Ψβ+Ψ∇ (1.23)
onde Ψ é a resposta a uma fonte colocada na origem.
Se a corrente está na direção z, por exemplo, então Ψ = Az. Para todos os
pontos exceto a origem,
022
=Ψβ+Ψ∇ (1.24)
Esta é chamada de Equação Escalar da Onda ou equação de Helmholtz. A equação (1.24)
possui como solução C1 e-jβr
/r e C2 e+jβr
/r , que correspondem a uma onda se propagando na
direção positiva e negativa respectivamente.
A solução para uma onda se propagando na direção positiva, onde a constante
de proporcionalidade é 1/4π é dada por,
13
r4
e rj
π
=Ψ
β−
(1.25)
A equação (1.25) é a solução da equação da onda quando a fonte está na
origem. Quando a fonte não está na origem,
R4
e rj
π
=Ψ
β+
(1.26)
onde R é a distância da fonte ao ponto onde se deseja calcular o campo como mostra a
figura 1.9.
Para uma corrente arbitrária na direção z, o vetor potencial está na direção z. Se
considerarmos uma fonte como um conjunto fontes pontuais cuja intensidade é dada por Jz,
o potencial Az é dado pela soma de todas as cargas e no limite a corrente Jz é dada pela
equação,
vd
R
e
JA
v
Rj
zz
′= ∫∫∫′
−
π
β
4
(1.27)
Que é a integral sobre o volume v’ da figura 1.9.
De maneira similar podemos calcular Jx e Jy, as componentes na direção y e z
da densidade de corrente. O vetor potencial total A é dado por,
vd
R
e
JA
v
Rj
′= ∫∫∫′
−
π
β
4

(1.28)
Figura 1.9- Vetores usados para resolver o problema de radiação produzido por uma corrente J no ponto P.
Calculando o valor de A pela equação (1.28), podemos calcular o valor do campo elétrico e
magnético pela equação,
AxH

∇=
14
se estivermos na fonte, pela equação (1.11),
( )JHx
j
1
E

−∇
ωε
= (1.29)
Quando estivermos em um ponto fora da fonte J=0, então,
( )Hx
j
E

∇=
ωε
1
(1.30)
1.4 Dipolo Ideal
Usaremos o termo dipolo ideal uma corrente infinitesimal de tamanho ∆z < < λ
ao longo do eixo z, colocada na origem. Neste caso o volume de integração da equação
(1.27) se reduz a uma dimensão.
zyxIJ ˆ)()( ′′= δδ

para -∆z ≤ z´ ≤∆z (1.31)
substituindo na equação (1.28),
∫∫∫′
−
′=
v
Rj
dzdydx
R
e
zyxIA ´´´
4
ˆ)(´)(
π
δδ
β
(1.32)
∫ ∫∫
∞
−∞
∆
∆−
−
∞
∞−
=
´
2/
2/
´
4
´´)(´)(ˆ dz
R
e
dyydxxIzA
Rj
π
δδ
β
(1.33)
zd
R
zA
z
z
R
′= ∫
∆
∆−
2/
2/
-j
4
e
Iˆ
π
β
(1.34)
Como ∆z é muito pequeno comparado com r,
zˆz
r4
eI
A
r-j
∆
π
=
β
(1.35)
15
Figura 1.10 – Dipolo ideal de dimensão ∆z e corrente uniforme I.
A equação (A.16) nos fornece,
)()().( GxfGxfGf

∇+∇=∇ (1.36)
usando a equação (1.28), podemos escrever,
zxAzxAzxAzAxAxH zzzz ˆ)()ˆ(ˆ)()ˆ( ∇=∇+∇=∇=∇=

(1.37)
r
eI
H
rj
z
π
β
4
−
∆
∇=

(1.38)
ou
zˆxrˆ
r
e
r4
zI
H
rj






∂
∂
π
∆
=
β−
(1.39)
zˆxrˆ
r
e
r
ej
4
zI
H 2
rjr-j






−
β−
π
∆
=
β−β
(1.40)
θφ=θθθ= senˆ-)senˆ-cosrˆ(xrˆzˆxrˆ (1.41)
Substituindo (1.41) em (1.40),
φθ



+
β
π
∆
= β− ˆsene
r
1
r
j
4
zI
H rj
2

(1.42)
O campo elétrico é dado por (1.30),
16
rˆcos
1
.
11
2
zIˆsen
11
4 3232
θ
ωεε
µ
π
θθ
ωεε
µωµ
π
ββ rjrj
e
rjr
e
rjrr
jzI
E −−






+
∆
+





++
∆
=

(1.43)
substituindo, µεω=β na equação acima,
φθ
β
β
π
β
ˆsen
1
1
4 r
e
rj
j
zI
H
rj−






+
∆
=

(1.44)
( ) ( )
rˆcos
11
2
zIˆsen
11
1
4 22
θ
ββ
βµ
π
θθ
ββ
ωµ
π
ββ
r
e
rjrj
j
r
e
rjrj
j
zI
E
rjrj −−






+
∆
+





++
∆
=

(1.45)
Se βr >> 1 ou r >> λ, poderemos desprezar ao termos de mais alta ordem,
φθωµ
π
∆
=
β−
ˆsen.
r
e
j
4
zI
E
rj
(1.46)
φθβ
π
β
ˆsen
4 r
e
j
zI
H
rj−
∆
=

(1.47)
Observa-se que o campo elétrico tem apenas a componente na direção θ
enquanto o campo magnético na direção φ.
η
ε
µ
β
ωµ
φ
θ
===
H
E
(1.48)
η é chamada de impedância intrínseca do meio e para o espaço livre η ≅ 120π(Ω).
Podemos calcular a potência irradiada pelo dipolo ideal, usando a expressão,
∫∫= sd.Hx
2
1 * 
EPf (1.49)
17
onde Pf é a potência que passa através de uma superfície s e,
ndssd ˆ.=

(1.50)
o elemento de área ds = r2
senθdθdφ. (1.51)
Pf ( ) s.dˆsen
r
e
j-xˆsen
r
e
j
4
zI
2
1 rjrj
0
2
0
2

φθβθθωµ





π
∆
=
ββ−
ππ
∫∫
rˆddsenr.rˆ
r
sen
4
zI
2
1 2
2
2
0
2
0
2
φθθ
θ
ωµβ





π
∆
= ∫∫
ππ
θθφωµβ
π
ππ
dsen
42
1 3
0
2
0
2
∫∫




 ∆
= d
zI
4
3
2
42
1
2
πωµβ
π





 ∆
=
zI
( )2
12
zI∆=
π
ωµβ
(1.52)
1.5– Diagrama de Radiação
Em sistema de antenas é muito útil medir a intensidade do campo ou a potência irradiada
por uma antena em uma superfície esférica de raio constante imaginária em torno da
antena. Estas medidas podem ser feitas em função dos ângulos θ e φ em um sistema de
coordenadas esféricas fornecendo assim a variação do campo ou da potência com a direção.
O diagrama de radiação de uma antena nos fornece em que direção o campo ou a potência
irradiada pela antena é mais intensa.
Em projeto de antena é de extrema importância traçar o diagrama de radiação de uma
antena, mas para isso é necessário ter o valor do campo em função das coordenadas θ e φ.
O diagrama de radiação do campo é o gráfico que representa a intensidade do
campo distante da antena. Como pode ser observado pela Fig. 1.11 o diagrama de radiação
pode ser desenhado em sistema de coordenadas esféricas (Fig. 1.11 ) ou em qualquer plano
como passando pelo eixo z (figura 1.11) ou no plano xy.
O diagrama de radiação da potência é o gráfico que representa a potência do
sinal. O diagrama de radiação nos o comportamento do valor do campo ou da potência em
função dos ângulos θ e φ. O diagrama de radiação pode ser medido movendo se uma antena
teste alo longo de uma círculo com raio constante como pode ser observado pela Fig. 1.12a.
Para o caso de um dipolo ideal sabemos que a intensidade de campo varia com
o sen(θ) e é independente de φ, isto porque o problema é simétrico com respeito a φ.
Para qualquer plano vertical passando pelo eixo z o diagrama é o mesmo daquele
apresentado pela Fig. 1.12b. No plano xy, o diagrama de campo será dado pela Fig. 1.12c.
18
Neste caso dizemos que o diagrama é omnidirecional no plano xy, isto é ele possui a
mesma intensidade de campo em todas as direções.
Qualquer plano contendo o eixo z é chamado de plano E, e o seu respectivo
diagrama é chamado de diagrama do plano E, isto porque ele contém o campo elétrico E,
enquanto o diagrama de campo no plano xy é chamado de diagrama do plano H, porque ele
contém o campo H. A Fig. 1.12.b, 1.12.c, 1.12.d, mostra o diagrama de radiação de um
dipolo ideal nos planos E , plano H e tridimensional.
Quando se deseja traçar o diagrama de radiação é necessário calcular a
intensidade de campo distante de uma determinada antena Por isto faremos uso das
equações discutidas anteriormente e que serão revistas aqui. Como a maioria das antenas
são na forma de um fio, a densidade de corrente J varia apenas com z´. Para calcular a
intensidade de campo E e o campo magnético H, é necessário calcular o vetor A.
- Procedimento para calculo do campo elétrico E e campo magnético H.
- Cálculo do vetor A.
Dado uma distribuição de corrente J em um volume de v´ como mostrado na
figura 1.13, podemos calcular o vetor potencial magnético A pela equação,
vd
R
e
JA
Rj
v
′=
−
′∫∫∫ π
β
4

(1.53)
onde o volume de integração é dado pela Fig. 1.13.
19
Figura 1.11- Diagrama de radiação de uma antena genérica e de uma corneta
20
Figura 1.12. Diagrama de radiação (b) plano-E e (c) plano-H
O cálculo do campo distante pode ser calculado considerado que os raios estão paralelos
como mostra a Fig. 1.13,
R = r – z´cosθ = r –r´.r (1.54)
21
Figura 1.13- Aproximação dos raios paralelos para cálculo do campo distante de uma fonte genérica.
Substituindo o valor de R , na equação 1.53, podemos obter a equação ,
vdeJ
r
e
A rrj
rj
′= ∫∫∫
′−
−
.
4
β
β
π

(1.55)
para uma fonte no eixo z,
Se considerarmos uma fonte cuja a intensidade de corrente está na direção z´,
zzJzyxJ z ˆ´)(´)´,´,( =

a equação 1.55 fica,
∫∫∫′
′−
−
′=
v
rrj
z
rj
vdeJ
r
e
zA .ˆ
4
ˆ β
β
π

(1.56)
Se a fonte for filamentar, isto é um fio de pequena espessura colocado no eixo z como
mostra a figura 1.14,
´)(´)(´)(´)( yxzIzJ z δδ=
a equação 1.56 pode ser escrita como,
zdezI
r
e
zdzdydxyxzI
r
e
zA zj
rj
v
rj
z
′′== ∫∫∫∫
′
−−
θβ
ββ
π
δδ
π
cos
)(
4
ˆ´´´´)(´)(´)(
4
ˆ
´
(1.57)
22
Figura 1.14- Aproximação dos raios paralelos para o cálculo do campo distante de uma fonte filamentar.
2- Cálculo o valor de E.
Pela equação 1.17,
ωε
ωµ
j
A
AjE
).(

 ∇∇
+−= (1.58)
usando a equação (1.57) com a equação( 1.58 ) e desprezando os termos de ordem superior
retendo apenas os termos com r –1
(βr>>1) e considerando a fonte na diração z temos,
zAjAjE θωµθωµ θ senˆ =−=

(1.59)
3- Calcule o valor de H.
Em geral o cálculo de H pode usar para uma onda plana a equação,
ExrH

ˆ
1
η
= (1.60)
Para uma fonte na direção z,
23
η
θ
φ
E
H = ,
η
φ
θ
E
H −= (1.161)
Exemplo. Uma fonte filamentar.
Uma fonte filamentar é uma fonte na forma de um fio no qual a corrente é constante ao longo de sua
extensão. Se usamos um a fonte uniforme centrada na origem e ao longo do eixo z a corrente é dada
por,
Figura 1.15- Fonte filamentar com distribuição de corrente uniforme
Io , para x = x´ , y´ = 0, | z´| ≤ L/2
I(z´) = (1.62)
0 Para outros valores
onde L é o tamanho do fio. Podemos achar Az
[ ]
θβ
θβ
π
θβππ
β
θβθββ
θβ
β
cos)2/(
cos)2/(sen
4
cos44
2/
2/
cos2/cos2/
cos
L
L
r
LeI
j
ee
I
r
e
zdeI
r
e
A
rj
o
L
L
LjLj
o
rj
zj
o
rj
z
−
−
−−
′
−
=
=




 −
=′= ∫
(1.63)
O cálculo do campo elétrico pode se feito usando a equação,
[ ]θ
θβ
θβ
θ
π
ωµ
θθωµ
β
ˆ
cos)2/(
cos)2/(sen
)sen(
4
ˆ)sen(
L
L
r
LeIj
AjE
rj
o
z
−
==

(1.64)
O valor de Hφ pode ser feito usando a equação
24
Hφ = Eθ/η (1.65)
Pelas equações (1.46) e (1.47) os campos variam apenas com θ. Para qualquer plano
passando pelo eixo z o diagrama de radiação é o mesmo e um diagrama de qualquer destes
planos é chamado de diagrama do plano-E. Qualquer diagrama perpendicular ao plano -E
é chamado de diagrama do plano–H.
A Fig. 1.16 apresenta um diagrama de radiação de potência típico em um plano-E ou
plano-H. O diagrama apresenta lóbulos secundários e um lóbulo principal normalizado. O
ângulo de meia potência (HP) é definido por,
HPdireitaHPesquerdaHP θθ −=
onde θHpdireita e θHpesquerda são os ângulos de meia potência da direita e esquerda
respectivamente, isto é, o ângulo onde a potência cai para a metade ( 0,5) do valor máximo.
O ângulo entre os primeiros nulos é chamado de (BWFN), como pode ser observado pela
Fig. 1.16.
Figura 1.16- Diagrama de radiação típico de uma antena no plano-E ou plano-H. HP é o ângulo de meia
potência e BWFN é o ângulo entre os primeiros nulos.
1.6– Ganho e Diretividade
Em sistemas de telecomunicações ponto-a-ponto é comum desejar canalizar a potência de
um transmissor em uma determinada direção onde se localiza o receptor. Isto faz com que a
eficiência do sistema aumenta, pois a potência nas direções não desejadas é reduzida. Estes
25
tipos de sistemas são largamente encontrados na prática como é o caso de comunicações via
satélite e enlaces de microondas, onde o aumento de potência em uma determinada direção
pode chegar até 60 dB ou mais, o que corresponderia à uma aumento de mais de 1milhão
de vezes em valor absoluto.
Em outras situações se deseja transmitir a potência igualmente em todas as direções em um
plano horizontal, como é o caso de telefonia celular ou radio difusão quando o transmissor
está localizado no centro de uma cidade, estas antenas são chamadas de omnidirecional.
Em medidas de eficiência de uma antenas é usual medir a intensidade de radiação tomando
como parâmetro uma antena que irradia igualmente em todas as direções. A antena que
irradia igualmente em todas as direções é chamada de irradiador isotrópico.
A diretividade e ganho são dois parâmetros muito usados em teoria de antenas e eles nos
fornecem o quanto a densidade de potência ( vetor de Poynting) irradiada por uma antena
qualquer em teste, aumenta em relação à densidade de potência de um irradiador istrópico
quando os dois ( a antena em teste e o irradiador isotrópico ) são alimentados com a mesma
potência de transmissão, PT, fornecido pelo transmissor.
A potência irradiada ( Pr ) por uma antena é dada por pela integral da densidade de potência
( vetor de Poynting) em uma superfície esférica imaginária em torno da antena, ou seja a
potência Pr por uma antena qualquer é
( ) sd.HxERe
2
1
P *
r

∫∫= (1.66)
( ) φθθ−= ∫∫ θφφθ ddsenrHEHERe
2
1 2**
sabemos que,
η
−=
η
=
φ
θ
θ
φ
E
He
E
H (1.67)
então
( ) Ω+
η
= ∫∫ φθ drEE
2
1
P 222
r (1.68)
onde o elemento de ângulo sólido é, φθθ ddd )sen(=Ω
Definiremos intensidade de radiação como,
( ) ( ) rˆr.HxERe
2
1
,U 2*

=φθ (1.69)
26
ou
( ) ( ) 2
m ,FU,U φθ=φθ (1.70)
onde Um é a intensidade de radiação máxima.
U = U(θmax, φmax) (1.71)
A potência total irradiada é dada por,
( ) Ωφθ=∫∫ d,UPr (1.72)
onde dΩ = senθ dθ dφ, que é o elemento de ângulo sólido.
A potência média é dada por,
∫∫ π
=Ωφθ
π
=
4
P
)d,(U
4
1
U r
ave (1.73)
Para um dipolo ideal, usando as equações (1.69), (1.46) e (1.47), a intensidade de radiação
é dada por,
( ) θβωµ





π
∆
=φθ 2
2
sen
4
zI
2
1
,U
βωµ





π
∆
=
4
zI
2
1
Um
Usando a equação (1.51),
( )( )
π
∆πβωµ
=
π
=
4
zI12/
4
P
U
2
r
ave
βωµ
π
2
43
1





 ∆
=
zI
ideal)(dipoloU
3
2
m= (1.74)
27
Figura 1.17 Intensidade de radiaçao de um dipolo ideal
- Diretividade
A diretividade de uma antena nos dá o valor relativo da intensidade de
radiação, U(θ,φ), da antena em questão em uma determinada direção, comparada à
intensidade de radiação do radiador isotrópico ( Uave), e pode ser expressa por pela razão,
( ) ( )
aveU
,U
,D
φθ
=φθ (1.75)
ou
( ) ( ) ( )
2
r
*
2
ave
2
r4/P
rˆ.HxERe
2
1
r/U
r/,U
,D
π
=
φθ
=φθ

( )
( )
( )
( ) 2
A
2
2
,F
4
d,F
4
1
,F
d),(U
4
1
),(U
,D φθ
Ω
π
=
Ωφθ
π
φθ
=
Ωφθ
π
φθ
=φθ
∫∫∫∫
(1.76)
onde o ângulo sólido do feixe da antena é.
( ) Ωφθ=Ω ∫∫ d,F
2
A (1.77)
∫∫ Ω=Ω d
U
U
m
A
),( φθ
∫∫ =Ω=Ω RmA PdUU ),(. φθ
RmA PUU =.
28
Figura 1.18 Ângulo sólido do feixe da antena
O ângulo sólido do faixe de uma antena é o ângulo pelo qual toda a energia seria irradiada
se a intensidade de radiação fosse constante e igual ao valor máximo Um, ou seja,
Pr = Um ΩA (1.78)
Em antenas é comum trabalhar apenas o valor da máximo da diretividade, ou seja com a
diretividade máxima D, que é dada por,
Am
m
r
m
ave
m
U
U
P
U
U
U
D
Ω
===
π
π
4
4/
A
4
D
Ω
π
= (1.79)
É muito comum na literatura chamar a diretividade máxima D simplesmente de
diretividade. A diretividade pode ser expressa em função da função normalizada |F(θ,φ)|2
,
2
2
),(
),(),(
),( φθ
φθφθ
φθ FD
U
FU
U
U
D
aveave
===
D(θ, φ) = D|F(θ, φ)|2
(1.80)
Para um dipolo ideal usando a equação (1.74) podemos calcular a diretividade D,
ideal)(dipolo
2
3
U
3
2
U
U
U
D
m
m
ave
m
===
(1.81)
29
Este valor de diretividade de D= 1,5 (dipolo ideal), significa que o dipolo ideal irradia na
direção do máximo de irradiação uma potência que é uma vez e meia ( 1,5 ) àquela que é
irradiada por um radiador isotrópico, com a mesma potência de transmissão Pt. Isto
significa que na direção de máxima radiação, o dipolo ideal possui uma eficiência que é
uma vez e meia ao radiador isotrópico. A explicação deste conceito é simples, basta
imaginarmos que o radiador isotrópico irradia igualmente em todas as direções, enquanto o
dipolo curto possui uma intensidade de radiação que varia com a direção, sendo máxima
para θ = 90o
, e mínima para θ = 0º
. Isto faz com que na direção de máximo ela concentra
mais energia do que o radiador isotrópico.
Podemos obter o mesmo valor da diretividade usando a definição do ângulo
sólido do feixe da antena. Para uma antena dipolo ideal,
∫ ∫∫ ∫ =Ω=Ω
π ππ π
φθθθφθ
2
0 0
22
0
2
0
)sen(sen),( dddFA
3
8
3
4
.2ddsensen
2
0
2
0A
π
=π=φθθθ=Ω ∫∫
ππ
(1.82)
A diretividade é dada por,
2
3
3
8
44
==
Ω
=
π
ππ
A
D
ou ainda em dB,
DdB = 10 log D = 1,76 dBi (1.83)
Em muito comum na literatura usar o termo dBi, quando a diretividade da antena for dada
em relação ao radiador isotrópico, que é o caso mais comum na prática. A diretividade dada
pelas equações anteriores são usadas para qualquer tipo de antena, seja ela parabólica,
filamentar, abertura, etc..
30
Figura 1.19 Diretividade de um dipolo ideal
- Ganho
Quando o transmissor entrega uma potência à uma antena, parte da energia é
irradiada na forma de onda eletromagnética que chega até o receptor e outra parte será
perdida na forma de perda ôhmica como no caso das antenas filamentares, ou ainda devido
à desfocalização proveniente à rugosidade da superfície no caso das antenas parabólicas. O
ganho de uma antena é definido como,
G = eD (1.84)
Onde a eficiência ‘e’ é dada por,
antenanaentradadePotência
antenapelairradiadaPotência
P
P
e
in
r
== (1.85)
Como se vê o ganho de uma antena é menor do que a diretividade, pois a eficiência é
sempre menor do que a unidade. O ganho então está relacionado à potência efetivamente
irradiada levando em consideração as perdas. Analisaremos a seguir a eficiência de uma
antena dipolo ideal, em termos de eficiência.
1.7 - Impedância de uma antena
Toda antena como um circuito elétrico apresenta nos seus terminais uma
corrente e uma tensão e no entanto podemos definir e calcular impedância de entrada de
uma antena como,
Zin = Rin + j Xin (1.86)
onde Rin é a resistência que relaciona a potência dissipação na forma de calor mais a
potência irradiada, que é dada pela soma da resistência ôhmica com a resistência de
irradiação. A potência Pin , isto é a potência entregue à antena é a soma da potência
dissipada no fio da antena na forma de calor mais a potência irradiada e pode ser expressa
por,
2
ininin IR
2
1
P = (1.87)
onde Iin é valor RMS da corrente na entrada da antena.
31
A potência de entrada é a soma da potência dissipada (ôhmica ) Pôhmica e da potência
irradiada (Pr). Podemos definir uma resistência hipotética Rri, chamada a resistência de
irradiação que está relacionada com a potência irradiada pela antena. A potência de
irradiação pode então ser expressa pela equação que relaciona a corrente com a resistência
de irradiação Rri,
2
2
1
inrir IRP =
A perda ôhmica no fio está relacionada com a resistência ôhmica pela equação,
2
2
1
inôhmicaôhmica IRP =
A equação (1.87) poderá ser escrita como,
2
inôhmica
2
inriôhmicarin IR
2
1
IR
2
1
PPP +=+= (1.88)
A resistência de irradiação Rri pode ser dada por,
2
in
r
ri
I
P2
R = (1.89)
A resistência Rôhmica pode ser dada por,
( )
2
in
rin
2
in
ôhmica
ôhmica
I
PP2
I
P2
R
−
== (1.90)
Considerando o dipolo ideal e fazendo Rr = Rri, a resistência de irradiação de entrada ou
simplesmente a resistência de entrada é dada por,
( ) 22
22
in
r
r )z(
6
zI
12
.
I
2
I
P2
R ∆β
πε
εµµω
=∆
π
ωµβ
== (1.91)
( )
2
2
2
z
2
6
120
z
6






∆
λ
π
π
π
=∆
π
β
η=
)(80080
22
2
Ω




 ∆
≅




 ∆
=
λλ
π
zz
Rr (1.92)
A resistência de irradiação de um dipolo ideal é função do comprimento do dipolo e da
frequência, para o caso de ∆z /λ = 10, o valor da resistência de irradiação é dada por,
Rr ≅ 8Ω
32
Podemos calcular a eficiência de uma antena em função das resistência de irradiação e
resistência ôhmica, `a partir da equação (1.85),
ôhmicar
r
in
r
PP
P
P
P
e
+
==
2
inôhmica
2
inri
2
inri
IR
2
1
IR
2
1
IR
2
1
e
+
=
finalmente a eficiência é dada por,
in
ri
ôhmicari
ri
R
R
RR
R
e =
+
= (1.93)
Considerando um dipolo ideal funcionando em f = 1 MHz, com comprimento ∆z = 1m a
resistência de irradiação é dada por,
Ω=





π= 0088,0
300
1
80R 2
r
A resistência ôhmica de um fio é dada pela equação da física,
sôhmica R
a2
L
R
π
≅ (Ω)
onde L é o comprimento do fio, ‘a’ o raio do fio e Rs a resistência superficial do fio, que é
dada por,
σ
ωµ
=
2
Rs (1.94)
Para uma antena feita de fio 20AWG com a = 4,06x10-4
e σ = 5,7x107
S/m, funcionando na
frequência de 1 MHz,
Ω== −
−
4
7
67
1063,2
107,52
102104
x
xx
x
Rs
ππ
e,
Ω=
π
= −
−
103,010x2,63x
10x06,4x2
1
R 4
4ôhmica
A eficiência da antena dipolo ideal considerada acima, com comprimento de 1m,
funcionado na frequência de 1MHz construída com fio 20 AWG, será dada por,
%87,7
0088,0103,0
0088,0
e =
+
=
33
Nota-se um valor muito pequeno para a eficiência, isto se explica porque a antena possui
uma impedância de radiação muito pequena.
Como já vimos o dipolo ideal possui uma distribuição uniforme de corrente ao longo do seu
comprimento como mostra a Fig. 1.20(a). Para obter uma distribuição uniforme como é o
caso do dipolo ideal é necessário colocar duas placas metálicas nas extremidades das
antenas, o que conhecido na literatura como carga de topo.
Quando estas placas não são colocadas a nas extremidades das antenas a distribuição da
corrente ao longo da mesma ( considerando ainda o tamanho da antena muito menor do que
o comprimento de onda ) é da forma triangular como mostrado na Fig. 1.20(b).
Figura 1.20 (a) dipolo ideal (b) dipolo curto
A antena cuja distribuição de corrente é triangular como mostrada na Fig. 1.18(b) é
chamada de dipolo curto. Para um dipolo curto a resistência de entradas é dada por,
)(20
2
2
Ω




 ∆
=
λ
π
z
Rr (1.95)
Observa-se que a resistência de irradiação do dipolo curto é quatro vezes menor do que a
resistência de irradiação do dipolo ideal.
1.10 - Polarização da Antena
Uma antena emite uma onda eletromagnética que poderá ter o campo elétrico
polarizado de maneira linear, circular ou elíptica, conforme a figura 1.21. Na polarização
34
linear ,circular ou elíptica a resultante do campo elétrico sempre está ao longo de uma
linha, círculo ou elípse respectivamente.
A polarização circular poderá ser direita ou esquerda conforme a resultante do
campo gira no sentido horário ou anti-horário para um observador colocado no sentido da
propagação da onda. Diferentes tipos de polarização são usados em telecomunicações, que
dependem da aplicação. Em televisão usa-se polarização horizontal, enquanto em rádio
difusão AM usa-se polarização vertical. Os sistemas de televisão por difusão usam
normalmente polarização vertical e horizontal para transmitir diferentes canais usando a
mesma frequência, isto é chamado de re-uso de frequência, e é usado noBrasilsat.
A polarização elíptica é a mais geral, e é dada de maneira mais detalhada na
figura 1.22. Para traçar a elipse da polarização elíptica será necessário determinar os
valores de τ e ε que são dados em função de E1,E2 e δ
A polarização elíptica é a mais geral, e é dada de maneira mais detalhada na
figura 1.22. Para traçar a elipse da polarização elíptica será necessário determinar os
valores de τ e ε que são dados em função de E1,E2 e δ
Sendo E1 e E2 os valores de pico do campo elétrico nas direções x e y, o ângulo
γ é dado por,
oo
1
21
900
E
E
tan ≤γ≤





=γ −
(1.96)
O ângulo de inclinação da elipse τ é o ângulo entre os eixos x e o eixo maior da
elipse.
O ângulo ε visto na figura 1.22 é dada por,
ε = cot-1
(AR) , 1 < AR < ∞ -45o
< ε < 45o
(1.97)
Sendo E1 e E2 os valores de pico do campo elétrico nas direções x e y, o ângulo
γ é dado por,
oo
1
21
900
E
E
tan ≤γ≤





=γ −
(1.96)
35
Figura 1.21 Polarização (a) linear, (b) circular, (c) elíptica.
Figura 1.22- Elipse de polarização
36
Sendo E1 e E2 os valores de pico do campo elétrico nas direções x e y, o ângulo
γ é dado por,
oo
1
21
900
E
E
tan ≤γ≤





=γ −
(1.96)
O ângulo de inclinação da elipse τ é o ângulo entre os eixos x e o eixo maior da
elipse.
O ângulo ε visto na figura 1.20 é dada por,
ε = cot-1
(AR) , 1 < AR < ∞ -45o
< ε < 45o
(1.97)
Onde a razão axial da elipse AR é a razão entre a componente do campo elétrico ao
longo do eixo maior pela componente ao longo do eixo menor.
A componente instantânea do campo é,
( )yttEyexee yx
ˆcosExˆ)cos(ˆˆ 21 δωω ++=+=

(1.98)
Se δ = 0, a polarização é linear. Se E1 = E2 e δ = 90o
, a polarização é circular,
nos outros casos ela será elíptica.
A transformação entre os ângulos dados na Fig. 1.22 nos fornece as ralações,
)cos22(coscos
2
1 1
τε=γ −
(1.99)






τ
ε
=δ −
2sen
2tan
tan 1
(1.100)
Dado os valores de E1, E2 e δ podemos usar as equações (1.99) e (1.100) para calcular os
valores de ε e τ. Com os valores de ε e τ podemos traçar a elípse da fig. 1.22.
1.11 - Antena em um Enlace de Comunicações
Considerando uma antena sem perdas a abertura efetiva máxima de uma antena Aem está
relacionada com a potência recebida por,
Pr = Sav Aem (1.101)
Onde Pr é a potência recebida, Sav a potência média e Aem é a área efetiva máxima.
Considerando agora uma antena com impedância de entrada Zin = Rin + jXin e impedância
da carga ZL = RL + j XL, como mostrado na figura 1.23 a corrente de entrada pode ser dada
por,
37
Figura 1.23 – Circuito equivalente de uma antena receptora, Zin é a impedância de entrada e ZL é a impedância
da carga.
Lin
in
ZZ
V
I
+
= (1.102)
Quando há casamento de impedância, isto é, ZL = Rin –jXin, a potência transferida para a
carga é dada por,
L
2
inr RI
2
1
P = (1.103)
Quando desprezamos as perdas ôhmica ( Rôhmica = 0 ) e fazemos Rin = Rri = RL
in
in
R2
V
I =
ri
ri
ri
in
LinR R
R
V
R
R
V
RIP 2
2
2
2
2
42
1
)2(2
1
2
1
===
ri
2
rms
ri
2
r
R4
V
R4
V
2
1
P == (1.104)
Segue-se
avri
2
rms
av
r
em
SR4
V
S
P
A == (1.105)
mas Vrms = Erms ∆z
η
=
2
rms
av
E
S (1.106)
Para o dipolo ideal usando a equação (1.91) que nos dá a resistência de irradiação de um
dipolo ideal,
38
2
2
2
3
2
)(
6





 ∆
=∆=
λ
πη
π
β
η
z
zRri
a área efetiva máxima será dada por,
( )
( )( )
22
2
rms
22
z
2
rms
em 119,0
8
3
/E/
3
2
4
zE
A λ=λ
π
=




ηλ∆πη
∆
=
(1.108)
A diretividade de um dipolo ideal é dada por,
2
2
8
34
2
3
D λ
πλ
π
==
em2
A
4
D
λ
π
= (1.109)
Embora demonstrado para o dipolo ideal esta relação é válida para qualquer antena. Até
agora consideramos a antena sem perda, se uma antena possui perdas,
G = e D (1.110)
Substituindo
em2
A.e
4
G
λ
π
= (1.111)
definindo a área efetiva Ae como,
Ae = e Aem (1.112)
e2
A
4
G
λ
π
= (1.113)
Em um enlace de comunicação podemos calcular a potência recebida pela fórmula de Friis
que será demonstrada abaixo. Se uma antena é isotrópica, podemos calcular a densidade de
potência em uma distância r usando a expressão,
2
4 r
P
S T
ave
π
=
39
onde PT é a potência de transmissão. Para uma antena não isotrópica com diretividade DT na
direção do máximo, a densidade de potência à uma distância r do transmissor é dada por,
T
T
ave G
r
P
S 2
4π
=
A potência recebida pode ser calculada usando a expressão (1.101). Quando a antena
apresenta perdas a equação (1.101), será dada por,
PR = AerSave
onde Aer é a área efetiva de recepção e Save a potência média no receptor.
Usando as equações anteriores,
erT
T
R AG
r
P
P 2
4π
=
Sendo a área efetiva máxima da antena receptora dada por (1.109),
π
λ
4
2
Rer GA =
a potência recebida será dada por
2
2
)4( r
GG
PP RT
TR
π
λ
= (1.114)
ou ainda em decibel
)()()()( dBiRdBiTdBmTdBmR GGPP ++= - 20 Log(rkm ) – 20 logfMHz – 32,44 (1.115)
sendo, GT (dbi) = 10log(GT)
GR(dBi) = 10log(GR)
PT(dBm) = 10log(PT em Watts/ 10-3
) = PT(dB) + 30
40
PR(dBm) = 10log(PR em Watts/10-3
) = PT(dB) + 30
Onde GT e GR são os ganhos das antenas transmissoras e receptoras respectivamente. A
expressão (1.114) é conhecida como fórmula de Friis.
A potência efetiva irradiada isotropicamente (EIRP) é definida como,
EIRP = PT GT (1.116)
Exemplo- Um transmissor de um satélite transmite um sinal na potência de 2W com uma antena
transmissora parabólica de 45,7 cm de diâmetro. A antena receptora possui diâmetro de 1,22 m.
Calcular a potência recebida se a frequência de transmissão é de 2 GHz e o satélite está a uma
distância de 36.941,031 km de altura. A eficiência da antena transmissora é de 54% e a eficiência da
antena receptora é de 58%.
Solução.
Usando a equação de Friis,
Pr (dBm) = PT(dBm) + GT(dBi) + GR(dBi) – 20log(rkm) –20log(fMHz) –32,44
λ = 3.108
/20.109
=0.015 m, Aem = πD2
/4
para a antena transmissora, GT (dBi) = 10 log((4π/λ)2
eAem) = 37 dB
para a antena receptora, GR (dBi) = 10 log((4π/λ)2
eAem ) = 45.8 dB
PR(dBm) = -94,0 PR = 3,98.10-10
mW.
Exercícios Propostos
1.1– Mostre que Ψ = C e-jβr
/r satisfazer a equação (1.25) exceto na origem. Integrando a equação
(1.23) sobre um pequeno volume em torno da origem e fazendo r → 0, mostre que C = (4π)-1
.
1.2 – Uma fonte possui diagrama de potência |cosn
θ| para 0 < θ < π/2 e zero π/2 < θ < π.
(a) calcule a diretividade para n = 1, 2, 3
(b) desenhe o diagrama para cada um dos casos
(c) qual a diretividade quando n=0.
1.3- Para uma fonte filamentar com alimentação uniforme ache a ângulo de meia potência.
a- Sua resposta deverá ser da forma,
HP = Kλ/L , para L >>λ
Determinar K.
Sugestão; primeiro ache o valor de uHP = (βL/2)cos (θ) quando |f(uHP)| = (1/2)1/2
. Faça aproximação
cos-1
(x) ≈ π/2 –x e cos-1
(-x) ≈ π/2 +x, quando x for pequeno.
41
1.4- Para um diagrama de apenas um lóbulo o diagrama do ângulo sólido do feixe é
aproximadamente dado por,
ΩA ≈ HPEHPD
onde HPE e HPD são os ângulos de meia potência em radianos do ângulo sólido do feixe no plano-E
e no plano-H, respectivamente. Mostre que,
00
41253
HE HPHP
D ≈
onde HPE0 e HPH0 são as larguras dos feixes de meia potência nos planos E e H em graus.
1.5 – Uma antena tem diagrama do campo distante o qual é independente de φ mas varia como
segue:
F = 1 , para 0o
< θ < 30o
F = 0,5 , para 60o
< θ < 120o
F = 0,707, para 150o
< θ < 180o
F = 0 , para 30o
< θ < 60o
E 120o
< θ < 150o
Calcule a diretividade.
1.6 – Um diagrama tem radiação uniforme com intensidade de radiação dado por,


 +<<
=
outros,0
/2-/2,1
)(
απθαπ
θF
Calcule a expressão da diretividade.
1.7 – Um dipolo feito de alumínio de comprimento igual a 2m e 6,35 mm de diâmetro opera em 500
KHz. Calcule a eficiência de radiação assumindo
(a) corrente uniforme ; (b) corrente triangular
1.8– Uma antena faixa do cidadão em 27 MHz usa uma antena de meio comprimento de onda e tem
impedância de entrada de 70Ω. Calcular a eficiência de radiação se a antena é feita de fio de
alumínio de 6,35 mm. Assuma que a corrente é triangular.
1.9 – O campo elétrico instantâneo possui polarização elíptica ex = E1 cos(ωt - βz) e ey = E2 cos(ωt
+ βz + δ).
Especifique E1, E2 e δ para as seguintes relações:
(a) Linear com E1 ≠ 0 , E2 ≠ 0
(b) Circular a direita
(c) Circular a esquerda
(d) Elíptica com E1 = E2
(e) Elíptica com δ = 90o
42
1.10 – Um transmissor UHF na freqüência de 150 MHz entrega 20 W em uma antena de ganho de
10 dB. Calcule a potência em watts disponível em uma antena de 3 dB a uma distância de
50Km.
1.11- Um satélite CTS (Communication Technology Satelite) tem um transponder em 11,7
GHz com potência de 200 W e antena de 19,3 dB de ganho. Calcule a potência
disponível em watts na estação terrena, tendo uma antena de ganho igul a à 50,4
dB( 3,66m de diâmetro). O satélite é síncrono e está à uma distância de 36.941 km.
1.12- Calcular o ângulo sólido do feixe ( ΩA) de um dipolo ideal em esferoradianos e em graus. Use
o fato que Aem = 0,119λ2
para o dipolo ideal.
1.13- Um dipolo meia onda possui ganho de 2,15 dB. Derive a expressão para a sua área efetiva
máxima em termos do comprimento de onda.
1.14- Uma certa antena refletora parabólica é circular com diâmetro de 3,66 m tem uma área efetiva
de 6,3 m2
. Calcular em decibels o ganho em 11,7 Ghz.
1.15- Uma antena parabólica circular possui diâmetro de 1,22 m . Se a abertura efetiva é igual à
55 % da área física, calcular o ganho da antena em decibels.
Calcular: (a)- a perda básica ou perda no espaço livre em dB e dBm,
(b)- a densidade de potência ou seja o vetor de Poynting (W/m2
), no receptor.
(c)- calcular a EIRP
(d)- a potência recebida no receptor em dB, dBm e Watts.
1.16- Calcular o desempenho do sistema de rádio do problema 1.10 à uma linha de transmissão
colocada entre o transmissor e receptor. Suponha que usa-se um cabo coaxial RG-8 ao invés
das antenas ligando o transmissor e receptor no lugar das antenas. O cabo possui uma perda de
0,1 dB/m.
(a)- calcular a perda em decibels no cabo para a distância de 50 km
(b)- Qual a perda líquida do sistema de rádio do problema anterior, isto é a perda entre o
sinal e entrada da antena transmissora e a saída da antena receptora?
(c)- será necessário repetidor entre o transmissor e receptor quando se usa cabo?
(d)- repita o item (a) e (b) para o caso de uma distância entre o transmissor e receptor de
500m
(e)- repita o item (d) para o caso do cabo funcionar em 300 Mhz com perda de 0,14 dB/m
(f)- Uma fibra óptica com 1 dB/km é usada. Calcule a perda em dB para o caso quando
distância entre o transmissor for de 50 km e 500m.
1.17- Uma antena de rádio AM tem ganho de 2 dB e 100 KW de potência de transmissão. Calcule
:
a- EIRP
b- a densidade de potência à uma distância de 20 km.
c- O campo elétrico à uma distância de 20 km.
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Antenas 1

  • 1. CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS EM ANTENAS 1.1 Introdução Antena é um dispositivo por meio do qual recebe ou transmite uma onda eletromagnética. Qualquer pedaço de fio pode ser usado como uma antena, sendo que evidentemente pode não possuir um bom rendimento. É comum pendurar um pedaço de fio na entrada da antena de uma TV ou rádio para melhorar a recepção do sinal. A explicação porque uma antena transmite ou recebe um campo elétrico, não é uma tarefa as vezes fácil. A análise e cálculo dos campos irradiados e recebidos de uma antena é explicado pelas equações de Maxwell, que por meio das quais calculamos os campos elétrico e magnético à uma distância qualquer da antena, como veremos futuramente. Uma outra função de uma antena é direcionar a intensidade de radiação em uma determinada direção na qual se deseja transmitir o sinal, como é o caso de ligação ponto a ponto de um enlace de microondas e comunicação via satélite. Figura 1.1 Antena como um dispositivo de transmissão 1
  • 2. Os principais tipos de antenas existentes na literatura são: - Radiador Isotrópico O radiador isotrópico é uma antena hipotética que irradia igualmente em todas as direções, como se fosse uma fonte pontual. Normalmente as propriedades das outras antenas são definidas com respeito ao radiador isotrópico. - Dipolo meia onda e maior do que meia onda O dipolo meia onda é uma antena tipo filamentar que possui tamanho l = λ/2 e é o mais usado na prática, devido a sua facilidade de construção e de casamento de impedância. Outras antenas de tamanho maior como de um comprimento de onda, um e meio comprimento de onda , etc. também podem ser encontradas na literatura. A figura 1.2b mostra um dipolo meia onda com sua distribuição de corrente ao longo do mesmo. As figuras 1.2c e 1.2d mostra um dipolo para outros comprimentos diferentes do meio comprimento de onda, com com suas distribuições de correntes. Figura 1.2 dipolo (a) curto, (b) meia onda, (c) e (d) outros valores de l - Dipolo ideal e dipolo curto O dipolo curto e dipolo ideal são antenas do tipo filamentar cujo comprimento (l) da mesma é muito menor do que o comprimento de onda ( l << λ) . Estas antena são usadas 2
  • 3. quando a frequência é muito baixa, como é o caso de f < 1 Mhz. A figura 1.2a apresenta um dipolo curto alimentado por uma corrente de intensidade linear I. O grande problema destas antenas surge devido ao casamento de impedância pois a resistência de radiação das antena dipolo curto é muito baixa, como veremos. Estas antenas apresentam também como um elemento capacitivo dificultando também o casamento de impedância, sendo necessário adicionar uma bobina no circuito da antena. A vantagem desta antena é possuir um tamanho reduzido, pois quando trabalhamos com baixas frequências o comprimento de onda é grande, e o tamanho da antena dipolo meia onda fica muito impraticável ( como por exemplo para uma frequência de 1 MHz, uma antena dipolo meia onda terá comprimento de 150m ). - Antena tipo loop A antena tipo loop apresenta na forma de uma espira ou mais como mostra a Fig. 1.3b. Ela as vezes pode ser feita como uma bobina, em que o núcleo pode ser de ar ou ferrite. Uma antena muito utilizada na prática quando se usa polarização circular é a antena helicoidal, como mostra a Fig. 1.3c. Figura 1.3 (a) dipolo, (b) loop circular, (c) helicoidal - Antena Monopolo A antena dipolo curto é uma antena filamentar de tamanho igual à um quarto de comprimento de onda ( l = λ/2). Elas são usadas em transmissão de rádio AM, e são colocadas verticalmente próximo `a superfície da terra, e como a frequência é baixa a terra torna boa condutora fazendo com que a teoria das imagens seja aplicada, e tudo se passa em termos de radiação como se antena fosse de meio comprimento de onda. Para aumentar a condutividade do solo coloca-se fios de cobre radialmente distribuídos a partir do ponto central é colocada a antena. Em algumas situações estas antenas são colocadas sobre regiões pantanosas pois nestas regiões a condutividade do solo é alta. 3
  • 4. - Antenas faixa Larga As antenas faixa larga são usadas quando se deseja que a mesma opere em uma faixa de frequência larga como é o caso a banda dos canais de TV. As duas antenas mais comuns usadas como faixa larga são : helicoidal e log-periódica . A antena helicoidal é construida como uma hélice e sua polarização é circular. A antena log-periódica é constituída de vários dipolos colocados em paralelo, como será visto no capítulo V. O ganho desta antena pode variar de 10 até aproximadamente 100 vezes comparado ao radiador isotrópico. - Antena Yagi-Uda A antena Yagi-Uda (Fig. 1.4a) é formada também de um conjunto de dipolos em paralelo onde apenas um elemento é ativo e os outros elementos são elementos passivos que são usados como refletores e diretores aumento o ganho para valores em média de 10 vezes comparadas à um radiador isotropico. Figura 1.4 (a) antena Yagi, (b) conjunto, (c) conjunto de guias de ond 4
  • 5. - Conjunto de Antenas Um conjunto de antenas é constituído por uma ou mais antenas de maneira disposta tal que o ganho do conjunto é maior do que quando se usa apenas uma antena. A distância entre as antenas e a fase da corrente que alimenta as mesmas é feita de modo a termos um efeito construtivo dos campos no ponto que se deseja calcular o campo. - Antena Tipo Abertura As antenas em abertura mais comuns são as antenas cornetas ( Fig. 1.5) Estas antenas são largamente usadas em comunicações via satélite por possuir um ganho elevado. Figura 1.5 Antenas tipo abertura - Antenas Refletora O processo de reflexão é o fenômeno explicado com base na teoria da ótica geométrica, quando um raio incidente em uma superfície da origem `a uma onda refratada e uma onda refletida. A onda refletida pode estar em fase com a onda direta produzindo um fenômeno construtivo. 5
  • 6. A superfície refletora pode ter várias configurações. A superfície refletora mais comum encontrada na prática é do tipo parabólica. Estas antenas possuem um ganho de potência elevado e pode atingir valores superiores à 100 mil vezes quando comparado ao ganho do radiador isotrópico. Elas são mais usadas em frequência superior a 1 Ghz, como é o caso de enlaces de comunicação via satélite e microondas. A Fig. 1.6 mostra alguns tipos de superfícies refletoras com seus elementos alimentadores. A Fig. 1.6(a) mostra um refletor parabólico com alimentador frontal, a Fig.1.6(b) mostra um refletor parabólico com um sub-refletor também parabólico no foco da parábola. Esta configuração é chamada de Casseggrain. A Fig. 1.6(c) mostra um refletor tipo refletor de canto. Todos produzem um focolização dos feixes para o ponto focal onde se situa o alimentador ou o sub-refletor como no caso da antena tipo Cassegrain. Figura 1.6 Antenas refletoras 1.2 Mecanismos de Irradiação Uma das primeiras perguntas que surge sobre as antenas é “como se dá o processo de radiação de uma antena ?“. Em outras palavras como um campo eletromagnético é gerado em uma fonte, guiada por uma linha e escapa para o espaço livre? Vamos considerar uma fonte de tensão conectada à uma linha de transmissão de dois condutores que é conectada à uma antena, como mostrado na figura 1.7 . A tensão aplicada nos dois condutores cria um campo elétrico entre os dois condutores da linha. O 6
  • 7. campo elétrico tem associado à ele suas linhas de força as quais são tangentes ao campo elétrico em cada ponto e sua intensidade é proporcional à intensidade do campo elétrico. As linhas de força do campo elétrico tem uma tendência de atuar nos eletrons livres associados aos condutores e força os mesmos a se deslocarem. O movimento das cargas cria uma corrente que por sua vez cria em torno dos um campo magnético. Associados ao campo magnético estão as linhas força magnética as quais são tangentes ao campo magnético. As linhas de força magnética sempre formam loops fechadas enciclando os condutoes porque não há carga magnética. As linhas do campo elétrico desenhadas entre os dois condutores auxilia a distribuição das cargas. Se assumimos que a fonte de tensão é sinoidal, esperamos que o campo elétrico entre os condutores também é senoidal com período igual ao da fonte. A intensidade do campo elétrico indicará a densidade das linhas de força com a seta mostrando a direção relativa (positiva ou negativa). A criação do campo elétrico e magnético variável no tempo entre os dois condutores forma uma onda eletromagnética que viaja ao longo da linha de transmissão. A onda eletromagnética entra na antena e tem associado a ela cargas elétricas e as correspondentes correntes. Se removemos parte da antena mostrado na figura , ondas no espaço livre pode ser formadas por conexão do final aberto das linhas elétricas. As ondas no espaço livre são periódicas mas um ponto de fase constante Po move para fora com velocidade da luz e desloca para uma distância λ/2 (ponto P1) em um tempo de meio período. A figura mostra a criação e deslocamento no espaço livre de ondas no espaço livre de uma antena meio comprimento de onda em instante de tempo t = 0, T/2, T/4, 3T/8. Figura 1.7 Fonte de radiação fonte e linha de transmissão 7
  • 8. As linhas de força partem do campo elétrico partem das cargas positivas para as negativas. Elas também podem partir das cargas positivas e terminar no infinito ou partir do infinito e terminar nas cargas negativas ou formar um loop não partindo nem terminando em nehuma carga 1.3 Equações Eletromagnéticas Fundamentais O sistema de coordenadas usados nos capítulos seguintes são dados na figura 1.8. Faremos aqui uma análise resumida de como calcular o campo produzido por uma distribuição de corrente em um volume qualquer. Inicialmente calculamos calcula-se o vetor potencial elétrico e o potencial escalar para em seguida obter o campo elétrico e magnético. O campo calculado por uma antena dipolo ideal será alvo de discussão no parágrafo seguinte, mas para isso precisamos determinar o vetor potencial. Figura 1.8 Coordenadas esféricas para um sistema de radiação As equações fundamentais do eletromagnetismo são, t b ex ∂ ∂ −=∇   (1.1a) Tj t d hx    + ∂ ∂ =∇ (1.1b) 8
  • 9. )(. td Tρ=∇  (1.1c) 0. =∇b  (1.1) t t j T T ∂ ∂ −=∇ )( . ρ (1.1e) dbe  ,, são o campo elétrico, a indução magnética e o vetor deslocamento, respectivamente e TTj ρ,  são a corrente total e densidade de corrente. Todas as os campos possuem variação com x,y,z e t. Considerando os campos como tendo variação harmônica, ou seja a variação no tempo é do tipo ejωt , tj ezyxEtzyxee ω ),,(),,,(  == (1.2 a) tj ezyxBtzyxbb ω ),,(),,,(  == (1.2 b) etc. Utilizando a notação simplificada, ),,( zyxEE  = ),,( zyxBB  = etc. e substituindo nas quatro equações de Maxwell teremos, HjEx  ωµ−=∇ (1.3a) TJDjHx  +=∇ ω (1.3b) TD ρ=∇  . (1.3c) 0. =∇H  (1.3d) TT jJ ωρ−=∇. (1.3e) a corrente total JT é dada por, JEJT  +=σ (1.4) 9
  • 10. A corrente total é a soma da corrente de condução (σĒ) e da corrente imposta J. A corrente de condução aparece no elemento condutor devido à indução que é produzida pela corrente imposta que normalmente passa em outro condutor. As relações constitutivas são dadas por, ED  ε= , e HB  µ= (1.5) substituindo (1.4) e (1.5) em (1.3b) temos, JEEjJDjHx T  ++=+=∇ σωεω JE j jHx  ++=∇ )( ω σ εω (1.6) O conjunto de equações(1.3) poderá ser escrito como, HjEx  ωµ−=∇ (1.7a) JEjHx  +=∇ 'ωε (1.7b) '/. ερTD =∇  (1.7c) 0. =∇H  (1.7d) ωρjJT −=∇. (1.7e) onde, )/( ωσεε j−=′ A potência complexa Ps por uma fonte no volume v é igual a soma da potência fluindo da superfície s, a potência média Pdav dissipada em v, mais a potência média armazenada em v, )(2 eavmavdavfs WWjPPP −++= ω O fluxo de potência através da superfície s é dada por, ∫∫= s f sdHxEP  . 2 1 * 10
  • 11. onde, * 2 1 HxE  é o vetor de Poynting A potência média dissipada no volume v é dada por, ∫∫∫= v dav dvEP 2 σ A energia magnética média armazenada é ∫∫∫= v mav dvHW 2 2 1 2 1  µ A energia elétrica média armazenada é, ∫∫∫= v eav dvEW 2 2 1 2 1  ε O fluxo de potência real através da superfície S é dada por, ∫∫= sf sdHxEP ).Re( 2 1 *  - Solução das Equações de Maxwell para o problema de radiação Da relação A-9 do apêndice, 0).( =∇∇ Ax  mas pela equação 1.7d, 0).( =∇ H  podemos escrever, AxH  ∇= (1.8) onde A  é chamado de vetor potencial magnético. 11
  • 12. Substituindo a equação (1.8) em (1.7a) ficamos com: ( ) 0AjEx =ω µ+∇  (1.9) Usando a equação A10 do apêndice, 0)( =∇∇ φx , a equação (1.9) pode ser escrita, φ−∇=ωµ+ AjE  onde φ é o potencial escalar elétrico. φ∇−ωµ−= AjE  (1.10) Pela equação (1.7a), JEjAxxHx  +ε′ω=∇∇=∇ (1.11) usando a identidade, ( ) AA.Axx 2  ∇−∇∇=∇∇ (1.12) Substituindo (1.10) em (1.11) ( ) ( ) JAjjAA. 2  +φ∇−ω µ−ε′ω=∇−∇∇ (1.13) ou ( ) JA.jAA 22  −=∇+φε′ω∇−ε′µω+∇ (1.14) Pela condição de Lorentz, φε′ω−=∇ jA.  (1.15) A equação (1.14) fica, JAA 22  −=ε′µω+∇ (1.16) esta é chamada equação da onda na forma vetorial. Usando a equação (1.10) e (1.15) ( ) ε′ω ∇∇ +ωµ−= j A. AjE   (1.17) 12
  • 13. nota se que para calcular o valor do campo elétrico basta conhecer a intensidade de A  . Da equação (1.10), ( )φ∇−∇=∇ωµ+∇ .A.jE.  (1.18) usando as equações (1.5) e (1.15), ( ) ( )φ∇−∇=φε′ω−ωµ+ε′ρ .jj/ (1.19) ou ε′ρ−=φε′ωµ+φ∇ /2 (1.20) A equação da onda vetorial pode ser resolvida usando três equações escalares. Primeiramente podemos decompor o vetor A  em suas três componentes, z 2 y 2 x 22 AzˆAyˆAxˆA ∇+∇+∇=∇  (1.21) A equação (1.16) pode ser escrita como, xxx 2 JAA −=β+∇ yy 2 y 2 JAA −=β+∇ (1.22) zz 2 z 2 JAA −=β+∇ onde ε′µω=βε′µω=β ou22 O conjunto (1.22), apresentam a mesma forma e soluções semelhantes. Inicialmente considerando a equação, )z()y()x(2 δδδ−=Ψβ+Ψ∇ (1.23) onde Ψ é a resposta a uma fonte colocada na origem. Se a corrente está na direção z, por exemplo, então Ψ = Az. Para todos os pontos exceto a origem, 022 =Ψβ+Ψ∇ (1.24) Esta é chamada de Equação Escalar da Onda ou equação de Helmholtz. A equação (1.24) possui como solução C1 e-jβr /r e C2 e+jβr /r , que correspondem a uma onda se propagando na direção positiva e negativa respectivamente. A solução para uma onda se propagando na direção positiva, onde a constante de proporcionalidade é 1/4π é dada por, 13
  • 14. r4 e rj π =Ψ β− (1.25) A equação (1.25) é a solução da equação da onda quando a fonte está na origem. Quando a fonte não está na origem, R4 e rj π =Ψ β+ (1.26) onde R é a distância da fonte ao ponto onde se deseja calcular o campo como mostra a figura 1.9. Para uma corrente arbitrária na direção z, o vetor potencial está na direção z. Se considerarmos uma fonte como um conjunto fontes pontuais cuja intensidade é dada por Jz, o potencial Az é dado pela soma de todas as cargas e no limite a corrente Jz é dada pela equação, vd R e JA v Rj zz ′= ∫∫∫′ − π β 4 (1.27) Que é a integral sobre o volume v’ da figura 1.9. De maneira similar podemos calcular Jx e Jy, as componentes na direção y e z da densidade de corrente. O vetor potencial total A é dado por, vd R e JA v Rj ′= ∫∫∫′ − π β 4  (1.28) Figura 1.9- Vetores usados para resolver o problema de radiação produzido por uma corrente J no ponto P. Calculando o valor de A pela equação (1.28), podemos calcular o valor do campo elétrico e magnético pela equação, AxH  ∇= 14
  • 15. se estivermos na fonte, pela equação (1.11), ( )JHx j 1 E  −∇ ωε = (1.29) Quando estivermos em um ponto fora da fonte J=0, então, ( )Hx j E  ∇= ωε 1 (1.30) 1.4 Dipolo Ideal Usaremos o termo dipolo ideal uma corrente infinitesimal de tamanho ∆z < < λ ao longo do eixo z, colocada na origem. Neste caso o volume de integração da equação (1.27) se reduz a uma dimensão. zyxIJ ˆ)()( ′′= δδ  para -∆z ≤ z´ ≤∆z (1.31) substituindo na equação (1.28), ∫∫∫′ − ′= v Rj dzdydx R e zyxIA ´´´ 4 ˆ)(´)( π δδ β (1.32) ∫ ∫∫ ∞ −∞ ∆ ∆− − ∞ ∞− = ´ 2/ 2/ ´ 4 ´´)(´)(ˆ dz R e dyydxxIzA Rj π δδ β (1.33) zd R zA z z R ′= ∫ ∆ ∆− 2/ 2/ -j 4 e Iˆ π β (1.34) Como ∆z é muito pequeno comparado com r, zˆz r4 eI A r-j ∆ π = β (1.35) 15
  • 16. Figura 1.10 – Dipolo ideal de dimensão ∆z e corrente uniforme I. A equação (A.16) nos fornece, )()().( GxfGxfGf  ∇+∇=∇ (1.36) usando a equação (1.28), podemos escrever, zxAzxAzxAzAxAxH zzzz ˆ)()ˆ(ˆ)()ˆ( ∇=∇+∇=∇=∇=  (1.37) r eI H rj z π β 4 − ∆ ∇=  (1.38) ou zˆxrˆ r e r4 zI H rj       ∂ ∂ π ∆ = β− (1.39) zˆxrˆ r e r ej 4 zI H 2 rjr-j       − β− π ∆ = β−β (1.40) θφ=θθθ= senˆ-)senˆ-cosrˆ(xrˆzˆxrˆ (1.41) Substituindo (1.41) em (1.40), φθ    + β π ∆ = β− ˆsene r 1 r j 4 zI H rj 2  (1.42) O campo elétrico é dado por (1.30), 16
  • 17. rˆcos 1 . 11 2 zIˆsen 11 4 3232 θ ωεε µ π θθ ωεε µωµ π ββ rjrj e rjr e rjrr jzI E −−       + ∆ +      ++ ∆ =  (1.43) substituindo, µεω=β na equação acima, φθ β β π β ˆsen 1 1 4 r e rj j zI H rj−       + ∆ =  (1.44) ( ) ( ) rˆcos 11 2 zIˆsen 11 1 4 22 θ ββ βµ π θθ ββ ωµ π ββ r e rjrj j r e rjrj j zI E rjrj −−       + ∆ +      ++ ∆ =  (1.45) Se βr >> 1 ou r >> λ, poderemos desprezar ao termos de mais alta ordem, φθωµ π ∆ = β− ˆsen. r e j 4 zI E rj (1.46) φθβ π β ˆsen 4 r e j zI H rj− ∆ =  (1.47) Observa-se que o campo elétrico tem apenas a componente na direção θ enquanto o campo magnético na direção φ. η ε µ β ωµ φ θ === H E (1.48) η é chamada de impedância intrínseca do meio e para o espaço livre η ≅ 120π(Ω). Podemos calcular a potência irradiada pelo dipolo ideal, usando a expressão, ∫∫= sd.Hx 2 1 *  EPf (1.49) 17
  • 18. onde Pf é a potência que passa através de uma superfície s e, ndssd ˆ.=  (1.50) o elemento de área ds = r2 senθdθdφ. (1.51) Pf ( ) s.dˆsen r e j-xˆsen r e j 4 zI 2 1 rjrj 0 2 0 2  φθβθθωµ      π ∆ = ββ− ππ ∫∫ rˆddsenr.rˆ r sen 4 zI 2 1 2 2 2 0 2 0 2 φθθ θ ωµβ      π ∆ = ∫∫ ππ θθφωµβ π ππ dsen 42 1 3 0 2 0 2 ∫∫      ∆ = d zI 4 3 2 42 1 2 πωµβ π       ∆ = zI ( )2 12 zI∆= π ωµβ (1.52) 1.5– Diagrama de Radiação Em sistema de antenas é muito útil medir a intensidade do campo ou a potência irradiada por uma antena em uma superfície esférica de raio constante imaginária em torno da antena. Estas medidas podem ser feitas em função dos ângulos θ e φ em um sistema de coordenadas esféricas fornecendo assim a variação do campo ou da potência com a direção. O diagrama de radiação de uma antena nos fornece em que direção o campo ou a potência irradiada pela antena é mais intensa. Em projeto de antena é de extrema importância traçar o diagrama de radiação de uma antena, mas para isso é necessário ter o valor do campo em função das coordenadas θ e φ. O diagrama de radiação do campo é o gráfico que representa a intensidade do campo distante da antena. Como pode ser observado pela Fig. 1.11 o diagrama de radiação pode ser desenhado em sistema de coordenadas esféricas (Fig. 1.11 ) ou em qualquer plano como passando pelo eixo z (figura 1.11) ou no plano xy. O diagrama de radiação da potência é o gráfico que representa a potência do sinal. O diagrama de radiação nos o comportamento do valor do campo ou da potência em função dos ângulos θ e φ. O diagrama de radiação pode ser medido movendo se uma antena teste alo longo de uma círculo com raio constante como pode ser observado pela Fig. 1.12a. Para o caso de um dipolo ideal sabemos que a intensidade de campo varia com o sen(θ) e é independente de φ, isto porque o problema é simétrico com respeito a φ. Para qualquer plano vertical passando pelo eixo z o diagrama é o mesmo daquele apresentado pela Fig. 1.12b. No plano xy, o diagrama de campo será dado pela Fig. 1.12c. 18
  • 19. Neste caso dizemos que o diagrama é omnidirecional no plano xy, isto é ele possui a mesma intensidade de campo em todas as direções. Qualquer plano contendo o eixo z é chamado de plano E, e o seu respectivo diagrama é chamado de diagrama do plano E, isto porque ele contém o campo elétrico E, enquanto o diagrama de campo no plano xy é chamado de diagrama do plano H, porque ele contém o campo H. A Fig. 1.12.b, 1.12.c, 1.12.d, mostra o diagrama de radiação de um dipolo ideal nos planos E , plano H e tridimensional. Quando se deseja traçar o diagrama de radiação é necessário calcular a intensidade de campo distante de uma determinada antena Por isto faremos uso das equações discutidas anteriormente e que serão revistas aqui. Como a maioria das antenas são na forma de um fio, a densidade de corrente J varia apenas com z´. Para calcular a intensidade de campo E e o campo magnético H, é necessário calcular o vetor A. - Procedimento para calculo do campo elétrico E e campo magnético H. - Cálculo do vetor A. Dado uma distribuição de corrente J em um volume de v´ como mostrado na figura 1.13, podemos calcular o vetor potencial magnético A pela equação, vd R e JA Rj v ′= − ′∫∫∫ π β 4  (1.53) onde o volume de integração é dado pela Fig. 1.13. 19
  • 20. Figura 1.11- Diagrama de radiação de uma antena genérica e de uma corneta 20
  • 21. Figura 1.12. Diagrama de radiação (b) plano-E e (c) plano-H O cálculo do campo distante pode ser calculado considerado que os raios estão paralelos como mostra a Fig. 1.13, R = r – z´cosθ = r –r´.r (1.54) 21
  • 22. Figura 1.13- Aproximação dos raios paralelos para cálculo do campo distante de uma fonte genérica. Substituindo o valor de R , na equação 1.53, podemos obter a equação , vdeJ r e A rrj rj ′= ∫∫∫ ′− − . 4 β β π  (1.55) para uma fonte no eixo z, Se considerarmos uma fonte cuja a intensidade de corrente está na direção z´, zzJzyxJ z ˆ´)(´)´,´,( =  a equação 1.55 fica, ∫∫∫′ ′− − ′= v rrj z rj vdeJ r e zA .ˆ 4 ˆ β β π  (1.56) Se a fonte for filamentar, isto é um fio de pequena espessura colocado no eixo z como mostra a figura 1.14, ´)(´)(´)(´)( yxzIzJ z δδ= a equação 1.56 pode ser escrita como, zdezI r e zdzdydxyxzI r e zA zj rj v rj z ′′== ∫∫∫∫ ′ −− θβ ββ π δδ π cos )( 4 ˆ´´´´)(´)(´)( 4 ˆ ´ (1.57) 22
  • 23. Figura 1.14- Aproximação dos raios paralelos para o cálculo do campo distante de uma fonte filamentar. 2- Cálculo o valor de E. Pela equação 1.17, ωε ωµ j A AjE ).(   ∇∇ +−= (1.58) usando a equação (1.57) com a equação( 1.58 ) e desprezando os termos de ordem superior retendo apenas os termos com r –1 (βr>>1) e considerando a fonte na diração z temos, zAjAjE θωµθωµ θ senˆ =−=  (1.59) 3- Calcule o valor de H. Em geral o cálculo de H pode usar para uma onda plana a equação, ExrH  ˆ 1 η = (1.60) Para uma fonte na direção z, 23
  • 24. η θ φ E H = , η φ θ E H −= (1.161) Exemplo. Uma fonte filamentar. Uma fonte filamentar é uma fonte na forma de um fio no qual a corrente é constante ao longo de sua extensão. Se usamos um a fonte uniforme centrada na origem e ao longo do eixo z a corrente é dada por, Figura 1.15- Fonte filamentar com distribuição de corrente uniforme Io , para x = x´ , y´ = 0, | z´| ≤ L/2 I(z´) = (1.62) 0 Para outros valores onde L é o tamanho do fio. Podemos achar Az [ ] θβ θβ π θβππ β θβθββ θβ β cos)2/( cos)2/(sen 4 cos44 2/ 2/ cos2/cos2/ cos L L r LeI j ee I r e zdeI r e A rj o L L LjLj o rj zj o rj z − − −− ′ − = =      − =′= ∫ (1.63) O cálculo do campo elétrico pode se feito usando a equação, [ ]θ θβ θβ θ π ωµ θθωµ β ˆ cos)2/( cos)2/(sen )sen( 4 ˆ)sen( L L r LeIj AjE rj o z − ==  (1.64) O valor de Hφ pode ser feito usando a equação 24
  • 25. Hφ = Eθ/η (1.65) Pelas equações (1.46) e (1.47) os campos variam apenas com θ. Para qualquer plano passando pelo eixo z o diagrama de radiação é o mesmo e um diagrama de qualquer destes planos é chamado de diagrama do plano-E. Qualquer diagrama perpendicular ao plano -E é chamado de diagrama do plano–H. A Fig. 1.16 apresenta um diagrama de radiação de potência típico em um plano-E ou plano-H. O diagrama apresenta lóbulos secundários e um lóbulo principal normalizado. O ângulo de meia potência (HP) é definido por, HPdireitaHPesquerdaHP θθ −= onde θHpdireita e θHpesquerda são os ângulos de meia potência da direita e esquerda respectivamente, isto é, o ângulo onde a potência cai para a metade ( 0,5) do valor máximo. O ângulo entre os primeiros nulos é chamado de (BWFN), como pode ser observado pela Fig. 1.16. Figura 1.16- Diagrama de radiação típico de uma antena no plano-E ou plano-H. HP é o ângulo de meia potência e BWFN é o ângulo entre os primeiros nulos. 1.6– Ganho e Diretividade Em sistemas de telecomunicações ponto-a-ponto é comum desejar canalizar a potência de um transmissor em uma determinada direção onde se localiza o receptor. Isto faz com que a eficiência do sistema aumenta, pois a potência nas direções não desejadas é reduzida. Estes 25
  • 26. tipos de sistemas são largamente encontrados na prática como é o caso de comunicações via satélite e enlaces de microondas, onde o aumento de potência em uma determinada direção pode chegar até 60 dB ou mais, o que corresponderia à uma aumento de mais de 1milhão de vezes em valor absoluto. Em outras situações se deseja transmitir a potência igualmente em todas as direções em um plano horizontal, como é o caso de telefonia celular ou radio difusão quando o transmissor está localizado no centro de uma cidade, estas antenas são chamadas de omnidirecional. Em medidas de eficiência de uma antenas é usual medir a intensidade de radiação tomando como parâmetro uma antena que irradia igualmente em todas as direções. A antena que irradia igualmente em todas as direções é chamada de irradiador isotrópico. A diretividade e ganho são dois parâmetros muito usados em teoria de antenas e eles nos fornecem o quanto a densidade de potência ( vetor de Poynting) irradiada por uma antena qualquer em teste, aumenta em relação à densidade de potência de um irradiador istrópico quando os dois ( a antena em teste e o irradiador isotrópico ) são alimentados com a mesma potência de transmissão, PT, fornecido pelo transmissor. A potência irradiada ( Pr ) por uma antena é dada por pela integral da densidade de potência ( vetor de Poynting) em uma superfície esférica imaginária em torno da antena, ou seja a potência Pr por uma antena qualquer é ( ) sd.HxERe 2 1 P * r  ∫∫= (1.66) ( ) φθθ−= ∫∫ θφφθ ddsenrHEHERe 2 1 2** sabemos que, η −= η = φ θ θ φ E He E H (1.67) então ( ) Ω+ η = ∫∫ φθ drEE 2 1 P 222 r (1.68) onde o elemento de ângulo sólido é, φθθ ddd )sen(=Ω Definiremos intensidade de radiação como, ( ) ( ) rˆr.HxERe 2 1 ,U 2*  =φθ (1.69) 26
  • 27. ou ( ) ( ) 2 m ,FU,U φθ=φθ (1.70) onde Um é a intensidade de radiação máxima. U = U(θmax, φmax) (1.71) A potência total irradiada é dada por, ( ) Ωφθ=∫∫ d,UPr (1.72) onde dΩ = senθ dθ dφ, que é o elemento de ângulo sólido. A potência média é dada por, ∫∫ π =Ωφθ π = 4 P )d,(U 4 1 U r ave (1.73) Para um dipolo ideal, usando as equações (1.69), (1.46) e (1.47), a intensidade de radiação é dada por, ( ) θβωµ      π ∆ =φθ 2 2 sen 4 zI 2 1 ,U βωµ      π ∆ = 4 zI 2 1 Um Usando a equação (1.51), ( )( ) π ∆πβωµ = π = 4 zI12/ 4 P U 2 r ave βωµ π 2 43 1       ∆ = zI ideal)(dipoloU 3 2 m= (1.74) 27
  • 28. Figura 1.17 Intensidade de radiaçao de um dipolo ideal - Diretividade A diretividade de uma antena nos dá o valor relativo da intensidade de radiação, U(θ,φ), da antena em questão em uma determinada direção, comparada à intensidade de radiação do radiador isotrópico ( Uave), e pode ser expressa por pela razão, ( ) ( ) aveU ,U ,D φθ =φθ (1.75) ou ( ) ( ) ( ) 2 r * 2 ave 2 r4/P rˆ.HxERe 2 1 r/U r/,U ,D π = φθ =φθ  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 A 2 2 ,F 4 d,F 4 1 ,F d),(U 4 1 ),(U ,D φθ Ω π = Ωφθ π φθ = Ωφθ π φθ =φθ ∫∫∫∫ (1.76) onde o ângulo sólido do feixe da antena é. ( ) Ωφθ=Ω ∫∫ d,F 2 A (1.77) ∫∫ Ω=Ω d U U m A ),( φθ ∫∫ =Ω=Ω RmA PdUU ),(. φθ RmA PUU =. 28
  • 29. Figura 1.18 Ângulo sólido do feixe da antena O ângulo sólido do faixe de uma antena é o ângulo pelo qual toda a energia seria irradiada se a intensidade de radiação fosse constante e igual ao valor máximo Um, ou seja, Pr = Um ΩA (1.78) Em antenas é comum trabalhar apenas o valor da máximo da diretividade, ou seja com a diretividade máxima D, que é dada por, Am m r m ave m U U P U U U D Ω === π π 4 4/ A 4 D Ω π = (1.79) É muito comum na literatura chamar a diretividade máxima D simplesmente de diretividade. A diretividade pode ser expressa em função da função normalizada |F(θ,φ)|2 , 2 2 ),( ),(),( ),( φθ φθφθ φθ FD U FU U U D aveave === D(θ, φ) = D|F(θ, φ)|2 (1.80) Para um dipolo ideal usando a equação (1.74) podemos calcular a diretividade D, ideal)(dipolo 2 3 U 3 2 U U U D m m ave m === (1.81) 29
  • 30. Este valor de diretividade de D= 1,5 (dipolo ideal), significa que o dipolo ideal irradia na direção do máximo de irradiação uma potência que é uma vez e meia ( 1,5 ) àquela que é irradiada por um radiador isotrópico, com a mesma potência de transmissão Pt. Isto significa que na direção de máxima radiação, o dipolo ideal possui uma eficiência que é uma vez e meia ao radiador isotrópico. A explicação deste conceito é simples, basta imaginarmos que o radiador isotrópico irradia igualmente em todas as direções, enquanto o dipolo curto possui uma intensidade de radiação que varia com a direção, sendo máxima para θ = 90o , e mínima para θ = 0º . Isto faz com que na direção de máximo ela concentra mais energia do que o radiador isotrópico. Podemos obter o mesmo valor da diretividade usando a definição do ângulo sólido do feixe da antena. Para uma antena dipolo ideal, ∫ ∫∫ ∫ =Ω=Ω π ππ π φθθθφθ 2 0 0 22 0 2 0 )sen(sen),( dddFA 3 8 3 4 .2ddsensen 2 0 2 0A π =π=φθθθ=Ω ∫∫ ππ (1.82) A diretividade é dada por, 2 3 3 8 44 == Ω = π ππ A D ou ainda em dB, DdB = 10 log D = 1,76 dBi (1.83) Em muito comum na literatura usar o termo dBi, quando a diretividade da antena for dada em relação ao radiador isotrópico, que é o caso mais comum na prática. A diretividade dada pelas equações anteriores são usadas para qualquer tipo de antena, seja ela parabólica, filamentar, abertura, etc.. 30
  • 31. Figura 1.19 Diretividade de um dipolo ideal - Ganho Quando o transmissor entrega uma potência à uma antena, parte da energia é irradiada na forma de onda eletromagnética que chega até o receptor e outra parte será perdida na forma de perda ôhmica como no caso das antenas filamentares, ou ainda devido à desfocalização proveniente à rugosidade da superfície no caso das antenas parabólicas. O ganho de uma antena é definido como, G = eD (1.84) Onde a eficiência ‘e’ é dada por, antenanaentradadePotência antenapelairradiadaPotência P P e in r == (1.85) Como se vê o ganho de uma antena é menor do que a diretividade, pois a eficiência é sempre menor do que a unidade. O ganho então está relacionado à potência efetivamente irradiada levando em consideração as perdas. Analisaremos a seguir a eficiência de uma antena dipolo ideal, em termos de eficiência. 1.7 - Impedância de uma antena Toda antena como um circuito elétrico apresenta nos seus terminais uma corrente e uma tensão e no entanto podemos definir e calcular impedância de entrada de uma antena como, Zin = Rin + j Xin (1.86) onde Rin é a resistência que relaciona a potência dissipação na forma de calor mais a potência irradiada, que é dada pela soma da resistência ôhmica com a resistência de irradiação. A potência Pin , isto é a potência entregue à antena é a soma da potência dissipada no fio da antena na forma de calor mais a potência irradiada e pode ser expressa por, 2 ininin IR 2 1 P = (1.87) onde Iin é valor RMS da corrente na entrada da antena. 31
  • 32. A potência de entrada é a soma da potência dissipada (ôhmica ) Pôhmica e da potência irradiada (Pr). Podemos definir uma resistência hipotética Rri, chamada a resistência de irradiação que está relacionada com a potência irradiada pela antena. A potência de irradiação pode então ser expressa pela equação que relaciona a corrente com a resistência de irradiação Rri, 2 2 1 inrir IRP = A perda ôhmica no fio está relacionada com a resistência ôhmica pela equação, 2 2 1 inôhmicaôhmica IRP = A equação (1.87) poderá ser escrita como, 2 inôhmica 2 inriôhmicarin IR 2 1 IR 2 1 PPP +=+= (1.88) A resistência de irradiação Rri pode ser dada por, 2 in r ri I P2 R = (1.89) A resistência Rôhmica pode ser dada por, ( ) 2 in rin 2 in ôhmica ôhmica I PP2 I P2 R − == (1.90) Considerando o dipolo ideal e fazendo Rr = Rri, a resistência de irradiação de entrada ou simplesmente a resistência de entrada é dada por, ( ) 22 22 in r r )z( 6 zI 12 . I 2 I P2 R ∆β πε εµµω =∆ π ωµβ == (1.91) ( ) 2 2 2 z 2 6 120 z 6       ∆ λ π π π =∆ π β η= )(80080 22 2 Ω      ∆ ≅      ∆ = λλ π zz Rr (1.92) A resistência de irradiação de um dipolo ideal é função do comprimento do dipolo e da frequência, para o caso de ∆z /λ = 10, o valor da resistência de irradiação é dada por, Rr ≅ 8Ω 32
  • 33. Podemos calcular a eficiência de uma antena em função das resistência de irradiação e resistência ôhmica, `a partir da equação (1.85), ôhmicar r in r PP P P P e + == 2 inôhmica 2 inri 2 inri IR 2 1 IR 2 1 IR 2 1 e + = finalmente a eficiência é dada por, in ri ôhmicari ri R R RR R e = + = (1.93) Considerando um dipolo ideal funcionando em f = 1 MHz, com comprimento ∆z = 1m a resistência de irradiação é dada por, Ω=      π= 0088,0 300 1 80R 2 r A resistência ôhmica de um fio é dada pela equação da física, sôhmica R a2 L R π ≅ (Ω) onde L é o comprimento do fio, ‘a’ o raio do fio e Rs a resistência superficial do fio, que é dada por, σ ωµ = 2 Rs (1.94) Para uma antena feita de fio 20AWG com a = 4,06x10-4 e σ = 5,7x107 S/m, funcionando na frequência de 1 MHz, Ω== − − 4 7 67 1063,2 107,52 102104 x xx x Rs ππ e, Ω= π = − − 103,010x2,63x 10x06,4x2 1 R 4 4ôhmica A eficiência da antena dipolo ideal considerada acima, com comprimento de 1m, funcionado na frequência de 1MHz construída com fio 20 AWG, será dada por, %87,7 0088,0103,0 0088,0 e = + = 33
  • 34. Nota-se um valor muito pequeno para a eficiência, isto se explica porque a antena possui uma impedância de radiação muito pequena. Como já vimos o dipolo ideal possui uma distribuição uniforme de corrente ao longo do seu comprimento como mostra a Fig. 1.20(a). Para obter uma distribuição uniforme como é o caso do dipolo ideal é necessário colocar duas placas metálicas nas extremidades das antenas, o que conhecido na literatura como carga de topo. Quando estas placas não são colocadas a nas extremidades das antenas a distribuição da corrente ao longo da mesma ( considerando ainda o tamanho da antena muito menor do que o comprimento de onda ) é da forma triangular como mostrado na Fig. 1.20(b). Figura 1.20 (a) dipolo ideal (b) dipolo curto A antena cuja distribuição de corrente é triangular como mostrada na Fig. 1.18(b) é chamada de dipolo curto. Para um dipolo curto a resistência de entradas é dada por, )(20 2 2 Ω      ∆ = λ π z Rr (1.95) Observa-se que a resistência de irradiação do dipolo curto é quatro vezes menor do que a resistência de irradiação do dipolo ideal. 1.10 - Polarização da Antena Uma antena emite uma onda eletromagnética que poderá ter o campo elétrico polarizado de maneira linear, circular ou elíptica, conforme a figura 1.21. Na polarização 34
  • 35. linear ,circular ou elíptica a resultante do campo elétrico sempre está ao longo de uma linha, círculo ou elípse respectivamente. A polarização circular poderá ser direita ou esquerda conforme a resultante do campo gira no sentido horário ou anti-horário para um observador colocado no sentido da propagação da onda. Diferentes tipos de polarização são usados em telecomunicações, que dependem da aplicação. Em televisão usa-se polarização horizontal, enquanto em rádio difusão AM usa-se polarização vertical. Os sistemas de televisão por difusão usam normalmente polarização vertical e horizontal para transmitir diferentes canais usando a mesma frequência, isto é chamado de re-uso de frequência, e é usado noBrasilsat. A polarização elíptica é a mais geral, e é dada de maneira mais detalhada na figura 1.22. Para traçar a elipse da polarização elíptica será necessário determinar os valores de τ e ε que são dados em função de E1,E2 e δ A polarização elíptica é a mais geral, e é dada de maneira mais detalhada na figura 1.22. Para traçar a elipse da polarização elíptica será necessário determinar os valores de τ e ε que são dados em função de E1,E2 e δ Sendo E1 e E2 os valores de pico do campo elétrico nas direções x e y, o ângulo γ é dado por, oo 1 21 900 E E tan ≤γ≤      =γ − (1.96) O ângulo de inclinação da elipse τ é o ângulo entre os eixos x e o eixo maior da elipse. O ângulo ε visto na figura 1.22 é dada por, ε = cot-1 (AR) , 1 < AR < ∞ -45o < ε < 45o (1.97) Sendo E1 e E2 os valores de pico do campo elétrico nas direções x e y, o ângulo γ é dado por, oo 1 21 900 E E tan ≤γ≤      =γ − (1.96) 35
  • 36. Figura 1.21 Polarização (a) linear, (b) circular, (c) elíptica. Figura 1.22- Elipse de polarização 36
  • 37. Sendo E1 e E2 os valores de pico do campo elétrico nas direções x e y, o ângulo γ é dado por, oo 1 21 900 E E tan ≤γ≤      =γ − (1.96) O ângulo de inclinação da elipse τ é o ângulo entre os eixos x e o eixo maior da elipse. O ângulo ε visto na figura 1.20 é dada por, ε = cot-1 (AR) , 1 < AR < ∞ -45o < ε < 45o (1.97) Onde a razão axial da elipse AR é a razão entre a componente do campo elétrico ao longo do eixo maior pela componente ao longo do eixo menor. A componente instantânea do campo é, ( )yttEyexee yx ˆcosExˆ)cos(ˆˆ 21 δωω ++=+=  (1.98) Se δ = 0, a polarização é linear. Se E1 = E2 e δ = 90o , a polarização é circular, nos outros casos ela será elíptica. A transformação entre os ângulos dados na Fig. 1.22 nos fornece as ralações, )cos22(coscos 2 1 1 τε=γ − (1.99)       τ ε =δ − 2sen 2tan tan 1 (1.100) Dado os valores de E1, E2 e δ podemos usar as equações (1.99) e (1.100) para calcular os valores de ε e τ. Com os valores de ε e τ podemos traçar a elípse da fig. 1.22. 1.11 - Antena em um Enlace de Comunicações Considerando uma antena sem perdas a abertura efetiva máxima de uma antena Aem está relacionada com a potência recebida por, Pr = Sav Aem (1.101) Onde Pr é a potência recebida, Sav a potência média e Aem é a área efetiva máxima. Considerando agora uma antena com impedância de entrada Zin = Rin + jXin e impedância da carga ZL = RL + j XL, como mostrado na figura 1.23 a corrente de entrada pode ser dada por, 37
  • 38. Figura 1.23 – Circuito equivalente de uma antena receptora, Zin é a impedância de entrada e ZL é a impedância da carga. Lin in ZZ V I + = (1.102) Quando há casamento de impedância, isto é, ZL = Rin –jXin, a potência transferida para a carga é dada por, L 2 inr RI 2 1 P = (1.103) Quando desprezamos as perdas ôhmica ( Rôhmica = 0 ) e fazemos Rin = Rri = RL in in R2 V I = ri ri ri in LinR R R V R R V RIP 2 2 2 2 2 42 1 )2(2 1 2 1 === ri 2 rms ri 2 r R4 V R4 V 2 1 P == (1.104) Segue-se avri 2 rms av r em SR4 V S P A == (1.105) mas Vrms = Erms ∆z η = 2 rms av E S (1.106) Para o dipolo ideal usando a equação (1.91) que nos dá a resistência de irradiação de um dipolo ideal, 38
  • 39. 2 2 2 3 2 )( 6       ∆ =∆= λ πη π β η z zRri a área efetiva máxima será dada por, ( ) ( )( ) 22 2 rms 22 z 2 rms em 119,0 8 3 /E/ 3 2 4 zE A λ=λ π =     ηλ∆πη ∆ = (1.108) A diretividade de um dipolo ideal é dada por, 2 2 8 34 2 3 D λ πλ π == em2 A 4 D λ π = (1.109) Embora demonstrado para o dipolo ideal esta relação é válida para qualquer antena. Até agora consideramos a antena sem perda, se uma antena possui perdas, G = e D (1.110) Substituindo em2 A.e 4 G λ π = (1.111) definindo a área efetiva Ae como, Ae = e Aem (1.112) e2 A 4 G λ π = (1.113) Em um enlace de comunicação podemos calcular a potência recebida pela fórmula de Friis que será demonstrada abaixo. Se uma antena é isotrópica, podemos calcular a densidade de potência em uma distância r usando a expressão, 2 4 r P S T ave π = 39
  • 40. onde PT é a potência de transmissão. Para uma antena não isotrópica com diretividade DT na direção do máximo, a densidade de potência à uma distância r do transmissor é dada por, T T ave G r P S 2 4π = A potência recebida pode ser calculada usando a expressão (1.101). Quando a antena apresenta perdas a equação (1.101), será dada por, PR = AerSave onde Aer é a área efetiva de recepção e Save a potência média no receptor. Usando as equações anteriores, erT T R AG r P P 2 4π = Sendo a área efetiva máxima da antena receptora dada por (1.109), π λ 4 2 Rer GA = a potência recebida será dada por 2 2 )4( r GG PP RT TR π λ = (1.114) ou ainda em decibel )()()()( dBiRdBiTdBmTdBmR GGPP ++= - 20 Log(rkm ) – 20 logfMHz – 32,44 (1.115) sendo, GT (dbi) = 10log(GT) GR(dBi) = 10log(GR) PT(dBm) = 10log(PT em Watts/ 10-3 ) = PT(dB) + 30 40
  • 41. PR(dBm) = 10log(PR em Watts/10-3 ) = PT(dB) + 30 Onde GT e GR são os ganhos das antenas transmissoras e receptoras respectivamente. A expressão (1.114) é conhecida como fórmula de Friis. A potência efetiva irradiada isotropicamente (EIRP) é definida como, EIRP = PT GT (1.116) Exemplo- Um transmissor de um satélite transmite um sinal na potência de 2W com uma antena transmissora parabólica de 45,7 cm de diâmetro. A antena receptora possui diâmetro de 1,22 m. Calcular a potência recebida se a frequência de transmissão é de 2 GHz e o satélite está a uma distância de 36.941,031 km de altura. A eficiência da antena transmissora é de 54% e a eficiência da antena receptora é de 58%. Solução. Usando a equação de Friis, Pr (dBm) = PT(dBm) + GT(dBi) + GR(dBi) – 20log(rkm) –20log(fMHz) –32,44 λ = 3.108 /20.109 =0.015 m, Aem = πD2 /4 para a antena transmissora, GT (dBi) = 10 log((4π/λ)2 eAem) = 37 dB para a antena receptora, GR (dBi) = 10 log((4π/λ)2 eAem ) = 45.8 dB PR(dBm) = -94,0 PR = 3,98.10-10 mW. Exercícios Propostos 1.1– Mostre que Ψ = C e-jβr /r satisfazer a equação (1.25) exceto na origem. Integrando a equação (1.23) sobre um pequeno volume em torno da origem e fazendo r → 0, mostre que C = (4π)-1 . 1.2 – Uma fonte possui diagrama de potência |cosn θ| para 0 < θ < π/2 e zero π/2 < θ < π. (a) calcule a diretividade para n = 1, 2, 3 (b) desenhe o diagrama para cada um dos casos (c) qual a diretividade quando n=0. 1.3- Para uma fonte filamentar com alimentação uniforme ache a ângulo de meia potência. a- Sua resposta deverá ser da forma, HP = Kλ/L , para L >>λ Determinar K. Sugestão; primeiro ache o valor de uHP = (βL/2)cos (θ) quando |f(uHP)| = (1/2)1/2 . Faça aproximação cos-1 (x) ≈ π/2 –x e cos-1 (-x) ≈ π/2 +x, quando x for pequeno. 41
  • 42. 1.4- Para um diagrama de apenas um lóbulo o diagrama do ângulo sólido do feixe é aproximadamente dado por, ΩA ≈ HPEHPD onde HPE e HPD são os ângulos de meia potência em radianos do ângulo sólido do feixe no plano-E e no plano-H, respectivamente. Mostre que, 00 41253 HE HPHP D ≈ onde HPE0 e HPH0 são as larguras dos feixes de meia potência nos planos E e H em graus. 1.5 – Uma antena tem diagrama do campo distante o qual é independente de φ mas varia como segue: F = 1 , para 0o < θ < 30o F = 0,5 , para 60o < θ < 120o F = 0,707, para 150o < θ < 180o F = 0 , para 30o < θ < 60o E 120o < θ < 150o Calcule a diretividade. 1.6 – Um diagrama tem radiação uniforme com intensidade de radiação dado por,    +<< = outros,0 /2-/2,1 )( απθαπ θF Calcule a expressão da diretividade. 1.7 – Um dipolo feito de alumínio de comprimento igual a 2m e 6,35 mm de diâmetro opera em 500 KHz. Calcule a eficiência de radiação assumindo (a) corrente uniforme ; (b) corrente triangular 1.8– Uma antena faixa do cidadão em 27 MHz usa uma antena de meio comprimento de onda e tem impedância de entrada de 70Ω. Calcular a eficiência de radiação se a antena é feita de fio de alumínio de 6,35 mm. Assuma que a corrente é triangular. 1.9 – O campo elétrico instantâneo possui polarização elíptica ex = E1 cos(ωt - βz) e ey = E2 cos(ωt + βz + δ). Especifique E1, E2 e δ para as seguintes relações: (a) Linear com E1 ≠ 0 , E2 ≠ 0 (b) Circular a direita (c) Circular a esquerda (d) Elíptica com E1 = E2 (e) Elíptica com δ = 90o 42
  • 43. 1.10 – Um transmissor UHF na freqüência de 150 MHz entrega 20 W em uma antena de ganho de 10 dB. Calcule a potência em watts disponível em uma antena de 3 dB a uma distância de 50Km. 1.11- Um satélite CTS (Communication Technology Satelite) tem um transponder em 11,7 GHz com potência de 200 W e antena de 19,3 dB de ganho. Calcule a potência disponível em watts na estação terrena, tendo uma antena de ganho igul a à 50,4 dB( 3,66m de diâmetro). O satélite é síncrono e está à uma distância de 36.941 km. 1.12- Calcular o ângulo sólido do feixe ( ΩA) de um dipolo ideal em esferoradianos e em graus. Use o fato que Aem = 0,119λ2 para o dipolo ideal. 1.13- Um dipolo meia onda possui ganho de 2,15 dB. Derive a expressão para a sua área efetiva máxima em termos do comprimento de onda. 1.14- Uma certa antena refletora parabólica é circular com diâmetro de 3,66 m tem uma área efetiva de 6,3 m2 . Calcular em decibels o ganho em 11,7 Ghz. 1.15- Uma antena parabólica circular possui diâmetro de 1,22 m . Se a abertura efetiva é igual à 55 % da área física, calcular o ganho da antena em decibels. Calcular: (a)- a perda básica ou perda no espaço livre em dB e dBm, (b)- a densidade de potência ou seja o vetor de Poynting (W/m2 ), no receptor. (c)- calcular a EIRP (d)- a potência recebida no receptor em dB, dBm e Watts. 1.16- Calcular o desempenho do sistema de rádio do problema 1.10 à uma linha de transmissão colocada entre o transmissor e receptor. Suponha que usa-se um cabo coaxial RG-8 ao invés das antenas ligando o transmissor e receptor no lugar das antenas. O cabo possui uma perda de 0,1 dB/m. (a)- calcular a perda em decibels no cabo para a distância de 50 km (b)- Qual a perda líquida do sistema de rádio do problema anterior, isto é a perda entre o sinal e entrada da antena transmissora e a saída da antena receptora? (c)- será necessário repetidor entre o transmissor e receptor quando se usa cabo? (d)- repita o item (a) e (b) para o caso de uma distância entre o transmissor e receptor de 500m (e)- repita o item (d) para o caso do cabo funcionar em 300 Mhz com perda de 0,14 dB/m (f)- Uma fibra óptica com 1 dB/km é usada. Calcule a perda em dB para o caso quando distância entre o transmissor for de 50 km e 500m. 1.17- Uma antena de rádio AM tem ganho de 2 dB e 100 KW de potência de transmissão. Calcule : a- EIRP b- a densidade de potência à uma distância de 20 km. c- O campo elétrico à uma distância de 20 km. 43