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Curso: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal - Todos os Cargos
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  1. 1. Aula 04 Curso: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal - Todos os Cargos Professor: Marcos Piñon
  2. 2. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 8 de 86 Podemos perceber que o “p” com certeza é verdadeiro, conforme vimos na questão 118. Assim, para que a conclusão seja verdadeira, é necessário que o “q” também seja verdadeiro. Percebam que no diagrama eu posicionei Joaquina no limite entre ter ou não ter muita sorte, pois as premissas não foram suficientes para que nós concluíssemos que ela tinha ou não tinha muita sorte. Assim, o “q” pode assumir os dois valores lógicos (V ou F), fazendo com que a conclusão não seja necessariamente verdadeira. Item errado. (Texto para as questões de 145 a 148) Uma dedução é uma sequência de proposições em que algumas são premissas e as demais são conclusões. Uma dedução é denominada válida quando tanto as premissas quanto as conclusões são verdadeiras. Suponha que as seguintes premissas sejam verdadeiras. I Se os processos estavam sobre a bandeja, então o juiz os analisou. II O juiz estava lendo os processos em seu escritório ou ele estava lendo os processos na sala de audiências. III Se o juiz estava lendo os processos em seu escritório, então os processos estavam sobre a mesa. IV O juiz não analisou os processos. V Se o juiz estava lendo os processos na sala de audiências, então os processos estavam sobre a bandeja. A partir do texto e das informações e premissas acima, é correto afirmar que a proposição 145 - (TRT- 2009 / CESPE) “Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório, então ele estava lendo os processos na sala de audiências” é uma conclusão verdadeira. Solução: Nessa questão, vamos começar passando as premissas e a conclusão para a linguagem simbólica: I: Se os processos estavam sobre a bandeja, então o juiz os analisou. II: O juiz estava lendo os processos em seu escritório ou ele estava lendo os processos na sala de audiências. III: Se o juiz estava lendo os processos em seu escritório, então os processos estavam sobre a mesa. IV: O juiz não analisou os processos. V: Se o juiz estava lendo os processos na sala de audiências, então os processos estavam sobre a bandeja.
  3. 3. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 86 Conclusão: Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório, então ele estava lendo os processos na sala de audiências Batizando as proposições: A: Os processos estavam sobre a bandeja B: O juiz analisou os processos C: O juiz estava lendo os processos em seu escritório D: O juiz estava lendo os processos na sala de audiências E: Os processos estavam sobre a mesa. Assim, I: A → B II: C v D III: C → E IV: ~B V: D → A Conclusão: ~C → D Portanto, podemos escrever o argumento da seguinte forma: [(A → B) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~B) ∧ (D → A)] → (~C → D) Como temos diversas proposições simples formando esse argumento, o método da tabela-verdade não é indicado nesse caso. Podemos observar que uma das premissas (IV) é formada por uma proposição simples. Assim, sabendo que todas as premissas devem ser verdadeiras, essa premissa também deve ser verdadeira: ~B deve ser verdadeira, logo B deve ser falsa. Reescrevendo o conjunto de premissas: (A → B) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~B) ∧ (D → A) (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~F) ∧ (D → A) (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (V) ∧ (D → A) Agora, podemos observar que a premissa I é uma condicional a qual possui a segunda proposição com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a primeira proposição também deve ser falsa: (A → F) deve ser verdadeira, logo A deve ser falsa. Reescrevendo o conjunto de premissas: (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → A) (F → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F) (V) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F)
  4. 4. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 10 de 86 Agora, da mesma forma que fizemos para a premissa I, podemos observar que a premissa V também é uma condicional a qual possui a segunda proposição com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a primeira proposição também deve ser falsa: (D → F) deve ser verdadeira, logo D deve ser falsa. Reescrevendo o conjunto de premissas: (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F) (C v F) ∧ (C → E) ∧ (F → F) (C v F) ∧ (C → E) ∧ (V) Agora, podemos observar que a premissa II é uma disjunção a qual possui uma de suas proposições com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a outra proposição deve ser verdadeira: (C v F) deve ser verdadeira, logo C deve ser verdadeira. Reescrevendo o conjunto de premissas: (C v F) ∧ (C → E) (V v F) ∧ (V → E) (V) ∧ (V → E) Por fim, podemos ver que a premissa III é uma condicional a qual possui a primeira proposição com valor lógico verdadeiro. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a segunda proposição também deve ser verdadeira: (V → E) deve ser verdadeira, logo E deve ser verdadeira. Com isso, concluímos que para o conjunto de premissas ser verdadeiro, A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Resta, então, verificar se para esses valores lógicos das proposições, a conclusão também é verdadeira: Conclusão: (~C → D) = (~V → F) = (F → F) = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto.
  5. 5. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 86 146 - (TRT- 2009 / CESPE) “Se os processos não estavam sobre a mesa, então o juiz estava lendo os processos na sala de audiências” não é uma conclusão verdadeira. Solução: Utilizando as informações da questão anterior: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: Conclusão: “Se os processos não estavam sobre a mesa, então o juiz estava lendo os processos na sala de audiências” Conclusão: ~E → D Sabendo que E é verdadeira e D é falsa, temos: Conclusão: ~E → D = ~V → F = F → F = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item errado. 147 - (TRT- 2009 / CESPE) “Os processos não estavam sobre bandeja” é uma conclusão verdadeira. Solução: Mais uma vez, vamos utilizar as informações obtidas anteriormente: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: “Os processos não estavam sobre bandeja” Conclusão: ~A
  6. 6. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 86 Sabendo que A é falsa, temos: Conclusão: ~A = ~F = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto. 148 - (TRT- 2009 / CESPE) “Se o juiz analisou os processos, então ele não esteve no escritório” é uma conclusão verdadeira. Solução: Mais uma questão na mesma linha. Sabendo que: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: “Se o juiz analisou os processos, então ele não esteve no escritório” K: o juiz esteve no escritório Conclusão: B → ~K Não sabemos o valor lógico de K, mas sabemos que B é falsa. Assim: Conclusão: B → ~K = F → ~K = V (para qualquer que seja o valor lógico de K) Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto. 149 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) Considere as proposições A, B e C a seguir. A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.
  7. 7. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 86 Percebam que na última linha da tabela acima, as duas premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Portanto, item errado. 150 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol. Solução: Vamos organizar: P1: Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. P2: Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. P3: Carlos não fracassou na prova de Física. C: Carlos não jogou futebol. p: Carlos estudou q: Carlos fracassou na prova de Física r: Carlos jogou futebol Agora, vamos montar o argumento: [(~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q)] → (~r) Bom, agora que já montamos o argumento, temos algumas opções para resolver a questão. Vamos à análise das premissas: (~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q) Percebam que uma das premissas (a terceira) é composta por uma única proposição simples. Assim, lembrando que todas as premissas devem ser verdadeiras: ~q deve ser verdadeira, ou seja, q deve ser falsa. Portanto: (~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q) (~p → F) ∧ (r → ~p) ∧ (~F) (~p → F) ∧ (r → ~p) ∧ (V) Agora, podemos perceber que a primeira premissa é uma condicional cujo segundo termo é falso. Com isso: ~p deve ser falso, ou seja, p deve ser verdadeiro. Assim:
  8. 8. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 15 de 86 (~p → F) ∧ (r → ~p) (~V → F) ∧ (r → ~V) (F → F) ∧ (r → F) (V) ∧ (r → F) Por fim, podemos perceber que a segunda premissa é uma condicional cujo segundo termo é falso. Portanto: r deve ser falsa. Resumindo: p é verdadeiro, ou seja, Carlos estudou. q é falsa, ou seja, Carlos não fracassou na prova de Física. r é falsa, ou seja, Carlos não jogou futebol. Assim, podemos concluir que a dedução está correta, pois, baseando-se nas premissas, Carlos não jogou futebol. Item correto. 151 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) Considere que as proposições da sequência a seguir sejam verdadeiras. Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. Fred não tem porte de arma. Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fred não mora em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa sequência. Solução: Vamos começar passando tudo para a linguagem simbólica: P1: Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. P2: Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. P3: Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. P4: Fred não tem porte de arma. P5: Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. C: Fred não mora em São Paulo p: Fred é policial q: Fred tem porte de arma r: Fred mora em São Paulo s: Fred é engenheiro t: Fred faz cálculos estruturais
  9. 9. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 16 de 86 P1: p → q P2: r v s P3: s → t P4: ~q P5: r → p C: ~r Argumento: [(p → q) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~q) ∧ (r → p)] → (~r) Podemos ver que o argumento possui 5 proposições simples diferentes (p, q, r, s e t), o que nos leva a tentar resolver a questão sem o uso das tabelas-verdade. Podemos perceber que a quarta premissa é formada por apenas uma proposição simples. Vamos começar a análise por ela: P4: ~q Assim, podemos concluir que ~q deve ser verdadeiro, ou seja , q deve ser falso. Com isso: (p → q) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~q) ∧ (r → p) (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~F) ∧ (r → p) (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → p) Agora, podemos perceber que a premissa 1 é uma condicional que possui a segunda proposição falsa: (p → F) Assim, podemos concluir que o p deve ser falso. Com isso: (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → p) (F → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F) (V) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F) Agora, podemos perceber que a premissa 5 também é uma condicional que possui a segunda proposição falsa: (r → F) Assim, podemos concluir que o r deve ser falso. Com isso: (V) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F) (V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (F → F) (V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (V) Agora, podemos perceber que a premissa 2 é uma disjunção que possui uma das proposições falsa:
  10. 10. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 86 (F v s) Assim, podemos concluir que o s deve ser verdadeiro. Com isso: (V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (F v V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) Por fim, podemos perceber que a premissa 3 é uma condicional que possui a primeira proposição verdadeira: (V → t) Assim, podemos concluir que o t deve ser verdadeiro. Com isso: (V) ∧ (V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V→ V) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) = V Resumindo: p deve ser falso, ou seja, Fred não é policial q deve ser falso, ou seja, Fred não tem porte de arma r deve ser falso, ou seja, Fred não mora em São Paulo s deve ser verdadeiro, ou seja, Fred é engenheiro t deve ser verdadeiro, ou seja, Fred faz cálculos estruturais Vamos, agora, verificar se a conclusão é válida: C: Fred não mora em São Paulo Podemos ver que, nos baseando nas premissas, a conclusão proposta é verdadeira. Item correto. 152 - (BB - 2007 / CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso. Solução: Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: P1: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. P2: Maria é alta.
  11. 11. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 18 de 86 C: José será aprovado no concurso. p: Antônio é bonito q: Maria é alta r: José será aprovado no concurso P1: (p v q) → r P2: q C: r Argumento: [((p v q) → r) ∧ (q)] → (r) Podemos ver que a segunda premissa é uma proposição simples, o que nos leva a concluir que ela deve ser verdadeira: q deve ser verdadeira Com isso: ((p v q) → r) ∧ (q) ((p v V) → r) ∧ (V) Percebam agora, que qualquer que seja o valor lógico do “p”, a disjunção “p v V” será verdadeira. Assim: p pode possuir qualquer valor lógico ((p v V) → r) ∧ (V) (V → r) ∧ (V) Agora, devemos perceber que o “r” deve ser verdadeiro para que a condicional ”V → r” seja verdadeira. Com isso: r deve ser verdadeira (V → r) ∧ (V) (V → V) ∧ (V) (V) ∧ (V) = V Portanto, p: Antônio pode ou não ser bonito q: Maria é alta r: José será aprovado no concurso Vamos, agora, verificar se a conclusão é válida: C: José será aprovado no concurso
  12. 12. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 86 Agora, percebam que considerando as premissas verdadeiras não podemos garantir que a proposição “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” seja verdadeira, pois existe uma possibilidade (a primeira linha da tabela acima) na qual as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Item errado. 157 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Considerando que P1, P2, P3 e P4 sejam as premissas de um argumento cuja conclusão seja “Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado”, é correto afirmar que esse argumento é válido. Solução: Agora, devemos analisar o seguinte argumento: P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. C: Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado. Passando as premissas e a conclusão para a linguagem simbólica, temos: p: O policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. q: O policial toma decisões ruins. r: O policial tem informações precisas ao tomar decisões. s: O policial está em situação de estresse. t: O policial teve treinamento adequado. u: O policial se dedicou nos estudos. P1: p → q P2: ~r → q P3: (s ∧ ~t) → p P4: (t ∧ u) → r C: (s ∧ ~q) → t Argumento: {(p → q) ∧ (~r → q) ∧ [(s ∧ ~t) → p] ∧ [(t ∧ u) → r]} ⇒ [(s ∧ ~q) → t]
  13. 13. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 24 de 86 Agora, vou ensinar um macete para verificar se esse argumento é válido. O macete consiste em testar se o conjunto de premissas é verdadeiro quando a conclusão é falsa. Se o conjunto de premissas tiver alguma possibilidade de ser verdadeira quando a conclusão é falsa, concluímos que o argumento é inválido. Para que a conclusão (s ∧ ~q) → t seja falsa, é necessário que 惇s敦 seja verdadeiro, “~q” seja verdadeira (ou seja, “q” tem que ser falso) e “t” seja falso. Agora, vamos testar como se comporta o conjunto de premissas para esses valores de s, q e t: (p → q) ∧ (~r → q) ∧ [(s ∧ ~t) → p] ∧ [(t ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V ∧ ~F) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V ∧ V) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] Agora, podemos perceber que as premissas 1 e 3 apresentam uma contradição no “p”, pois ele tem que ser falso para que P1 seja verdadeira e tem que ser verdadeiro para que P3 seja verdadeira. Portanto, não há nenhuma possibilidade em que o conjunto de premissas é verdadeiro e a conclusão é falsa, ou seja, sempre que o conjunto de premissas for verdadeiro a conclusão também será verdadeira, o que torna o argumento válido. Item correto. (Texto para a questão 158) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de classe média. Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações). Tendo como referência o texto acima, julgue os itens seguintes. 158 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Das proposições “Se há corrupção, aumenta-se a concentração de renda”, “Se aumenta a concentração de renda, acentuam-se as desigualdades sociais” e “Se se acentuam as desigualdades sociais, os níveis de violência crescem” é correto inferir que “Se há corrupção, os níveis de violência crescem”.
  14. 14. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 86 Solução: Vamos organizar o argumento: P1: “Se há corrupção, aumenta-se a concentração de renda”. P2: “Se aumenta a concentração de renda, acentuam-se as desigualdades sociais”. P3: “Se se acentuam as desigualdades sociais, os níveis de violência crescem”. C: “Se há corrupção, os níveis de violência crescem”. Batizando as proposições, temos: p: Há corrupção. q: Aumenta-se a concentração de renda. r: Acentuam-se as desigualdades sociais. s: Os níveis de violência crescem. P1: p → q P2: q → r P3: r → s C: p → s Argumento: [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) Lembrando que (A → B) ∧ (B → C) ⇒ (A → C), temos: [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) [(p → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) [(p → s)] ⇒ (p → s) Item correto. (Texto para as questões de 159 e 162) Verificando a regularidade da aquisição de dispositivos sensores de presença e movimento para instalação em uma repartição pública, os fiscais constataram que os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. Diante dessa constatação, o gestor argumentou da seguinte maneira: P: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Q: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes.
  15. 15. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 86 R: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. Conclusão: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. A partir das informações acima apresentadas, julgue os itens a seguir. 159 - (TCDF - 2012 / CESPE) Incluindo entre as premissas a constatação da equipe de fiscalização, o argumento do gestor será um argumento válido. Solução: Vamos começar organizando o argumento, incluindo entre as premissas a constatação da equipe de fiscalização: P1: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes P2: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. P3: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes. P4: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. C: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: p: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. q: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente. r: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. s: Os proprietários das empresas convidadas formalmente eram parentes P1: p P2: (q v r) P3: ~s P4: (~s ∧ p) → ~q C: r Argumento: [(p) ∧ (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q)] ⇒ (r)
  16. 16. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 86 Podemos perceber de início que as premissas P1 e P3 são proposições simples, o que nos leva a concluir que “p” deve ser verdadeiro e “~s” deve ser verdadeiro, ou seja, “s” deve ser falso. Assim: (p) ∧ (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (~F) ∧ ((~F ∧ V) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ ((V ∧ V) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ (V → ~q) Agora, devemos concluir que “~q” deve ser verdadeiro, ou seja, “q” deve ser falso para que P4 seja verdadeira: (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ (V → ~q) (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V → ~F) (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V) Por fim, devemos concluir que “r” deve ser necessariamente verdadeiro para que P2 seja verdadeira. (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (F v V) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) Agora, olhando para a conclusão (r), podemos perceber que o argumento é válido, pois considerando o conjunto de premissas verdadeiro, a conclusão só pode ser verdadeira. Item correto. 160 - (TCDF - 2012 / CESPE) A partir da argumentação do gestor é correto inferir que todas as empresas que tomaram conhecimento do certame pela imprensa oficial participaram da licitação. Solução: Agora, a argumentação não considera a constatação da equipe de fiscalização: P1: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. P2: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes.
  17. 17. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 28 de 86 P3: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. C: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: p: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. q: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente. r: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. s: Os proprietários das empresas convidadas formalmente eram parentes P1: (q v r) P2: ~s P3: (~s ∧ p) → ~q C: r Argumento: [(q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q)] ⇒ (r) Nesse argumento, vamos usar aquele macete de testar se para a conclusão sendo falsa existe alguma possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro: Considerando “r” falso, temos: (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (q v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) Podemos concluir que o “q” deve ser verdadeiro para que P1 seja verdadeira: (q v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (V v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~ V) (V) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → F) Agora, devemos concluir que “~s” deve ser verdadeiro para que P2 seja verdadeira, ou seja, “s” deve ser falso: (V) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → F) (V) ∧ (~F) ∧ ((~F ∧ p) → F) (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ p) → F)
  18. 18. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 29 de 86 Por fim, o “p” deve ser falso para que P3 seja verdadeira. (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ p) → F) (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ F) → F) (V) ∧ (V) ∧ (F → F) (V) ∧ (V) ∧ (V) Assim, podemos concluir que existe a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, o que nos leva a concluir que o argumento não é válido. Item errado. 161 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se alguma das premissas, P, Q ou R, for uma proposição falsa, então o argumento apresentado será inválido. Solução: Essa é uma questão teórica que exige o conhecimento dos conceitos de argumentação falado na aula passada. Lembram-se quando eu disse que para analisar um argumento não devemos nos preocupar com o conteúdo das proposições, mas devemos observar se, ao considerarmos o conjunto de premissas verdadeiras, a conclusão é uma consequência obrigatória dessas premissas. Item errado. 162 - (TCDF - 2012 / CESPE) O fato de determinado argumento ser válido implica, certamente, que todas as suas premissas são proposições verdadeiras. Solução: Novamente o mesmo conceito. Não é necessário saber o conteúdo das premissas, mas sim, a sua construção. Item errado. (Texto para a questão 163) Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.
  19. 19. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 30 de 86 Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir. 163 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida. Solução: Vamos começar passando a argumentação para a linguagem simbólica: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. p: Eu sou traficante q: Eu sou usuário r: Estaria levando uma grande quantidade de droga s: Teria escondido a droga P1: ~p ∧ q P2: p → (r ∧ s) P3: (q ∧ ~r) → ~s C: r → ~q Argumentação: [(~p ∧ q) ∧ (p → (r ∧ s)) ∧ ((q ∧ ~r) → ~s)] ⇒ (r → ~q) Nessa questão, vou usar mais uma vez o macete de verificar existe alguma possibilidade do conjunto de premissas ser verdadeiro para a situação em que a conclusão é falsa. Analisando a conclusão (r → ~q) ela só será falsa quando “r” for verdadeira e “~q” for falsa, ou seja, quando tanto “r” quanto “q” forem verdadeiras. Assim, resta testarmos se para esses valores de “r” e “q” o conjunto de premissas pode ser verdadeiro: (~p ∧ q) ∧ (p → (r ∧ s)) ∧ ((q ∧ ~r) → ~s) (~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ ((V ∧ ~V) → ~s)
  20. 20. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 31 de 86 (~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ ((V ∧ F) → ~s) (~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ (F → ~s) Podemos verificar que das três premissas, as únicas que podem ser falsas são a primeira e a segunda, quando o “p” for verdadeiro e o “s” for falso. Para qualquer outra combinação de valores lógicos de “p” e “s” o conjunto de premissas será verdadeiro. Portanto, existe a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, o que nos leva a concluir que a argumentação não é válida. Item errado. (Texto para a questão 164) Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P1: Se for bom e rápido, não será barato. P2: Se for bom e barato, não será rápido. P3: Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 164 - (MI - 2013 / CESPE) Um argumento que tenha P1 e P2 como premissas e P3 como conclusão será um argumento válido. Solução: Nessa questão, vamos começar passando as afirmações para a linguagem simbólica: p: Ser bom q: Ser rápido r: Ser barato P1: (p ∧ q) → ~r P2: (p ∧ r) → ~q P3: (q ∧ r) → ~p Assim, o argumento fica: Argumento: [(p ∧ q) → ~r] ∧ [(p ∧ r) → ~q] ⇒ [(q ∧ r) → ~p] Uma forma mais simples de resolver essa questão é utilizando o macete. Assim, para que a conclusão seja falsa, temos: (q ∧ r) → ~p
  21. 21. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 32 de 86 q ∧ r deve ser verdadeiro, ou seja, q deve ser verdadeiro e r deve ser verdadeiro, e ~p deve ser falso, ou seja, p deve ser verdadeiro. Assim, resta testarmos se para esses valores de p, q e r as premissas podem ser verdadeiras: [(p ∧ q) → ~r] ∧ [(p ∧ r) → ~q] [(V ∧ V) → ~ V] ∧ [(V ∧ V) → ~V] [(V) → F] ∧ [(V) → F] [F] ∧ [F] = F Portanto, não há a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, o que nos leva a concluir que o argumento é válido. Item correto. (Texto para a questão 165) Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: — Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1) — Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2) — Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3) Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, julgue os itens a seguir. 165 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Considerando que P1 e P2 sejam as premissas de um argumento de que P3 seja a conclusão, é correto afirmar que, do ponto de vista lógico, o texto acima constitui um argumento válido. Solução: Vamos começar passando o argumento para a linguagem simbólica: p: O síndico troca de carro q: O síndico reforma o apartamento r: Dizem que o sindico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio s: O síndico fica com fama de desonesto t: Não querer ser síndico P1: (p v q) → r P2: r → s P3: ~s → t
  22. 22. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 33 de 86 Argumento: [(p v q) → r] ∧ [r → s] ⇒ (~s → t) Agora, resta testar se o argumento é válido. Mais uma vez vou utilizar o macete. Assim, vamos começar checando as possibilidades para a conclusão ser falsa: ~s → t Para esta condicional ser falsa, o "~s" deve ser verdadeiro e o "t" deve ser falso, ou seja, s e t devem ser falsos. Com isso, vamos testar se para esses valores de s e t o conjunto de premissas pode ser verdadeiro. Vejamos: [(p v q) → r] ∧ [r → s] [(p v q) → r] ∧ [r → F] Aqui, para a segunda premissa ser verdadeira, o r deve ser falso. Assim: [(p v q) → r] ∧ [r → F] [(p v q) → F] ∧ [F → F] [(p v q) → F] ∧ [V] Por fim, para que a primeira premissa seja verdadeira, tanto p quanto q devem ser falsos. Assim: [(p v q) → F] ∧ [V] [(F v F) → F] ∧ [V] [(F) → F] ∧ [V] [V] ∧ [V] = V Assim, concluímos que pé possível o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, bastando que p, q, r, s e t sejam falsos, o que nos leva a concluir que o argumento NÃO é válido. Item errado.
  23. 23. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 34 de 86 2 – Princípios de Contagem O princípio fundamental da contagem, também conhecido como princípio multiplicativo, estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer. Este princípio consiste em dividir o acontecimento, ou agrupamento, em etapas e descobrir, para cada etapa, qual a sua possibilidade de ocorrer. Vejamos alguns exemplos: Ex1: Deseja-se marcar, em Brasília, um amistoso de futebol envolvendo um time da série A e um time da série B do Campeonato Brasileiro de 2012. Qual o total de possibilidades para esse confronto, sabendo que existem 20 times na séria A e 20 times na série B? Séria A: 20 times (Bahia, Flamengo, Corinthians, Internacional, Atlético-MG, ...) Série B: 20 times (Goiás, Avaí, América-MG, Atlético-PR, ...) Vamos tentar relacionar todos os possíveis jogos: Bahia x Goiás Bahia x Avaí Bahia x América-MG Bahia x Atlético-PR Bahia x ... Veja que escolhendo o Bahia entre os times da séria A, teremos 20 possíveis jogos, pois existem 20 times na série B. Agora, vamos escolher o Flamengo, e relacionar os possíveis jogos com sua participação: Flamengo x Goiás Flamengo x Avaí Flamengo x América-MG Flamengo x Atlético-PR Flamengo x ... Veja que escolhendo o Flamengo entre os times da séria A, também teremos 20 possíveis jogos, pois existem 20 times na série B. Isso ocorrerá para cada um dos 20 times da série A. Assim, podemos calcular o total de jogos possíveis: Jogos com o Bahia: 20 jogos Jogos com o Flamengo: 20 jogos Jogos com o Corinthians: 20 jogos Jogos com o Internacional: 20 jogos Jogos com o Atlético-MG: 20 jogos ...
  24. 24. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 37 de 86 Ponto de chegada: Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju (7 opções) Com isso, o número de rotas possíveis é: (vale observar que elas não se repetem) 3 x 4 x 7 = 12 x 7 (portanto, múltiplo de 12) = 84 opções de rota. Item correto. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Análise Combinatória Antes de qualquer coisa, gostaria de esclarecer que esse assunto é muito importante para a resolução das questões da prova. Apesar de o edital falar apenas em “Princípios de Contagem e Probabilidade”, devemos entender que a permutação, o arranjo e a combinação estão incluídos no edital, haja vista o que o CESPE já cobrou em outros concursos com o mesmo edital. Assim, feitos os esclarecimentos, vamos começar esse assunto falando um pouquinho sobre a Análise Combinatória. Trata-se de um dos tópicos em que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los. Em outras palavras, com o uso das técnicas da Análise Combinatória é possível saber o número de maneiras possíveis de se realizar determinado acontecimento sem que seja necessário listar todas essas maneiras. Permutações, Arranjos e Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos. Descreveremos abaixo como cada um desses agrupamentos funciona. Antes disso, vamos exercitar nossa mente um pouquinho. Suponha que eu tenha uma moeda e a jogue no chão. O número de possibilidades para o resultado dessa jogada é dois (Cara ou Coroa). Agora, suponha que eu jogue duas moedas. Teremos, então quatro possibilidades para o resultado dessa jogada: cara-cara cara-coroa coroa-cara coroa-coroa Teremos essas quatro possibilidades se a ordem dos resultados tiver importância. Caso a ordem dos resultados não importe, teremos apenas 3 resultados possíveis: cara-cara
  25. 25. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 38 de 86 cara-coroa ou coroa-cara (dá no mesmo) coroa-coroa Agora, suponha que jogaremos 3 moedas. E então? Será que você sabe me dizer quantas possibilidades nós temos para o resultado dessa jogada? Caso a ordem tenha importância, teremos um total de 8 possibilidades (2 x 2 x 2 = 23 = 8). Caso a ordem não tenha importância, teremos apenas 4 possibilidades: cara-cara-cara cara-cara-coroa ou cara-coroa-cara ou coroa-cara-cara (dá no mesmo) cara-coroa-coroa ou coroa-cara-coroa ou coroa-coroa-cara (dá no mesmo) coroa-coroa-coroa Portanto, na análise das possibilidades de um evento acontecer, a primeira pergunta que devemos fazer é se a ordem dos elementos tem alguma importância. Agora, vamos esquecer um pouquinho as moedas e trabalhar com dados. Ao jogar um dado ao acaso, teremos 6 possibilidades para o resultado (1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Agora, ao jogarmos 2 dados, teremos: 6 x 6 = 62 = 36 possibilidades Agora, imaginem que temos dois dados diferentes, um branco e um preto. Quantas possibilidades nós temos para que o resultado dos dois dados seja diferente? Vimos que o total de possibilidades é 36, incluídos os resultados em que os dois dados apresentam o mesmo número. Os casos em que o resultado dos dois dados apresentam o mesmo número são 6 (11, 22, 33, 44, 55 e 66). Assim, para saber a quantidade de possibilidades em que os dois dados apresentam números diferentes, podemos fazer o seguinte: 36 – 6 = 30 possibilidades Outra forma de chegarmos a esse mesmo resultado é considerarmos que primeiro nós iremos considerar o valor obtido no dado preto e em seguida o resultado obtido no dado branco (ou vice-versa). Assim: Nº de possibilidades para o dado preto: 6 (1, 2, 3, 4, 5, ou 6) Nº de possibilidades para o dado branco: 6 – 1 = 5 (pois o resultado do dado branco tem que ser diferente do dado preto) Assim, o total de possibilidades é dado por: 6 x 5 = 30 possibilidades Esse exemplo nos remete às combinações possíveis para os seis números da mega-sena. Sabendo que são 60 números possíveis, o total de possibilidades é: 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 = 36.045.979.200 possibilidades
  26. 26. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 40 de 86 entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. Permutação Simples Definimos permutação simples como sendo o número de maneiras de arrumar n elementos em n posições em que cada maneira se diferencia apenas pela ordem em que os elementos aparecem. São agrupamentos com todos os “n” elementos distintos, não há repetição de elementos. Exemplo 1: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra “PAI” (um anagrama é uma palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição, tendo significado ou não): Anagramas são os casos mais comuns de questões sobre permutação. Antes de apresentar a “fórmula” para a permutação simples, vamos tentar resolver a questão sem o uso de equações: PAI PIA IAP IPA API AIP Temos, então, 6 possibilidades. Vejam que esse exemplo nós conseguimos resolver sem o uso de equações, pois tínhamos apenas três letras. Vejamos outro exemplo: Exemplo 2: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra “CHARLES”: Vamos tentar, novamente, sem o uso de equações: CHARLES CHARLSE CHARELS CHARESL CHARSEL CHARSLE CHASLER ...
  27. 27. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 43 de 86 Vamos ver como isso já foi cobrado em concurso: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 168 - (SEPLAG/DF 2009 - CESPE) Com 3 letras A e 7 letras B formam-se 120 sequências distintas de 10 letras cada. Solução: Nessa questão nós temos: n = 10 a = 3 b = 7 Assim: Número de sequências = !b!.a !n = !7!.3 !10 = !7!.3 !78.9.10 = 1.2.3 8.9.10 = 120 Portanto, o item está correto. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Permutação Circular A permutação circular não é mais um tipo de permutação, e sim, um caso particular do que já vimos. Trata-se de uma situação em que os elementos do agrupamento formarão uma linha fechada, ou seja, um círculo. Não temos como identificar onde começa ou onde termina o grupo. Vamos ver dois exemplos para clarear as idéias: Exemplo 1: Do grupo de amigos, Paulo, José e Marcelo, deseja-se saber de quantas formas diferentes eles podem formar uma fila indiana. Aqui, usamos o que já aprendemos, que é a permutação simples. Assim, temos: Quantidade de maneiras = n! = 3! = 3.2.1 = 6 Vamos listar os grupos: 1°Paulo, 2°José e 3°Marcelo 1°Paulo, 2°Marcelo e 3°José 1°José, 2°Paulo e 3°Marcelo 1°José, 2°Marcelo e 3°Paulo 1°Marcelo, 2°José e 3°Paulo 1°Marcelo, 2°Paulo e 3°José
  28. 28. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 45 de 86 Pc = (n – 1)! Pc = (6 – 1)! Pc = (5)! Pc = 120 Portanto, o item está correto! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Arranjos Os Arranjos são agrupamentos formados por uma quantidade “p” de elementos de um grupo que possui um total de “m” elementos, de forma que os “p” elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Arranjos Simples No arranjo simples não ocorre a repetição dos elementos agrupados e a ordem ou a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância. Vamos a um exemplo: Exemplo 1: Pedro possui 4 latas de tinta, das cores azul, amarela, verde e vermelha, para pintar a sala de sua casa. Ele deseja pintar as paredes de uma cor e as janelas de uma cor diferente da cor usada nas paredes. De quantas formas diferentes ele poderá pintar sua sala? Vamos tentar resolver esta questão sem o uso de fórmulas. Vejamos: - Podemos ter as paredes azuis com as janelas amarelas, verdes ou vermelhas, ou seja, 3 possibilidades. - Podemos ter as paredes amarelas com as janelas azuis, verdes ou vermelhas, ou seja, 3 possibilidades. - Podemos ter as paredes verdes com as janelas azuis, amarelas ou vermelhas, ou seja, 3 possibilidades. - Podemos ter as paredes vermelhas com as janelas azuis, amarelas ou verdes, ou seja, 3 possibilidades. Pedro terá, então, um total de 3 + 3 + 3 + 3 = 12 possibilidades diferentes para pintar a sala de sua casa.
  29. 29. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 47 de 86 As(m, p) = )!pm( !m − As(10, 6) = )!610( !10 − = !4 !4.5.6.7.8.9.10 = 10.9.8.7.6.5 = 151200 Assim, com a utilização das equações, conseguimos encontrar as respostas dos dois exemplos de maneira muito mais rápida. É importante lembrar que a ordem e a espécie são levadas em consideração na utilização dos arranjos. Agora vamos ver como isso já foi cobrado em concurso. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 170 - (FUB 2009 / CESPE) A quantidade de números naturais de 3 algarismos em que todos os algarismos são distintos é superior a 700 Solução: Nessa questão, temos: A quantidade de algarismos: 3 Todos os algarismos são distintos. Arranjo (10,3) = )!310( !10 − = !7 !7.8.9.10 = 10.9.8 = 720 Ocorre que calculando dessa maneira, estamos considerando como números de três algarismos os números começados com zero (045, 066, ...) e não é isso que o Cespe quer que consideremos. Assim, temos: 1º dígito: 9 possibilidades, pois o zero não pode ocupar essa posição 2º dígito: 9 possibilidades, pois já utilizamos um número no primeiro dígito 3º dígito: 8 possibilidades, pois já utilizamos dois números, nos dígitos 1 e 2. Total = 9 x 9 x 8 = 648 Portanto, item errado. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Arranjo com repetição No arranjo com repetição pode ocorrer a repetição dos elementos agrupados e a ordem e a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância. Vejamos um exemplo:
  30. 30. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 52 de 86 mesma área. Porém isso é bem pouco provável. Mas eu não quero saber a probabilidade, eu quero ter certeza! Vimos na teoria do “Principio da Casa dos Pombos” que para que eu garanta que algum dos n ninhos tenha mais do que um pombo são necessários n + 1 pombos. Assim, nessa questão, suponha que eu queira retirar 2 processos da mesma área (penal, civil, trabalhista, tributário ou agrário): Retirando-se 2 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 3 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 4 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 5 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 6 processos – Agora eu garanto que pelo menos dois processos são da mesma área. 5 x 1 + 1 = 5 + 1 = 6 Caso todos os processos tivessem mais do que 10 unidades, para garantir que iríamos tirar pelo menos 10 processos da mesma área, precisaríamos de: 5 x 9 + 1 = 45 + 1 = 46 processos Como as áreas tributária e agrária não possuem 10 processos cada uma, devemos contar que todos os processos dessas duas áreas foram retirados e verificar como iremos garantir 10 processos de alguma das outras três áreas. 3 x 9 + 10 + 1 = 27 + 10 + 1 = 38 processos Item errado. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Agora, vamos ver mais algumas questões para praticar! (Texto para as questões 173 e 174) Entre os 6 analistas de uma empresa, 3 serão escolhidos para formar uma equipe que elaborará um projeto de melhoria da qualidade de vida para os empregados da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem atividades na área de ciências sociais e os demais, na área de assistência social. Julgue os itens que se seguem, relativos à composição da equipe acima mencionada. 173 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os 2 analistas que desenvolvem atividades na área de ciências sociais fizerem parte da equipe, então a quantidade de maneiras distintas de se compor essa equipe será superior a 6. Solução:
  31. 31. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 53 de 86 Nessa questão, temos 2 analistas da área de ciências sociais e 4 analistas da área de assistência social. Será formado um grupo de 3 pessoas, com 2 analistas da área de ciências sociais e 1 analista da área de assistência social. Assim, podemos perceber que os dois analistas da área de ciências sociais estarão presentes em todos os grupos. O que irá variar é o representante dos analistas da área de assistência social. Portanto, teremos 4 possíveis grupos para essas condições: Grupo 1:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 1 de assist. soc.; Grupo 2:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 2 de assist. soc.; Grupo 3:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 3 de assist. soc.; Grupo 4:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 4 de assist. soc.; Portanto, item errado. 174 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a equipe for formada por 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais, então ela poderá ser composta de 12 maneiras distintas. Solução: Agora, será formado um grupo de 3 pessoas, com 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais. Assim: Para as duas vagas de analista de assistência social: Combinação dos 4 analistas, dois a dois. Para a vaga de analista de ciências sociais: 2 opções. Assim, o total de opções para os grupos é dado por: Total = C(4, 2) x 2 Total = !2)!.24( !4 − x 2 Total = !2!.2 !2.3.4 x 2 Total = 1.2 3.4 x 2
  32. 32. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 54 de 86 Total = 2 12 x 2 = 12 Item correto. (Texto para as questões 175 a 177) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. 175 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. Solução: Nessa questão, primeiramente devemos entender que as listas deverão conter 2 dos três nomes. Se a lista contiver 1 nome, não serve, assim como, se a lista contiver os três nomes, também não serve. Nós vamos começar calculando a quantidade total de listas possíveis. Como na lista nós não usaremos todos os nomes possíveis e a ordem das pessoas na lista não importa, usaremos a combinação de cinco elementos, três a três: C(5, 3) = !3)!.35( !5 − C(5, 3) = !3!.2 !3.4.5 C(5, 3) = 1.2 4.5 C(5, 3) = 2 20 = 10 Pronto, sabemos agora que o total de listas possíveis é igual a 10. Agora, devemos eliminar desse total as listas que contêm apenas um dos três nomes e a lista que contém os três nomes. Com isso, vamos, escrever essas listas que não atendem nossa necessidade: Candidato 4 Candidato 5 Alberto Candidato 4 Candidato 5 Bento Candidato 4 Candidato 5 Carlos Alberto Bento Carlos
  33. 33. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 55 de 86 Portanto, a quantidade total de listas que contém 2 dos três nomes citados na questão é igual a 10 – 4 = 6. Item correto. 176 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. Solução: Vimos na questão anterior que apenas 3 dessas listas conterão apenas um dos nomes citado no enunciado: Candidato 4 Candidato 5 Alberto Candidato 4 Candidato 5 Bento Candidato 4 Candidato 5 Carlos Portanto, item correto. 177 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. Solução: Vimos anteriormente que essa quantidade é dada pela combinação dos 5 candidatos, três a três: C(5, 3) = !3)!.35( !5 − = 10 Portanto, item errado. (Texto para as questões 178 a 182) O estafe de uma nova instituição pública será composto por 15 servidores: o diretor-geral, seu secretário executivo e seus 2 subsecretários — 1 de assuntos administrativos e 1 de fomento —, 4 diretores — de administração e finanças, de infraestrutura, executivo e de pessoal — e, ainda, sete assessores ligados a esses cargos. Para a composição desse estafe, dispõe-se de 20 pessoas, todas igualmente qualificadas para assumir qualquer um dos cargos vagos. Entretanto, por motivos internos, apenas 5 delas podem assumir cargos de direção. As pessoas escolhidas para os cargos de assessoria desempenham funções similares. Considerando a situação acima, julgue os itens que se seguem.
  34. 34. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 57 de 86 15 pessoas concorrendo a 3 cargos diferentes. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo: A(15, 3) = )!315( !15 − A(15, 3) = !12 !15 Para os demais cargos de assessores: Como 3 pessoas já preencheram os cargos de secretário executivo e subsecretários, restaram 12 para preencherem os cargos de assessores. Esse cálculo nós já fizemos na questão anterior: C(12, 7) = !7!.5 !12 Assim, o total de possibilidades é: Total = 5! x !12 !15 x !7!.5 !12 = !7 !15 Vejam que nem precisamos fazer as contas. Item correto. 180 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os “motivos internos” não existissem, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os 15 cargos seria igual a 20!/7!. Solução: Agora, as 20 pessoas concorrem aos 15 cargos disponíveis. Assim, primeiro vamos preencher os cargos diferenciados: Para os 8 cargos diferenciados (diretores, secretário e subsecretários): 20 pessoas concorrendo a 8 cargos distintos. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo: A(20, 8) = )!820( !20 − A(20, 8) = !12 !20
  35. 35. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 58 de 86 Para os demais cargos de assessores: Como 8 pessoas já preencheram os cargos diferenciados, restaram 12 pessoas para preencherem os cargos de assessores. Esse cálculo nós já fizemos anteriormente: C(12, 7) = !7!.5 !12 Assim, o total de possibilidades é: Total = !12 !20 x !7!.5 !12 = !7!.5 !20 Vejam que sobrou a divisão por 5!. Item errado. 181 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras diferentes de serem preenchidos os cinco cargos de direção é superior a 100. Solução: Como para preencher os 5 cargos de direção só podemos utilizar 5 candidatos (por “motivos internos”), teremos 5 candidatos para cinco vagas distintas. Assim, como todos os elementos participam e a ordem importa, utilizaremos a permutação: P5 = 5! P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Item correto. 182 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos os cargos de direção, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os cargos de secretário e de subsecretário é superior a 3.000. Solução: Já vimos que para essa escolha nós temos 15 pessoas concorrendo a 3 cargos diferentes. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo: A(15, 3) = )!315( !15 −
  36. 36. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 60 de 86 Percebam que os casos favoráveis são subconjuntos do espaço amostral. No caso do lançamento de uma moeda sair cara, o caso favorável {cara} é um subconjunto do espaço amostral {cara, coroa}. No caso do lançamento do dado sair o número 6, o caso favorável {6} é um subconjunto do espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vejamos um exemplo: Ex1: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola dessa urna e ela ser ímpar e vermelha? Bom, conforme vimos acima, a probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5 (3 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 (10 opções) Assim, a probabilidade é: P = PossíveisCasos FavoráveisCasos = 10 3 = 0,3 = 30% Outro exemplo: Ex2: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas dessa urna, com reposição, e elas serem ímpares e vermelhas? Para retirar cada bola, vimos que a probabilidade de ela ser ímpar e vermelha é 10 3 . Agora, como queremos que as duas bolas sejam ímpares e vermelhas, usamos o princípio multiplicativo, e a probabilidade total é dada por: Pt = P1.P2 = 10 3 . 10 3 = 100 9 = 0,09 = 9% Ex3: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas dessa urna, sem reposição, e elas serem ímpares e vermelhas?
  37. 37. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 62 de 86 P( A ) = 1 – P(A) Vejamos um exemplo: Ex4: Num baralho completo, com 52 cartas, 13 de cada naipe, deseja-se saber qual a probabilidade de se retirar ao acaso uma carta do naipe copas. Casos Favoráveis: 13 cartas Casos Possíveis: 52 cartas P(copas) = 52 13 = 0,25 = 25% Agora, e se eu quisesse saber a probabilidade de, ao retirar uma carta, ela não ser do naipe copas? Casos Favoráveis: 39 cartas Casos Possíveis: 52 cartas P(não copas) = 52 39 = 0,75 = 75% Outra forma de se chegar ao mesmo resultado é lembrando que retirar uma carta de copas e retirar uma carta que não seja de copas são eventos complementares. Assim: P(não copas) = 1 – P(copas) P(não copas) = 1 – 0,25 P(não copas) = 0,75 Probabilidade Condicional Outro ponto importante que devemos saber é a probabilidade condicional. O que veremos aqui é a probabilidade de um segundo evento acontecer, dado que um primeiro evento já aconteceu. Vamos ver um exemplo: Ex5: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola ímpar dessa urna, sabendo que ela é vermelha?
  38. 38. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 66 de 86 de 6 faces numeradas de 1 a 6, buscando obter a maior pontuação possível, de acordo com as regras estipuladas. Dois exemplos de combinações pontuadas no jogo são a sequência máxima — o jogador obtém as faces de números 1, 2, 3, 4 e 5 — e a chance — a pontuação do jogador é a soma dos números das faces dos 5 dados. A combinação Yathzee, que dá nome ao jogo, ocorre quando as faces dos 5 dados apresentam o mesmo número. Internet: <www.hasbro.com> (com adaptações). Com base no texto acima e considerando um único lançamento simultâneo dos cinco dados, julgue os itens a seguir. 183 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter a sequência máxima é inferior a 776.7 750 . Solução: Nessa questão, para calcular a probabilidade de ocorrência da sequência, temos: 1º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência (1, 2, 3, 4 ou 5). P1 = 6 5 2º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto o número que sair no dado 1. P2 = 6 15 − = 6 4 3º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1 e 2. P3 = 6 25 − = 6 3 4º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1, 2 e 3. P4 = 6 35 − = 6 2 5º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1, 2, 3 e 4. P5 = 6 45 − = 6 1
  39. 39. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 67 de 86 Assim, a probabilidade total é: Pt = 6 5 . 6 4 . 6 3 . 6 2 . 6 1 = 7776 120 Item correto. 184 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter um Yathzee é igual a 296.1 1 . Solução: Nessa questão, vamos calcular o número de casos favoráveis ao Yathzee e o número de casos possíveis para o lançamento dos cinco dados: Casos favoráveis: (1, 1, 1, 1, 1) (2, 2, 2, 2, 2) (3, 3, 3, 3, 3) (4, 4, 4, 4, 4) (5, 5, 5, 5, 5) (6, 6, 6, 6, 6) Total = 6 casos favoráveis Casos possíveis: Total = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 casos possíveis Assim, a probabilidade de se obter um Yathzee é: P = 5 6 6 = 4 6 1 = 1296 1 Item correto. 185 - (MEC - 2011 / CESPE) Se o resultado do lançamento não apresentar faces com números iguais, então a maior pontuação possível na combinação chance será inferior a 18 pontos. Solução: Se o resultado do lançamento pudesse apresentar faces com números iguais, a maior pontuação possível seria:
  40. 40. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 74 de 86 P(vereador) = 000.2 340x + = 0,4 x + 340 = 0,4.2000 x + 340 = 800 x = 800 – 340 = 460 Como o total de elementos das áreas branca (x) e verde (y) é igual a 680, temos: x + y = 680 460 + y = 680 y = 680 – 460 = 220 Item correto.
  41. 41. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 75 de 86 4 - Questões comentadas nesta aula 166 - (ANAC 2009 - CESPE) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. 167 - (SEPLAG/DF 2009 - CESPE) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 é possível formar 120 números diferentes de 5 algarismos, sem repetição. 168 - (SEPLAG/DF 2009 - CESPE) Com 3 letras A e 7 letras B formam-se 120 sequências distintas de 10 letras cada. 169 - (BB 2007 - CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102 . 170 - (FUB 2009 / CESPE) A quantidade de números naturais de 3 algarismos em que todos os algarismos são distintos é superior a 700 171 - (Agente-PF - 2009 / CESPE) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. 172 - (MPE-RR - 2008 / CESPE) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributário e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos 45 processos. (Texto para as questões 173 e 174) Entre os 6 analistas de uma empresa, 3 serão escolhidos para formar uma equipe que elaborará um projeto de melhoria da qualidade de vida para os empregados da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem atividades na área de ciências sociais e os demais, na área de assistência social.
  42. 42. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 76 de 86 Julgue os itens que se seguem, relativos à composição da equipe acima mencionada. 173 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os 2 analistas que desenvolvem atividades na área de ciências sociais fizerem parte da equipe, então a quantidade de maneiras distintas de se compor essa equipe será superior a 6. 174 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a equipe for formada por 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais, então ela poderá ser composta de 12 maneiras distintas. (Texto para as questões 175 a 177) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. 175 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. 176 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. 177 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. (Texto para as questões 178 a 182) O estafe de uma nova instituição pública será composto por 15 servidores: o diretor-geral, seu secretário executivo e seus 2 subsecretários — 1 de assuntos administrativos e 1 de fomento —, 4 diretores — de administração e finanças, de infraestrutura, executivo e de pessoal — e, ainda, sete assessores ligados a esses cargos. Para a composição desse estafe, dispõe- se de 20 pessoas, todas igualmente qualificadas para assumir qualquer um dos cargos vagos. Entretanto, por motivos internos, apenas 5 delas podem assumir cargos de direção. As pessoas escolhidas para os cargos de assessoria desempenham funções similares. Considerando a situação acima, julgue os itens que se seguem. 178 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos todos os cargos de direção, de secretário executivo e de subsecretários, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os sete cargos de assessores é superior a 700.
  43. 43. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 77 de 86 179 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolhem as pessoas para preencher os 15 cargos de modo que as restrições internas sejam respeitadas é igual a 15!/7!. 180 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os “motivos internos” não existissem, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os 15 cargos seria igual a 20!/7!. 181 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras diferentes de serem preenchidos os cinco cargos de direção é superior a 100. 182 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos os cargos de direção, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os cargos de secretário e de subsecretário é superior a 3.000. (Texto para as questões 183 a 185) Para jogar o Yathzee, jogo de dados criado em 1956, os jogadores lançam simultaneamente, em turnos, 5 dados de 6 faces numeradas de 1 a 6, buscando obter a maior pontuação possível, de acordo com as regras estipuladas. Dois exemplos de combinações pontuadas no jogo são a sequência máxima — o jogador obtém as faces de números 1, 2, 3, 4 e 5 — e a chance — a pontuação do jogador é a soma dos números das faces dos 5 dados. A combinação Yathzee, que dá nome ao jogo, ocorre quando as faces dos 5 dados apresentam o mesmo número. Internet: <www.hasbro.com> (com adaptações). Com base no texto acima e considerando um único lançamento simultâneo dos cinco dados, julgue os itens a seguir. 183 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter a sequência máxima é inferior a 776.7 750 . 184 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter um Yathzee é igual a 296.1 1 . 185 - (MEC - 2011 / CESPE) Se o resultado do lançamento não apresentar faces com números iguais, então a maior pontuação possível na combinação chance será inferior a 18 pontos. (Texto para as questões 186 e 187) As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humanos de
  44. 44. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 78 de 86 uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a 2 1 ; que a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 4 1 ; que a probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 12 7 . Nessa situação hipotética, a probabilidade de 186 - (EBC - 2011 / CESPE) os dois candidatos serem contratados é igual a 6 1 . 187 - (EBC - 2011 / CESPE) nenhum dos dois candidatos ser contratado é igual a 3 1 . (Texto para as questões 188 a 190) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Considerando essa situação, julgue os itens seguintes. 188 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. 189 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. 190 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos.
  45. 45. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 79 de 86 5 - Questões para praticar! A solução será apresentada na próxima aula (Texto para as questões 191 a 193) De acordo com o primeiro lema de Kaplansky, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3,..., n} com p elementos, em que não há números consecutivos, é dada pela fórmula abaixo. )!1p2n(!p )!1pn( +− +− Uma das aplicações desse lema é a contagem do número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que 2 meninas não fiquem em posições adjacentes. A estratégia para se realizar essa contagem compreende quatro passos. Em primeiro lugar, deve-se contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas; esse procedimento deve ser feito utilizando-se o lema de Kaplansky. Em seguida, deve-se contar o número de maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. O próximo passo consiste em contar o número de maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes. Por fim, deve-se usar o princípio multiplicativo. Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 191 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Diante dos dados acima, é correto afirmar que o número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que não fiquem 2 meninas em posições adjacentes, é superior a 600.000. 192 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Em face dos dados apresentados, é correto afirmar que o número de maneiras de se escolher as 4 cadeiras entre as 10 disponíveis sem que haja cadeiras consecutivas é superior a 40. 193 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A partir dos dados acima, é correto concluir que o número de maneiras de se organizar as 4 meninas nas 4 cadeiras escolhidas é igual a 16. (Texto para as questões 194 a 196) Alberto, Bruno, Sérgio, Janete e Regina assistirão a uma peça de teatro sentados em uma mesma fila, lado a lado. Nessa situação, julgue os itens subsequentes. 194 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Caso Janete e Regina sentem-se nas extremidades da fila, então a quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 24.
  46. 46. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 80 de 86 195 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 120. 196 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considere que Sérgio e Janete sentem um ao lado do outro. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de como as 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 48. (Texto para as questões 197 e 198) Julgue os itens seguintes, considerando que planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez. 197 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. 198 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104. (Texto para as questões 199 e 200) Entre 3 mulheres e 4 homens, 4 serão escolhidos para ocupar, em uma empresa, 4 cargos de igual importância. Julgue os itens a seguir, a respeito das possibilidades de escolha dessas 4 pessoas. 199 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se 2 mulheres e 2 homens forem os escolhidos, então a quantidade de maneiras distintas de se ocupar os cargos é igual a 12” é uma proposição falsa. 200 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se todas as mulheres forem escolhidas, então a quantidade de escolhas distintas para a ocupação das vagas é igual a 3” é uma proposição verdadeira. (Texto para as questões 201 e 202) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
  47. 47. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 81 de 86 201 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 6 1 . 202 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas, o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. (Texto para as questões 203 e 204) Em uma cidade, uma emissora de televisão inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa, cujo resultado mostrou que, das 1.200 pessoas entrevistadas, 770 pretendem assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao programa B e 590 não pretendem assistir ao programa B. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, julgue os próximos itens, com base no resultado da pesquisa. 203 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir aos dois programas é superior a 4 1 . 204 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir a apenas um dos programas é igual a 4 3 . (Texto para as questões 205 a 207) Célia e Melissa são candidatas ao cargo de presidente de uma empresa. A escolha será decidida na assembléia de acionistas e cada acionista poderá votar nas duas candidatas, em apenas uma ou em nenhuma delas. Uma pesquisa entre os 100 acionistas da empresa revelou a seguinte tendência: • 16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas; • 28 acionistas votariam apenas em Melissa; • 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa. Nesse caso, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar
  48. 48. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 82 de 86 205 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) apenas em Célia é inferior a 0,4. 206 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) nas duas candidatas é igual a 0,2. 207 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) em Melissa é superior a 0,45. (Texto para as questões 208 a 210) Considerando que, em uma concessionária de veículos, tenha sido verificado que a probabilidade de um comprador adquirir um carro de cor metálica é 1,8 vez maior que a de adquirir um carro de cor sólida e sabendo que, em determinado período, dois carros foram comprados, nessa concessionária, de forma independente, julgue os itens a seguir. 208 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que ao menos um dos dois carros comprados seja de cor sólida é igual a 784 460 . 209 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que os dois carros comprados sejam de cor metálica é 3,24 vezes maior que a probabilidade de que eles sejam de cor sólida. 210 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que somente um dos dois carros comprados seja de cor metálica é superior a 50%. (Texto para a questão 211) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 2009, havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região Centro-Oeste, no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.505.415 habitantes. A partir dessas informações, julgue o item subsequente. 211 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro- Oeste, ser analfabeta é inferior a 20%. (Texto para a questão 212) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa.
  49. 49. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 83 de 86 Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de classe média. Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações). Tendo como referência o texto acima, julgue o item seguinte. 212 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%. (Texto para as questões 213 e 214) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. 213 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000. 214 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que ambos tenham sido condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a 6 1 . (Texto para a questão 215) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos. 215 - (TCDF - 2012 / CESPE) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E já ter participado de exatamente 10 procedimentos licitatórios é igual a 0 1110 N NN − . (Texto para as questões 216 a 218) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
  50. 50. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 84 de 86 Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 216 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100. 217 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 218 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. (Texto para a questão 219) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 3 2 são de A e 5 3 são de B, julgue os itens a seguir. 219 - (MPU - 2013 / CESPE) Selecionando-se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva autoridade influente será superior a 30%. (Texto para as questões 220 a 224) Estudos revelam que 95% dos erros de digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um código de barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos da mesma sequência; esse último tipo de erro corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a senha de acesso de um usuário a seu provedor de email seja formada por 8 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, julgue os itens de 41 a 45. 220 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a probabilidade de ocorrer um erro de troca entre dois algarismos da própria sequência no momento da digitação de uma sequência numérica é de 80%.
  51. 51. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 85 de 86 221 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a probabilidade de um erro ocorrido na digitação de uma sequência numérica ser do tipo substituição de um algarismo por outro é de 15%. 222 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a senha, o usuário cometer um erro, a probabilidade de o erro dever-se à troca entre dois algarismos adjacentes da sequência será igual a 20%. 223 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a sua senha, o usuário cometer um erro do tipo substituição de um algarismo por outro, então a probabilidade de que tal substituição ocorria no primeiro algarismo da senha será igual a 0,1. 224 - (SERPRO - 2013 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de o usuário, ao digitar a sua senha, cometer um erro do tipo troca entre dois algarismos da própria sequência é superior a 30.
  52. 52. Raciocínio Lógico p/ PF Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 04 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 86 de 86 6 - Gabarito 166 - C 167 - C 168 - C 169 - C 170 - E 171 - E 172 - E 173 - E 174 - C 175 - C 176 - C 177 - E 178 - C 179 - C 180 - E 181 - C 182 - E 183 - C 184 - C 185 - E 186 - C 187 - E 188 - C 189 - E 190 - C 191 - C 192 - E 193 - E 194 - E 195 - C 196 - C 197 - C 198 - E 199 - C 200 - E 201 - E 202 - C 203 - E 204 - C 205 - C 206 - E 207 - C 208 - C 209 - C 210 - E 211 - C 212 - C 213 - C 214 - E 215 - C 216 - C 217 - E 218 - E 219 - C 220 - E 221 - C 222 - C 223 - E 224 - E

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