Teorema da recursão

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Teorema da recursão

  1. 1. Teorema da Recursão Priscila Silva Neves Lima Sérgio Ferreira Maia
  2. 2. Índice ● Introdução ● Paradoxo do estudo da vida ● A máquina AUTO ● O teorema da recursão ● Aplicações ○ Teorema da parada ○ Teorema do ponto fixo ○ Vírus de computador ● Bibliografia ● Dúvidas
  3. 3. Introdução O teorema da recursão é um resultado matemático que desempenha um papel fundamental em teoria da computabilidade. Ele tem conexões com lógica matemática, teoria de sistemas auto-reprodutivos e vírus de computador.
  4. 4. Paradoxo do estudo da vida 1. Coisas vivas são máquinas. 2. Coisas vivas podem se reproduzir. 3. Máquinas não podem se auto reproduzir.
  5. 5. Paradoxo do estudo da vida Como resolver o paradoxo: ○ A afirmação 3 está incorreta pois o Teorema da Recursão mostra como uma máquina pode se auto reproduzir.
  6. 6. A Máquina AUTO AUTO é uma máquina de Turing que ignora a entrada e imprime uma cópia de sua própria descrição.
  7. 7. A Máquina AUTO Auto-referência AUTO = “Sobre a entrada w: 1. Ignore a entrada w. 2. Imprima <AUTO>.” <AUTO> = código da máquina AUTO.
  8. 8. A Máquina AUTO Passo 1: máquina Pw Pw = “Sobre a entrada x: 1. Ignore x; 2. Imprima w na fita.”
  9. 9. A Máquina AUTO Passo 2: máquina Q Lemma (6.1 - Sipser) Existe uma função computável q: Σ* Σ*, onde se w é uma cadeia qualquer, q(w) é a descrição de uma m.T. Pw que imprime w e pára.
  10. 10. A Máquina AUTO Q = “Sobre a entrada w: 1. Construa a m.T. Pw. 2. Imprima <Pw> na fita.”
  11. 11. A Máquina AUTO Passo 3: máquinas A e B A = P<B> B = “Sobre <M>, uma porção de uma m.T.: 1. Compute q(<M>) = P<M> 2. Imprima na fita <P<M>o M> e pare” <P<M>o M> é a concatenação de P<M> e M.
  12. 12. A Máquina AUTO AUTO = “Sobre a entrada x: 1. Ignore x 2. Executa A: Imprime código da máquina B na fita 3. Executa B sobre a string na fita (no caso <B>): Imprime o código da máquina que imprime B na fita (A) seguido do código de B” Resultado na fita = <A.B>
  13. 13. A Máquina AUTO
  14. 14. A Máquina AUTO
  15. 15. A Máquina AUTO
  16. 16. O Teorema da Recursão Seja T uma máquina de Turing que computa t: Σ* x Σ* Σ*. Existe uma m.T R que computa uma função r: Σ* Σ*, onde para todo w: r(w) = t(<R>, w) Em outras palavras: Uma m.T. pode construir uma réplica de seu próprio código e continuar o restante de seu cálculo, que pode até mesmo incluir ações envolvendo seu próprio código.
  17. 17. O Teorema da Recursão A B T ( = P(BT)) Controle para R ……. Onde: 1. A = P(BT) e 2. T recebe como parâmetros (<R>, w)
  18. 18. O Teorema da Recursão
  19. 19. O Teorema da Recursão
  20. 20. O Teorema da Recursão LOGO : ABT (a1a2....a5) = T(<ABT>,a1a2...a5) => R(w) = T(<R>, w)
  21. 21. O Teorema da Recursão Construção de AUTO
  22. 22. O Teorema da Recursão Construção de AUTO T = “Sobre a entrada <M, w>: 1. Imprima <M> e pare.”
  23. 23. O Teorema da Recursão Construção de AUTO T = “Sobre a entrada <M, w>: 1. Imprima <M> e pare.” r(w) = t(R, w) - Definição de AUTO
  24. 24. O Teorema da Recursão Construção de AUTO T = “Sobre a entrada <M, w>: 1. Imprima <M> e pare.” r(w) = t(R, w) - Definição de AUTO AUTO = “Sobre uma entrada w: 1. Obtenha, por meio do Teorema da Recursão, a própria descrição <AUTO>. 2. Imprima <AUTO>.”
  25. 25. Aplicações AMT é indecidível: Assuma que a m.T. H decide AMT. Construa a seguinte m. T. M: M = “Sobre a entrada w: 1. Obtenha, por meio do Teorema da Recursão, sua própria descrição <M>. 2. Rode H sobre a entrada <M, w> 3. Se H rejeita, aceite. Se H aceita, rejeite.”
  26. 26. Aplicações Teorema do ponto fixo: Seja t: Σ* Σ* uma função computável. Então existe uma m.T. F para a qual t(<F>) descreve uma m.T. equivalente a F. Se a entrada não for uma descrição válida, a saída será uma m.T. que sempre rejeita. Em outras palavras, existe uma m.T F tal que, se t(<F>) = G, sobre a mesma entrada, G imprimirá a mesma saída que F.
  27. 27. Aplicações Prova: Seja F a seguinte m.T.: F = “Sobre a entrada w: 1. Obtenha, por meio do Teorema da Recursão, sua própria descrição <F>. 2. Compute t(<F>) para obter a descrição de uma m.T. G. 3. Simule G sobre w.”
  28. 28. Aplicações Vírus: Um programa projetado para se espalhar entre computadores. Quando em um computador hospedeiro, começam a transmitir cópias de si mesmos para outros computadores acessíveis. Podem se utilizar do teorema da recursão para se multiplicarem.
  29. 29. Aplicações Seja a m.T. V, uma m.T. que simula um vírus, tal que V = ABT V: “Sobre a entrada w faça: 1. Rode A 2. Rode B (após a execução do passo 2, tem-se wABT na fita, ou seja, wV) 3. Rode T sobre w. Se T aceita, aceite. Se T rejeita, rejeite.”
  30. 30. Bibliografia ➢ SIPSER, Michael. Introdução à teoria da computação. Tradução técnica Ruy José Guerra Barretto de Queiroz. 2ª ed. São Paulo: Thomson, 2007. ➢ John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. 2ª ed. ➢ Slide: Tópicos Avançados em Teoria da Computação, Sandra de Amo, em <https://www.google.com.br/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CE8QFjAE&url =http%3A%2F%2Fwww.deamo.prof.ufu.br%2Farquivos%2FTeo-recursao. ppt&ei=2sChUvGM4HK2gXfhIHYCQ&usg=AFQjCNGDziN8Kp7QccoIYQ2D1cwrpJre3g&si g2=wQSkbHg5Jzq5v52RPEcVZw&bvm=bv.57752919,d.b2I> acesso em dez. 2013
  31. 31. Teorema da Recursão Priscila Silva Neves Lima Sérgio Ferreira Maia

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