A apresentação resume a transformação das equações da teoria quase-linear para a interação feixe-plasma, de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Apresenta as novas equações obtidas em coordenadas polares e compara alguns resultados preliminares com o modelo anterior em coordenadas cartesianas.

1. A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
A Intera¸˜o Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da
ca
ca
Teoria Cin´tica de Plasmas na Aproxima¸˜o
e
ca
Quase-Linear
Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o
a
Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell
Instituto de F´
ısica - Grupo de F´
ısica de Plasmas
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil
e-mail: sabrina.tigik@ufrgs.br
22 de outubro de 2013

2. Introdu¸˜o
ca
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Objetivos dessa apresenta¸˜o:
ca
Apresentar a mudan¸a de coordenadas das equa¸˜es da
c
co
teoria quase-linear aplicadas ` intera¸˜o feixe-plasma,
a
ca
escritas em coordenadas cartesianas - obtidas
anteriormente por integrantes do Grupo de F´
ısica de
Plasmas -, para coordenadas polares - tema principal desse
trabalho.
Fazer uma compara¸˜o entre os resultados preliminares
ca
dessa nova abordagem, com alguns resultados equivalentes
obtidos com o modelo anterior.
Motiva¸˜o para o trabalho:
ca
Contornar a instabilidade num´rica, que surgiu com a
e
adi¸˜o do termo colisional ao c´digo desenvolvido para as
ca
o
equa¸˜es em coordenadas cartesianas, escrevendo
co
inteiramente o c´digo usando a mesma simetria deste
o
termo, isto ´, simetria polar.
e

3. Resumo Da Apresenta¸˜o
ca
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Apresenta¸˜o das equa¸˜es da teoria quase-linear para a
ca
co
intera¸˜o feixe-plasma, considerando ondas de Langmuir,
ca
em coordenadas cartesianas.
Apresenta¸˜o das equa¸˜es obtidas ap´s a transforma¸˜o
ca
co
o
ca
para coordenadas polares.
Compara¸˜o entre alguns resultados obtidos com a
ca
integra¸˜o num´rica do modelo em coordenadas
ca
e
cartesianas, com resultados equivalentes obtidos em
coordenadas polares.
Perspectivas para a nova abordagem.

4. Considera¸˜es Importantes Para Ambos Os
co
Modelos
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Ser˜o consideradas apenas ondas de Langmuir.
a
Na faixa de frequˆncia em que estamos trabalhando,
e
podemos considerar os ´
ıons como um “background”
est´tico neutralizador.
a
A fun¸˜o inicial de distribui¸˜o de velocidades para os
ca
ca
el´trons do plasma foi definida como sendo Maxwelliana,
e
adicionada de uma Maxwelliana deslocada representando a
distribui¸˜o de velocidades do feixe.
ca
A rela¸˜o de dispers˜o, adimensional, para ondas de
ca
a
Langmuir ´ dada por
e
L
zq =
L
onde zq ≡
ω
ωpe
eq≡
kve
ωpe .
3
1 + q2
2
1/2
,

5. Equa¸˜es Quase-Lineares em Coordenadas
co
Cartesianas
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Definindo a dire¸˜o do feixe como paralela ao eixo z, as
ca
velocidades e os vetores de onda normalizados s˜o expressos da
a
seguinte forma
u = ux ex + uz ez ,
q = qx ex + qz ez .

6. Equa¸˜o De Difus˜o Quase-Linear Em
ca
a
Coordenadas Cartesianas
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
A equa¸˜o de difus˜o quase-linear, descreve como a fun¸˜o de
ca
a
ca
distribui¸˜o Φe evolui temporalmente, sob a influˆncia das
ca
e
ondas geradas por efeitos n˜o-lineares de intera¸˜o
a
ca
onda-part´
ıcula. Sua forma ´ a seguinte:
e
∂Φe
∂
∂
=
(Ae Φe ) +
(Ae Φe )
∂τ
∂ux x
∂uz z
+
+
∂
e ∂Φe
e ∂Φe
+ Dxz
Dxx
∂ux
∂ux
∂uz
∂
e ∂Φe
e ∂Φe
Dzx
+ Dzz
∂uz
∂ux
∂uz
.

7. Coeficiente De Emiss˜o Espontˆnea
a
a
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Na equa¸˜o anterior, Ae e Ae s˜o as componentes do
ca
x
z a
coeficiente relacionado a processos de flutua¸˜es espontˆneas.
co
a
Sua express˜o ´ a seguinte:
a e
Ae = g
i
∞
∞
dqz
dqx
−∞
−∞
2
qx
qi
2
+ qz
L
L
σzq δ(σzq −qx ux −qz uz ) .
σ=±1

8. Coeficiente De Emiss˜o Induzida
a
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
e
e
e
e
Dxx , Dxz , Dzx e Dzz , s˜o as componentes do coeficiente de
a
emiss˜o induzida, que relaciona a evolu¸˜o temporal de Φe ,
a
ca
com as ondas geradas por efeitos n˜o-lineares, atrav´s da
a
e
seguinte equa¸˜o:
ca
e
Dij =
∞
∞
dqz
dqx
−∞
−∞
qi qj
2
+ qz
2
qx
σL
L
Eq δ(σzq −qx ux −qz uz ) .
σ=±1

9. Espectro De Amplitude
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
σL e
Eq ´ a amplitude do espectro das ondas geradas pela
intera¸˜o onda-part´
ca
ıcula. Sua evolu¸˜o temporal depende de
ca
Φe , como pode ser visto na equa¸˜o abaixo:
ca
σL
∂Eq
π ne
= 2
∂τ
q n∗
×
+
π ne
q 2 n∗
∞
∞
duz
−∞
−∞
1 ne
∂Φe
L σL
g Φe + σzq Eq qx
2 n∗
∂ux
∞
∞
duz
−∞
×
L
dux δ(σzq − qx ux − qz uz )
−∞
L
dux δ(σzq − qx ux − qz uz )
1 ne
∂Φe
L σL
g∗ Φe + σzq Eq qz
.
2 n∗
∂uz

10. Abordagem Em Coordenadas Polares
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Foi definida a dire¸˜o de propaga¸˜o do feixe como sendo
ca
ca
paralela ao eixo z. Sendo assim, as velocidades normalizadas e
o vetor de onda normalizados, foram escritos da seguinte forma:
u = ux ex + uz ez = u sin θex + u cos θez ,
q = qx ex + qz ez = q sin ϕex + q cos ϕez .

11. Equa¸˜es Quase-Lineares em Coordenadas Polares
co
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
A equa¸˜o de difus˜o quase-linear obtida ap´s a mudan¸a de
ca
a
o
c
coordenadas ficou da seguinte forma:
∂Φe
1 ∂
1 ∂
=
(uAe Φe ) +
(Ae Φe )
u
∂τ
u ∂u
u ∂θ θ
1 ∂
1 ∂
e ∂Φe
e 1 ∂Φe
uDuu
+
uDuθ
+
u ∂u
∂u
u ∂u
u ∂θ
+
1 ∂
u ∂θ
Dθθ
1 ∂Φe
u ∂θ
+
1 ∂
u ∂θ
e
Dθu
∂Φe
∂u
.

12. Coeficiente de Emiss˜o Espontˆnea
a
a
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
As componentes do coeficiente de emiss˜o espontˆnea Ae e
a
a
u
e , por simplicidade, foram escritas em termos das
Aθ
componentes perpendicular e paralela:
Ae = (sin θAe + cos θAe ) ,
u
x
z
Ae = (cos θAe − sin θAe ) .
x
z
θ

13. Coeficiente de Emiss˜o Induzida
a
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
O mesmo procedimento foi feito para as componentes do
coeficiente de emiss˜o induzida:
a
e
e
e
e
e
Duu = Dxx sin2 θ + Dzz cos2 θ + Dxz sin θ cos θ + Dzx sin θ cos θ ,
e
e
e
e
e
Dθθ = Dxx cos2 θ + Dzz sin2 θ − Dxz sin θ cos θ − Dzx sin θ cos θ ,
e
e
e
e
e
Duθ = Dxx sin θ cos θ − Dzz sin θ cos θ + Dzx cos2 θ − Dxz sin2 θ .
e
e
Sendo Dθu = Duθ .

14. M´todo
e
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Em ambas as abordagens, as equa¸˜es foram aproximadas por
co
equa¸˜es de diferen¸as finitas e um c´digo num´rico utilizando
co
c
o
e
linguagem de programa¸˜o FORTRAN foi desenvolvido. Para a
ca
integra¸˜o da equa¸˜o de difus˜o foi usado o m´todo
ca
ca
a
e
“splitting” e para a equa¸˜o da onda foi empregado o m´todo
ca
e
Runge-Kutta de quarta ordem.

15. Compara¸˜o Entre Resultados Obtidos Nas Duas
ca
Abordagens
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
1
0.01
0.0001
1e-06
1e-08
1e-10
1e-12
1e-14
1e-16
½
Fe
½ ¹½¼
τ =0
τ =0
½ ¹½
½ ¹¾¼
-15
-10
¹½
¹½¼
-5
u⊥
Fe
½ ¹¼
¹
0
5
10
15 -15
-10
-5
5
0
u
10
15
u⊥
¼
½¼
½
¹½
¹½¼
¹
½¼
¼
½
u
Figura: Est´gio inicial de Fe. Podemos ver o pico gerado pelo feixe
a
com velocidade uf = 5. Os resultados s˜o os mesmos, visto que
a
ainda n˜o ocorreu evolu¸˜o temporal.
a
ca

16. A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
1
0.01
0.0001
1e-06
1e-08
1e-10
1e-12
1e-14
1e-16
½
Fe
½ ¹½¼
τ = 100
½ ¹½
½ ¹¾¼
-15
-10
¹½
¹½¼
-5
u⊥
Fe
½ ¹¼
τ = 100
¹
0
5
10
15 -15
-10
-5
5
0
u
10
15
u⊥
¼
½¼
½
¹½
¹½¼
¹
½¼
¼
½
u
Figura: Para τ = 100, n˜o h´ muitas diferen¸as entre as abordagens.
a a
c
Em ambas as figuras, vemos um leve achatamento da fun¸˜o de
ca
distribui¸˜o, mas n˜o h´ evolu¸˜o aparente no feixe.
ca
a a
ca

17. A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
1
0.01
0.0001
1e-06
1e-08
1e-10
1e-12
1e-14
1e-16
½
Fe
½ ¹½¼
τ = 500
½ ¹½
½ ¹¾¼
-15
-10
¹½
¹½¼
-5
u⊥
Fe
½ ¹¼
τ = 500
¹
0
5
10
15 -15
-10
-5
5
0
u
10
15
u⊥
¼
½¼
½
¹½
¹½¼
¹
½¼
¼
½
u
Figura: Para τ = 500, a diferen¸a entre os modelos ´ consider´vel.
c
e
a
Comparando com o modelo em coordenadas cartesianas, podemos
ver que, al´m de algumas regi˜es de instabilidade num´rica, h´
e
o
e
a
crescimento de ondas em regi˜es onde n˜o deveria ocorrer
o
a
ressonˆncia.
a

18. Evolu¸˜o Temporal do Espectro de Amplitude
ca
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
1e-05
1e-06
T
Eq
½
¼º½
τ =0
τ =0
¼º¼¼¼½
½ ¹¼
½ ¹¼
-0.6
-0.4
-0.2
q⊥
T
Eq
¼º¼½
¼º¼¼½
0
0.2
0.4
0.6 -0.6
¹¼º
¹¼º
¹¼º¾
-0.4
-0.2
0.2
0
q
0.4
0.6
q⊥
¼
¼º¾
¼º
¼º
¹¼º
¹¼º
¹¼º¾
¼º¾
¼
¼º
¼º
q
σL
Figura: Est´gio inicial de Eq , ainda n˜o ocorrreu o crescimento de
a
a
ondas.

19. A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
1e-05
1e-06
T
Eq
½
¼º½
τ = 100
τ = 100
¼º¼¼¼½
½ ¹¼
½ ¹¼
-0.6
-0.4
-0.2
q⊥
T
Eq
¼º¼½
¼º¼¼½
0
0.2
0.4
0.6 -0.6
¹¼º
¹¼º
¹¼º¾
-0.4
-0.2
0.2
0
q
0.4
0.6
q⊥
¼
¼º¾
¼º
¼º
¹¼º
¹¼º
¹¼º¾
¼º¾
¼
¼º
¼º
q
Figura: Para τ = 100, aparece um pico na regi˜o de ressonˆncia. A
a
a
forma e a regi˜o de surgimento do pico ´ a mesma em ambas as
a
e
abordagens.

20. A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
1e-05
1e-06
T
Eq
½
¼º½
τ = 500
τ = 500
¼º¼¼¼½
½ ¹¼
½ ¹¼
-0.6
-0.4
-0.2
q⊥
T
Eq
¼º¼½
¼º¼¼½
0
0.2
0.4
0.6 -0.6
¹¼º
¹¼º
¹¼º¾
-0.4
-0.2
0.2
0
q
0.4
0.6
q⊥
¼
¼º¾
¼º
¼º
¹¼º
¹¼º
¹¼º¾
¼º¾
¼
¼º
¼º
q
Figura: Para τ = 500, o crescimento do pico no espectro de
amplitude, aparentemente, ´ igual, tanto para o modelo em
e
coordenadas cartesianas, quanto para o modelo em coordenadas
polares.

21. Perspectivas
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Os resultados obtidos at´ o momento, para a simula¸˜o em
e
ca
coordenadas polares, s˜o preliminares. O programa ainda est´
a
a
em fase de testes e algumas revis˜es da implementa¸˜o
o
ca
num´rica dos coeficientes est˜o sendo feitas. A perspectiva,
e
a
daqui para frente, ´ que solucionemos logo esse problema, para
e
ent˜o adicionarmos o termo de colis˜es e verificarmos a
a
o
estabilidade do c´digo com a nova abordagem.
o

22. Referˆncias
e
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
F. F. Chen. Introduction to Plasma Physics and Controlled
Fusion. Plenum, New York, 1984, 2a. ed.
J. A. Bittencourt. Fundamentals of Plasma Physics.
INPE-FAPESP, S˜o Jos´ dos Campos, 1995, 2a. ed.
a
e
D. A. Gurnett & A. Bhattacharjee. Introduction to Plasma
Physics. Cambrige University Press, 2005.
V. N. Tsytovich. Non Linear Effects In Plasmas. Plenum Press,
New York, 1970.
V. N. Tsytovich. Theory Of Turbulent Plasma. Consultants
Bureau, New York, 1977.

23. Referˆncias
e
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Peter H. Yoon.
Generalized weak turbulence theory.
Phys. Plasmas, 7(12):4858–4871, Dec. 2000.
Peter H. Yoon.
Statistical theory of electromagnetic weak turbulence.
Physics of Plasmas, 13:022302, 15p., 2006.
L. F. Ziebell, R. Gaelzer, J. Pavan, and P. H. Yoon.
Two-dimensional nonlinear dynamics of beam-plasma instability.
Plasma Phys. Contr. Fusion, 50(8):085011, 15p., 2008.

24. Agradecimentos
A Intera¸˜o
ca
Feixe-Plasma
Como
Aplica¸˜o da
ca
Teoria
Cin´tica de
e
Plasmas na
Aproxima¸˜o
ca
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferr˜o
a
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
Obrigada!
* Fim *