FIS146 - Informática Aplicada a Fı́sica

Introdu¸cão a Sistemas de Computa¸cão Algébrica
Maxima - a Computer Algebra System
Marcilio N. Guimarães
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
FIS146 - Informática Aplicada a F´ısica
(1◦ semestre de 2017)
M. N. Guimarães (UFBA) Introdu¸cão ao Maxima FIS146 (2017.1) 1 / 39

Sumário
1 Introdu¸cão
2 Opera¸cões Básicas
3 Fun¸cões Matemáticas
4 Equa¸cões
5 Equa¸cões diferenciais
6 Plotagem de Fun¸cões
7 Bibliografia

Intro
Sumário
1 Introdu¸cão
4 Equa¸cões
7 Bibliografia

Intro
Sistema algébrico computacional
A computa¸cão algébrica ou computa¸cão simbólica é o nome da tecnologia
para a manipula¸cão de fórmulas matemáticas por computadores digitais
representando objetos matemáticos com s´ımbolos.
Um sistema algébrico computacional (em inglês: computer algebra system)
é um programa de computador que facilita o cálculo na matemática
simbólica. Eles normalmente incluem:
precisão aritmética arbitrária - por exemplo, avalia pi a 10.000 d´ıgitos;
motor de manipula¸cão simbólica - simplifica expressões algébricas,
diferencia e integra fun¸cões e resolve equa¸cões;
facilidades gráficas - produz gráficos de fun¸cões;
subsistema de álgebra linear - permite cálculo de matrizes e resolve
sistemas de equa¸cões lineares;
linguagem de programa¸cão de alto n´ıvel - permite aos utilizadores
implementar os seus próprios algoritmos;
sistema de composi¸cão para expressões matemáticas.

Intro
Apresenta¸cão I
Maxima é descendente do Macsyma, sistema de álgebra computadorizada
criado nos anos 60 pelo M.I.T - Massachusetts Institute of Technology.
Vários sistemas criados depois como o Maple e o Mathematica - ambos
softwares proprietários - foram baseados no Macsyma.
Em 1989, houve a libera¸cão do Maxima sob a GPL e ele se tornou
finalmente um Software livre.
Mais precisamente, o Maxima é um sistema de computa¸cão algébrica que
possibilita a manipula¸cão de expressões e a análise de problemas.
É baseado em um núcleo que utiliza a linguagem LISPa, o sistema permite
programa¸cão por meio de uma linguagem própria, o que aumenta as
possibilidades de resolu¸cão de problemas.
a
O seu nome vem de LISt Processing (a lista é a estrutura de dados
fundamental desta linguagem).

Intro
Apresenta¸cão II
Em sua versão padrão, o Maxima é executado todo em terminal; o
comando xmaxima o chama fora do terminal, numa interface gráfica. Seus
comandos são altamente intuitivos. Por exemplo, caso você deseje resolver
uma equa¸cão, basta digitar:
solve(<equa¸cão>,<variável desejada>);
Aperte <Enter> que a resposta lhe será dada.
Os comandos do Maxima sempre terminam com ponto e v´ırgula.
O Maxima possui uma marca¸cão própria. As entradas de comando virão
precedidas de (%i#) e as sa´ıdas virão precedidas de (%o# ), sendo “#”o
número sequencial do comando.
Um comentário pode ser feito escrevendo o texto entre /* e */.

Intro
Alternativas
Outras alternativas de softwares de álgebra computacional:
Maple - comercializado pela Maplesoft.
Mathematica - desenvolvido pela Wolfram Research.
MATLAB - software da MathWorks destinado a fazer cálculos com
matrizes (MATLAB = MATrix LABoratory).
GNU Octave - software livre sob os termos da licen¸ca GPL compat´ıvel
com MATLAB, possuindo um grande número de fun¸cões semelhantes.
Scilab - software cient´ıfico distribuido sob os termos da licen¸ca
CeCILL (compat´ıvel com GPL), semelhante ao Matlab, mantido e
desenvolvido pelo Scilab Enterprises.
SageMath (anteriormente SAGE, System for Algebra and Geometry
Experimentation) - software livre, nos termos da GPL, com o objetivo
de criar uma alternativa de código aberto a outros programas.

Opera¸cões
Sumário
1 Introdu¸cão
4 Equa¸cões
7 Bibliografia

Opera¸cões
Operadores Básicos I
Com o Maxima aberto, digite:
(%i) 5+6;
Aperte <Enter> e o programa deve lhe mostrar a seguinte passagem:
(%o1) 11
Os operadores utilizados na “calculadora”do Maxima são:
“+”é o operador de soma;
“−”é o operador de subtra¸cão;
“*”é o operador de multiplica¸cão;
“/”é o operador de divisão;
“ˆ”ou “**”são operadores de exponencia¸cão.

Opera¸cões
Operadores Básicos II
Perceba que uma vez que você digite
(%i) 5/4;
a sa´ıda é
(%o) 5/4;
Ou seja, a preferência do Maxima é exibir suas respostas em fra¸cões.
Caso você deseje trabalhar em decimal basta usar os números da opera¸cão
em decimal. Então, o input
(%i)5.0/4.0
produzirá o output
(%o) 1.25

Opera¸cões
Operadores Básicos III
Outra forma seria utilizar a fun¸cão float(expressão):
(%i) float(5/4);
(%o) 1.25
Outros operadores importantes são:
“!”é o operador de fatora¸cão - pode-se utiliza-lo em qualquer número,
exceto números inteiros negativos.
“!!”é o operador de dupla-fatora¸cão - para um número n, avalia o
produto n (n-2) (n-4) (n-6) ... (n - 2(k-1)) onde k é o maior inteiro
menor que ou igual a n/2.
Note que essa defini¸cão não coincide com outras defini¸cões publicadas
para argumentos que não são inteiros (racionais ou pontos flutuantes).

Opera¸cões
Operadores mais avan¸cados I
Operador :
O operador de atribui¸cão “:”, como o nome diz, atribui um valor a alguma
variável aleatória, por exemplo:
(%i) A: 5;
(%o) 5
(%i) A;
(%o) 5
No exemplo foi atribu´ıdo à nota¸cão A o número 5. A próxima vez que for
utilizado a nota¸cão A, ele será entendido como o número cinco.

Opera¸cões
Operadores mais avan¸cados II
O operador atribui¸cão é utilizado para a defini¸cão de variáveis e matrizes,
por exemplo:
(%i) A: matrix([1,2],[3,4]);
Com este comando a matriz
1 2
3 4
vai ser atribu´ıdo à variável A. Neste caso, A[1] será [1,2] e A[2] será [3,4].

Opera¸cões
Operadores mais avan¸cados III
Operador .
O operador ponto serve para multiplica¸cão (não comutativa) de matrizes.
Quando “.”é usado com essa finalidade, espa¸cos devem ser colocados em
ambos os lados desse operador, por exemplo,
A . B
Isso distingue o operador ponto plenamente de um ponto decimal em um
número em ponto flutuante.
Operador ::
Operador de atribui¸cão “::”é o mesmo que “:”exceto que também atribui
o valor da expressão no lado direito para o valor da quantidade na sua
esquerda.

Opera¸cões
Operadores mais avan¸cados IV
Operador :=
Operador de defini¸cão de fun¸cão.
(%i) f(x):=sin(x)
Define uma fun¸cão f, no caso sen(x).
Operador ::=
Operador de defini¸cão de fun¸cão de macro que define uma fun¸cão
(chamada de “macro”) que coloca um apóstrofo em seus argumentos, isto
é, evita a avalia¸cão), e a expressão que é retornada (chamada de
“expansão de macro”) é avaliada no contexto a partir do qual a macro foi
chamada. Uma fun¸cão de macro é de outra forma o mesmo que uma
fun¸cão comum.

Opera¸cões
Operadores mais avan¸cados V
Operador =
Operador de equa¸cão. Uma expressão a = b, por si mesma, representa
uma equa¸cão não avaliada, a qual pode ou não se manter.
A fun¸cão is avalia = para um valor Booleano. is(a = b) avalia a = b para
true quando a e b forem idênticos. De outra forma, is(a = b) avalia para
false; is(a = b) nunca avalia para unknown.
Operador #
Representa a nega¸cão da igualdade sintática =.

Opera¸cões
Operadores mais avan¸cados V
Operador and
Operador lógico de conjun¸cão. Os operandos de and são expressões
Booleanas e seu resultado é um valor Booleano. and for¸ca avalia¸cão de
um ou mais operandos e pode for¸car a avalia¸cão de todos os operandos.
Operador or
Operador lógico de disjun¸cão. Os operandos de or são expressões
Booleanas e seu resultado é um valor Booleano. or for¸ca avalia¸cão de um
ou mais operandos e pode for¸car a avalia¸cão de todos os operandos.
Operador not
Operador lógico de nega¸cão. O operando de not é uma expressão
Booleana e seu resultado é um valor Booleano. not for¸ca a avalia¸cão de
seu operando.

Fun¸cões
Sumário
1 Introdu¸cão
4 Equa¸cões
7 Bibliografia

Fun¸cões
Fun¸cões Matemáticas 1 I
Principais fun¸cões trigonométricas
Fun¸cão
ou Pacote Descri¸cão
sin(x) Seno
cos(x) Cosseno
tan(x) Tangente
acos(x) Arco Cosseno
acosh Arco Cosseno hiperbólico
acot(x) Arco Cotangente
acoth(x) Arco Cotangente hiperbólico
acsc(x) Arco cossecante
acsch(x) Arco cossecante hiperbólico
asec(x) Arco secante
asech(x) Arco secante hiperbólico
asin(x) Arco seno
asinh Arco seno hiperbólico
atan(x) Arco tangente

Fun¸cões
Fun¸cões Matemáticas 1 II
atan2(y,x) Retorna o valor de atan(y/x) no intervalo de −pi a pi
atanh(x) Arco tangente hiperbólico
atrig1 Esse pacote contém muitas regras adicionais de simplifica¸cão
para fun¸cões trigonométricas. Para usá-lo fa¸ca load(atrig1)
cosh(x) Cosseno hiperbólico
cot(x) Cotangente
coth(x) Cotangente hiperbólico
csc(x) Cossecante
csch(x) Cossecante hiperbólica
ntrig Esse pacote contém um conjunto de regras para simplificar
fun¸cão trigonométrica cujos argumentos estão na forma f(n pi/10)
onde f é qualquer uma das fun¸cões trigonométricas
sec(x) Secante
sech(x) Secante hiperbólica
sinh(x) Seno hiperbólico
tanh(x) Tangente hiperbólica

Fun¸cões
Fun¸cões Matemáticas 2 I
Outras fun¸cões
Fun¸cão Descri¸cão
sqrt(x) Raiz quadrada
%eˆx Exponencial
Caso haja outra fun¸cão que se deseje utilizar, podemos criá-la nós mesmos. Para
criar uma fun¸cão basta utilizar a seguinte entrada:
(%i) f(x):=<fun¸cão>;
Exemplo
(%i) F(x):=sin(x)+4*xˆ2;
A fun¸cão sin(x) + 4x2
será atribu´ıda a uma nota¸cão F(x), e toda vez que você
utilizar essa nota¸cão a partir de agora, será entendido como a atribui¸cão da
variável x na seguinte fun¸cão.

Equa¸cões
Sumário
1 Introdu¸cão
4 Equa¸cões
7 Bibliografia

Equa¸cões
Equa¸cões I
A forma genérica da resolu¸cão de equa¸cões é:
(%i) solve(<expressão>=<expressão>,x);
Exemplo
(%i) solve(5*x + 2 = 0, x);
A sa´ıda será
(%o) x =
2
5

Equa¸cões
Equa¸cões II
Porém e se houver mais respostas para uma mesma equa¸cão? Vamos
testar:
Exemplo
(%i) solve(5*xˆ3+xˆ2-x=4-x*2, x);
A sa´ıda será
(%o) x =
√
3i + 1
2
, x =
√
31 + 1
2
, x =
4
5

Equa¸cões
Equa¸cões III
Caso você utilize um sistema, basta utilizar a seguinte sintaxe:
(%i) solve([expre1=expre2, expre3=expre4], [variavel1, variavel2]);
Exemplo
(%i) solve([x+y=2, x*2+y=4], [x, y]);
(%o) [[x=2, y=0]]
Para sistemas maiores, segue a mesma lógica.

Equa¸cões
Trabalhando com fun¸cões
Caso se deseje descobrir que valor uma determinada fun¸cão, f(x), adquire
em certo ponto basta digitar f(c), sendo ‘c’ o valor que se desejava para a
variável.
Porém, caso a necessidade seja descobrir quais valores tomará a variável
para que a fun¸cão tome determinado valor, por exemplo,
f(x):= xˆ2-4, quando f(x)=0.
Usamos o mesmo processo das equa¸cões passadas:
Exemplo
(%i) solve(f(x) = 0, x);
(%o) [x = 2, x = - 2]
Vale ressaltar que para equa¸cões de várias respostas como sen(x) será
visualizado apenas a primeira resposta.

Equa¸cões
Limite I
Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise
matemática para definir derivadas e a continuidade de fun¸cões. Seja
limit (expr, x, val, dir)
calcula o limite de expr com a variável real x aproximando-se do valor val
pela dire¸cão dir.
- dir - pode ter o valor plus para um limite pela direita, minus para um
limite pela esquerda ou pode ser omitido (implicando em um limite
em ambos os lados para ser computado).
- limit - usa os seguintes s´ımbolos especiais: inf (infinito positivo) e
minf (infinito negativo).
Em sa´ıdas essa fun¸cão pode também usar und (undefined - não
definido), ind (indefinido, mas associado) e infinity (infinito
complexo).

Equa¸c˜oes
Limite II
Exemplos
(%i) limit(sin(x)/x, x, 0);
(%o) 1
(%i) limit(x/xˆ5, x, inf);
(%o) 0

Equa¸cões
Derivada
A derivada representa a taxa de varia¸cão de uma fun¸cão. Seja
diff(expr, x 1, n 1, ..., x m, n m),
retorna uma derivada ou diferencial de expr com rela¸cão a alguma ou
todas as variáveis em expr.
- diff(expr, x, n) - retorna a n’ésima derivada de expr com rela¸cão a x.
- diff(expr, x 1, n 1, ..., x m, n m) - retorna a derivada parcial mista
de expr com rela¸cão a x 1, ...,x m.
- diff(expr, x) - retorna a primeira derivada de expr com rela¸cão a uma
variável x.
- diff(expr) - retorna a diferencial total de expr, isto é, a soma das
derivadas de expr com rela¸cão a cada uma de suas variáveis vezes a
diferencial del de cada variável.

Equa¸cões
Integral
Basicamente, pode-se pensar na integral como como o processo inverso da
deriva¸cão.
integrate(expr, x)
é uma integral indefinida.
integrate (expr, x, a, b)
é uma integral definida, com limites de integra¸cão a e b.

EDO
Sumário
1 Introdu¸cão
4 Equa¸cões
7 Bibliografia

EDO
Equa¸cões Diferenciais I
Equa¸cões diferenciais são equa¸cões que têm, com rela¸cão a seus
elementos, um elemento arbitrário no formato de derivada.
Exemplo
(%i) ode2(’diff(y,x)+3*x*y = sin(x)/x, y,x);
Quando a forma substantiva de diff é requerida no contexto de declara¸cão
de uma equa¸cão diferencial pode ser colocado apóstrofo (com ’diff) para
retornar a forma substantiva em lugar da realiza¸cão da diferencia¸cão.

EDO
Equa¸cões Diferenciais II
Seja
ode2(eqn, dvar, ivar)
A fun¸cão ode2 resolve uma equa¸cão diferencial ordinária (EDO) de
primeira ou de segunda ordem, onde eqn fornece uma EDO, dvar é a
variável dependente e ivar a variável independente.
Quando ode2 encontra uma solu¸cão, retorna uma solu¸cão expl´ıcita ou
impl´ıcita para a variável dependente, onde %c é usado para
representar a constante de integra¸cão no caso de equa¸cões de
primeira ordem e %k1 e %k2 representam as constantes no caso de
segunda ordem.
A dependência da variável dependente com rela¸cão à variável
independente não deve ser escrita explicitamente, como no caso de
solve, porém a variável independente deve sempre ser fornecida como
o terceiro argumento.

Plotagem
Sumário
1 Introdu¸cão
4 Equa¸cões
7 Bibliografia

Plotagem
Plotagem de Fun¸cões I
Seja
plot2d([expr 1, ..., expr n], x range,..., op¸cões, ...)
onde expr, expr 1, ..., expr n pode ser uma entre as expressões ou fun¸cões
do Maxima. Mostra um gráfico de uma ou mais expressões como uma
fun¸cão de uma variável, onde o plot2d monta o gráfico da expressão expr
ou muitas expressões [expr 1, ..., expr n].
Caso dependa somente de uma variável var é obrigatório o uso de x range
para nome daquela variável e fornece seus valores de máximo e de m´ınimo,
usando a sintaxe:
[variable, min, max]

Plotagem
Plotagem de Fun¸cões II
As expr, expr 1, ..., expr n podem também ser uma lista com qualquer
uma das formas:
[discrete, [x1, ..., xn], [y1, ..., yn]]
[discrete, [x1, y1], ..., [xn, ..., yn]]
ou
[parametric, x expr, y expr, t range]
As expressões paramétricas ou discretas dependem de mais de uma
variável
A palavra discrete deve ser seguida das coordenadas horizontais e as
coordenadas verticais.
A palavra parametric deve ser seguida pelas expressões x expr e
y expr que dependem somente do parâmetro, param, e um intervalo
da forma [param, min, max].

Plotagem
Plotagem de Fun¸cões III
As op¸cões xlabel e ylabel podem ser usadas para fornecerem um
rótulo para os eixos horizontal e vertical, respectivamente.
As op¸cões [logx] e [logy] irão tornar os eixos horizontal e vertical
escritos em escala logar´ıtmica.
A op¸cão style pode ser usada para fazer uma das expressões serem
representadas como um conjunto de pontos isolados, ou como pontos
e segmentos de reta.
Existem muitas op¸cões globais armazenadas na lista plot options que
pode ser modificada com a fun¸cão set plot option.
Seja
plot3d ([nome 1, nome 2, nome 3], x range, y range, ..., op¸cões, ...)
Mostra um gráfico de uma ou três expressões como fun¸cões de duas
variáveis.

Bib.
Sumário
1 Introdu¸cão
4 Equa¸cões
7 Bibliografia

Bib.
Referências
CDTC - Centro de Difusão de Tecnologia e Conhecimento
Maxima, ITI - Instituto Nacional de Tecnologia da Informa¸cão,
Governo Federal do Brasil (2011).
Wikipédia, a enciclopédia livre:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Maxima.
Maxima - a Computer Algebra System:
http://maxima.sourceforge.net/

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