control

1. Nome
Matricola
Esame di Servosistemi Aerospaziali – 3/9/2004
1. Si consideri il sistema di controllo riportato in figura
r(s) + y(s)
k G(s)
dove k ` un guadagno puro e G(s), che rappresenta la funzione di trasferimento del sistema
e
da controllare, ` data da:
e
10(s + 0.01)(s + 0.08)2
G(s) =
(s − 0.005)(s + 0.02)(s + 0.04)(s + 2)(s + 8)
1.1 Tracciare il diagramma di Bode asintotico della funzione di anello aperto (assumendo
k = 1) sul foglio allegato. [7 pt]
1.2 Tracciare il luogo dei poli del sistema in anello chiuso al variare di k > 0. [7 pt]
1.3 Determinare il minimo valore di k compatibile con la stabilit` del sistema in anello
a
chiuso. [3 pt]
1.4 Stimare il minimo valore di k tale da garantire che il sistema, in anello chiuso, abbia
una banda passante ωB ≥ 20 rad/s. [4 pt]
1.5 Utilizzando il valore di k di cui al punto precedente ed usando l’approssimazione
di alta frequenza del sistema, stimare il valore del rapporto di smorzamento ζ che
corrisponde ai poli complessi (di alta frequenza) del sistema in anello chiuso. Stimare
inoltre il margine di fase del sistema. [6 pt]
2. Si consideri il sistema LTI la cui f.d.t. `
e
12s4 + 97s3 + 563s2 + 2520s + 5500
G(s) =
(s2 + 8s + 20)(s2 + 25)
Determinare la risposta del sistema ad un ingresso u(t) = e−3t , t > 0. [6 pt]

2. Nome:
40
30
20
10
0
-10
Ampiezza (dB)
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
-3 -2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10 10
360
270
180
Fase (gradi)
90
0
-90
-180
-270
-360
-3 -2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10 10
ω (rad/s)

3. Soluzioni
1.1 Poich´ non ci sono singolarit` nell’origine, a bassa frequenza il diagramma di Bode passa
e a
per il punto
P ≡ (ω = 0, M = 20 log10 |G(0)| = 20 dB)
Il diagramma di Bode asintotico (delle ampiezze) a bassa frequenza ` una retta di pendenza
e
nulla. Considerando poi che G(0) < 0 (perch´ il sistema ha un polo instabile in anello
e
aperto), la fase del sistema a bassa frequenza ` di −180◦ . Il diagramma delle ampiezze `
e e
di immediato tracciamento. Per il diagramma asintotico di Bode delle fasi basta ricordare
che il polo reale positivo si comporta, asintoticamente, come uno zero di uguale pulsazione.
Il diagramma di Bode ` pertanto il seguente:
e
guadagno
20 10
zeri
-0.01
10 -0.08
-0.08
poli
0 0.005
-0.02
-0.04
-2
-10 -8
ampiezza (dB)
-20
-30
-40
-50
G(jω)
-60 asintotico
-3 -2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10 10
0
fase (gradi)
-90
-180
-3 -2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10 10
ω (rad/s)
1.2 Il luogo delle radici ` il seguente, evidenziando le zone di bassa e alta frequenza.
e
3

4. Root Locus Root Locus
0.1 0.04
0.08
0.03
0.06
0.02
0.04
0.01
0.02
Imaginary Axis
Imaginary Axis
x = -4.9425 K = 0.1
0 0
-0.02
-0.01
-0.04
-0.02
-0.06
-0.03
-0.08
-0.1 -0.04
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02
Real Axis Real Axis
1.3 Il minimo valore di k compatibile con la stabilit` del sistema in anello chiuso corrisponde
a
al valore di k in corrispondenza del quale il sistema in anello chiuso presenta un polo
esattamente nell’origine (vedi luogo delle radici). La condizione di polo in anello chiuso
nell’origine ` soddisfatta dall’equazione
e
1 + k G(0) = 0
da cui
1 1
k=− = = 0.1
G(0) 10
1.4 Il minimo valore di k tale da garantire che il sistema in anello chiuso abbia una banda
passante ωB ≥ 20 rad/s si determina utilizzando le informazioni provenienti dal diagramma
di Bode asintotico. Basta infatti imporre che la linea orizzontale degli 0 dB intersechi il
diagramma delle ampiezze in corrispondenza di una frequenza ω = 20 rad/s. Ci` avviene
o
“spostando verso il basso” la linea degli 0 dB di 32 dB. Si ha quindi:
20 log10 k = 32 ⇒ k = 1032/20 ∼ 40
=
1.5 Utilizzando l’approssimazione di alta frequenza del sistema, risulta
10
GHF (s) =
(s + 2)(s + 8)
Il corrispondente luogo delle radici ` il seguente
e
4

5. Il centro degli asintoti ` chiaramente il punto H di parte reale −5. Sia P il punto sul luogo
e
delle radici corrispondente al valore di k determinato al punto precedente. Il rapporto di
smorzamento dei due poli complessi coniugati (di pulsazione ω e rapporto di smorzamento
ζ) si determina osservando che ζ = sin α (vedi figura). Poich´ OP = ω ∼ ωB ∼ 20 e
e = =
OH = 5, si ottiene
ζ = sin α = 5/20 = 0.25
Per quanto riguarda il margine di fase ΦM del sistema, si ricorda che per un sistema del
secondo ordine si ha
ΦM ∼ ζ · 100 = 25◦
=
2. Poich´ la trasformata di Laplace di u(t) ` U (s) = 1/(s + 3), si ha che Y (s) = G(s) · U (s).
e e
Per determinare l’uscita y(t) occorre quindi antitrasformare Y (s). E’ facile verificare che:
12s4 + 97s3 + 563s2 + 2520s + 5500 4(s + 4) 5 8
Y (s) = 2 + 8s + 20)(s2 + 25)(s + 3)
= 2 + 22
+ 2 +
(s (s + 4) s + 25 s + 3
Si noti che:
s+4 s+4
=
s2 + 8s + 20 (s + 4)2 + 22
Ricordando che:
s+a
←→ e−at cos bt
(s + a)2 + b2
c
←→ sin ct
s2 + c2
1
←→ e−pt
s+p
si ottiene
y(t) = 4 · e−4t cos 2t + sin 5t + 8 · e−3t
5