Valores extremos y comportamiento de las funciones y de sus gráficas

Matemáticas 1
Valores extremos y comportamiento de las
funciones y de sus gráficas
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
19 de enero de 2023

Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 2/122
Objetivos
1. Valores máximo y mínimos de una función
2. Aplicaciones
3. Analizar funciones
4. Graficar funciones sabiendo sus propiedades
5. Límites al infinito
6. Asíntotas

Contenido
Extremos de funciones
Funciones crecientes y decrecientes, y criterio
de la primera derivada
Concavidad, puntos de inflexión y criterio de la
segunda derivada
Límites al infinito
Trazo de las gráficas de las funciones y de sus
derivadas
Aplicaciones

Valores máximos y mínimos de
funciones

Extremos relativos: máximo relativo

Ejemplo: valores máximos relativos

Extremos relativos: mínimo relativo

Ejemplo: valores mínimos relativos

Valor de la derivada en un extremo
relativo
● Si f es una función diferenciable, entonces los únicos
números posibles c para los cuales f puede tener un
extremo relativo son aquellos en los que f’(c)=0.
● Que f’(c)=0 no significa que haya un extremo relativo
en c.

https://www.geogebra.org/m/qkejxndw

Ejemplo

En otras palabras
● Si una función f está definida en un número c,
una condición necesaria para que f tenga una
extremo relativo en c es que f’(c)=0 o que f’(c)
no exista.
¡Condición necesaria pero no suficiente!

Ejemplo

Número crítico
●
Una condición necesaria, pero no suficiente,
para que una función tenga un extremo relativo
en c es que c sea un número crítico.

Analíticamente

Extremos absolutos

Ejemplo
Intervalo no cerrado.

Ejemplo

Ejemplo
Discontinuidad

Extremo absoluto en el dominio de f
●
Se puede hablar del extremo absoluto de una
función cuando no se ha especificado
ningún intervalo. En tal caso se hace
referencia al extremo absoluto de la función en
su dominio.

Ejemplo

Teorema del valor extremo (1)
● Si la función f es continua en el intervalo
cerrado [a, b], entonces f tiene un valor máximo
absoluto y un valor mínimo absoluto en [a, b].
¡Lo contrario no necesariamente es cierto!

Teorema del valor extremo (2)
●
La continuidad es una condición suficiente pero
no necesaria.

Extremos absolutos en un intervalo
cerrado
1) Determinar los valores de la función en los
números críticos de f en (a, b).
2) Determinar los valores de f(a) y f(b).
3) El mayor de los valores determinados en los
pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el
menor de los valores es el valor mínimo
absoluto.

Ejemplo
● Determine los extremos absolutos de f en [-2,
3] si

Ejemplo
● Encuentre los extremos absolutos de f en [1, 5]
si

Aplicaciones que involucran un
extremo absoluto en un intervalo
cerrado

Ejemplo

Funciones crecientes y
decrecientes, y criterio de la primera
derivada

Funciones crecientes y decrecientes

Monotonía
●
Si una función es creciente o decreciente en un
intervalo, entonces se dice que es monótona
en ese intervalo.

Criterio para determinar monotonía

Ejemplo

Criterio de la primera derivada para
máximos relativos

Criterio de la primera derivada para
mínimos relativos

Ejemplo

Ejemplos

Extremos relativos de una función
1) Calcular f’(x).
2) Determinar los números críticos de f.
3) Aplicar el criterio de la primera derivada.

Ejemplo

Concavidad, puntos de inflexión y
criterio de la segunda derivada

Ejemplo

Concavidad y puntos de inflexión

Definición de concavidad

https://www.geogebra.org/m/qkejxndw

Concavidad
El recíproco no es válido.
Condición suficiente pero no necesaria.

Ejemplo
¿Segunda derivada en x=0?

Puntos de inflexión

¡Debe haber una recta tangente!

Segunda derivada en un punto de
inflexión
El recíproco no es válido.
Condición suficiente pero no necesaria.

Si f’’(c) existe

Condición suficiente pero no
necesaria
Si es punto de inflexión, f’’(c)=0.

Criterio de la segunda derivada para
extremos relativos

Ejemplo

¡Si f’(c)=f’’(c)=0, nada se puede concluir
acerca de un extremo relativo de f en c!

Trazo de las gráficas de funciones y
de sus derivadas

Objetivo
● Usar la gráfica de la f’ para dibujar una posible gráfica de f.
En general
1)Ver números críticos (de f y “ de f’ ”)
2)Ver intervalos donde f es creciente o decreciente
3)Ver intervalos de f donde hay concavidad hacia arriba o
hacia abajo
4)Ver dónde hay cambios de signo en f’ y f’’
5)Ver extremos relativos (cambio de signo en f’ )
6)Ver puntos de inflexión (cambio de signo en f’’ ). ¡Debe
haber una recta tangente en un punto de inflexión!

Ejemplo
Determinar las abscisas de los puntos de inflexión de la
gráfica de f y dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde
lo es hacia abajo. Dibuje una posible gráfica de f que tenga
estas propiedades así como las propiedades inferidas en base
al criterio de la primera derivada. Suponga que los únicos
ceros de f son 3.5 y 6.
5

Ejemplo
●
Analice la función.
●
Suponga que los
únicos ceros de g son
-2 y 0.

Ejemplo
1) Intervalos en los que f
es creciente o
decreciente
2) Extremos relativos
3) Intervalos donde f es
cóncava hacia arriba o
abajo
4) Abscisas de los
puntos de inflexión
5) Dibuje f’ y f’’

Límites al infinito

Introducción
●
Límites de funciones cuando la variable
independiente crece o decrece sin límite.

Límite de f(x) al crecer x sin límite

Límite de f(x) al decrecer x sin límite

T.13 L.
● Si r es cualquier número entero positivo,
entonces

Ejemplo

Límites “infinitos” al infinito

Asíntota horizontal

Ejemplos

Asíntota oblicua

Asíntota oblicua
●
La gráfica de tiene una asíntota oblicua si
1) el grado de P(x) es mayor en 1 al grado de
Q(x)
2) Q(x) no es factor de P(x).
El grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).

Asíntota oblicua
Ejemplo

Ejemplo
●
Determine las asíntotas de

Funciones Angel Vázquez-Patiño 120/122
¡Prueba 2 sobre 15
puntos!
Secciones 2.8, 2.9,
2.10, 3.1 y 3.2.
Lunes 30/Ene/2023

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