1. Aula 11: Topologia na Reta: Parte 1/2
Prof.
Nilomar
Vieira
de
Oliveira
Manaus, 24 de setembro de 2012.
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Exercícios
Na discussão baixo todos os conjuntos considerados A, B, C, . . . são subconjuntos
dos números reais R.
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Conjuntos Abertos
Definição 1 Dizemos que a ∈ A é um ponto interior do conjunto A se existir um r > 0
tal que o intervalo Br (a) = (a − r, a + r) estiver inteiramente contido em A. Um conjunto
é aberto quando todos seus pontos são interiores, isto é,
para todo a ∈ A, existe r ∈ R+ tal que Br (a) ⊂ A.
Exemplo 1 Todo intervalo aberto (a, b) é um conjunto aberto.
Prova Sejam x0 ∈ (a, b) um ponto arbitrário e r = min{x0 − a, b − x0 }, então Br (x0 ) ⊂
(a, b). Portanto, (a, b) é um conjunto aberto.
Teorema 1 Sejam A1 e A2 são conjuntos abertos, então
(i) A1 ∪ A2 é um conjunto aberto.
(ii) A1 ∩ A2 é um conjunto aberto.
(iii) A =
Aλ é um conjunto aberto.
λ∈Λ
Prova (i) Seja a ∈ A1 ∪ A2 , então a ∈ A1 ou a ∈ A2 . Se a ∈ A1 , como A1 é aberto, existe
r ∈ R+ tal que Br (a) ⊂ A1 e, assim, Br (a) ⊂ A1 ∪ A2 . De forma análoga, se a ∈ A2 , então
Bs (a) ∈ A2 ∪ A1 para algum s ∈ R+ . Em qualquer caso, a é um ponto interior de A1 ∪ A2 .
(ii) Seja a ∈ A1 ∩ A2 , então a ∈ A1 e a ∈ A2 , logo existem r, s ∈ R+ , tais que Br (a) ⊂
A1 e Bs (a) ⊂ A2 . Tomando u = min{r, s} então Bu (a) ⊂ A1 e Bu (a) ⊂ A2 e, portanto,
Bu (a) ⊂ A1 ∩ A2 . Como, o ponto arbitrário a é um ponto interior de A1 ∩ A2 , então
A1 ∩ A2 é um conjunto aberto.
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