O documento descreve a modelagem matemática da dinâmica no esporte de cabo de guerra utilizando um simulador. É apresentado o simulador, as leis de Newton e equações para descrever força, aceleração, velocidade e deslocamento. Explica como essas grandezas se relacionam com o movimento observado no cabo de guerra simulado.

1. MODELAGEM MATEMÁTICA DOS PRINCÍPIOS FÍSICOS DE DINÂMICA
APLICADOS NO ESPORTE CABO DE GUERRA
RÁFAGAN SEBÁSTIAN DE ABREU - Centro Universitário Internacional
1
UNINTER.
GUILHERME AUGUSTO PIANEZZER - Centro Universitário Internacional
2
UNINTER.
Resumo: O presente artigo busca demonstrar a modelagem matemática necessária
para descrever a dinâmica dos corpos em um jogo de cabo de guerra, esporte esse
que existe há séculos e que conta com liga internacional e aparições na cultura pop
e relações sociais diversas. Para tal, utilizou-se um simulador fornecido pelo
Interactive Simulations for Science and Math (PhET), bem como a introdução do
funcionamento do simulador, conteúdo matemático relacionado, em especial as Leis
de Newton. Como resultados, abordou-se as relações entre o conteúdo abordado e
o fenômeno esportivo, entendendo-se a presença da matemática como a linguagem
presente nos fenômenos natureza.
Palavras-Chave: Simulação Física; Cabo de Guerra; Leis de Newton.
INTRODUÇÃO
A prática do esporte é fundamental para o desenvolvimento social e físico,
sendo recomendado para todas as idades (Rondinelli, 2022). Presente desde a
antiguidade, destaca-se o surgimento dos jogos olímpicos na Grécia antiga, um
meio para unir diferentes povos e cultuar os deuses (Ramos, 2021).
Dentre os esportes existentes, pode-se destacar o cabo de guerra, no qual,
segundo as normas oficiais (TWIF, 2022), dois times de oito pessoas precisam
produzir força em sentido contrário ao dos adversários, os puxando até
determinada distância ou demarcação para vencer. Existem três demarcações:
uma no centro das duas equipes, e outras duas, simétricas, a 4 metros de
Discente do curso de Bacharelado em Matemática do Centro Universitário Internacional – UNINTER, Desenvolvedor de Jogos sênior na empresa curitibana
1
Kolb Apps. Tecnólogo em Jogos Digitais pela PUC-PR.
Professor do Centro Universitário Internacional – UNINTER no curso de Bacharelado em Matemática. Doutor em Métodos Numéricos pela UFPR e
2
Licenciado em Matemática pela PUC-PR.

2. distância do centro. O esporte é muito difundido em gincanas escolares e disputas
em ambientes de trabalho cuja profissão exige certo preparo físico rigoroso, como
na polícia militar (PM, 2022).
O esporte conta com regras internacionais e é conhecido fora do Brasil pelo
nome Tug of War (TWIF, 2022). Na versão oficial, existem categorias de
competição de acordo com o peso e sexo (apenas homens, apenas mulheres,
misto). Para vencer, é necessário fazer a demarcação simétrica do adversário
cruzar a posição inicial da demarcação central, no sentido oposto ao da força
aplicada. Também, podem ocorrer faltas, como, por exemplo, quando há queda de
algum competidor, e o total de faltas também pode condicionar vitória.
Sendo a prática esportiva um fenômeno da natureza humana, é possível
utilizar a matemática como linguagem de representação da física do cabo de
guerra. Sendo assim, o objetivo do presente trabalho é demonstrar a modelagem
matemática necessária para descrever a dinâmica dos corpos em um jogo de cabo
de guerra.
Para tal, veremos uma ferramenta de simulação computacional do cabo de
guerra que servirá de auxílio experimental para a modelagem matemática. Em
seguida, será utilizado o conhecimento fundamental descrito por Isaac Newton
(Newton, 1999) no que tange o estudo das forças. Ainda, será proposta uma
formulação que relaciona a dinâmica com o cabo de guerra, bem como as
considerações finais.
DESCRIÇÃO DO SIMULADOR
O simulador estudado no presente artigo (PhET, 2022) apresenta uma
versão simplificada do esporte cabo de guerra. O objeto de aprendizado analisado
foi criado pela comunidade do PhET com a ajuda de bibliotecas de código aberto
escritas na linguagem JavaScript (PhET credits, 2022). Ele conta, além do cabo de
guerra, com outros simuladores para o estudo de forças e o básico da física da
movimentação, como impulso sobre um carrinho de skate com massa variada;
coeficiente de atrito; e aceleração. Aqui, se tem em foco apenas o simulador de
cabo de guerra, disponível como primeira opção em (PhET, 2022), como se pode

3. observar na Figura 1.
Figura 1: Partida simulada de cabo de guerra (Os autores, 2022).
A utilização do simulador é dada da seguinte forma:
1. Inicialmente, deve-se selecionar a primeira opção de simulação das 4,
onde encontra-se o cabo de guerra.
2. Nessa região, por meio de gestos de arrastar e soltar com o mouse,
posicionamos os personagens. Existem três tipos, identificáveis pelo seu
tamanho, cuja principal diferença prática é a intensidade da força. Do maior para
o menor a força aplicada, respectivamente, é 150, 100 e 50 Newtons.
3. Cada lado do cabo de guerra possui quatro posições, que podem ser
ocupadas arbitrariamente pelos personagens (2), tendo como única regra azuis
à esquerda e vermelhos à direita.
4. A partir do posicionamento dos elementos no cabo de guerra, são
produzidos fenômenos mecânicos de força e velocidade, os quais podem ser
observados habilitando a checkbox.
5. Um dos fenômenos físicos observados é a soma de forças, a qual pode
gerar equilíbrio estático ou dinâmico, conforme descreve a primeira Lei de
Newton (Silva, 2018).
6. Na simulação física, são produzidas apenas forças unidimensionais no

4. eixo das abscissas, o que facilita a explicação para os estudantes, uma vez que
não seria necessária a decomposição de forças em vetores unidimensionais,
como ocorrem com vetores n-dimensionais, com n > 1. Seus valores podem ser
visualizados por meio da grandeza escalar definida em Newton dentro das
flechas, as quais representam o módulo e sentido do vetor na reta direcional.
7. Força produz velocidade, ocasionando o deslocamento do carrinho. Para
acompanhar os reflexos do fenômeno observado no experimento, é disposto um
velocímetro com a rapidez produzida pelas forças.
8. Configurados os personagens, a simulação pode ser iniciada ou
interrompida por meio de um botão.
CONTEÚDO RELACIONADO
Para estudar o cabo de guerra é necessário o conhecimento da dinâmica,
área da mecânica responsável pelas causas do movimento. Nesta disciplina, vale
destacar a compreensão das forças, descrita pelas três Leis de Newton:
Primeira Lei (Lei da inércia): Um corpo em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme permanecerá nesse estado, se a resultante das forças que nele
atuam for nula (Araujo, 2013).
Segunda Lei (Lei fundamental da dinâmica): A taxa de variação temporal
da quantidade de movimento de um corpo é igual à força resultante nele exercida, e
tem a direção dessa força (Araujo, 2013).
Terceira Lei (Lei da ação-reação): Para cada ação existe uma reação igual
e oposta, isto é, as forças resultantes da interação entre dois corpos são iguais e
simétricas, cada uma delas aplicada a um dos corpos (Araujo, 2013).
A força (Equação 1) produz aceleração (Equação 2), que por conseguinte
realiza deslocamento (Equação 3), variando a posição por meio da velocidade
(Equação 4). Tal feito cinemático pode ser modelado matematicamente pela fórmula
do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (Equação 5).

5. Equação 1: f - força; m - massa; a - aceleração.
Equação 2: a - aceleração; ∆v - variação de velocidade; ∆t - variação de tempo.
Equação 3: ∆s - deslocamento; sf - posição final; s0: posição inicial.
Equação 4: v - velocidade; ∆s - deslocamento; ∆t - variação de tempo.
Equação 5: MRUV, com s - posição final; s0 - posição inicial;
v0 - velocidade inicial; t - tempo; a - aceleração.
Força, aceleração, deslocamento e velocidade são grandezas vetoriais,
portanto possuem módulo, direção e sentido. Pela simplificação da simulação,
descrevendo as forças por meio de uma única direção, atenta-se para o tamanho
do vetor, que descreve a grandeza vetorial em uma grandeza escalar, e seu
sentido, que é um sinal atrelado à grandeza escalar medida.
O somatório dos vetores das forças define o sentido e intensidade da
velocidade em um dado intervalo ∆t (Equação 6), justificando as causas do
movimento observado. É possível por meio do somatório identificar o equilíbrio
estático: quando o corpo estava em repouso, com resultante das forças nula
(Equação 7); ou o equilíbrio dinâmico: quando o corpo encontra-se em MRU
(Equação 8), ou seja movimento com velocidade constante (Equação 9).
⃗
f = m ⋅ ⃗
a
⃗
a =
Δ ⃗
v
Δt
Δ ⃗
s = ⃗
sf − ⃗
s0
⃗
v =
Δ ⃗
s
Δt
⃗
s = ⃗
s0 + ⃗
v0t +
⃗
a t2
2

6. Equação 6: Corolário pela junção da Equação 1 e Equação 2.
Equação 7: A ausência de velocidade prévia e sistema de forças nulo resulta em
ausência de deslocamento no intervalo de tempo observado.
Equação 8: Movimento Retilíneo Uniforme.
Equação 9: A existência de velocidade prévia e sistema de forças nulo resulta em
MRU no intervalo de tempo observado.
Ainda, vale destacar que a força aplicada sobre a corda gera, pela Lei da
ação e reação, uma força contrária equivalente sobre o corpo gerador da força,
conhecida como tração. Dessa forma, o que gera o movimento é a força contrária
produzida pelo atrito com o chão (Figura 2).
Figura 2: F - força motriz; T - tração; Fat - Força de atrito (Os autores, 2022).
Δ ⃗
v =
Δt
m ∑
⃗
f∈F
⃗
f
⃗
vi = ⃗
0 ∧
∑
⃗
f∈F
⃗
f = ⃗
0 ⟹ ⃗
vf = ⃗
0
⃗
s = ⃗
s0 + ⃗
v t
⃗
vi > ⃗
0 ∧
∑
⃗
f∈F
⃗
f = ⃗
0 ⟹ ⃗
vf > ⃗
0

7. No cabo de guerra simulado, não é conhecida a massa dos personagens,
bem como qual é o atrito estático e atrito cinético produzidos. No entanto, vale
lembrar que o atrito estático representa a resistência de um corpo a entrar em
movimento quando recebe força e o atrito cinético tenta frear o movimento
atenuando a força motriz (Equação 12).
A força e a tração sempre se anulam pela terceira Lei de Newton, ou seja, a
força resultante é definida pela força de atrito, tal que esse vetor é o módulo da
normal à superfície de atrito atenuada por um coeficiente cinético de atrito do
material ( ). Esse vetor é sempre contrário à força aplicada, mas nunca maior que
a própria força, a qual precisa vencer a força de atrito estática ( ) presente no
material para se deslocar, caso contrário o objeto não deve se mover.
Equação 12: A força resultante é a soma dos vetores de força aplicada, tração e
força de atrito. O coeficiente de atrito cinético nunca será maior que o estático.
RELAÇÕES ENTRE O CONTEÚDO E O FENÔMENO ESPORTIVO
Dado o conjunto de forças dos personagens azuis (A) e vermelhos (B)
participantes:
e
o cabo de guerra pode ser descrito como um somatório das forças de A e B
(Equação 13), onde se Γ < 0 os azuis possuem vantagem, se Γ > 0 os vermelhos, e
Γ = 0 temos um equilíbrio estático, podendo haver um equilíbrio dinâmico se e
somente se a simulação for pausada enquanto e ocorrer mudança no
μc
μe
⃗
fr = ⃗
f + ⃗
t + ⃗
fat ∣ ⃗
fat =
{
⃗
f − (μc ∥ ⃗
n ∥) ̂
f, se ∥ ⃗
f ∥ ≤ μe ∥ ⃗
n ∥ ∧ μc < μe
⃗
0 , senão
A = {∥ ⃗
a i∥s ∣ 0 ≤ i ≤ 4; s ∈ {−1,1}}
B = {∥ ⃗
rj∥s ∣ 1 ≤ j ≤ 4; s ∈ {−1,1}}
Γ ≠ 0

8. conjunto A ou B de forma que o sistema de forças produzido seja nulo: .
Isso acontece porque, como citado na Equação 9, mesmo que o novo sistema de
forças seja nulo, se houver velocidade inicial prévia, tem-se como resultado um
MRU.
Equação 13: Somatório das intensidades das forças dos adicionadas.
Com , o fenômeno produz aceleração, e ocorre a variação da
velocidade observada no velocímetro. É interessante notar que quando não há
influência da massa na simulação, pela Equação 1, notamos que
.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O cabo de guerra é um esporte importante e presente na sociedade, sendo
praticado desde o século VI (Feng, 2012), também presente como esporte integrante
das olimpíadas entre 1900 e 1920 (Lopes, 2022). Recentemente, a aparição da
competição na série Round Six© (Fioratti, 2021) da Netflix™ chama a atenção pelo
fator estratégia utilizado para vencer, demonstrando que esse esporte exige, além de
força, estratégia, raciocínio veloz e trabalho em equipe.
Diante do exposto, concluímos que o estudo da dinâmica possui grande
relevância para o entendimento matemático do esporte apresentado. A modelagem
proposta com a fundamentação teórica das Leis de Newton (Newton, 1999)
representa adequadamente as relações entre grandezas vetoriais como força,
velocidade, aceleração e deslocamento.
A ferramenta de apoio que simula o esporte pôde ser utilizada para entender
na prática esses conceitos podem ser aplicados, sendo a abordagem interessante
na ciência da computação, em especial na área de simulação física para jogos, para
reproduzir no computador essa e outros cenários de interação esportiva presentes
na natureza.
Os autores sugerem como continuação deste trabalho a criação de um
simulador de cabo de guerra em que seja possível ajustar a massa e o coeficiente
de atrito estático e dinâmico do chão, a fim de efetuar testes exploratórios com as
Γ′

Γ′

= 0
Γ =
∑
f∈A∪B
f
Γ ≠ 0
⃗
f = 1 ⋅ ⃗
a ∴ ⃗
f = ⃗
a

9. modelagens propostas que não existem na versão atual do mesmo.
REFERÊNCIAS
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ciência elementar. Vol 1. Disponível em: https://www.fc.up.pt/pessoas/
jfgomes/pdf/vol_1_num_1_12_art_leisDinamicaNewton.pdf. Acesso em: 31
jan. 2022.
FENG, Yan - dynasty Feng Yan: Notes of Feng. 2012. vol 6.
FIORATTI, Carolina - Round 6: entenda o sucesso por trás da nova série da
Netflix. 2021. Disponível em: https://super.abril.com.br/cultura/round-6-
entenda-o-sucesso-por-tras-da-nova-serie-da-netflix/. Acesso em: 31 jan.
2022.
LOPES, Patrícia - Cabo de Guerra; Brasil Escola. Disponível em: https://
brasilescola.uol.com.br/educacao-fisica/cabo-guerra.htm. Acesso em: 31 jan.
2022.
NEWTON, Isaac. The Principia (Mathematical Principles of Natural Philosophy
- A New Translation). I. Bernard Cohen and Anne Whitman. Los Angeles:
University of California Press. 1999.
PhET credits - Tug of War credits. Disponível em: https://phet.colorado.edu/en/
simulations/forces-and-motion-basics/credits. Acesso em: 31 jan. 2022.
PhET - Interactive Simulations for Science and Math. Disponível em: https://
phet.colorado.edu/sims/html/forces-and-motion-basics/latest/forces-and-
motion-basics_pt_BR.html. html5. Acesso em: 31 jan. 2022.
PM - Regras do Cabo de Guerra no regimento interno da Polícia Militar.

10. Disponível em https://www.pm.se.gov.br/wp-content/uploads/2015/02/
Regulamento-Cabo-de-Guerra.pdf. Acesso em: 31 jan. 2022.
RAMOS, Jefferson Evandro Machado. Olimpíadas na Grécia Antiga.
Disponível em: https://www.suapesquisa.com/olimpiadas/
olimpiadas_grecia_antiga.htm. 2021. Acesso em: 14 fev. 2022.
RONDINELLI, Paula - Você sabe o que é esporte? Brasil Escola. Disponível
em: https://brasilescola.uol.com.br/educacao-fisica/voce-sabe-que-
esporte.htm. Acesso em 14 de fevereiro de 2022.
SILVA, Saulo Luiz Lima da - A primeira Lei de Newton: uma abordagem
didática. Revista Brasileira de Ensino de Física. Scielo. 2018. Disponível
em: https://www.scielo.br/j/rbef/a/ws6sD6y6f8SqsDYCKMvrGsS/?lang=pt.
Acesso em: 31 jan. 2022.
TWIF - Site oficial do Tug of War International Federation. Disponível em:
http://tugofwar-twif.org/. Acesso em: 31 jan. 2022.