Disciplina regressão parte 6-2015

Prof. Dr. Glauco de Souza Rolim,
UNESP-Jaboticabal
(rolim@fcav.unesp.br)
Minicurso no XVII Congresso
Brasileiro de Agrometeorologia-
Guarapari, ES 1
Modelagem Estatística de Fenômenos Agrícolas:
Ajuste e Avaliação de Modelos Lineares e Não-Lineares
Prof. Dr. Glauco de Souza Rolim
Programa de Pós graduação em Produção Vegetal
Segundo semestre de 2015
Universidade Estadual Paulista,
Júlio de Mesquita Filho,
UNESP-Jaboticabal
rolim@fcav.unesp.br
Jaboticabal
Parte 6
Regressão Não-Linear Múltipla (RNLM)
Jaboticabal
mesma coisa que RNLS só que com 2 ou mais variáveis
independentes
Para modelos extremamente complexos
(o que não é o caso para Agronomia):
(número de parâmetros+número de variáveis+restrições)
É recomendado usar macros (ver na internet)
Ou ainda é recomendado usar outro programa
mostrar exemplo na planilha ...
mplo
m valores
e dp das
ões univariadas
ém
pesos

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 2
Regressão Não-Linear Múltipla (RNLM)
Jaboticabal
Modelo Binormal ( ou normal bivariado)
𝑦(𝑥1) =
1
𝜎1 2𝜋
× 𝑒𝑥𝑝 −
1
2
𝑥1 − 𝜇1
𝜎1
2
X 𝑦(𝑥2) =
1
𝜎2 2𝜋
× 𝑒𝑥𝑝 −
1
2
𝑥2 − 𝜇2
𝜎2
2
𝑦(𝑥1, 𝑥2) =
1
2𝜋𝜎1 𝜎2
× 𝑒𝑥𝑝 −
1
2
𝑥1 − 𝜇1
𝜎1
2
+
𝑥2 − 𝜇2
𝜎2
2
X1 X2
𝑌 =
Á𝑅𝐸𝐴
𝐷𝑃 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑥−𝑀É𝐷𝐼𝐴
𝐷𝑃
2
Bases Matemáticas
Modelos Compartimentalizados

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 3
Conceitos
Básicos
Y-ÁreaFoliar(cm2)
X-Água disponível (mm) (chuva ou ARM)
Y = a . bX
Exemplo:
Notação de Forrester
Entrada/Saída
(Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Transformação e/ou
Armazenamento
Notação
Parâmetro ou
Variável auxiliar
H2O
Área
Foliar
= a . bX
Conceitos
Básicos
Exemplo: se quiséssemos modelar a aplicação de H2O
o crescimento da área foliar e produção?
Dentre todas as
possibilidades:
H2O
Produção
(kg/ha)
Área Foliar
(m2)
Entrada/Saída
(Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Armazenamento
Notação
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Obs: Pode haver ganho de informação, técnica !!

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 4
Conceitos
Básicos
Exemplo: se quiséssemos modelar a aplicação de H2O
o crescimento da área foliar e produção?
H2O
Produção
(kg/ha)
Biomassa
da
Planta
tx. absorção
Dentre todas as
possibilidades:
Regressão múltipla:
Produção= F(biomassa da planta, AF)
Modelo Mecanístico !!!
Entrada/Saída
(Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Armazenamento
Notação
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Notação de Forrester geral para modelagem de
produtividade de cultivos
Entrada/Saída
(Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Armazenamento
Notação
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Produtividade
Potencial (kg/ha)
Produtividade
Atingível (kg/ha)
Produtividade
Real (kg/ha)
Radiação Solar,
Temperatura,
Tipo de cultivo
e/ou variedade
Água, tipo de solo
Elevada/baixa (temperatura, UR, vento),
Severidade de doenças, pragas,
sistema de irrigação com ineficiência

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 5
Modelagem feita em cana-de-açúcar
Modelo APSIM (Keating et al. 1999)
Entrada/Saída
(Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Armazenamento
Diagrama de Forrester
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Entrada/Saída
(Variável de
estado)
Fluxo de Matéria
ou Energia
Fluxo de
Informação
Função e/ou
Taxa
Armazenamento
Diagrama de Forrester
Parâmetro ou
Variável auxiliar
Modelo QCANE (Liu e Kingston, 1995)

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 6
Modelo proposto por O´Leary, 2000
Runoff
Chuva
BHídrico
Drenagem
Evaporação
Transpiração
Notação de Forrester CERES-Wheat (Godwin & Vlek, 1985)
N aplicado N Disp
Amônia
Nitrato
Amônio
Trocável
Perdas
Denitrificação
Perdas
LIXIVIAÇÃO
Perdas
Amônio
volátil
M.O
Estável
M.O
Fresca
[C orgânico]
Imobilização SW
ST
[propr. superf.]
Des. Cultura
Vernalização
Resp. Fotoper.
Índice Térmico
[fotoperíodo
temperatura.]
[Inf. genéticas]
Estádio de
crescimento Partição
Folhas
Ramos
Raízes
Gemas
Frutos
Crescimento
[Radiação]
Produção
AbsorçãoN
Status
Interface
Solo-Planta
Temp. Solo
[albedo]
N
Planta
Raízes
P. Aérea
Perda N
Raízes
Status N
Planta

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 7
Bases Matemáticas
Podemos pensar de como o fenômeno (processo) funciona
de forma similar à um circuito elétrico:
Se os fenômenos funcionam de forma sequencial: A X B
A B
Se os fenômenos funcionam de forma paralela: A + B
A
B
p.e. absorção de água
Pelas raízes e
Condução pelo
Xilema
p.e. transpiração nas folhas
Estômatos e cutícula
...
...
...
...
A resistência (ou taxa) = fenômeno
Bases Matemáticas
Por Exemplo
A
B
C
Equação:
A x (B+C)
A B
C (A x B) + C

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 8
Bases Matemáticas
Modelo de Evapotranspiração de referência por Camargo (1971)
𝐸𝑇𝑃 = 0,01 ×
𝑄𝑜
2,45
× 𝑇 × 𝑁𝐷
Irradiância no topo da atmosfera
Temperatura do ar
N° de dias
Qo
T
(mm período-1)
H2O
Bases Matemáticas
)(
)275(*)(
1
)(
*
2 dao eeU
Ts
GRn
s
s
ET 







Modelo de Evapotranspiração de referência por Penman-Montheith (Smith 1991)
Termo
Radioativo
Fluxo de calor sensível
(T)
Fluxo de calor latente
(lE) (Lei de Dalton)
Termo Aerodinâmico

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 9
Bases Matemáticas
Modelo de Retenção de água no solo Van Genuchten (1980)
𝜃 𝜑 = 𝜃𝑟 +
𝜃𝑠 − 𝜃𝑟
1 + 𝛼 𝜓 𝑛 1−1
𝑛
R água residual
S água na Saturação
R água na Saturação
 Função de entrada de
ar em função da
distribuição de
poros (n) H2O
Avaliações do ajuste
Jaboticabal
além do R2
, p ...!
uficiente ??
temos que avaliar o modelo em termos de ACURÁCIA
Escolhemos nossos modelos, calibramos os coeficientes,
verificamos as pressuposições, verificamos os valores p,
e... o R2... É o suficiente ?

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 10
Jaboticabal
Deve ser feito no
1° Período: calibração (ajuste de curvas), parametrização
2° Período: o modelo já está calibrado e vamos aplicá-lo
com dados novos (independentes)  teste do modelo
A avaliação é feita em termos:
Estatísticos: relacionados a acurácia (precisão e tendência)
para determinação da qualidade (estatística) do ajuste
e
Considerações qualitativas: que envolveram a escolha
do modelo relacionado a aspectos teóricos, simplicidade
do modelo, ...
... “Parcimônia” (termo estatístico)
(navalha de Occan – a explicação mais simples (não simplista!) é a melhor)
Jaboticabal
“Quadro de Teste/Validação/Avaliação” ou melhor
“Quadro de performance” (do modelo)
XOBS
YOBS
É fortemente desejável
Que seja sempre linear
(se não for, significa que o
modelo escolhido não foi o melhor, ou
Ainda é necessário aplicar modelos
hierarquizados)
Calibração,
Ajuste do modelo YOBS
YEST
Teste do modelo
YEST

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 11
Jaboticabal
 Certa confusão no entendimento dos termos
acurácia, precisão e tendência, então... indo na origem:
Precisão: “Expressa o grau de consistência da grandeza
estimada com sua média” ou, simplificando:
a dispersão do valor estimado (em relação à sua média).
(Yest-Ymédio (estimado))
= Repetitibilidade,
Dispersão
Acurácia: “O grau de proximidade de uma estimativa
com seu valor verdadeiro”, é um termo
que representa a qualidade geral (Final) do ajuste
(Yobs-Yest)
e outros Monico et al. 2009, Mikhail e Ackerman (1976),
Wolf e Ghilani (1997) , Gemael (1994), Tommaselli et al. (1989),
Merchant (1982), Kobayashi e Salam (2000), Willmott et al (1985), ..., ...
= Exatidão,
Veracidade
Tendência: “Expressa o grau de desvio entre o valor
médio estimado e os valores reais” ( Acurácia).
(Yobs-Ymédio(estimado))
= Desvio médio,
Viés
 Relacionado aos erros sistemático + aleatório
 Relacionado ao erro aleatório
 Relacionado ao erro sistemático
Pode ser facilmente ser corrigido
Segundo Gauss:
Jaboticabal
Acurácia Tendência= Precisão+
Segundo Gauss:
Mean Square Error
Erro quadrático médio
MSE
Variância
de Y
2
Y
Coef. angular
(Y=a+b.X)
b
 
N
YestYobs
MBE
N
i ii

 1
= +
Segundo Willmott (85):
Root Mean Square Error
Raiz de erro quadrático médio
RMSE
RMSE
sistemático
RMSEs
RMSE
não-sistemático
RMSEu
= +

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 12
Jaboticabal
Jaboticabal
Distribuição
Normal (média do ajuste)
Y estimado médio

Yobsi
Yesti
Xobsi
= Y
Nomenclatura

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 13
Jaboticabal
Ymédio
Yobsi

Yesti
Tendênciai
Acuráciai
Precisãoi
Acuráciai = Tendênciai + Precisãoi
A forma de como é calculado os valores médios de acurácia,
tendência e precisão dá origem as diversas estatísticas que
iremos abordar depois ...
“Real”
Jaboticabal
Ymédio
Yobsi

Yesti
Tendênciai
Acuráciai
Precisãoi
Acuráciai = Tendênciai + Precisãoi

Cuidado!
É diferente do que normalmente
se vê na internet ....
Neste caso
Acurácia = Tendência !!
o que não é o caso:
Acurácia é a medida geral
da qualidade do ajuste!!

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 14
Jaboticabal
Yobsi
Acuráciai (A)= Tendênciai (T) + Precisãoi (P)
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
T2 e T3
T1
P1
P2
P3
A1
A3
A2
Acurácia (A): Modelo 1> Modelo 2> Modelo 3
Comparando 3 modelos: Qual modelo com maior qualidade de ajuste?
o que nos responde é... a acurácia: ...1 depois 2 e 3
Tendência (T): Modelo 1 < Modelos 2 e 3 (=s)
Precisão (P): Modelo 2> Modelo 3 > Modelo 1
(menor dp!)
Jaboticabal
Acurado!
(alta precisão e
baixa tendência)
Não acurado!
(apesar da
alta precisão,
Tem grande
tendência)
Não acurado!
(baixa precisão e
Tendência
Indeterminada,
(nula?))
É tradicional explicar por meio de um alvo, no centro temos
Yobs (valor verdadeiro que quero atingir...)

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 15
Jaboticabal
Rötter et al., 2011
(Nature)
Acurado, preciso
Tendência ()
Acurado
Acurado
Tendência ()
Preciso
Acurado, preciso
Simulação de produtividade de trigo
Yobs
melhorando a precisão
(entre Yest e Yobs)
DiminuindoaTendência
(entreYobseYmédio)
Jaboticabal
Resumindo...

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 16
Yobs
melhorando a precisão
(p.e. aumentando o valor de R2, ...)
Diminuindoatendência
(p.e.diminuindooerrosistemáticoEs,...)
Jaboticabal
Podemos pensar similarmente com índices estatísticos...
Desvio, Tendência
Precisão
d alto
R2 alto
Es baixo
d baixo
R2 alto
Es alto
d alto
R2 baixo
Es baixo
YOBS
YEST
(Gráfico de Performance!)
Jaboticabal
Medidas de
Tendência,
Desvio (médio)
Viés
Utilizam Yobservado e Ymédio
Y = Y estimado médio
Estimative Mean Error (EME)
Erro médio da estimativa
 
N
YYobs
EME
N
i i

 1
Systematic Error (Es)
Systematic Root Mean Squared Error (RMSEs)
 
N
YYobs
Es
N
i i

 1
2
Systematic Mean Squared Error (MSEs)
 
N
YYobs
MSEs
N
i i

 1
2
 
N
YYobs
RMSEs
N
i Cesti 
 1
2
Yest-C =a+b.Yobs
Erro médio quadrático sistemático
Erro sistemático
Raiz do erro médio quadrático sistemático

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 17
Jaboticabal
Medidas de
Precisão Utilizam: Yestimado e Ymédio
(no numerador)
 
 





 N
i i
N
i i
YYobs
YYest
SQT
SQR
R
1
2
1
2
2
  
          




 





 



 

 
2
11
2
2
11
2
1 11
N
i i
N
i i
N
i i
N
i i
N
i
N
i ii
N
i ii
YobsYobsNXobsXobsN
YobsXobsYobsXobsN
r
Coeficiente de correlação (r)
Coeficiente de determinação (R2)
Erro Aleatório (Ea)
Unsystematic Root Mean Squared error (RMSEu)
No excel:
“=correl(A,B)”
 
N
YYest
Ea
N
i i

 1
2
 
N
YYest
RMSEu
N
i Cesti 
 1
2
Yest-C =a+b.Yobs
Raiz do erro médio quadrático não-sistemático
Medidas de
Acurácia
Mean Squared Error (MSE)
Utilizam: Yobs, Yest (no numerador)
 
N
YestYobs
MSE
N
i ii

 1
2
Root Mean Squared Error (RMSE)
 
N
YestYobs
MSERMSE
N
i ii

 1
2
Bias, Mean Bias Error ou Mean Error
 
N
YestYobs
MEMBEBias
N
i ii

 1
Relative Root Mean
Squared Error (RRMSE)
 
Y
N
YestYobs
Y
RMSE
RRMSE
N
i ii


1
2
Erro ou Erro médio
Erro quadrático médio
Raiz do erro quadrático médio
Raiz do erro quadrático médio relativo

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 18
Medidas de
Acurácia
Mean Absolute Error (MAE)
N
YestYobs
MAE
N
i ii

 1
Relative Mean Absolute Error (RMAE)
N
Yobs
YestYobs
RMAE
N
i
i
ii



1
Mean Percentage Error (MPE) N
Yobs
YobsYest
MPE
N
i
i
ii
 








1
100
Erro absoluto médio
Erro absoluto médio relativo
Erro porcentual médio
Medidas de
Acurácia
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
N
Yobs
YobsYest
MAPE
N
i
i
ii
 










1
100
Agreement index (Willmott) (d)  
 





 N
i ii
N
i ii
YYobsYYest
YestYobs
d
1
2
1
2
1
Standart Error of Estimative (SEE)
 
1
1
2




N
YestYobs
SEE
N
i ii
Modeling Efficiency (EF)
 
 
2
1
1
2
1







N
i
N
i
YYobs
YestYobs
EF
Erro porcentual absoluto médio
Índice de concordância de Wilmott (d)
Erro padrão da estimativa
Eficiência da modelagem

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 19
Jaboticabal
drc 
(Camargo e Sentelhas, 1997)
Tabela de interpretação do índice c de Camargo e Sentelhas (1997)
Coeficiente de confiança (c)
Estatística que mistura Precisão e Acurácia
Jaboticabal
Quais estatísticas utilizar ?
 pelo menos uma para cada tipo de erro:
Tendência, Precisão e Acurácia
Estatísticas mais sensíveis a determinadas faixas
de valores e a outliers, ...
evitar estatísticas que falam a mesma coisa...
 tradição em determinadas áreas de pesquisa
 facilidade de comunicação (unidades)
.....

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 20
Jaboticabal
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
CoeficientedeDeterminação(R2)
Desvio Máximo (yobs-yest) (%)
VLR. Máximo
VLR. Mínimo
Média
Cada ponto em X com 100 amostras
Jaboticabal
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
CoeficientedeConcordância(d)
Desvio Máximo (%)
VLR. Máximo
VLR. Mínimo
Média

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 21
Jaboticabal
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
RootMeanSquareerror(RMSE)
Desvio Máximo (%)
VLR. Máximo
VLR. Mínimo
Média
Jaboticabal
0
10
20
30
40
50
60
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
MeanAbsolutePercentageerror(MAPE)
Desvio Máximo (%)
VLR. Máximo
VLR. Mínimo
Média

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 22
Jaboticabal
 Estatísticas com sensibilidade a outliers tem parâmetros elevados ao quadrado
(com ou sem raiz)
 A tendência assintótica de variação é decorrente de expoente (2), se tiver
raiz ou sem expoente se torna linear. A tendência assintótica faz com que a
estatística se torne mais sensível a determinadas faixas de valores
 Estatísticas com unidades iguais (=) aos dados facilitam interpretações
Faixa de Sensibilidade Tendência Faixa de Sensibilidade Tendência
Unidade Sinal valores a outliers de variação Unidade Sinal valores a outliers de variação
Tendência Acurácia
EME = +/- -  a +  - linear Bias=MBE=ME = +/- -  a +  - linear
MSEs s/u + 0 a +   assintótica MSE s/u + 0 a +   assintótica
Es = + 0 a +   linear RMSE = + 0 a +   linear
RMSEs = + 0 a +   linear RRMSE s/u + 0 a +   linear
MAE = + 0 a +  - linear
Precisão RMAE = + 0 a +  - linear
r s/u +/- -1 a +1  linear MPE % + 0 a  % - linear
R2
s/u + 0 a +1  assintótica MAPE % + 0 a  % - linear
R2
ajustado s/u + 0 a +1  assintótica d s/u + 0 a +1  assintótica
Ea = + 0 a +   linear SEE = + 0 a  %  linear
RMSEu = + 0 a +   linear EF s/u + 0 a +1 - assintótica
Jaboticabal
Não se torne refém de suas próprias idéias

UNESP-Jaboticabal
Guarapari, ES 23

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