Previsão de vendas com modelo ARIMA Box-Jenkins

PREVISÃO DE VENDAS COM MODELO
ARIMA BOX-JENKINS
Emanuel De Jesus Ramos Correia Borges∗
Jeremias Lopes Landim†
Praia
17 de agosto de 2018
∗
Licenciado em Estat´ıstica e Gestão de Informa¸cão, Universidade de Cabo Verde -
Uni-CV. Caixa Postal, CEP: 7400, Praia, Santiago, Cabo Verde. E-mail: emanuelra-
mos31@hotmail.com
†
Licenciado em Estat´ıstica e Gestão de Informa¸cão, Universidade de Cabo Verde
- Uni-CV, Caixa Postal, CEP: 7400, Praia, Santiago, Cabo Verde. E-mail: jeremi-
asl10@hotmail.com
1

PREVISÃO DE VENDAS COM MODELO ARIMA
BOX-JENKINS
Resumo
O propósito deste artigo consiste em captar o comportamento da
série temporal e com base nesse comportamento realizar previsões fu-
turas (vendas), utilizando a metodologia ARIMA (Auto-Regressivo
Integrado de Médias Móveis) de Box-Jenkins de previsão de séries
temporais de forma univariada. Para a obten¸cão do melhor modelo
para a previsão das vendas levou-se em considera¸cão os critérios de In-
forma¸cão de Akaike (AIC), o Critério Bayesiano de Schwartz (SIC) e o
Critério de Erro Quadrático Médio (EQM). Através do melhor modelo
foi feito a previsão de vendas para os próximos meses. A série tem-
poral usada neste artigo é mensal e corresponde a per´ıodo de Janeiro
de 2000 a Dezembro 2014. A análise baseou-se em testes estat´ısticos,
através da qual da análises, conclui-se que o modelo ARIMA(4,1,1) é
o melhor dentre o conjunto de modelos testados.
Palavra Chaves:
1. Previsão;
2. Série Temporais;
3. Modelo ARIMA de Box-Jenkins;

Sumário
1 Introdu¸cão 5
2 Metodologia 6
3 Revisão Bibliográfica 7
4 Referencial Teórico 8
4.1 Metodologia de Box-Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Série Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Estacionariedade da Série Temporal . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.1 Modelos lineares Estacionários . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.2 Modelo Auto-Regressivo - AR(p) . . . . . . . . . . . . 12
4.3.3 Médias Móveis - MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3.4 Modelo Auto-Regressivo Médias Móveis - ARMA(q,p) . 13
4.4 Modelos lineares não Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4.1 Modelo Auto-Regressivo Integrado Média Móveis - ARIMA
(p,q,d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5 Avalia¸cão da estacionariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.6 Fases na escolha do Melhor Modelo . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Resultado e discussão 20
5.1 Critério de Escolha do melhor Modelo ARIMA . . . . . . . . . 30
5.2 Previsão com Modelo ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Conclusão 36
7 Anexo 40
Lista de Figuras
1 Comportamento da série em Estudo . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Teste de Dickey-Fuller incluindo 11 desfasamentos . . . . . . . 22
3 Gráfico QQ-Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Correlogramas das FAC (ACF) e FACP (PAFC) da série Vendas 24

5 Primeira diferen¸ca da série vendas . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 Teste de Dickey-Fuller para a primeira diferen¸ca . . . . . . . . 26
7 Teste de Normalidade para primeira diferen¸ca da série . . . . . 26
8 QQ-Normal para Primeira diferen¸ca da série . . . . . . . . . . 27
9 QQ-Normal da série (sem diferen¸ca) . . . . . . . . . . . . . . . 27
10 QQ-Normal da primeira diferen¸ca da série . . . . . . . . . . . 27
11 Correlogramas das FAC e FACP da série vendas (primeira
diferen¸ca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
12 Ajustamento do modelo ajustado a série inicial . . . . . . . . . 35
13 Previsão para do modelo ARIMA(4,1,1) . . . . . . . . . . . . 35
Lista de Tabelas
1 Estat´ıstica T tabelado para diferentes tamanhos de amostra . 15
2 Estat´ıstica descritiva da série temporal em estudo . . . . . . . 21
3 Escolha de modelo a Previsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Compara¸cão entre modelo ARIMA(4,1,1) e ARIMA(4,1,2) . . 31
5 Estat´ıstica do modelo ARIMA(4,1,1) . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Estat´ıstica do modelo ARIMA(4,1,2) . . . . . . . . . . . . . . 33
7 IC para coeficientes do modelo ARIMA(4,1,1) . . . . . . . . . 34

1 Introdu¸cão
O uso de método de previsão de vendas é um grande aliado no planeamento
estratégico das empresas, pois permite saber a previsão de vendas futuras, ao
mesmo tempo em que mantém os n´ıveis do mesmo em patamares aceitáveis.
Contudo, a dificuldade de utiliza¸cão desses métodos, muitas vezes, passa pela
falta de conhecimento das técnicas existentes ou até mesmo da qualidade de
base de dados.
Lustosa et al. (2008) asseguram que o resultado económico de uma em-
presa será diretamente impactado pela capacidade de prever bem, comparti-
lhado por Chopra (2003) que refere que duas previsões de vendas diferentes,
com diferentes n´ıveis de erro, terão uma diferente pol´ıtica de gestão, culmi-
nando em resultados melhores ou piores.
Os modelos de previsão de Box-Jenkins são fundamentados em conceitos
e princ´ıpios estat´ısticos e são capazes de modelarem um amplo espectro do
comportamento de séries temporais. O intuito fundamental deste método
para previsão de séries temporais é encontrar uma fórmula adequada para
que os erros/res´ıduos sejam tão pequenos quanto poss´ıvel (m´ınimos) e não
apresentem padrões.
A análise de séries temporais é uma área de pesquisa pertinente em diver-
sos campos do conhecimento, especialmente na área económica. A principal
motiva¸cão para pesquisas sobre séries temporais é providenciar uma previsão
quando o modelo matemático de um fenómeno é complexo, desconhecido ou
incompleto.
Existe um grande número de métodos de previsão bem conhecidos que são
fundamentados apenas na análise de valores passados de uma sequência de
tempo, isto é, métodos que empregam princ´ıpios utilizados, normalmente na
análise técnica. Portanto a previsão de séries temporais é um desafio da área
de Estat´ıstica. Pois, prever valores futuros, em fun¸cão de valores passados,
tem-se tornado um assunto de especial interesse na engenharia, economia e
na indústria, com aplica¸cões em gestão de produ¸cão, mercado de a¸cões, entre
outras áreas.

2 Metodologia
O método cient´ıfico utilizado nesta pesquisa é indutivo, pois as generaliza¸cões
serão de constata¸cões particulares da realidade. A metodologia baseia-se
em revisão bibliográfica de carater´ısticas e aplica¸cões de diferentes métodos
de previsão. Caraterizando-se como uma pesquisa aplicada, uma vez que
visa gerar conhecimento para aplica¸cões práticas na solu¸cão de problemas
espec´ıficos.
Foi utilizado a metodologia de Box-Jenkins, que mostra a constru¸cão dos
modelos ARIMA baseada em um ciclo iterativo, no qual a escolha do modelo
é feita com base nos próprios dados. Foi utilizado uma série temporal de
vendas mensais no per´ıodo de Janeiro de 2000 a Dezembro de 2014, com o
propósito de aplicar o modelo ARIMA de Box-Jenkins para a previsão.
Existe diversos métodos para auxiliar na tarefa de previsão de séries tem-
porais, como por exemplo: modelos de Suaviza¸cão Exponencial, Modelos
Auto-regressivos (AR), de Médias Móveis (MA) e Modelos ARIMA.
Em s´ıntese, foram feitos os seguintes procedimentos:
i) Teste de estacionaridade (ADF);
ii) Análise de autocorrela¸cões residuais (FAC e FACP);
iii) Testes de significância para com o conjunto de modelos ARIMA encon-
trados;
iv) Aplica¸cão dos critérios penalizadores (AIC);
v) Caso o modelo não seja adequado, o ciclo é repetido, voltando-se à fase
de identifica¸cão;
vi) Por fim, a verifica¸cão da qualidade do modelo para realizar a previsão
de vendas.
Os dados foram analisados com base em análise descritiva e métodos de
previsões. Foram utilizados os seguintes software para a análise e previsão:
R e Grelt.

3 Revisão Bibliográfica
Após décadas de estudos na área de previsão de vendas, várias técnicas foram
desenvolvidas. De acordo com Lustosa et al. (2008), tais técnicas podem ser
divididas em três grupos: qualitativos, proje¸cões históricas e causais. As
suas principais diferen¸cas consistem na assertividade, na subjetividade e na
simplicidade.
Historicamente, os métodos de previsão mais comuns baseiam-se em mo-
delos de regressão múltipla e modelos auto-regressivos. Mas recentemente
com o avan¸co das pesquisas em Inteligência Artificial (IA) come¸caram a sur-
gir pesquisas com aplica¸cão de técnicas de Inteligência Artificial em modelos
de previsão de consumo.
A partir da década de 90, Crommelynk et al. (1992), Stark et al. (2000),
Jain e Ormsebee (2002), Silva (2003), e Falkemberg et al. (2003) desenvol-
veram modelos de previsão baseados em técnicas de inteligência artificial.
Falkemberg et al. (2003) desenvolveu modelos de Redes Neurais Artificiais
(RNA) e de Regressão Múltipla, para previsão de consumo vinte e quatro
horas à frente, considerando influências do dia da semana, da hora do dia
e do consumo passado, recomendando modelos de previsão múltiplos para
diferentes perfis de consumo e diferentes horas do dia.
De acordo com Makridakis (1986) diferentes estudos possibilitaram di-
ferentes conclusões quanto ao desempenho dos métodos, não sendo poss´ıvel
concluir qual apresenta melhores resultados.

4 Referencial Teórico
4.1 Metodologia de Box-Jenkins
De acordo com Archer (1980) o método de Box-Jenkins é um método de
previsão que utiliza um algoritmo matemático complexo, com termos auto-
regressivos e de média móvel, para identificar a forma do modelo matemático
mais adequado para a série temporal analisada com n observa¸cões. A previ-
são baseia-se no ajuste de modelos tentativo denominados ARIMA, a séries
temporais de valores observados de forma que a diferen¸ca entre os valores
gerados pelos modelos e os valores observados resulte em séries de res´ıduos
de comportamento aleatório em torno de zero.
Os modelos ARIMA (Auto-regressivos Integrados e de Médias Móveis)
são capazes de descrever os processos de gera¸cão de uma variedade de sé-
ries temporais para os previsores (que correspondem aos filtros) sem pre-
cisar levar em conta as rela¸cões económicas, por exemplo, que geraram as
séries. Portanto, descrevem tanto o comportamento estacionário como o
não-estacionário. Dessa forma, pode afirmar que essa é uma metodologia de
modelagem flex´ıvel, em que as previsões com base nesses modelos são feitas
a partir dos valores correntes e passados dessas séries.
4.2 Série Temporal
Uma série temporal é definida como um conjunto de observa¸cões de uma dada
variável, geralmente distribu´ıdas de maneira equidistante pelo fator tempo, e
que possuem como carater´ıstica central a presen¸ca de uma dependência serial
entre elas (Morettin e Toloi, 2004). De forma objetiva uma série temporal é
um conjunto de observa¸cões discretas, realizadas em per´ıodos equidistantes
e que apresentam uma dependência serial entre essas observa¸cões. Se estas
observa¸cões consecutivas são dependentes uma da outra, então é poss´ıvel
conseguir-se uma previsão ou identifica¸cão do sistema.
Uma série temporal pode ser apresentada de diversas formas, como por
exemplo: diária, mensal, semestral ou anual, no entanto, obrigatoriamente
toda a série deve estar representada com a mesma periodicidade. Segundo

Pindyck e Rubinfeld (2004), “Dados que descrevem o movimento de uma
variável ao longo do tempo são chamados séries temporais, as quais podem
ser diárias, semanais, mensais, trimestrais ou anuais”.
Diante das dificuldades na utiliza¸cão de modelos econométricos estrutu-
rados que utilizam variáveis explicativas, os modelos de séries temporais são
muito utilizados para previsão de variáveis económicas. Pindyck e Rubinfeld
(2004) classificam em dois tipos os modelos de previsões de séries temporais,
modelos determin´ısticos e modelos estocásticos. Os dois modelos utilizam o
comportamento passado da série para prever seus componentes futuros, po-
rém os modelos determin´ısticos não fazem referência às fontes ou à natureza
aleatória (estocástica) subjacente à série.
Uma série temporal pode ser interpretada como um processo estocástico,
Hill, Griffiths e Judge (2003) observam que uma variável económica é aleató-
ria porque não se pode prevê-la perfeitamente e o modelo económico que gera
uma variável de série temporal é chamado de processo estocástico ou aleató-
rio. Uma amostra particular da série é normalmente chamada uma realiza¸cão
particular do processo estocástico. Sobre o tema, Gujarati (2006) relata que:
“A distin¸cão entre o processo estocástico e sua realiza¸cão é parecida com
a distin¸cão entre popula¸cão e amostra em dados de corte (Cross Section).
Assim como utilizamos dados amostrais para fazer inferências sobre uma po-
pula¸cão, em séries temporais usamos a realiza¸cão para fazer inferências sobre
o processo estocástico subjacente”.
Seja Zt série temporal de tamanho t dado por:
Zt, onde t = {1, 2, 3, 4, ..., n} (1)
As fun¸cões nas quais se baseiam a variável aleatória Zt podem ser repre-
sentadas pelas seguintes equa¸cões:
• Média ou valor esperado: é o valor médio em rela¸cão a todas a
observa¸cões, isto é, o valor centro.
µz = E[Zt] (2)
• Variância: mede o desvio das observa¸cões em rela¸cão ao valor médio,
tudo ao quadrado. Tem a seguinte fórmula:

σ2
= E [Zt − µz]2
. (3)
• Autocovariância: a autovariância mede a dependência entre duas
observa¸cões separadas por k intervalo de tempo (lag k).
Υk = Cov[Zt, Zt+k] = E[Zt − µz][Zt+k − µz]. (4)
• Autocorrela¸cão: a autocorrela¸cão possui o objetivo de mensurar a
memória de um processo estocástico. Isto significa que a autocorre-
la¸cão mede a intensidade com que um valor observado no tempo t é
influenciado por aquele observado no tempo t - k.
ρk =
Cov[Zt, Zt+k]
V ar(Zt) ∗ V ar(Zt+k)
(5)
4.3 Estacionariedade da Série Temporal
Os modelos ARIMA de Box-Jenkins são excelentes modelos de previsão a
curto prazo (Granger e Newbold, 1977). Resultados de análises com esses
modelos mostram que os melhores resultados (previsões) são obtidos com sé-
rie de 5 a 10 anos de informa¸cão (mensal), particularmente na presen¸ca de
sazonalidade. Como já visto, a importância do processo observado ser estaci-
onário é a possibilidade de fixar parâmetros do modelo válidos para previsão
do futuro a partir do passado. Assim, como primeiro passo para essa mode-
lagem são realizados procedimentos para a remo¸cão da não estacionariedade.
4.3.1 Modelos lineares Estacionários
A constru¸cão dos modelos de séries temporais univariados é fundamental na
teoria de que existe uma grande quantidade de informa¸cão presente na série
de dados. Podendo ser capazes de fornecer estimativas sobre o comporta-
mento futuro da variável em estudo. O modelo ARIMA parte de conce¸cão
que as séries temporais envolvidos na análise é um processo estacionário.

Os modelos estocásticos de séries temporais são válidos apenas na aplica-
¸cão em séries ditas estacionárias, para Hill, Griffiths e Judge (2003 p. 389),
“Um processo estocástico (série temporal) Zt é dito estacionária quando ele
se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma média e variância
constantes, e a covariância entre dois valores da série depende apenas da dis-
tância no tempo que separa os dois valores, e não dos tempos reais em que
as variáveis são observadas”.
Uma condi¸cão necessária para aplica¸cão dos modelos ARIMA, é de que o
processo que gerou a série temporal seja estacionário de segunda ordem, ou
seja, que sua média e variância sejam constantes no tempo. De outro modo,
não apresente tendência ou sazonalidade (Sáfadi, 2004).
Um modelo é estacionário se para todo t, t-s tivemos:
i. E [Zt] = E [Zt−s] = µ, média constante.
ii. E [(Zt − µ2
)] = E [(Zt−s − µ2
)] = σ2
y, variância constante.
iii. E [(Zt − µ)(Zt−s − µ)] = E [(Zt−s − µ)(Zt−j−s − µ)], covariância cons-
tante.
Processo é estritamente estacionário ou fortemente estacionário se cumpre
as seguintes propriedades:
• Propriedade 1: E[Zt] = µt, ∀ t ∈ T.
• Propriedade 2: V ar[Zt] = σ2
t , ∀ t ∈ T.
• Propriedade 3: Υ(τ) = Cov(Zt, Zt+τ ) = Cov(Z0, Zτ )
Um processo Zt diz-se estritamente estacionário se para todo o n e todo
t1, ... ,tn, a distribui¸cão conjunta de Zt1 , ... , Ztn é igual à distribui¸cão
conjunta de Zt1+k
, ... , Ztn+k
qualquer que seja k N. Estacionariedade
estrita implica que a distribui¸cão de probabilidade conjunta seja constante
ao longo do tempo, ou seja, que não depende do instante t.
Um processo é fracamente estacionário ou estacionário de segunda ordem
se os dois primeiros momentos (a média e a matriz de variância-covariância)

da distribui¸cão de probabilidade conjunta da variável estocástica sejam cons-
tantes ao longo do tempo, isto é, processo Zt com variância finita tal que
apresenta as seguintes propriedades:
• Propriedade 1: E[Zt] = µ, constante ∀ t ∈ T.
• Propriedade 2: E[Zt] < ∞, ∀ t ∈ T.
• Propriedade 3: Υ(τ) = Cov(Zt1 , Zt2 ) é uma fun¸cão apenas de |t1−t2|.
4.3.2 Modelo Auto-Regressivo - AR(p)
Um modelo Auto-Regressivo de ordem p, representado como AR(p), descreve
o valor de uma observa¸cão de uma série temporal através da atribui¸cão de
pesos às p observa¸cões anteriores. Em um modelo auto-regressivo, a série de
dados Zt é descrita por seus valores passados Zt−1, Zt−2,..., Zt−P e pelo ru´ıdo
branco(res´ıduos são não correlacionados).
A estrutura auto-regressiva geral é expressa por:
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + φpZt−p + at (6)
Onde Zt é o valor observado no tempo t, φp representa o peso de cada
observa¸cão (parâmetros) e o at ru´ıdo branco da observa¸cão t com média zero
e variância σ2
y.
4.3.3 Médias Móveis - MA(q)
O processo de Médias Móveis é representado por MA(q). É semelhante ao
processo AR(p), porém ao invés de definir a observa¸cão atual através da atri-
bui¸cão de peso às observa¸cões anteriores, constrói-se a observa¸cão Zt através
da atribui¸cão de peso aos ru´ıdos brancos das observa¸cões passadas, isto é,
são formados por combina¸cão linear do ru´ıdo branco, at, ocorridos no pe-
r´ıodo corrente e nos per´ıodos passados.
Os primeiros correspondem aos processos de médias móveis de ordem q,
em que cada observa¸cão Zt é gerada por uma média ponderada dos erros
aleatórios q per´ıodos no passado.

Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − ... − θpat−p (7)
Onde θi são parâmetros da estrutura, i = 1,..., p (a ordem da estrutura)
e at é ru´ıdo branco com média zero e variância σ2
y.
4.3.4 Modelo Auto-Regressivo Médias Móveis - ARMA(q,p)
Esse modelo é uma combina¸cão dos dois anteriores, onde Zt é descrito por
seus valores passados e pelos ru´ıdos branco corrente e passados. Supondo Zt
a série já diferenciada, os modelos ARMA em sua forma geral escrevem-se:
Zt = φ1Zt−1 + ... + φpZt−p + at − θ1at−1 − ... − θpat−p (8)
Onde: φi são os parâmetros da estrutura auto-regressiva, i = 1,..., p, θi
são os parâmetros da estrutura médias móveis, i = 1,..., p e at ru´ıdo branco.
Os modelos AR(p), MA(q) e ARMA(p,q) podem ser aplicados somente
em séries estacionárias, ou seja, séries temporais que não possuam tendência
e que suas médias e variância sejam constantes. Contudo, séries temporais
reais nem sempre seguem um padrão estacionário.
4.4 Modelos lineares não Estacionários
4.4.1 Modelo Auto-Regressivo Integrado Média Móveis - ARIMA
(p,q,d)
Um processo Auto-Regressivo integrado de média móvel é uma generaliza¸cão
dos processos ARMA que incorpora séries não estacionárias. Assim, tal como
nos métodos anteriores, possui apenas uma variável e descreve o comporta-
mento de uma variável em termos dos seus valores passados. (Brockwell e
Richard A. Davis, 2002).
De acordo com Matos (2000), a maioria das séries temporais são não es-
tacionárias. No entanto, uma série temporal utilizada na estima¸cão de um
modelo univariado deve ser estacionária. Logo, a série original passará por

algumas diferencia¸cões, a fim de torná-la estacionária. O número necessá-
rio de diferen¸ca para tornar uma série estacionária é denominado ordem de
integra¸cão (d).
Os modelos ARIMA, elaborados por Box-Jenkins, normalmente são re-
presentados por ARIMA (p, d, q). O parâmetro p refere-se ao número de
termos Auto-Regressivo, o parâmetro d diz respeito ao número de diferen-
cia¸cões, que são necessárias para transformar a série não estacionária, em
estacionária, conceito que será abordado de seguida e, por fim, o q trata-se
do número de médias móveis.
Fava (2000) observa que os modelos ARIMA resultam da combina¸cão de
três componentes também denominados filtros: o componente Auto-regressivo
(AR), o filtro de Integra¸cão (I ) e o componente de Médias Móveis (MA). Uma
representa¸cão ARIMA(1,2,0), indica um modelo de ordem 1 para o compo-
nente AR (Auto-Regressivo), ordem 2 para o componente I (Integra¸cão ou
diferencia¸cão) e o último 0 para o componente MA (Média Móvel).
Quando uma série não é estacionária, a aplica¸cão de um modelo ARMA(p,q)
é prejudicada. Para isso, aplica-se a diferencia¸cão na série.
∆Z = Zt − Zt−1 (9)
Tendo-se assim um modelo auto-regressivo, integrado e de Médias Móveis,
denominado ARIMA(p,d,q), representado a seguir (Franses, 1998):
∆d
Zt = φ1∆d
Zt−1 +φ2∆d
Zt−2 +...+φp∆d
Zt−p +at −θ1at−1 −...−θpat−p (10)
Sendo d o número de diferen¸cas necessárias para tornar a série estacioná-
ria. Os modelos ARIMA são também univariados, isto é, eles são baseados
numa única variável de série temporal (existem modelos multivariados que
estão além do escopo deste trabalho). Todavia, se a série observada prati-
camente, como já foi dito anteriormente, não apresentar a condi¸cão da esta-
cionariedade, nela deverá ser aplicado o operador diferen¸ca, o que efetuará
uma segunda filtragem, que poderá ser repetida quantas vezes se julgarem
necessárias, até a sua estacionariza¸cão.

4.5 Avalia¸cão da estacionariedade
Para detetar a não estacionariedade de uma série, o comportamento tem-
poral pode ser analisado graficamente, buscando padrões, como a inclina¸cão
nos dados. E a varia¸cão dos dados não permanece essencialmente constante
sobre o tempo, isto é, indicando que a variância está se alterando ou, en-
tão,aplicando os testes estat´ısticos de raiz unitária. O teste de raiz unitária
mais usado é Teste de Dickey-Fuller aumentado ou Teste ADF (do acrônimo
em inglês Augmented Dickey-Fuller).
O referido teste testa a hipótese nula da existência de raiz unitária na
série. Caso esta hipótese não seja rejeitada, a série possuirá raiz unitária,
portanto, não será estacionária. A estat´ıstica ADF, usada no teste, é um
número negativo, e quanto mais negativo, mais indicativo o teste se torna de
rejeitar a hipótese nula de que existe raiz unitária na série.
• H0: tem raiz unitária (não é estacionária);
• H1: não tem raiz unitária (é estacionária);
Para o critério de análise temos a estat´ıstica T, em que a hipótese nula
é rejeitada quando Tcalculado < Ttabelado. Para encontrar o valor de Tcalculado.
Faz-se uma regressão das primeiras diferen¸cas da série (∆Zt) em rela¸cão a
Zt−1. Então, divide-se o coeficiente estimado de Zt−1 pelo seu desvio padrão,
e obtém-se o Tcalculado.
Os valores tabelados de T para um n´ıvel de significância de 1% está na
Tabela 1.
Para evitar o problema da autocorrela¸cão dos res´ıduos, recomenda-se a
utiliza¸cão do teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF), que engloba a equa¸cão
das defasagens para elimina¸cão do problema de autocorrela¸cão dos res´ıduos.
4.6 Fases na escolha do Melhor Modelo
O objetivo de séries temporais é descobrir qual o comportamento apresentado
pela série, buscando-se o melhor modelo que represente o comportamento da
mesma. Sendo que este pode ser explicado por um processo Auto-Regressivo

Tabela 1: Estat´ıstica T tabelado para diferentes tamanhos de amostra
Tamanho de amostra T Tabela
25 -3,75
50 -3,58
100 -3,51
250 -3,46
500 -3,44
Infinito -3,43
– AR(p), por um Médias Moveis - MA(p,d,q), por um Auto-Regressivo de
Médias Móveis - ARMA(p,q) ou por um Auto-Regressivo Integrados de Mé-
dias Moveis - ARIMA(p,d,q).
O método Box-Jenkins segue quatro fases para a modela¸cão de séries
temporais:
Fase 1. Identifica¸cão
Nesta fase deve preparar os dados (transformar dados para estabilizar a vari-
ância e diferenciar dados para obter uma série estacionária). Deve-se exami-
nar os dados, o gráfico do tempo da série em estudo. A análise desse gráfico
pode indicar a presen¸ca de tendência ou altera¸cão de variância, revelando se
a série é ou não estacionária. Análise da fun¸cões de autocorrela¸cões simples
(FAC) e fun¸cões de autocorrela¸cões parciais (FACP), indica qual o modelo
a ser utilizado, bem como auxilia no uso dos testes de ra´ızes unitárias para
confirmar a estacionariedade. O objetivo da identifica¸cão é determinar os va-
lores de p, d e q do modelo ARIMA(p,d,q), além de estimativas preliminares
dos parâmetros a serem usadas no estágio de estima¸cão.
Procedimentos:
a) verificar se existe a necessidade de uma transforma¸cão na série original;
b) tornar a série estacionária por meio de diferen¸cas;
c) identificar o processo ARIMA(p,d,q) resultante.

Fase 2. Estima¸cão
Nessa fase o objetivo passa por estimar os modelos candidatos a ser sele-
cionados após a identifica¸cão, procede-se a análise dos modelos e definir os
modelos que poderão ser definidos como o modelo definitivo.
Fase 3. Teste de Diagnóstico
Consiste em diagnosticar se o modelo descreve adequadamente a série de
dados objeto da análise. Nos modelos de séries temporais assume-se a exis-
tência de um processo ergódico, que é um elemento fulcral na estima¸cão.
Quando a série possui esta propriedade pode dizer-se que os parâmetros são
significativos. Portanto, se a série for estacionário e ergódico então as séries
convergem aos verdadeiros parâmetros populacionais. A análise dos res´ıduos
de modelo torna-se decisiva na escolha do modelo final. Casos os res´ıduos
sejam autocorrelacionados, a dinâmica da série não pode ser explicada pelos
coeficientes autocorrela¸cão do modelo. Portando, deve excluir-se do processo
de escolha o modelo que apresente a autocorrela¸cão residual.
O melhor modelo será escolhido baseado em critério de escolha. Existe
diferentes critérios para escolha de modelos candidatos a estima¸cão:
• Critério de Informa¸cão de Akaike (AIC):
São alguns procedimentos de identifica¸cão utilizados que minimizam
fun¸cões penalizadoras particulares. Consideram não apenas a qualidade
do ajuste, mas também penalizam a inclusão de parâmetros extras.
Os critérios de informa¸cão são utilizados para compara¸cão de modelos
e que levam em conta a variância do erro, o tamanho da amostra N e
os valores de p, q. Regra básica: selecionar o modelo cujo critério de
informa¸cão calculado seja m´ınimo.
AIC(k, l) = lnσ2
k,l +
2(k + l)
N
(11)
Sendo k e l os valores de p e q respetivamente, do modelo ARMA(p,q)
que se deseja calcular o critério. σ2
k,l representa o estimador de máxima

verosimilhan¸ca e N é o número de observa¸cões da série. A ideia do
modelo é escolher os valores de k e l que minimizam o valor de AIC,
indicando que são os melhores valores para a defini¸cão de um modelo
ARMA(k,l).
Os critérios de informa¸cão são utilizados para compara¸cão de modelos
e que levam em conta a variância do erro, o tamanho da amostra N e
os valores de p e q .
• Critério de Informa¸cão Bayesiano ou Critério de Schwarz (BIC): pre-
mia o melhor ajuste, que por sua vez é medido pelo quadrado dos er-
ros, sendo escolhido o menor deles e penaliza aqueles que possuem um
grande número de parâmetros. É utilizada para diferentes modelos,
mas para os mesmos dados.
AIC(k, l) = lnσ2
k,l +
2(k + l)
N
(12)
• Critério de Erro Quadrático Médio (EQM): todas as previsões contêm
uma parcela de erro ou res´ıduo no resultado apresentado. E esses erros,
segundo os autores Chase et al. (2006) podem ser de dois tipos: erros
sistemáticos ou erros aleatórios. Os erros sistemáticos correspondem
aos erros cometidos de forma consistente. Os erros aleatórios são os
erros que não podem ser explicados pelo modelo de previsão usado,
sendo o melhor modelo aquele que minimiza as medidas de erro. Erro
Quadrático Médio é obtido através da equa¸cão:
EQM =
1
H
| Zt − Zt | (13)
Em linhas gerais, dentre os vários modelos apresentados, escolhe-se aquele
que apresenta o menor AIC e BIC. Salienta-se também que a escolha deverá
levar em considera¸cão os modelos parcimoniosos, ou seja, aqueles que apre-
sentam o menor número de parâmetros. Por fim, é recomendável que esses
critérios sejam avaliados conjuntamente, pois são complementares e não ex-
cludentes.
Consideram não apenas a qualidade do ajuste, mas também penalizam a
inclusão de parâmetros extras.

O melhor modelo é aquele que apresenta os menores valores de AIC e BIC
entre os modelos candidatos. E também apresenta o menor Erro Quadrático
Médio.
Fase 4. Previsão
A última etapa consiste em fazer a previsão, isto é, prever os valores futuros.
Pode ser feitas de duas formas distintas:
• para prever valores futuros, aqueles que ainda não existem, chamada
de previsão ex-ante.
• para fazer a previsão dos valores já existente, denominada de previsão
ex-post.
A partir do momento que conseguimos identificar e estimar um modelo
ARIMA adequado às observa¸cões, vamos então estudar métodos que possa-
mos utilizar a modelagem ARIMA para prever os valores das observa¸cões h
passos a frente.

5 Resultado e discussão
Neste cap´ıtulo apresenta-se a análise descritiva da série em estudo, assim
como a aplica¸cão dos métodos de previsão já apresentados. De seguida o
procedimento adotado para a previsão e o seu valor para um ano t´ıpico. Por
fim, apresenta-se uma conclusão onde fez-se a análise da previsão obtida.
Para a identifica¸cão do modelo, ou seja, para a determina¸cão das ordens p
(parte auto-regressiva), d (quantidade de diferencia¸cão) e q (parte dos termos
de erros defasados – média móvel) gerou-se correlogramas. Com as fun¸cões
de autocorrela¸cão parcial (FAC) e de autocorrela¸cão simples (FACP) calcu-
ladas, determinou-se a ordem apropriada dos componentes AR e MA. Para
a determina¸cão da presen¸ca ou não de raiz unitária (série não estacionária)
utilizou-se o teste de Dickey-Fuller Aumentado (DFA) e, para determina¸cão
dos números ótimos de defasagens das p diferen¸cas a considerar, utilizou-se
os critérios de informa¸cão da Akaike (AIC) e de Schwarz (BIC). A estima¸cão
do modelo foi feita com a utiliza¸cão dos softwares Gretl e R.
Anteriormente a previsão de vendas, foi feita a análise descritiva da série
temporal, que tem como objetivo apresentar os dados observados sob a forma
de tabelas e de medidas descritivas, estudando-se a distribui¸cão da variável,
acompanhada de medidas resumos que tornem mais fácil uma primeira aná-
lise de dados e ainda a obten¸cão de valores numéricos que os caraterizam
globalmente.
Segundo Bussab e Morettin (2003) a análise descritiva tem como propósito
sintetizar um conjunto de valores da mesma natureza, permitindo, dessa
forma, que se tenha uma visão global da varia¸cão desses valores. Ela organiza
e descreve os dados.
Da aplica¸cão prática, duma análise breve, descritiva e sucinta, podemos
concluir que de acordo com a Tabela 2 a média é de 43,7530. Sendo que
o valor máximo e m´ınimo da série é de 104,991 e 11,8 respetivamente. No
que tange à medida de tendência não central, o desvio padrão é de 21,1499
e o coeficiente de varia¸cão em rela¸cão a média é de 0,48 (aproximadamente
48,3%).

Tabela 2: Estat´ıstica descritiva da série temporal em estudo
Estat´ısticas Descritivas, usando as observa¸cões 2000:01–2014:122
para a variável Vendas (180 observa¸cões válidas)
Média Mediana M´ınimo Máximo
43,7530 38,5350 11,8000 104,991
Desvio Padrão C.V. Enviesamento Ex. kurtosis
21,1499 0,483393 0,921452 −0,00623860
Ao estudar uma série temporal temos de construir gráfico para observar
a sua evolu¸cão no tempo. O que pode ser bastante esclarecedor e permite
identificar como evolui a tendência da série, se existe ou não sazonalidade e
se ocorrem observa¸cões aberrantes.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014
Vendas
Figura 1: Comportamento da série em Estudo
Do exame do Figura 1 identificou-se padrões não aleatórios como: uma
tendência crescente e decrescimento em vendas, uma sucessão regular de “pi-
cos e vales”de vendas e existências de flutua¸cões sazonais. O que poderá indi-
car a não estacionariedade da série. Estes padrões poderiam ser incorporados
a um modelo estat´ıstico, possibilitando fazer previsões que auxiliarão na to-

mada de decisões. Quanto à tendência, pode verificar-se que esta encontra-se
presente na série com um declive negativo.
Teste de Dickey-Fuller Aumentado
Para analisar se a série é ou não estacionária procedeu-se ao teste da estaci-
onariedade da série temporal que permite realizar os testes de Dickey-Fuller
Aumentado.
A partir do teste de Dickey-Fuller formula-se as hipóteses:
• H0: tem raiz unitária (não é estacionária);
• H1: não tem raiz unitária (é estacionária);
Figura 2: Teste de Dickey-Fuller incluindo 11 desfasamentos

Como a estat´ıstica do teste tau (calculado) é -1,52099 maior que ttabela =
-3,51, não temos condi¸cões para rejeitar H0, logo conclui-se que a série tem
raiz unitária (não é estacionária).
A Figura 3 ostenta o gráfico QQ-Normal. Da sua observa¸cão conclui-se
que os dados não se adequam à normalidade, visto que outliers em extremos
”esticam”os valores de modo a não cumprirem normalidade.
-20
0
20
40
60
80
100
120
-20 0 20 40 60 80 100 120
Normal quantiles
Q-Q plot para Vendas
Figura 3: Gráfico QQ-Normal
Análise das fun¸cões de autocorrela¸cões Simples e de de
autocorrela¸cões parciais
O comportamento das fun¸cões de autocorrela¸cões simples e autocorrela¸cões
parciais auxiliam na verifica¸cão da estacionariedade e na proposi¸cão do mo-
delo.
Quando no correlograma o coeficiente de correla¸cão inicial se mostra ele-
vado e com o crescimento das defasagens k este comportamento declina lenta-
mente, é carater´ıstico de uma série não estacionária como mostra a Figura 1.
Analisando a Figura 4, nota-se uma tendência sistemática de queda ao
longo do tempo, contudo, parece menos acentuada nas datas mais recentes.

Esta tendência de queda sistemática é t´ıpica de séries não estacionárias. Tam-
bém se percebem picos seguidos de quedas, ao longo do tempo, caraterizando
uma poss´ıvel sazonalidade, comum em séries económicas mensais. A fun¸cão
autocorrela¸cão simples (FAC) auxilia na verifica¸cão da estacionariedade da
série e na determina¸cão da sazonalidade, como demonstra a Figura 4.
Com a análise do correlograma, Figura 4, confirma-se o diagnóstico da não
estacionariedade da série, pois quando uma série é estacionária logo nas pri-
meiras defasagens o coeficiente de autocorrela¸cão tende a cair abruptamente
para zero.
-1
-0,5
0
0,5
1
0 5 10 15 20
desfasamento
ACF para Vendas
+- 1,96/T^0,5
-1
-0,5
0
0,5
1
0 5 10 15 20
desfasamento
PACF para Vendas
+- 1,96/T^0,5
Figura 4: Correlogramas das FAC (ACF) e FACP (PAFC) da série Vendas
Também nota-se no correlograma, uma carater´ıstica sazonal da série, com
uma oscila¸cão da fun¸cão autocorrela¸cão simples, t´ıpica de séries sazonais.
Desta forma, uma série temporal não estacionária pode ser transformada
em estacionária através do cálculo de diferen¸cas tomadas d vezes a partir de
seus valores originais. Neste caso, utilizou-se as primeiras diferen¸cas.
Na Figura 5, pode observar-se que em rela¸cão às primeiras diferen¸cas,
não se observa nitidamente nenhuma tendência. Além disso, as médias e
as variâncias entre os per´ıodos de tempo, conquanto não sejam uniformes,

apresentam um padrão menos irregular do que aqueles observados na série
original. Logo, é aceitável dizer que a série diferenciada está mais próxima
da estacionariedade do que a série original.
Com base neste diagnóstico, deve aplicar-se uma diferen¸ca sequencial e
também uma sazonal para conseguir a estacionariedade da série.
A série temporal deve ser transformada para torna-la estacionária em
rela¸cão à sua média e variância. Como a série em estudo não é estacionária
fez-se a primeira diferen¸ca para ver se a série com primeira diferen¸ca torna-se
estacionária:
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014
d_Vendas
Figura 5: Primeira diferen¸ca da série vendas
Da observa¸cão da Figura 5 pode concluir sobre a poss´ıvel estacionária da
série, embora apresenta vales no anos de 2004 e 2011. Nota-se a não existência
de tendência, sazonalidade na série e também que os dados flutuam em torno
de uma média e a variância constante.
Teste de Dickey-Fuller Aumentado
Assim procedemos a aplicar o Teste de Dickey-Fuller Aumentado e avalia-
¸cão do gráfico QQ-Normal para confirmar a estacionaridade com a primeira
diferen¸ca da série.
Da análise da Figura 6 observa-se que a estat´ıstica do teste tau é menor

(-8,68) que ttabela (-3,51), então rejeita a hipótese nula e conclui-se que a série
é estacionária (não tem raiz unitária).

Figura 6: Teste de Dickey-Fuller para a primeira diferen¸ca
A estacionariedade dos res´ıduos foi diagnosticada para confirmar a esta-
cionariedade das séries. Todas apresentaram res´ıduos ru´ıdo-branco. Estes
resultados foram refor¸cados a partir da realiza¸cão do teste da raiz unitária
de Dickey-Fuller Aumendado, que indicou que as séries eram estacionárias
em primeira diferen¸ca.
Figura 7: Teste de Normalidade para primeira diferen¸ca da série
Da análise dos resultados Figura 7 observa-se que o valor de pvalues para
todos os testes de normalidade (Teste de Doornik-Hansen, W de Shapiro-

Wilk, Teste de Lilliefords e teste de Jarque-Bera) é menor que α = 5% (n´ıvel
de significância).
A Figura 7 exibe o teste de normalidade através do gráfico QQ-Normal.
-80
-60
-40
-20
0
20
40
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Normal quantiles
Q-Q plot para d_Vendas
Figura 8: QQ-Normal para Primeira diferen¸ca da série
As Figuras 9 e 10 ilustram a compara¸cão da normalidade entre a série de
vendas e a primeira diferen¸ca da série vendas. Analisando as duas Figuras
( 9 e 10) observa-se que a Figura 10 (com primeira diferen¸ca de vendas) é
estacionária o que não acontece com a Figura 9, visto que, quase todas as
observa¸cões estão ajustadas a reta estimada da QQ-Normal da Figura 10.
-20
0
20
40
60
80
100
120
-20 0 20 40 60 80 100 120
Normal quantiles
Q-Q plot para Vendas
Figura 9: QQ-Normal da série
(sem diferen¸ca)
-80
-60
-40
-20
0
20
40
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Normal quantiles
Q-Q plot para d_Vendas
Figura 10: QQ-Normal da pri-
meira diferen¸ca da série

Análise das fun¸cões de autocorrela¸cões Simples e de de
autocorrela¸cões parciais
Uma vez determinada a diferencia¸cão necessária para fazer com que os dados
tornem-se estacionários, identifica-se as ordens apropriadas dos parâmetros
de Médias Móveis MA(p) e de Auto-Regressivo AR(p) dos potencias mode-
los. Utilizando coeficientes de autocorrela¸cão simples (FAC) identificam-se
as ordens dos parâmetros de (AR) (p) e utilizando a autocorrela¸cão par-
cial (FACP) da série estacionária identificam-se as ordens dos parâmetros de
(MA) (q).
O comportamento dessas fun¸cões auxilia na verifica¸cão da estacionarie-
dade e na proposi¸cão do modelo. Além de ajudar-nos a descrever os dados,
a fun¸cão de autocorrela¸cão também nos ajuda a verificar a estacionariedade,
escolher modelos e fazer diagnósticos sobre regressões ou até a identificar a
presen¸ca de sazonalidade (Enders, 2009).
A fun¸cão de autocorrela¸cão (ρk) dá-nos a correla¸cão entre duas variáveis
espa¸cadas por um tempo lag k (desfasamento/lag), ao caraterizar o desen-
volvimento de Zt ao longo do tempo, demonstrando o quão forte o valor
observado, atual, está correlacionado com os valores observados no passado
e como os choques, hoje afetam valores futuros da variável estocástica.
A Figura 11 ostenta as fun¸cões de autocorrela¸cões (FAC) e autocorrela-
¸cões parciais(FACP) da série vendas revelando que as autocorrela¸cões (FAC)
apresentam decaimento exponencial, t´ıpico do processo auto-regressivo, e o
correlograma da fun¸cão autocorrela¸cões parciais, apresenta a primeira defa-
sagem (lag) diferentes de zero significativamente. Assim, há uma indica¸cão
de que a ordem do modelo autoregressivo é p = 1, no caso um modelo AR(1).

-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 5 10 15 20
desfasamento
ACF para d_Vendas
+- 1,96/T^0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 5 10 15 20
desfasamento
PACF para d_Vendas
+- 1,96/T^0,5
Figura 11: Correlogramas das FAC e FACP da série vendas (primeira dife-
ren¸ca)
Com as diferencia¸cões, a série mostra-se sem tendência (Figura 5), e es-
tabilizada em torno de sua média de valor zero.
Da observa¸cão do correlograma amostral (gráfico ρk contra o lag k), pode
concluir-se, por exemplo, que a série apresenta correla¸cão de curta dura¸cão
se as primeiras correla¸cões forem elevadas, mas descerem rapidamente para
zero, isto é, cada observa¸cão da série apenas relaciona-se com as observa¸cões
mais recentes.
A fun¸cão de autocorrela¸cão parcial dá-nos a correla¸cão entre a variável
no instante t e um dos seus desfasamentos, retirando os efeitos de outros
desfasamentos. Ou seja, define a correla¸cão entre as observa¸cões Zt e Zt−k
removendo o efeito das observa¸cões entre Zt−k e Zt (Cryer e Chan, 2008).
A fun¸cão de autocorrela¸cão decai exponencialmente, ind´ıcio de processo
Auto-regressivo (AR). Nesse caso, a fun¸cão de autocorrela¸cão parcial ajuda a
determinar a ordem do processo. Assim, a partir das fun¸cões de autocorrela-
¸cão estimadas, tentamos identificar um padrão que se comporte teoricamente
com algum modelo.

5.1 Critério de Escolha do melhor Modelo ARIMA
Para prever uma série temporal através dos modelos ARIMA, torna-se neces-
sário identificar a ordem dos parâmetros p, d, q. O primeiro parâmetro a ser
identificado é o grau de diferencia¸cão d necessário à estabiliza¸cão dos dados.
Através de um exame do correlograma, ou seja, do diagrama da fun¸cão de au-
tocorrela¸cão (FAC), no qual são apresentados os valores das autocorrela¸cões
em rela¸cão aos lags k.
Se as autocorrela¸cões decrescerem de forma exponencial, realizam-se di-
ferencia¸cões na série, até que o diagrama apresente um corte abrupto para
um valor qualquer de autocorrela¸cão, quando a série será considerada esta-
cionária.
A ordem auto-regressiva p é determinada pela verifica¸cão da fun¸cão de
autocorrela¸cão parcial (FACP) da série vendas. Se a série for unicamente
auto-regressiva ARIMA(p,d,0), sua fun¸cão de autocorrela¸cão parcial sofrerá
uma queda repentina após o lag k. Se não, efetua-se uma análise dos estima-
dores para verificar até que ordem de defazagem do correlograma desta fun¸cão
ele é estatisticamente significante. Essa será sua ordem auto-regressiva.
A partir dos modelos sugeridos pela ordem de integra¸cão propostos pelo
correlograma, procedeu-se a escolha dos modelos candidatos à previsão. Neste
ponto os modelos selecionados seriam aqueles que apresentassem menor AIC
e SIC.

Tendo em conta os critérios AIC e BIC foi escolhido do modelo ARIMA(4,1,1)
visto que apresenta menor AIC e BIC, de 1272,61, 1291,32 respetivamente.
Tabela 3: Escolha de modelo a Previsão
ARIMA (p, d, q) AIC BIC EQM
(1,0,0) 1282,80 1292,15 119,58
(1,1,0) 1284,04 1296,52 118,95
(1,1,4) 1285,44 1304,15 117,34
(1,1,3) 1286,67 1302,26 119,37
(3,1,1) 1281,63 1297,22 116,5
(3,1,2) 1276,88 1295,59 111,69
(3,0,2) 1384,25 1400,19 124,86
(3,1,3) 1280,77 1302,59 112,9
(2,1,4) 1279,83 1301,66 112,39
(4,1,1) 1272,61 1291,32 108,54
(4,1,2) 1274,53 1296,35 108,62
Podemos ver também que o modeloARIMA(4,1,2) apresenta AIC de
1272.61. Então há diferen¸cas significativas entre modelo ARIMA(4,1,2) e
ARIMA(4,1,1).
Pelo critério de EQM também o modelo ARIMA(4,1,1) apresenta-se
como o melhor porque apresenta menor de EQM. Então conclui-se pelos
três critérios (EQM, BIC e AIC) que o melhor modelo é ARIMA(4,1,1).
Embora não havendo diferen¸cas significativas nos modelos ARIMA(4,1,2) e
ARIMA(4,1,1) conforme a análise da Tabela 4.
Tabela 4: Compara¸cão entre modelo ARIMA(4,1,1) e ARIMA(4,1,2)
ARIMA (p, d, q) AIC SIC EQM
(4,1,1) 1272,61 1291,32 108,54
(4,1,2) 1274,53 1296,35 108,62
Como as diferen¸cas entre os dois modelos não é muito significativo é
necessário ver quais dos dois modelos apresenta coeficientes estatisticamente

significativa.
O modelo ARIMA(4,1,1) apresenta as seguintes estat´ısticas:
Tabela 5: Estat´ıstica do modelo ARIMA(4,1,1)
Modelo 1: ARIMA, usando as observa¸cões 2001:02–2014:12 (T = 167)
Variável dependente: (1 − Ls
)d Vendas
Erros padrão baseados na Hessiana
Coeficiente Erro Padrão z valor p
Φ1 −0,0542564 0,102634 −0,5286 0,5971
Φ2 0,0334261 0,0869356 0,3845 0,7006
Φ3 −0,175050 0,0796643 −2,1974 0,0280 **
Φ4 −0,317445 0,104566 −3,0358 0,0024 ***
Θ1 −0,959193 0,464166 −2,0665 0,0388 **
Média var. dependente −0,008928 D.P. var. dependente 14,16862
Média de inova¸cões −0,266279 D.P. das inova¸cões 9,346753
Log. da verosimilhan¸ca −630,3075 Critério de Akaike 1272,615
Critério de Schwarz 1291,323 Hannan-Quinn 1280,208
Zt = −0, 054Zt−1 + 0, 033Zt−2 − 0, 175Zt−3 − 0, 317Zt−4 − 0, 959at−1 (14)
O modelo acima apresenta três coeficientes estatisticamente significativa
para n´ıvel de significância (α) 5%. Visto que o valor da estat´ıstica pvalues é
menor do que 0,05.

O modelo ARIMA(4,1,2) apresenta as seguintes estat´ısticas:
Tabela 6: Estat´ıstica do modelo ARIMA(4,1,2)
Modelo 2: ARIMA, usando as observa¸cões 2001:02–2014:12 (T = 167)
Variável dependente: (1 − Ls
)d Vendas
Erros padrão baseados na Hessiana
Coeficiente Erro Padrão z valor p
Φ1 −0,207646 0,490365 −0,4235 0,6720
Φ2 0,0441978 0,0810759 0,5451 0,5857
Φ3 −0,164812 0,0770822 −2,1381 0,0325 **
Φ4 −0,335863 0,0990408 −3,3912 0,0007 ***
Θ1 −0,818196 0,617829 −1,3243 0,1854
Θ2 −0,181803 0,568292 −0,3199 0,7490
Média var. dependente −0,008928 D.P. var. dependente 14,16862
Média de inova¸cões −0,271453 D.P. das inova¸cões 9,212137
Log. da verosimilhan¸ca −630,2663 Critério de Akaike 1274,533
Critério de Schwarz 1296,358 Hannan–Quinn 1283,391
Pode-se constatar que coeficientes de Φ1, Φ2, Φ3, Θ1 e Θ2 não são esta-
tisticamente significativos no teste t. Indicando um ajustamento não ideal.
Zt = −0, 207Zt−1+0, 044Zt−2−0, 164Zt−3−0, 335Zt−4−0, 818at−1−0, 181at−2
(15)
Como o modelo ARIMA(4,1,2) apresenta maioria dos coeficientes não es-
tatisticamente significativos, optamos pelo modelo ARIMA(4,1,1) que apre-
senta maior números de parâmetros consistentes, menor valor de AIC, BIC,
embora ostenta maior valor de EQM. Logo o modelo ARIMA(4,1,1) apre-
senta como o melhor modelo para a previsão.

5.2 Previsão com Modelo ARIMA
A partir do momento que conseguiu-se identificar e estimar um modelo
ARIMA adequado às observa¸cões, permitindo a descri¸cão da série tempo-
ral, vai-se prever os valores das observa¸cões h passos a frente utilizando a
modelagem ARIMA. É importante ressaltar que previsões utilizando mode-
los ARIMA serão eficazes para um per´ıodo curto e as melhores previsões
serão aquelas que apresentam um erro quadrático médio (EQM) m´ınimo.
Foi utilizado o modelo ARIMA(4,1,1) na previsão de vendas para os pró-
ximos meses.
A Figura7 exibe o intervalo de confian¸ca para os coeficientes estimados
com 95% de confian¸ca.
t(162, 0, 025) = 1, 960
Tabela 7: IC para coeficientes do modelo ARIMA(4,1,1)
Coeficiente Intervalo de confian¸ca a 95%
Φ1 −0,0542564 −0,255416 0,146903
Φ2 0,0334261 −0,136965 0,203817
Φ3 −0,175050 −0,331190 −0,0189113
Φ4 −0,317445 −0,522390 −0,112501
Θ1 −0,959193 −1,86894 −0,0494456
A Figura 12 ilustra o ajustamento entre o modelo ajustado e a série
inicial. Com o propósito de verificar se existe um desajuste pronunciado
entre o modelo ajustado e a série inicial.

-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014
d_Vendas
Efectivo e ajustado d_Vendas
Modeloajustado
d_Vandas
Figura 12: Ajustamento do modelo ajustado a série inicial
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
d_Vendas
predição
intervalo a 95 por cento
Figura 13: Previsão para do modelo ARIMA(4,1,1)
A Figura 13 exibe a previsão da série vendas na amostra e fora da amostra
(ano 2015). Da análise do mesmo observa-se há uma tendência para as vendas
aumentar de janeiro a junho e para diminu´ırem de julho a dezembro.

6 Conclusão
Este trabalho teve como propósito produzir previsão de vendas por configu-
ra¸cões de modelos que apresentam bom desempenho preditivo e parâmetros
consistentes em suas significâncias estat´ısticas. Modelos com parâmetros não
significativos até podem gerar boas previsões para um per´ıodo espec´ıfico, mas
quando testados para outros per´ıodos não mostram bom desempenho. Po-
rém, nesta pesquisa, constatou-se que modelo utilizado na previsão, mesmo
com alguns parâmetros não significativos, tiveram boa performance predi-
tiva em todos os per´ıodo de previsão. Conclui-se também que o objetivo
da análise de séries temporais é identificar padrões não aleatórios na série
temporal de uma variável de interesse e a observa¸cão deste comportamento
passado pode permitir fazer previsões sobre o futuro, orientando a tomada
de decisões.
A principal conclusão é a de que a metodologia de previsão de Box-Jenkins
é muito ampla, flex´ıvel e altamente subjetiva, mas, também é uma importante
ferramenta de gestão, que pode auxiliar o processo de tomada de decisão e
planeamento futuro. Apesar da modelagem ARIMA apresentar um adequado
poder de previsão de curto prazo, recomenda-se, em outros trabalhos de
pesquisa, proceder à estima¸cão, utilizando outros modelos que não foram
considerados neste momento.
Em rela¸cão a previsão de vendas observou-se que sempre há uma tendên-
cia para aumentar no mês de janeiro a junho e diminu´ırem no mês de julho –
dezembro. No que tange aos critérios para escolha de modelos candidatos a
estima¸cão, os critérios de Informa¸cão de Akaike (AIC), critério de Erro Qua-
drático Médio (EQM) e critério de Informa¸cão Bayesiano (SIC) indicaram
como o melhor modelo ARIMA(4,1,1) para a previsão.
Estes resultados demonstram que a previsão de vendas utilizando a meto-
dologia de previsão deBox-Jenkins é uma técnica promissora para solucionar
estes tipos de problemas, pois não exige uma grande quantidade de dados
históricos, os modelos são bastante precisos, a formula¸cão e entendimento
pelo pesquisador é relativamente fácil, e exige pouco tempo computacional.

Referências
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ement. v. 1, n. 1, p. 5-12, 1980.
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para curt´ıssimo prazo: Um estudo de caso em empresa de saneamento.
Disserta¸cão de Mestrado. Pontif´ıcia Universidade Católica do Paraná,
PUC-PR. Curitiba. 2004.

7 Anexo
C´odigo em R
1 # ##==##==##==##==##==##==##==##==##==##==##==##==##==##=##=##
2 #==## ESTUDO DE S RIE TEMPORAL EM R =##
3 # ##==##==##==##==##==##==##==##==##==##==##==##==##==##=##=##
4
5 ###
6 ##Instalando os packages
7 install.packages("forecast")
8 install.packages("RMySQL")
9 install.packages("MASS")
10 install.packages("lubridate")
11 install.packages("Hmisc")
12 install.packages("tseries")
13 install.packages("ggplot2")
14 install.packages("devtools")
15
16 ##Bibiotecas em Para S rie Temporais
17 require(Rssa)
18 require(forecast)
19 library(Rssa)
20 library(forecast)
21
22 serietemporal <-read.table(" P r e v i s o Modelo ARIMA Agriculas.
csv",sep=";",header=TRUE)
23 serietemporal
24 attach(serie)
25 names(serie)
26 serie=ts(serietemporal ,start =2000 , frequency =12) # g r fico
com eixo tempo e vendas
27 plot (( serie),col=4,main=’Vendas ’,xlab=’Meses ’,ylab=’vendas ’)
28
29 #Primeira D i f e r e n a
31 serietemporal
32 diff(Vendas)
34 serie
35 plot (( diff(serie)),col=4,main=’Vendas - 1a d i f e r e n a ’,xlab=’
meses ’,ylab=’vendas ’)
36
37 #Segunda D i f e r e n a
39 serietemporal
40 diff(diff(diff(Vendas)))

42 serie
43 plot(diff (( diff(serie))),col=4,main=’Vendas - 2a d i f e r e n a ’,
xlab=’meses ’,ylab=’vendas ’)
44
45 #Trabalhando Primeira D i f e r e n a
47 serietemporal
48 #diff(Vendas)
49 serie=ts(serietemporal ,start =2000 , frequency =12) # g r fico com
eixo tempo e vendas
50 serie
51 plot (( diff(serie)),col=4,main=’Vendas - 1a d i f e r e n a ’,xlab=’
meses ’,ylab=’vendas ’)
52 #Componente sazonal para lag =11
53 diff(diff(serie),lag.max =11)
54 plot(ts(diff(serie),lag.max =11) ,col=2,main=’VENDAS - 1a
d i f e r e n a simples e 1a sazonal ’,xlab=’meses ’,ylab=’Valores
em Reais (valores e milhares)’)
55
56 # F u n A u t o c o r r e l a (FAC) e A u t o c o r r e l a parcial (FACp)
com defasagem 11:
57 par(mfrow=c(1,1))
58 FAC=acf(diff(serie), main=’ACF Primeira d i f e r e n a ’)
59 FACp=pacf(diff(serie), main=’PACF Primeira d i f e r e n a ’)
60 A
61 ap
62
63 # D e t e n de Sazonalidade
64 Detsaz = ts(na.omit(diff(serie), frequency =30))
65 plot(Detsaz)
66 decomp = stl(Detsaz , s.window="periodic")
67 deseasonal_cnt <- seasadj(decomp)
68 plot(decomp)
69
70 #Dickey -Fuller Test
71 adf.test(Detsaz , alternative = "stationary")
72
73 # E s t i m a do modelo ARIMA:
74 #Modelo (1,1,3)
75 arima(diff(serie),order=c(1,1,3))
76 x.fit <- arima(diff(serie),order=c(1,1,3))
77 x.fit
78
79 #Modelo (4,1,1)
80 arima(diff(serie),order=c(4,1,1))
81 x.fit <- arima(diff(serie),order=c(4,1,1))
82 x.fit
83 summary(x.fit) # e s t a t stica do modelo
84 arima(x.fit)

85 forecast(arima(x.fit))
86 # Acuracia da p r e v i s o
88 accuracy(x.fit)
89
90 # p r e d i para 12 meses
92 pred <-forecast(x.fit , 12)
93 plot(forecast(x.fit , 12))
94 plot(pred ,type="l",xlab = "Ano",ylab = "Vendas",lwd = 2,col =
’red’,main=" P r e d i usando Modelo ARIMA")
95
96 #plot(forecast(arima(diff(serie)),xlab =" Time",ylab =" Number of
births ") #SS5 time series from ’90-’05
97 #lines(SS8 ,type ="l", ylim=R, col=" black ") #SS8 time series
from ’90-’08
98 #plot(forecast(arima(diff(serie)), xlab =" Time", ylab =" Number
of births ")

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