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FACULDADES INTEGRADAS DE ITARARÉ – FAFIT

ANTONIO JOSÉ SANTOS GENEROSO

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES
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ANTONIO JOSÉ SANTOS GENEROSO

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES
Trabalho
de
conclusão
de
curso
apresentado...
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FOLHA DE APROVAÇÃO

ANTONIO JOSÉ SANTOS GENEROSO

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES
Trabalho de Conclusão ...
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Dedico primeiramente a Deus pelo
dom da vida.
Aos meus pais pelo apoio que me
deram durante toda a minha vida.
A todas ...
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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por tudo o que sou, o que tenho e o que
espero, pois sem a sua ajuda, na...
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“Homens que lutam um dia e são bons.
Há outros que lutam um ano e são melhores.
Há os que lutam muitos anos e são muito...
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RESUMO

Este trabalho sobre os Sistemas Numéricos das Antigas Civilizações foi
desenvolvido através de pesquisa bibliog...
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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1: Comparação Entre as Numerações de Diferentes Povos Antigos. .. 12
FIGURA 2: Comparação de N...
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FIGURA 26: Números Romanos Grandes. ............................................................ 34
FIGURA 27: Números ...
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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................
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1. INTRODUÇÃO

Durante a história, muitos povos e civilizações criaram e tiveram suas escritas
e costumes, mas a dúvid...
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2. SISTEMAS NUMÉRICOS DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES

Alguns alunos em geral quando ouvem falar da palavra Matemática, se
“a...
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FIGURA 1: Comparação Entre as Numerações de Diferentes Povos Antigos.
FONTE: Site Matemáticaverso Worldpress, [20--?]....
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2.1. SISTEMA NUMÉRICO EGÍPCIO

Sem dúvidas, a civilização egípcia é uma das mais antigas que já existiu. Os
símbolos e...
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De acordo com Howard Eves (2004, p.30):

Os hieróglifos egípcios, cujo emprego remonta a cerca do ano
3400 a.C. e usad...
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Todas as formas dos símbolos tinham uma explicação e importância para a
vida deles, só não imaginavam que trariam comp...
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alterava o resultado final. Vale ressaltar que os egípcios não tinham representação
para o número zero e qualquer um d...
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2.2. SISTEMA NUMÉRICO MESOPOTÂMICO (BABILÔNICO)

A Mesopotâmia compreendia o território da região do atual Iraque, áre...
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Os primeiros tabletes e pequenos objetos geométricos de argila
de que temos conhecimento e que nos dão informações sob...
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registros babilônicos (tabletas) existirem hoje em uma escala de quantia muito maior
do que os papiros do Egito. Ainda...
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FIGURA 7: Números Mesopotâmicos.
FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005.

O problema dos caracteres numéricos dos Mesopotâ...
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FIGURA 9: Representação do 10 x 100 = 1000.
FONTE: Blog da Profª Alenice, 2011

FIGURA 10: Representação do 1(60)² + 0...
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FIGURA 11: Mapa da Grécia Antiga.
FONTE: Portal Igm Mat João Afonso, 2004.

Os ideogramas gregos até hoje fascinam pel...
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27 caracteres – as 24 letras do alfabeto grego mais três outras
obsoletas: digamma, koppa e sampi. Embora se usassem
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FIGURA 13: Mapa de Onde a Civilização Maia Habitava.
FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005.

Essa civilização apresentava...
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Esta civilização mesoamericana e também pré-colombiana tinha seu sistema
numérico chamado Glifos, na qual apresentava ...
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FIGURA 15: Numeração Maia.
FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005.

E Howard Eves (2004, p. 37) concluiu:

Muito interessa...
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FIGURA 17: Exemplificação Maia de Números.
FONTE: Blog Lovers of Math, 2008.

Observa-se que os números maiores do que...
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FIGURA 19: Números Longos pelo Sistema Maia.
FONTE: Blog Lovers of Math, 2008.

2.5. NUMERAÇÃO CHINESA

A China se des...
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As civilizações da China e da Índia são muito mais antigas que
as da Grécia e Roma, porém não mais que as dos vales do...
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outros povos. Mesmo que tenha tido relações com outros povoados, os chineses
não deixaram ser influenciados por outras...
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FIGURA 21: Numeração Chinesa.
FONTE: Site G-Sat, [20--?].

A seguir são mostrados os números dos chineses na Figura 22...
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三
千
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十
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É desconhecido o fato se eles se inspiraram nos babilônios, mas que a
numeração chinesa já continha o s...
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contagem também fazia parte da vida da suntuosa civilização romana. O idioma
falado pelos romanos era o latim, e passo...
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Sem sombra de dúvidas, além do método de contagem dos romanos serem
simples de se compreender, o ábaco facilitou e aju...
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romanos. Neste caso os símbolos básicos I, X, C, M para 1, 10,
10² e 10³ são acrescidos de V, L, D para 5, 50 e 500.

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Primeiramente os hindus não usavam o zero devido a dificuldade nas
contagens sem o zero, e tempos mais tarde, a idéia ...
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vez mais as negociações, compras, trocas, contagens de mercadorias e produtos e
tudo mais entre regiões diversificadas...
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3. SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO

O moderno sistema numérico Indo-Arábico exemplifica os ideogramas
praticados hoj...
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FIGURA 28: Evolução dos Números Indianos Até Chegar nos Dias Atuais.
FONTE: Site Matemática Society, [20--?].

FIGURA ...
40

FIGURA 30: Evolução dos Números Indo-Arábicos.
FONTE: Site pt.enc.tfode, [20--?].

A seguir na Figura 31, os detalhes ...
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4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este Trabalho de Conclusão de Curso sobre os Sistemas Numéricos das
Antigas Civilizações foi ...
42

O sistema hindu trouxe à tona a importância da posição dos números aliado
com o principio multiplicativo, na qual sua ...
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REFERÊNCIAS

BOYER, CARL B. História da Matemática, 2 ed. vol. 5. São Paulo: Edgard Blücher
Ltda, 1996.

CONTADOR, PAU...
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EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS INDO-ARÁBICOS (2010). Disponível em:
<http://cemporcentomat5.blogspot.com/2009/10/sistema-de-nume...
45

2C6%2C17%2C3%2C5&search_by_state=all&search_text_options=all&sid=9&site=fi
o&text=maias>. Acesso em 09/10/2010.

NUMER...
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NÚMEROS INDIANOS (2006). Disponível em:
<http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-88-10785782,...
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  1. 1. 0 FACULDADES INTEGRADAS DE ITARARÉ – FAFIT ANTONIO JOSÉ SANTOS GENEROSO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES ITARARÉ-SP 2011
  2. 2. 1 ANTONIO JOSÉ SANTOS GENEROSO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES Trabalho de conclusão de curso apresentado como requisito parcial para a aprovação do curso de Licenciatura Plena em Matemática das Faculdades Integradas de Itararé – FAFIT. Prof. Orientador: Paulo Henrique C. A. da Cruz ITARARÉ-SP 2011
  3. 3. 2 FOLHA DE APROVAÇÃO ANTONIO JOSÉ SANTOS GENEROSO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito final para obtenção do grau de Licenciatura em Matemática das Faculdades Integradas de Itararé - FAFIT, pela seguinte banca examinadora: BANCA EXAMINADORA _____________________________________ Prof. Paulo Henrique C. A. da Cruz Orientador _____________________________________ Prof. João Carlos Tavares ____________________________________ Prof. Cristina Margareth Weiss Ferreira Itararé, 21 de maio de 2011.
  4. 4. 3 Dedico primeiramente a Deus pelo dom da vida. Aos meus pais pelo apoio que me deram durante toda a minha vida. A todas as pessoas que me ajudaram neste caminho até o término deste Trabalho.
  5. 5. 4 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, por tudo o que sou, o que tenho e o que espero, pois sem a sua ajuda, nada seria possível, pois não estaríamos aqui reunidos, e nem com saúde e alegria para desfrutar dos bons e importantes momentos da vida. Aos meus pais, Antonio Sidnei e Marinéia, pelo esforço, dedicação e compreensão, incentivo, cooperação e apoio em todos os momentos desta e de outras caminhadas, que me proporcionaram uma boa infância e vida acadêmica, me ajudaram a formar os fundamentos do meu caráter e me apoiaram quando precisei deles. Muito obrigado por serem a minha referência de tantas maneiras e estarem sempre presentes na minha vida de uma forma indispensável. Ao meu irmão Luís Fernando, além de ter me ajudado durante o curso, compartilhou comigo os momentos de tristezas e também de alegrias, nesta etapa, em que, com a graça de Deus, está tudo bem. Ao meu professor e orientador deste Trabalho de Conclusão de Curso, Paulo Henrique, pela paciência, ajuda e compreensão durante o longo caminho desde o início até chegar neste momento. Aos meus amigos, que me deram dicas e incentivo durante a realização deste trabalho.
  6. 6. 5 “Homens que lutam um dia e são bons. Há outros que lutam um ano e são melhores. Há os que lutam muitos anos e são muito bons. Porém, há os que lutam toda a vida. Esses são os imprescindíveis." Bertolt Brecht.
  7. 7. 6 RESUMO Este trabalho sobre os Sistemas Numéricos das Antigas Civilizações foi desenvolvido através de pesquisa bibliográfica com relação à História da Matemática, pois sobre os símbolos numéricos dos povos antigos como os egípcios, mesopotâmicos, gregos, maias, chineses, romanos e indianos, que se fundamenta o saber e desvendar de como e de onde surgiram os símbolos numéricos que são usados hoje, ou seja, de qual forma os caracteres usados pelos povos antigos, assim como suas bases de contagens proporcionaram a escrita numérica atual por meio de algarismos hindu-arábicos. PALAVRAS CHAVE: Sistemas, Numéricos, Civilizações, Símbolos, História e Matemática.
  8. 8. 7 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1: Comparação Entre as Numerações de Diferentes Povos Antigos. .. 12 FIGURA 2: Comparação de Numerações dos Povos Antigos. ............................ 12 FIGURA 3: Mapa do Antigo Egito. .......................................................................... 13 FIGURA 4: Números Egípcios. ............................................................................... 14 FIGURA 5: Números Egípcios Extensos. .............................................................. 14 FIGURA 6: Mapa da Mêsopotâmia. ........................................................................ 17 FIGURA 7: Números Mesopotâmicos. ................................................................... 20 FIGURA 8: Representação do Número 100. .......................................................... 20 FIGURA 9: Representação do 10 x 100 = 1000. .................................................... 21 FIGURA 10: Representação do 1(60)² + 0(60) + 2 = 3602. .................................... 21 FIGURA 11: Mapa da Grécia Antiga. ...................................................................... 22 FIGURA 12: Números Gregos. ............................................................................... 23 FIGURA 13: Mapa de Onde a Civilização Maia Habitava. ..................................... 24 FIGURA 14: Numeração Maia. ................................................................................ 25 FIGURA 15: Numeração Maia. ................................................................................ 26 FIGURA 16: Números Maias ................................................................................... 26 FIGURA 17: Exemplificação Maia de Números. .................................................... 27 FIGURA 18: Números Maias. .................................................................................. 27 FIGURA 19: Números Longos pelo Sistema Maia. ............................................... 28 FIGURA 20: Mapa da Civilização Chinesa. ............................................................ 29 FIGURA 21: Numeração Chinesa. .......................................................................... 31 FIGURA 22: Numeração Chinesa. .......................................................................... 31 FIGURA 23: Mapa do Império Romano. ................................................................. 32 FIGURA 24: Números Romanos. ............................................................................ 33 FIGURA 25: Modificação de Símbolos, o Surgimento do L que Vale 50. ........... 33
  9. 9. 8 FIGURA 26: Números Romanos Grandes. ............................................................ 34 FIGURA 27: Números Hindus (Indianos). .............................................................. 36 FIGURA 28: Evolução dos Números Indianos Até Chegar nos Dias Atuais. ..... 39 FIGURA 29: Evolução dos Números Hindus Até Chegar nos Dias Atuais. ........ 39 FIGURA 30: Evolução dos Números Indo-Arábicos. ............................................ 40 FIGURA 31: Evolução dos Números Indo-Arábicos. ............................................ 40
  10. 10. 9 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................10 2. SISTEMAS NUMÉRICOS DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES ................................ 11 2.1 SISTEMA NUMÉRICO EGÍPCIO ....................................................................... 13 2.2 SISTEMA NUMÉRICO MESOPOTÂMICO (BABILÔNICO) ............................... 17 2.3 SISTEMA NUMÉRICO GREGO ......................................................................... 21 2.4 A NUMERAÇÃO DOS MAIAS ........................................................................... 23 2.5 NUMERAÇÃO CHINESA ................................................................................... 28 2.6 NÚMEROS ROMANOS (ALGARISMOS ROMANOS) ....................................... 32 2.7 SISTEMA NUMÉRICO INDIANO (HINDU) ........................................................ 35 3. SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO .................................................. 38 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 41 REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 43
  11. 11. 10 1. INTRODUÇÃO Durante a história, muitos povos e civilizações criaram e tiveram suas escritas e costumes, mas a dúvida persiste de quem foi a alavanca, ou a iniciativa de ter sido o pioneiro da criação da numeração. Logicamente que cada povo teve sim a sua contribuição relevante na forma de fazer contagens, e isso às vezes sem querer, durante séculos, passava para outras civilizações que implementavam o jeito de contar, até chegar nos dias de hoje. Ao fazer um estudo cronológico da matemática em seu melhoramento e desenvolvimento para atingir a resposta do questionamento anterior, começa a ser desvendado o grande mistério. Vale ressaltar que voltando no túnel do tempo, e aprofundando ainda mais os estudos matemáticos, descobriremos a criação de diversas fórmulas por parte das civilizações pré-helênica: a egípcia e a mesopotâmica. Além do fato de que o homem pré-histórico se virava para adquirir as idéias e conceitos de número, forma e grandeza. A incerteza é com a questão de que a matemática sempre existiu, porém, aguardava o seu descobrimento, e a dúvida sobre o surgimento da numeração, quando e como foi, torna ainda mais interessante o estudo profundo da origem da matemática. Tanto que em milênios antes de Cristo, na Idade da Pedra (5.000.000 a.C. – 3.000 a.C.), o homem primitivo se virava para sobreviver. Com o tempo, a contagem evoluiu extensamente para a realização de cálculos mais compridos, complexos e detalhados, sendo que chegou a algum instante/momento que a contagem simples não era eficiente o bastante, então acabou se tornando sistematizado. Diversos povos que contribuíram de seus modos com a numeração na história dos números já desapareceram com o passar dos tempos. Homens do tempo da pedra, da caverna, e séculos depois, os egípcios, gregos, mesopotâmicos, maias, romanos e outros. Praticamente todos os reinos, aldeias e tribos com seus seguintes costumes, tradições e tipos de contagens que estas civilizações citadas acima e outras, por conseguinte criavam e implantavam, acabaram extintas, por causa de seguidas guerras entre eles.
  12. 12. 11 2. SISTEMAS NUMÉRICOS DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES Alguns alunos em geral quando ouvem falar da palavra Matemática, se “arrepiam” de medo, mas o assunto História da Matemática carrega curiosidades consigo mesmo, o nome já diz tudo, a história desta ciência existe há milênios o que faz muitos serem curiosos e quererem investigar como ela surgiu, onde, quando, e quem contribuiu, e outras dúvidas. A dificuldade está na questão de decifrar os símbolos estranhos, exemplificando, alguns deles cuneiformes, outros com um monte de rabiscos, outros hieróglifos (forma de figuras), e iniciar as contagens como adição e subtração, dependendo do alfabeto numérico e da conta. Assim sendo, é imprescindível e fundamental a compreensão dos diversos ideogramas criados pelas grandes civilizações através dos tempos, os formatos dos ideogramas de cada povo até atingir o ápice da numeração utilizada hoje que facilitou e trouxe praticidade de fazer as contas fundamentais, transações comerciais, trocas de mercadorias (escambo), compra, venda, obtenção de lucro etc. Continuando o assunto sobre numeração, Howard Eves (2004) afirmou que, dependendo de cada povo, a base era significativa, cada um com sua forma de contagem. Algumas civilizações adotavam base decimal (10), outra a sexagesimal (60), outra vigesimal (20), quinária (5) e até de base 12 etc. Sendo que muitos símbolos para representar um único número era um desafio enorme. Exemplo disto é o povo egípcio, eles tinham grandes dificuldades de escrever e representar os números grandes, até para realizar as operações aritméticas da adição e subtração, levavam muito tempo. Outras civilizações que ajudaram de suas maneiras com a simbologia matemática além da egípcia, foram a babilônica, grega, maia, chinesa, a indiana e a romana, entre outras. Nas Figuras 1 e 2, há uma comparação dos sistemas de numeração antigos:
  13. 13. 12 FIGURA 1: Comparação Entre as Numerações de Diferentes Povos Antigos. FONTE: Site Matemáticaverso Worldpress, [20--?]. A seguir, uma exemplificação de cada civilização e seus números: FIGURA 2: Comparação de Numerações dos Povos Antigos. FONTE: Portal Fascínio pela Matemática, 2011.
  14. 14. 13 2.1. SISTEMA NUMÉRICO EGÍPCIO Sem dúvidas, a civilização egípcia é uma das mais antigas que já existiu. Os símbolos egípcios são fascinantes, cada grafia tinha um significado de uma figura da natureza, e as dificuldades e riquezas de detalhes que tinham quando desenhavam. Os egípcios então registravam quantidades usando símbolos relacionados (hieroglíficos) às imagens familiares. A escrita egípcia era em hieróglifos (escrita com figuras) para fazer textos e contas. Era um sistema com símbolos próprios da cultura egípcia, símbolos pelo qual só tinham significado para este povo. Esta civilização enfrentou inúmeras dificuldades para fazer cálculos muito extensos, e até para desenhar os ideogramas era um trabalho árduo para os mesmos. Percebe-se que eles não usavam números maiores que o bilhão, o trilhão etc. Assim, os egípcios não necessitavam realizar contas tão gigantescas e complicadas pelo fato de naquele tempo não se exigir tanto como hoje. Sem dúvida nenhuma, esta civilização com seu esforço contribuiu bastante até chegarmos atualmente com o sistema numérico padrão que usamos nos dias atuais. Conforme Boyer (1996) descreve, cerca de 6000 anos atrás já estava em uso no vale do extenso Rio Nilo (Figura 3) uma forma primitiva de escrita que evoluiu para uma forma linear de símbolos mais simples. Além disso, a numeração hieroglífica com escala de 10, foi decifrada facilmente, datando de 5000 anos atrás. Percebe-se que a antiguíssima civilização egípcia dependia muito do delta do extenso rio Nilo, no nordeste da África para se desenvolver. FIGURA 3: Mapa do Antigo Egito. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005.
  15. 15. 14 De acordo com Howard Eves (2004, p.30): Os hieróglifos egípcios, cujo emprego remonta a cerca do ano 3400 a.C. e usados principalmente para fazer inscrições em pedras, fornecem um exemplo de sistema de agrupamentos simples. Embora os hieróglifos fossem usados às vezes para escrever em outros materiais que não pedras, os egípcios cedo desenvolveram duas formas de escrita consideravelmente mais rápidas para trabalhos em papiro, madeira e cerâmica. Os egípcios registravam tudo que podiam. A observação relevante deles em relação à astronomia propiciou criarem um calendário solar que facilitou administrarem melhor suas atividades diárias. Exceto na pedra, os hieróglifos foram escritos em materiais diversos como papiro, cerâmica e madeira. Os egípcios criaram duas formas rápidas e consideráveis para a realização de trabalhos com estes 3 materiais citados acima. Além disso, criaram símbolos para 7 númeroschave, que nem sempre eram colocados em ordem conforme se observa na Figura 4: FIGURA 4: Números Egípcios. FONTE: Site Pessoal Sercomtel, março/2005. A seguir, uma exemplificação de um longo número egípcio: FIGURA 5: Números Egípcios Extensos. FONTE: Blog Riwersun, 2010.
  16. 16. 15 Todas as formas dos símbolos tinham uma explicação e importância para a vida deles, só não imaginavam que trariam complicações para a grande maioria. Só com o tempo e a prática, os egípcios assimilavam e memorizavam os símbolos com cada número a que representavam. Segundo o portal Sistema (2003): O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave: 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000. A explicação acima demonstra que como a numeração egípcia é representada através de figuras conhecidas deles, os calculistas do Egito antigo dependiam da memorização para fazer os cálculos. Alguns caracteres são esquisitos dependendo do ponto de vista da pessoa que o observa, com a prática, aprendiam de certa forma que se tornava fácil a memorização de cada símbolo. A prova de tudo isso são os papiros, pois eram materiais duráveis que serviam para se escrever ou marcar as contagens realizadas na antiguidade. Segundo Eves (2004) estas tabelas representam e exemplificam o sistema de agrupamento simples, com grandes chances de ser o tipo de sistema mais antigo de todos. Desta forma, a mais antiga é a escrita cursiva (hierática) que eram usadas pelos sacerdotes, pelo qual é derivada da hieroglífica. Desta escrita, originou a demótica, praticada pelo uso geral. Estas duas formas não fazem parte do sistema de agrupamentos simples. Fazia-se uso do processo aditivo, a soma dos símbolos originais, sem preocupação com a posição dos símbolos, num sistema não posicional, ou seja, a ordem dos ideogramas não importava como também não
  17. 17. 16 alterava o resultado final. Vale ressaltar que os egípcios não tinham representação para o número zero e qualquer um dos números eram representados através do uso destes símbolos aditivamente, e conforme a necessidade, repetindo-lhes. Eves (2004) afirma que os cidadãos do Egito na época tinham o hábito de escrever os números da direita para a esquerda, sendo que o sistema de numeração egípcio era cifrado. Carl B. Boyer (1996, p.9) declara: Os homens da Idade da Pedra não usavam frações, mas com o advento de culturas mais avançadas durante a Idade do Bronze parece ter surgido a necessidade do conceito de fração e de notação para frações. As inscrições hieroglíficas egípcias têm uma notação especial para frações unitárias, isto é, com numerador um. E Boyer (1996) afirmou que os Papiros de Ahmes, Rhind e Moscou são as principais fontes de informações sobre os egípcios, mesmo antiguíssimas, permaneceram uniforme durante sua longa história, sendo que estes Papiros surgiram mil anos antes de ter surgido a matemática grega de tão velhos que são. Conforme Maria Elisa Esteves Lopes Galvão (2008, p.73): A Matemática no Egito não alcançou, em sofisticação, o nível da Mesopotâmia, embora fosse fortemente influenciada pela demanda da agrimensura e da engenharia práticas. Os egípcios desenvolveram um sistema numérico aditivo; multiplicações e divisões eram feitas com o auxílio de tábuas de duplicação adequadamente elaboradas para esse fim. Trabalhavam com frações unitárias, desenvolvendo técnica de decomposição cuja explicação motiva várias teorias até os dias de hoje. Mesmo a matemática do Egito não ter sido do mesmo nível da Babilônia, a simbologia egípcia adotada é tão simples de entender, que os alunos não apresentam tanta dificuldade em traduzir os números egípcios para o nosso sistema nos exercícios resolvidos por eles mesmos. Prestando a atenção no posicionamento das figuras, a leitura e interpretação facilitam a conversão e o entendimento do significado dos caracteres do Egito antigo.
  18. 18. 17 2.2. SISTEMA NUMÉRICO MESOPOTÂMICO (BABILÔNICO) A Mesopotâmia compreendia o território da região do atual Iraque, área circunvizinha, localizado nos vales do Rio Tigre e Eufrates, no continente asiático, informação esta que pode ser confirmada pela visualização do mapa na Figura 6: FIGURA 6: Mapa da Mêsopotâmia. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Esta civilização mesopotâmica também contribuiu bastante na escrita, seus registros tinham símbolos até fáceis de serem decifrados, e o sistema de contagem também. Boyer (1996) opinou que antes do 4º milênio a.C. no vale mesopotâmico já havia uma forma primitiva de escrita em documentos cuneiformes com grande durabilidade, e as inúmeras tabletas, muito resistente onde eram registradas as escritas cuneiformes (escritas e numeração babilônicas) sobreviveram até nos dias de hoje, e diversas delas com data de 4000 anos atrás. Segundo Galvão (2008), os povos mais antigos que habitaram a Mesopotâmia e que deixaram registros numéricos foi cerca de mais de 4000 anos a.C. O Código de Hammurabi foi registrado em granito, sendo um dos primeiros registros que se tem dos babilônicos. De acordo com Maria Elisa Esteves Lopes Galvão (2008, p.37):
  19. 19. 18 Os primeiros tabletes e pequenos objetos geométricos de argila de que temos conhecimento e que nos dão informações sobre a escrita e os registros matemáticos da Suméria são datados do quarto milênio a.C., sendo, no entanto, alguns deles, de até 8000 a.C. Acrescenta-se que os habitantes da Mesopotâmia foram um dos inventores da escrita. No império da Babilônia, eles apresentavam uma atividade comercial altamente desenvolvida e, através disso, mantinham inúmeras relações comerciais com outros povos da época, até pela necessidade, por exemplo, de se ter e/ou receber os produtos/mantimentos em mãos e que no solo de sua região não produzia tudo que necessitavam, portanto, as relações comerciais eram inevitáveis para satisfazer suas vontades e necessidades. De acordo com Howard Eves (2004, p.31): Os babilônicos antigos, carecendo de papiros e tendo pouco acesso a pedras convenientes, recorreram principalmente à argila como material de escrita. As inscrições eram impressas em tábuas de argila úmidas com estilos cujas extremidades podem ter sido triângulo isósceles penetrantes. Inclinando-se ligeiramente o estilo da posição vertical, podia-se pressionar a argila ou com o ângulo do vértice ou com um dos ângulos da base do triângulo, produzindo-se assim duas formas de caracteres assemelhadas a cunhas (cuneiformes). As tábuas eram então cozidas num forno até endurecer, obtendo-se assim registros permanentes. Em tábuas cuneiformes do período 2000 a.C. a 200 a.C. os números menores do que 60 se expressavam por um sistema de agrupamentos simples de base 10. Com o crescente desenvolvimento da civilização mesopotâmica então surgiu a real importância e necessidade de se fazer registros escritos. Parece até que eles já haviam previsto que em milênios à frente, leríamos seus registros. O ideograma dos babilônicos como foi citado acima, era redigido em placas feitas de argila, e a escrita deles tinha o nome de cuneiforme (forma de cunha). O registro destas placas de argila foram muito bem conservadas o que permitiu a descoberta de como este povo se comunicava pela escrita e como calculava. Ainda Boyer (1996) disse que se fizer uma comparação com os documentos históricos registrados dos egípcios e dos mesopotâmicos, verifica-se que as tabletas de barro mole e argila eram mais seguras, ou seja, bem menos vulneráveis aos estragos que o tempo faz, em relação aos papiros egípcios. Além da quantidade de
  20. 20. 19 registros babilônicos (tabletas) existirem hoje em uma escala de quantia muito maior do que os papiros do Egito. Ainda mencionou que o antigo uso da escrita mesopotâmica é registrado por centenas de duradouras tabletas feitas de barro que datam a mais de 5000 anos atrás. Howard Eves (2004) afirmou que a base sexagesimal (base 60) foi utilizada pelos mesopotâmicos, sendo que ainda é empregado hoje em medidas de ângulos (em graus), e na medida do tempo (horas, minutos e segundos). Para representar as quantidades precisas, o que realmente era relevante para o comércio, os babilônicos também utilizavam símbolos, um sistema que formava uma numeração de grupos de base 10 e de 60. Este sistema também é chamado de um tipo de sistema de agrupamento multiplicativo, de numeração posicional (na qual a posição dos símbolos tem importância). Por exemplo, um símbolo básico representado por um numeral aplicado é na verdade um múltiplo de uma potência de uma base. Desde que, o símbolo básico esteja na posição correta de potência. Este sistema babilônico também é misto, ou seja, os números maiores que 60 que eram registrados como o princípio posicional, os números que correspondem o grupo básico eram escritos como sistema de agrupamento simples decimal. De acordo com Galvão (2008), os números múltiplos de 10 até o 60 recebiam nomes especiais, sendo que as potências de 10 também tinham nomenclaturas desta espécie. É desconhecido o motivo de a base sexagesimal ter sido escolhida por esta civilização, mas fica a suposição de que eram consideradas as razões na qual eram ligadas à Astronomia, e ao mesmo tempo, relacionadas ao ano de 360 dias dividido em 6 períodos de duração de 60 dias. Outra hipótese, é a de que o 60 tem muitos divisores, entre eles o: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Boyer (1996) ressaltou que a numeração cuneiforme babilônica somente para os menores inteiros, tinha as mesmas linhas que a hieroglífica egípcia, ou seja, com repetições dos símbolos de unidades e dezenas. Existe material relativo abundante sobre a matemática na Mesopotâmia através das tabletas que já foram citadas anteriormente. O problema era a ausência de um símbolo para representar o zero (vazio). Mas em alguns casos, deixavam alguns espaços vazios para representar o vazio, já que não tinham a grafia para ele. Eis na Figura 7 a representação de alguns números:
  21. 21. 20 FIGURA 7: Números Mesopotâmicos. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. O problema dos caracteres numéricos dos Mesopotâmicos era que os símbolos eram praticamente idênticos, com 2 tipos diferentes: um tipo era no sentido horizontal, e o outro vertical, e dependendo do número registrado, a ordem e a posição de cada tinha importância. Outro problema é o caractere do 1 e o do 60 que são iguais, mas a diferença está no posicionamento. Este povo foi um dos primeiros a utilizarem o ábaco (que é um antigo instrumento para realizar cálculos, sendo formado por uma moldura com bastões ou até arames paralelos no sentido vertical). A idéia da criação de uma simbologia para representar o vazio foi de um grau altamente relevante, pois a partir da visualização e uso do zero nas contagens necessárias, conseguiam melhorar seus raciocínios apressando efetivamente nas negociações de produtos naquele tempo. Abaixo, exemplificações de alguns números enormes que os mesopotâmicos registraram: FIGURA 8: Representação do Número 100. FONTE: Blog da Profª Alenice, 2011
  22. 22. 21 FIGURA 9: Representação do 10 x 100 = 1000. FONTE: Blog da Profª Alenice, 2011 FIGURA 10: Representação do 1(60)² + 0(60) + 2 = 3602. FONTE: Blog da Profª Alenice, 2011 2.3. SISTEMA NUMÉRICO GREGO A destacada, conhecida e importantíssima civilização grega (helênica) é considerada como uma das mais importantes e influentes da história humana. Na escola também aprendemos que eles foram os responsáveis pelo desenvolvimento de algumas ciências, como a medicina e a matemática, portanto, é normal estudarmos até os dias atuais sobre filósofos e matemáticos gregos, entre eles: Pitágoras, Aristóteles, Ptolomeu, Euclides, Sócrates, Platão, Herão, Arquimedes, Tales, Apolônio, entre outros. Segundo Carl. B. Boyer (1996, p.30) declarou: Os estudiosos egípcios e babilônios continuaram a produzir textos em papiro e cuneiforme durante muitos séculos após 800 a.C.; mas enquanto isso uma nova civilização se preparava rapidamente para assumir a hegemonia cultural, não só na região mediterrânea mas, finalmente, também nos principais vales fluviais. Depois desta era citada acima, a civilização grega começou a destacar e crescer constantemente o seu domínio na região do mar Mediterrâneo, impondo sua história, arte e cultura aos povos vizinhos. Conforme se observa na Figura 11:
  23. 23. 22 FIGURA 11: Mapa da Grécia Antiga. FONTE: Portal Igm Mat João Afonso, 2004. Os ideogramas gregos até hoje fascinam pelas suas formas e detalhes, continuam famosos e importantes atualmente, pois algumas de suas letras são usadas na matemática e na física em grande parte das nações. A civilização grega é também uma das pioneiras sobre a explicação de fatos ocorridos na natureza. Ela é rica em história, foi uma das que mais contribuíram para a evolução da humanidade e dos números também, graças aos ideogramas deles que outros povos foram desenvolvendo a numeração até chegar aos números usados atualmente em todo o mundo. Lembrando que Galvão (2008) afirmou que na antiguidade, os gregos usavam um sistema aditivo que foi descoberto por registros de inscrições de meados de um milênio a.C. Boyer (1996) opinou que o mundo grego por muitos séculos obteve seu grande centro entre os mares Egeu e Jônio, entretanto, a civilização Helênica crescia muito. Em meados de 600 a.C. podiam ser encontradas colônias gregas a beira das margens do mar Mediterrâneo e o mar Negro. A partir daí, a matemática grega ganhou um enorme impulso. Howard Eves (2004, p.35) afirmou: O sistema de numeração grego, conhecido como jônico ou alfabético, cujas origens situam-se já por volta do ano 450 a.C., é um exemplo desse sistema cifrado. Ele é decimal e emprega
  24. 24. 23 27 caracteres – as 24 letras do alfabeto grego mais três outras obsoletas: digamma, koppa e sampi. Embora se usassem letras maiúsculas (as minúsculas só muito mais tarde vieram a substituí-las), o sistema será ilustrado aqui com letras minúsculas. A Figura 12 identifica a relação das letras gregas com os números gregos: FIGURA 12: Números Gregos. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Logicamente, os números também eram utilizados por esta antiga civilização. Eles eram representados pelo próprio alfabeto grego e naquela época, os gregos fizeram algumas modificações no sistema de numeração que utilizavam, no qual os números eram representados pelas letras iniciais de seus nomes, o que se torna mais interessante estudá-los. 2.4. A NUMERAÇÃO DOS MAIAS Os maias eram tribos que viveram na região da América Central e América do Norte há muitos anos atrás. (povo que habitou onde hoje é a região da península de Yucatán [sul do atual México]).
  25. 25. 24 FIGURA 13: Mapa de Onde a Civilização Maia Habitava. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Essa civilização apresentava inúmeras curiosidades sobre o movimento dos astros, planetas e estrelas. Este povo gostava de fazer pesquisas sobre astronomia pelo que conseguiam observar no céu. De acordo com Carl B. Boyer (1996, p.146): Os maias do Yucatán, em sua representação de intervalos de tempo entre datas do calendário, usavam numeração posicional, em geral com vinte como base primária e com cinco como base auxiliar (correspondendo ao uso babilônico de sessenta e dez respectivamente). Como o sistema se destinava primariamente a contar dias num calendário de 360 dias num ano, a terceira posição usualmente não representava múltiplos de (20) (20). No entanto, para além desse ponto a base vinte novamente prevalecia. Com essa notação posicional os maias indicavam posições vazias por meio de um símbolo, que aparecia em formas variadas, semelhante a um olho meioaberto. Com o conhecimento adquirido em astronomia, os maias desenvolveram calendários muito precisos. Exemplificando, para a medição do tempo, eles faziam medidas do tempo a partir de seus 20 dedos, com meses de 20 dias. Assim, percebe-se que no seu cotidiano, este povo realizava cálculos constantemente com uso da base vigesimal. A comprovação de tal fato foi a descoberta de um sistema numérico escrito. O aprendizado sobre números os ajudava em assuntos astronômicos, mas também, na administração de todo o império, como por exemplo, para a realização da cobrança de impostos nas tribos.
  26. 26. 25 Esta civilização mesoamericana e também pré-colombiana tinha seu sistema numérico chamado Glifos, na qual apresentava combinações de ideogramas e símbolos fonéticos. Há duas formas de representação dos números. A representação dos maias apresentava figuras semelhantes a espécies de “carrancas” (que são uma escultura com formas humanas ou animais) e/ou cabeças de divindades (Figura 14). FIGURA 14: Numeração Maia. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Na outra forma a ser demonstrada na Figura 11, eram combinados apenas 3 símbolos: um ponto, uma barra horizontal e uma concha. Cada ponto era representado por uma unidade, a barra representava 5 unidades e a concha era o número 0. Lembrando que o zero é a grande surpresa deste sistema de numeração, não se sabe se esta idéia do vazio foi por causa dos mesopotâmicos, mas foi de grande valia. Ele facilitava as operações matemáticas e auxiliava no posicionamento da numeração maia. Deve-se ressaltar que a civilização maia foi uma das primeiras que utilizaram o número 0 em suas contagens e escritas e curiosamente esta numeração, que se iniciou de forma remota e nem tão conhecida, se desenvolveu mesmo assim. Nos números maias importava muito a ordem como os símbolos apareciam. Eles eram escritos na vertical, de cima para baixo. Era formada por grupos de 20. O seu sistema de numeração apresenta 3 símbolos básicos.
  27. 27. 26 FIGURA 15: Numeração Maia. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. E Howard Eves (2004, p. 37) concluiu: Muito interessante é o sistema de numeração maia. De origem remota e desconhecida, foi descoberto pelas expedições espanholas a Yucatán no início do século XVI. Esse sistema é essencialmente vigesimal, mas seu segundo grupo vale (18)(20) = 360 em vez de 20² = 400. Os grupos de ordem superior são da forma (18)(20n). A explicação para essa discrepância provavelmente reside no fato de o ano maia consistir em 360 dias. Alguns exemplos: FIGURA 16: Números Maias FONTE: Portal do Professor, 2008-2011.
  28. 28. 27 FIGURA 17: Exemplificação Maia de Números. FONTE: Blog Lovers of Math, 2008. Observa-se que os números maiores do que o 20 importava muito o posicionamento dos símbolos maias, sendo que era um sistema que considerava o valor da posição do número. Explicando as figuras à diante, a casa de baixo, a concha que representa o zero, obviamente mantém o valor do zero, e na casa de cima, o ponto que tem o valor 1 desta vez pela sua posição é multiplicado por 20. Se existisse um número na terceira casa, seria multiplicado por 20 x 20 que resultaria em 400. Falando de base vigesimal, os maias utilizavam um calendário que tinha 18 meses de 20 dias, totalizando 360 dias e mais 5 dias até o final do ano, e sendo dias de mau agouro. A potência de base vigesimal corresponde ao fator multiplicativo para cada casa, ou seja, para eles a base 20 era multiplicada por uma potência de 20, lembrando que da terceira casa em diante, o múltiplo é o 360. Vejamos outros exemplos: FIGURA 18: Números Maias. FONTE: Blog Lovers of Math, 2008.
  29. 29. 28 FIGURA 19: Números Longos pelo Sistema Maia. FONTE: Blog Lovers of Math, 2008. 2.5. NUMERAÇÃO CHINESA A China se destaca por sua longa existência, um país milenar, onde possui documentos datados desde antes de Cristo. Faz parte do grupo das mais antigas civilizações do planeta que se tem registro. Até hoje preservam sua simbologia, os kanjis chineses com mais de 4000 ideogramas usados para representar números e palavras. Conforme Eves (2004) descreve as civilizações da China antiga ao longo dos rios Yang-Tze e Howang Ho provavelmente sejam posteriores à civilização egípcia que viviam às margens do extenso rio Nilo e à babilônica que habitavam ao longo dos rios Tigres e Eufrates. Mas há muito pouco material de natureza primária. Os antigos daquela época fizeram muitos de seus registros em bambus. Por conseqüência, muito do que se conhece sobre a matemática chinesa é baseada em informações orais e interpretações posteriores aos textos originais. No início a nação era restrita a um grupo de cidades situadas a margem do rio Amarelo (Huang He). Depois estas cidades se unificariam, formando o já conhecido e respeitado Império Chinês. Boyer (1996, p.133) chegou à seguinte afirmação:
  30. 30. 29 As civilizações da China e da Índia são muito mais antigas que as da Grécia e Roma, porém não mais que as dos vales do Nilo e Mesopotâmia. As civilizações das margens dos rios Iang-Tse e Amarelo são de época comparável à do Nilo ou de entre os rios Tigre e Eufrates. Nesta mesma época foi adotado um sistema de escrita comum. E os números já existiam também por lá, afinal, eram muito úteis no cotidiano deste grande império que surgia naquela época. A Figura 20 apresenta onde a civilização chinesa vivia: FIGURA 20: Mapa da Civilização Chinesa. FONTE: Wikipedia, [20--?]. Percebemos que os chineses viviam em um longo e vasto território, assim como se mantém até hoje, onde podiam implantar seus costumes, tradições, ensinamentos, trocar e negociar mercadorias, mantimentos, aumentar seus territórios através de conquistas de terras etc. Falando do sistema numérico chinês, é muito interessante de se estudar, desvendar e entender, destacando seus caracteres detalhados e complicados de se compreender numa primeira observação. O que se sabe é o fato de que os chineses utilizavam muito o ábaco em suas contagens. Esta grande ferramenta contribuiu bastante para o avanço da contagem. Boyer (1996) falou que não há provas de que a China tenha tido algum contato com indianos, com gregos ou babilônios. Porém, como os chineses nunca haviam feitos cálculos com base hexagesimal como os babilônios, então a numeração chinesa sempre permaneceu decimal, com notações bem diferentes de
  31. 31. 30 outros povos. Mesmo que tenha tido relações com outros povoados, os chineses não deixaram ser influenciados por outras civilizações. E desde os tempos primitivos, foram usados 2 sistemas de notação: o do princípio multiplicativo, e em outro, usava-se uma notação posicional. Conforme Howard Eves (2004, p.34): O sistema de numeração chinês-japonês tradicional é um exemplo de sistema de agrupamentos multiplicativo de base 10. Carecendo de um material de escrita como o papel, os chineses e japoneses antigos registravam seus achados em lâminas de bambu. Como citado anteriormente, o povo chinês na época tinha consciência de que onde registravam suas escritas e que números iriam durar por muito tempo. Howard Eves (2004, p.242) escreveu isso: Esse sistema de numeração posicional constitui-se no sistema de numeração mais avançado do mundo de então, tendo desempenhado um papel importante no caráter da matemática chinesa antiga, que girava em torno de cálculos. As operações aritméticas elementares eram efetuadas em tábuas de contar. O familiar ábaco chinês, o suan pan, que consiste em contas móveis ao longo de varas ou arames paralelos por sobre o tabuleiro, descende dessa forma primitiva de calcular. A numeração chinesa é de forma decimal e multiplicativa, ou seja, os números representados em unidades milhar, centenas, e dezenas, eram multiplicados pela unidade para se chegar ao número em questão. Muitas vezes, eram escritos em forma vertical. Na época os algarismos chineses foram baseados em um sistema gráfico com formas abstratas. Por exemplo: um traço horizontal simboliza a unidade, dois destes representa o número 2, por conseguinte o 3 é da mesma forma, mas a partir do número 4 o conceito muda. Na numeração tradicional chinesa, as dezenas, centenas, milhares e dezenas de milhares são expressadas mediante o sistema de agrupamento multiplicativo de base 10. Exemplificando: para representar o valor 20, os chineses tinham que escrever lado a lado o símbolo do 2 junto com o do 10, que ao multiplicá-los o resultado é o 20. A Figura 21 a seguir mostra os caracteres chineses e a tradução ao lado para os números usados no mundo atualmente:
  32. 32. 31 FIGURA 21: Numeração Chinesa. FONTE: Site G-Sat, [20--?]. A seguir são mostrados os números dos chineses na Figura 22: FIGURA 22: Numeração Chinesa. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Como exemplo, para representar o número 3546 pelo sistema decimal multiplicativo tem-se o seguinte:
  33. 33. 32 三 千 五 百 四 十 六 É desconhecido o fato se eles se inspiraram nos babilônios, mas que a numeração chinesa já continha o símbolo para o número zero, diferenciando ainda mais de outras civilizações, entretanto, a simbologia só apareceu bem mais tarde. 2.6. NÚMEROS ROMANOS (ALGARISMOS ROMANOS) Todos que estudam já ouviram falar do Império Romano, os registros deste são antigos e lembrados até os dias atuais para comparação com os números ocidentais usados atualmente. Na Figura 23 o mapa, em verde, representa a região onde os Romanos reinavam: FIGURA 23: Mapa do Império Romano. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Percebe-se que este Império era grandioso e por ter se expandido muito era eficiente. Dominaram parte da Europa, Ásia e África. Seu reinado era respeitado. A
  34. 34. 33 contagem também fazia parte da vida da suntuosa civilização romana. O idioma falado pelos romanos era o latim, e passou a ser adotado por muitas regiões do seu império que na qual dominavam. Por este motivo os tradicionais números romanos foram adotados e difundidos por muitos povos de regiões perto dali, e enfim são presentes ainda nos dias atuais. Na numeração romana eram utilizadas letras para simbolizar as quantidades, são essas a seguir: I, V, X, L, C, D e M. Estes símbolos na verdade, foram derivados de símbolos mais antigos de outras civilizações, o que comprova a ligações entre eles. As formas que deram a origem aos números romanos são os seguintes: FIGURA 24: Números Romanos. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Assim pode-se exemplificar a forma que surgiu o L que representa o número 50: FIGURA 25: Modificação de Símbolos, o Surgimento do L que Vale 50. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Howard Eves (2004, p.38-39) escreveu: Pequenas pranchas, carregando uma fina camada de cera, juntamente com um estilo, compuseram o material de escrita dos romanos de cerca de dois milênios atrás. Antes e durante o Império Romano usaram-se freqüentemente tabuleiros de areia para cálculos simples e para traçados de figuras geométricas. E, obviamente, muito cedo se usaram pedras e argila para registros escritos. O meio de contornar essas dificuldades intelectuais e materiais foi a invenção do ábaco (do grego abax, “tabuleiro de areia”), que pode ser considerado o mais antigo instrumento de computação mecânico usado pelo homem.
  35. 35. 34 Sem sombra de dúvidas, além do método de contagem dos romanos serem simples de se compreender, o ábaco facilitou e ajudou a entenderem mais precisamente os cálculos numéricos a serem feitos em seus cotidianos, e com este, diminuir a necessidade de registrar ideogramas em pranchas, tabletas etc. Tiveram sim sua parte de contribuição onde simplificaram em comparação aos outros ideogramas criados anteriormente e/ou na mesma época, tipo assim, neste sistema era até então mais rápido e simples de realizar as contagens, lembrando que outra explicação é o fato de que naquele tempo não se usava nem praticava números muitíssimos grandes e nem o zero. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão (2008, p.23): Os Romanos, como é bem conhecido, também se valiam das letras do alfabeto para representar os números, num sistema de representação para 1-5-10 (I, V e X) seguidos das potências de 10-100, 1000 com o 500 intermediário, correspondentes às letras C, M e D, respectivamente. O sistema, como o sistema grego, é parcialmente aditivo, ou seja, as quantidades correspondentes aos símbolos devem ser somadas para que se chegue ao valor representado. No entanto, em agumas representações, deve-se efetuar uma subtração, como ocorre, por exemplo, em IV e XC que representam 4 e 90, respectivamente. Os romanos usavam um traço horizontal por cima das letras para que acontecesse a multiplicação por 1000, tornando-se mais fácil representar números maiores do que 4000. Vide o exemplo: FIGURA 26: Números Romanos Grandes. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Howard Eves (2004, p.32) afirmou: Como um exemplo final de um sistema de agrupamentos simples, ainda de base 10, figuram os familiares numerais
  36. 36. 35 romanos. Neste caso os símbolos básicos I, X, C, M para 1, 10, 10² e 10³ são acrescidos de V, L, D para 5, 50 e 500. Interessante este sistema numérico é que sendo decimal a contagem era fácel de ser interpretada, assim como traduzi-la e decifrá-la em comparação aos números utilizados atualmente. Na verdade, os números romanos são um dos mais fáceis de serem compreendidos, e na prática são mencionados e usados nas escolas. Determinado número caso alguém queira saber como fica a tradução em romanos, tem que ser utilizado o princípio subtrativo, na qual um caractere de uma unidade menor é colocado à esquerda do caractere de uma unidade maior, por exemplo, o número 4 em romanos é I(1) + V(5), que se entende por: 5 – 1 = 4, portanto a resposta é IV. 2.7. SISTEMA NUMÉRICO INDIANO (HINDU) A numeração indiana desde princípio é uma das mais parecidas com os números utilizados em todo o planeta atualmente. Torna-se claro que a contagem foi facilitada através da descoberta do sistema hindu de realizar contagens. Este sistema numérico, não utilizava figuras ou letras para representar números. Inicialmente era formado por 9 símbolos, que eram representados pelos algarismos do 1 ao 9. Boyer (1996) deixou claro que a civilização hindu é muito mais antiga que a da grega e romana, entretanto, não mais que a egípcia e mesopotâmica. Boyer (1996, p.145) disse: Deve-se notar que a referência a nove símbolos, em vez de dez, significa que os hindus ainda não tinham dado o segundo passo na transição para o moderno sistema de numeração – a introdução de uma notação para uma posição vazia, isto é, um símbolo zero. Não se sabe sequer se o número zero (diferente do símbolo para a posição vazia) surgiu em conjunção com os outros nove numerais hindus. É bem possível que o zero seja originário do mundo grego, talvez de Alexandria, e que tivesse sido transmitido à Índia depois que o sistema decimal posicional já estava estabelecido lá.
  37. 37. 36 Primeiramente os hindus não usavam o zero devido a dificuldade nas contagens sem o zero, e tempos mais tarde, a idéia do vazio impulsionou-lhes até criarem um símbolo para representá-lo graficamente, e então foi registrado o caractere 0, sendo um importante descobrimento na época. Depois da criação da representação para o zero, a contagem era em grupos de dez, desde que mantendo a posição dos números, tornando o sistema indiano tão importante, que facilitava os cálculos pela simplicidade da numeração. A civilização hindu usou um sistema decimal (com base 10) e que também é posicional (na qual importa a ordem de colocação dos algarismos, mantendo-os no lugar exato). É formado por 10 caracteres diferentes contendo o símbolo para o zero. Por exemplo, se pegarmos o número 8, sendo este fazendo parte de outros números: 80, 800, 8000 etc. A Figura 27 é uma amostra da numeração hindu: FIGURA 27: Números Hindus (Indianos). FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. Observando o trecho a seguir do Portal Klick Educação (2006): No século IX, viveu um matemático e astrônomo árabe chamado Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi. Ele escreveu o livro Sobre a Arte Hindu de Calcular, no qual explicava com detalhes o sistema numeral hindu. Traduzido para o latim, esse livro foi muito utilizado na Europa por quem queria aprender a nova numeração, que ficou conhecida como "a numeração de al-Khowarizmi". Com o tempo, o nome do matemático foi modificado para Algorismi. Em português, deu origem à palavra algarismo. (2000-2006, não paginado). Destaca-se sua publicação do livro “Sobre a arte hindu de calcular” com o grande intuito de querer promover e contar para o mundo todo esta novidade genial e importante. Através deste livro, os matemáticos de todo o planeta souberam sobre os estudos deste sábio e intelectual árabe. Os símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 foram conhecidos graças ao matemático Al-Khowarizmi. A descoberta pela necessidade e importância de se ter uma representação para o zero facilitou cada
  38. 38. 37 vez mais as negociações, compras, trocas, contagens de mercadorias e produtos e tudo mais entre regiões diversificadas. De acordo com Carl B. Boyer (1996. p.146): Embora as formas hindus medievais dos dez numerais sejam bastante diferentes das em uso hoje, os princípios do sistema estavam firmados. A nova numeração, que chamamos em geral o sistema hindu, é apenas uma nova combinação dos três princípios básicos, todos de origem antiga: 1) base decimal; 2) uma notação posicional; e 3) uma forma cifrada para cada um dos dez numerais. Nenhum desses se deveu originalmente aos hindus, mas presumivelmente foi devido a eles que os três foram ligados pela primeira vez para formar o moderno sistema de numeração. Por fim destaca-se a participação e contribuição deles para a história da matemática, especialmente pelo seu sistema numérico. Este sistema de numeração foi o que mais se aproximou dos números de algarismos de 1 ao 9, na qual são os que estão em uso nos dias atuais.
  39. 39. 38 3. SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO O moderno sistema numérico Indo-Arábico exemplifica os ideogramas praticados hoje em todo o planeta, ou seja, são os números globais e/ou universais em que praticamente quase o mundo inteiro conhece e ainda usa. Realmente várias civilizações, principalmente a indiana e a árabe, tinham forte vocação em criar e expandir seus conhecimentos numéricos de contagens. Segundo Howard Eves (2004, p.40): O sistema de numeração indo-arábico tem esse nome devido aos hindus, que o inventaram, e devido aos árabes, que o transmitiram para a Europa Ocidental. Os mais antigos exemplos de nossos atuais símbolos numéricos encontram-se em algumas colunas de pedra erigidas na Índia por volta do ano 250 a.C. pelo rei Açoka. Outros exemplos primitivos na Índia, se corretamente interpretados, encontram-se em registros talhados por volta do ano 100 a.C. nas paredes de uma caverna numa colina perto de Poona e em algumas inscrições de por volta do ano 200 d.C., gravadas nas cavernas de Nasik. Essas primeiras amostras não contêm nenhum zero e não utilizam a notação posicional. Contudo, a idéia de valor posicional e um zero devem ter sido introduzidos na Índia algum tempo antes do ano 800 d.C., pois o matemático persa Al-Khowârizmî descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro do ano 825 d.C. Os símbolos inventados pelos indianos e posteriormente divulgados pelos árabes são realmente os números que todos utilizam atualmente. Por isso, eles são chamados de sistema indo-arábico de numeração. Se formos fazer uma comparação com a numerologia egípcia e babilônica, a hindu é bem mais nova, porém, com grafia mais fácil de ser interpretada e entendida. Embora não se tenha uma explicação de datas de quando os caracteres numéricos foram introduzidos no velho continente (Europa). Mas certamente é graças aos indianos e árabes que a forma de contagem e das grafias dos numerais atuais praticados no planeta, tornouse um avanço considerável e de muita relevância para a matemática. Nas Figuras 28 e 29 têm-se as representações da evolução da escrita numérica dos algarismos indo-arábicos:
  40. 40. 39 FIGURA 28: Evolução dos Números Indianos Até Chegar nos Dias Atuais. FONTE: Site Matemática Society, [20--?]. FIGURA 29: Evolução dos Números Hindus Até Chegar nos Dias Atuais. FONTE: Portal Invivo Fiocruz, 2005. A evolução dos algarismos indo-arábicos ao longo do tempo também pode ser representada na Figura 30:
  41. 41. 40 FIGURA 30: Evolução dos Números Indo-Arábicos. FONTE: Site pt.enc.tfode, [20--?]. A seguir na Figura 31, os detalhes que também deram origem as atuais formas dos números Indo-Arábicos conhecidos em todo o globo: FIGURA 31: Evolução dos Números Indo-Arábicos. FONTE: Site 100% Matemática 5º ano, 2010.
  42. 42. 41 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Este Trabalho de Conclusão de Curso sobre os Sistemas Numéricos das Antigas Civilizações foi feito através de pesquisa bibliográfica com relação à história dos símbolos numéricos dos povos antigos egípcio, mesopotâmico, grego, maia, chinês, romano e indiano, na qual explica o desenvolvimento do sistema de registro numérico até o usado atualmente. Foi observado que no decorrer desse trabalho, que este tema desperta muita curiosidade em se conhecer como as antigas civilizações lidavam em seus cotidianos com os números, e de como o surgimento dos símbolos numéricos facilitou o registro dos cálculos e operações. Pode-se dizer que os egípcios apresentaram dificuldades em calcular com seus algarismos, uma vez que cada símbolo representava um número. Não muito tempo depois, os babilônicos criaram apenas dois símbolos diferentes para a representação dos números introduzindo algo de posicional ao sistema. Além disso, é usado o sistema sexagesimal com escrita ao estilo cuneiforme, ou seja, mais facilidade e rapidez nas contagens do que em relação aos egípcios. Já os gregos, introduziram as letras do próprio alfabeto na representação dos números. Isso facilitou o registro das operações, uma vez que ficava mais fácil memorizar. Os maias introduziram a idéia do vazio, registrando-o com um caractere. Na sua base vigesimal, o sistema numérico possuía três diferentes algarismos: o ponto, a barra e a concha. O processo de contagem era mais eficaz em relação aos sistemas egípcios, babilônicos e gregos. Ressalta-se que os chineses usavam um sistema multiplicativo que não demandava tantos símbolos, mas seus kanjis eram de escrita complicada de ser decifrada, pelo qual não permitiu sua ampla divulgação pelo mundo. O Império Romano utilizava 7 letras do alfabeto para representar a sua simbologia numérica, com base de potência 10, eles eram multiplicados e em outros casos, até subtraídos um do outro dependendo do número em questão que fosse escrito. Estes caracteres foram derivados de símbolos mais antigos de outras civilizações.
  43. 43. 42 O sistema hindu trouxe à tona a importância da posição dos números aliado com o principio multiplicativo, na qual sua numeração era representada por 10 algarismos distintos. Os árabes são os responsáveis por divulgarem esta numeração pela Europa ocidental, o que de fato alavancou o reconhecimento deste sistema o que fez denominá-lo de sistema indo-arábico. O sistema de numeração indo-arábico é multiplicativo e posicional, valendo destacar a simplicidade dos 10 algarismos diferentes (0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Este sistema é um aperfeiçoamento de algumas características dos sistemas de numeração anteriores. Neste sentido, a contribuição para o processo de ensino-aprendizagem da disciplina de matemática ocorre na aproximação da forma de se registrar o número com a história da humanidade, proporcionando um diálogo sobre a História da Matemática que instiga o discente em sua curiosidade sobre os números, de tal forma a fundamentar a concepção dos alunos do porquê que eles utilizam os algarismos 0, 1, 2, 3 etc.
  44. 44. 43 REFERÊNCIAS BOYER, CARL B. História da Matemática, 2 ed. vol. 5. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996. CONTADOR, PAULO ROBERTO MARTINS. Matemática, uma breve história, 3 ed. vol. 1. São Paulo: Livraria da Física, 2008. COMPARAÇÃO DAS NUMERAÇÕES DOS POVOS ANTIGOS (2011). Disponível em: <http://catiaosorio.wordpress.com/2009/11/14/sistemas-de-numeracao/>. Acesso em 16/04/2011. EXEMPLOS DE DIVERSOS SISTAMAS NUMÉRICOS DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES [20--?]. Disponível em: <http://matemativerso.wordpress.com/2010/01/>. Acesso em 23/04/2011. EVES, HOWARD. Introdução à História da Matemática, 1 ed. vol. 3. Campinas: Unicamp, 2004. EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS INDO-ARÁBICOS [20--?]. Disponível em: <http://pt.enc.tfode.com/Algarismo_indo-ar%C3%A1bico>. Acesso em 01/03/2011. EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS INDO-ARÁBICOS (2010). Disponível em: <http://cemporcentomat5.blogspot.com/2009/10/sistema-de-numeracaodecimal.html>. Acesso em 05/03/2011. EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS INDIANOS ATÉ CHEGAR NOS DIAS ATUAIS [20--?]. Disponível em: <http://www.matematicasociety.hpg.ig.com.br/sistema_de_numeracao.htm>. Acesso em 01/03/2011.
  45. 45. 44 EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS INDO-ARÁBICOS (2010). Disponível em: <http://cemporcentomat5.blogspot.com/2009/10/sistema-de-numeracaodecimal.html>. Acesso em 30/04/2011. GALVÃO, MARIA ELISA ESTEVES LOPES. História da Matemática: dos números à geometria, 1 ed. vol. 1. Osasco: Edifieo, 2008. MAPA E NÚMEROS MESOPOTÂMICOS (2005). Disponível em: <http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=976&query=simple&s earch_by_authorname=all&search_by_field=tax&search_by_headline=false&search_ by_keywords=any&search_by_priority=all&search_by_section=2%2C9%2C8%2C7% 2C6%2C17%2C3%2C5&search_by_state=all&search_text_options=all&sid=9&site=fi o&text=mesopotamia>. Acesso em 28/12/2010. MAPA DA CIVILIZAÇÃO CHINESA [20--?]. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_Antiga>. Acesso em 20/02/2011. MAPA DA GRÉCIA ANTIGA (2004). Disponível em: <http://www.igm.mat.br/homepage/joao_afonso/J.A/figuras_inhumas/grecia_antiga.jp g>. Acesso em 05/01/2011. MAPA E NUMERAÇÃO DO IMPÉRIO ROMANO (2005). Disponível em: <http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=983&query=simple&s earch%5Fby%5Fauthorname=all&search%5Fby%5Ffield=tax&search%5Fby%5Fhea dline=false&search%5Fby%5Fkeywords=any&search%5Fby%5Fpriority=all&search %5Fby%5Fsection=2%2C9%2C8%2C7%2C6%2C17%2C3%2C5&search%5Fby%5 Fstate=all&search%5Ftext%5Foptions=all&sid=9&site=fio&text=numera%E7%E3o+r omana>. Acesso em 28/10/2010. MAPA E NUMERAÇÃO MAIA (2005). Disponível em: <http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=973&query=simple&s earch_by_authorname=all&search_by_field=tax&search_by_headline=false&search_ by_keywords=any&search_by_priority=all&search_by_section=2%2C9%2C8%2C7%
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  47. 47. 46 NÚMEROS INDIANOS (2006). Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-88-10785782,00.html>. Acesso em 02/03/2011. SISTEMA NUMÉRICO EGÍPCIO (2005). Disponível em: <http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=972&query=simple&s earch_by_authorname=all&search_by_field=tax&search_by_headline=false&search_ by_keywords=any&search_by_priority=all&search_by_section=2%2C9%2C8%2C7% 2C6%2C17%2C3%2C5&search_by_state=all&search_text_options=all&sid=9&site=fi o&text=egito+antigo>. Acesso em 23/01/2011. SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO (2003). Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm>. Acesso em 15/03/2011. NÚMEROS EXTENSOS NA NUMERAÇÃO EGÍPCIA (2010). Disponível em <http://riwersun-math.blogspot.com/2010/10/antigo-sistema-de-numeracao.html>. Acesso em 28/05/2011. NÚMEROS MESOPOTÂMICOS (2005). Disponível em: <http://blogdaprofalenice.blogspot.com/2011/05/numeros-babilonicos-historiada.html>. Acesso em 03/06/2011. NÚMEROS GRANDES DO SISTEMA MAIA (2008-2011). Disponível em <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19543>. Acesso em 04/06/2011. NÚMEROS LONGOS MAIAS (2008). Disponível em: <http://loversofmath.blogspot.com/2008_06_01_archive.html>. Acesso em 04/06/2011.

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