UNIVERSIDADE COMUNIT´ARIA DA REGI˜AO DE CHAPEC´O 
- UNOCHAPEC´O 
´AREA DE CIˆENCIAS EXATAS E AMBIENTAS 
CURSO DE LICENCIAT...
JULIANA CRISTINA SCHNEIDER 
C´ALCULO INTEGRAL: SUA HIST´ORIA E SUAS 
APLICAC¸ ˜OES NAS DIVERSAS ´AREAS DO CONHECIMENTO 
Re...
Resumo 
Nossa pesquisa baseia-se em descrever parte da hist´oria do C´alculo Integral, identificando seus 
precursores, su...
Sum´ario 
Introdu¸c˜ao 2 
1. Hist´oria da C´alculo 5 
1.1 Bonavetura Cavallieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
Introdu¸c˜ao 
Desde o in´ıcio das civiliza¸c˜oes, a matem´atica vem evoluindo com a humanidade. Esta 
evolu¸c˜ao a passos ...
3 
Com intuito de responder ao questionamento acima, foram elencadas as seguintes quest˜oes 
de pesquisa: 
1. Como surgiu ...
4 
Para refor¸car nossa ideia, a Sociedade Brasileira de Educa¸c˜ao Matem´atica - SBEM, 
destaca a importˆancia do conheci...
1. Hist´oria do C´alculo 
Vamos iniciar esse trabalho fazendo um resgate hist´orico do C´alculo Diferencial e Integral. 
P...
6 
flecha jamais se move. 
Os primeiros problemas que apareceram na hist´oria do c´alculo se referiam a problemas 
de quad...
7 
Figura 1: Arquimedes. 
Fonte: Wikipedia 
Por volta do ano de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram `a Europa Ocident...
8 
Figura 2: Cavalieri. 
Fonte: Wipik´edia 
1.2 Johann Kepler 
Segundo Eves (2004), Johnann Kepler desenvolveu ideias base...
9 
Foi professor de Geometria por dois anos no Gresham College de Londres. Tornou-se o primeiro 
ocupante da c´atedra luca...
10 
1.4 John Wallis 
A hist´oria de John Wallis ´e contada por Eves (2004). Wallis nasceu em 1616 e foi con-siderado 
em d...
11 
surgiu com os estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibiniz que contribu´ıram de forma 
independente com a inve...
12 
Figura 6: Isaac Newton. 
Fonte: Wipik´edia 
tarde sobre ondulat´oria. Entre os anos de 1673 a 1683, dedicou-se a ´alge...
13 
Figura 7: Gottfried Wilhelm Leibiniz. 
Fonte: Wipik´edia 
Ele usou a primeira letra latina summa (soma), para indicar ...
14 
[...] que as pessoas calculassem a posi¸c˜ao futura de um corpo a partir de sua 
posi¸c˜ao atual e do conhecimento das...
2. C´alculo Integral 
2.1 O Ensino do C´alculo Integral 
Da parte hist´orica do C´alculo Integral explorada no cap´ıtulo a...
16 
Tamb´em Schlickman, Custodio e Silva (2008) enfatizam outros fatos, que relacionados ao 
C´alculo, o torna, junto com ...
17 
mplos s˜ao resolvidos em sala de aula a fim aplicar a teoria apresentada e exerc´ıcios e/ou prob-lemas 
s˜ao propostos...
18 
A simples memoriza¸c˜ao de conceitos matem´aticos n˜ao garante o reconheci-mento 
de uma situa¸c˜ao problema e da apli...
3. Aplica¸c˜oes de Integral nas Diversas 
´ Areas 
Este cap´ıtulo est´a voltado `as aplica¸c˜oes do C´alculo Integral em a...
20 
Economia 
Ex 3.1.1 Um produtor descobre que o custo marginal ´e de 3q2 ¡ 60q + 400 u.m. por 
unidade, quando q unidade...
21 
Resolu¸c˜ao: Fa¸ca P(x) denotar a popula¸c˜ao da cidade daqui a x meses. Ent˜ao a taxa de 
varia¸c˜ao da popula¸c˜ao e...
22 
S(t) = 
Z 
dS 
dt 
dt = 
Z 
(100 ¡ 20t)dt = 100t ¡ 10t2 + C, para alguma constante C. 
Precisamos descobrir a vari´ave...
23 
Usando integra¸c˜ao chegamos a s(t) = 
Z 
(¡22t + 66)dt = ¡11t2 + 66t + C2. 
Como s(0) = 0 seque que C2 = 0 e s(t) = ¡...
24 
limmax4xk!0 
Xn 
k=1 
f(x¤ 
k)4xk existir 
e n˜ao depender da escolha das parti¸c˜oes ou da escolha dos pontos x¤ 
k n...
25 
Economia 
Ex 3.2.1 Os economistas usam uma distribui¸c˜ao acumulada chamada curva de Lorenz para 
descrever a distribu...
26 
A ´area abaixo da curva ´e dada por 
Z 1 
0 
xdx. 
Assim, o coeficiente de desigualdade Cd ser´a: 
Cd = 
Z 1 
0 
[x ¡ ...
27 
Ex. 3.2.2 Suponha que daqui a x anos, um plano de investimentos estar´a gerando lucro a 
uma taxa de R1x = 50 + x2 u.m...
28 
(b) Para 0 · x · 15, a taxa na qual o lucro gerado no segundo plano excede o primeiro ´e 
de R2(x)¡R1(x) u.m. por ano....
29 
V (t) = 
5 
4¼ 
:(¡cosu)jt 
0 
V (t) = 
¡5 
4¼ 
cos 
µ 
2¼t 
5 
¶ 
+ 1 litros 
Referˆencia: 
STEWART (2009) p. 382. 
E...
30 
Ex. 3.2.5 A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para 
fabricar uma nova calculadora. A taxa de ...
31 
Resolu¸c˜ao: Temos que 
C(t) = 
1 
t 
µ 
A + 
Z t 
0 
f(s)ds 
¶ 
= A + 
F(t) 
t 
, que representa a m´edia de recondic...
32 
d = 
Z 3 
0 
v(t)dt 
d = 
Z 3 
0 
(t2 ¡ 2t)dt 
d = 
µ 
t3 
3 
¡ t2 
¶3 
0 
= 0 
Assim, em t = 3, a part´ıcula est´a na...
33 
Terra ter´a um peso de 
w(x) = 
2:4000:000:000 
x2 lb; x ¸ 4000. 
A uma distˆancia de x milhas do centro da Terra. Use...
34 
Resolu¸c˜ao: Seja V (t) o volume de ´agua que ´e bombeada para fora do tanque. Seja 
V (0) = 1000l o volume inicial, o...
35 
P(t) = 1000(1 ¡ e¡2) ¼ 8646; 65 d´olares 
Podemos calcular o valor futuro de duas maneiras. Usando o valor presente de...
36 
3.3 A Integral Como Varia¸c˜ao Total 
Segundo Stewart (2009), em decorrˆencia do Teorema Fundamental do C´alculo, pode...
37 
Ex. 3.3.2 Uma popula¸c˜ao de bact´erias tem inicialmente 400 bact´erias e cresce a uma taxa 
de r(t) = (450268)e1;1256...
38 
Q(t) = 1800 litros de ´agua escoados nos primeiros 10 minutos. 
Referˆencia: 
STEWART (2009) p. 374. 
Economia 
Ex. 3....
39 
Referˆencia: 
STEWART (2009)p.373 
Biologia 
Ex 3.3.6 Um ver˜ao ´umido est´a causando uma explos˜ao da popula¸c˜ao de ...
40 
escolher o melhor dos x¤i 
, como o ponto m´edio do intervalo. ´E 
ent˜ao que surge a Regra do 
Ponto M´edio. Vejamos:...
41 
Ei = 2 + 10 + 24 + 36 + 46 + 54 = 172 toneladas. 
As informa¸c˜oes contidas na tabela podem ser representada graficame...
42 
Medicina 
Ex. 3.4.2 Uma tomografia computadorizada produz vistas e sec¸c˜oes trasversais igualmente 
espa¸cadas de um ...
43 
4s = 
10:20 ¡ 0 
5 
= 40 cm, com 4s a varia¸c˜ao do espa¸co. 
Assim, 
Z 200 
0 
wds ' 40:(5; 8 + 26; 7 + 27; 3 + 20; 5...
44 
Q(t) ' 25000 + 
4 ¡ 0 
4 
(r(0; 5) + r(1; 5) + r(2; 5) + r(3; 5)) 
Q(t) ' 25000 + [1500 + 1700 + 750 ¡ 650] 
Q(t) ' 28...
45 
A = 4(6; 2 + 6; 8 + 5; 0 + 4; 8) 
A = 4(22; 8) 
A = 91; 2m2 
Referˆencia: 
STEWART (2009) p. 396. 
3.5 A Integral Impr...
46 
Definimos 
Z a 
¡1 
f(x)dx de maneira an´aloga. 
Vejamos as aplica¸c˜oes: 
Psicologia 
Ex. 3.5.1 Em um experimento psi...
47 
m(t) = m(0)ekt, onde m(0) ´e a massa inicial e k, uma constante negativa. A vida m´edia M de 
um ´atomo na substˆancia...
48 
Resolu¸c˜ao: Por conveniˆencia, vamos supor que o c´ırculo esteja centado na origem; nesse 
caso, sua equa¸c˜ao ser´a ...
49 
no corpo do paciente por t horas ´e f(t) = e 
¡t 
10 . Se o tratamento continua indefinidamente, 
aproximandamente qua...
50 
o j-´esimo subintervalo ainda presente em t = N ´e ' 400tje¡0;02(N¡t)4t. 
Assim, o montante de res´ıduos presente em N...
51 
Resolu¸c˜ao: Para encontrar o valor presente de uma doa¸c˜ao que gera $ 7 000 por ano 
durante N anos, divida o interv...
52 
Resolu¸c˜ao: O trabalho ´e dado por W = 
Z b 
a 
F(t)dt. 
Neste caso, podemos definir o trabalho W por: 
W = 
Z 1 
R 
...
53 
Z +1 
¡1 
p(x)dx = 1 e p(x) ¸ 0 para todo x. 
Essa fun¸c˜ao deve ser n˜ao-segativa, pois sua integral sempre resulta e...
54 
f(x) = 
8>< 
>: 
0; se t · 0 
0; 2e¡t=5; se t · 0 
Ent˜ao a probabilidadae de a liga¸c˜ao ser atendida no primeiro min...
55 
de uma lˆampada: 
(i) queimar durante as primeiras 800 horas. 
(ii) funcionar por mais de 800 horas. 
(b) Qual a media...
56 
3.7 A Integral Definida Como M´edia 
Para Hoffmann e Brandley (1999), existem situa¸c˜oes pr´aticas onde nos interessa...
57 
Economia 
Ex. 3.7.1 Suponha que C(t) representa o custo di´ario para refrigerar sua casa, medido 
em reais por Z dia, ...
58 
O custo di´ario ´e dado por 
C(t) = E(t):0; 03 
C(t) = 600:0; 03 
C(t) = 18 d´olares por dia. 
Referˆencia: 
THOMAS (2...
59 
N(t) = 97 carros por minutos. 
Referˆencia: 
ANTON (2007) p. 480. 
Ex. 3.7.4 Por v´arias semanas, o departamento de es...
60 
C(2160) = 
1 
3 ¡ 0 
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(700 ¡ 400e¡0;5t)dt 
C(2160) = 
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0 
C(2160) = 
1 
3 
(2100 + 8...
61 
Referˆencia: 
THOMAS (2002) p. 394. 
(c) Fun¸c˜ao de Fresnel. 
´E 
assim conhecida em homenagem ao f´ısico francˆes Au...
62 
Resolu¸c˜ao: O m´etodo da dilui¸c˜ao do contraste ´e usado para medir a capacidade card´ıaca. 
O contraste (corante) ´...
63 
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Ent˜ao, a capacidade card´ıaca ´e dada por 
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Referˆencia: 
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  1. 1. UNIVERSIDADE COMUNIT´ARIA DA REGI˜AO DE CHAPEC´O - UNOCHAPEC´O ´AREA DE CIˆENCIAS EXATAS E AMBIENTAS CURSO DE LICENCIATURA EM MATEM´ATICA C´ALCULO INTEGRAL: SUA HIST´ORIA E SUAS APLICAC¸ ˜OES NAS DIVERSAS ´AREAS DO CONHECIMENTO JULIANA CRISTINA SCHNEIDER Chapec´o - SC, 2010
  2. 2. JULIANA CRISTINA SCHNEIDER C´ALCULO INTEGRAL: SUA HIST´ORIA E SUAS APLICAC¸ ˜OES NAS DIVERSAS ´AREAS DO CONHECIMENTO Relat´orio de pesquisa apresentado `a UNOCHAPEC´O como parte dos requisitos para aprova¸c˜ao na disci-plina de Pesquisa II, sob orienta¸c˜ao da Professora Lucia Menoncini. Chapec´o - SC, Jul. 2010
  3. 3. Resumo Nossa pesquisa baseia-se em descrever parte da hist´oria do C´alculo Integral, identificando seus precursores, sua evolu¸c˜ao e rela¸c˜ao com o avan¸co tecnol´ogico, bem como mostrar as aplica¸c˜oes do C´alculo Integral nas diversas ´areas do conhecimento. Destacamos a importˆancia de conhecer a aplicabilidade do C´alculo Integral para entender os seus conceitos e assim poder contribuir para despertar a motiva¸c˜ao por parte dos acadˆemicos para o estudo desta tem´atica. O C´alculo Integral ´e ensinado nos cursos de gradua¸c˜ao de diversas ´areas, como na Matem´atica, na F´ısica, nas Engenharias, entre outras. S˜ao tantas defini¸c˜oes, teoremas, e diversas maneiras de re-solver esses c´alculos, que dependendo da forma metodol´ogica como eles s˜ao abordados, podem gerar questionamentos quanto a sua aplicabilidade. Assim, o objetivo deste trabalho ´e identi-ficar algumas destas aplica¸c˜oes nas diferentes ´areas do conhecimento, seguido da resolu¸c˜ao das mesmas. Palavras-chaves: Integrais, c´alculo, aplica¸c˜oes.
  4. 4. Sum´ario Introdu¸c˜ao 2 1. Hist´oria da C´alculo 5 1.1 Bonavetura Cavallieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Johann Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Isaac Baron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 John Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Gottfried Wilhelm Leibiniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. C´alculo Integral 15 2.1 O Ensino do C´alculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Aplica¸c˜oes de Integral nas Diversas ´ Areas 19 3.1 A integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 A integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 A Integral Como Varia¸c˜ao Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 A Integral Via Regra do Ponto M´edio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 A Integral Impr´opria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6 A Integral Como Fun¸c˜ao Densidade da Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7 A Integral Definida Como M´edia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.8 Fun¸c˜oes Definidas Como Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
  5. 5. Introdu¸c˜ao Desde o in´ıcio das civiliza¸c˜oes, a matem´atica vem evoluindo com a humanidade. Esta evolu¸c˜ao a passos largos deixou para tr´as uma sociedade de subsistˆencia e deu origem a uma era capitalista. A matem´atica que at´e ent˜ao era usada para resolver situa¸c˜oes reais espec´ıficas do homem passou a ser uma ferramenta capaz de contribuir para a resolu¸c˜ao de problemas em diferentes ´areas do conhecimento. Foi ent˜ao que surgiu a necessidade de sistematizar, organizar e resolver tais problemas, os quais possibilitaram o surgimento e o desenvolvimento de ramos importantes da matem´atica como o C´alculo Integral. O C´alculo Integral, atrav´es de seus conceitos e resultados, consegue resolver diversas situa¸c˜oes-problema do dia a dia, e em diferentes ´areas como na matem´atica, na ecologia, na cibern´etica, na administra¸c˜ao, na economia, na f´ısica e na medicina. Talvez por este vasto campo de aplica¸c˜oes se justifique a introdu¸c˜ao e estudo do C´alculo Integral em muitos cursos de gradua¸c˜ao. Enquanto componente curricular, o C´alculo Integral em determinados momentos ´e abor-dado de forma te´orica e abstrata, descontextualizado e desprovido de significados, como afirma a Sociedade Brasileira de Matem´atica, SBEM (2002, p. 6). Tratado desta maneira, ele pode contribuir para que os acadˆemicos n˜ao compreendam os conte´udos e passem a questionar a aplicabilidade de seus conceitos e f´ormulas, n˜ao conseguindo assim, conquistar compreender a importˆancia de tais conte´udos. Diante desse fato surge a seguinte quest˜ao de pesquisa: Qual a aplicabilidade do C´alculo Integral nas diversas ´areas do conhecimento?
  6. 6. 3 Com intuito de responder ao questionamento acima, foram elencadas as seguintes quest˜oes de pesquisa: 1. Como surgiu e evoluiu o C´alculo Integral? 2. Quais os principais precursores do C´alculo Integral? 3. De que forma o conhecimento da aplicabilidade do C´alculo Integral pode melhorar o desempenho acadˆemico? 4. Que ´areas utilizam o C´alculo Integral para provar suas teorias? O objetivo geral deste trabalho consiste em estudar a hist´oria e o surgimento do C´alculo Integral, e explorar as suas aplica¸c˜oes em diferentes ´areas do conhecimento. Quanto aos obje-tivos espec´ıficos, temos: 1. Compreender como o C´alculo Integral surgiu e evoluiu no decorrer dos tempos; 2. Conhecer os principais precursores do C´alculo Integral; 3. Entender como a aplicabilidade do C´alculo Integral pode melhorar o desempenho acadˆemico em n´ıvel de gradua¸c˜ao; 4. Identificar ´areas do conhecimento que utilizam o C´alculo Integral para provasr suas teo-rias. O C´aculo Integral ´e um tema que pode ser bastante explorado na tentativa de res-ponder a questionamentos da nossa realidade. No entanto, se tratado de forma mecˆanica, apenas com a aplica¸c˜ao do algoritimo, pode ocasionar a falta de vis˜ao das aplica¸c˜oes, gerando uma desmotiva¸c˜ao ao ensino, por parte dos acadˆemicos. Muitas pesquisas tem sido realizadas no sentido de melhorar esses aspectos. Existem pesquisadores e educadores buscando novas alternativas para c´alculo com intuito de qualificar o ensino e o desempenho dos acadˆemicos.
  7. 7. 4 Para refor¸car nossa ideia, a Sociedade Brasileira de Educa¸c˜ao Matem´atica - SBEM, destaca a importˆancia do conhecimento hist´orico e da aplicabilidade dos conte´udos matem´a-ticos, particularmente para o acadˆemico que pretende ser um educador em Matem´atica: Esse corpo de conhecimentos matem´aticos - conceitos espec´ıficos, defini¸c˜oes, conven¸c˜oes, procedimentos, paradigmas de investiga¸c˜ao dessa ´area de conheci-mento - devem ser selecionados e abordados de forma a possibilitar ao professor em forma¸c˜ao, conhecimento amplo, consistente e articulado da Matem´atica, colocando em destaque aspectos de sua constru¸c˜ao hist´orica, suas aplica¸c˜oes em outras ´areas, os principais m´etodos utilizados por matem´aticos ao longo dos tempos, os desafios atuais dessa ´area de conhecimento e as pesquisas matem´aticas em desenvolvimento (SBEM 2002, p. 14). De modo geral, o C´alculo Integral ´e um componente curricular que merece aten¸c˜ao tanto por parte do professor que planeja suas aulas como pelos acadˆemicos, pois segundo Junior (2006, p. 87), ”os conhecimentos do C´alculo Integral podem contribuir para que o aluno tenha ferramentas para resolver problemas de diferentes ´areas do conhecimento”. Entendendo que o C´alculo Integral ´e uma importante ferramenta que dispomos e que em alguns momentos n˜ao sabemos ou n˜ao compreendemos sua aplica¸c˜ao, e defendendo a necessi-dade de conhecer as constru¸c˜oes do conhecimento ao longo dos tempos como aporte te´orico, inicialmente buscamos informa¸c˜oes acerca do surgimento e evolu¸c˜ao do C´alculo Integral, co-nhecendo a vida e o trabalho dos seus principais precursores. Tais informa¸c˜oes est˜ao contidas no Cap´ıtulo 1 deste trabalho. No Cap´ıtulo 2, direcionamos nossa aten¸c˜ao para entender um pouco sobre o ensino e a aprendizagem dos conte´udos, uma vez que a aplica¸c˜ao do C´alculo Integral vem ao encontro de justificar o porquˆe de estudar tal assunto. Na sequˆencia, formamos o Cap´ıtulo 3, composto pelas aplica¸c˜oes do C´alculo Integral. Aqui, buscamos enunciar alguns conceitos e resultados do C´alculo Integral e identificar algumas ´areas que utilizam-se destes para resolu¸c˜ao de quest˜oes espec´ıficicas, bem como selecionamos e resolvemos tais situa¸c˜oes.
  8. 8. 1. Hist´oria do C´alculo Vamos iniciar esse trabalho fazendo um resgate hist´orico do C´alculo Diferencial e Integral. Para tanto contamos com a contribui¸c˜ao de alguns autores. Entre eles destacamos Boyer (1974), o qual aponta que calcular, no passado, significava fazer contas por meio de seixos. Segundo ele a palavra calcular tem sua origem do latim, do diminutivo de calx, que significa pedra. J´a na idade m´edia, no s´eculo XVII, surgem os conceitos mais formais para o c´alculo, os quais definem conceitos que surgiram a mais de dezessete anos antes na nossa era. O s´eculo XVII foi extremamente produtivo para o c´alculo, comenta Eves (2004), pois foi um per´ıodo onde se fizeram grandes e vastas pesquisas em diversas ´areas. O autor afirma ainda que para se falar da hist´oria do c´alculo, precisamos voltar at´e o s´eculo V a.C, na Gr´ecia antiga, mesmo que a maior parte da hist´oria se situe no s´eculo XVI. Em seu livro, Eves (2004), come¸ca falando sobre os Paradoxos de Zen˜ao. Para o autor foi o fil´osofo Zen˜ao de El´eia (450 a.C) que chamou a aten¸c˜ao para que se observassem as dificuldades l´ogicas ocultas em paradoxos que tiveram forte influˆencia na matem´atica. Os dois paradoxos do qual cita o autor s˜ao: Dicotomia e a Flecha. O primeiro trata que se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, ent˜ao o movimento ´e imposs´ıvel, pois, para percorrˆe-lo, ´e preciso antes alcan¸car seu ponto m´edio, antes ainda alcan¸car o ponto que estabelece a marca de um quarto do seu segmento e assim por diante, ad infinitum. Segue-se, ent˜ao, que o movimento jamais come¸car´a. O segundo paradoxo, a flecha, afirma que se o tempo ´e formado de instantes atˆomicos indivis´ıveis, ent˜ao uma flecha em movimento est´a sempre parada, posto que em cada instante ela esteja numa posi¸c˜ao fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a
  9. 9. 6 flecha jamais se move. Os primeiros problemas que apareceram na hist´oria do c´alculo se referiam a problemas de quadratura, com os processos de medi¸c˜ao de terras e ´areas. Uma das contribui¸c˜oes mais antigas, segundo Eves (2004) se refere ao problema da quadratura do c´ırculo que foi dada por Ant´ıfon, que era contemporˆaneo de S´ocrates. Ant´ıfon acreditava que por sucessivas duplica¸c˜oes do n´umero de lados de um pol´ıgono regular inscrito num c´ırculo, a diferen¸ca entre o c´ırculo e o pol´ıgono por fim exaurir-se-ia. Ant´ıfon, continha aqui o m´etodo da exaust˜ao grego. O m´etodo da exaust˜ao ´e creditado a Eudoxo (c. 370 a.C), ainda: O m´etodo admite que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente e sua base ´e a proposi¸c˜ao: Se uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte n˜ao menor que a sua metade, do restante subtrai-se uma parte n˜ao menor que a sua metade, e assim por diante, se chegar´a por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma esp´ecie. (EVES 2004, p. 419). Boyer (1974) nos coloca que o m´etodo da exaust˜ao ´e creditado a Eudoxo, mas tamb´em ´e conhecido como m´etodo de Arquimedes: [...] Arquimedes atribuiu a Eudoxo a primeira prova satisfat´oria de que o vol-ume do cone ´e um ter¸co do volume do cilindro de mesma base e mesma altura, o que parece indicar que o m´etodo da exaust˜ao vem de Eudoxo. (BOYER, 1974, p. 67). Arquimedes descobriu que a ´area da regi˜ao limitada por uma par´abola cortada por uma corda qualquer, ´e igual a 4/3 da ´area do triˆangulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Ele utilizou o problema da exaust˜ao para determinar a ´area do c´ırculo e descobriu o n´umero ¼. Rocha (1986), aponta que foi com a busca de processos exatos ou mesmo aproximado de calcular a ´area em uma regi˜ao S limitada por uma curva fechada que deu a Arquimedes a gl´oria de ser considerado um dos mais importantes matem´aticos de todos os tempos. Segundo ele foi pelo m´etodo da exaust˜ao que Arquimedes conseguiu calcular a ´area de v´arios tipos de curvas. Nos seus trabalhos sobre ´areas e volumes, Arquimedes utilizou o m´etodo da exaust˜ao, pelo qual se aproxima a quantidade desejada pelas somas parciais de uma s´erie ou pelos termos de uma sequˆencia, conforme Boyer (1974).
  10. 10. 7 Figura 1: Arquimedes. Fonte: Wikipedia Por volta do ano de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram `a Europa Ocidental atrav´es de uma tradu¸c˜ao que foi achada em Constantinopla, de uma c´opia feita no s´eculo IX, de acordo com Eves (2004). Estas descobertas deram origem ao c´alculo. No entanto, o seu desenvolvimento prosseguiu gra¸cas as contribui¸c˜oes iniciais de personagens como Cavalieri, Barrow, Kepler, Wallis, Newton e Leibinz. Vejamos um pouco da contribui¸c˜ao de cada um desses personagens. 1.1 Bonavetura Cavallieri Bonaventura Cavallieri nasceu em Mil˜ao e aos 15 anos de idade foi aluno de Galileu. Trabalhou como professor de matem´atica na Universidade de Bolonha de 1629 at´e 1647, quando faleceu. Suas obras, de acordo com Eves (2004) abrangeram ´optica e astronomia e foi ele o re-spons ´avel pela introdu¸c˜ao dos logaritmos na Europa. A obra de sua autoria que mais o projetou foi Geometria Indivisibilibus publicada em 1635. Os princ´ıpios de Cavalieri representaram para a ´epoca e continuam at´e hoje, poderosas ferramentas para o c´alculo de volumes e ´areas.
  11. 11. 8 Figura 2: Cavalieri. Fonte: Wipik´edia 1.2 Johann Kepler Segundo Eves (2004), Johnann Kepler desenvolveu ideias baseadas em trˆes leis que de-screvem o movimento dos planetas em torno do Sol. Kepler intuitivamente descreveu o princ´ıpio da continuidade, onde os casos-limite eram cobertos por defini¸c˜oes mais gerais. Ele recorreu `a integra¸c˜ao para calcular ´areas envolvidas com a segunda lei do movimento planet´ario e tamb´em conseguiu calcular o volume de diversos s´olidos. Um dos seus trabalhos que foi muito discutido refere-se `a maneira correta de calcular o volume de barris de vinho. Figura 3: Johann Kepler. Fonte: Wipik´edia 1.3 Isaac Baron Como conta Eves (2004), Isaac Barrow nasceu em Londres em 1630. Barrow terminou seus estudos em Cambridge em 1648. Formaou-se em F´ısica, Matem´atica, Astronomia e Teologia.
  12. 12. 9 Foi professor de Geometria por dois anos no Gresham College de Londres. Tornou-se o primeiro ocupante da c´atedra lucasiana de Cambridge e em 1699 renunciou para se tornar o capel˜ao de Carlos II. Figura 4: Isaac Baron Fonte: Wipik´edia Seu trabalho mais importante foi Lectiones Opticae et Gemetricae. Este livro aborda um processo muito parecido com o processo moderno de diferencia¸c˜ao. Acredita-se que Barrow foi o primeiro a perceber que a integra¸c˜ao e a diferencia¸c˜ao s˜ao opera¸c˜oes inversas. Barrow faleceu em Cambridge no ano de 1677. Os primeiros passos de Barrow para a diferencia¸c˜ao partiram de problemas relativos ao tra¸cado de tangentes curvas e das determina¸c˜oes de m´aximos e m´ınimos. Para tanto, contou com as id´eias de Fermat, expostas em 1629. Este n˜ao publicou quase nada em vida, sendo que sua obra mais importante foi publicada ap´os a sua morte. Ele estudou muito sobre a geometria anal´ıtica e contribuiu para a determina¸c˜ao de pontos de m´aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes. Entre os precursores que contribu´ıram significativamente para o desenvolvimento e para a sistematiza¸c˜ao do c´alculo podemos ainda destacar John Wallis, Isaac Newton e Gottifried Wilhelm Leibiniz.
  13. 13. 10 1.4 John Wallis A hist´oria de John Wallis ´e contada por Eves (2004). Wallis nasceu em 1616 e foi con-siderado em dos matem´aticos mais capazes e originais de seu tempo. Seus trabalhos no campo da an´alise contribu´ıram muito nos estudos de Newton. Wallis foi um dos primeiros a discutir as cˆonicas como sendo curvas do segundo grau. O s´ımbolo 1 (infinito), surgiu ap´os os seus estudos. Ele obteve resultados para o c´alculo e seus m´etodos eram mais aritm´eticos do que geom´etricos. Wallis empenhou-se em determinar ¼ buscando uma express˜ao para ¼ buscando uma express˜ao para a ´area, ¼ 4 ,de um quadrante do c´ırculo x2 + y2 = 1. Isso equivale a calcular o limite R 1 0 (1 ¡ x2)( 1 2 )dx o que ele n˜ao tinha condi¸c˜oes de fazer diretamente, uma vez que desconhecia o teorema geral do binˆomio. [...] o que ele procurava era o valor interpolado dessa lei para n = 1 2 : (EVES, 2004, p. 432). As principais contribui¸c˜oes de Wallis para o c´alculo est˜ao relacionadas `a teoria da in-tegra ¸c˜ao. Foi Wallis quem explicou de maneira satisfat´oria o significado dos expoentes zero, negativos e fracion´arios. Figura 5: John Wallis. Fonte: Wipik´edia At´e aqui, j´a haviam sido descobertos e desenvolvidos muitos dos conceitos do c´alculo como a existˆencia do limite e conceitos de continuidade. O avan¸co tecnol´ogico estava acentuado e havia uma necessidade, segundo Eves (2004), da cria¸c˜ao do simbolismo geral como um conjunto de regras e procedimentos que tornasse o c´alculo manipul´avel e proveitoso. Essa sistematiza¸c˜ao
  14. 14. 11 surgiu com os estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibiniz que contribu´ıram de forma independente com a inven¸c˜ao do c´alculo. O autor afirma que a matem´atica criativa passou para um plano superior e a hist´oria da matem´atica elementar essencialmente terminou. Ap´os Arquimedes, s´o no s´eculo XVII, por volta de1670, ´e que surgiu o processo definitivo, com a inven¸c˜ao do C´alculo Integral, simultaneamente por Newton, na Inglaterra, e por Leibniz, na Alemanha. (ROCHA, 1986, p. 145). Muitos livros que tratam do c´alculo aponta que o mesmo passou por toda uma constru¸c˜ao do conhecimento e que foi ap´os os estudos de Newton e Leibniz que o c´alculo se tornou o que conhecemos hoje. Neste trabalho j´a falamos do desenvolvimento da matem´atica e de alguns de seus precursores. Por´em n˜ao falamos dos personagens mais ilustres dentro da evolu¸c˜ao do c´alculo integral e diferencial. Convido para conhecermos um pouco da vida de Newton e posteriormente da vida de Leibiniz. 1.5 Isaac Newton Isaac Newton nasceu na aldeia de Woolsthorpe, em 25 de dezembro de 1642. Permaneceu na escola at´e os dezoito anos de idade, ingressando, na sequˆencia, no Trinity College em Cam-bridge, onde come¸cou a ler sobre astrologia, o que despertou seu interesse na matem´atica. Com isso se interessou em ler as obras de Euclides, Descartes, Wallis e Kepler. Levando-o a escrever a sua pr´opria matem´atica. Primeiramente ele descobriu o teorema do binˆomio generalizado e depois o m´etodo dos fluxos, atualmente conhecido como c´alculo diferencial. Em 1665, devido a uma peste bubˆonica, a universidade de Cambridge precisou fechar at´e meados de 1667. Newton ent˜ao voltou para a sua cidade natal, onde teria desenvolvido o c´alculo. Interessou-se tamb´em pela F´ısica, realizando experiˆencias sobre ´optica e realizando teorias sobre a gravidade. Com a reabertura da universidade, Newton retorna e em 1669, assume o cargo de c´atedra lucasiana, no lugar Barrow, que renunciava. Foi em 1675 que Newton comunicou a Royal Society suas teorias sobre a luz e anos mais
  15. 15. 12 Figura 6: Isaac Newton. Fonte: Wipik´edia tarde sobre ondulat´oria. Entre os anos de 1673 a 1683, dedicou-se a ´algebra e a teoria das equa¸c˜oes. J´a em 1679, verificou a teoria da gravita¸c˜ao. Escreveu seu primeiro livro Principia no ver˜ao de 1685, escrevendo outros dois livros logo na sequˆencia. Em 1692, foi acometido de uma doen¸ca, que provocava dist´urbios mentais e que durou cerca de dois anos. Depois disso dedicou boa parte da sua vida em estudando qu´ımica, alquimia e teologia. Em 1696, foi inspetor da Casa da Moeda e em 1699 passou a ser diretor da institui¸c˜ao. J´a em 1703 foi eleito presidente da Royal Society, onde permaneceu at´e a sua morte. Newton faleceu em 1727, tendo 84 anos de idade. 1.6 Gottfried Wilhelm Leibiniz Leibiniz foi o grande gˆenio universal do s´eculo XVII e ”rival”de Newton quando se trata da inven¸c˜ao do c´alculo. Nasceu em 1646, em Leipzig. Aprendeu falar latim por conta pr´opria e aos doze anos dominava conhecimentos matem´aticos, te´ologos e filos´oficos. Foi nesta ´epoca que ele desenvolveu as primeiras ideias de sua obra Characterstica Generalis. Devido a sua pouca idade foi negado a ele o t´ıtulo de doutor em leis na Universidade de Leipzig. Em 1672, quando cumpria uma miss˜ao diplom´atica em Paris, Leibiniz exibiu uma m´aquina de calcular para a Royal Society. O s´ımbolo de um S alongado R (s´ımbolo atual) para a Integral ´e resultado de seus estudos.
  16. 16. 13 Figura 7: Gottfried Wilhelm Leibiniz. Fonte: Wipik´edia Ele usou a primeira letra latina summa (soma), para indicar uma soma de indivis´ıveis. As nota¸c˜oes que usamos ainda hoje para representar derivadas como dx/dy, sendo y = y(x) e integrais R f(x)dx surgiram atrav´es dos escritos de Leibiniz. Dedicou-se pelo resto da vida no servi¸co diplom´atico, falecendo em 1676, a servi¸co da corte de Hanover. At´e aqui falamos da parte hist´orica, dos fatores que contribu´ıram para o desenvolvimento do c´alculo. Mas afinal, o que ´e c´alculo? Thomas (2003, p. XV) define c´alculo como a ”matem´atica dos movimentos e das varia¸c˜oes”. Para ele, onde h´a movimento e for¸ca sendo empregadas, tamb´em existe o c´alculo. Thomas, afirma ainda que o c´alculo foi inventado inicialmente para atender `as necessidades matem´aticas - basicamente mecˆanicas - dos cientistas dos s´eculos XVI e XVII. O autor ainda explica que o c´alculo diferencial busca calcular as taxas de varia¸c˜ao, per-mitindo que as pessoas definissem os coeficientes angulares, calculassem a velocidade e a acel-era ¸c˜ao de corpos em movimento e determinassem os ˆangulos. Tamb´em, aproveita para ar-gumentar que o C´alculo Integral lidou com problemas de determinar as fun¸c˜oes a partir de informa¸c˜oes a respeito de sua taxa de varia¸c˜ao, possibilitando assim:
  17. 17. 14 [...] que as pessoas calculassem a posi¸c˜ao futura de um corpo a partir de sua posi¸c˜ao atual e do conhecimento das for¸cas que atuam sobre ele determinassem as ´areas de regi˜oes irregulares no plano, medissem o comprimento de curvas e determinassem o volume e a massa de s´olidos arbitr´arios. (THOMAS, 2003, p. XV). Boyer (1974) afirma que o pioneiro no desenvolvimento do C´alculo Diferencial e Integral foi Newton (1665-66) e que independentemente a isso, em (1673-76) Leibiniz, chega `as mesmas conclus˜oes. Os dois viam o c´alculo separadamente: Newton o via de forma mais geom´etrica, enquanto Leibniz o via de forma mais anal´ıtica. Os trabalhos de Leibniz sobre C´alculo Integral foram publicados em 1684. O nome C´alculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irm˜ao mais velho Jacques Bernoulli em 1690. O C´alculo de Newton foi sim-plesmente visto como derivadas ”reversas”, hoje conhecidas como Integrais. Na mesma ´epoca da publica¸c˜ao das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu o chamado m´etodo das fra¸c˜oes parciais. Sabe-se que primeiramente surgiu o C´alculo Integral e que depois surgiu o C´alculo Difer-encial. Por´em hoje eles s˜ao vistos como um sendo a opera¸c˜ao inversa. O s´eculo XVII foi um dos s´eculos mais produtivos na amplia¸c˜ao dos conceitos matem´aticos, gra¸cas, em grande parte, `as novas e vastas ´areas de pesquisa que nela se abriram. [...] ´E curioso que o desenvolvimento hist´orico do c´alculo seguiu a ordem contr´aria `a daquela dos textos e cursos b´asico sobre o assunto: ou seja, primeiro surgiu o c´alculo integral e s´o muito depois o c´alculo diferencial. (EVES, 2004, p. 417). Para o autor, a diferencia¸c˜ao originou-se de problemas relativos `as tangentes de curvas e a determina¸c˜ao de m´aximos m´ınimos. O c´alculo surgiu para atender uma necessidade de resolu¸c˜ao de problemas insol´uveis na ´epoca. Atualmente diversas ´areas do conhecimento utilizam dos conceitos do c´alculo integral e diferencial para provar ou explicar suas teorias.
  18. 18. 2. C´alculo Integral 2.1 O Ensino do C´alculo Integral Da parte hist´orica do C´alculo Integral explorada no cap´ıtulo anterior, percebe-se que ele se desenvolveu ao longo do tempo e n˜ao foi simplesmente uma descoberta momentˆanea. Muitos foram os seus precursores e muitas contribui¸c˜oes foram dadas `a sociedade. Assim, o desenvolvimento do C´alculo Integral est´a diretamente ligado ao contexto social, e apresenta uma importante rela¸c˜ao com a evolu¸c˜ao cient´ıfica e tecnol´ogica da sociedade. De acordo com Frescki e Pigatto (2009), nos s´eculos XVI e XVII, o c´alculo integral teve seu foco direcionado principalmente ao estudo do c´alculo da posi¸c˜ao futura de um corpo em rela¸c˜ao a sua posi¸c˜ao atual, conhecendo-se as for¸cas atuantes sobre ele; `a determina¸c˜ao de ´areas de figuras planas n˜ao-regulares, de seu volume e da massa de corpos s´olidos; assim como quest˜oes relativas ao comprimento de curvas. Estes estudos se voltavam `as tecnologias daquela ´epoca. No s´eculo atual, o estudo do C´alculo Integral continua relacionado, e porque n˜ao dizer fortemente relacionado, aos avan¸cos cient´ıficos e tecnol´ogicos. Neste contexto, Whipkey e Whip-key (apud SCHLICKMANN, CUSTODIO e SILVA, 2008, p. 32) afirmam que: a aplica¸c˜ao atual do C´alculo est´a presente nos problemas que afetam a hu-manidade, entre os quais podemos citar a constru¸c˜ao de modelos abstratos para o estudo de Ecologia de popula¸c˜oes, da Cibern´etica e seu impacto social sobre o homem, al´em das pr´aticas no campo da administra¸c˜ao, da economia e medicina.
  19. 19. 16 Tamb´em Schlickman, Custodio e Silva (2008) enfatizam outros fatos, que relacionados ao C´alculo, o torna, junto com as tecnologias, um ferramenta essencial para o mundo moderno, a saber: [...] a previs˜ao de tempo, fluxo de ar passando por um autom´ovel, representa¸c˜ao de imagem da medicina e estrutura do DNA, pois com os avan¸cos na ressonˆancia magn´etica ´e poss´ıvel verificar a estrutura de mol´eculas relacionadas com a du-plica ¸c˜ao do DNA, al´em do controle do comportamento ca´otico do cora¸c˜ao hu-mano, explora¸c˜ao do espa¸co profundo e alguns ainda arriscando modelar o futuro do mundo. (SCHLICKMAN, CUSTODIO E SIVA, 2008, p. 32-33). Esta rela¸c˜ao de car´ater cient´ıfico e tecnol´ogico, talvez seja um dos fatores res-pons ´aveis por introduzir e manter o C´alculo Integral no curr´ıculo de muitos cursos superiores. Assim, o C´alculo Integral tem por finalidade, em conjunto com as demais disciplinas, servir de base para que muitos conceitos espec´ıficos de cada curso de gradua¸c˜ao sejam desenvolvidos. No entanto, uma das exigˆencias do C´alculo ´e a necessidade de conhecimentos matem´aticos gerais. Neste sentido Stewart (2009, p. XVII) afirma que ”o sucesso no c´alculo depende em grande parte do conhecimento da matem´atica que precede o c´alculo: ´algebra, geometria anal´ıtica, fun¸c˜oes e trigonometria”. J´a Leithold (1994, p. 01) se direciona aos acadˆemicos que cursam C´alculo atestando que “”aprender C´alculo pode ser sua experiˆencia educacional mais empolgante e estimulante pois ´e a base para quase toda a Matem´atica e para muitas grandes realiza¸c˜oes no mundo moderno”. Entretanto, o ensino de C´alculo Integral baseado em m´etodos tradicionais pode se tornar um tema de m´edio ou dif´ıcil entendimento. Aqui, entende-se por forma tradicional aquela que utiliza o modelo cartesiano de curr´ıculo, centrado na exposi¸c˜ao te´orica e formal que enfatiza a memoriza¸c˜ao e a transmiss˜ao de conhecimento. Um modelo pedag´ogico bastante comum no ensino superior de matem´atica ´e aquele em que a apresenta¸c˜ao dos conte´udos ´e organizada nos moldes de sua estrura formal. Em particular, os conceitos s˜ao introduzidos a partir de sua defini¸c˜ao formal. [...] O comportamento esperado pelos professores ´e que os alunos sempre recorram `a defini¸c˜ao de conceito antes de dar a resposta, mas n˜ao ´e isso que se observa em geral. (ESCARLATE, p. 02). Quanto a este aspecto, Moraes e Mendon¸ca (2003, p. 02) destacam que em geral, ”um livro texto ´e normalmente adotado, aulas expositivas introduzem a teoria ao aluno, exe-
  20. 20. 17 mplos s˜ao resolvidos em sala de aula a fim aplicar a teoria apresentada e exerc´ıcios e/ou prob-lemas s˜ao propostos com o intuito de solidificar o conhecimento”. Skovsmose (2000), faz men¸c˜ao de que em algumas de suas observa¸c˜oes sobre o ensino da Matem´atica pode evidenciar que o ensino enquadra-se no “”paradigma do exerc´ıcio”, onde o professor apresenta id´eias e t´ecnicas matem´aticas e em seguida os alunos trabalham com exerc´ıcios selecionados. Geralmente estes exerc´ıcios, constantes nos livros did´aticos, tiveram sua formula¸c˜ao realizada por “”uma autoridade externa `a sala de aula”o que denota que a importˆancia ou relevˆancia dos exerc´ıcios n˜ao faz parte da aula. Para ele, desafiar o paradigma do exerc´ıcio, pode significar para alguns professores sair da “”zona de conforto”para a “”zona de risco”. Isso tudo porque historicamente o professor ´e visto como detentor de todo o saber e n˜ao como uma facilitador ou ainda como uma ”ponte”que permite a liga¸c˜ao entre o conte´udo cient´ıfico e o estudante. Na vis˜ao de D’Ambr´osio (1998, p. 69), o ponto central do ensino ´e a “”passagem do curr´ıculo cartesiano, estruturado previamente `a pr´atica educativa, a um curr´ıculo dinˆamico, que reflete o momento sociocultural e a pr´atica educativa inserida”. O curr´ıculo dinˆamico defendido por D’Ambr´osio pode ser alcan¸cado ao se reestruturar os m´etodos pedag´ogicos de ensino de C´alculo Integral, ou seja, pensar em novas alternativas metodol´ogicas, que contemplem os aspectos te´oricos e formais, mas que tamb´em tratem dos aspectos hist´oricos e evidenciem suas aplica¸c˜oes nas diferentes ´areas do conhecimento. Para Junior (2006) a abordagem de conceitos matem´aticos por meio de situa¸c˜oes-problema pode justificar o ensino, servir de motiva¸c˜ao, ou contribuir para o fortalecimento de conceitos ensinados. [...] a maioria das pessoas sente-se mais motivada ao estudo quando ´e capaz de perceber que o conhecimento adquirido ser´a ´util para sua vida. Portanto, acreditamos que partir de um problema para chegar a um conceito matem´atico ´e muito mais significativo para o aluno. (JUNIOR, 2006, p. 84). Ferruzzi (2003, p. 38) destaca a importˆancia de aplicar os conhecimentos matem´aticos e a necessidade de avaliar os resultados obtidos:
  21. 21. 18 A simples memoriza¸c˜ao de conceitos matem´aticos n˜ao garante o reconheci-mento de uma situa¸c˜ao problema e da aplica¸c˜ao dos conceitos necess´arios para solucion´a-la. ´E importante desenvolver nos alunos a capacidade de aplica¸c˜ao dos conhecimentos matem´aticos em situa¸c˜oes do dia-a-dia, e mais do que isso, ´e preciso que os estudantes desenvolvam a capacidade de refletir acerca dos resultados destas aplica¸c˜oes. De acordo com Frescki e Pigatto (2009, p. 05), “”´e de extrema importˆancia que os alunos, ao cursarem a disciplina de C´alculo, aprendam n˜ao s´o a resolver express˜oes ou equa¸c˜oes, mas que compreendam a sua finalidade aplicada `a realidade, resolvendo problemas que s˜ao de interesse social”. Para salientar a importˆancia de apresentar aplica¸c˜oes dos conte´udos do C´alculo, e, por-tanto, do C´alculo Integral, Ferruzzi (2003, p. 37) elenca: Uma das indaga¸c˜oes feitas pelos alunos, geralmente ´e sobre a falta de vis˜ao da aplicabilidade dos conte´udos matem´aticos estudados, em sua vida acadˆemica e futuramente em sua vida profissional. Geralmente as disciplinas com conte´udo matem´atico, entre elas o C´alculo, s˜ao tratadas de forma independente das dis-ciplinas espec´ıficas da ´area, provocando assim, a falta de vis˜ao de aplica¸c˜ao da Matem´atica em seu curso e possuem a caracter´ıstica da ˆenfase ser dada `as t´ecnicas de resolu¸c˜ao, n˜ao levando em conta a elabora¸c˜ao dos conceitos e ignorando as aplica¸c˜ao em cada ´area. De modo geral, o C´alculo Integral ´e uma ferramenta que proporciona a resolu¸c˜ao de in´umeros problemas do mundo moderno e possui aplica¸c˜oes em muitas ´areas do conhecimento, como na Matem´atica, na F´ısica, na Qu´ımica, na Psicologia, nas Engenharias, nas Ciˆencias Sociais, entre outras. Ent˜ao, mostrar a aplicabilidade do C´alculo Integral nos cursos superiores talvez seja um diferencial que contribua para minimizar as dificuldades no processo de aprendizagem e resgatar a motiva¸c˜ao em aprender conceitos relativos a este tema. Com este prop´osito, no cap´ıtulo seguinte ser˜ao exploradas aplica¸c˜oes do C´alculo Integral em diversas ´areas do conhecimento.
  22. 22. 3. Aplica¸c˜oes de Integral nas Diversas ´ Areas Este cap´ıtulo est´a voltado `as aplica¸c˜oes do C´alculo Integral em algumas ´areas do co-nhecimento. Para tanto, vamos primeiramente apresentar alguns conceitos relativos a integrais e em sequˆencia resolver algumas aplica¸c˜oes. 3.1 A Integral Indefinida Segundo afirma Stewart (2009), em virtude da rela¸c˜ao dada pelo Teorema Fundamental do C´alculo entre as fun¸c˜oes primitivas e integrais a nota¸c˜ao R f(x)dx ´e tradicionalmente usada para a primitiva de f e ´e chamada de integral indefinida. Portanto temos que: Z f(x)dx = F(x) significa que F0(x) = f(x). Segundo Flemming (1992, p. 329) podemos definir a Integral Indefida como: ”uma fun¸c˜ao F(x) ´e chamada uma primitiva da fun¸c˜ao f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x), se para todo x 2 I, temos F0(x) = f(x)”. Vejamos algunas aplica¸c˜oes de Integral Indefinida:
  23. 23. 20 Economia Ex 3.1.1 Um produtor descobre que o custo marginal ´e de 3q2 ¡ 60q + 400 u.m. por unidade, quando q unidades do produto s˜ao produzidas. O custo total de produzir as primeiras 2 unidades ´e de R$ 900,00. Qual ´e o custo total de produzir as primeiras 5 unidades? Resolu¸c˜ao: O custo marginal ´e a derivada da fun¸c˜ao custo total C(q). Assim temos C0(q) = 3q2 ¡ 60q + 400 e portanto C(q) deve ser a antiderivada (integral)dada por: C(q) = Z C0(q)dq = Z (3q2 ¡ 60q + 400)dq = q3 ¡ 30q2 + 400q + C, onde C ´e uma constante que precisamos encontrar. Sabendo que para 2 unidades o custo ´e R$ 900,00 ou seja, C(2) = 900, podemos encontrar o valor de C, fazendo 900 = (2)3 ¡ 30(2)2 + 400(2) + C, o que implica C = 212. Assim, C(q) = q3 ¡ 30q2 + 400q + 212. Agora podemos descobrir o custo de produ¸c˜ao para as primeiras 5 unidades: C(5) = (5)3 ¡ 30(5)2 + 400(5) + 212 C(5) = 1587; 00 Referˆencia: HOFFMANN e BRANDLEY (1999) p. 254. Crescimento Populacional Ex 3.1.2 Estima-se que daqui a x meses a popula¸c˜ao de uma certa cidade estar´a variando a uma taxa de 2 + 6 p x pessoas por mˆes. A popula¸c˜ao atual ´e de 5 000. Qual ser´a a popul¸c˜ao daqui a 9 meses?
  24. 24. 21 Resolu¸c˜ao: Fa¸ca P(x) denotar a popula¸c˜ao da cidade daqui a x meses. Ent˜ao a taxa de varia¸c˜ao da popula¸c˜ao em rela¸c˜ao ao tempo ´e a derivada dP dx = 2 + 6 p x. Logo, a fun¸c˜ao popula¸c˜ao P(x), ´e uma antiderivada de 2 + 6 p x, isto ´e, P(x) = Z dP dx dx = Z (2 + 6 p x)dx = 2x + 4x 3 2 + C, com C 2 R. Como precisamos determinar C, vamos considerar o fato de que em x = 0 a popu-la ¸c˜ao ´e 5000. Logo, 5000 = 2(0) + 4(0) 3 2 + C, o que resulta em C = 5000. Sendo assim, em 9 meses teremos uma popula¸c˜ao de P(9) = 2(9) + 4(27) + 5000 = 5126 pessoas. Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 254. Administra¸c˜ao Ex 3.1.3 Um varejista recebe uma encomenda de 10000 kg de arroz, que ser˜ao consumidos em um per´ıodo de 5 meses a uma taxa constante de 2000 kg por mˆes. Se os custos de ar-mazenamento s˜ao de 1 centavo por quilograma por mˆes, quanto o varejista pagar´a pelos custos de armazenamento nos pr´oximos 5 meses? Resolu¸c˜ao: Seja S(t) o custo de armazenamento total (em unidades monet´arias (u.m)) durante t meses. Como o arroz ´e consumido a uma taxa constante de 2000 quilogramas por mˆes, a quantidade de arroz no estoque ap´os t meses ´e de 10000 ¡ 2000t. Considerando os custos de armazenamento de 1 centavo por quilograma por mˆes, a taxa de varia¸c˜ao do custo de armazenamento em rela¸c˜ao ao tempo ´e: dS dt =( custo por kg)(n´umero de kg) = 0; 01(10000 ¡ 2000t) Segue-se que S(t) ´e a antiderivada de 0; 01(10000 ¡ 2000t) = 100 ¡ 20t, isto ´e,
  25. 25. 22 S(t) = Z dS dt dt = Z (100 ¡ 20t)dt = 100t ¡ 10t2 + C, para alguma constante C. Precisamos descobrir a vari´avel C. Como no instante em que o embarque chega (t = 0) o custo n˜ao existe, ent˜ao 0 = 100(0)¡10(0)2 +C, o que implica em C = 0 e a fun¸c˜ao dada por S(t) = 100t¡10t2. Ap´os 5 meses de armazenamento o custo ser´a S(5) = 100(5) ¡ 10(5)2 = 250; 00: Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 254. F´ısica Ex 3.1.4 Ap´os a aplica¸c˜ao dos freios, um carro desacelera a uma taxa constante de 22 p´es por segundo. Se o carro est´a viajando a 45 milhas por hora (66 p´es por segundo) no momento em que os freios s˜ao aplicados, que distˆancia ele percorre antes de parar por completo? Resolu¸c˜ao: Seja s(t) o deslocamento (distˆancia) do carro t segundos ap´os os freios serem aplicados. Porquanto o carro desacelera a 22 p´es por segundo, segue-se que a(t) = ¡22. Como a(t) = dv dt , ent˜ao integrando esta equa¸c˜ao encontramos: v(t) = Z ¡22dt = ¡22t + C1 Para calcular C1 note que v = 66 quando t = 0, de modo que 66 = v(0) = ¡22(0) + C1 e portanto, C1 = 66. Assim a velocidade no instante t ´e v(t) = ¡22t + 66. Em seguida, para encontrar o deslocamento s(t), vamos usar o fato de que ds dt = v(t) = ¡22t + 66.
  26. 26. 23 Usando integra¸c˜ao chegamos a s(t) = Z (¡22t + 66)dt = ¡11t2 + 66t + C2. Como s(0) = 0 seque que C2 = 0 e s(t) = ¡11t2 + 66t. Finalmente para encontrar a frenagem, note que o carro para quando v(t) = 0 e isto ocorre em t = 3, pois 0 = ¡22t + 66. Resolvendo esta equa¸c˜ao encontramos que o carro para ap´os 3 segundos de desa-celera ¸c˜ao e que nesse tempo ele percorreu s(3) = ¡11(3)2 + 66(3) = 99 p´es. Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999). p. 254. 3.2 A Integral Definida Anton (2007) coloca que a integral definida relaciona o conceito de ´area a ou-tros conceitos importantes, tais como comprimento, volume, densidade, probabilidade e tra-balho. J´a para Stewart (2009), problemas de ´areas e distˆancias servem para apresentar a integral definida, introduzindo a nota¸c˜ao sigma (que respresenta a soma de ´areas retangulares) sempre que necess´ario. Para ele os problemas de ´area e distˆanicas s˜ao utilizados para formar a ideia de integral definida, que ´e conceito b´asico do c´alculo integral. Para que possamos entender e utilizar os conceitos de integral definida, aproveitaremos a defini¸c˜ao de Anton (2007): Defini¸c˜ao Dizemos que uma fun¸c˜ao f ´e integr´avel em um intervalo fechado finito[a,b] se o limite
  27. 27. 24 limmax4xk!0 Xn k=1 f(x¤ k)4xk existir e n˜ao depender da escolha das parti¸c˜oes ou da escolha dos pontos x¤ k nos subintervalos. Neste caso, denotamos o limite pelo s´ımbolo Z b a f(x)dx = lim max4xk!0 Xn k=1 f(x¤ k)4xk que ´e denominado de integral definida de f de a at´e b. Os n´umeros a e b s˜ao denominados limite de integra¸c˜ao inferior e limite de integra¸c˜ao superior, respectivamente, e f(x) ´e denominado integrando. Para Stewart (2009, p. 345) o significado da defini¸c˜ao de integral ´e: Para todo n´umero " > 0 existe um inteiro N tal que j Z b a f(x)dx¡ Xn i=1 f(x¤ i )4x j< " para todo inteiro n > N e toda escolha de x¤i em [xi¡1; xi]. Um resultado importante da integral definida ´e o Teorema Fundamental do C´alculo (TFC). Flemming (1992, p. 368) lembra que ”o Teorema Fundamental do C´alculo nos permite relacionar as opera¸coes ˜de deriva¸cao ˜e integra¸cao”. ˜Isso porque conhecendo uma Z primitiva b de uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [a; b] ! R, podemos calcular a sua integral definida a f(t)dt. Formalmente, o TFC pode ser definido: Teorema 1 (Teorema Fundamental do C´alculo) Se f for cont´ınua sobre [a; b] e se F ´e uma primitiva de f neste intervalo, ent˜ao Z b a f(t)dt = F(b) ¡ F(a). Vamos ver algumas aplica¸c˜oes da integral definida:
  28. 28. 25 Economia Ex 3.2.1 Os economistas usam uma distribui¸c˜ao acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribui¸c˜ao de renda entre as fam´ılias em um dado pa´ıs. Tipicamente uma curva de Lorenz ´e definida no intervalo [0,1], tem extremidades (0,0) e (1,1) e ´e cont´ınua, crescente e cˆoncava para cima. Os pontos sobre essa curva s˜ao determinados classificando-se todas as fam´ılias pela renda e ent˜ao calculando a porcentagem de fam´ılias cuja renda ´e menor ou igual a uma porcentagem dada da renda total do pa´ıs. Por exemplo, o ponto(a=100; b=100) est´a sobre a curva de Lorenz se a% de fam´ılias recebe menos do que ou igual a b% da renda total. A igualdade absoluta da distribi¸c˜ao de renda ocorreria se a parte mais baixa a% das fam´ılias recebesse a% da renda e, nesse caso a curva de Lorenz seria a reta y = x. A ´area entre a curva de Lorenz e a reta y = x mede quanto a distribui¸c˜ao de renda difere da igualdade absoluta. O coeficiente de desigualdade ´e a raz˜ao da ´area entre a curva de Lorenz e a reta y = x para a ´area sob y = x (a) Mostre que o coeficiente de desigualdade ´e o dobro da ´area entre a curva de Lorenz e Z a reta y = x, isto ´e, mostre que o coeficiente de desigualdade Cd ´e definido por Cd = 1 2 0 [x ¡ L(x)]dx. A ´area entre a curva de Lorenz e a reta y = x ´e dada por Z 1 0 [x ¡ L(x)]dx.
  29. 29. 26 A ´area abaixo da curva ´e dada por Z 1 0 xdx. Assim, o coeficiente de desigualdade Cd ser´a: Cd = Z 1 0 [x ¡ L(x)]dx Z 1 0 xdx Cd = Z 1 0 [x ¡ L(x)]dx 1 2 Cd = 2 Z 1 0 [x ¡ L(x)]dx (b) A distribui¸c˜ao de renda para um certo pa´ıs est´a representada pela curva de Lorenz definida pela equa¸c˜ao L(x) = 5 12 x2 + 7 12 x. Qual ´e a porcentagem da renda total recebida pelas 50% das fam´ılias que recebem menos? Encontre o coeficiente de desigualdade. Usando que L(x) = 5 12 x2 + 7 12 x e que L(50%) = L(1=2), temos L(1=2) = 5 12 : 1 4 + 7 12 : 1 2 L(1=2) = 19 48 ' 0; 396. Ent˜ao o coeficiente de desigualdade Cd ser´a Cd = 2 Z 1 0 [x ¡ L(x)]dx = 2 Z 1 0 · x ¡ ( 5 12 x2 + 7 12 ¸ dx x) Cd = 2 Z 1 0 · x ¡ 5 12 x2 ¡ 7 12 x ¸ dx Cd = 5 36 Referˆencia: STEWART (2009) p. 374.
  30. 30. 27 Ex. 3.2.2 Suponha que daqui a x anos, um plano de investimentos estar´a gerando lucro a uma taxa de R1x = 50 + x2 u.m.(unidades monet´arias) por ano, enquando um segundo plano estar´a gerando lucro a uma taxa de R2x = 200 + 5x u.m. (unidades monet´arias) por ano. (a) Por quantos anos o segundo plano ser´a mais lucrativo que o primeiro? (b) Calcule o seu lucro l´ıquido excedente se vocˆe investir no segundo plano em vez de no primeiro pelo per´ıodo de tempo do item (a). (c) Interprete o lucro excedente no item (b) como uma ´area entre as curvas. Resolu¸c˜ao: Para ajudar a visualiza¸c˜ao da situa¸c˜ao, come¸camos esbo¸cando as curvas y = R1(x) e y = R2(x) como mostra a figura: (a) Como o gr´afico indica a taxa R2(x) na qual o segundo plano gera lucro ´e ini-cialmente maior que a taxa R1(x) na qual o primeiro plano gera lucro, o segundo plano ser´a mais lucrativo at´e que R1(x) = R2(x), isto ´e, at´e que 50 + x2 = 200 + 5x x2 ¡ 5x ¡ 150 = 0 (x ¡ 15)(x + 10) = 0 x = 15 anos (despreze x = ¡10)
  31. 31. 28 (b) Para 0 · x · 15, a taxa na qual o lucro gerado no segundo plano excede o primeiro ´e de R2(x)¡R1(x) u.m. por ano. Portanto, o lucro l´ıquido gerado durante o per´ıodo de 15 anos pelo segundo plano ´e dada pela integral definida Z 15 0 [R2(x) ¡ R1(x)]dx = Z 15 0 [(200 + 5x) ¡ (50 + x2)]dx Z 15 0 [R2(x) ¡ R1(x)]dx = Z 15 0 [150 + 5x ¡ x2]dx = 1678; 50 (c) Em termos geom´etricos, a integral definida que fornece o lucro l´ıquido excedente do item (b) ´e a ´area da regi˜ao sombreada da figura, entre as curvas y = R2(x) e y = R1(x) de x = 0 at´e x = 15. Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 282. Medicina Ex. 3.2.3 A respira¸c˜ao ´e c´ıclica ´e um ciclo completo que come¸ca pela inala¸c˜ao e acaba pela exala¸c˜ao, durante cerca de 5 s. A taxa m´axima do fluxo de ar para dentro dos pulm˜oes ´e e cerca de 0,5 L/s. Isso explica, em parte, por que a fun¸c˜ao f(t) = 1 2 sen(2¼=5) tem sido frequentemente usada para modelar a taxa de fluxo de ar para dentro dos pulm˜oes. Use esse modelo para encontrar o volume de ar inalado nos pulm˜oes no instante t. O volume de ar inalado para dentro dos pulm˜oes num tempo t qualquer ´e: V (t) = Z t 0 f(x)dx = Z t 0 1 2 sen( 2¼x 5 )dx (1) Chamando u = 2¼x 5 temos du = 2¼ 5 dx. Substituindo em (1), temos: V (t) = 1 2 Z t 0 senu: 5 2¼ du V (t) = 1 2 : 5 2¼ Z t 0 senudu
  32. 32. 29 V (t) = 5 4¼ :(¡cosu)jt 0 V (t) = ¡5 4¼ cos µ 2¼t 5 ¶ + 1 litros Referˆencia: STEWART (2009) p. 382. Ex. 3.2.4 O m´etodo da dilui¸c˜ao do contraste ´e usado para medir a capacidade card´ıaca com 6 mg de contraste. As concentra¸c˜oes de contraste, em mg/L, s˜ao modeladas por c(t) = 20te¡0;6t, 0 · t · 10, na qual t ´e medido em segundos. Calcule a capacidade card´ıaca. A capacidade card´ıaca ´e definida como F = A I , sendo A o contraste e I = Z t 0 C(t)dt. Calculando a integral I = Z t 0 C(t)dt = 20 Z 10 0 te¡0;6tdt Chamando u = t, du = dt, dv = e¡0;6t e v = ¡e¡0;6t 0; 6 , temos I = 20 µ ¡t 0; 6 e¡0;6t + 1 0; 6 Z 1 0 e¡0;6tdt ¶ I = 20 µ ¡t 0; 6 e¡0;6t ¡ 1 0; 36 e¡0;6t ¶ j10 0 I ' 20[(¡0; 04 ¡ 6; 88:10¡3) ¡ (0 ¡ 2; 77)] ' 54; 46 Logo, a capacidade card´ıaca ´e F = A I = 6 54; 46 ' 0; 11 L/seg ou 6,6 L/min Referˆencia: STEWART (2009) p. 524. Administra¸c˜ao
  33. 33. 30 Ex. 3.2.5 A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova calculadora. A taxa de produ¸c˜ao dessas calculadoras ap´os semanas ´e dx dy = 5000 µ 1 ¡ 100 (t + 10)2 ¶ calculadoras por semana. (Observe que a produ¸c˜ao tende a 5 000 por semana `a medida que passa o tempo, mas a produ¸c˜ao inicial ´e baixa, pois os trabalhadores n˜ao est˜ao familiarizados com as novas t´ecnicas.) Ache o n´umero de calculadoras produzidas do come¸co da terceira semana at´e o fim da quarta semana. Resolu¸c˜ao: O n´umero de calculadoras pode ser encotrado resolvendo: x(4) ¡ x(2) = Z 4 2 5000 µ 1 ¡ 100 (t + 10)2 ¶ dt x(4) ¡ x(2) = 5000 Z 4 2 (1 ¡ 100(t + 10)¡2)dt x(4) ¡ x(2) = 5000(t + 100(t + 10)¡1)42 x(4) ¡ x(2) = 4048 calculadoras. Referˆencia: STEWART (2009) p. 383. Ex. 3.2.6 Uma empresa possui uma m´aquina que se deprecia uma taxa cont´ınua f = f(t), onde t ´e o tempo medido em meses desde seu ´ultimo recodicionamento. Como cada vez em que a m´aquina ´e recondicionada incorre-se em um custo fixo A, a empresa deseja determinar o tempo ´otimo T (em meses) entre os recondicionamentos. (a) Explique porque Z 1 0 f(s)ds representa a perda do valor da m´aquina sobre o per´ıodo de tempo T desde o ´ultimo recondicionamento. Resolu¸c˜ao: Seja F(t) = Z t 0 f(s)ds. Do TFC temos, F0(t) = f(t) = taxa de deprecia¸c˜ao. Assim, F(t) representa a perda do valor no intervalo [0, t]. (b) Seja C = C(t) dado por C(t) = 1 t [A + Z 1 0 f(s)ds] o que representa C e por que a empresa que minimizar C?
  34. 34. 31 Resolu¸c˜ao: Temos que C(t) = 1 t µ A + Z t 0 f(s)ds ¶ = A + F(t) t , que representa a m´edia de recondicionamentos por unidade de tempo durante o intervalo [0, t], assumindo que s´o h´a uma revis˜ao naquele per´ıodo de tempo. A empresa deseja minimizar a m´edia de recondicionamentos. (c) Mostre que C em um valor m´ınimo nos n´umeros t=T onde C(T) = f(T). Resolu¸c˜ao: Usando o Teorema Fundamental do C´alculo e a regra da derivada do produto, temos: C0(t) = 1 t2 µ A + Z t 0 ¶ f(s)ds = 1 t f(t) C0(t) = 1 t (f(t) ¡ f(0)) = 1 t f(t) Vamos encontrar os pontos cr´ıticos, fazendo C0(t) = 0, ou seja tf (t) = A + Z t 0 f(s)ds f(t) = 1 t µ A + Z t 0 f(s)ds ¶ = C(t). Logo, C tem um valor m´ınimo em t = T, onde C(T) = f(T). Referˆencia: STEWART (2009) p. 366. F´ısica Ex. 3.2.7 Uma part´ıcula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante t ´e v(t) = t2 ¡ 2t m/s. (a) Encontre o deslocamento da part´ıcula no intervalo de tempo 0 · t · 3: Resolu¸c˜ao: Calculando o deslocamento
  35. 35. 32 d = Z 3 0 v(t)dt d = Z 3 0 (t2 ¡ 2t)dt d = µ t3 3 ¡ t2 ¶3 0 = 0 Assim, em t = 3, a part´ıcula est´a na mesma posi¸c˜ao que em t = 0. (b) Encontre a distˆancia total percorrida pela part´ıcula no intervalo 0 · t · 3. Resolu¸c˜ao: A velocidade pode ser escrita como v(t) = t2 ¡ 2t = t(t ¡ 2t), logo v(t) · 0 se 0 · t · 2 se 2 · t · 3. Desse modo, segue que a distˆancia total percorrida ´e d = Z 3 0 jv(t)jdt d = Z 2 0 ¡v(t)dt + Z 3 2 v(t)dt d = Z 2 0 ¡(t2 ¡ 2t)dt + Z 3 2 (t2 ¡ 2t)dt d = ¡ µ t3 3 ¡ t2 ¶2 0 + µ t3 3 ¡ t2 ¶3 2 d = 4 3 + 4 3 = 8 3 m. Referˆencia: ANTON (2007) p. 411. Astronomia Ex. 3.2.8 O peso de um astronauta (ou, mais precisamente, seu peso terrestre) ´e a for¸ca exercida sobre ele pela gravidade da Terra. `A medida que o astronauta se move para cima no espa¸co, a atra¸c˜ao gravitacional da Terra decresce e, portanto, o mesmo acontece com raio de 4.000 milhas (cerca de 6.400 km), ent˜ao, um astonauta que pesa 150 libras (cerca de 68 kg) na
  36. 36. 33 Terra ter´a um peso de w(x) = 2:4000:000:000 x2 lb; x ¸ 4000. A uma distˆancia de x milhas do centro da Terra. Use essa f´ormula para determinar o trabalho em p´es-libras necess´ario para elevar o astronauta a um ponto que est´a a 800 milhas acima da superf´ıcie da Terra. Como a Terra tem um raio de 4 000 milhas, o astronauta ser´a elevado para um ponto a 4 800 milhas do centro da Terra. Como 1 milha = a 5 280 p´es, o trabalho necess´ario para elev´a-lo ´e: W = Z 4800 4000 2400000000 x2 dx W = µ ¡2400000000 x ¶4800 4000 W = ¡500000 + 600000 W = 100000 milhas.lb W = (100000) milhas.lb x 5280 p´es/milhas W = 5; 28 x 108 p´es.lb Referˆencia: ANTON (2007) p. 485. Engenharia Ex. 3.2.9 ´Agua est´a sendo bombeada de um tanque a uma taxa de 5¡5e¡0;12t litros/minuto, onde t est´a em minutos a partir do instante em que a bomba foi ligada. Se o tanque continha 1000 litros de ´agua quando a bomba foi ligada, quanta ´agua resta no tanque uma hora depois?
  37. 37. 34 Resolu¸c˜ao: Seja V (t) o volume de ´agua que ´e bombeada para fora do tanque. Seja V (0) = 1000l o volume inicial, ou seja, o volume total do tanque antes de iniciar o bombeamento. Vamos calcular o volume de ´agua que saiu do tanque em 1 hora, ou seja, 60 minutos: V (60) = Z 60 0 (5 ¡ 5e¡0;12t)dt V (60) = µ 5t + 5 0; 12 e¡0;12t ¶60 0 V (60) ' (300 + 0; 031) ¡ (0 + 41; 67) V (60) ' 258; 36 litros Assim, restam 741,63 litros de ´agua aproximadamente no tanque, j´a que V (0)¡V (60) = 1000 ¡ 258; 36 = 741; 63 Referˆencia: HALLET (2004) p. 213. Economia Ex.3.2.10 Encontre os valores presente e futuro de um fluxo de renda constante de $ 1000,00 durante um per´ıodo de 20 anos, supondo que a taxa de juros de 10% ´e composta continuamente. Resolu¸c˜ao: O valor presente P(t) ´e encontrado utilizando a f´ormula P(t) = Z b a A(t)eidt, onde A(t) ´e o valor inicial e i a taxa de juros. O valor presente ser´a P(t) = Z 20 0 1000e¡0;1tdt P(t) = 1000 µ ¡e¡0;1t 0; 1 ¶20 0
  38. 38. 35 P(t) = 1000(1 ¡ e¡2) ¼ 8646; 65 d´olares Podemos calcular o valor futuro de duas maneiras. Usando o valor presente de $ 8646,65, segue que Valor futuro = 8646; 65e0;1(20) = 63890; 58 d´olares. A outra alternativa consiste em utilizar a f´ormula integral Valor futuro = Z 20 0 1000e0;1(20¡t)dt V (t) = Z 20 0 1000e2e¡0;1tdt V (t) = 1000e2 µ ¡e¡0;1t 0; 1 ¶20 0 V (t) = 10000e2(1 ¡ e¡2) ¼ 63890; 58 d´olares. Observe que o total depositado ´e de $ 1000,00 por ano por 20 anos, ou seja $ 20000,00. Os $ 43 895,58 adicionais do valor futuro prov´em dos juros recebidos. Referˆencia: HALLET (2004) p. 312. Aqui ´e importante destacarmos a teoria do valor presente que consiste em saber que valor deve ser depositado no banco hoje, por exemplo, para que ele produza um determinado valor num momento futuro. Por sua vez, o valor futuro de um pagamento ´e o valor desse acr´escimo, em outras palavras, poder´ıamos dizer que ´e o juro.
  39. 39. 36 3.3 A Integral Como Varia¸c˜ao Total Segundo Stewart (2009), em decorrˆencia do Teorema Fundamental do C´alculo, podemos ter um teorema que representa a taxa de varia¸c˜ao de y = F(x) em rela¸c˜ao a x e F(b) ¡ F(a) que ´e a varia¸c˜ao em y quando x varia de a at´e b. Teorema 2 (Teorema da Varia¸c˜ao Total - TVT) A integral de uma taxa de varia¸c˜ao ´e a varia¸c˜ao total: Z b a f(x)dx = F(b) ¡ F(a) Vejamos algumas aplica¸c˜oes: Biologia Ex 3.3.1 Uma colmeia com uma popula¸c˜ao inicial de 100 abelhas cresce a uma taxa de n’(t) abelhas por semana. O que 100 + Z 15 0 n0(t)dt representa? Resolu¸c˜ao: Z 15 0 n0tdt = n(15) ¡ n(0). Como n(0) ´e a popula¸c˜ao inicial de abelhas, ent˜ao n(0) = 100. Assim, P(t) = Z 15 0 n0tdt = n(15) ¡ 100 representa o aumento da popula¸c˜ao de abelhas nas 15 primeiras semanas. Ent˜ao, P(t) = 100 + Z 15 0 n0tdt = n(15) representa a popula¸c˜ao total de abelhas depois de 15 semanas. Referˆencia: STEWART (2009) p. 373.
  40. 40. 37 Ex. 3.3.2 Uma popula¸c˜ao de bact´erias tem inicialmente 400 bact´erias e cresce a uma taxa de r(t) = (450268)e1;1256t bact´erias por hora. Quantas bact´erias existir˜ao ap´os 3 horas? Resolu¸c˜ao: A f´ormula geral de r(t) ´e r(t) = aebt. Neste caso, a = 450268 e b = 1; 1256 e n(t) representa a popula¸c˜ao de bact´erias ap´os t horas. Como r(t) = n0(t), ent˜ao n(t) = Z 3 0 r(t)dt = n(3) ¡ n(0) o que expressa a popula¸c˜ao total ap´os 3 horas. Sabendo que a popula¸c˜ao inicial ´e de 400, isto ´e, n(0) = 400, temos n(3) = 400 + Z 3 0 450268e1;1256tdt n(3) = 400 + µ 450268 1; 1256 e1;1256t ¶3 0 n(3) ' 11:311:877 bact´erias. Referˆencia: STEWART (2009) p. 382. Engenharia Ex. 3.3.3 A ´agua escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de r(t) = 200 ¡ 4t litros por minutos, onde 0 · t · 50. Encontre a quantidade de ´agua que escoa do taque durante os primeiros 10 minutos. Resolu¸c˜ao: Como r(t) ´e a taxa de escoamento da ´agua, usando o TVT, temos com o tempo t variando de 0 a 10: Q(t) = Z 10 0 r(t)dt Q(t) = Z 10 0 (200 ¡ 4t)dt Q(t) = (200t ¡ 2t2)10 0
  41. 41. 38 Q(t) = 1800 litros de ´agua escoados nos primeiros 10 minutos. Referˆencia: STEWART (2009) p. 374. Economia Ex. 3.3.4 A fun¸c˜ao custo marginal C0(x) foi definida como a derivada da fun¸c˜ao custo. Se o custo marginal para produzir x metros de um tecido ´e C0(x) = 5 ¡ 0; 008x + 0; 000009x2 (medido em d´olares por metro) e o custo fixo ´e C(0) = $ 20000; 00, use o Teorema da Varia¸c˜ao Total para achar o custo de produzir as primeiras 2 mil unidades. Resolu¸c˜ao: C(2000) ¡ C(0) = Z 2000 0 C0(x)dx; sendo C(x) a fun¸c˜ao custo. Sendo o custo fixo C(0) = 20000; 00, ent˜ao C(2000) = 20000 + Z 2000 0 (5 ¡ 0; 008x + 0; 000009x2)dx C(2000) = 20000 + (5x ¡ 0; 004x2 + 0; 000003x3)2000 0 C(2000) = 38000 unidades monet´arias. Referˆencia: STEWART (2009) p. 523. Ex. 3.3.5 Sendo a fun¸c˜ao marginal R0(x) como a derivada da fun¸c˜ao rendimento R(x), onde x ´e o n´umero de unidades vendidas. O que Z 5000 1000 R0(x)dx representa? Resolu¸c˜ao: Temos que Z 5000 1000 R0(x)dx = R(5000)¡R(1000), que reprensenta o aumento no rendimento quando a venda varia de 1000 a 5000 unidades.
  42. 42. 39 Referˆencia: STEWART (2009)p.373 Biologia Ex 3.3.6 Um ver˜ao ´umido est´a causando uma explos˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos em uma cidade tur´ıstica. O n´umero de mosquitos aumenta a uma taxa estimada de 2200 + 10e0;8t por semana (com t medido em semanas). Em quanto aumenta a popula¸c˜ao de mosquitos entre a quinta e a nona semana do ver˜ao? Resolu¸c˜ao: n(9) ¡ n(5) = Z 9 5 ¡ 2200 + 10e0;8t¢ dt Seja n(t) o n´umero de mosquitos na semana t. Assim como queremos encontrar o aumento da popula¸c˜ao entre t = 5 e t = 9, temos: n(9) ¡ n(5) = µ 2200t + 10 0; 8 e0;8t ¶9 5 n(9) ¡ n(5) = µ 2200:9 + 10 0; 8 e0;8:9 ¶ ¡ µ 2200:5 + 10 0; 8 e0;8:5 ¶ n(9) ¡ n(5) ' 24860 mosquitos. Referˆencia: STEWART (2009) p. 524. 3.4 A Integral Via Regra do Ponto M´edio Sterwart (2009) afirma que frequentemente escolhemos um espa¸co amostral x¤i , como extremidade direita do i-´esimo intervalo, porque isso ´e conveniente para o c´alculo do limite. Mas se o prop´osito for encontrar uma aproxima¸c˜ao para uma integral, se torna conveniente
  43. 43. 40 escolher o melhor dos x¤i , como o ponto m´edio do intervalo. ´E ent˜ao que surge a Regra do Ponto M´edio. Vejamos: Regra do Ponto M´edio Z b a f(x)dx ¼ Xn i=1 f(xi)4x = 4x[f(x1) + ::: + f(xn)] onde 4x = b ¡ a n e xi ´e ponto m´edio de [xi¡1; xi]. Vejamos as aplica¸c˜oes: Geografia Ex. 3.4.1 Suponha que um vulc˜ao esteja em errup¸c˜ao e que as leituras da taxa r(t) com que materiais s´olidos s˜ao lan¸cados na atmosfera sejam as dadas na tabela. O tempo t ´e medido em segundos e a unidade para r(t) ´e toneladas por segundo. t 0 1 2 3 4 5 6 r(t) 2 10 24 36 46 54 60 (a) Dˆe estimativas superior e inferior para a quatidade Q(6) do material proveniente da errup¸c˜ao ap´os 6 segundos. Resolu¸c˜ao: Usando o TVT, temos que a quatidade de materiais s´olidos lan¸cados na atmosfera ´e dada por: Q(6) ¡ Q(0) = Z 6 0 r(t)dt = Q(6), pois Q(0) = 0. a) A estimativa superior Es para Q(6) ´e dada pelos valores m´aximos em cada subintervalo n, com n = 2; :::6. Assim temos: Es = 10 + 24 + 36 + 46 + 54 + 60 = 230 toneladas. Analogamente, a estimativa inferior Ei, para Q(6) ser´a:
  44. 44. 41 Ei = 2 + 10 + 24 + 36 + 46 + 54 = 172 toneladas. As informa¸c˜oes contidas na tabela podem ser representada graficamente por Figura 8: Leituras das taxas de erup¸c˜ao. Fonte: Elaborado pela autora (b) Use a regra do ponto m´edio para estimar Q(6). Resolu¸c˜ao: Usando a Regra do Ponto M´edio e n = 3, temos: 4t = 6 ¡ 0 3 = 2 Q(6) = Z 6 0 r(t)dt Q(6) ' 2:(r(1) + r(3) + r(5)) Q(6) = 2:(10 + 36 + 54) Q(6) = 200 toneladas. Referˆencia: STEWART (2009) p. 374.
  45. 45. 42 Medicina Ex. 3.4.2 Uma tomografia computadorizada produz vistas e sec¸c˜oes trasversais igualmente espa¸cadas de um ´org˜ao humano, as quais fornecem inform¸c˜oes sobre esse ´org˜ao que de outra maneira s´o seriam obtidas por cirurgia. Suponha que uma tomografia computadorizada de um f´ıgado humano moste sec¸c˜oes transversais espa¸cadas por 1,5. O f´ıgado tem 15 cm de comprimento e as ´areas das sec¸c˜oes tansversais, em cent´ımetros quadrados, s˜ao 0, 18, 58, 79, 94, 106, 117, 128, 63, 39 e 0. Use a Regra do Ponto M´edio para estimar o volume do tronco. Resolu¸c˜ao: Usando a regra do ponto m´edio, sabendo que h´a 10 subintervalos de tamanho 1,5 cm, vamos usar n 2 = 10 2 = 5 subparti¸c˜oes. Assim, o volume do f´ıgado pode ser aproximado por V = Z 15 0 A(x)dx, onde A(x) ´e a ´area do f´ıgado. V ' 3(A(1; 5) + A(4; 5) + A(7; 5) + A(10; 5) + A(13; 5)) V = 3(18 + 79 + 106 + 128 + 39) V = 1110cm3 Referˆencia: STEWART (2009) p. 406. Engenharia Ex. 3.4.3 ´E mostrada a se¸c˜ao transversal da asa de uma avi˜ao. As medidas da espessura da asa a cada 20 cent´ımetros s˜ao 5,8, 20,3, 26,7, 29,0, 27,6, 27,3, 23,8, 20,5, 15,1, 8,7 e 2,8. Use a Regra do Ponto M´edio para estimar a ´area da se¸c˜ao trasversal da asa. Resolu¸c˜ao: Temos 10 intervalos de 20 cm cada. Logo, tomando n = 5:
  46. 46. 43 4s = 10:20 ¡ 0 5 = 40 cm, com 4s a varia¸c˜ao do espa¸co. Assim, Z 200 0 wds ' 40:(5; 8 + 26; 7 + 27; 3 + 20; 5 + 8; 7) Z 200 0 wds ' 3660 cm2 Referˆencia: STEWART (2009) p. 396. Ex. 3.4.4 H´a um fluxo de ´agua para dentro e para fora de um tanque de armazenamento. A seguir, temos um gr´afico que mostra a taxa de troca r(t) do volume de ´agua no tanque, em litros por dia. Se a quantidade de ´agua no tanque no instante de tempo t = 0 ´e 25 000 litros, use a Regra do Ponto M´edio para estimar a quantidade de ´agua depois de 4 dias. Resolu¸c˜ao: A quantidade de ´agua ap´os 4 dias ´e: Q(t) = 25000 + Z 4 0 r(t)dt Q(t) ' 25000 +M4, onde M4 = m´edia de ´agua por dia. Assim, dividindo o intervalo [0, 4] em 4 parti¸c˜oes, temos: Q(t) = 25000 + Z 4 0 r(t)dt
  47. 47. 44 Q(t) ' 25000 + 4 ¡ 0 4 (r(0; 5) + r(1; 5) + r(2; 5) + r(3; 5)) Q(t) ' 25000 + [1500 + 1700 + 750 ¡ 650] Q(t) ' 28320 litros Portanto, a quantidade de ´agua ap´os o quarto dia ser´a de 28 320 litros aproximadamente. Referˆencia: STEWART (2009) p. 374. Ex. 3.4.5 As larguras (em metros) de uma piscina com o formato de rim foram medidas a intervalos de 2 metros, como indicado na figura. Use a Regra do Ponto M´edio para estimar a ´area da piscina. Vamos usar uma parti¸c˜ao n = 4. Como as medidas s˜ao indicadas de 2 em 2 metros, ent˜ao a varia¸c˜ao total 4x = b ¡ a n = 8:2 ¡ 0 4 = 4, sendo x a distˆancia. Assim, A = Z 16 0 wd(x)
  48. 48. 45 A = 4(6; 2 + 6; 8 + 5; 0 + 4; 8) A = 4(22; 8) A = 91; 2m2 Referˆencia: STEWART (2009) p. 396. 3.5 A Integral Impr´opria Hallet et al. (2004, p. 271) apresenta a integral impr´opria da seguinte maneira: Defini¸c˜ao: i) Suponha que f(x) ´e positiva para x ¸ a. Se limb!1 Z b a f(x)dx ´e um n´umero finito, dizemos que Z 1 a f(x)dx converge e definimos Z 1 a f(x)dx = lim b!1 Z b a f(x)dx. Caso contr´ario, dizemos que Z 1 a f(x)dx diverge.
  49. 49. 46 Definimos Z a ¡1 f(x)dx de maneira an´aloga. Vejamos as aplica¸c˜oes: Psicologia Ex. 3.5.1 Em um experimento psicol´ogico, descobre-se que a propor¸c˜ao de participantes que exigem mais do que t minutos para terminar determinada tarefa ´e dada por Z 1 t 0; 07e¡0;07udu. (a) Encontre a propor¸c˜ao de participantes que precisa de mais de 5 minutos para terminar a tarefa. Resolu¸c˜ao: vamos considerar P(u) = por¸c˜ao de participantes P(u) = Z 1 t 0; 07e¡0;07udu P(u) = limb!+1 Z b t 0; 07e¡0;07udu P(u) = lim (e¡0;07u)b5 b!+1 P(u) = lim b!+1 e¡0;07b + e¡0;07:5 P(u) ' 0; 70 ' 70% dos pacientes precisam de mais de 5 minutos para realizar a tarefa. Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 329. Qu´ımica Ex. 3.5.2 Uma substˆancia radioativa decai exponencialmente: a massa no tempo t ´e
  50. 50. 47 m(t) = m(0)ekt, onde m(0) ´e a massa inicial e k, uma constante negativa. A vida m´edia M de um ´atomo na substˆancia ´e M = k Z 1 0 tektdt. Para o is´otopo radiativo de carbono, C14, usado para a data¸c˜ao, o valor de k ´e ¡0; 000121. Calcule a vida m´edia de um ´atomo de C14. Resolu¸c˜ao: Vamos calcular a integral I = Z 1 o tektdt. Usando o m´etodo de integra¸c˜ao por partes, chamando u = t e dv = ektdt, temos I = lim b!+1 Z b o tektdt I = lim b!+1 µ t:ekt k ¶b 0 ¡ 1 k Z b 0 ektdt I = lim b!+1 µ t k ekt ¡ 1 k2 ekt ¶b 0 I = lim b!+1 µ b k ekb ¡ 1 k2 ¶ ¡ µ 0 + 1 k2 e0 ¶ I = lim b!+1 b k ekb ¡ 1 k2 ekb ¡ 1 k2+ I = 1 k2 , usando L’Hospital e considerando k < 0. Voltando a integral M = kI, temos que M = k: ¡1 k2 = ¡1 k = ¡1 ¡0; 000121 ' 8264; 5 anos. Referˆencia: ´ STEWART (2009) p. 489. Matem´atica Ex. 3.5.3 Deduza a f´ormula para a circunferˆencia de um c´ırculo de raio r.
  51. 51. 48 Resolu¸c˜ao: Por conveniˆencia, vamos supor que o c´ırculo esteja centado na origem; nesse caso, sua equa¸c˜ao ser´a x2 +y2 = r2. Encontraremos o comprimento de arco da parte do c´ırculo que est´a no primeiro quadrante e, entao, ˜vamos multiplica-´lo por 4 para obter a circunferˆencia p total. Como a equa¸c˜ao do semic´ırculo superior ´e y = r2 ¡ x2, temos, a patir da f´ormula, que a circunferˆencia C ´e C = 4 Z r 0 p 1 + (dy=dx)2dx C = 4 Z r 0 s 1 + µ x p r2 ¡ x2 ¶2 dx C = 4r Z r 0 dx p r2 ¡ x2 Essa integral ´e impr´opria por causa da descontinuidade infinita em x = r, de modo que para calcularmos escrevemos: C = lim k!r¡ Z k 0 p r2 ¡ x2dx C = 4r lim k!r¡ h arcsen ³x r ´ik 0 C = 4r lim k!r¡ · arcsen µ k r ¶ ¡ arcsen0 ¸ C = 4r[arcsen1 ¡ arcsen0] C = 4r ³¼ 2 ´ = 2¼r. ¡ 0 Referˆencia: ANTON (2007) p. 575. Medicina Ex. 3.5.4 Um paciente de um hospital recebe 5 unidades intravenosas de uma certa droga por hora. A droga ´e eliminada exponencialmente, de modo que que a fra¸c˜ao que permanece
  52. 52. 49 no corpo do paciente por t horas ´e f(t) = e ¡t 10 . Se o tratamento continua indefinidamente, aproximandamente quantas unidades da droga estar˜ao no corpo do paciente a longo prazo? Resolu¸c˜ao: N(t) ´e o n´umero de unidades da droga que permanece no corpo do paciente e r(t) = 5 ´e a taxa da droga injetada no paciente por hora. Temos ent˜ao N(t) = Z +1 0 5e ¡t 10 dt N(t) = lim b!+1 5 Z b 0 e ¡t 10 dt N(t) = lim b!+1 ³ ¡5:10e ¡t 10 ´b 0 N(t) = lim b!+1 ¡50(e ¡b 10 ¡ 1) N(t) = 50 unidades da droga. Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 29. Economia Ex. 3.5.5 Estima-se que, daqui a t anos, uma determinada usina nuclear estar´a produzindo rejeito radioativo a uma taxa de f(t) = 400t libras por ano. O rejeito decai exponencialmente a uma taxa de 2% ao ano. O que acontecer´a com o estoque radioativo da usina a longo prazo? Resolu¸c˜ao: Para encontrar a quantidade de rejeito radioatvo presente ap´os N anos, divida o intervalo de N anos em n subintervalos iguais de comprimento 4t e fa¸ca tj denotar o in´ıcio do j-´esimo subintervalo. Ent˜ao, o montante de res´ıduo produzido durante o j-´esimo subintervalo ' 400tj4t. Como o rejeito decai exponencialmente a uma taxa de 2% ao ano, e como h´a (N ¡ tj) anos entre os instantes t = tj e t = N, seque-se que o montante de res´ıduos produzidos durante
  53. 53. 50 o j-´esimo subintervalo ainda presente em t = N ´e ' 400tje¡0;02(N¡t)4t. Assim, o montante de res´ıduos presente em N anos ser´a limn!1 Xn j=1 400tje¡0;02(N¡tj )4t = Z N 0 400te¡0;02(N¡t)dt limn!1 Xn j=1 400tje¡0;02(N¡tj )4t = 400e¡0;02N Z N 0 te0;02tdt O montante de rejeito radioativo presente a longo prazo ´e o limite desta express˜ao quando N tende ao infinito. Isto ´e: limn!1 Xn j=1 400tje¡0;02(N¡tj )4t = lim N!1 400e¡0;02N Z N 0 te0;02tdt limn!1 Xn j=1 400tje¡0;02(N¡tj )4t = lim N!1 400e¡0;02N(50te0;02t ¡ 2500e0;02t)jN0 limn!1 Xn j=1 400tje¡0;02(N¡tj )4t = lim N!1 400e¡0;02N(50Ne0;02N ¡ 2500e0;02N + 2500) limn!1 Xn j=1 400tje¡0;02(N¡tj )4t = lim N!1 400e¡0;02N(50N ¡ 2500 + 2500e¡0;02N) = 1 Isto ´e, a longo prazo a acumula¸c˜ao de rejeito radioativo da usina crescer´a indefinidamente. Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 327. Economia Ex. 3.5.6 Uma pessoa deseja fazer uma doa¸c˜ao para uma faculdade partiular e far´a uma retirada de $ 7 000 por ano, perpetuamente, de forma a sustentar a opera¸c˜ao do seu centro de computa¸c˜ao. Supondo que a taxa de juros anual permanecer´a fixa em 10% caitalizados continuamente, quanto deve a pessoa doar a faculdade? Isto ´e valor presente da doa¸c˜ao?
  54. 54. 51 Resolu¸c˜ao: Para encontrar o valor presente de uma doa¸c˜ao que gera $ 7 000 por ano durante N anos, divida o intervalo de N anos em n subintervalos iguais de comprimento 4t e denote por tj o in´ıcio do j-´esimo subintervalo. Ent˜ao Montante gerado durante o j-´esimo subinervalo ' 70004t. Valor presente do motante gerado durante j-´esimo subintervalo ' 7000e¡0;1tj4t. Assim, o valor presente da doa¸c˜ao no n-´esimo ano ser´a dado por limn!1 Xn j=1 7000e¡0;1tj4t = Z N 0 7000e¡0;1tj dt. Para encontrar o valor presente da doa¸c˜ao total, tome o limite desta integral quando N tende ao infinito. Isto ´e, V (t) = lim N!1 Z N 0 7000e¡0;1tdt V (t) = lim N!1 (¡70000e¡0;1t)N0 V (t) = lim N!1 (¡70000e¡0;1N ¡ 1) V (t) = 70000 d´olares. Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 326. F´ısica Ex. 3.5.7 Calcular o trabalho necess´ario para lan¸car um sat´elite de 1000 kg para fora do campo gravitacional. Sabendo que a Lei de Newton da Gravita¸c˜ao Universal afirma que dois corpos com massas m1 e m2 atraem um ao outro com uma for¸ca de F = Gm1:m2 r2 m1 ´e a massa da Terra (m1 = 5; 98x1024kg), m2 ´e a massa do sat´elite (m2 = 1000kg), R ´e o raio da Terra (R = 6; 37:106m) e G a constante gravitacional (G = 6; 67:10¡11N:m2=kg).
  55. 55. 52 Resolu¸c˜ao: O trabalho ´e dado por W = Z b a F(t)dt. Neste caso, podemos definir o trabalho W por: W = Z 1 R Gm1m2 r2 dr W = lim t!1 Z 1 R Gm1m2 r2 dr W = lim t!1 Gm1m2v µ ¡1 r ¶t R = W = lim t!1 Gm1m2 µ ¡1 t + 1 R ¶ W = Gm1m2 R . Substituindo os dados do problema temos W = 6; 67:10¡11:5; 98:1024:1000 6; 37:106 W ' 6; 26:1010J. Referˆencia: Stewart (2009) p.488, ex 64 3.6 A Integral Como Fun¸c˜ao Densidade da Probabilidade Supondo que desejamos saber como uma certa caracter´ıstica x, que pode ser altura, peso ou idade, est´a distribuida pela popula¸c˜ao. Para analisar a caracter´ıstica x, Hallet(2004) afirma que podemos utizar a fun¸c˜ao densidade, a qual pode ser definida da seguinte forma: Defini¸c˜ao A fun¸c˜ao p(x) ´e uma fun¸c˜ao densidade se a fra¸c˜ao da popula¸c˜ao para a qual x est´a entre a e b ´e igual a ´area sob o gr´afico de p entre a e b, ou seja, Z b a p(x)dx. A fun¸c˜ao densidade possui ´area m´axima quando atinge o valor unit´ario, isto ´e,
  56. 56. 53 Z +1 ¡1 p(x)dx = 1 e p(x) ¸ 0 para todo x. Essa fun¸c˜ao deve ser n˜ao-segativa, pois sua integral sempre resulta em uma fra¸c˜ao da popula¸c˜ao. Ela tamb´em ´e frequentemente usada para a aproxima¸c˜ao de f´ormulas. J´a a fun¸c˜ao densidade da probabilidade, como encontramos em Stewart(2009), surge com a an´alise de comportamento aleat´orio. Afinal podemos escolher aleatoriamente uma pessoa entre um grupo de pessoas, para um exame, por exemplo. Essa pessoa seria o que vamos chamar de vari´avel aleat´oria cont´ınua, uma vez que os valores que estar˜ao representados por essa pessoa fazem parte de um conjunto de n´umeros reais, embora possam ser medidos ou registrados apenas como um inteiro. Neste caso, podemos considerar que x ´e o n´umero que pegamos dentre um intervalo [a, b], ent˜ao: P(a · X · b) Cada vari´avel x aleat´oria cont´ınua x, tem uma fun¸c˜ao densidade de probabilidade f. Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de x estar entre a e b ´e encontrada pela integra¸c˜ao de f de a at´e b: P(a · x · b) = Z b a f(x)dx. Vejamos algumas aplica¸c˜oes: Economia Ex. 3.6.1 Suponha que o tempo m´edio de espera para um cliente ser atendido pelo funcion´ario da firma para a qual ele est´a ligando seja 5 minutos. (a) Calcule a probabilidadae de a liga¸c˜ao ser atendida no primeiro minuto. Resolu¸c˜ao: Temos que a m´edia da distribui¸c˜ao exponencial ´e ¹ = 5 min, e assim, sabemos que a fun¸c˜ao densidade de probabilidade ´e:
  57. 57. 54 f(x) = 8>< >: 0; se t · 0 0; 2e¡t=5; se t · 0 Ent˜ao a probabilidadae de a liga¸c˜ao ser atendida no primeiro minuto ´e P(0 · T · 1) = Z 1 0 f(t)dt P(0 · T · 1) = Z 1 0 0; 2e ¡t 5 dt = 0; 2(¡5) ³ e ¡t 5 ´1 0 P(0 · T · 1) = 1 ¡ e¡t 5 ' 0; 1813 Assim, cerca de 18% das liga¸c˜ao dos clientes s˜ao atendidas durantes o primeiro minutos. (b) Calcule a probabilidade do consumidor esperar mais que cinco minutos para ser atendido. Resolu¸c˜ao: A probabilidade de o consumidor esperar mais ue cinco minutos ´e P(T > 5) = Z 1 5 f(t)dt = Z 1 5 0; 2e ¡t 5 dt P(T > 5) = lim x!1 Z x 5 0; 2e ¡t 5 dt P(T > 5) = lim (e¡1 ¡ e x!1 ¡x 5 ) P(T > 5) = 1 e P(T > 5) ' 0; 368. Cerca de 37% dos consumidor esperam mais que cinco minutos antes de terem sua liga¸c˜ao atendida. Referˆencia: STEWART (2009) p. 528. Ex. 3.6.2 (a) O r´otulo de um tipo de lˆampada indica que ela tem uma vida ´util m´edia de 1 000 horas. ´E razo´avel modelar a probabilidade de falha dessas lˆampada por uma fun¸c˜ao densidade exponencial com m´edia ¹ = 1000. Use esse modelo para encontrar a probabilidade
  58. 58. 55 de uma lˆampada: (i) queimar durante as primeiras 800 horas. (ii) funcionar por mais de 800 horas. (b) Qual a mediana da durabilidade dessas lˆampadas? Resolu¸c˜ao: (a) A fun¸c˜ao densidade de probabilidadae ´e: f(t) = Z t 0 1 u :e ¡t u dt, com u a m´edia. Assim, resolvendo o primeiro item, temos: i) P(0 · x · 200) = Z 200 0 1 1000 e ¡t 1000 dt P(0 · x · 200) = ³ ¡e ¡t 1000 ´200 0 P(0 · x · 200) = e ¡1 5 + 1 P(0 · x · 200) ' 0; 181 ou seja, a probabilidade de queimar durante as primeiras 200 horas ´e de 18,10%. ii) P(x > 800) = Z 1 800 1 1000 e ¡t 1000 dt P(x > 800) = lim b!+1 Z 1 800 1 1000 e ¡t 1000 dt P(x > 800) = lim b!+1 ³ ¡e ¡t 1000 ´b 800 P(x > 800) = ¡e ¡b 1000 + e ¡800 1000 P(x > 800) ' 0; 449 isto ´e, a probabilidade de queimar ap´os 800 horas ´e de 44,9%. Referˆencia: STEWART (2009) p. 531.
  59. 59. 56 3.7 A Integral Definida Como M´edia Para Hoffmann e Brandley (1999), existem situa¸c˜oes pr´aticas onde nos interessa saber o valor m´edio de uma fun¸c˜ao cont´ınua em um intervalo. Hallet et al.(2004), por sua vez, destaca que o c´alculo da m´edia de n n´umeros pode ser efetuado somando-se os n´umeros e dividindo esta soma por n. O autor tamb´em questiona a possibilidade de encontrar o valor m´edio de uma fun¸c˜ao que varia continuamente. Assim, Hallet et al.(2004, p. 200) apresenta a seguinte integral como Valor M´edio de f de a at´e b. Valor m´edio de f de a at´e b = 1 b ¡ a Z b a f(x)dx. O Valor M´edio da fun¸c˜ao f tamb´em ´e conhecido como Teorema do Valor M´edio para Integrais. Vejamos algumas aplica¸c˜oes:
  60. 60. 57 Economia Ex. 3.7.1 Suponha que C(t) representa o custo di´ario para refrigerar sua casa, medido em reais por Z dia, onde t ´e o tempo meddo em dias e t = 0 corresponde a 1± de janeiro de 2001. 90 Interprete 0 C(t)dt e 1 90 ¡ 0 Z 90 0 C(t)dt. Resolu¸c˜ao: As unidades para a integral Z 90 0 C(t)dt s˜ao (reais/dia) x (dias) = reais. A integral representa o custo total, em reais, para refrigerar a sua casa, durante os 90 primeiros dias de 2001, isto ´e, durante os meses de janeiro, fevereiro e mar¸co. A segunda express˜ao ´e medida em (1/dias)(reais), ou reais por dia, as mesmas unidades de C(t). Ela representa o custo m´edio por dia para refrigerar sua casa durante os 90 primeiros dias de 2001. Referˆencia: HALLET (2004) p. 200. Ex. 3.7.2 Como atacadista, a Tracey Burr Distribuidores (TBD) recebe um carregamento de 1 200 caixas de barras de choolate a cada 30 dias. A TBD vende o chocolate para varejistas a uma taxa fixa, e t dias depois que um carregamento chega, seu estoque de caixas dispon´ıveis ´e I(t) = 1200 ¡ 40t, 0 · t · 30. Qual o estoque di´ario m´edio da TBD para 30 dias? Qual ser´a o custo di´ario de estocagem se o custo de estocagem por caixa ´e de $ 0,03 por dia? Resolu¸c˜ao: O estoque di´ario m´edio ´e encontrado resolvendo a integral: E(t) = 1 T Z t 0 I(t)dt E(t) = 1 30 Z 30 0 (1200 ¡ 40t)dt E(t) = 1 30 ¡ 1200t ¡ 20t2¢30 0 E(t) = 1 30 (36000 ¡ 18000) = 600 barras de chocolate
  61. 61. 58 O custo di´ario ´e dado por C(t) = E(t):0; 03 C(t) = 600:0; 03 C(t) = 18 d´olares por dia. Referˆencia: THOMAS (2002) p. 392. Engenharia Ex. 3.7.3 Uma engenharia de tr´afego monitora o trˆansito durante uma hora do hor´ario de pico da tarde. A partir de seus dados, ela estima que, entre as 4 horas e 30 minutos e `as 5 horas e 30 minutos a tarde, a taxa R(t) segundo a qual os carros entram em uma certa via expressa ´e dada pela f´ormula R(t) = 100(1 ¡ 0; 0001t2) carros por minuto, onde t ´e o tempo (em minutos) desde as 4 horas e 30 minutos. Encontre a taxa m´edia, em carros por minuto, segundo a qual os carros entram na via expressa entre as 4 horas e 30 minutos e `as 5 horas da tarde. Seja R(t) a taxa dada por R(t) = 100(1 ¡ 0; 0001t2). Usando o teorema do valor m´edio para integrais, temos: N(t) = 1 b ¡ a Z b a R(t)dt, com N(t) a taxa m´edia de carros por minuto. N(t) = 1 30 ¡ 0 Z 30 0 100(1 ¡ 0; 0001t2)dt N(t) = 1 30 :100 µ t ¡ 0; 0001 t3 3 ¶30 0 N(t) = 100 30 (30 ¡ 0; 9)
  62. 62. 59 N(t) = 97 carros por minutos. Referˆencia: ANTON (2007) p. 480. Ex. 3.7.4 Por v´arias semanas, o departamento de estradas de rodagem vem regis-trando a velocidadedo tr´afego em uma estrada a partir de um certo ponto. os dados sug-erem que, entre as 13h e 18h de um fim de semana normal, a velocidade do tr´afego no ponto ´e de aproximadamente S(t) = t3 ¡10; 5t2 +30t+20 milhas por hora, onde t ´e o n´umero de horas ap´os o meio-dia. Calcule a velocidade m´edia do tr´afego entre 13h e as 18h. Resolu¸c˜ao: A meta ´e encontrar o valor m´edio de S(t) no intervalo 1 · t · 6. Eis ent˜ao a velocidade m´edia Vm = 1 6 ¡ 1 Z 6 1 (t3 ¡ 10; 5t2 + 30t + 20)dt Vm = 1 5 µ 1 4 t4 ¡ 10; 5 3 ¶6 t3 + 15t2 + 20t 1 Vm = 1 5 (228 ¡ 31; 75) Vm = 39; 25 milhas por hora Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 318. Ex. 3.7.5 Ap´os t meses no trabalho, um empregado do correio pode classificar Q(t) = 700 ¡ 400e¡0;5t cartas por hora. Qual a taxa m´edia na qual o funcion´ario classifica as cartas durante os primeiros 3 meses de trabalho? C(2160) = 1 b ¡ a Z b a (700 ¡ 400e¡0;5t)dt
  63. 63. 60 C(2160) = 1 3 ¡ 0 Z 3 0 (700 ¡ 400e¡0;5t)dt C(2160) = 1 3 ¡ 700 ¡ 400e¡0;5t¢3 0 C(2160) = 1 3 (2100 + 800e¡1;5 ¡ (0 + 800)) C(2160) ' 1 3 (2278; 5 ¡ 800) C(2160) = 493 cartas por hora. Referˆencia: HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 321. 3.8 Fun¸c˜oes Definidas como Integrais Nesta se¸c˜ao vamos mostrar algumas fun¸c˜oes conhecidas no mundo, que s˜ao escritas na forma de integrais. (a) Fun¸c˜ao de Bessel de ordem zero. De acordo com Anton (2007), a fun¸c˜ao Jo definida abaixo ´e chamada de fun¸c˜ao de Bessel de ordem zero. Jo(x) = 1 ¼ Z ¼ 0 cos(xsent)dt (b) Regra de Leibiniz. Se f for cont´ınua em [a; b] e se u(x) e v(x) forem fun¸c˜oes diferenci´aveis de x cujos valores situam-se entre [a; b], ent˜ao d dx Z v(x) u(x) f(t)dt = f(v(x)) dv dx ¡ f(u(x)) du dx
  64. 64. 61 Referˆencia: THOMAS (2002) p. 394. (c) Fun¸c˜ao de Fresnel. ´E assim conhecida em homenagem ao f´ısico francˆes Augustin Fresnel (178-1827), famoso por seu estudo em ´optica, como afirma Stewart (2009). Essa fun¸c˜ao apareceu primeiramente na teoria de difra¸c˜ao das ondas de luz de Fresnel. Ela tamb´em tem sido aplicada no planjamento de autoestradas e ´e definida por: S(x) = Z x 0 sen ¼t2 2 dt. Referˆencia: STEWART (2009) p. 360. (d) Capacidade Card´ıaca. A capacidade card´ıaca pode ser definida pela integral F = A Z T 0 C(t)dt , onde A ´e a quantidade total de contraste e C(t) a concetra¸c˜ao deste. Vejamos um exemplo: A figura abaixo mostra o sistema cardiovascular humano. O sangue retorna do corpo pelas veias, entra no ´atrio direito do cora¸c˜ao e ´e bombeado para os pulm˜oes pelas art´erias pulmonares para a oxigena¸c˜ao. Ent˜ao volta para o ´atrio esquerdo por meio das veias pulmonares e dai circula para o resto do corpo pela aorta. A capacidade card´ıaca do cora¸c˜ao ´e o volume de sangue bombeado pelo cora¸c˜ao por unidade de tempo, isso ´e, a taxa de fluxo na aorta.
  65. 65. 62 Resolu¸c˜ao: O m´etodo da dilui¸c˜ao do contraste ´e usado para medir a capacidade card´ıaca. O contraste (corante) ´e injetado no ´atrio direito e escoa pelo cora¸c˜ao para a aorta. Uma sonda inserida na aorta mede a concentra¸c˜ao do contraste sa´ıda do cora¸c˜ao em intervalos regulares de tempo durante um intervalo [0; T], at´e que o contraste tenha terminado. Seja C(t) a concentra¸c˜ao do contraste no instante T. Se dividirmos [0; T] em subintervalos de igual 4t, ent˜ao a quantidade de contraste que circula pelo ponto de medi¸c˜ao durante o subintervalo de t = ti¡1 a t = ti ´e aproximadamente (concentra¸c˜ao)(volume) = C(ti)(F4t). em que F ´e a vaz˜ao (taxa de escoamento) que estamos tentando determinar. Ent˜ao, a quantidade total de contraste ´e aproximadamente Xn i=1 C(ti)F4t = F Xn i=1 C(ti)4t. Fazendo n ! 1, calculamos que a quantidade total de contraste ´e
  66. 66. 63 A = F Z T 0 C(T)dt. Ent˜ao, a capacidade card´ıaca ´e dada por F = A Z T 0 C(t)dt . Referˆencia: STEWART (2009) p. 522-523. (e) Lei da Radia¸c˜ao de Plank. A Lei da Radia¸c˜ao de Plank, muito utilizada nas engenharias e na f´ısica tamb´em pode ser definida por uma integral. A saber, I = Z 1 1 dx x5(e 1 x ¡1) . Referˆencia: HALLET (2004) p. 279.

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