1. Exercícios para OBM – 2ªfase (Nível 2 e 3)
Princípio das Gavetas de Dirichlet ou
Princípio das Casas dos Pombos
Ideia principal: Se existirem pelo menos K+1 pombos,
e somente K casas, pelo menos uma casa vai ter mais
do que um pombo.
Exemplo 1. Qual é o número mínimo de pessoas que
devemos reunir para que tenhamos certeza de que
entre elas há duas que fazem aniversário no mesmo
mês?
(Uma maneira um pouco mais formal de dizer o
mesmo é: se o número de elementos de um conjunto
finito A é maior do que o número de elementos de um
outro conjunto B, então uma função de A em B não
pode ser injetiva.)
Exemplo 2. Uma prova de concurso possui 10
questões de múltipla escolha, com duas alternativas
cada. Qual é o menor número de candidatos para o
qual podemos garantir que pelo menos dois deles
deram exatamente as mesmas respostas para todas
as questões?
Exemplo 3. Escolhem-se 5 pontos ao acaso sobre a
superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que
pelo menos um dos segmentos que eles determinam
tem comprimento menor ou igual a 2 .
Exercícios
1) Um agricultor possui quatro caixas para guardar
suas maçãs. Quantas maçãs ele deve ter para
que pelo menos em uma das caixas tenham 3
maçãs?
2) Em uma caixa há bolas de mesmo tamanho: 3
brancas, 4 vermelhas e 5 pretas. Uma pessoa, no
escuro, deve retirar n bolas de caixa e ter a
certeza de que, entre elas, existem três da
mesma cor. Qual o menor valor de n para que se
tenha essa certeza?
3) Quantos alunos (no mínimo) devemos ter em
uma sala para garantirmos que dois obtiveram a
mesma nota em um exame de 0 a 100?
4) Qual é o número mínimo de pessoas que deve
haver em um grupo para que se possa garantir
que neste grupo haja pelo menos 5 pessoas
nascidas no mesmo mês?
5) Uma sacola contém 200 bolas de cores variadas.
Destas, 20 são brancas, 30 são vermelhas, 50 são
azuis, 40 são verdes e 60 são pretas. Qual o
menor número de bolas que devemos retirar
dessa caixa, sem olhar as suas cores, para
termos a certeza de que retiramos, pelo menos,
5 bolas de mesma cor?
6) Numa cidade existem 10 milhões de pessoas.
Nenhuma delas possui mais do que 200 mil fios
de cabelo. Com esses dados, é correto afirmar
que, necessariamente,
(A) existem nessa cidade duas pessoas com
quantidades diferentes de fios de cabelo.
(B) o número médio de fios de cabelo por habitante
dessa cidade é maior do que 100 mil.
(C) somando-se os números de fios de cabelo de
todas as pessoas dessa cidade obtém-se
2 × 1012
.
(D) existem nessa cidade duas pessoas com o mesmo
número de fios de cabelo.
(E) existem nessa cidade pessoas sem nenhum fio de
cabelo.
7) (OBM Segunda fase – Nível 2) Dado o conjunto
{1, 2, 3 ... 18}, qual a menor quantidade de
números distintos que demos escolher para
termos certeza que há pelo menos 3 números
consecutivos entre os escolhidos?

2. Diversos
1) A sequência abaixo é formada com as letras da
palavra BRASIL.
A L B R I S A L B R I S A L B R I S A L B R ....
Mantendo a ordem em que as letras aparecem,
a letra que ocupa a 250ª posição é:
A) B B) R C) A
D) S E) I
2) A negação de “Nenhum atleta é gordo” é:
A) Há pelo menos um atleta gordo.
B) Alguns gordos são atletas.
C) Todos os atletas são gordos.
D) Todos os gordos são atletas.
E) Todos os atletas são magros.
3) (OBM – Segunda fase – Nível 2) Abel guardou
suas economias num cofre. Para não esquecer a
senha do cofre, ele resolve guardar as seguintes
pistas:
 É um número maior que 3001
 Tem exatamente 6 divisores
 É múltiplo de 5
Abel sabe que sua senha é o menor número que
satisfaz todas as pistas. Qual é a senha do cofre
de Abel?
4) Um bispo é uma peça do jogo de xadrez que só
pode fazer movimentos diagonais, isto é, ele
pode se deslocar quantas casas quiser desde que
elas estejam em uma diagonal. Na figura abaixo,
indicamos as possíveis direções de movimentos
do bispo a partir de uma determinada casa do
tabuleiro. Dizemos que dois bispos se atacam
quando um deles está em uma casa do tabuleiro
que pode ser alcançada pelo outro bispo. Qual é
o maior número de bispos que podemos colocar
em um tabuleiro 8 8 sem que haja dois bispos
se atacando?
5) Sejam m e n dois inteiros positivos primos
entre si. O Teorema Chinês dos Restos afirma
que, dados inteiros i e j com 0 ≤ i < m e
0 ≤ j < n, existe exatamente um inteiro a,
com 0 ≤ a < m⋅n, tal que o resto da divisão de
a por m é igual a i e o resto da divisão de a
por n é igual a j. Por exemplo, para m = 3 e
n = 7, temos que 19 é o único número que
deixa restos 1 e 5 quando dividido por 3 e 7,
respectivamente.
Qual a soma dos números das casas
destacadas?
6) Assim, na tabela a seguir, cada número de 0 a
20 aparecerá exatamente uma vez.
7) (OBM – Segunda fase – Nível 2) Se a, b, c e d
são, em alguma ordem, 1, 2, 3 e 4. Qual é o
maior valor possível de ab + bc + cd + da?
8) (OBM – Segunda fase – Nível 2) Na figura
abaixo, ABCD e EFGH são quadrados de lado
48 cm. Sabendo que A é o ponto médio de EF
e G é o ponto médio de DC, determine a área
destacada em cm2
.