Projeto Torre de Hanoi feito pelos alunos do NEJA II com a professora Vanderléia de Araujo Závoli

1. Universidade Federal Fluminense
Especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática
Informática Educativa I
VANDERLÉIA DE ARAUJO ZÁVOLI
Cibercultura e Projeto em Informática Educativa: A Torre de Hanói
NOVA FRIBURGO/2014

2. INTRODUÇÃO
Atividade Inicial: Conversar com a turma sobre o tema e observar até onde se estende o conhecimento deles, promover um diálogo que eles possam expressar-se o que de fato eles sabem. Para estimular a participação dos alunos podem-se fazer perguntas do tipo. Vocês conhecem a história da Torre de Hanói? Sabem como jogar?
Pedir aos alunos que façam uma pesquisa a respeito da história do jogo Torre de Hanói. Após a entrega da pesquisa, ouvir as contribuições dos alunos a respeito da pesquisa realizada. Propor aos alunos o “Desafio Torre de Hanói”. Pedir que joguem em dupla ou sozinho o jogo a Torre de Hanói em casa ou na escola.
Desenvolvimento
Para a atividade “Desafio Torre de Hanói”, solicitar aos alunos que formem duplas. Explicar aos alunos que o desafio consiste em transferir os discos (que devem estar inicialmente empilhados em um dos pinos, em ordem decrescente de tamanho, com o maior deles na base e o menor no topo) para qualquer um dos outros dois pinos livres, no menor número de movimentos Enquanto os alunos desenvolvem a atividade, orientá-los a anotar os movimentos que realizam. Os alunos poderão jogar on-line e farão um relatório respondendo as seguintes questões:
Qual a relação entre o número de discos e o número de jogadas?
O número de jogadas está em função do número de discos?
Qual o número de movimentos que serão realizados para os monges mudarem todos os 64 discos?
Quanto tempo os monges levarão para mudar os 64 discos, supondo que os monges gastem um segundo para mudar cada disco?
Entrar no Blogger criado pelo professor de Matemática.

3. blogger-vanderleia-matematica.webnode.com ou em outro blog também criado pelo professor http://matematicadivertidaovanderleia.blogspot.com.br/
Sequência Didática:
Acessar o jogo clicando no link http://jogosonline.uol.com.br/torre-de- hanoi_1877
Verificar e conhecer o jogo socializando o conhecimento;
Dividir o grupo em subgrupo: pesquisadores, coordenador, aluno blogueiro.
Movimentar os discos, movendo um de cada vez, sendo que um disco maior nunca pode ficar em cima de um disco menor.
Atividade Final
Após a execução do desafio, conversar com os alunos a respeito das dificuldades encontradas em realizar a atividade. Aproveitar o momento para discutir a respeito das estratégias utilizadas na execução do desafio. O projeto desenvolvido pelos alunos na busca e construção do conhecimento pressupõem metodologias específicas: perguntas, observações, hipóteses, verificações experimentais e deduções para alcançar a solução dos problemas e dos questionamentos.
O jogo das Torres de Hanói para estudar o tema e chegar a um procedimento dedutivo ao determinar a relação entre o número de discos e o número mínimo de movimentos necessários para resolver o problema.
A tabela abaixo apresenta o número de movimentos necessários para resolver o problema de acordo com diversos valores do parâmetro n (número de discos).
Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo disco (o último) seja deslocado compondo uma torre com os outros discos tendo uma torre com o penúltimo disco e os demais juntos já formada. A sucessão formada pela soma dos movimentos é uma sucessão (1,2,4,8...2n)
A fórmula 2n − 1 é provinda da soma de uma progressão geométrica.

4. Sabe-se que em uma progressão geométrica a soma de seus termos equivale a [a * (qn − 1)] / q − 1, onde "a" é o primeiro termo e "q" é a razão.
Já que a razão é 2 e o primeiro termo é 1 temos que [a * (qn − 1)] / q − 1 = [1 * (2n − 1)] / 2 − 1 = 2n − 1
Resumo da execução do projeto: A tarefa será apresentada aos alunos, pelo professor, através da confecção do jogo, com isopor ou madeira servindo de base e um total de cinco discos com furo no centro, cada um com um diâmetro diferente do outro. A colocação de três pinos à base, onde servirão como encaixes para os discos. A introdução será feita por algum aluno escolhido, fazendo a leitura do texto onde é contada a lenda do surgimento do jogo. Caberá ao professor utilizando-se do material que representa o jogo, realizar jogadas com o intuito de instruir os alunos quanto às regras do jogo (utilizando-se de três discos). Após a demonstração do professor e com a apresentação das regras já realizadas e todas as dúvidas possíveis explicadas, o professor pedirá a execução da tarefa em casa, sugerindo aos alunos a reserva de um tempo de cerca de cinco horas

5. entre a aula presente e aula de entrega do trabalho concluído. A elaboração de um relatório será pedida de forma a constarem em tal avaliação o registro da quantidade de movimentos realizados com a verificação de 3, 4, 5, 6, 7e 8 discos. Esses movimentos serão colocados numa tabela onde constarão 3 colunas: número de discos (n), número de movimentos e potências de base 2. Após a confecção da tabela, previamente orientada pelo professor, os alunos procurarão responder algumas perguntas norteadoras (vide em avaliação) e tentarão respondê-las e ao final a montagem da lei de tal função exponencial. O relatório será entregue na aula imediatamente após aquela aula onde foi exigida a tarefa.
Avaliação Os alunos serão avaliados através dos e-mails e blogs enviados ao professor relatando o número de movimentos e através de registros das seguintes questões: Qual a relação entre o número de discos e o número de jogadas? O número de jogadas está em função do número de discos? Qual o número de movimentos que serão realizados para os monges mudarem todos os 64 discos? Quanto tempo os monges levarão para mudar os 64 discos, supondo que os monges gastem um segundo para mudar cada disco?

6. Da mesma forma, observamos que progressões geométricas podem ser vistas como restrições de funções exponenciais em que o domínio é o conjunto dos números naturais. Assim, é pertinente olhar este experimento como uma motivação para abordar características e comportamentos de gráficos de funções exponenciais. Conclusão A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução de problemas. É importante ressaltar, ainda, que quando se fala em jogos em sala de aula, além de exigirmos professores reflexivos, também temos que ter alunos que participem ativamente do processo ensino-aprendizagem, questionadores e motivados. O ensino por meio dos jogos deve acontecer de forma a auxiliar no ensino do conteúdo, propiciando a aquisição de habilidades e o desenvolvimento operatório, ou seja, ele pode ser utilizado em um determinado contexto como construtor de conceitos ou também como uma aplicação ou fixação de conceitos, mas isso dependerá com que finalidade o professor trará o jogo como recurso a ser utilizado. Pode-se destacar a utilização de jogos para aplicação de algum conceito matemático, para enunciar um conceito, para diagnosticar algumas dificuldades ou, ainda, trabalhar com jogos para tentar acabar com algumas dificuldades encontradas pelos alunos. O jogo Torre de Hanói foi escolhido para ser trabalhado, juntamente com o conceito de função exponencial, por permitir a retomada da discussão do conceito de função exponencial e devido às dificuldades encontradas por quem ensina e quem aprende. A partir da análise das respostas dos alunos aos questionamentos realizados durante a aplicação das atividades, pode-se concluir que o uso do jogo Torre de Hanói contribui para a percepção do aluno em relação às generalizações e buscas de regularidades. O uso de jogos nas aulas de Matemática contribui para o ensino e aprendizagem da Matemática, na medida

7. em que permite ao aluno se portar de forma ativa na construção de seu conhecimento. Dessa maneira é através de estratégias de ensino que possam melhorar suas aulas usando os recursos tecnológicos que já existem na escola, mas levando sempre em consideração que essas tecnologias jamais podem ser utilizadas em substituição ao professor, de maneira geral suas práticas precisam sempre ter o objetivo de incentivar e provocar o aluno a identificar problemas e propor soluções e não somente aprender a operar programas de computador ou navegar na internet, é necessário que se busque construir uma prática pedagógica que dê possibilidades e estímulos à criatividade.
Referências Bibliográficas
blogger-vanderleia-matematica.webnode.com
http://matematicadivertidaovanderleia.blogspot.com.br/
http://www.somatematica.com.br/jogos/hanoi/.
http://jogosonline.uol.com.br/torre-de-hanoi_1877
MACHADO, Nilson José. Matemática e Educação: Alegorias e Temas Afins. Cortez, São Paulo, 2001.
ANEXOS As figuras a seguir ilustram a solução, apresentando sequência de movimentos efetuados, considerando um jogo com 3 discos (n = 3):
PASSO 1 : Os movimentos 1, 2 e 3 mostram a transferência de n-1 discos do “pino origem” para o “pino de trabalho”. Neste caso, “pino destino” atua como auxiliar.

8. Movimento 1 : Origem->Destino
Figura 2.
Movimento 2: Origem->Trabalho
Figura 3.
Movimento 3 : Destino->Trabalho
Figura 4.

9. PASSO 2 : O movimento 4 mostra a transferência do maior disco do “pino origem” para o “pino destino”
Movimento 4 : Origem->Destino
Figura 5.
PASSO 3 : Por fim, os movimentos 5, 6 e 7 ilustram a transferência dos n-1 discos do “pino de trabalho” para o “pino destino”. Veja que, desta vez, o “pino de origem” é que atua como área de armazenamento auxiliar.
Movimento 5

10. : Trabalho->Origem
Figura 6.
Movimento 6 : Trabalho->Destino
Figura 7.
Movimento 7 :

11. Um pouco de História ( A Torre de Hanói)
A Torre de Hanói é um quebra-cabeça que consiste em uma base contendo três pinos, em um dos quais são dispostos alguns discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação. O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.
A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução de problemas.
Edouard Lucas teve inspiração de uma lenda para construir o jogo das Torres de Hanói. Já seu nome foi inspirado na torre símbolo da cidade de Hanói, no Vietnã.
Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a mais conhecida diz respeito a um templo Hindu, situado no centro do universo. Diz- se que Brahma supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma ordenara-lhes que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Hanoi
Clique aqui para jogar
http://www.gameson.com.br/Jogos-Online/ClassicoPuzzle/Torre-de-Hanoi.html
Fotos dos alunos no Laboratório de Informática