dinamik 3. hafta

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
DİNAMİK

İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme
- Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket
- Düzlemde Eğrisel Hareket
- Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde)
- Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme
- İş ve Enerji
- İmpuls ve Momentum
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK

KİNETİK
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
3

İş ve Enerji
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
DİNAMİK
3.2

Dinamik
Behcet DAĞHAN
İş
İş
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 1
→
F
A
A'
r
r + d r
→
→ →
d r
→
α
Yörünge
O
A A'
s s + ds
r r + d r
ds
s
→
F
A
d r
→
α
t
n
ds
| d r | = ds
→
Fn
Ft
Ft = F cosα
dU = F • d r
→ →
Elemanter iş
dU = F ds cosα = F (ds cosα)
dU = (F cosα) ds = Ft ds
∫ dU = ∫ Ft ds
U1-2 = ∫ Ft ds
s1
s2
F kuvvetinin
s1 konumundan
s2 konumuna
kadar yaptığı iş
skaler çarpım
}
Ft
s
U1-2
s1 s2
Ft = f(s)
Ft - s grafiğinin
altında kalan alan
↓
d r
→
Ft
U1-2 > 0
→ →
ds cosα
Maddesel noktanın
bu yörüngeyi izlemesini sağlayan
başka kuvvetler de var.
İş, skaler bir büyüklüktür ve birimi Joule'dür. 1 J = 1 N·m
1
2
s1
v1
s2
v2 d r
→
Ft
U1-2 < 0

Dinamik
Behcet DAĞHAN
∫ dU = ∫ Ft ds
Ft
s
s1 s2
Ft = sb.
Kuvvetin teğetsel bileşeninin şiddeti sabit ise:
U1-2
∫ dU = Ft ∫ ds
U1-2 = Ft Δs
→
F Fn
Ft
s1
s2
Δs
1
2
Ft = sb. iken geçerlidir.
Δs
↑
∫ dU = F cosα ∫ ds
Kuvvet sabit ise:
→
F Fn
Ft
s1 s2
Δs
Yörünge
Yörünge
→
F Fn
Ft
s1 s2
1 2
1
2
α
α
U1-2 = F ∫ cosα ds
Δs cosα
Doğrusal harekette
F sabit ise α sabittir,
Ft de sabittir.
→
∫ dU = F ∫ cosα ds
U1-2 = F cosα Δs
U1-2 = Ft Δs
U1-2 = F (Δs cosα)
∫ cosα ds
α
F sabit fakat
α ve Ft değişken
→
s1
s2
s1
s2
s1 konumu ile s2 konumu
arasındaki
kuvvete paralel uzaklık
dU = F cosα ds
arasındaki
kuvvete paralel uzaklık
ds
cosα ds
→
Kuvvetin yönü de şiddeti de değişmiyor.
Sabit bir kuvvetin yaptığı iş yörüngenin nasıl bir eğri olduğuna bağlı değildir.
İki konum arasındaki kuvvete paralel olarak ölçülen uzaklığa bağlıdır.
}
Y
örünge

T ≥ 0
Dinamik
Behcet DAĞHAN
Kinetik enerji
Kinetik enerji
T = –– m v2
2
1
Yer çekimi potansiyel enerjisi
Yer çekimi potansiyel enerjisi
Vg = m g h
h
h = 0
h > 0
keyfi olarak seçilen bir seviye
h daima yukarı doğru pozitiftir.
Vg = 0
düşey
Vg = m g h
Yer çekimi kuvvetine karşı yapılan işe
"yer çekimi potansiyel enerjisi" denir.
Ağırlık kuvveti, yönü de şiddeti de değişmeyen sabit bir kuvvettir.
Ağırlığın yaptığı iş 1 konumundan 2 konumuna kadar hangi yörünge üzerinden gidildiğine bağlı değildir.
Yaptığı iş yörüngeden bağımsız olan böyle kuvvetlere korunumlu kuvvetler denir.
Ağırlığın yaptığı iş, ağırlık kuvveti ile, 1 konumu ile 2 konumu arasındaki düşey uzaklığın çarpımına eşittir.
Aşağıdan yukarıya çıkan bir cisme ağırlığın yaptığı iş negatif iştir.
Ağırlığın yaptığı iş yer çekimi potansiyel enerjisindeki değişimin negatifine eşittir.
Yörünge
h < 0
− (Vg2 − Vg1)
Vg2 = m g h2
Vg1 = m g h1
1
2
W
W
W
düşey
Durmakta olan bir cismi v hızına ulaştırmak için
gerekli olan enerjiye kinetik enerji denir.
Yörünge

Dinamik
Behcet DAĞHAN
Elastik potansiyel enerji
Elastik potansiyel enerji
Yay kuvvetine (F = k x) karşı yapılan işe
"elastik potansiyel enerji" denir.
Yay kuvveti de korunumlu bir kuvvettir. Yaptığı iş yörüngeye bağlı değildir.
Yay kuvvetinin yaptığı iş elastik potansiyel enerjideki değişimin negatifine eşittir.
Ve = ∫ k x dx
0
x
yayın boyundaki
değişme
Ve = 0
x = 0
L + x
Ve = –– k x 2
2
1
x > 0
x
Ve ≥ 0 Ve = –– k x2
2
1
x < 0
L + x
L
x = 0
− (Ve2 − Ve1)
Yörünge
Ve2 = –– k x2
2
2
1
Ve1 = –– k x1
2
2
1
1
2
F
F
Ve = –– k x2
2
1
→
Yörünge

Dinamik
Behcet DAĞHAN
U1-2 = ∫ ΣFt ds
s1
s2
ΣFt = m at
v dv = at ds
} U1-2 = ∫ m at ds = m ∫ v dv
s1
s2
v1
v2
U1-2 = –– m (v2
2
− v1
2
)
2
1
U1-2 = T2 − T1
T1 + U1-2 = T2
İş - Enerji Denklemi
İş - Enerji Denklemi
Yörünge
→
ΣF
ΣFn
ΣFt
s1
s2
m
v1
v2
E1
E2
İş yapmayan bileşenlerin
toplamı
İş yapan bileşenlerin
toplamı
U1-2 = U1-2'
Maddesel noktaya
etki eden
bütün kuvvetlerin
yaptığı iş
Ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka iş yapan
kuvvetlerin yaptığı toplam iş
Yay kuvvetlerinin
yaptığı iş
Ağırlık kuvvetlerinin
yaptığı iş
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
− (Vg2 − Vg1) − (Ve2 − Ve1) U1-2 = U1-2' − (Vg2 − Vg1) − (Ve2 − Ve1)
E = T + Vg + Ve
Toplam
mekanik
enerji E1 + U1-2' = E2
}
Enerjinin Korunumu
Enerjinin Korunumu
Eğer bir maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin içinde ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka iş yapan kuvvet yoksa toplam mekanik enerji korunur.
U1-2' = 0
} →
E1 = E 2 T1 + Vg1 + Ve1= T 2 + Vg2 + Ve2
E = sb.
1
2
U1-2' = ∫ ΣFt' ds
s1
s2
→
→
→
→
→
→

0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlemde yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük
makaralardan geçen ipteki sabit F çekme kuvvetinin tesiri altında ihmal edilebilir bir sürtünme
ile kaymaktadır. Eğer kızak A dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın B noktasındaki
durdurucuya 4 m/s lik bir hızla çarpması için F kuvvetinin ne olması gerekir?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/11
Örnek Problem 3/11
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
F = ?
m = 0.6 kg
B
A
Yörünge
F
W
1
2
m
D
v1 = 0
v2 = 4 m/s
t
F
W
F
W
α Eğer hareketi bu şekilde incelemek istersek,
F kuvvetinin yaptığı işi bulmak için verilenler yeterli olmayacaktır.
F kuvvetinin şiddeti sabittir ama yönü değişmektedir.
Dolayısı ile F nin teğetsel bileşeni değişmektedir.
Ayrıca F nin teğetsel bileşenini bulmak için yörüngenin bilinmesi gerekir.
Yörüngenin nasıl bir eğri olduğu da bilinmemektedir.
F kuvvetinin yaptığı işi kolayca bulabilmek için
sistem sınırı yandaki gibi seçilebilir.
B
A
Sistem sınırı
F
W
1
2
m
D
Aktif kuvvet diyagramı Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
(sabit)
Yörünge
Y
ö
r
ü
n
g
e

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/11
Örnek Problem 3/11
1. Çözüm
1. Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
F = 13 N
B
A
Yörünge
F
W
Aktif kuvvet diyagramı
Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
s1
s2
v1
v2
1
2
m
U1-2 = ∫ ΣFt ds
s1
s2
U1-2 = F Δs − W ∫ cosα ds
Her iki kuvvet de sabittir.
s1
s2
U1-2 = F Δs − W ∫ cosα ds
s1
s2
Δs = AD − BD
D
Ağırlık kuvveti,
aşağıdan yukarıya çıkan bir cisme
negatif iş yapar.
arasındaki
kuvvete paralel uzaklık = 400 mm
}
Bu noktanın yer değiştirmesi,
ipin makaralardan geçen boyu
D
A
B
800 mm
200 mm
200
mm
200
mm
825 mm
2
8
3
m
m
Δs = 542 mm
W = m g
T1 + U1-2 = T2
–– m v1
2
+
2
1
U1-2 = –– m v2
2
2
1
0
Ağırlık kuvveti sabittir ve
daima düşeydir. O halde
ağırlık kuvvetinin yaptığı işi
bulmak için
konumlar arasındaki
düşey uzaklık alınacaktır.
Sistem sınırı
İpteki kuvvetin
yaptığı işi
kolayca bulabilmek
için sistem sınırı
bu şekilde
seçilmiştir.
}
Δs
E nin yörüngesi
E
F = ?
m = 0.6 kg
v1 = 0
v2 = 4 m/s
(sabit)

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/11
Örnek Problem 3/11
2. Çözüm
2. Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
F = 13 N
B
A
F
W
Aktif kuvvet diyagramı
Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
s1
h2
h1
v2
1
2
m
U1-2' = ∫ ΣFt' ds
s1
s2
U1-2' = F Δs
Δs = AD − BD
D
Bu noktanın yer değiştirmesi,
ipin makaralardan geçen boyu
D
A
B
800 mm
200 mm
200
mm
200
mm
825 mm
2
8
3
m
m
Δs = 542 mm
F Δs = –– m v2
2
+ m g h2
2
1
Ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvetlerin yaptığı toplam iş
→
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E2
0 0
0 0
h = h1 = 0
h = h2 = 400 mm
v1
s2
h
F = ?
m = 0.6 kg
v1 = 0
v2 = 4 m/s
(sabit)
Yörünge
Sistem sınırı
İpteki kuvvetin
yaptığı işi
kolayca bulabilmek
için sistem sınırı
bu şekilde
seçilmiştir.
}

Düşey olan sürtünmesiz çubuk üzerinde kaymakta olan 10 kg lık kızak, yayların boyunun 0.1 m
uzamış olduğu A konumundan v1 = 2 m/s lik bir hızla geçmektedir.
Kızağın, B noktasını geçerkenki hızı v2 yi hesaplayınız.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/12
Örnek Problem 3/12
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
m = 10 kg
x1 = 0.1 m
v1 = 2 m/s
h1 = 0.3 m
h2 = 0
v2 = ?
W
m
F
B
A
s1
h1
1
2
x1
v1
F
W
W
F F
F F
s2
h2
x2
v2
Ağırlık kuvvetinden ve
yay kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvet olmadığı için enerji korunur.
h = 0
–– m v1
2
+ m g h1 + 2 (–– k x1
2
) = –– m v2
2
+ 2 (–– k x2
2
)
2
1
T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E2
0
E1 + U1-2' = E2
0
L + 0.1 = 0.4
Yayların boyu, L :
L = 0.3 m
k = 800 N/m
0.4 m
0.3 m
0.5 m
L + x2 = 0.5
x2 = 0.2 m
2
1
2
1
2
1
v2 = 2.26 m/s
L + x1 = 0.4
h

Behcet DAĞHAN
Her birinin kütlesi m olan küçük A ve B cisimleri, kütlesi ihmal edilebilen çubuklarla birbirlerine şekildeki gibi bağlanmış ve
ilk hızsız olarak serbest bırakılmışlardır. O ile aynı düşey hizaya geldiği anda A cisminin hızı ne olur?
Sürtünmeleri ihmal ediniz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/13
Örnek Problem 3/13
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
m
vA1 = 0 200 mm
W
W
250 mm
60o
O
m
m
A
B
1
2
1
2
200 mm
250 mm
O
m
m
A
B
1
2
1
2
W
W
hA = 0
hB = 0
hB1 = 450 − (200cos60o
+ 250cosα)
hA1 = 200 − 200 cos60o
= 100 mm
Ağırlık kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvet olmadığı için enerji korunur.
m g hA1 + m g hB1 = –– m vA2
2
+ –– m vB2
2
T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E2
0
E1 + U1-2' = E2
0
2
1
2
1
α
sinα
–––– = –––––
sin60o
200 250
α = 43.9o
hB1 = 170 mm
AB =
OA =
0
0
0
0
vA2 = ?
B cismi bu konumda
durup geri döner.
Ulaşabileceği en alt konumdadır.
vB2 = 0
2 (9.81) (0.1 + 0.17) = vA2
2
vA2 = 2.3 m/s
vB1 = 0
h
h
μ = 0

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/14
Örnek Problem 3/14
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
sürtünmeli kısım
k
μk
Δs = s = R
R
m
x1min = δ = ?
Maddesel noktanın yol ile
temasının kesilmesi açısından
en kritik nokta B noktasıdır.
W
N
m
t v2
n
B
a
R
v2 = v2min iken N = 0 ve a = g olur.
x1 = δ
x2 = 0
ΣFn = m an
N + W = m –––
v2
2
R
an = –––
v2
ρ
←
0 + W = m –––––
v2min
2
R
←
v2min
2
= g R = v2
2
E1 + U1-2' = E2
(sabit)
U1-2' = F Δs U1-2' = − μk N R
= − μk m g R
N
m
a
W
y
μk N
sürtünmeli kısım
ΣFy = m ay
←
N − W = 0
W = m g
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
0
0
0
A
1 2
B
h = 0
h
2
–– k x1
2
− μk m g R = –– m v2
2
+ m g h2
2
1
2
1
v1 = 0
–– k δ 2
− μk m g R = –– m (g R) + m g (2 R)
2
1
2
1
v2 = v2min
h1 = 0
h2 = 2 R
δ = –––––––– m g R
√
5 + 2 μk
k
Rijitliği k olan şekildeki yay, sıkıştırılmış ve aniden serbest bırakılmıştır. Böylece m kütleli maddesel nokta,
şekildeki yolu izlemiştir. Yolun düşey düzlemde yer alan yuvarlak kısmında maddesel nokta ile yolun
temasının kesilmemesi için yayın sıkıştırılması gereken minimum mesafe δ yı hesaplayınız. Kinetik
sürtünme katsayısı μk olan s = R uzunluğundaki sürtünmeli kısım dışında yolun yüzeyi sürtünmesizdir.
μk N
}
N = m g
Δs = R
←
←

dinamik 3. hafta

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a dinamik 3. hafta

Semelhante a dinamik 3. hafta (6)

Mais de yusuf874402

Mais de yusuf874402 (7)

dinamik 3. hafta