Apresentação sobre árvores B com exemplo usando PostgreSQL

1. ´Arvores B
´Atila Camurc¸a
Samir Coutinho
Tunay Ara´ujo
27 de junho de 2013

2. Sumary
1 Introduc¸˜ao
2 Motivac¸˜ao
3 Definic¸˜ao
4 Operac¸˜oes B´asicas
5 Exemplo
6 Utilizac¸˜ao
PostgreSQL
7 Referˆencias

3. Introduc¸˜ao
Sabemos que em relac¸˜ao a mem´oria de computador existe uma hierarquia
de velocidade de acesso, mem´orias cache e de registro s˜ao mais velozes
que mem´orias RAM, que s˜ao mais velozes que HDs.
Podemos utilizar algor´ıtmos que especificamente sejam r´apidos ao acessar
HDs.

4. Motivac¸˜ao
Quando os dados s˜ao muito grandes para caber na mem´oria principal,
eles devem se expandir para o disco. O acesso ao disco ´e muito custoso
em comparac¸˜ao com uma instruc¸˜ao t´ıpica. O n´umero de acessos ao disco
vai preponderar o tempo de execuc¸˜ao. O objetivo das ´Arvores B ´e criar
uma ´arvore de busca que ir´a minimizar os acessos ao disco.

5. Definic¸˜ao
´Arvores B s˜ao ´arvores de pesquisa balanceadas projetadas
especificamente para serem armazanadas em discos magn´eticos.
Medimos o desempenho pela quantidade de tempo de computac¸˜ao que
consomem, mas tamb´em pela quantidade de acesso a disco que s˜ao
realizadas.

6. Altura
O n´umero de acessos ao disco ´e proporcional a altura da ´Arvore B.
O pior caso da altura de uma ´Arvore B ´e
h ≤ logt
n + 1
2
⇔ O(logt n)

7. Operac¸˜oes B´asicas
Sempre mantemos a ra´ız na mem´oria principal, assim um
DISK-READ da ra´ız nunca ser´a necess´ario.
Qualquer n´o passado como parˆametro j´a deve ter sofrido um
DISK-HEAD.
Qualquer n´o deve ter mudado com um DISK-WRITE.

8. Operac¸˜oes B´asicas
O n´umero de execuc¸˜ao de um algoritmo de ´arvores B ´e determinado,
principalmente, pelo n´umero de operac¸˜oes DISK-WRITE e
DISK-READ.
A quantidade de acessos ao disco ´e diretamente proporcional ao
fator de ramificac¸˜ao.

9. Operac¸˜oes B´asicas
1. B-TREE-SEARCH
2. B-TREE-INSERT
3. B-TREE-CREATE
4. B-TREE-DELETE

10. B-TREE-CREATE
Para construir ´arvores B utilizamos B-TREE-CREATE para criar um n´o
raiz vazio e depois chamamos B-TREE-INSERT para adicionar novas
chaves. Ela exige O(1) operac¸˜oes de disco e tempo de CPU O(1).

11. B-TREE-INSERT
O n´umero de acessos a disco de B-TREE-INSERT ´e O(h) pois
apenas O(1) operac¸˜oes disk-read/write s˜ao feitas entre duas
chamadas consecutivas de B-TREE-INSERT-NONFULL.
O tempo total de cpu ´e O(th) = O(t logt n).
Observac¸˜ao
o split na raiz ´e o unico jeito de aumentar a altura da ´arvore B. Ao
contr´ario das ´arvores bin´arias, o crescimento se d´a na raiz em vez das
folhas.

12. Inserc¸˜ao de elemento (split)
A inserc¸˜ao nas ´arvores B ´e relativamente mais complicada, pois,
precisamos inserir a nova chave no n´o correto da ´arvore, sem violar
suas propriedades.
Como procedemos se o n´o est´a cheio?
Se estiver cheio deve separar (split) o n´o em torno do elemento
mediano, criando outros dois n´os que n˜ao violam as definic¸˜oes de
´arvore.
O elemento mediano ´e promovido, passando a fazer parte do n´o pai
daquele n´o.

13. B-TREE-SPLIT-CHILD
A nova chave sempre ´e inserida em uma folha.
A inserc¸˜ao ´e feita em um ´unico percurso na ´arvore, a partir da raiz
at´e uma das folhas.
O procedimento B-TREE-SPLIT-CHILD ´e usado para garantir que a
recurs˜ao nunca desc¸a em um n´o cheio.

14. B-TREE-INSERT-NONFULL
O c´odigo a seguir faz uso do procedimento
B-TREE-INSERT-NONFULL, que ´e respons´avel pela inserc¸˜ao da
chave em um n´o n n˜ao cheio.
B-TREE-INSERT-NONFULL, insere a chave k no n´o x, caso este
seja uma folha, caso contr´ario, procura o filho adequado e desce a
ele recursivamente at´e encontrar a folha onde deve inserir k.

15. Exemplo

16. Exemplo

17. Exemplo

18. Exemplo

19. Exemplo

20. Exemplo

21. Exemplo

22. Exemplo

23. Exemplo

24. Exemplo

25. Exemplo

26. Exemplo

27. Exemplo

28. Exemplo

29. Exemplo

30. B-TREE-DELETE
Caso 1: envolve delec¸˜ao da chave de uma folha. Restando t − 1
chaves.
Caso 2: se a chave k estiver no n´o x e x ´e um n´o interno.
Caso 3: se a chave n˜ao estiver presente no n´o interno x.

31. Utilizac¸˜ao
Muitos sistemas de bancos de dados usam ´arvores B ou variac¸˜oes de
´arvores B para armazenar informac¸˜oes.
Um deles ´e o PostgreSQL (http://www.postgresql.org/).

32. PostgreSQL
PostgreSQL usa ´arvores B nos seus ´ındices (INDEX). ´Indices s˜ao usados
primariamente para aumentar a performance do banco de dados.
Al´em de ´Arvores B o PostgreSQL oferece suporte a:
HASH
GiST (Generalized Search Tree)
SP-GiST (Space-Partitioned - Generalized Search Tree)
GIN (Generalized Inverted Index)

33. PostgreSQL
´Arvores B s˜ao melhor utilizadas quando um ´ındice involve comparac¸˜oes
como <, <=, =, >=, >

34. Exemplo
PostgreSQL
CREATE TABLE not_indexed_table
(
id integer NOT NULL
)
WITH (
OIDS=FALSE
);
ALTER TABLE not_indexed_table
OWNER TO postgres;

35. Exemplo
PostgreSQL
CREATE TABLE indexed_table
(
id integer NOT NULL,
CONSTRAINT indexed_table_pkey PRIMARY KEY (id)
)
WITH (
OIDS=FALSE
);
ALTER TABLE indexed_table
OWNER TO postgres;

36. Exemplo
PostgreSQL
INSERT INTO not_indexed_table (id)
SELECT GENERATE_SERIES(1, 100000);
INSERT INTO indexed_table (id)
SELECT GENERATE_SERIES(1, 100000);

37. Exemplo
PostgreSQL
EXPLAIN ANALYZE SELECT COUNT(*) FROM not_indexed_table;
-- sa´ıda
Aggregate (cost=1572.00..1572.01 rows=1 width=0)
(actual time=73.198..73.198 rows=1 loops=1)
-> Seq Scan on not_indexed_table
(cost=0.00..1336.20 rows=94320 width=0)
(actual time=0.023..38.878 rows=100000 loops=1)
Total runtime: 73.239 ms

38. Exemplo
PostgreSQL
EXPLAIN ANALYZE SELECT COUNT(*) FROM indexed_table;
-- sa´ıda
Aggregate (cost=1643.00..1643.01 rows=1 width=0)
(actual time=69.939..69.940 rows=1 loops=1)
-> Seq Scan on indexed_table
(cost=0.00..1393.00 rows=100000 width=0)
(actual time=0.014..35.571 rows=100000 loops=1)
Total runtime: 69.974 ms

39. Exemplo
PostgreSQL
EXPLAIN ANALYZE SELECT * FROM not_indexed_table
WHERE id < 12;
-- sa´ıda
Seq Scan on not_indexed_table
(cost=0.00..1643.00 rows=10 width=4)
(actual time=0.020..17.527 rows=11 loops=1)
Filter: (id < 12)
Rows Removed by Filter: 99989
Total runtime: 17.555 ms

40. Exemplo
PostgreSQL
EXPLAIN ANALYZE SELECT * FROM indexed_table
WHERE id < 12;
-- sa´ıda
Index Only Scan using indexed_table_pkey
on indexed_table
(cost=0.00..8.45 rows=11 width=4)
(actual time=0.022..0.028 rows=11 loops=1)
Index Cond: (id < 12)
Heap Fetches: 11
Total runtime: 0.053 ms

41. Exemplo
PostgreSQL
Tabela Tamanho
not indexed table 3168 kB
indexed table 4936 kB

42. PostgreSQL
Da documentac¸˜ao do PostgreSQL:
Adding a primary key will automatically create a unique btree
index on the column or group of columns used in the primary
key.
Adicionando uma chave prim´aria ir´a automaticamente criar uma ´Arvore B
de ´ındice ´unico na coluna ou grupo de colunas usadas na chave prim´aria.
http:
//www.postgresql.org/docs/9.0/static/ddl-constraints.html

43. Referˆencias
http://www.depesz.com/2010/09/09/
why-is-my-index-not-being-used/
http://www.thegeekstuff.com/2009/05/
15-advanced-postgresql-commands-with-examples/
http://ats.oka.nu/b-tree/b-tree.manual.html
http://www.postgresql.org/docs/9.0/static/
ddl-constraints.html
T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein, Algoritmos - Teoria e
Pr´atica, 2002
http:
//www.lcad.icmc.usp.br/˜nonato/ED/B_arvore/btree.htm
http://www.di.ufpb.br/lucidio/Btrees.pdf