O documento aborda os conceitos de capacitores e indutores como componentes passivos de circuitos elétricos, destacando suas funções de armazenamento de energia. Capacitância e indutância são discutidas em termos de suas construções e relações entre corrente e tensão, bem como as leis de Kirchhoff aplicáveis. O texto também cobre a energia armazenada nesses dispositivos e como eles se comportam em circuitos em série e paralelo.

1. Indutores e Capacitores
GCET226: Circuitos Elétricos I
Paulo Fábio Figueiredo Rocha
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia | UFRB
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas | CETEC

2. Introdução

3. Introdução
Capacitores e indutores são componentes passivos do circuito capazes de armazenar
energia.
2

4. Introdução
Capacitores e indutores são componentes passivos do circuito capazes de armazenar
energia.
O capacitor armazena energia na forma de um campo elétrico.
2

5. Introdução
Capacitores e indutores são componentes passivos do circuito capazes de armazenar
energia.
O capacitor armazena energia na forma de um campo elétrico.
Já o indutor armazena energia na forma de um campo magnético.
2

6. Introdução
Capacitores e indutores são componentes passivos do circuito capazes de armazenar
energia.
O capacitor armazena energia na forma de um campo elétrico.
Já o indutor armazena energia na forma de um campo magnético.
As leis de Kirchhoff continuam sendo válidas para circuitos com capacitores e/ou in-
dutores. Sendo assim, as técnicas de análises de circuitos vistas nas aulas anteriores
também.
2

7. Introdução
Capacitores e indutores são componentes passivos do circuito capazes de armazenar
energia.
O capacitor armazena energia na forma de um campo elétrico.
Já o indutor armazena energia na forma de um campo magnético.
As leis de Kirchhoff continuam sendo válidas para circuitos com capacitores e/ou in-
dutores. Sendo assim, as técnicas de análises de circuitos vistas nas aulas anteriores
também.
O que diferenciará serão as relações entre tensão e corrente neste componentes,
que são diferentes da lei de Ohm aplicada a circuitos resistivos.
2

8. Indutores

9. Indutores
Um indutor é construı́do a partir de um fio enrolado em forma de bobina.
3

10. Indutores
Um indutor é construı́do a partir de um fio enrolado em forma de bobina.
Quando uma corrente passa pelo indutor gera uma tensão diretamente proporcional
à taxa de variação da corrente, i.e.,
v = L
di
dt
(1)
na qual L é constante de proporcionalidade chamada de indutância do indutor, cuja
unidade de mediada é o henry (H).
3

11. Indutores
Um indutor é construı́do a partir de um fio enrolado em forma de bobina.
Quando uma corrente passa pelo indutor gera uma tensão diretamente proporcional
à taxa de variação da corrente, i.e.,
v = L
di
dt
(1)
na qual L é constante de proporcionalidade chamada de indutância do indutor, cuja
unidade de mediada é o henry (H).
A indutância de um indutor depende de suas aspectos de sua construção, assim
como o número de espiras da bobina.
3

12. Indutores
Um indutor é construı́do a partir de um fio enrolado em forma de bobina.
Quando uma corrente passa pelo indutor gera uma tensão diretamente proporcional
à taxa de variação da corrente, i.e.,
v = L
di
dt
(1)
na qual L é constante de proporcionalidade chamada de indutância do indutor, cuja
unidade de mediada é o henry (H).
A indutância de um indutor depende de suas aspectos de sua construção, assim
como o número de espiras da bobina.
Da Equação (1), percebemos que, se for aplicada uma corrente CC, o indutor se
comporta como um curto-circuito.
3

13. Indutores
A relação entre corrente e tensão é dada por
i =
1
L
Z t
t0
v(τ)dτ + i(t0) (2)
em que i(t0) é corrente no instante t0.
4

14. Indutores
A relação entre corrente e tensão é dada por
i =
1
L
Z t
t0
v(τ)dτ + i(t0) (2)
em que i(t0) é corrente no instante t0.
Os sinais estão em concordância com a regra do com-
ponentes passivos.
4

15. Exemplo 1
Determine a corrente através de um indutor de 5 H, inicialmente descarregado, se a
tensão nele for
v =
(
30t2, t > 0
0, t < 0
5

16. Energia Armazenada em um Indutor

17. Energia no Indutor
A potência absorvida pelo indutor é
p = vi = L
di
dt
i
6

18. Energia no Indutor
A potência absorvida pelo indutor é
p = vi = L
di
dt
i
Assim, a energia armazenada é
w =
Z t
−∞
p(τ)dτ = L
Z t
−∞
i
di
dτ
dτ = L
Z i(t)
i(−∞)
idi =
1
2
Li2
i(t)
i(−∞)
6

19. Energia no Indutor
A potência absorvida pelo indutor é
p = vi = L
di
dt
i
Assim, a energia armazenada é
w =
Z t
−∞
p(τ)dτ = L
Z t
−∞
i
di
dτ
dτ = L
Z i(t)
i(−∞)
idi =
1
2
Li2
i(t)
i(−∞)
Como o indutor estava descarregado em t = −∞, i(−∞) = 0, portanto,
w =
1
2
Li2
(3)
6

20. Capacitores

21. Capacitores
A forma básica de construir um capacitor, é usar duas placas condutoras paralelas
separadas por material dielétrico (isolante).
7

22. Capacitores
A forma básica de construir um capacitor, é usar duas placas condutoras paralelas
separadas por material dielétrico (isolante).
Quando uma tensão v é aplicada em um capacitor, uma carga +q em uma placa e
uma carga −q é depositada na outra placa.
7

23. Capacitores
A forma básica de construir um capacitor, é usar duas placas condutoras paralelas
separadas por material dielétrico (isolante).
Quando uma tensão v é aplicada em um capacitor, uma carga +q em uma placa e
uma carga −q é depositada na outra placa.
Neste caso, dizemos que uma carga q está armazenada no capacitor.
7

24. Capacitores
A forma básica de construir um capacitor, é usar duas placas condutoras paralelas
separadas por material dielétrico (isolante).
Quando uma tensão v é aplicada em um capacitor, uma carga +q em uma placa e
uma carga −q é depositada na outra placa.
Neste caso, dizemos que uma carga q está armazenada no capacitor.
7

25. Capacitores
A carga armazenada no capacitor é proporcional à tensão aplicada,
q = Cv (4)
em que C, a constante de proporcionalidade, é conhecida como a capacitância do
capacitor.
8

26. Capacitores
A carga armazenada no capacitor é proporcional à tensão aplicada,
q = Cv (4)
em que C, a constante de proporcionalidade, é conhecida como a capacitância do
capacitor.
A unidade de medida da capacitância é o farad (F).
8

27. Capacitores
A carga armazenada no capacitor é proporcional à tensão aplicada,
q = Cv (4)
em que C, a constante de proporcionalidade, é conhecida como a capacitância do
capacitor.
A unidade de medida da capacitância é o farad (F).
A capacitância depende de aspectos construtivos, forma, área, distância entre as
placas, e da permissividade do material dielétrico.
8

28. Capacitores
Lembremos que
i =
dq
dt
9

29. Capacitores
Lembremos que
i =
dq
dt
Assim, derivando ambos lados da Equação (4), temos que
i = C
dv
dt
(5)
9

30. Capacitores
Lembremos que
i =
dq
dt
Assim, derivando ambos lados da Equação (4), temos que
i = C
dv
dt
(5)
Essa é relação entre corrente e tensão o capacitor.
9

31. Capacitores
Lembremos que
i =
dq
dt
Assim, derivando ambos lados da Equação (4), temos que
i = C
dv
dt
(5)
Essa é relação entre corrente e tensão o capacitor.
Integrando ambos lados, chegamos a
v =
1
C
Z t
−∞
i(τ)dτ (6)
9

32. Capacitores
Outra forma é
v =
1
C
Z t
t0
i(τ)dτ + v(t0) (7)
na qual v(t0) é a tensão no capacitor no instante t0.
10

33. Capacitores
Outra forma é
v =
1
C
Z t
t0
i(τ)dτ + v(t0) (7)
na qual v(t0) é a tensão no capacitor no instante t0.
Obs.: a regra do sinal (positivo ou negativo) a mesma que a dos resistores.
10

34. Capacitores
Outra forma é
v =
1
C
Z t
t0
i(τ)dτ + v(t0) (7)
na qual v(t0) é a tensão no capacitor no instante t0.
Obs.: a regra do sinal (positivo ou negativo) a mesma que a dos resistores.
É importante notar que as placas do capacitor são separadas, logo, quando aplicada
uma tensão CC, o capacitor se comporta como circuito aberto.
10

35. Exemplo 2
Determine a corrente em um capacitor de capacitância C = 1 mF se a tensão entre os
terminais do capacitor varia com o tempo na forma
v =









0, t ≤ 0
10t, 0 < t ≤ 1
20 − 10t, 1 < t ≤ 2
0, t > 2
11

36. Energia Armazenada em um Capaci-
tor

37. Energia no Capacitor
A potência absorvida pelo capacitor é
p = vi = vC
dv
dt
12

38. Energia no Capacitor
A potência absorvida pelo capacitor é
p = vi = vC
dv
dt
Assim, a energia armazenada é
w =
Z t
−∞
p(τ)dτ = C
Z t
−∞
v
dv
dτ
dτ = C
Z v(t)
v(−∞)
vdv =
1
2
Cv2
v(t)
v(−∞)
12

39. Energia no Capacitor
A potência absorvida pelo capacitor é
p = vi = vC
dv
dt
Assim, a energia armazenada é
w =
Z t
−∞
p(τ)dτ = C
Z t
−∞
v
dv
dτ
dτ = C
Z v(t)
v(−∞)
vdv =
1
2
Cv2
v(t)
v(−∞)
Como o capacitor estava descarregado em t = −∞, v(−∞) = 0, portanto,
w =
1
2
Cv2
(8)
12

40. Associação de Indutores e de Capa-
citores

41. Associação de Indutores e de Capa-
citores
Indutores

42. Associação em Série
Seja o circuito
13

43. Associação em Série
Seja o circuito
Pela LKT
v = v1 + v2 + · · · + vN
13

44. Associação em Série
Seja o circuito
Pela LKT
v = v1 + v2 + · · · + vN
como vk = Lk di/dt, então
v = L1
di
dt
+ L2
di
dt
+ · · · + LN
di
dt
= (L1 + L2 + · · · + LN )
di
dt
13

45. Associação em Série
Portanto, a indutância equivalente em série
Leq = L1 + L2 + · · · + LN =
N
X
n=1
Ln (9)
14

46. Associação em Paralelo
Seja o circuito
15

47. Associação em Paralelo
Seja o circuito
Pela LKC
i = i1 + i2 + · · · + iN
15

48. Associação em Paralelo
Seja o circuito
Pela LKC
i = i1 + i2 + · · · + iN
como ik = 1
Lk
R t
t0
v(τ)dτ + ik (t0), então
i =
1
L1
Z t
t0
v(τ)dτ + i1(t0) + · · · +
1
LN
Z t
t0
v(τ)dτ + iN (t0)
=
1
L1
+ · · · +
1
LN
Z t
t0
v(τ)dτ + i(t0)
15

49. Associação em Paralelo
Portanto, a indutância equivalente em paralelo
1
Leq
=
1
L1
+ · · · +
1
LN
=
N
X
n=1
1
Ln
(10)
16

50. Associação de Indutores e de Capa-
citores
Capacitores

51. Associação em Paralelo
Seja o circuito
17

52. Associação em Paralelo
Seja o circuito
Pela LKC
i = i1 + i2 + · · · + iN
17

53. Associação em Paralelo
Seja o circuito
Pela LKC
i = i1 + i2 + · · · + iN
como ik = Ck dv/dt, então
i = C1
dv
dt
+ C2
dv
dt
+ · · · + CN
dv
dt
= (C1 + C2 + · · · + CN )
dv
dt
17

54. Associação em Paralelo
Portanto, a capacitância equivalente em paralelo
Ceq = C1 + C2 + · · · + CN =
N
X
n=1
Cn (11)
18

55. Associação em Série
Seja o circuito
19

56. Associação em Série
Seja o circuito
Pela LKT
v = v1 + v2 + · · · + vN
19

57. Associação em Série
Seja o circuito
Pela LKT
v = v1 + v2 + · · · + vN
como vk = 1
Ck
R t
t0
i(τ)dτ + vk (t0), então
v =
1
C1
Z t
t0
i(τ)dτ + v1(t0) + · · · +
1
CN
Z t
t0
i(τ)dτ + vN (t0)
19

58. Associação em Série
Agrupando
v =
1
C1
+ · · · +
1
CN
Z t
t0
i(τ)dτ + v(t0)
Portanto, a capacitância equivalente em série
1
Ceq
=
1
C1
+ · · · +
1
CN
=
N
X
n=1
1
Cn
(12)
20

59. Exemplo 3
Determine a indutância equivalente Leq.
21

60. Exemplo 4
Determine a capacitância equivalente vista entre os terminais a-b.
22

61. Referências

62. Referências
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos. 10. ed. Pearson Prentice-Hall,
2015.
Capı́tulo 6 (seções 6.1, 6.2 e 6.3)
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed.
AMGH, 2013. Capı́tulo 6.
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos circuitos elétricos. 7. ed. LTC, 2008.
Capı́tulo 7.
JOHNSON, D. E; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de
circuitos elétricos. 4. ed. LTC, 1994. Capı́tulo 7.
23