1. El documento presenta un análisis didáctico de una actividad matemática sobre la expansión decimal de números racionales. 2. El análisis señala que la actividad permite explorar diferentes estrategias de resolución y formas de pensar la matemática a través de la construcción de esquemas de interpretación y acción. 3. Se describe el proceso que siguió un estudiante al abordar la actividad, identificando conceptos clave, realizando cálculos con fracciones y observando la relación entre las potencias de

1. NA RRA TIVA D E UN
P RO B LE MA .
Prof. Dipl. Lencioni, Gustavo Omar.
gustavo_omar_lencioni@hotmail.com
An ti c i pa c i ón de la e x pan s i ón de un n ú me ro
racional.
Análisis
didáctico
de
las
e strate gias qu e se pone n en jue go fre n te a
un problema.
ESPECIALIZACIÓN
DOCENTE DE NIVEL
SUPERIOR EN
EDUCACIÓN Y TIC.
PROPUESTA EDUCATIVA
MATEMÁTICA I.
TUTORA: PROF.
EXPÓSITO, SANDRA.
2013.

2. Narrativa de un Problema.
Prof. Dip l. Lenc ion i, Gu stavo Omar.
Na r r a t i v a d e u n P r o b l e ma .
An á l i s i s .
T o ma n d o c o mo p u n t o d e p a r t i d a , c o n s i g n a “ d e l i b e r a d a me n t e a b i e r t a ” , ve mo s
q u e s e d e ja u n c a mi n o a c c e s i b l e p a r a q u e s e f o r me n d i s í mi l e s i n t e r p r e t a c i o n e s e n
d o n d e n u e s t r o s a l u mn o s d e b e n t o ma r d e c i s i o n e s . E s t e e s u n p r o b l e ma p a r a
a p r e n d e r e s t r a t e g i a s d e r e s o l u ci ó n y f o r ma s d e p e n sa r l a ma t e má t i c a , p o r q u e
apunta
a
la
c o n s t r u c ci ó n
de
e s q u e ma s
de
i n t e r p r e t a ci ó n
y
a c ci ó n ,
dada
la
d i v e r si d a d d e f o n d o s q u e t i e n e n l a s f r a c c i o n e s , s u mi n i s t r a u n a mp l i o c a mp o p a r a
i n i ci a r l a s r e f l e xi o n e s a ce r c a d e l o q u e s i mb o l i z a n a su v e z l a s r e p r e s e n t a ci o n e s
n u mé r i c a s ,
sus
o p e r a ci o n e s
y
l as
r e l a ci o n e s
que
e xi s t e n
entre
el
“senti do
n u mé r i c o ” y u n t i p o d e p e n s a mi e n t o ma t e má t i c o , e l a l g e b r a i c o , q u e se e xp l o r a a
través de la
i d e n t i f i c a ci ó n
de
patrones
(punto
de
parti da
de
e s t a s i t u a ci ó n
p r o b l e má t i c a ) y s u r e p r e s e n t a ci ó n , a s í c o mo l a e xp r e si ó n d e p r o p i e d a d e s d e l a s
o p e r a ci o n e s q u e p e r mi t e n v a l i d a r l o s a l g o r i t mo s p r o p u e s t o s e n l o s r a c i o n a l e s.
La
a c t i vi d a d
resol verl a,
no
no
se
bri nda
má s
p r o p o r ci o n a
i n f o r ma c i ó n
una
de
la
se
n e ce si t a
para
p o d r í a mo s
d e f i n i ci ó n ,
que
pensar
que
p r i mo r d i a l me n t e s e e sp e r a q u e ca d a a l u mn o , a l h a c e r l a s o p e r a ci o n e s q u e l e
parezcan
conveni entes,
las
organi ce
y
ponga
en
ju e g o
estrategi as
para
su
r e s o l u ci ó n . E l p r o ce s a mi e n t o d e o p e r a c i o n e s y d e r e su l t a d o s , q u e s e o b t u v i e r a n d e
l a e xp e r i me n t a c i ó n q u e r e a l i z a e l a l u mn o , r e s u l t a s e r u n a p o y o e xc e p c i o n a l p a r a
p r o v o c a r l a p e r ce p ci ó n y r e f l e xi ó n i mp e r i o s a s q u e c o n d u z c a n a d e s c u b r i r p o r
e je mp l o ,
para
este
caso,
un
patrón
a r i t mé t i c o
i nvol ucrado.
Cuando
esto
se
a l c a n za , l a s o p e r a ci o n e s d e cá l cu l o s e s i mp l i f i c a n y s e h a c e p e r mi s i b l e e xp r e s a r ,
me d i a n t e s i mb o l o g í a má s c o mp a c t a , l o c o n s t r u i d o o d e s cu b i e r t o .
E v i d e n ci a r
las
e l e c ci o n e s
que
se
efectúan
en
la
a c t i vi d a d ,
para
su
ju s t i f i c a ci ó n , p e r mi t e p r e - e s t a b l e c e r , p a r a e s t a a c t i v i d a d , q u e s e r e c u r r e a l a
c a r a c t e r i z a ci ó n d e f r a c ci o n e s c u y o d e n o mi n a d o r e s u n a p o t e n ci a d e 1 0 a t r a v é s d e
l a s f a c t o r i za c i o n e s p r i ma s d e s u s d e n o mi n a d o r e s , c o n e l f i n d e i d e n t i f i ca r l a s
r e l a ci o n e s q u e e xi s t e n e n t r e é s t a s y l a s e xp a n si o n e s f i n i t a s d e l o s n ú me r o s
d e c i ma l e s
que
representan.
Esto
p e r mi t e
volcar
la
mi r a d a
sobre
“un
hacer
ma t e m á t i c o ” d o n d e d i s t i n t o s r e c u r so s a c c e d a n a r e so l v e r o a y u d a r a so l v e n t a r l o s
r e q u e r i mi e n t o s d e l a a c t i vi d a d y n o a i mp o n e r s e ; e s p o r e l l o q u e s e p r e s e n t a u n
e xi g u o p l a n t e a mi e n t o q u e p e r mi t i r í a u n a p u e s t a e n c o mú n y d e b a t e t e n i e n d o c o mo
o b je t i v o “ e n s e ñ a r M a t e má t i c a ” y e s a l l í d o n d e e st á l a r i q u e z a .
2

3. Narrativa de un Problema.
Prof. Dip l. Lenc ion i, Gu stavo Omar.
N a r r a t i va .
1 . A l mo me n t o h a c e r u n a l e c t u r a d e l a a c t i v i d a d , l o q u e h i c e f u e d e f i n i r
y
p r i n ci p i a r l o s c o n c e p t o s r e l a ci o n a d o s c o n e l l a , co mo s o n e xp a n s i ó n d e ci ma l d e
u n n ú me r o , u n n ú me r o r a ci o n a l u n i t a r i o y q u é r e l a ci ó n s e p o d r í a e s t a b l e ce r
e n t r e l o s d e n o mi n a d o r e s 2 y 5 m á s a l l á d e s u s e xp o n e n t e s ;
-
E xp a n s i ó n d e ci ma l d e u n n ú me r o : si p a r a u n n ú me r o a / b ( c o n b d i s t i n t o d e
0 ) s e r e a l i z a l a d i vi si ó n d e a p o r b s e o b t i e n e o t r a r e p r e s e n t a ci ó n d e d i c h o
n ú me r o l a c u a l r e ci b e e l n o mb r e d e e xp a n s i ó n d e c i ma l .
-
N ú me r o r a ci o n a l u n i t a r i o : e s u n a f r a c c i ó n cu y o n u me r a d o r e s i g u a l a 1 .
-
R e l a ci ó n e n t r e 2 y 5 : t a l c u a l s e p r e - e s t a b l e ci ó e n e l a n á l i si s s e d e s p r e n d e
d e l a i n je r e n ci a d e c a r a c t e r i z a r d e n o mi n a d o r e s d e f a c t o r i z a ci ó n p r i ma c u y o
d e n o mi n a d o r r e s u l t a d o e s u n a p o t e n c i a d e 1 0 .
2 . A d e má s d e s t a q u é c ó mo p a r t e d e l a n á l i si s q u e l o s e xp o n e n t e s n y m s o n
n ú me r o s e n t e r o s n o n e g a t i v o s , l o c u a l e s u n d a t o s má s a t e n e r e n c u e n t a f r e n t e
a l d e s a r r o l l o d e l a a c t i vi d a d ;
3 . L o p r i me r o q u e h i c e f u e p a r t i c u l a r i z a r l a f r a c ci ó n d a d a e n d o s t r a mo s o d o s
t i p o s d e f r a c ci o n e s , u n a c o n d e n o mi n a d o r e n b a s e d o s y o t r a e n b a s e c i n c o
( h e u r í s t i ca : a n a l i z a r c a s o s p a r t i cu l a r e s p a r a b u s c a r r e g u l a r i d a d e s o p a t r o n e s y
p o d e r a sí g e n e r a l i z a r ) ;
4 . C o me n c é a l i s t a r u n a s e r i e d e f r a cc i o n e s u n i t a r i a s , c o n a y u d a d e u n a p l a n i l l a
d e c á l c u l o s e p u e d e n p r a c t i c a r c á l c u l o s c o n f r a c ci o n e s , s u mi n i s t r a d i f e r e n t e s
f ó r mu l a s
para
cal cul ar
c o mp a r a c i o n e s ,
f r a c ci o n e s ,
c o mp r o b a n d o
l as
c o mo
f a c t o r i z a ci o n e s ,
entradas
del
c o n ve r si o n e s
usuari o
y
y
haci éndol e
i n d i c a ci o n e s ( s o b r e t o d o p a r a c á l cu l o s y c o n v e r si o n e s má s c o mp l e ja s ) y a s í
a b o r d é l a si g u i e n t e t a b l a :
Fracción
1
/2
Denominador
Factorización
Prima
Número de lugares
decimales
Representación
Decimal
2
21
1
0.5
2
2
0.25
1
/4
4
2
1
/8
8
23
3
0.125
4
4
0 . 0 6 25
1
/16
16
2
…………
3

4. Narrativa de un Problema.
Prof. Dip l. Lenc ion i, Gu stavo Omar.
5 . U n a v e z v i s u a l i za d a l a t a b l a me p r e g u n t é q u é p o si b i l i d a d d e r e l a ci ó n e xi s t e
e n t r e l a r e p r e s e n t a ci ó n d e ci ma l y l a p o t e n ci a d e c i n co , e s t a b l e ci e n d o q u e l a s
r e p r e s e n t a ci o n e s d e ci ma l e s s o n e l r e s u l t a d o d e l c o ci e n t e r e a l i z a d o e n t r e l a s
p o t e n ci a s d e ci n co y l a s p o t e n ci a s d e d i e z co r r e s p o n d i e n t e s , p o r e je mp l o 5 3 / 1 0 3
=0.125,
y
teni endo
(observando
aquí
en
la
cuenta
f r a c ci ó n
la
cuyo
s i mp l i f i ca ci ó n
d e n o mi n a d o r
5 3/103
e st á
(5/10) 3 =
=
c o mp u e s t o
1/23
por
la
f a c t o r i z a ci ó n p r i ma , a q u í h a y u n p a t r ó n ) ;
6 . L u e g o c o n t i n ú e c o mp l e t a n d o l a t a b l a p a r a l o ca l i za r d i c h o p a t r ó n :
Fracción
Denominador
Factorización
Prima
Número de lugares
decimales
Representación
Decimal
…………
1
32
25
5
0 , 0 3 12 5
1
1
/32
/64
64
26
6
0 , 0 1 56 2 5
10
0 , 0 0 09 7 65 62 5
/1024
1.024
2
10
…………
0 , 0 … … … … …2 5
1
/2n
2n
2n
n
n d í g i t o s d e sp ué s
d e l a co m a .
(Dígitos de 5 n)
7 . A c á l á p i z y p a p e l , t e n i e n d o e n cu e n t a l a f a c t o r i z a ci ó n p r i ma d e d o n d e s e
d e s p r e n d e e l n ú me r o d e l u g a r e s d e c i ma l e s q u e c o mp o n e n a l a e xp r e s i ó n
d e c i ma l y l a r e l a ci ó n e s t a b l e ci d a e n e l p a s o 5 , l a e xp r e si ó n ½ n s e o b t u v o
r e l a ci o n a n d o a t r a v é s d e l co c i e n t e d e l a s p o t e n ci a s d e 5 y d e 1 0 d o n d e l o s
e xp o n e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s s o n i g u a l e s.
8 . P o r l o t a n t o p u d e e s t a b l e c e r q u e t o d a s l a s f r a c ci o n e s p o r d e s c o mp o s i ci ó n d e
d e n o mi n a d o r t i e n e c o mo b a s e l a f r a c ci ó n ½ . E l n ú me r o d e l u g a r e s e n l a
r e p r e s e n t a ci ó n d e c i ma l e s n q u e s o n l o s d í g i t o s d e c o mp o s i ci ó n d e s p u é s d e l a
c o ma y e n c o n ju n c i ó n c o n 5
n
q u e e s e l r e s u l t a d o n u mé r i c o d e l a r e p r e se n t a ci ó n
d e c i ma l .
9 . E n u n p r o ce s o h o mó l o g o , c o n f e cc i o n é u n a t a b l a , q u e mu e s t r a f r a c c i o n e s ,
t a mb i é n d e l t i p o u n i t a r i a , c u y o d e n o mi n a d o r e s s o n p o t e n ci a s d e ci n c o y o b s e r v é
u n p a t r ó n si mi l a r q u e si g u e n l a s r e p r e s e n t a ci o n e s d e ci ma l e s :
Fracción
1
/5
1
/25
1
/125
Denominador
Factorización
Prima
Número de lugares
decimales
Representación
Decimal
5
51
1
0,2
5
2
2
0,04
5
3
3
0,008
25
125
4

5. Narrativa de un Problema.
Prof. Dip l. Lenc ion i, Gu stavo Omar.
1
/625
625
54
4
0 , 0 0 16
/3125
3.125
55
5
0 , 0 0 03 2
6
6
0 , 0 0 00 6 4
1
1
/15625
15.625
5
…………
0,0……………a
1
/5m
5m
5m
m d í g i t o s d e sp ué s
d e l a co m a .
m
(Dígitos a=2 m)
1
1 0 . L a r e p r e s e n t a ci ó n d e ci ma l d e
reali zando
el
c o ci e n t e
/5m, a l i g u a l q u e e n e l c a s o a n t e r i o r , se o b t u v o
entre
las
p o t e n ci a s
de
2
y
sus
correspondi entes
p o t e n ci a s d e 1 0 , a q u í t a mb i é n s e p u e d e o b se r v a r q u e t o d a s l a s f r a c c i o n e s
t i e n e n c o mo b a s e l a f r a c ci ó n 1/5.
1 1 . A l i g u a l q u e a n t e s , e l n ú me r o d e l u g a r e s e n l a r e p r e s e n t a ci ó n d e c i ma l e s m q u e
s o n l o s d í g i t o s d e c o mp o s i c i ó n d e sp u é s d e l a c o ma y e n v í n c u l o c o n 2 m q u e e s
e l r e s u l t a d o n u mé r i c o d e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e ci ma l .
12. Ahora,
con
los
regi stros
y
a n á l i si s
d e d u ci d o s
en
los
anteri ores
pasos,
confecci oné otra tabl a para observar qué sucede cuando se combi na l as
p o t e n ci a s d e 2 y l a d e 5 , o b t e n i e n d o :
Fracción
Denominador
Factorización
Prima
Número de lugares
decimales
Representación
Decimal
10
21 . 51
1
/10
/50
0,1
2 .5
1
2
0,05
50
1
/20
1
20
1
21 . 52
2
/500
1
/4000
0,02
2 .5
2
3
0,005
500
1
/200
2
200
1
22 . 53
3
0,002
5
0 , 0 0 02 5
M á x i m o { n; m }
Varias
co n je t ur a s .
3
5
3
4.000
2 .5
2n . 5 m
2n . 5m
…………
1/(2n . 5m)
1 3 . D e s p u é s d e va r i o s p u n t o s d e a n á l i s i s y b ú s q u e d a s d e p a t r o n e s p u d e a n a l i za r
q u e s i u n p r o b l e ma s e c o n c i b e n o c o mo o b je t o d e f i n i d o p o r s u p l a n t e o s i n o e n
función
a n a l i za r á
del
en
conteni do
ma t e má t i co
c o r r e l a ci ó n
a
la
que
pone
respuesta
e f e c t i v a me n t e
que
d e se n c a d e n e
en
ju e g o ,
b a jo
se
ciertas
c o n d i ci o n e s .
5

6. Narrativa de un Problema.
Prof. Dip l. Lenc ion i, Gu stavo Omar.
1 4 . E n s í n t e s i s , e n l u g a r d e q u e d a r f i ja d o a l a p r o p u e s t a , e mb l e má t i c a y d e f i n i t i v a ,
e l d i s e ñ o d e u n b u e n p r o b l e ma p o d r í a c o n si d e r a r s e c o mo t a r e a n u e s t r a e n
d e s e n v o l vi mi e n t o d i a l é c t i c o ;
1 5 . D e l a mi s ma ma n e r a , s e p u e d e a n t i ci p a r , c o mo u n a c u e s t i ó n d e d i s e ñ o , l a
p r o p i a i n s t i t u ci o n a l i za ci ó n d e l c o n o c i mi e n t o ma t e má t i c o , p u e s t o q u e d e e s t e
mo d o f a v o r e c e a l d e s a r r o l l o d e l a si t u a ci ó n p r o b l e má t i c a , y a s e a p o r l a s
c o n s t r u c ci o n e s q u e s e l l e v a n a c a b o , p o r l o s p r o p i o s a p r e n d i z a je s q u e s e
c o n s t r u y e n , o p o r l a s c o n ce p ci o n e s q u e i n t e n t e mo s mo d i f i c a r ;
1 6 . A h o r a b i e n c o n t o d o e l l o , me p r e g u n t é , ¿ C ó mo h a l l a r l a e xp a n s i ó n d e ci ma l d e
u n a f r a c ci ó n d e e s t e t i p o ? Cl a r a me n t e p o r me d i o d e u n a d i vi si ó n ( cl a r a me n t e ) ,
y q u e e s t a d i vi si ó n s e d e t i e n e si e l r e s t o d a c e r o y a q u í a p a r a s e e l r e st o c o mo
p u n t a p a r a “ d e mo s t r a r ” e l p r o b l e ma . T e n i e n d o e n c u e n t a a / b d o n d e 1 = a < b ;
1 7 . A t r a v é s d e l a s t a b l a s , s e p u e d e o b s e r v a r q u e e l r e s t o e s si e mp r e me n o r q u e e l
d e n o mi n a d o r . D a d o q u e e l r e s t o e s me n o r q u e b y a d e má s p o s i t i v o , l a s ú n i c a s
o p c i o n e s q u e h a y p a r a l o s r e s t o s so n 0 , 1 , 2 , b - 1 ;
1 8 . E n t o n c e s , d a d o q u e l o s r e s t o s e s t á n r e s t r i n g i d o s a u n n ú me r o f i n i t o d e v a l o r e s
l a f r a c ci ó n n o e s p e r i ó d i c a , p o r q u e a l s e r u n r e s t o c e r o l a d i vi si ó n se d e t i e n e .
E s t o q u i e r e d e c i r q u e l a f r a c ci ó n s e e s c r i b e c o mo : a / b = 0 , a 1 … … … … . . a n ;
1 9 . M u l t i p l i ca n d o
y
a1…………..an/10
di vidi endo
h
Dado
por 10h el
que a/b es
n
mi e mb r o
i r r e d u ci b l e ,
derecho
o b t e n e mo s
entonces b/10
h
se
a/b
=
puede
m
e xp r e s a r d e mo d o q u e b = 2 . 5 . E s t o “ ma n i f e s t a r í a ” e l h e c h o q u e s i l a f r a c ci ó n
n
p r e s e n t a a b d e l a f o r ma 2 . 5
m
s u e xp a n s i ó n s e r á f i n i t a ;
20. He aquí ll egado, es l a gran pregunta…
6