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RELAÇÕES DE ORDEM
(ORDEM EM CONJUNTOS)
Allysson Fernandes Vieira
Disciplina: Álgebra Linear 2
Profº. Felipe

Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
1. Compreender o conceito de relação binária e suas propriedades fundamentais.
2. Entender o que caracteriza uma relação de ordem.
3. Distinguir ordem parcial e ordem total, com exemplos numéricos e não numéricos.
4. Identificar elementos máximos, mínimos e não comparáveis.
5. Introduzir o conceito do Princípio da Boa Ordenação.

Relação Binária
1. Relação Binária
Uma relação binária entre elementos de um conjunto A é qualquer subconjunto de
A×A (produto cartesiano).
👉 Em outras palavras, é uma regra que associa pares de elementos de um mesmo
conjunto.
Exemplo:
Se A={1,2,3}, então
R={(1,2),(2,3)} A×A.
⊆
Dizemos que:
1 está relacionado a 2,
2 está relacionado a 3.
📘 Notação:
Se (a,b) R, escrevemos aRb.
∈

Relação Binária: Exemplos
Exemplo 1 — Numérico:
Seja A={1,2,3}
Defina a relação R={(1,2),(2,3)}.
→ 1R2 e 2R3.
É uma relação binária porque está dentro de A×A
🔹 Exemplo 2 — Não numérico:
Seja A={Ana,Bruno,Carlos}.
Relação “é amigo de”:
R={(Ana,Bruno),(Bruno,Carlos)}.
→ Ana é amiga de Bruno, Bruno é amigo de Carlos.

Propriedades Fundamentais
Seja R uma relação definida em um conjunto A. Para R,
definimos as seguintes propriedades:

Reflexiva;


Simétrica;


Anti-simétrica;


Transitiva.


Vejamos cada uma delas a seguir:

Propriedade Reflexiva: Uma relação R em um
conjunto A é chamada de reflexiva se (x, x) ∈ R
para todo elemento x ∈ A.

Propriedade Simétrica: Uma relação R em um
conjunto A é chamada de simétrica se (y, x) ∈
R sempre que (x, y) ∈ R.

Propriedade Antissimétrica: Uma relação R em
um conjunto A é chamada antissimétrica se,
para quaisquer x, y ∈ A, se (x, y) ∈ R e (y,
x) ∈ R, então x = y.

Propriedade Transitiva: Uma relação R em um
conjunto A é chamada transitiva se, sempre
que (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, então (x, z) ∈ R, x, y, z
∈ A.

Definição e propriedades
Resumo das propriedades

Relação de Ordem
Definição 1(Relação): Uma relação é um conjunto de pares ordenados.
Exemplo: R = { (1,3), (2,4), (1,0) }
Definição 2 (Relação entre conjuntos): Seja R uma relação e sejam A e B conjuntos.
Dizemos que R é uma relação sobre A desde que e R é uma relação de A
em (para) B se
Exemplo: Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 3, 4, 5, 6} temos as relações:
1) R = { (1,3), (2,3), (1,1) } é sobre A;
2) S = { (3,3), (3,4), (4,6) } é sobre B;
3) T = { (1,3), (1,4), (2,6) } é de A em B.

Relação de Ordem
Uma relação de A em B é um subconjunto R de pares
ordenados onde:

o primeiro elemento do par vem de A;

o segundo elemento do par vem de B.
Usamos xRy para indicar (x, y) ∈ R. Dessa forma, temos que
x está relacionado com y por R.
Formalmente,
OBS.: Alguns autores definem a relação aqui discutida
como relação binária, porque ela relaciona elementos de dois
conjuntos. Se forem mais de 2 conjuntos temos uma
relação n-ária.

Exemplos:
Ex.1:
Ex.2: Seja A = {1, 2, 3, 4}
Construa esta relação sobre
A.

Exemplos de Relações de Ordem
Exemplos de Relações de Ordem
Exemplo numérico
No conjunto dos números reais R:
A relação “≤” é uma ordem total.
Qualquer dois números reais são comparáveis:
para todo a,b R, ou a ≤ b ou b ≤ a.
∈
Exemplo em divisibilidade ( ):
ℕ
“a divide b” (denotado a b ) é uma
∣ ordem parcial em N.
Exemplo:
2 | 4 e 2 | 6, mas 4 e 6 não se comparam, pois nenhum divide o outro.
Exemplo não numérico
Em P(A) (o conjunto das partes de A),
a relação “ ” é uma
⊆ ordem parcial:
{1} {1,2}, mas {1,2} {3}.
⊆ ⊄

Ordem Parcial × Ordem Total
Tipo de Ordem Comparabilidade Exemplo
Ordem Parcial
Nem todos os elementos
podem ser comparados
“ ”
⊆ em conjuntos, “
Ordem Total
Todos os elementos podem ser
comparados
“≤” nos números reais
💬 Exemplo de análise:
•( , ≤) →
ℝ Total
•( , |) →
ℕ Parcial
•(P(A), ) →
⊆ Parcial

Máximos, Mínimos e Elementos Incomparáveis
• Elemento máximo: nenhum elemento é maior que ele.
• Elemento mínimo: nenhum elemento é menor que ele.
• Máximo absoluto: é o maior de todos (único em ordens totais).
• Elementos incomparáveis: não existe relação de ordem entre eles.

1. Máximo e Mínimo (do conjunto todo)
👉 O máximo de um conjunto é o maior elemento de todos (nenhum outro é maior que ele).
O
👉 mínimo é o menor de todos (nenhum outro é menor que ele).
Exemplo:
Considere o conjunto A={1,2,3,4,5} com a relação “≤”.
Máximo: 5, pois 5 ≥ todos os outros.
Mínimo: 1, pois 1 ≤ todos os outros.
2. Elemento máximo e elemento mínimo (em relações parciais)
Quando a relação não compara todos os elementos (como “divide” ou “está contido em”), o
máximo e o mínimo podem não existir, mas podem haver elementos máximos ou mínimos.
Elemento máximo: não existe outro elemento que seja maior que ele.
Elemento mínimo: não existe outro elemento que seja menor que ele.
Exemplo:
Seja A={2,3,6}, com a relação “divide” (|).
Ou seja: a ≤ b a divide b.
As divisões possíveis:
2 divide 6
3 divide 6
2 não divide 3 e 3 não divide 2

➡Mínimo: 2 e 3 (cada um é mínimo, pois nenhum outro é menor que eles).
➡Máximo: 6 (é divisível por todos).
3. Elementos incompatíveis (ou incomparáveis)
Dois elementos são incompatíveis (ou incomparáveis) se nenhum é relacionado ao
outro pela relação de ordem.
🔹 Exemplo:
Usando o mesmo conjunto A={2,3,6} e a relação “divide”:
2 divide 6 → são comparáveis.
3 divide 6 → são comparáveis.
⚠ 2 não divide 3 e 3 não divide 2 → 2 e 3 são incompatíveis.

Princípio da Boa Ordenação
Em ℕ, qualquer subconjunto não vazio possui um elemento mínimo.
➡ Isso é consequência de uma ordem total bem definida.
Esse princípio é a base para demonstrações por indução e definições
recursivas.
Em relações totalmente ordenadas, sempre conseguimos determinar máximos e
mínimos.
Mas…
🔹 e quando não conseguimos comparar certos elementos?
🔹 como identificar elementos que não são maiores nem menores que os outros?
👉 Essas perguntas introduzem o próximo seminário, sobre elementos não
comparáveis e estruturas parcialmente ordenadas.

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