O documento descreve um algoritmo para equilibrar uma coloração de arestas de um grafo, de modo que cada cor seja utilizada aproximadamente da mesma quantidade de vezes. Ele define equilíbrio como usar cada cor entre o piso e o teto da divisão do número de arestas pelo número de cores. O algoritmo implementa caminhos de Kempe para trocar cores entre matchings adjacentes até alcançar uma coloração equilibrada.

1. Coloração Equilibrada de Arestas Afonso Henrique Sampaio Henrique Chevreux Thiago Fioravante

2. Apresentação do problema Dada uma coloração própria, pretende-se obter uma coloração com distribuição mais equilibrada entre as cores utilizadas(ie, busca-se equilibrar a quantidade de elementos em cada matching) Aplicações: Alocação de professores a turmas buscando minimizar o número de períodos requeridos para ministrar todas aulas necessárias Alocação de canais de comunicação em redes sem fio

3. Entrada Entrada consiste em um grafo propriamente colorido(potencialmente não-equilibrado)

4. Saída Saída é o grafo de entrada com coloração própria e equilibrada

5. Definindo equilíbrio Dada uma k- coloração própria, é sempre possível obter outra k - coloração própria que usa cada cor no mínimo piso(|E|/k) e no máximo teto(|E|/k) Portanto, a diferença entre a quantidade de vezes que cada cor é utilizada(no equilíbrio) é no máximo 1 - ou então 0 quando piso(|E|/k) = teto(|E|/k) . No exemplo anterior: |E| = 18 k = 7 piso(|E|/k) = piso(18/7) = 2 teto(|E|/k) = teto(18/7) = 3

6. Não-equilibrada |Laranja| = 1; |Azul-escuro| = 2; |Verde-claro| = 3; |Verde-escuro| = 3; |Vermelho| = 3; |Rosa| = 3; |Azul-claro| = 3;

7. Equilibrada |Laranja| = 2; |Azul-escuro| = 2; |Verde-claro| = 3; |Verde-escuro| = 3; |Vermelho| = 3; |Rosa| = 3; |Azul-claro| = 2;

8. Implementação Estruturas de dados implementadas Grafo armazenado em matriz de adjacências ponderada(o peso é a cor atual da aresta) Cada matching é uma lista de arestas Para cada vértice há uma lista das cores representadas naquele vértice

9. |V| = 10; |E|=40; k=10; limites=[4, 4]

10. antes da troca: |roxo| = 1; |verde-claro| = 5

11. depois da troca: |roxo| = 2; |verde-claro| = 4

12. antes da troca: |roxo| = 2; |verde-escuro| = 5

13. depois da troca: |roxo| = 3; |verde-escuro| = 4

14. antes da troca: |roxo| = 3; |laranja| = 5

15. caminhos de Kempe para cores laranja e roxo

16. construindo caminho de Kempe(começa com (1, 4))

17. insere aresta (4, 2) no caminho

18. insere aresta (2, 7) no caminho

19. insere aresta (1, 9) no outro extremo do caminho

20. insere aresta (9, 8) no caminho

21. inverte as cores no caminho de Kempe

22. coloração equilibrada, após todas as trocas

23. grafo original

24. Próximos passos Testar o programa para instâncias maiores Avaliar estratégias ou estruturas mais eficientes Comparar execução para estratégias diferentes de implementação(cada uma utilizando uma estrutura em particular)