1) O documento é uma lista de exercícios resolvidos de física básica sobre ondas, preparada por um professor de física teórica da UFPB. 2) A lista contém questões sobre velocidade do som, propagação de ondas sonoras, intensidade, efeito Doppler e outros tópicos relacionados a ondas. 3) As respostas dos exercícios explicam conceitos como ressonância em colunas de ar, propagação de ondas em meios elásticos, detecção de batimentos cardíacos por ultrassom e

1. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
Exerc´ıcios Resolvidos de F´ısica B´asica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal da Para´ıba (Jo˜ao Pessoa, Brasil)
Departamento de F´ısica
Numerac¸˜ao conforme a SEXTA edic¸˜ao do “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas
Contents
18 ONDAS - II 2
18.1 Question´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
18.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
18.3 A Velocidade do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
18.4 Propagac¸˜ao de Ondas Sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
18.5 Intensidade e N´ıvel do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
18.6 Fontes Sonoras Musicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
18.7 Batimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
18.8 O Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
18.9 O Efeito Doppler para a Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...)
(listaq3.tex)
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18 ONDAS - II
18.1 Question´ario
18-3. Que evidˆencia experimental existe para afirmar-
mos que a velocidade do som, no ar, ´e a mesma para
qualquer comprimento de onda?
O fenˆomeno do eco evidencia bem este fato. Se o
ar fosse um meio dispersivo, o som refletido no eco n˜ao
reproduziria o som emitido.
18-6. Qual ´e a func¸˜ao comum das v´alvulas de um pis-
tom e da vara do trombone?
As v´alvulas do pistom e a vara do trombone tem a
func¸˜ao de alterar o comprimento da coluna de ar no in-
terior destes instrumentos, para produzir as freq¨uˆencias
correspondentes `as notas musicais.
18-9. Quando vocˆe bate em um dos dentes de um di-
apas˜ao, o outro dente tamb´em oscila, mesmo que a
extremidade inferior do diapas˜ao esteja fixa. Como isto
acontece? E como pode o segundo dente oscilar, do
mesmo modo que o primeiro (`a mesma freq¨uˆencia)?
O segundo dente do diapas˜ao oscila - e com a mesma
freq¨uˆencia - porque uma onda se propaga tamb´em no
interior da estrutura cristalina do metal de que ´e feito o
diapas˜ao.
18-11. Como podemos localizar, numa experiˆencia, as
posic¸˜oes dos n´os e ventres em uma corda, em uma col-
una de ar e em uma superf´ıcie vibrante?
As posic¸˜oes dos n´os e ventres em uma corda s˜ao
facilmente visualizados, se a freq¨uˆencia n˜ao for muito
grande. Na coluna de ar, os n´os e ventres podem ser
determinados pelo dispositivo ilustrado na Fig. 18-29 e
descrito no exerc´ıcio 18-49E. Numa superf´ıcie vibrante,
podemos espalhar algum p´o bem vis´ıvel e observar onde
ele se acumula para diferentes freq¨uˆencias de oscilac¸˜ao.
A Fig. 17-19 mostra alguns modos de vibrac¸˜ao da mem-
brana de um tambor.
18-14. Explique o som aud´ıvel produzido ao passar o
dedo ´umido pela boca de um c´alice de vinho.
O interior do c´alice ´e como uma coluna de ar e uma
ressoˆancia acontece para uma dada freq¨uˆencia do movi-
mento do dedo. Mudando o n´ıvel do vinho no c´alice,
muda a altura da coluna de ar e a ressonˆancia vai acon-
tecendo para outras freq¨uˆencias.
18-15. Um relˆampago dissipa uma quantidade enorme
de energia e ´e essencilamente instantˆaneo pelos padr˜oes
de nossa vida di´aria. Como essa energia se transforma
no som do trov˜ao?
A corrente el´etrica no relˆampago produz um aque-
cimento do ar, que sofre uma brusca expans˜ao, pro-
duzindo a propagac¸˜ao de uma onda sonora de grande
amplitude.
18-16. Ondas sonoras podem ser usadas para medir
a velocidade com que o sangue passa pelas veias e
art´erias. Explique como.
Ondas ultra-sˆonicas atingem e s˜ao refletidas pelas
estruturas de diferentes densidades presentes no sangue
e movendo-se com ele ao longo das veias e art´erias. A
freq¨uˆencia refletida ser´a maior ou menor que a emitida,
em func¸˜ao do movimento.
18-18. Suponhamos que, no efeito Doppler para o som,
a fonte e o receptor est˜ao em repouso em relac¸˜ao a
algum ponto de referˆencia, mas o ar est´a se movendo
levando em conta esse ponto. Haver´a mudanc¸as no
comprimento de onda (ou freq¨uˆencia) recebido?
N˜ao. Deve haver um movimento relativo entre fonte
e receptor para observarmos mudanc¸as no comprimento
de onda.
18-20. De que modo o efeito Doppler pode ser usado
em um instrumento para detectar a batida do corac¸˜ao de
um feto? (Este procedimento ´e rotineiro em medicina.)
O movimento do m´usculo card´ıaco altera a
freq¨uˆencia das ondas ultra-sˆonicas na reflex˜ao, per-
mitindo assim a detecc¸˜ao das suas batidas.
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3. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
18.2 Exerc´ıcios e Problemas
18.3 A Velocidade do Som
18-2E. Uma coluna de soldados, marchando a 120 pas-
sos por minuto, segue a m´usica da banda `a frente do
pelot˜ao. Observa-se que os soldados atr´as da coluna
avanc¸am com o p´e esquerdo, enquanto os m´usicos da
banda avanc¸am com o direito. Qual o tamanho da col-
una, aproximadamente?
A freq¨uˆencia da marcha ´e de 2 passos por segundo e
as passadas dos m´usicos e dos soldados atr´as da coluna
est˜ao defasadas de meio comprimento de onda:
λ =
v
f
= 171.5 m.
Portanto, o tamanho da coluna ´e, aproximadamente,
λ
2
= 85.8 m.
18-5E. A densidade m´edia da crosta terrestre, 10 km
abaixo da superf´ıcie, ´e de 2.7 g/cm3
. A velocidade das
ondas longitudinais s´ısmicas a essa profundidade, en-
contrada a partir da medida do tempo em que chegam,
vindas de terremotos distantes, ´e de 5.4 km/s. Use
esta informac¸˜ao para achar o m´odulo de elasticidade
volum´etrica da crosta terrestre a essa profundidade. Para
comparac¸˜ao, o m´odulo de elasticidade volum´etrica do
ac¸o ´e, aproximadamente, 16 × 1010
Pa.
Aplicamos diretamente a relac¸˜ao entre a velocidade
de propagac¸˜ao, a densidade do meio e o m´odulo de elas-
ticidade:
B = ρv2
= 7.87 × 1010
Pa.
O m´odulo de elasticidade da crosta `a profundidade dada
´e a metade do do ac¸o.
18-8P. A velocidade do som em um certo metal ´e V .
Em uma extremidade de um longo tubo deste metal, de
comprimento L, se produz um som. Um ouvinte do
outro lado do tubo ouve dois sons, um da onda que se
propaga pelo tubo e outro da que se propaga pelo ar. (a)
Se v ´e a velocidade do som no ar, que intervalo de tempo
t ocorre entre os dois sons? (b) Supondo que t = 1.00 s
e que o metal ´e o ferro, encontre o comprimento L.
(a) O tempo que a onda que se propaga pelo ar leva
para percorrer L ´e t1 = L/v e o tempo para a que se
propaga no metal ´e t2 = L/V . Portanto,
t = t1 − t2 = L
(V − v)
vV
(b) Tomando V = 5900 m/s, aproximadamente, obte-
mos L = 364 m.
18-11P. Uma pedra ´e jogada num poc¸o. O som da pedra
se chocando com a ´agua ´e ouvido 3.00 s depois. Qual a
profundidade do poc¸o?
A profundidade do poc¸o ´e y = g t2
q/2, onde tq ´e o
tempo que a pedra leva para atingir a ´agua. Mas tamb´em
y = v ts, sendo ts o tempo que o som leva para alcanc¸ar
a borda do poc¸o. A soma desses tempos ´e o intervalo
medido:
tq + ts = 3.00 s.
Igualando as equac¸˜oes para a profundidade y,
v(3.00 − tq) =
1
2
g t2
q,
teremos uma equac¸˜ao do segundo grau para tq, cuja raiz
v´alida, tq = 2.88 s, fornece a profundidade do poc¸o
y = 41.0 m.
18.4 Propagac¸˜ao de Ondas Sonoras
18-14E. Ultra-som `a freq¨uˆencia de 4.50 MHz ´e usado
para examinar tumores nos tecidos internos. (a) Qual o
comprimento de onda no ar dessas ondas sonoras? (b)
Se a velocidade do som no tecido ´e de 1500 m/s, qual o
comprimento de onda das ondas no tecido?
(a) O comprimento de onda ´e dado por
λ =
v
f
≈ 76 µm.
(b) Se vt = 1500 m/s, ent˜ao o comprimento de onda no
tecido ´e
λt =
vt
f
= 0.33 mm.
18-18P. A press˜ao em uma onda sonora progressiva ´e
dada pela equac¸˜ao
∆p = (1.5 Pa) sen π (1.00 m−1
)x − (330 s−1
)t .
Encontre (a) a amplitude de press˜ao, (b) a freq¨uˆencia,
(c) o comprimento de onda e (d) a velocidade da onda.
(a) Da equac¸˜ao da onda temos diretamente que a aml-
pitude ´e de 1.5 Pa.
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4. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
(b) A freq¨uˆencia angular ´e ω = 330π rad/s. Ent˜ao a
freq¨uˆencia das oscilac¸˜oes ´e
f =
ω
2π
= 165 Hz.
(c) O n´umero de onda angular ´e k = π rad/m. Ent˜ao o
comprimento de onda ´e
λ =
2π
k
= 2.0 m.
(d) A velocidade de propagac¸˜ao da onda ´e dada por
v = λf =
ω
k
= 330 m/s.
18-21P. Na Fig. 18-25, dois alto-falantes, separados por
uma distˆancia de 2.00 m, est˜ao em fase. Supondo que
a amplitude dos sons dos dois seja, de modo aproxi-
mado, a mesma na posic¸˜ao do ouvinte, que est´a a 3.75
m diretamente `a frente de um dos alto-falantes. (a) Para
quais freq¨uˆencias aud´ıveis (20-20000 Hz) existe um
sinal m´ınimo? (b) Para quais freq¨uˆencias o som fica ao
m´aximo?
(a) A condic¸˜ao para a ocorrˆencia dos m´ınimos ´e que
a diferenc¸a de percurso entre as fontes e o ouvinte seja
um n´umero m inteiro de meios comprimentos de onda:
∆s = s1 − s2 = (m +
1
2
)λ.
onde s1 = (3.75)2 + (2.00)2 = 4.25 m e s2 =
3.75 m. Reescrevemos a equac¸˜ao dos m´ınimos para as
freq¨uˆencias:
f = (m +
1
2
)
v
∆s
,
da qual obtemos, para m = 0, f0 = 343 Hz, a menor
freq¨uˆencia no intervalo aud´ıvel. A maior freq¨uˆencia no
intervalo ocorre para m = 28, sendo f28 = 19551 Hz.
(b) A condic¸˜ao para a ocorrˆencia dos m´aximos ´e que a
diferenc¸a de percurso seja um n´umero inteiro de com-
primentos de onda
∆s = mλ =
v
f
.
Explicitando a freq¨uˆencia, temos
f = m
v
∆s
,
que fornece f1 = 686 Hz e f29 = 19894 Hz para a
menor e a maior freq¨uˆencias no intervalo aud´ıvel.
18-24P. Uma onda sonora de comprimento de onda de
40.0 cm entra no tubo mostrado na Fig. 18-26. Qual
deve ser o menor raio r, de modo que um m´ınimo seja
registrado pelo detector?
Para um m´ınimo, a diferenc¸a de percurso ser´a
πr − 2r =
λ
2
,
de modo que obtemos para o raio
r =
λ
2(π − 2)
= 17.52 cm.
18-25P. Na Fig. 18-27, uma fonte pontual F de ondas
sonoras est´a pr´oxima a um muro refletor AB. Um de-
tector D intercepta o raio sonoro R1, vindo diretamente
de F. Tamb´em intercepta o raio sonoro R2, que foi re-
fletido pelo muro com um ˆangulo de incidˆencia θi igual
ao ˆangulo de reflex˜ao θr. Encontre as duas freq¨uˆencias
para as quais existe interferˆencia construtiva entre R1 e
R2 em D. (A reflex˜ao do som no muro n˜ao altera a fase
da onda sonora.)
Observando a geometria da Fig. 18-27, temos para o
raio R1:
R1 = 802 + 502 = 94.34 ft.
O raio R2 ´e refletido pelo muro AB num ponto que est´a
`a distˆancia b verticalmente abaixo de F. Da semelhanc¸a
dos triˆangulos estabelecemos
b
10
=
50 − b
90
,
que nos fornece o valor b = 5 ft. Agora podemos deter-
minar R2:
R2 = 452 + 902 = 100.62 ft.
A distˆancia d, de F at´e o ponto do muro de onde R2 ´e
refletido, ´e
d = 52 + 102 = 11.18 ft.
Agora podemos calcular a diferenc¸a de percurso ∆l nos
caminhos de R1 e R2 at´e D:
∆l = d + R2 − R1 = 17.46 ft.
Para os m´aximos de interferˆencia devemos ter
∆l = mλ, com m = 0, 1, 2, ...
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5. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
Explicitando essa relac¸˜ao para a freq¨uˆencia, temos
f1 =
v
∆l
=
1125
17.46
= 64.5 Hz e
f2 =
2v
∆l
=
2250
17.46
= 129 Hz.
18.5 Intensidade e N´ıvel do Som
18-29E. Uma nota de freq¨uˆencia 300 Hz tem uma inten-
sidade de 1.00 µW/m2
. Qual a amplitude das oscilac¸˜oes
do ar, causadas por este som?
Tirando sm da relac¸˜ao da intensidade, vem
sm =
2I
ρvω2
1/2
= 36.8 nm.
18-30E. Dois sons diferem em n´ıvel por 1.00 dB. Por
que n´umero ficam multiplicadas (a) sua intensidade e
(b) sua amplitude?
Se a diferenc¸a em n´ıvel ´e de 1.00 dB, ent˜ao
(10 dB) log
I2
I1
= 1.0 dB,
log
I2
I1
= 0.1.
(a) Ent˜ao o fator entre as intensidades ´e
I2 = 1.26 I1.
(b) E o fator entre as amplitudes ´e
sm,2
sm,1
=
√
1.26 = 1.12.
18-34E. Uma fonte de ondas sonoras tem uma potˆencia
de 1.00 µW. Se for uma fonte pontual (a) qual a intensi-
dade a 3.00 m de distˆancia e (b) qual o n´ıvel do som em
decib´eis a essa distˆancia?
(a) Dada a potˆencia, calculamos a intensidade por
I =
P
4πr2
= 8.84 × 10−9
W/m2
.
(b) O n´ıvel sonoro para a distˆancia pedida, com I0 =
10−12
W/m2
, ser´a
β = (10 dB ) log
I
I0
= (10 dB ) log
8.84 × 10−9
1.0 × 10−12
= (10 dB )(3.95) = 39.5 dB
18.36P (a) Mostre que a intensidade I de uma onda ´e o
produto da energia da onda por unidade de volume u e
sua velocidade v. (b) Ondas de r´adio viajam `a veloci-
dade de 3.00 × 108
m/s. Encontre u para uma onda de
r´adio distando 480 km de uma fonte de potˆencia 50000
W, considerando as ondas esf´ericas.
(a) Podemos recorrer `a an´alise dimensional. Na
relac¸˜ao da intensidade, I = ρvω2
s2
m/2, o fator
ρω2
s2
m/2 tem dimens˜ao de energia por unidade de vol-
ume (verifique!), portanto, podemos expressar a intensi-
dade em termos de u como I = uv.
(b) Com os dados fornecidos, calculamos a intensidade:
I =
P
4πr2
= 1.73 × 10−8
W/m2
.
E com a relac¸˜ao do ´ıtem (a), obtemos
u =
I
v
= 5.77 × 10−17
J/m3
.
18-39P. Encontre as raz˜oes das (a) intensidades, (b) am-
plitudes de press˜ao e (c) amplitudes de deslocamentos
de part´ıculas para dois sons cujos n´ıveis diferem por 37
dB.
(a) Para a raz˜ao entre as intensidades, temos
log
I2
I1
= 3.7
I2
I1
= 5012.
(b) Explicitando a raz˜ao entre as intensidades, temos
I2
I1
=
ω2
s2
m,2
ω2s2
m,1
,
que fornece para a raz˜ao entre as amplitudes de press˜ao
∆p2
∆p1
=
ωsm,2
ωsm,1
=
I2
I1
= 70.8
(c) A raz˜ao entre as amplitudes de deslocamento ´e a
mesma raz˜ao entre as amplitudes de press˜ao.
18-40P. A uma distˆancia de 10 km, um berrante de
100 Hz, considerado como uma fonte pontual, ´e ouvido
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6. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
muito baixo. A que distˆancia comec¸ar´a a causar dor nos
ouvidos?
O limiar da audic¸˜ao dolorosa ´e de 120 dB, de acordo
com a Tabela 18-3. Esse n´ıvel sonoro corresponde `a in-
tensidade
log
I
I0
= 12,
I = 1012
I0 = 1.0 W/m2
.
Para as distˆancias em quest˜ao, com r0 = 104
m, temos
I0r2
0 = Ir2
,
que fornece r = 10−2
m.
18-41P. Vocˆe est´a parado a uma distˆancia D de uma
fonte que emite ondas sonoras, de forma igual, em to-
das as direc¸˜oes. Caminha 50.0 m em direc¸˜ao `a fonte e
observa que a intensidade das ondas foi dobrada. Cal-
cule a distˆancia D.
Com a equac¸˜ao P = I(4πr2
), relacionamos as in-
tensidades nas duas distˆancias,
ID2
= 2I(D − 50)2
,
obtendo uma equac¸˜ao do segundo grau para a vari´avel
D, cuja raiz v´alida fornece D = 171 m.
18-45P. A Fig. 18-28 mostra um interferˆometro
ac´ustico, cheio de ar, usado para demonstrar a inter-
ferˆencia de ondas sonoras. F ´e um diafragma; D ´e um
detector de som, como o nosso ouvido ou um micro-
fone. O comprimento FBD pode ser variado, enquanto
o comprimento FAD ´e fixo. Em D, a onda sonora vinda
de FBD interfere com a vinda de FAD. A intensidade
do som em D tem um valor m´ınimo de 100 unidades em
uma certa posic¸˜ao de B e cresce, de maneira cont´ınua,
at´e um valor m´aximo de 900 unidades quando B ´e
deslocado de 1.65 cm. Encontre (a) a freq¨uˆencia do
som emitido pela fonte e (b) a raz˜ao que a amplitude da
onda de FAD tem com a amplitude da onda de FBD
em D. (c) Como podem essas ondas terem diferentes
amplitudes, se foram originadas pela mesma fonte F?
(a) Do m´ınimo para o m´aximo, o deslocamento de
FDB ´e tal que faz crescer a diferenc¸a de percurso de
meio comprimento de onda para um comprimento de
onda inteiro, isto ´e,
λ
2
= 2 × 1.65 cm.
Portanto, λ = 6.6 cm e a freq¨uˆencia do som emitido
pela fonte ´e ent˜ao
f =
v
λ
=
343
0.066
= 5197 Hz.
(b) Chamemos de A a amplitude da onda que chega em
D vindo por FAD e B a amplitude da onda que vem
pelo caminho FBD. A intensidade ´e proporcional `a
amplitude ao quadrado. Ent˜ao,
Im´ax. = k(A + B)2
= 900,
Im´ın. = k(A − B)2
= 100.
Tomando a raz˜ao das intensidades, temos
(A + B)2
(A − B)2
= 9,
que nos leva ao resultado
A
B
= 2.
(c) O atrito entre o ar e as paredes do tubo reduz a ener-
gia das ondas no percurso. Como o percurso ´e diferente
para as duas ondas que se encontram em D, suas ampli-
tudes s˜ao diferentes.
18-46P*. Dois alto-falantes, F1 e F2, est˜ao a 7.0 m um
do outro e oscilam em fase, cada um emitindo som na
freq¨uˆencia de 200 Hz, de modo uniforme, em todas as
direc¸˜oes. F1 emite a uma potˆencia de 1.2 × 10−3
W e
F2 a 1.8 × 10−3
W. Seja um ponto P, que est´a 4.0 m
de F1 e 3.0 m de F2. (a) Como as fases das duas ondas
passando por P se realcionam? (b) Qual a intensidade
do som em P com F1 e F2 ligadas? (c) Qual a intensi-
dade do som em P, se F1 est´a desligado (F2 ligado)? (d)
Qual a intensidade do som em P, se F2 est´a desligado
(F1 ligado)?
(a) A distˆancia de F1 a P ´e r1 = 4.0 m e a distˆancia
de F2 a P ´e r2 = 3.0 m, tal que a diferenc¸a de percurso
´e ∆d = 1.0 m. Ent˜ao a diferenc¸a de fase entre as ondas
em P ´e
Φ =
2π∆d
λ
= 1.17π rad = 210o
Lembrando que as ondas que se combinam em P viajam
em sentidos opostos, a diferenc¸a de fase ´e de fato
δ = Φ − 180o
= 30o
.
(b) A intensidade do som com ambas as fontes lig-
adas depende da amplitude da onda que resulta da
superposic¸˜ao das ondas no ponto P. Como essas ondas
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7. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
fazem percursos diferentes, as amplitudes em P tamb´em
s˜ao diferentes. Suponhamos que em P temos x = 0. As
ondas que vamos somar s˜ao ent˜ao
y1 = A senωt e
y2 = B sen(ωt + δ),
onde A e B s˜ao as amplitudes das ondas. Usando a
identidade trigonom´etrica
sen(ωt + 30o
) = senωtcos30o
+ cosωtsen30o
chegamos `a express˜ao
y = Asenωt + B(0.87senωt + 0.5cosωt)
= (A + 0.87B)senωt + 0.5Bcosωt
= (A + 0.87B) senωt +
0.5B
A + 0.87B
cosωt
A onda y tem a forma geral da onda progressiva
y = Ymsen(ωt + β)
= Ym(senωtcosβ + cosωtsenβ)
18.6 Fontes Sonoras Musicais
18-49E. Na Fig. 18-29, um bast˜ao R est´a fixado pelo
seu centro; um disco D, preso a um extremo do bast˜ao,
est´a dentro de um tubo de vidro que tem pedac¸os de
cortic¸a enfileirados no seu interior. Um ˆembolo P ´e
colocado no outro extremo. Fazemos ent˜ao o bast˜ao os-
cilar, longitudinalmente, `a freq¨uˆencia f para produzir
ondas sonoras dentro do tubo, e o ˆembolo P ´e ajustado
at´e que uma onda estacion´aria seja conseguida no in-
terior do tubo. Quando isto acontece, os pedac¸os de
cortic¸a se acumulam nas regi˜oes correspondentes aos
n´os das ondas produzidas naquele interior. Mostre que,
se d ´e a distˆancia m´edia entre os pontos de acumulac¸˜ao,
a velocidade do som v no g´as, dentro do tubo, ´e dada
por
v = 2fd.
Este ´e o m´etodo de Kundt para determinar a velocidade
do som nos gases.
Se d ´e a separac¸˜ao entre os n´os da onda estacion´aria,
ent˜ao λ = 2d e a velocidade da onda sendo v = λf, nos
leva diretamente ao resultado pedido,
v = 2df.
18-54E. Um tubo de um ´org˜ao A, com as duas extremi-
dades abertas, tem uma freq¨uˆencia fundamental de 300
Hz. O terceiro harmˆonico de um ´org˜ao B, com uma
extremidade aberta, tem a mesma freq¨uˆencia que o se-
gundo harmˆonico do A. Qual o comprimento (a) do
tubo do ´org˜ao A e (b) do B?
Para um tubo com as duas extremidades abertas,
temos as freq¨uˆencias de ressonˆancia dadas por
fA = nA
v
2LA
, com nA = 1, 2, 3, ...
Para um tubo com uma extremidade aberta, as
freq¨uˆencias s˜ao
fB = nB
v
4LB
, com nB = 1, 3, 5, ...
(a) A freq¨uˆencia fundamental fornecida leva direta-
mente ao comprimento LA:
LA =
v
2fA1
=
343
600
= 0.57 m.
(b) Sabemos que fB3 = fA2, ou seja,
3v
4LB
=
v
LA
,
que nos fornece o comprimento LB = 0.43 m.
18-56P. Uma certa corda de violino tem 30 cm de com-
primento, est´a fixa nas suas duas extremidades e tem
massa de 2.0 g. A corda emite uma nota A (440 hz),
quando tocada sem se colocar o dedo. (a) Onde se deve
colocar o dedo para que a corda passe a emitir uma nota
C (523 Hz)? (b) Qual a raz˜ao entre os comprimentos
de onda da onda da corda necess´ario para uma nota A
e para uma C? (c) Qual a raz˜ao entre o comprimento
de onda da onda sonora, quando ´e tocada uma nota A e
uma C?
(a) Quando tocada sem colocar o dedo, a corda vi-
bra na sua freq¨uˆencia fundamental, fA = 440 Hz, com
λA = 2L = 0.60 m e a velocidade ´e v = λAfA = 264
m/s. Com o dedo posicionado, o comprimento de onda
na corda passa a ser λC = v/fC = 0.505 m. Sendo L
o novo comprimento da corda, temos
λC =
2L
n
,
e, se n = 1, vamos ter
L =
λC
2
= 0.25 m.
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8. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
Portanto, o dedo deve ser posicionado a
∆L = L − L = 5.0 cm
da extremidade da corda.
(b) A raz˜ao entre os comprimentos de onda na corda ´e
λA
λC
=
60
50.5
= 1.19.
(c) A raz˜ao entre os comprimentos de onda das ondas
sonoras ´e a mesma do ´ıtem (b).
18-57P. Uma corda de um violoncelo tem comprimento
L, para o qual a freq¨uˆencia fundamental ´e f. (a) De
qual comprimento l precisa a corda ser diminu´ıda com
o dedo, para mudar a freq¨uˆencia fundamental para rf?
(b) Qual o valor de l para L = 0.80 m e r = 6/5?
(c) Para r = 6/5, qual a raz˜ao entre o comprimento de
onda da nova onda sonora emitida pela corda e a emitida
antes da colocac¸˜ao do dedo?
As freq¨uˆencias de ressoˆancia da corda fixa nas duas
extremidades s˜ao
f =
v
2L
n, com n = 1, 2, 3, ...
Se f ´e a freq¨uˆencia fundamental, f = v/2L. A nova
freq¨uˆencia fundamental ´e rf = v/2(L − l).
(a) Tomando a raz˜ao entre as freq¨uˆencias rf e f, temos
r =
L
L − l
,
que nos fornece
l = L (1 −
1
r
).
(b) Com os dados fornecidos e o resultado do ´ıtem (a),
vem
l = 0.8(1 − 0.83) = 0.14 m.
(c) Para a freq¨uˆencia f, λ = 2L e para a freq¨uˆencia
rf, λ = 2L . Mas, L = L − l = r/L. Ent˜ao, para
r = 6/5,
λ
λ
=
1
r
=
5
6
.
E 18-60 ( na 6a
edic¸˜ao)
Uma palma no palco de um anfiteatro (Fig. 18-31) pro-
duz ondas sonoras que se dispersam em uma arquiban-
cada com degraus de largura L = 0.75 m. O som re-
torna ao palco como uma s´erie de pulsos peri´odicos, um
de cada degrau; os pulsos soam juntos como uma nota.
(a) A que freq¨uˆencia os pulsos retornar˜ao (isto ´e, qual
a freq¨uˆencia da nota percebida)? (b) Se a largura L dos
degraus fosse menor, a freq¨uˆencia percebida seria maior
ou menor?
(a) Para interferir construtivamente, as ondas refleti-
das pelos degraus devem conter um n´umero inteiro de
comprimentos de onda na diferenc¸a de percurso, ou seja,
∆d = mλ, com m = 0, 1, 2, ...
Para dois degraus consecutivos, ∆d = 2L e, para
m = 1, λ = 2L. Ent˜ao, a menor freq¨uˆencia (n = 1)
dos pulsos refletidos ser´a
f =
v
2L
=
343
(2)(0.75)
= 229 Hz.
(b) Como f ∝ 1/L, a freq¨uˆencia percebida seria maior
se L fosse menor.
18-63P. Uma corda de violino de 30.0 cm de compri-
mento com densidade linear de 0.650 g/m ´e colocada
pr´oxima de um alto-falante, que est´a conectado a um
oscilador de ´audio de freq¨uˆencia vari´avel. Descobre-se
que a corda oscila somente nas freq¨uˆencias 880 Hz e
1320 Hz, quando a freq¨uˆencia do oscilador varia entre
500 e 1500 Hz. Qual a tens˜ao na corda?
As freq¨uˆencias dadas correspondem a dois
harmˆonicos da corda, com n´umeros n1 e n2, respecti-
vamente. Com f = nv/2L, tomamos a raz˜ao entre os
harmˆonicos:
n2
n1
=
1320
880
= 1.5
Os valores que satisfazem esta raz˜ao s˜ao n1 = 2 e
n2 = 3. A velocidade da onda na corda, para n1 = 2, ´e
v =
2Lf
n
= (0.30)(880) = 264 m/s.
E, finalmente,
τ = µv2
= (0.65 × 10−3
)(264)2
= 45.3 N.
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18.7 Batimentos
18-65E. A corda A de um violino est´a frouxa. Quatro
batimentos por segundo s˜ao ouvidos, quando a corda
´e tocada junto a um diapas˜ao, cuja freq¨uˆencia corre-
sponde `a nota A (440 hz). Qual o per´ıodo da oscilac¸˜ao
da corda do violino?
Com fbat. = f1 − f2, e f2 = 440 Hz, a freq¨uˆencia
de vibrac¸˜ao da corda ´e f1 = 444 Hz. Potanto, o per´ıodo
das vibrac¸˜oes da corda ´e
T = f−1
= 2.25 ms.
E 18-66 ( na 6a
edic¸˜ao)
S˜ao-lhe dados quatro diapas˜oes. O diapas˜ao com a
freq¨uˆencia mais baixa oscila a 500 Hz. Fazendo-
se oscilar dois diapa˜oes simultaneamente ouvem-se as
seguinte freq¨uˆencias de batimento: 1, 2, 3, 5, 7 e 8 Hz.
Quais as poss´ıveis freq¨uˆencias dos outros dois dia-
pas˜oes?
Chamemos f1 = 500 Hz e as demais freq¨uˆencias
procuradas de f2, f3 e f4. Com as freq¨uˆencias de bati-
mentos ouvidas, chegamos `as procuradas:
f4 − f1 = 8 Hz, f4 = 508 Hz
f3 − f1 = 7 Hz, f3 = 507 Hz
f2 − f1 = 5 Hz, f2 = 505 Hz.
As combinac¸˜oes poss´ıveis dessas freq¨uˆencias produzem
os demais batimentos (em Hz):
f4 − f3 = 1, f3 − f2 = 2, f4 − f2 = 3.
18-67P. Duas cordas de piano idˆenticas tem uma
freq¨uˆencia fundamental de 600 Hz, quando colocadas
sob a mesma tens˜ao. Que aumento fracion´ario na tens˜ao
de uma corda ir´a levar `a ocorrˆencia de 6 batimentos,
quando as cordas oscilarem juntas?
A corda mais tensionada vibrar´a a f1 = fbat. + f2 =
606 Hz. Para a freq¨uˆencia fundamental, v = λf = 2Lf.
Com τ = µv2
, as tens˜oes ser˜ao τ1 = 4µL2
f2
1 e
τ2 = 4µL2
f2
2 . A raz˜ao entre as tens˜oes ´e
τ1
τ2
=
f1
f2
2
=
606
600
2
= 1.02
Portanto, para produzir os batimentos, a tens˜ao de uma
das cordas deve ser incrementada em 2%.
18.8 O Efeito Doppler
18-71E. Um apito usado para chamar c˜aes tem uma
freq¨uˆencia de 30 kHz. O c˜ao, entretanto, o ignora. O
dono do c˜ao, que n˜ao pode escutar freq¨uˆencias acima de
20 kHz, decide usar o efeito Doppler para descobrir se o
apito funciona de maneira adequada. Pede a um amigo
que sopre o apito no interior de um carro em movi-
mento, enquanto ele permanece parado ouvindo. (a)
Qual precisa ser a velocidade do carro e qual a direc¸˜ao
para que o dono escute o apito a 20 kHz (se ele estiver
funcionando)? O experimento em quest˜ao ´e pr´atico? (b)
Refac¸a para uma freq¨uˆencia do apito igual a 22 kHz, em
vez de 30 kHz.
(a) Para termos essa redc¸˜ao na freq¨uˆencia, o carro
deve afastar-se do dono:
f
f
=
v
v + vc
20k
30k
=
343
343 − vc
,
que fornece vc = 617.4 km/h! Essa velocidade corre-
sponde `as 380 mi/h apresentada na resposta do livro. O
experimento n˜ao ´e realiz´avel, porque carros n˜ao s˜ao t˜ao
velozes.
(b) Refazendo os c´alculos para a freq¨uˆencia f = 22
kHz, vamos encontrar vc = 123.5 km/h, que corre-
sponde `as 77 mi/h. Com essa velocidade o experimento
pode ser realizado.
18-73E. Uma ambulˆancia tocando sua sirene a 1600 Hz
ultrapassa um ciclista, que estava pedalando a 8.00 ft/s.
Depois da ambulˆancia ultrapass´a- lo, o ciclista escuta a
sirene a 1590 Hz. Qual a velocidade da ambulˆancia?
Fonte e detetor est˜ao em movimento e, ap´os a ultra-
passagem, o detetor move-se em direc¸˜ao `a fonte:
f = f
v + vD
v + vF
.
Trabalhando com v = 1125 ft/s, obtemos
1590
1600
=
1125 + 8.00
1125 + vF
,
que fornece vF = 15.1 ft/s.
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10. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
18-79P. Dois diapas˜oes idˆenticos podem oscilar a 440
Hz. Uma pessoa est´a localizada em algum lugar na
linha entre os dois diapas˜oes. Calcule a freq¨uˆencia de
batimentos captada por esse indiv´ıduo se (a) permanece
parado e os diapas˜oes se movem para a direita a 30 m/s,
e (b) os diapas˜oes estiverem parados e o indiv´ıduo se
movendo para a direita a 30 m/s.
(a) Um diapas˜ao aproxima-se do detetor e o outro
afasta-se. Os batimentos resultam da diferenc¸a entre
as freq¨uˆencias ouvidas devido ao movimentos dos di-
apas˜oes:
faprox. = f
v
v − vF
= 440
343
343 − 30
= 482.2 Hz.
fafast. = f
v
v + vF
= 440
343
343 + 30
= 404.6 Hz.
Portanto, fbat. = faprox. − fafast. = 77.6 Hz.
(b) Agora ´e o detetor que se aproxima de uma fonte e se
afasta da outra:
faprox. = f
v + vD
v
= 440
343 + 30
343
= 478.5 Hz.
fafast. = f
v − vD
v
= 440
343 − 30
343
= 401.5 Hz.
Assim, fbat. = faprox. − fafast. = 77 Hz.
P 18-80 (18-60/6a
edic¸˜ao)
Um avi˜ao voa a 5/4 = 1.25 da velocidade do som. A
explos˜ao sˆonica alcanc¸a um homem no solo exatamente
l min depois do avi˜ao ter passado sobre sua cabec¸a.
Qual a altitude do avi˜ao? Considere a velocidade do
som como 330 m/s.
A velocidade do avi˜ao ´e vA = (1.25)(330) = 412.5
m/s. Ap´os 1 minuto, o avi˜ao percorreu a distˆancia
x = vAt = (412.5)(60) = 24750 m.
O ˆangulo do cone de Mach ´e dado por
sen θ =
v
vA
=
330
412.5
= 0.80,
donde obtemos θ = 53o
. A altitude h do avi˜ao ´e tal que
h
x
= tan θ,
fornecendo
h = x tan θ = (24750) tan 530
= 32844 33 km.
P 18-82 ( na 6a
edic¸˜ao)
A Fig. 18-33 mostra um transmissor e um receptor de
ondas contidos em um ´unico instrumento. Ele ´e usado
para medir a velocidade u de um objeto (idealizado por
uma lˆamina lisa) que se move diretamente na direc¸˜ao
do instrumento, analisando as ondas refletidas no alvo.
(a) Mostre que a freq¨uˆencia fr, das ondas refletidas ao
receptor, se relaciona com a freq¨uˆencia emitida fs por
fr = fs
v + u
v − u
,
onde v ´e a velocidade das ondas. (b) Em muitas
situac¸˜oes pr´aticas, u << v. Neste caso, mostre que a
equac¸˜ao acima se torna
fr − fs
fs
≈
2u
v
.
(a) A alterac¸˜ao na freq¨uˆencia devida `a aproximac¸˜ao
do objeto ´e
f = fs
v + u
v
.
Na reflex˜ao, o objeto passa a ser uma fonte m´ovel, en-
quanto o detetor, estacion´ario, recebe a freq¨uˆencia
fr = f
v
v − u
.
Combinando estas equac¸˜oes, obtemos
fr = fs
v + u
v
v
v − u
= fs
v + u
v − u
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11. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
(b) Se u << v, usamos a expans˜ao binomial para obter
fr
fs
= 1 +
u
v
1 −
u
v
−1
≈ 1 +
u
v
1 +
u
v
,
e chegar ao resultado pedido,
fr − fs
fs
≈
2u
v
.
Veremos mais `a frente que os problemas 18.84P, 18.89P
e 18.101P s˜ao aplicac¸˜oes deste resultado.
P 18-84 (18-53/6a
edic¸˜ao)
Um alarme ac´ustico contra roubos consiste em uma
fonte que emite ondas `a freq¨uˆencia de 28 kHz. Qual
ser´a a freq¨uˆencia dos batimentos refletidos por um in-
truso andando a uma velocidade m´edia de 0.950 m/s, na
direc¸˜ao oposta ao alarme?
Aqui o intruso afasta-se da fonte com uma veloci-
dade u = −0.95 m/s que satisfaz |u| |v|, onde
v = 343 m/s ´e a velocidade do som no ar a 20o
(veja
Tabela 18.1).
Portanto, usando o resultado no item (b) do problema
18-82 acima, encontramos que
fbat = |fr − fs| ≈
2|u|
v
fs
≈
2(0.95)
343
(28 × 103
) = 155 Hz.
18-89P. Em uma discuss˜ao sobre deslocamentos
Doppler de ondas ultra-sˆonicas, usados em diagn´osticos
m´edicos, o autor comenta: “Para cada mil´ımetro por se-
gundo que uma estrutura do corpo se move, a freq¨uˆencia
das ondas ultra-sˆonicas incidentes sofre uma variac¸˜ao
de, aproximadamente, 1.30 Hz/MHz.” Que velocidade
de ondas ultra-sˆonicas em tecidos vocˆe deduz, a partir
dessa afirmativa?
A variac¸˜ao fracional da freq¨uˆencia das ondas ´e
∆f
f
=
1.30
106
.
No problema 18.82P obtivemos
∆f
f
≈
2u
v
.
Com u = 10−3
m/s, chegamos `a velocidade das ondas
ultra-sˆonicas nos tecidos, v = 1540 m/s.
P 18-92 (18-56/6a
edic¸˜ao)
Uma sirene de 2000 Hz e um oficial da defesa civil est˜ao
em repouso em relac¸˜ao `a Terra. Que freq¨uˆencia o oficial
ir´a ouvir, se o vento estiver soprando a 12 m/s (a) da
fonte para o oficial e (b) do oficial para a fonte?
(a) A f´ormula do deslocamento Doppler ´e v´alida ape-
nas quando as velocidades da sirene e do oficial, us e uo,
forem medidas em relac¸˜ao a um meio estacion´ario (i.e.,
sem vento). Para modificar a f´ormula de modo a levar o
vento em considerac¸˜ao basta mudar para um novo refer-
encial no qual n˜ao exista vento.
Quando o vento sopra da fonte para o observador com
uma velocidade w, temos us = uo = w no novo ref-
erencial que se move junto com o vento. Como neste
referencial o observador aproxima-se da fonte enquanto
que a fonte dele se afasta, temos, no novo sistema de
referˆencia
f = f
v + uo
v + vs
= f
v + w
v + w
= f = 2000 Hz.
(b) Neste caso, basta trocar o sinal de uo e us. O resul-
tado ´e que, novamente, n˜ao ha deslocamento Doppler:
f = f
v − uo
v − vs
= f
v − w
v − w
= f = 2000 Hz.
Em geral, nunca existir´a deslocamento Doppler quando
n˜ao houver movimento relativo entre observador e fonte,
independentemente de existir ou n˜ao vento presente.
P 18-94 (18-55/6a
edic¸˜ao)
Uma menina est´a sentada pr´oxima a uma janela aberta
de um trem, que est´a se movendo a uma velocidade de
10.00 m/s para o leste. A tia da menina est´a pr´oxima aos
trilhos, observando o trem partir. O apito da locomotiva
emite um som `a freq¨uˆencia de 500.0 Hz. N˜ao h´a ven-
tos. (a) Que freq¨uˆencia a tia da menina ir´a ouvir? (b)
Que freq¨uˆencia a menina ir´a ouvir? (c) Com um vento
soprando para oeste a 10.00 m/s, que freq¨uˆencia a tia da
menina ir´a ouvir? (d) E a menina?
(a) Como o trem est´a se afastando da observadora,
temos
f = f
v
v + vF
= 500
343
343 + 10
= 485.8 Hz.
(b) Como n˜ao h´a movimento relativo entre a fonte e o
observador, a menina ouve a freq¨uˆencia emitida, f =
500 Hz.
(c) Com o vento soprando para oeste, teremos as veloci-
dades relativas
vD,ar = 10 m/s e
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12. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, `as 14:24
vF,ar = 20 m/s.
Como a fonte se afasta da observadora, temos
f = f
v + vD,ar
v + vF,ar
= 500
343 + 10
343 + 20
= 486.2 Hz.
(d) Pela mesma raz˜ao do ´ıtem (b), a freq¨uˆencia ouvida
pela menina ´e f = 500 Hz.
18.9 O Efeito Doppler para a Luz
18-96E. Certos comprimentos de onda, caracter´ısticos
na luz vinda de uma gal´axia na constelac¸˜ao de Virgem,
s˜ao 0.4% maiores do que a luz correspondente de fontes
terrestres. Qual a velocidade radial dessa gal´axia com
respeito `a Terra? Ela est´a se aproximando ou se afas-
tando?
Aplicando a equac¸˜ao (18-55), temos
∆λ
λ
=
u
c
= 0.004
Portanto, u = 0.004c = 1.2 × 106
m/s, afastando-se.
18-99P. O per´ıodo de rotac¸˜ao do Sol no seu equador ´e
de 24, 7 d e o seu raio ´e de 7.00 × 105
km. Que deslo-
camento Doppler no comprimento de onda ´e esperado
para a luz de 550 nm, emitida da superf´ıcie do Sol?
O per´ıodo dado corresponde a 2.134 × 106
s . A ve-
locidade de qualquer ponto equatorial da superf´ıcie do
Sol ´e
v =
2πr
T
= 2.062 × 103
m/s,
que vem a ser a velocidade da fonte. Com a equac¸˜ao
(18-55) vem
v
c
=
∆λ
λ
= 6.87 × 10−6
.
O deslocamento Doppler ´e ent˜ao
∆λ = ± 3.78 pm.
18-101P. Microondas, que viajam `a velocidade da luz,
s˜ao refletidas por um avi˜ao distante, que est´a se aproxi-
mando da fonte. Sabe-se que, quando as ondas refletidas
se cruzam com as emitidas, a freq¨uˆencia dos batimentos
´e de 990 Hz. Se as microondas tem 0.100 m de compri-
mento de onda, qual a velocidade aproximada do avi˜ao?
Este problema ´e uma aplicac¸˜ao do resultado do prob-
lema 18.82P, onde substituimos v por c, a velocidade
de propagac¸˜ao das ondas eletromagn´eticas no v´acuo,
3.0 × 108
m/s. A freq¨uˆencia das microondas ´e f =
c/λ = 3.0 × 109
Hz. Escrevemos
f ≈ f +
2uf
c
,
sendo f − f = 990 Hz. Portanto,
u ≈
990c
2f
≈ 49.5 m/s.
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