Artigo bode

X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente
18 a 21 de setembro de 2011
São João del-Rei - MG - Brasil
ISSN: 2175-8905 - Vol. X 785
ESTRATÉGIA PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID DIGITAIS VIA
ALGORITMO GENÉTICO MULTIOBJETIVO BASEADO NAS ESPECIFICA¸CÕES
DAS MARGENS DE GANHO E FASE
Felipe C. Silva, Ginalber L. O. Serra∗
∗
Instituto Federal de Educa¸cão, Ciência e Tecnologia
Departamento de Eletro-Eletrônica
Laboratório de Inteligência Computacional Aplicada
Av. Getúlio Vargas, 04, Monte Castelo, 65030-005, São Luis, Maranhão, Brasil
Email: felipecs.20@hotmail.com, ginalber@ifma.edu.br
Abstract— This paper proposes a methodology for digital PID controllers design via multiobjective genetic
algorithm based on gain and phase margins specifications to linear plants with time delay. The discrete transfer
functions of the PID controller and the linear plant with time delay are obtained, based on Tustin and Padé
aproximations, to generate analytical formulas for the gain and phase margins in the frequency domain. These
formulas are used to develop a multiobjective genetic algorithm so that based on gain and phase margins spec-
ifications, the digital PID controller parameters can be obtained. Simulation results in the time and frequency
domains show the robustness and the efficience of the proposed methodology compared with others methods
available in the literature.
Keywords— Digital control, PID controller, genetic algorithm, intelligent control, linear plant, time delay.
Resumo— Este artigo propõe uma metodologia para projeto de controladores PID digitais via algoritmo
genético multiobjetivo baseada nas especifica¸cões margens de ganho e fase para plantas lineares com atraso de
tempo. As fun¸cões de transferência discreta do controlador PID e da planta linear com atraso de tempo são
obtidas com base nas aproxima¸cões de Tustin e Padé, para gerar fórmulas anal´ıticas para as margens de ganho e
fase no dom´ınio da freqüência. Estas fórmulas são usadas para desenvolver um algoritmo genético multiobjetivo,
para que com base nas especifica¸cões margens de ganho e fase, os parâmetros do controlador PID digital possam
ser obtidos. Os resultados de simula¸cão no dom´ınio do tempo e da freqüência mostram a robustez e a eficiência
da metodologia proposta em compara¸cão com outros métodos dispon´ıveis na literatura.
Palavras-chave— Controle digital, controlador PID, algoritmos genéticos, controle inteligente, planta linear,
atraso de tempo.
1 Introdu¸cão
O avan¸co recente na tecnologia de computa-
dores tem proporcionado novas dire¸cões para o
projeto de controladores, tais como a realiza¸cão
de controles adaptativos, auto-ajustáveis, controle
inteligente de processos e controladores realiza-
dos a partir de métodos de otimiza¸cão probabi-
l´ısticos (Kristinsson and Dumont, 1992) e (Mar´ın
et al., 1998). Neste patamar, o controlador PID
ainda representa a melhor escolha no setor in-
dustrial, de forma que muitos métodos têm sido
desenvolvidos para o ajuste de seus parâmetros
(Astrom and Hagglund, 1995). Eles surgiram na
década de 30 e eram desenvolvidos inicialmente
com dispositivos pneumáticos e mecânicos. Com o
advento dos semicondutores, os controladores PID
passaram a ser desenvolvidos usando-se dispositi-
vos analógicos. Na década de 60, com o surgi-
mento dos circuitos integrados, foram concebidos
os sistemas de controle digital (Aguirre, 2007). Fi-
nalmente na década de 80, com a diminui¸cão dos
custos dos microcomputadores e microcontrolado-
res, os controladores PID digitais se consolidaram
nas indústrias. A partir de então, o desenvolvi-
mento de metodologias para o projeto de controla-
dores PID digitais que garantissem estabilidade e
robustez tornou-se necessário (Ashry et al., 2008),
(Keel et al., n.d.) e (Zhang et al., n.d.). Métodos
baseados na resposta em freqüência são ampla-
mente utilizados para o projeto de controladores
robustos (Ogata, 2011). Nestes, duas medidas im-
portantes são comumente empregadas para se de-
terminar a estabilidade relativa dos sistemas em
análise: as margens de ganho e de fase. Estas
especifica¸cões pré-definidas e alcan¸cadas no pro-
jeto, garantem estabilidade e robustez do sistema
de controle, mesmo diante de varia¸cões em al-
gum componente da planta que influencie o ganho
a malha aberta, constantes de tempo, atraso de
tempo etc...(Ogata, 2011) e (Franklin et al., 1986).
Contudo, o projeto a partir das margens de ganho
e fase é normalmente realizado por métodos de
tentativa e erro baseada nos gráficos de Bode. Tais
abordagens não são muito adequadas para o uso
em controle adaptativo e auto-ajustáveis onde os
parâmetros do controlador devem ser calculados
on-line. Em especial, no projeto de controladores
PID digitais, o tra¸cado do diagrama de bode está
restrito a limita¸cões do per´ıodo de amostragem es-
colhido bem como das aproxima¸cões estabelecidas
durante o processo de discretiza¸cão. A fim de de-
senvolver uma metodologia de projeto de contro-
ladores PID digitais, neste artigo é proposta uma
metodologia via algoritmo genético multiobjetivo
para a sintonia dos parâmetros de controladores

ISSN: 2175-8905 - Vol. X 786
PID digitais de modo a atender as especifica¸cões
das margens de ganho e fase pré-estabelecidas.
As fun¸cões de transferência discreta do controla-
dor PID e da planta linear com atraso de tempo
são obtidas com base na transforma¸cão Tustin e a
aproxima¸cão de Padé, para gerar fórmulas anal´ıti-
cas para as margens de ganho e fase no dom´ınio da
freqüência. Estas fórmulas são usadas para desen-
volver um algoritmo genético multiobjetivo, para
que com base nas especifica¸cões margens de ganho
e fase, os parâmetros do controlador PID digital
possam ser obtidos. Os resultados de simula¸cão
no dom´ınio do tempo e da freqüência mostram a
robustez e a eficiência da metodologia proposta
em compara¸cão com outros métodos dispon´ıveis
na literatura.
2 Análise das margens de ganho e fase no
tempo discreto
Seja a fun¸cão de transferência de um contro-
lador PID convencional dada por:
Gc(s) = Kp +
Ki
s
+ Kds (1)
onde Kp, Ki e Kd são os ganhos proporcional,
integral e derivativo respectivamente, e o opera-
dor s representa a transformada de Laplace. A
discretiza¸cão deste controlador pode ser realizado
por quaisquer métodos de discretiza¸cão tais como
método de Euler ou retangular em avan¸co, mé-
todo retangular em atraso, método trapezoidal
ou aproxima¸cão de Tustin ainda conhecido como
aproxima¸cão bilinear e método de mapeamento de
pólos-zeros. Destes, escolheu-se a aproxima¸cão de
Tustin, pois esta preserva as condi¸cões de estabili-
dade dos sistemas transformados (Tzafestas, n.d.).
Deste modo, um sistema estável no tempo cont´ı-
nuo é transformado em outro sistema estável no
tempo discreto e a mesma rela¸cão sendo válida
para sistemas instáveis. A transforma¸cão é ex-
pressa pela seguinte rela¸cão:
s =
2
T
(z − 1)
(z + 1)
(2)
onde T equivale ao per´ıodo de amostragem e o
operador z representa a transformada z.
Deste modo, o equivalente discreto para o con-
trolador PID é obtido e representado pela seguinte
equa¸cão:
Gc(z) =
K1z2
+ K2z + K3
(z2 − 1)
(3)
Onde as constantes K1, K2 e K3 representam as
seguintes rela¸cões:
K1 = Kp + T
Ki
2
+ 2
Kd
T
(4)
K2 = 2(T
Ki
2
− 2
Kd
T
) (5)
K3 = −Kp + T
Ki
2
+ 2
Kd
T
(6)
Seja a planta linear de segunda ordem com
atraso de tempo dada pela seguinte fun¸cão de
transferência:
Gp(s) =
K
s2 + α1s + α2
e−Ls
(7)
onde K é o ganho da planta, α1 e α2 são os coe-
ficientes da equa¸cão caracter´ıstica, e L é o atraso
de tempo. Nesta análise, representou-se o atraso
de tempo e−Ls
de forma aproximada como uma
razão de polinômios em s, como segue:
e−Ls
≈ Rn(s) =
Qn(−Ls)
Qn(Ls)
(8)
sendo,
Qn =
n∑
j=0
(n + j)!
j!(n − j)!
(Ls)(n−j)
(9)
Deste modo, o atraso de tempo é aproximado
por uma fun¸cão de transferência de ordem finita,
onde, quanto maior a ordem escolhida mais razoá-
vel será a aproxima¸cão. Utilizando uma razão de
polinômios de grau dois, o que já apresenta resul-
tados satisfatórios, é obtida a seguinte fun¸cão de
transferência para o atraso de tempo:
e−Ls
≈ R2 =
(Ls)2
− 6Ls + 12
(Ls)2 + 6Ls + 12
(10)
Os equivalentes discretos para planta e para
o atraso de tempo, considerando o mesmo proce-
dimento realizado para discretizar o controlador
PID, são dados por:
Gp(z) =
KT2
(z + 1)2
B1z2 + B2z + B3
(11)
onde,
B1 = (4 + 2α1T + α2T2
) (12)
B2 = (2α2T2
− 8) (13)
B3 = (4 − 2α1T + α2T2
) (14)
e
R2(z) =
D1z2
+ Cz + D2
D2z2 + Cz + D1
(15)
onde,
C = 6T2
− 2L2
(16)
D1 = L2
− 3LT + 3T2
(17)
D2 = L2
+ 3LT + 3T2
(18)

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Uma vez obtidas as fun¸cões de transferên-
cia para o controlador PID e para planta com
atraso no dom´ınio do tempo discreto, no que segue
obtém-se a formula¸cão das equa¸cões para as mar-
gens de ganho e de fase no dom´ınio da frequência.
2.1 Equa¸cões no dom´ınio da frequência
As equa¸cões no dom´ınio da freqüência
baseiam-se na seguinte transforma¸cão bilinear,
descrita em (Franklin et al., 1986):
z =
1 + W T
2
1 − W T
2
(19)
onde W é uma variável auxiliar a qual é equiva-
lente a:
W =
2
T
(z − 1)
(z + 1)
(20)
Substituindo z = ejs
na equa¸cão (20) tem-se:
W =
2
T
esT
− 1
esT + 1
=
2
T
esT/2
− e−sT/2
esT/2 + e−sT/2
⇒ W =
2
T
tanh(sT/2) (21)
Sendo s puramente imaginário, ou seja, igual a jw
a equa¸cão (21) resulta em:
W =
2
T
jtan(wT/2) (22)
Ainda, para W = jn, onde n representa uma va-
riável no dom´ınio de W, tem-se:
jn =
2
T
jtan(wT/2) (23)
Sabe-se que para valores pequenos a tangente de
um ângulo é aproximadamente igual ao seu valor
medido em radianos. Para pequenos valores de
T em uma determinada faixa de w pode-se con-
siderar que o arco será pequeno o bastante para
validar a seguinte rela¸cão:
T
2
n = w
T
2
⇒ n = w (24)
Deste modo, utilizando-se a transforma¸cão bili-
near e considerando um per´ıodo de amostragem
T pequeno o suficiente para garantir a validade
de (24), encontram-se as seguintes equa¸cões na
freqüência para o controlador:
Gc(jw) =
4A2Tw + (A1T2
w2
− 4A3)j
8Tw
(25)
onde,
A1 = K1 − K2 + K3 (26)
A2 = K1 − K3 (27)
para a planta:
A3 = K1 + K2 + K3 (28)
Gp(jw) =
16KT2
(β3 − β1T2w2) + β2wj
(29)
onde,
β1 = B1 − B2 + K3 (30)
β2 = 4(B1 − B3) (31)
β3 = 4(B1 + B2 + B3) (32)
e para o atraso de tempo:
R2(jw) =
σ + γj
σ − γj
(33)
onde,
σ = 4(D1 + C + D2) − (D1 + C + D2)T2
w2
(34)
γ = 4(D1 − D2)Tw (35)
2.2 Equa¸cões para sintonia do controlador PID
digital
A partir das equa¸cões no dom´ınio da freqüên-
cia para o controlador, planta e o atraso de tempo
pretende-se determinar as equa¸cões de sintonia
para o controlador PID digital. Estas equa¸cões,
conforme dito anteriormente, serão baseadas nas
especifica¸cões das margens de ganho e fase. As
defini¸cões básicas de margens de ganho e fase im-
plicam em:
arg[Gc(jwp)Gp(jwp)R2(jwp)] = −π (36)
Am =
1
|Gc(jwp)Gp(jwp)R2(jwp)|
(37)
|Gc(jwg)Gp(jwg)R2(jwg)| = 1 (38)
Pm = arg[Gc(jwg)Gp(jwg)R2(jwg)] (39)
Onde a margem de ganho é dada pelas equa-
¸cões (36) e (37), e a margem de fase pelas equa-
¸cões (38) e (39). A freqüência wp na qual a fase
do sistema em malha aberta é igual a 180graus é
conhecida como freqüência de cruzamento da fase,
e a freqüência wg na qual o módulo do sistema em
malha aberta é igual a 0dB (ou seja igual a 1) é
conhecida como freqüência de cruzamento do ga-
nho. Substituindo-se as equa¸cões (25), (29) e (33)
nas equa¸cões (36)-(39) tem-se:
atan(
I1
R1
) − atan(
I2
R2
) + 2atan(
6Lwp
L2w2
p − 12
) = −π
(40)
Am =
√
R2
2 + I2
2
√
R2
1 + I2
1
(41)
√
R2
2 + I2
2
√
R2
1 + I2
1
= 1 (42)

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Φm = atan(
I1
R1
) − atan(
I2
R2
) + 2atan(
6Lwg
L2w2
g − 12
)
(43)
onde,
R1 = 16KKpT3
w (44)
R2 = 2α2T2
w[8T +T2
w2
−T3
w2
]−16T3
w3
(45)
I1 = Ki(KT5
w2
−12T3
K)+Kd(12KT3
w2
−16TK)
(46)
I2 = 16α1T3
w2
(47)
Estas equa¸cões serão utilizadas para a sinto-
nia do controlador PID digital, onde os ganhos
K1, K2 e K3 serão encontrados de modo que as
especifica¸cões das margens de ganho e fase sejam
atendidas. As equa¸cões (40) e (42) determinam
as freqüências de cruzamento de fase e ganho que,
por sua vez, são aplicadas as equa¸cões (41) e (43)
para se determinar os valores das margens de ga-
nho e fase. Especificando-se valores de margens de
ganho e fase de modo a garantir a estabilidade do
sistema, mesmo a poss´ıveis varia¸cões do processo
controlado, pode-se determinar os parâmetros do
controlador PID digital e por fim projetar um con-
trolador robusto e de fácil realiza¸cão. Porém, de-
vido à complexidade das equa¸cões (40)-(43), mé-
todos anal´ıticos não são praticáveis e, portanto,
neste artigo é proposta uma estratégia de sintonia
via algoritmo genético multiobjetivo.
3 Estratégia de sintonia multiobjetiva
Nesta se¸cão, uma estratégia baseada em algo-
ritmo genético multiobjetivo para a sintonia dos
controladores PID digitais, a partir das especifica-
¸cões das margens de ganho e fase e das frequên-
cias de cruzamento de ganho e fase, será apresen-
tada. A fun¸cão de custo foi definida utilizando-se
as equa¸cões (40), (41), (42) e (43). Cada cromos-
somo é constitu´ıdo por três genes, onde cada gene
representa um parâmetro do controlador PID di-
gital. A fun¸cão avaliativa ou de custo toma o con-
junto de valores de cada cromossomo e pelas equa-
¸cões (41) e (43) determina as margens de ganho e
fase. Estas, por sua vez, são comparadas com as
margens de ganho e fase especificadas inicialmente
no projeto. Neste artigo, pretende-se que os valo-
res das margens de ganho e fase calculados sejam
tão próximos quanto poss´ıvel dos valores especi-
ficados, de forma a minimizar a fun¸cão de custo,
como segue:
Custo = Vespecificado − Vcalculado (48)
onde Vespecificado e Vcalculado são os valores das
margens de ganho e fase especificados e calcula-
dos, respectivamente.
Se o valor da margem calculada for negativo
esta será somada com o valor especificado aumen-
tando o custo. Caso contrário, quando positiva
será subtra´ıda deste e minimizará o custo. Even-
tualmente se o valor da margem calculada for po-
sitivo e maior que o especificado o valor de custo
será negativo. Para se obter valores próximos aos
especificados toma-se o módulo da diferen¸ca en-
tre o valor especificado e o calculado. Fazendo
isso o menor custo poss´ıvel será zero e não mais
um valor negativo. Assim o algoritmo procura os
valores dos ganhos que proporcionem margens de
ganho e fase próximas aquelas especificadas. Ou-
tro problema que deve ser levado em conta é o da
equivalência das freqüências de cruzamento de ga-
nho e fase. Estas são especificadas na fun¸cão de
custo para o cálculo das margens, porém podem
não corresponder a verdadeiras freqüências de cru-
zamento. Quando isto ocorre os valores calculados
das margens de ganho e de fase são equivocados
visto que foram calculados em rela¸cão a freqüên-
cias que não representam as verdadeiras freqüên-
cias de cruzamento. Para evitar que o algoritmo
convirja erroneamente introduz-se outra etapa no
cálculo de custo, a análise das freqüências espe-
cificadas como freqüências de cruzamento. Para
isto utiliza-se as equa¸cões (40) e (42) e calcula-se
o módulo do sistema em wg especificado e a fase
em wp especificado. Depois disto comparam-se os
valores de módulo e fase calculados com os valores
ideais, ou seja, o módulo igual a 1 (ou 0 dB) e fase
igual a -180 graus. Utiliza-se então o mesmo artif´ı-
cio mencionado anteriormente e toma-se o módulo
da diferen¸ca entre o valor especificado e o calcu-
lado, ou seja, o algoritmo concentra-se em encon-
trar uma solu¸cão na qual as freqüências wp e wg
estejam o mais próximo poss´ıvel das reais freqüên-
cias de cruzamento de ganho e fase. A equa¸cão
final de custo multiobjetivo é dada a seguir:
Custo1 = Amesp
− Amcalc
+ Pmesp
− Pmcalc
Custo2 = Amwg − Amcalc
+ Pmwp − Pmcalc
Custototal = Custo1 + Custo2 (49)
O algoritmo trabalha com uma popula¸cão de 100
cromossomos e com um critério de convergência
estipulado sobre o um número limite de gera¸cões.
Cada itera¸cão do algoritmo representa uma ge-
ra¸cão; então, evidentemente, o algoritmo executa
durante as n itera¸cões especificadas e após mostra
a melhor solu¸cão encontrada. Escolheu-se traba-
lhar com um número máximo de 1000 gera¸cões. O
algoritmo inicia gerando aleatoriamente uma po-
pula¸cão com 100 cromossomos. Estes são avali-
ados pela fun¸cão de custo (49) e classificados de
acordo com o seu custo. A seguir ocorrem as eta-
pas de sele¸cão e cruzamento de cromossomos. A

ISSN: 2175-8905 - Vol. X 789
sele¸cão de parceiros para o cruzamento é feita pelo
método de emparelhamento randômico com pon-
dera¸cão de custo (Haupt and Haupt, 2004), o qual
é aplicado sobre os 50 melhores cromossomos de
cada gera¸cão. Neste método os cromossomos com
menor custo tem maior possibilidade de serem es-
colhidos para cruzamento. O cruzamento entre
dois cromossomos gera dois novos descendentes e
é realizado por um operador de crossover simples
o qual realiza uma soma ponderada entre os genes
dos pais a fim de gerar dois novos descendentes,
ilustrado a seguir:
cromossomo1 = [pm1, pm2, pm3, ..., pmn]
cromossomo2 = [pp1, pp2, pp3, ..., ppn]
dnew1 = β ∗ pmn + (1 − β) ∗ ppn
dnew2 = β ∗ ppn + (1 − β) ∗ pmn (50)
onde os termos pmn e ppn representam os n genes
do cromossomo mãe (cromossomo1)e do cromos-
somo pai (cromossomo2) respectivamente, dnew
os novos descendentes gerados a partir dos dois
cromossomos e β um operador de pondera¸cão que
pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. Os 50 cro-
mossomos pais geram 50 novos indiv´ıduos e estes
formam a metade da nova popula¸cão que será ava-
liada na próxima gera¸cão. O melhor cromossomo
da gera¸cão anterior é mantido para próxima gera-
¸cão totalizando assim os 51 cromossomos sobrevi-
ventes. Ainda sobre os descendentes é aplicado o
operador de muta¸cão que aleatoriamente irá sele-
cionar um gene e alterar seu valor para qualquer
outro valor dentro da faixa da variável. No fim de
cada gera¸cão são criados aleatoriamente mais 49
novos cromossomos formando por fim a nova po-
pula¸cão de 100 cromossomos para a próxima gera-
¸cão. As etapas de avalia¸cão, classifica¸cão, sele¸cão
de parceiros, cruzamento, muta¸cão e forma¸cão da
nova popula¸cão são repetidos a cada itera¸cão.
4 Resultados
Para testar o algoritmo desenvolvido foi esco-
lhida uma planta conforme em (7) com K = 2,
α2 = 3, α3 = 2 e L = 0.5. Os valores de
margem de ganho e fase são especificados em 9
dB e 60 graus o que garantem uma boa mar-
gem de estabilidade para o sistema. Se a frequên-
cia de cruzamento de ganho for especificada como
wg = 1 rad/s e considerando um decaimento de
20 dB/década nesta região tem-se que o valor de
-9 dB ocorrerá por volta da frequência de 2.82
rad/s, então o valor da frequência de cruzamento
de fase é especificado como wp = 3 rad/s. A
frequência wg representa uma estimativa para lar-
gura de banda do sistema a qual está relacionada
de modo inverso com o tempo de subida e de as-
sentamento do sistema, e a margem de fase está
diretamente relacionada com o amortecimento do
sistema (Ogata, 2011). Assim, wg e Pm podem
ser especificados para garantir valores razoáveis
de tempo de subida e pico de resposta para o sis-
tema em malha fechada. O algoritmo trabalha em
cima de valores de K1, K2 e K3 afim de determi-
nar o conjunto que mais se aproxima dos valores
especificados para margens de ganho e fase. Este
é executado conforme definido na se¸cão anterior e
com uma taxa de muta¸cão de 10%, o resultado en-
contrado pode ser visto nas figuras a seguir, onde
foram plotadas a resposta em frequência para o
sistema em malha aberta (Figura 1) e a resposta
ao degrau do sistema em malha fechada (Figura
2a). Para a mesma planta foi projetado outro
controlador PID baseado no método de Ziegler-
Nichols (Franklin et al., 1986) e juntamente com
a planta fora discretizado pelo método descrito na
se¸cão 2. Este apresentou uma resposta altamente
oscilatória e com tempo de acomoda¸cão relativa-
mente alto, comparado com os controladores PID
digitais obtidos pela metodologia proposta, apre-
sentados na Figura 2a. Aplicou-se ainda o algo-
ritmo a outros sistemas os quais são apresentados
na Tabela 1 e seus resultados na Tabela 2. A
Figura 2b mostra o impacto sobre a resposta no
tempo, para uma mesma planta, devido a varia-
¸cões de wg e Pm.
Tabela 1: Especifica¸cões dos parâmetros e modelos
para teste do algoritmo.
ref. Modelo Am Pm (wg; wp)
Cont´ınuo (dB) (◦
) (rad/s)
1 2e−0.5s
s2+3s+2 9 60◦
(1.0; 3.0)
2 e−1.58s
s2+2s+1 9 45◦
(0.4; 1.0)
3 0.28e−1.73s
s2+1.06s+0.28 8 45◦
(0.4; 1.0)
4 2e−1.0s
s2+3s+2 6 45◦
(0.7; 1.4)
5 Conclusões
Uma estratégia de sintonia para controladores
PID digitais via margens de ganho e fase foi pro-
posta neste artigo. Esta possibilitou a obten¸cão
dos ganhos para os controladores especificando os
valores das margens de ganho e fase desejadas,
bem como das frequências de cruzamento de ga-
nho e fase, por meio do algoritmo genético mul-
tiobjetivo. Para as plantas de segunda ordem se-
lecionadas para teste, o algoritmo genético multi-
objetivo desenvolvido conseguiu encontrar valores
para os ganhos do controladores PID digitais que
possibilitaram margens de ganho e fase, bem como
as freqüências de cruzamento, próximas das espe-
cificadas, validando a metodologia proposta.

ISSN: 2175-8905 - Vol. X 790
Tabela 2: Resultados obtidos pelo algoritmo após
1000 gera¸cões. *Parâmetros do controlador projetado
pelo método de Ziegler-Nichols.
ref. PID digital Am Pm (wg; wp)
(K1; K2; K3) (dB) (◦
) (rad/s)
1 (10.85; -18.3; 7.65) 9.48 58.8 (1.07; 2.97)
2 (9.17; -16.76; 7.67) 8.53 50.6 (0.40; 1)
3 (35.98; -69.15; 33.26) 7.92 46.3 (0.38; 1)
4 (7.44; -12.73; 5.44) 7.09 44.8 (0.71; 1.5)
ZN* (27.5; -47.7; 20.7) 1.5 11.5 (2.5; 2.93)
−200
−150
−100
−50
0
50
Módulo(dB)
10
−1
10
0
10
1
10
2
−90
0
90
180
270
Fase(°)
Am = 9.48 dB (at 2.97 rad/sec) , Pm = 58.8 deg (at 1.07 rad/sec)
Frequência (rad/sec)
−200
−150
−100
−50
0
50
Módulo(dB)
10
−1
10
0
10
1
10
2
−1440
−1080
−720
−360
0
Fase(°)
Am = 1.5 dB (at 2.93 rad/sec) , Pm = 11.5 deg (at 2.5 rad/sec)
Frequência (rad/sec)
PID−genético (1) PID Ziegler−Nichols
Figura 1: Análise de desempenho no dom´ınio da
frequência do controlador PID obtido via Algoritmo
genético e do controlador PID obtido via método de
Ziegler-Nichols.
Agradecimentos
Os autores gostariam de agradecer ao CNPq
pelo suporte financeiro.
Referências
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de Sistemas, 3 edn, Belo Horizonte: UFMG.
Ashry, M., Kamalova, Z. and Breikin, T. (2008).
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Astrom, K. J. and Hagglund, T. (1995). PID Con-
trollers: Theory, Desing and Tuning, ISA,
Research Trinagle Park, North Carolina.
0 2 4 6 8 10 12
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Resposta ao degrau (b)
Tempo (segundos) (seconds)
Amplitude
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
1.5
Resposta ao degrau (a)
Tempo (segundos) (seconds)
Amplitude
Zn
1
4
3
2
b
1
: w
g
= 1.50 rad/s; P
M
= 44.9°;
b
2
: w
g
= 1.07 rad/s; P
M
= 58.8°;
b3
: wg
= 0.50 rad/s; PM
= 73.4°;
b
1
b
3
b
2
Figura 2: (a) Análise de desempenho no dom´ınio do
tempo dos controladores PID digitais obtidos via algo-
ritmo genético 1-4 e método Ziegler-Nichols Zn. (b)
Análise de desempenho no dom´ınio do tempo dos con-
troladores obtidos pelo algoritmo genético para dife-
rentes valores de wg e Pm controlando a planta 1.
Franklin, G. F., Emami-Naeini, A. and Powell,
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