01 lógica proposicional

Trabajo Práctico Nº 1
Lógica Proposicional
1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con
p: “la comida es buena” ; con q: “el servicio es bueno” y con
r: “el restaurante es de tres estrellas”.
Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones :
a)- La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas
b)-La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas.
c)-La comida es buena y el servicio no.
d)- No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres
estrellas
e)- Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de
tres estrellas.
f)- No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen
servicio.
2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”.
Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial.
a) p ∧ q b) p ⇔ q c) q ⇒ p d) ∼ (p ⇔ q)

3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas
proposicionales:
a) (p ∨ q) ⇒ p c) (q ⇒ p) ⇒ ( p ⇒ q) e) (p ∧q) ∨(∼r)
b) p ⇔ (p ∨ q) d) ∼(r ⇒r)
4) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; y r; y s son respectivamente
V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de :
i) [( p ∨ q ) ∨ r] ∧ s ii) r ⇒ (s ∧ p) iii) (p ∨ r) ⇔ (r ∧ ∼ s)
5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer
el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso
afirmativo, justificarlo.
i) (p ⇒ q) ⇒ r ; r es V ii) (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) ; q es V

6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes
proposiciones :
a) (p ∨ q) ⇒ q si p ⇒ q es Falso
b) p ∨ (p ⇔ q) si p ⇒ q es Verdad
c) [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q si p es Verdad y ∼q es Verdad
7) Simplificar las siguientes proposiciones:
a) ∼ (∼ p ∨ ∼ q) b) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) c) ∼ (p ⇔ q)
8) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones
equivalentes.
i) ∼q ∨ r iii) p ∧ (q ⇒ r)
ii) (p ∧ q) ⇒ r iv) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)

9) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas :
i) ( p ∧ q ) ⇒ r iii) p ∧ [ p ⇔ q ]
ii) [ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ] ⇒ (p ⇒ r) iv) (p ⇒ r) ⇔ (r ⇒ p)
10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o
que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un
turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a
la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero
hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta
deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir?.

PROPOSICION es una expresión de la cual
se puede decir que es verdadera o que es falsa

“El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es una proposición verdadera
“Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional” es una proposición falsa

pero de la expresión: ¿ Vendrás hoy ? no puede decirse que sea verdadera, ni
falsa; entonces, ésta no es una proposición.

Vamos a denotar a las proposiciones con las letras minúsculas p, q, r, s, t, u . . .
Entonces :
p : El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes
q : Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional
1 a b1 a b
1 e1 e
1 c d1 c d
1 f1 f
2 a b2 a b
2 c d2 c d

NEGACION
Si queremos negar una proposición debemos anteponer
expresiones como
No es cierto que . . .; No sucede que . . .;
o insertar convenientemente en la expresión . . . NO . . . .
así, la proposición
“No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes”
es equivalente a decir : “El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los
Andes”
Simbólicamente se antepone a la letra que denota la proposición,
el símbolo ∼ ó - también puede usarse ¬
∼ p : No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes
∼ p : El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes
1 e1 e 1 f1 f
2 a b2 a b 2 c d2 c d
1 a b1 a b
1 c d1 c d

CONECTORES LOGICOS
Para vincular las proposiciones vamos a valernos de los
conectores lógicos; ellos son:
∧
∨
∨
⇒
⇔
conjunción
disyunción
incluyente
disyunción
excluyente
implicación
doble
implicación
Mediante el uso de los conectores y símbolos
sintácticos (paréntesis, corchetes, llaves), podemos
vincular dos o mas proposiciones entre sí
1 a b1 a b
1 c d1 c d
1 e1 e 1 f1 f
2 a b2 a b 2 c d2 c d

Dadas las proposiciones :
P : El jueves es el examen q : El viernes viajo
Podemos escribir las proposiciones compuestas :
p ∧ q
“El jueves es el examen o el viernes viajo, o ambas cosas” p ∨ q
“El jueves es el examen o el viernes viajo, pero no ambas cosas” p ∨ q
“El jueves es el examen implica que el viernes viajo” o
“Si el jueves es el examen, entonces el viernes viajo”
p ⇒ q
“El jueves es el examen si y solo si el viernes viajo p ⇔ q
“El jueves es el examen y el viernes viajo”
1 e1 e 1 f1 f
2 a b2 a b 2 c d2 c d
1 a b1 a b
1 c d1 c d

1) a) En la expresión
“La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas”
Las proposiciones involucradas son
p : La comida es buena q : el servicio es bueno
La expresión simbólica es :
están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se
especifica que pueden suceder ambas cosas
el conector que corresponde es DISYUNCION INCLUYENTE ( ∨ )
1 b) En la expresión
“La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas”
Las proposiciones involucradas son
están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se
especifica que no pueden suceder ambas cosas
corresponde el conector de DISYUNCION EXCLUYENTE ( ∨ )
p ∨ q
p ∨ q o p ∆ q
1e1e1 c-d1 c-d 1f1f
ProposiciónProposición
NegaciónNegación
OperacionesOperaciones
EjemplosEjemplos

1 c) En la expresión “La comida es buena y el servicio no es bueno“
Las proposiciones involucradas son:
p y ∼ q están vinculadas con el operador y
el operador que corresponde ahora es CONJUNCION ( ∧ )
pero la proposición “el servicio es bueno” está negada ∼ q
La expresión simbólica es : p ∧ ∼ q
1 d) En la expresión :
No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas”
Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena
r : El restaurante es de tres estrellas“
pero el “que tanto“ es la negación de toda la expresiónNo es negación
La expresión simbólica es : ∼ (p ∧ r)
en ella, el “como que” sugiere una conjunción ( p ∧ r )
1e1e 1f1f
NegaciónNegación
EjemplosEjemplos

1 e) En la expresión :
Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el
restaurante es de tres estrellas.
Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena
q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas
donde aparecerán involucradas dos proposiciones: la primera
llamada antecedente y la otra llamada consecuente
Si (antecedente) entonces (consecuente)
vamos a detectar ahora cual es el antecedente y cual es el consecuente de la implicación.
El antecedente es : Si (tanto la comida como el servicio son buenos) p ∧ q
El consecuente es : entonces (el restaurante es de tres estrellas) r
( p ∧ q ) ⇒ r
La forma es :
El Si . . . . . . . entonces . . . . . . nos hace pensar en la implicación
1f1f
NegaciónNegación
EjemplosEjemplos

1 f) En la expresión :
No es cierto que si el restaurante es de tres estrellas siempre
signifique buena comida y buen servicio.
Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena
q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas
detectaremos ahora cual es el antecedente y el consecuente de la implicación
el consecuente es la conjunción
Aparecen aquí tres operaciones
la primera es una negación que afecta a toda la expresión que continúa
se distingue también una implicación,
aunque no aparezca aquí el clásico “si . . . entonces . . . “
sino “si . . . .siempre significa . . . . “
el antecedente es la proposición r : el restaurante es de tres estrellas
∼ [ r ⇒ ( p ∧ q) ]
p ∧ q : la comida es buena y el servicio es bueno
NegaciónNegación
EjemplosEjemplos

2 a) Si las proposiciones son :
p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo”
La proposición compuesta p ∧ q es la conjunción de las
proposiciones p con q
que en el lenguaje coloquial se expresa :
“el clima es agradable y vamos de día de campo”
La proposición compuesta p ⇔ q es la doble implicación de las
proposiciones p con q
“el clima es agradable si y solo si vamos de día de campo”
2 b) Si las proposiciones son :
2 c-d2 c-d
NegaciónNegación
EjemplosEjemplos

2 c) Si las proposiciones son :
La proposición compuesta q ⇒ p es la implicación
q implica p
“ Si vamos de día de campo entonces el clima es agradable”
La proposición compuesta ∼(p ⇔ q) es la negación de la doble implicación
de las proposiciones p con q
“No es cierto que el clima es agradable si y solo si
vamos de día de campo”
2 d) Si las proposiciones son :
NegaciónNegación
EjemplosEjemplos

La primera operación que vamos a tratar es la negación
Tablas de Verdad
Si p es verdad , ∼ p es falso
Si p es falso , ∼ p es verdad
p ∼ p
V F
F V
La tabla de verdad de la conjunción de proposiciones se resuelve :
Verdadera si ambas
proposiciones son verdaderas
Falsa si alguna o ambas
proposiciones son falsas
p q p ∧ q
V
V
V V
V
F F
F
FF
F
F
3–4-53–4-5
66
3 a-b3 a-b
44 5 i5 i
6 i-ii6 i-ii
3 c-d3 c-d
3 e3 e
5 ii5 ii
6 iii6 iii

La tabla de verdad de la disyunción de proposiciones se resuelve
p q p ∨ q
V
V
V V
V
F V
V
FF
F
F
verdadera a si alguna o
ambas proposiciones son
verdaderas
falsa si ambas
proposiciones son falsas
La tabla de verdad de la disyunción excluyente
de proposiciones se resuelve
p q p ∨ q
V
V
V F
V
F V
V
FF
F
F
verdadera si las proposiciones
tienen valores de verdad
diferentes
falsa si ambas
proposiciones tienen el
mismo valor de verdad
3–4-53–4-5
66
3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d 3 e3 e
44 5 i5 i
6 i-ii6 i-ii
5 ii5 ii
6 iii6 iii

La tabla de verdad de la doble implicación se resuelve :
p q p ⇔ q
V
V
V V
V
F F
F
VF
F
F
verdadera si ambas
proposiciones tienen el mismo
valor de verdad
falsa las proposiciones
tienen valor de verdad
diferente
La tabla de verdad de la implicación de proposiciones se resuelve
p q p ⇒ q
V
V
V V
V
F F
V
VF
F
F
verdadera si ambas
proposiciones son verdaderas
si el antecedente es falso, no
importa el consecuente, la
implicación es verdadera
falsa únicamente con
antecedente (p) verdadero
y consecuente (q) falso
los términoslos términos antecedenteantecedente ––
consecuenteconsecuente se usanse usan
exclusivamente en ésta operaciónexclusivamente en ésta operación
3–4-53–4-5
66
3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d 3 e3 e
44 5 i5 i
6 i-ii6 i-ii
5 ii5 ii
6 iii6 iii

Las posibles combinaciones de valores
de verdad entre dos proposiciones
siempre se agotan en cuatro
alternativas ; en caso que estén
involucradas mas de dos proposiciones
en una operación lógica, para averiguar
la cantidad de alternativas posibles,
usaremos la expresión : 2n
donde n es
la cantidad de proposiciones.
Si tengo que operar las
proposiciones p ; q y
r, las combinaciones
posibles serán: 23
= 8
p q r resultado
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
3–4-53–4-5
66
3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d
3 e3 e 44
5 i5 i
6 i-ii6 i-ii
5 ii5 ii
6 iii6 iii

3 a) Para hacer la tabla de
verdad de ( p ∨ q ) ⇒ p
debemos resolver
primero p ∨ q
p q p ∨ q (p ∨ q) ⇒ p
V V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
3 b) Para hacer la tabla de
verdad de p ⇔ ( p ∨ q )
debemos resolver primero
p ∨ q
p q p ∨ q p ⇔ (p ∨ q)
V V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
considerando la columnaconsiderando la columna
p ∨ q obtenida comoobtenida como
antecedente y la deantecedente y la de q
como consecuente,como consecuente,
resolvemos laresolvemos la
implicaciónimplicación
y con la columnay con la columna
obtenida buscar elobtenida buscar el
resultado final.resultado final.
3 e3 e3 c-d3 c-d
Negación - ConjunciónNegación - Conjunción
ImplicaciónImplicación
Doble ImplicaciónDoble Implicación
Disyunción DisyunciónDisyunción Disyunción
ExcluyenteExcluyente

3 c) para resolver (q ⇒ p) ⇒ ( p ⇒ q) debemos resolver por separado
las implicaciones (q ⇒ p) y ( p ⇒ q) ; y luego buscar el resultado final
hallando una implicación entre esos dos resultados parciales
p q
V
V
V V
V
F F
V
VF
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
q ⇒ p p ⇒ q (q ⇒ p) ⇒ (p ⇒ q)
3 d)3 d) Para resolverPara resolver ∼∼ ( r( r ⇒⇒ r )r ) debemosdebemos
resolver primeroresolver primero ( r( r ⇒⇒ r ) ;r ) ; cuando rcuando r
(antecedente) es verdad, r(antecedente) es verdad, r
(consecuente) también es verdad(consecuente) también es verdad,,
idéntica situación cuando r es falso.idéntica situación cuando r es falso.
r r
V
F
V V
F V
F
F
y luego negary luego negar ( r( r ⇒⇒ r )r )
r ⇒ r ∼( r ⇒ r )
3 e3 e

3 e)3 e) En ( pEn ( p ∧∧ q )q ) ∨∨ (( ∼∼ r ) aparecen involucradas tres proposiciones,lar ) aparecen involucradas tres proposiciones,la
tabla de verdad debe contemplar todas las posibles configuraciones detabla de verdad debe contemplar todas las posibles configuraciones de
valores de verdad entre las tres proposiciones. Tambiénvalores de verdad entre las tres proposiciones. También ∼∼ rr
p q rp q r
V V VV V V
V V FV V F
V F VV F V
V F FV F F
F V VF V V
F V FF V F
F F VF F V
F F FF F F
∼∼ rr
FF
VV
FF
VV
FF
VV
FF
VV
Luego se resuelveLuego se resuelve ( p( p ∧∧ q )q )
pp ∧∧ qq
VV
VV
FF
FF
FF
FF
FF
FF
y finalmentey finalmente ( p( p ∧∧ q )q ) ∨∨ (( ∼∼ r )r )
( p( p ∧∧ q )q ) ∨∨ (( ∼∼
r )r )
VV
VV
FF
VV
FF
VV
FF
VV

4)4) Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla dePara resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla de
verdad solamente para los valores asignados a las proposicionesverdad solamente para los valores asignados a las proposiciones
i) [(pi) [(p ∨∨ q)q) ∨∨ r]r] ∧∧ s se resuelve:s se resuelve:
p q r sp q r s
V F F VV F F V
pp ∨∨ qq
VV
(p(p ∨∨ q)q) ∨∨ rr
VV
[(p[(p ∨∨ q)q) ∨∨ r]r] ∧∧ ss
VV
ii) rii) r ⇒⇒ (s(s ∧∧ p) se resuelve:p) se resuelve:
p r sp r s
V F VV F V
ss ∧∧ pp
VV
rr ⇒⇒ (s(s ∧∧ p)p)
VV
iii) (piii) (p ∨∨ r)r) ⇔⇔ (r(r ∧∧ ∼∼ s) se resuelve:s) se resuelve:
p r sp r s
V F VV F V
∼∼ss
FF
pp ∨∨ rr rr ∧∧ ∼∼ ss
VV FF
(p(p ∨∨ r)r) ⇔⇔ (r(r ∧∧ ∼∼s)s)
FF

Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad
5 i)5 i) Para saber el valor de verdad dePara saber el valor de verdad de (p ⇒ q) ⇒ r ; cuando r es V
Debemos considerar que la operación principal es una implicación,
donde el consecuente ( r ) es verdad.
Repasamos la tabla de verdad de la implicación:Repasamos la tabla de verdad de la implicación: p q p ⇒
q
V V V
V F F
F V V
F F V
Vemos que la implicación es falsa solo cuando
el consecuente es falso y el antecedente
verdadero.
Si nuestro consecuenteSi nuestro consecuente r es V,, no
importa si p ⇒ q es verdad o falso
p q r
Analizamos solamente
cuando r es verdad
VV
VV
VV
VV
V VV V
V FV F
V VV V
V FV F
ahora resolvemos comoahora resolvemos como
cualquier tabla de verdadcualquier tabla de verdad
p ⇒ q
VV
FF
VV
FF
(p ⇒ q) ⇒ r
VV
VV
VV
VV
(p ⇒ q) ⇒ r es verdad
5 ii5 ii

5 ii) Para saber el valor de verdad dePara saber el valor de verdad de
(p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) cuando q es V
Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad
Debemos considerar que la operación principal es una doble implicación,
donde las expresiones involucradas son (p ∨ q) y (∼ p ∧ ∼ q)
sisi q es V cualquier disyunción donde esté q, será verdad,cualquier disyunción donde esté q, será verdad,
luegoluego (p ∨ q) es V
p q ∼p ∼q
Analizamos solamente
cuando q es verdad
VV
VV
VV
FF
y p puede ser VV
VV
∼ p ∧ ∼
q FF
FF
al ser q “V” ;al ser q “V” ; ∼ q es F cualquier conjunción donde estécualquier conjunción donde esté ∼ q , será falso,, será falso,
Las expresiones (p ∨ q) y (∼ p ∧ ∼ q) tienen diferentes valores de verdad
luego : (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) es falso
p ∨ q (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)
FF
FF
FF
FF
luegoluego (∼ p ∧ ∼ q) es F
verdad óó falso
VV
VV

6 i) p ⇒ q es Falso solamente cuando p es V y q es F
En (p ∨ q) ⇒ q ; si p es V (p ∨ q) es V
nos queda una implicación denos queda una implicación de antecedente verdadero y consecuente falsoantecedente verdadero y consecuente falso
entoncesentonces (p ∨ q) ⇒ q es falso
6 ii)6 ii) si psi p ⇒⇒ q es Verdad puede pasar que:q es Verdad puede pasar que: p sea V y q sea Vp sea V y q sea V
p sea F y q sea Vp sea F y q sea V
p sea F y q sea Fp sea F y q sea F
Para hallarPara hallar pp ∨∨ (p(p ⇔⇔ q)q) confeccionamos tabla deconfeccionamos tabla de
verdad con las tres lasverdad con las tres las alternativasalternativas posiblesposibles
p q
V VV V
F VF V
F FF F
(p(p ⇔⇔ q)q)
VV
FF
VV
pp ∨∨ (p(p ⇔⇔ q)q)
VV
FF
VV
Los valores deLos valores de
verdad no son losverdad no son los
mismos para todasmismos para todas
las situacioneslas situaciones
entoncesentonces no es posible determinar el valor de verdadno es posible determinar el valor de verdad
con los datos proporcionadoscon los datos proporcionados
6 iii6 iii

6 iii) sabiendo que p es Verdad y ∼q es Verdad para hallar
[ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q hacemos tabla de verdad para esos valores
p q ∼ q
V VV V
sabiendo quesabiendo que ∼ q es verdades verdad
FF
hallamoshallamos p ∨ q
p ∨ q
V
luego hacemosluego hacemos (p ∨ q) ∧ ∼ q
(p ∨ q) ∧ ∼ q
V
finalmente resolvemosfinalmente resolvemos [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q
[ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q
F
Resulta [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q Falso

Para simplificar proposiciones apelaremos frecuentemente a :
las Leyes de De Morgan
“La negación de una disyunción de proposiciones es equivalente a la
conjunción de la negación de cada una de las proposiciones”
SimbólicamenteSimbólicamente ∼ ( p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
p q ∼
p
∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) ∼ p ∧ ∼ q ∼ ( p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q
V V F F V F F V
V F F V V F F V
F V V F V F F V
F F V V F V V V
Podemos verificar laPodemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicacióncon una tabla de verdad de la doble implicación
Si la doble implicación de las dos expresionesSi la doble implicación de las dos expresiones
resultaresulta verdad en cualquier caso, las, las
expresiones son equivalentesexpresiones son equivalentes
7 a-b7 a-b
8 i-ii8 i-ii
7 c7 c
8 iii8 iii
8 iv8 iv

SimbólicamenteSimbólicamente ∼ ( p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
“La negación de una conjunción de proposiciones es equivalente
a la disyunción de la negación de cada una de las proposiciones”
p q ∼
p
∼ q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∨ ∼ q ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V
7 a-b7 a-b
8 i-ii8 i-ii
7 c7 c
8 iii8 iii 8 iv8 iv

Otra equivalencia que nos conviene considerar es:
“La implicación es equivalente a la negación del
antecedente disyunción el consecuente”
p q ∼ p p ⇒ q ∼ p ∨
q
(p ⇒ q) ⇔ ∼p ∨ q
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
SimbólicamenteSimbólicamente p ⇒ q ≡ ∼ p ∨ q
7 a-b7 a-b
8 i-ii8 i-ii
7 c7 c
8 iii8 iii
8 iv8 iv

p q pp ⇒⇒ qq qq ⇒⇒ pp (p(p ⇒⇒ q)q) ∧∧ (q(q ⇒⇒
p)p)
pp ⇔⇔
qq
(p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒
p)]
V V V V V V V
V F F V F F V
F V V F F F V
F F V V V V V
Otra equivalencia que nos conviene considerar es:
“La doble implicación es equivalente a la conjunción
de las implicaciones recíprocas”
SimbólicamenteSimbólicamente p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
7 a-b7 a-b
8 i-ii8 i-ii
7 c7 c
8 iii8 iii 8 iv8 iv

7 a) ∼ (∼ p ∨ ∼ q)
La negación de una disyunciónLa negación de una disyunción
de proposicionesde proposiciones
∼
es equivalente a la conjunciónes equivalente a la conjunción
∧
de la negación dede la negación de ∼ p y de ∼ q
(∼ p) (∼ q)
(en este caso las proposiciones(en este caso las proposiciones
de la disyunción sonde la disyunción son ∼ p ; ∼ q )
∼≡
Pero la negación de la negación de una proposición es la afirmación
Así el resultado final esAsí el resultado final es
≡ p ∧ q
p ∧ q
7 b) ∼(p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) ≡
la negación afecta solamente al primer paréntesisla negación afecta solamente al primer paréntesis
(∼ p ∧ ∼ q)
eliminamos una de las expresiones (eliminamos una de las expresiones (∼∼ pp ∧∧ ∼∼ q) pues las dos son idénticasq) pues las dos son idénticas
(propiedad de idempotencia)
∼ p ∧ ∼ q
Así el resultado final esAsí el resultado final es ∼ p ∧ ∼ q
∨ (∼ p ∧ ∼ q) ≡
y el resto de la operación se escribe igualy el resto de la operación se escribe igual
7 c7 c

7 c) ∼ (p ⇔ q) tenemos la negación de una doble implicacióntenemos la negación de una doble implicación
≡ ∼ [ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
recuerde querecuerde que la doble implicación equivale a la
conjunción de las implicaciones recíprocas
≡ ∼ (p ⇒ q) ∨ ∼ (q ⇒
p)
≡ ∼[(∼ p) ∨ q] ∨ ∼ [(∼ q ∨ p)]
≡ [∼(∼ p) ∧ ∼ q] ∨ [∼(∼ q) ∧ ∼ p]≡ ( p ∧ ∼ q) ∨ ( q ∧ ∼ p)
Ley de De Morgan
la implicación equivale a la disyunción de la
negación del antecedente con el consecuente
por De Morgan

8) Para negar cualquier expresión, escribimos la expresión que
queremos negar
8 i) La encerramos entre paréntesis, ∼ q ∨ r
y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está
comprendido en el paréntesis.
∼ ( ∼ q ∨
r )
(( ))∼∼
viene ahora la tarea deviene ahora la tarea de transformartransformar la expresión obtenidala expresión obtenida
buscando una expresión equivalente (leyes de De Morgan)buscando una expresión equivalente (leyes de De Morgan)
≡≡ ∼ ( ∼ q ) ∧ ∼ r ≡≡ q ∧ ∼ r
(p ∧ q) ⇒ r
La encerramos entre corchetes, y anteponiendo el signo de negación, negamos
todo lo que está comprendido en el corchete
buscando una expresión equivalentebuscando una expresión equivalente
∼∼ [ (p ∧ q) ⇒ r ] ≡≡ ∼∼ [ ∼∼ (p ∧ q) ∨ r ] ≡≡ ∼∼ [ ∼∼ ( p ∧ q ) ] ∧ ∼∼
r
≡≡ ( p ∧ q ) ∧ ∼∼
r
≡≡ p ∧ q ∧ ∼∼ r
[ ]∼8 ii)8 ii) Para negarPara negar
8 iv8 iv8 iii8 iii

8 iii) escribimos la expresión que queremos negar
p ∧ (q ⇒ r)La encerramos entre corchetes,
y anteponiendo el signo de negación, negamos
todo lo que está comprendido en el corchete
buscando una expresión equivalentebuscando una expresión equivalente
∼∼ [ p ∧ (q ⇒ r ) ] ≡≡ ∼ p ∨ ∼ (q ⇒ r) ≡≡ ∼ p ∨ ∼ [ (∼ q ) ∨ r ]
≡≡ ∼ p ∨ [∼ (∼ q ) ∧ ∼ r ]
[ ]∼
≡≡ ∼ p ∨ ( q ∧ ∼ r )
aplicamos ley de De Morganaplicamos ley de De Morgan La implicación es la disyunción de laLa implicación es la disyunción de la
negación del antecedente con elnegación del antecedente con el
consecuenteconsecuente
8 iv8 iv

8 iv) escribimos la expresión que queremos negar
La encerramos entre corchetes, ∼ ( p ∨ q ) ⇔ (∼ r ∧ ∼
q )
y negamos todo lo que está
comprendido en el corchete
∼ [ ∼ ( p ∨ q) ⇔ (∼ r ∧ ∼ q ) ]
[[ ]]∼∼
viene ahora la tarea deviene ahora la tarea de transformartransformar lala
expresión obtenida buscando una expresiónexpresión obtenida buscando una expresión
equivalenteequivalente
La doble implicación es la conjunción de lasLa doble implicación es la conjunción de las
implicaciones recíprocasimplicaciones recíprocas
≡ ∼ { [ ∼ ( p ∨ q) ⇒ (∼ r ∧ ∼ q ) ] ∧ [ (∼ r ∧ ∼ q ) ⇒ ∼ ( p ∨ q) ] }
≡
La implicación es la disyunción de laLa implicación es la disyunción de la
negación del antecedente con elnegación del antecedente con el
consecuenteconsecuente
≡ ∼ { [ ( p ∨ q) ∨ ( ∼ r ∧ ∼ q ) ] ∧ [ ∼ ( ∼ r ∧ ∼ q ) ∨ ∼ ( p ∨ q ) ] }
≡
≡ ∼ [ ( p ∨ q) ∨ ( ∼ r ∧ ∼ q ) ] ∨ ∼ [ ∼ ( ∼ r ∧ ∼ q ) ∨ ∼ ( p ∨ q ) ] ≡
≡ ∼ [ ( p ∨ q) ∨ ∼ ( r ∨ q ) ] ∨ ∼ [ ( r ∨ q ) ∨ ∼ ( p ∨ q ) ]
≡
≡ [ ∼ ( p ∨ q) ∧ ( r ∨ q ) ] ∨ [ ∼ ( r ∨ q) ∧ ( p ∨ q )
]
pp ⇒⇒ qq ≡≡ ∼∼ pp ∨∨ qq

Tautología o Ley LógicaTautología o Ley Lógica: es una proposición compuesta, cuyos
valores de verdad son siempre verdad, cualquiera sean los
valores de verdad de las proposiciones que la componen
Si los valores de verdad de la proposición compuesta son falsos,
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que lo
componen, la proposición es una ContradicciónContradicción..
p q p ∨ q p ⇒ p ∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
p ⇒ p ∨ q
Es tautologíaEs tautología
p q ∼ p P ⇒ q ∼ (p ⇒
q)
∼ (p ⇒ q) ∧ ∼
p
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
9 i9 i 9 ii9 ii
9 iii-iv9 iii-iv

en este caso ( p ∧ q ) ⇒ r
p q r p ∧ q ( p ∧ q ) ⇒ r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
se realiza la tabla de verdad
correspondiente
9 i) Para determinar si una proposición es ley lógica ó tautología,
si todos los valores de verdad de la
columna de los resultados fueran
verdaderos, la proposición sería
tautología
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
en la segunda fila apareceen la segunda fila aparece
un valor de verdad falsoun valor de verdad falso
esta proposición que tiene valores deesta proposición que tiene valores de
verdad verdadero y valores deverdad verdadero y valores de
verdad falso (según sea p y/ó q) esverdad falso (según sea p y/ó q) es
unauna contingenciacontingencia
9 iii-iv9 iii-iv9 ii9 ii

p q r p ⇒ q q ⇒ r (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) p ⇒ r [ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ] ⇒ (p ⇒
r)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
toda la columna de resultados es verdadtoda la columna de resultados es verdad
9 ii) se realiza la tabla de verdad correspondiente
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
[ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ] ⇒ (p ⇒ r) es tautología
9 iii-iv9 iii-iv

9 iii) si p ∧ [ p ⇔ q ] es tautología
también podemos resolver con tabla de verdad
p q p ⇔ q p ∧ [ p ⇔ q ]
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
La doble implicación es verdad cuando ambas proposicionesLa doble implicación es verdad cuando ambas proposiciones
tienen el mismo valor de verdad (las dos falsas ó las dos verdad)tienen el mismo valor de verdad (las dos falsas ó las dos verdad)
La conjunción es falsa si una de lasLa conjunción es falsa si una de las
proposiciones es falsa (o ambas)proposiciones es falsa (o ambas)
esta proposición que tiene valores deesta proposición que tiene valores de
verdad verdadero y valores deverdad verdadero y valores de
verdad falso (según sea p y/ó q)verdad falso (según sea p y/ó q)
9 iv)9 iv) (p ⇒ r) ⇔ (r ⇒ p) p r p ⇒ r r ⇒ p (p ⇒ r) ⇔ (r ⇒ p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
La implicación es falsa solo cuandoLa implicación es falsa solo cuando
el antecedente es verdadero y elel antecedente es verdadero y el
consecuente es falsoconsecuente es falso
esta proposiciónesta proposición
tiene valores detiene valores de
verdad verdadero yverdad verdadero y
valores de verdadvalores de verdad
falso (según sea pfalso (según sea p
y/ó q)y/ó q)
p ∧ [ p ⇔ q ] es contingenciacontingencia
(p ⇒ r) ⇔ (r ⇒ p)
es contingenciacontingencia

10)10) El viajero se encuentra frente a dosEl viajero se encuentra frente a dos
caminoscaminos
desea ir a la Capital, y eldesea ir a la Capital, y el
único que puede indicarle elúnico que puede indicarle el
camino correcto es el Sr. Zcamino correcto es el Sr. Z
(que parece no estar muy dispuesto)(que parece no estar muy dispuesto)
Contesta las preguntas
solo con “si” o con “no”
y solo una pregunta
y si es mentiroso, miente siempre . . .y si es mentiroso, miente siempre . . .
¿ o siempre dice la verdad . . . ?¿ o siempre dice la verdad . . . ?
Es un buen comienzoEs un buen comienzo diferenciar los caminos, al de lalos caminos, al de la
izquierda llamo camino A y al de la derecha camino Bizquierda llamo camino A y al de la derecha camino B
AA
BB
Supongamos que el camino A es el correctoSupongamos que el camino A es el correcto si el viajero señala el camino A y pregunta:si el viajero señala el camino A y pregunta:
“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”
Si es de los que dicen la verdad, comoSi es de los que dicen la verdad, como
es el camino correcto responderá . . .es el camino correcto responderá . . .
SISI
!!
Porque si el viajero hiciera la pregunta “¿ estePorque si el viajero hiciera la pregunta “¿ este
es el camino que lleva a la Capital ?” piensaes el camino que lleva a la Capital ?” piensa
decir la verdad . . .decir la verdad . . .
SI !SI !
SISI
SISI

AA
BBfrente a la misma pregunta :frente a la misma pregunta :
Señalando el camino ASeñalando el camino A
“Si yo le preguntara si este camino lleva
a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”
Si el Sr. ZSi el Sr. Z es de los que mienten siempre dirá . . .es de los que mienten siempre dirá . . .
SI !SI !
él sabe que el camino señalado es el correcto,él sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero nopero el viajero no
pregunta por el caminopregunta por el camino que lleva a la Capital ,que lleva a la Capital , sino por unasino por una
posible respuestaposible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a laa la pregunta “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , recién entonces el Sr. Z dirá “no”. Pero tampocoCapital?” , recién entonces el Sr. Z dirá “no”. Pero tampoco
perderá esta oportunidad de mentir y decir “si” sabiendo queperderá esta oportunidad de mentir y decir “si” sabiendo que
luego, a la pregunta responderá “no”luego, a la pregunta responderá “no”
NONO
!!
si el viajero preguntara (que no puede hacerlo)si el viajero preguntara (que no puede hacerlo)
“¿este es el camino que lleva a la Capital?” , él“¿este es el camino que lleva a la Capital?” , él
piensa mentir . . .piensa mentir . . .
Aunque los dosAunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “SI”“SI”
Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó deIndependientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó de
los que dicen la verdad, responde SI, cuando selos que dicen la verdad, responde SI, cuando se
señala el camino correctoseñala el camino correcto
SISI
SISI

Señalando ahora el camino BSeñalando ahora el camino B
(camino equivocado)(camino equivocado)
AA BB
frente a la misma pregunta :frente a la misma pregunta :
Si el Sr. ZSi el Sr. Z
NONO
!! NO !NO !
es de los que dicen laes de los que dicen la
verdad siempre dirá . . .verdad siempre dirá . . .
porque si el viajero hiciera la pregunta “¿esteporque si el viajero hiciera la pregunta “¿este
es el camino que lleva a la Capital?”, piensaes el camino que lleva a la Capital?”, piensa
decir la verdad . . .decir la verdad . . .
Pero si el Sr. Z es mentiroso . . . .Pero si el Sr. Z es mentiroso . . . .
NONO
NONO

AA
BBfrente a la misma pregunta :frente a la misma pregunta :
señalando el camino Bseñalando el camino B
dirá . . .dirá . . .
NO !NO !
Z sabe que el camino señalado es el correcto,Z sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero nopero el viajero no
pregunta por el caminopregunta por el camino que lleva a la Capital ,que lleva a la Capital , sino por unasino por una
posible respuestaposible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a laa la pregunta “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , recién entonces dirá “si” (para mentir). Pero tampocoCapital?” , recién entonces dirá “si” (para mentir). Pero tampoco
perderá esta oportunidad de mentir y decir que va a responder (laperderá esta oportunidad de mentir y decir que va a responder (la
verdad),que el camino no leva a la Capital””verdad),que el camino no leva a la Capital””
SI !SI !
si el viajero preguntara (que no puedesi el viajero preguntara (que no puede
hacerlo) “¿este es el camino que lleva a lahacerlo) “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , él piensa mentir . . .Capital?” , él piensa mentir . . .
Aunque los dosAunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “NO”“NO”
Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o deIndependientemente de si el Sr. Z es mentiroso o de
los que dicen la verdad, responde NO si el caminolos que dicen la verdad, responde NO si el camino
señalado no es el correctoseñalado no es el correcto
NONO
SISI

Como la respuesta a la pregunta
Es la misma, independientementeEs la misma, independientemente
o del que miente . . .o del que miente . . .
“Si yo le preguntara si
este camino lleva a la
Capital Ud. ¿ Qué me
respondería ?”
Así nuestro viajero, queAsí nuestro viajero, que pudo formularpudo formular
una sola pregunta que descifra eluna sola pregunta que descifra el
enigma,enigma, encontró el camino correctoencontró el camino correcto
Y hacia la Capital seY hacia la Capital se
encamina, eso sí, algoencamina, eso sí, algo
perturbado por el esfuerzoperturbado por el esfuerzo
que se trate del que dice la verdad . . .que se trate del que dice la verdad . . .

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