Apostila Estatistica

1. NOME:______________________________Nº_______
Turma:________________ Data _____/fevereiro/2014
e-mail:______________________________
///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0
21 2 2014

2. - 1 -
Esta APOSTILA, como ocorre com todo e qualquer trabalho
humano, deve – é evidente – conter falhas e imperfeições.
Não devemos, porém, temer o erro. O escritor suíço Henri-
Frédéric Amiel (1821-1881) afirmou que o erro só é perigoso
quando contém grande parcela de verdade. Gotthold Ephraim
Lessing, filósofo alemão (1729-1781), um século antes do
judicioso Amiel, já havia exarado esta sentença notável: Aquele
que teme o erro é o primeiro a errar.
Tudo que merece estudo não se lê facilmente, tudo que
adianta alguma coisa exige esforço e meditação.
Malba Tahan
“Agrada-me mais a dúvida do que o saber”, dizia Dante. E
esta é a essência da Matemática. Completa, séculos depois,
Benjamin Franklin: “Muita gente lamenta ter estudado isso ou
aquilo. Consideram tempo perdido ou esforço inútil. Em relação a
matemática, porém, não houve, até hoje, quem lastimasse o
tempo empregado em seu estudo. O arrependimento só brotou no
espírito daqueles que não poderiam ter levado, em adiantamento,
os estudos da Matemática”.
Salientando a importância do ensino da parte histórica da
Matemática opinou Felix Klein (1849-1925), um dos mais insignes
didátas na matéria: “O professor que ensina a Matemática
desligada de sua parte histórica comete verdadeiro atentado
contra a Ciência e contra a cultura em geral”.
"Faça as coisas o mais simples que puder, porém não
simplifique demais." Albert Einstein

3. - 1 -
PLANO DE ENSINO RESUMIDO 2014
DISCIPLINA: E S T A T Í S T I C A – TURMA : ESTTEI1(7149) SALA A27
PROFESSOR: MARCOS VINÍCIUS RIBEIRO mvinicius@facens.br
1. EMENTA
Serão abordados os tópicos principais de Estatística Descritiva e Probabilidades.
2. OBJETIVOS
Despertar o interesse do aluno relacionando a estatística com problemas do cotidiano. Familiarização com a linguagem e
conceitos estatísticos. Capacitar a analisar e interpretar dados experimentais e levantamentos estatísticos. Capacitar a
representar dados estatísticos. Habilitar o aluno na compreensão e identificação de problemas onde devem ser aplicados
conceitos estatísticos.
3. CONTEÚDO: 1°°°° SEMESTRE - 2014
Módulo 1 Módulo 2
Conceitos População e Amostra. Estatística
Descritiva e Indutiva,-Rol. Apuração dos Dados.
Distribuição de Frequência para variáveis discreta e
Contínua. Análise dos Dados. Medidas de Tendência
Central para Variáveis Contínuas e Discretas, Médias.
Mediana, Modas. Medidas de Dispersão para variáveis
discreta e Contínua.: Variância , Desvio Médio absoluto,
Desvio padrão, Coeficiente de Variação. Medidas de
Separatrizes. Interpolação Linear Análise Gráfica:
Histogramas, Polígonos de Frequência. Determinação
Gráfica das Modas, Mediana.
Probabilidade: definição, árvore de probabilidades, eventos
independentes e variáveis, exercícios. Regra da soma, regra do
produto. Média, variância: definição e propriedades. Distribuição
binomial e de Poisson, exercícios.
Regressão Linear – Método dos Mínimos Quadrados. Análise de
Correlação, O coeficiente r de Pearson, Características de r,
Interpretação de r e o Coeficiente de Determinação r² Processo
prático para o cálculo de r.
Distribuições contínuas – definição e exemplos
Distribuições contínuas: Distribuição Normal, uso de tabelas.
Probabilidade condicional, probabilidade de eventos
independentes. Teorema de BAYES
4. SISTEMA DE AVALIAÇÃO:
A Avaliação do rendimento escolar é feita por disciplina, incidindo sobre a frequência e o rendimento. O rendimento escolar
semestral anual é composto por dois módulos e pela frequência semestral.
A nota de cada módulo é composta por exercícios, provas, trabalhos e outras atividades, duas avaliações escritas. Uma PROVA
SUBSTITUTIVA NO FINAL DO SEMESTRE, CUJO CONTEÚDO SERÁ SOMENTE DO MÓDULO 2. A nota obtida na prova Substitutiva é usada para
substituir a menor das notas obtidas nos módulos. As notas serão compostas da seguinte forma: MF= 0,4*M1+0,6*M2 Se MF ≥ 5,0
então o aluno está APROVADO, onde M1: Nota do módulo1 e M2 : Nota do módulo2, MF: Nota final do semestre. Caso contrário,
MF=0,5*M+0,5*SUB, onde SUB: Nota da prova substitutiva referente a menor nota entre os módulos, ou ainda, referente ao módulo em
que o aluno não compareceu, M é o máximo entre M1 e M2. Se MF ≥ 5,0 então o aluno está APROVADO. Se MF < 5,0 então o aluno
NÃO está APROVADO.
A Avaliação substitutiva é opcional, mas se realizada, irá substituir necessariamente (independente da nota) a menor nota entre
os módulos. A partir dela fará a média aritmética para composição da média final do semestre. Critério de arredondamento, o aluno será
aprovado se conseguir nota igual ou superior a 4,90. Frisando, o aluno que obter nota igual ou menor que 4,89 não será aprovado. Para
avaliações o aluno deve ter o próprio material como, lápis, caneta, borracha, apontador, régua, calculadora científica convencional (não
será permitido calculadora dos celulares), Não serão permitidos empréstimos desses materiais. É proibido uso de quaisquer dispositivos
eletrônicos durante a aula e prova, aplicam-se também aos fones de ouvido. Todo e qualquer outro material deverá estar fora do alcance
do aluno, principalmente celulares. Caso seja detectada cola, mesmo que no início da avaliação, mesmo que ainda não tenha sido
entregue a avaliação será atribuído zero ao aluno, portanto analise bem antes de fazê-lo. Obrigatório a entrega da folha de questões
(tabelas e fórmulas) e da folha de resolução (exemplo, o almaço). Pede-se que o aluno procure ir ao banheiro antes da avaliação. Ao
término da avaliação, entregar nas mãos do professor. Acréscimos concedidos “bônus” ao longo dos módulos, listas de exercícios,
simulado da FACENS, não serão computados, considerados quando da realização da avaliação substitutiva. O professor valoriza o
cálculo mental ou cálculo SEM uso de calculadoras.
5. BIBLIOGRAFIA Básica
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade, 7a. ed., São Paulo: Makron Books, 1999.
BARBETTA, P.A.;REIS, M. M.;BORNIA, A.C. Estatística para cursos de engenharia e informática.
São Paulo, SP: Atlas 2004. 410 p.
FONSECA, J.S. da; MARTINS, G. de A.. Curso de estatística. 6. ed. São Paulo, SP: Atlas 1996. 320 p.
6. BIBLIOGRAFIA Complementar
RIBEIRO, M. V. Apostila de Estatística, 2014. (disponível no site da FACENS, terminal do aluno).
VIEIRA, Sonia. Princípios de estatística. São Paulo, SP: Pioneira Thomson Learning 1999. 144 p.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil, 17a. ed., São Paulo: Editora Saraiva,1999.
TOLEDO, G.L.; OVALLE, I.I.. Estatística básica. 2. ed. São Paulo, SP: Atlas, 1995. 459 p.
TRIOLA, Introdução à Estatística, 10a. ed., São Paulo, LTC, 2008.
WALPOLE, R. E. [et al] Probabilidade & Estatística para engenharia e ciências, 8ªed, Pearson, 2009
7. Avaliações de E S T A T Í S T I C A
Substitutivas Dia Em Abril Feriados
Módulo 1 27/03(quinta-feira) 1º Semestre
12/06
14 a 16 – Sem.da Engenharia
29,30 - Simulado FACENS
3 - 4/03 18,19,21/04
1 - 3/05 e 19 - 21/06Módulo 2 05/06 (quinta-feira) 16 a 27 de junho
O calendário de avaliações está sujeito a alterações pelo professor

4. - 2 -
LUTE!!!
Diga em voz alta: Insisto! Persisto! Não Desisto!
Lutar sempre, Vencer talvez, Desistir Jamais!!!
“Posso todas as coisas nAqule(DEUS) que me fortalece”
Filipenses 4.13
“Os VENCEDORES não são os que nunca sofrem derrotas,
mas sim os que nunca desistem” Edwin Louis Cole

5. - 3 -
ABRAHAM LINCOLN
12/02/1809 a 15/04/1865
16º Presidente dos Estados Unidos da América
Republicano(1861-1865)
P E R S E V E R A N Ç A
Ele fracassou nos negócios em 1831.
Tentou um outro negócio em 33. Fracassou.
Sua noiva morreu em 35.
Teve um colapso nervoso em 36.
Em 43 ele candidatou-se para o Congresso e foi derrotado.
Tentou em 48 e foi derrotado novamente.
Tentou se candidatar para o Senado em 55. Perdeu.
No ano seguinte, candidatou-se a vice-presidente e perdeu.
Em 59 candidatou-se ao Senado novamente e foi derrotado.
Em 1860, o homem que assinava A. Lincoln foi eleito o
16°presidente dos Estados Unidos.
A diferença entre as realizações mais ousadas da história e seus mais assombrosos
fracassos está simplesmente em sua
FORTE VONTADE DE PERSISTIR.
“A probabilidade de fracassarmos na luta não nos deve deter no impulso de combater
por uma causa justa.”
"é melhor calar-se e deixar que as pessoas pensem que você é um idiota do
que falar e acabar com a dúvida." (Abraham Lincoln)

6. - 4 -
PARA REFLEXÃO
Para que haja crescimento o sacrifício é necessário
Negar a necessidade de mudanças não elimina o problema!
Ficar remoendo o passado, lamentando o que poderia ter sido feito e não foi, apenas desvia a
atenção do presente, onde realmente as coisas acontecem.
O único lugar aonde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário – Albert Einstein
“Não espere benefício sem haver conquistado mérito”. Não espere o mérito sem esforço!!!!
“Eu não me envergonho de corrigir os meus erros e mudar as minhas opiniões
porque, não me envergonho de raciocinar e aprender” Alexandre Herculano
Não Adianta ficar lamentando, (coitadinho de mim, autocomiseração).
Cresça!!! Não jogue a culpa nos outros!!!
Diga não a preguiça!!!Seja um guerreiro Diga em voz alta: - Eu sou capaz!!!
A Bíblia diz Esforça-te e Eu te ajudarei!!!
Isaías 35.4 e Isaías41.10,13
E conhecereis a verdade, e a verdade vos libertará. João 8.32
Não sabendo que era impossível, ele foi lá e fez!! Jean Cocteau
Não faça da sua vida um rascunho, pois pode não dar tempo de passá-la a limpo!!!
A força não provêm da capacidade física e sim de uma vontade indomável – GANDHI
Mudança – Movimento (novos conhecimentos, Novas experiências, novas oportunidades) estas três
desencadeiam crescimento – Vitórias – Realizações.
Dê uma cotovelada de leve no seu vizinho e fale: - ei!! Movimente-se!!!
Os quatro “D”
Determinação – é aquela força interior capaz de levar alguém a afirmar com convicção: “Este é o meu
sonho. Não morro sem realizá-lo, mesmo que demore vinte, trinta anos”.
Dedicação é a capacidade de se entregar à realização de um objetivo.
Disciplina é a capacidade de seguir um método. Quando se fala em disciplina, a primeira coisa que
vem á mente é o conceito de rigidez. Mas disciplina, na verdade, está associado à palavra discípulo,
que é aquele que tem capacidade de aprender com um mestre, segundo seu método.
Desprendimento é a capacidade de abandonar o que não esta funcionando para aprender o novo. É
desapegar-se de certa maneira de fazer algo para conseguir um resultado melhor. E mesmo após um
tombo, consegue erguer-se e levantar a cabeça, começando tudo de novo!
A diferença entre o sábio e o ignorante é que o 1º sabe aproveitar suas dificuldades para evoluir,
enquanto o ignorante se sente vítima de seus problemas.
Cresça! Não lamente seus erros e dificuldades!!!
Quem reconhece suas fraquezas já deu o primeiro passo para superá-las.
Lembre-se: A sua vida deve ser uma oferta a Deus ao invés
de um monumento aos homens.
Os problemas para matemática não são problemas, são a razão de sua existência.
Um problema é um desafio a ser solucionado, uma questão a ser resolvida. A matemática
tem um caso de amor com os problemas
"QUANDO O TRABALHO É PRAZER, A VIDA É UMA GRANDE ALEGRIA. QUANDO O TRABALHO É
DEVER, A VIDA É UMA ESCRAVIDÃO." (MÁXIMO GORKI)
Lembra-te que o silencio, é às vezes, a melhor resposta. Em disputas com teus
queridos, trata só do caso corrente. NÃO VÁS BUSCAR QUEIXAS DO PASSADO.
Quando perderes, pelo menos não percas a lição!
Julgar os outros é perigoso. Não tanto pelos erros que podemos cometer a respeito
deles, mas pelo que podemos revelar a nosso respeito. Voltaire
PACIÊNCIA E PERSEVERANÇA!! Aprenda que a PACIÊNCIA requer muita prática!

7. - 5 -
Só o tempo e o esforço trazem a competência.
Alcançado o sucesso deve-se manter o que foi conseguido, e não exaltá-lo!
Toma em conta que um grande amor, ou uma grande realização implicam grandes riscos
“ ...os físicos aprenderam a fazer as perguntas corretas. E fazer a pergunta certa é
freqüentemente mais do que a metade do caminho que conduz a solução do problema”
Werner Heisenberg(1901-1976)
“DEUS NÃO JOGA DADOS” Albert Einstein
O que fazemos em vida, ecoa na eternidade!!! Do filme Gladiador
PARTILHE O TEU SABER, É UMA FORMA DE ALCANÇAR A IMORTALIDADE!!!
Avalia o teu sucesso por tudo o que tiveste de renunciar para alcançar!
“Deus nos fez para atingirmos, como águias, elevadas alturas, mas nos
contentamos com vôos rasantes dos pardais.”
O músculo mais potente do corpo humano é a LÍNGUA. A MORTE e a VIDA estão
no poder da LÍNGUA, e aquele que a ama comerá do seu fruto. Provérbios.18.21
A saber: SE COM TUA BOCA CONFESSARES AO SENHOR JESUS, e em teu coração
creres que Deus o ressuscitou dos mortos, SERÁS SALVO. Visto que com o
coração se crê para a justiça, e com a boca se faz confissão para a salvação.
Romanos 10.9-10 significa Terás a vida eterna, sua alma viverá!
Tudo tem uma razão. As vezes as coisas acontecem por uma razão. Algo ruim força uma
coisa boa, ou para um bem maior
TRABALHE como se você não precisasse do dinheiro. AME como se você nunca tivesse sido
magoado. DANCE como se ninguém estivesse observando.
O maior risco da vida é não fazer nada!!!
Em tudo que a natureza opera, ela nada faz bruscamente! Lamarck
Segue os três Rs: Respeito por ti, Respeito pelos outros e Responsabilidade por todos os teus
atos
Lembra-te que não ter tudo o que se deseja é por vezes um magnífico golpe de sorte.
“Existe um vazio do tamanho de Deus no coração de cada homem, que não pode ser
preenchido por criatura alguma, senão somente por Deus, através de Jesus Cristo.”
( Blaise Pascal – Século XVII)
O tempo entre o início de um sonho e sua concretização é sempre um PROCESSO. Esse
período é cheio de dúvidas, adversidades, mudanças e surpresas. Durante o processo,
vocês experimentarão dias bons e maus. E frequentemente se verão diante de um dilema:
desistir ou continuar? John C. Maxwell
“Suba o primeiro degrau com fé. Não é necessário que você veja toda a
escada. Apenas dê o primeiro passo.” (Martin Luther King)
QUANDO NÃO VENCER PELO TALENTO, VENÇA PELO ESFORÇO! SAIA DA IDEIA E TOME UMA
ATITUDE
Nunca permita que o medo de perder alguma experiência o impeça de viver a alegria do inesperado.Emo Philips)
DEUS NÃO CHAMA AQUELES QUE SÃO EQUIPADOS. ELE EQUIPA AQUELES QUE SÃO
CHAMADOS, E ELE SEMPRE ESTARÁ LÁ PARA AMAR E GUIAR VOCÊ A GRANDES COISAS!
F E L I C I D A D E S ! ! !
Marcos Vinícius Ribeiro 07 de agosto de 2013.

8. - 6 -
DO MEU TELESCÓPIO, EU VIA DEUS CAMINHAR! A MARAVILHOSA DISPOSIÇÃO E HARMONIA DO
UNIVERSO SÓ PODE TER TIDO ORIGEM SEGUNDO O PLANO DE UM SER QUE TUDO SABE E TUDO PODE. ISTO
FICA SENDO A MINHA ÚLTIMA E MAIS ELEVADA DESCOBERTA. ISAAC NEWTON
Quanto mais alto alguém está, mais dificuldade tem em manter o equilíbrio. Provérbio popular
Ninguém é bom por acaso; a virtude deve ser aprendida.(Sêneca, filósofo latino, (4 a.C. até 65 d.C)
"Os verdadeiros sábios se dão a conhecer pelos bons princípios de seus atos, pela
intocável moral de suas atitudes e, pelo fato de servirem de exemplo dos ensinamentos que transmitem".
"Só quem entende a beleza do perdão pode julgar seus semelhantes" (Sócrates)
"Muitos homens iniciaram uma nova era na sua vida a partir da leitura de um livro"
(Henry David Thoreau)
"Bom mesmo é ir a luta com determinação, abraçar a vida com paixão e vencer com ousadia,
pois o triunfo pertence a quem se atreve... A vida é muita pra ser insignificante!" (Andréa Aoki)
"Os obstáculos que surgem em seu caminho, não são para impedir seus passos,
são desafios para serem superados"
"Se seus sonhos estiverem nas nuvens, não se preocupe, pois eles estão no lugar certo;
agora construa os alicerces"
"Sorria! Sorrir abre caminhos, desarma os mal-humorados, contamina.
Mas sorria com a alma, não apenas com os lábios" (Léa Waider)
"Ideais são como estrelas. Você nunca as alcança, mas como os marinheiros,
nós definimos nosso curso por elas" (Carl Schurz)
"Um homem que quer reger a orquestra precisa dar as costas à platéia" (James Crook)
"A alegria e o amor são as duas grandes asas para os grandes feitos". (Goethe)
"A experiência é uma coisa maravilhosa. Ajuda-o a reconhecer um erro quando você comete de novo".
(Stephen R. Covey)
"Só há duas maneiras de viver a vida:
A primeira é vivê-la como se os milagres não existissem.
A segunda é vive-la como se tudo fosse um milagre". (Albert Einstein)
"Às vezes, é fácil abrir mão da realidade, mas não é fácil abrir mão de um sonho...
Acredite no seu sonho! E seja feliz"
"A maior parte de nossa felicidade depende de nossa atitude e não das circunstâncias".(Martha Washington)
"Gestos são mais importantes que palavras".
"Uma coletânea de pensamentos são uma farmácia moral onde se encontram
remédios para todos os males". (Voltaire)
"Não existe grandeza quando a simplicidade, bondade e a verdade estão ausentes". Leon Tolstoi
"A vida feliz consiste na tranqüilidade da mente". (Cícero)
Aquele que deseja construir torres altas deveria permanecer longos tempos nos fundamentos. (Anton Bruckner)
"Deus nos dá as nozes. Mas não as quebras". (Provérbio Alemão)
"Não desanimes com as quedas: elas nos mostram que o chão está longe de ser o nosso lugar".
(Horivaldo Gomes)
"Jamais desista daquilo que você realmente quer fazer. A pessoa que tem grandes sonhos é mais forte
do que possui todos os fatos". ( H.J. Brown)
"Um grande artista pode pintar um quadro maravilhoso em uma pequena tela". (Warner)
Nunca decidas antes de ouvir ambas as partes.(Aristóteles)
Prefiro uma gota de sabedoria a toneladas de Riquezas – Anaxágoras
O desejo mede os obstáculos; a vontade os vence – Alexandre Herculano, escritor português 1810-1877

9. - 7 -
Começai por admirar o que Deus nos mostra, e não terás tempo de procurar o que Ele nos oculta
(Alexandre Dumas, romancista Frances, 1803-1870)
Uma noitada em que todos os presentes estão absolutamente de acordo é uma noitada perdida. Albert Einstein
Grande parte da vitalidade de uma amizade reside no respeito pelas diferenças, e não apenas em
desfrutar das semelhanças.(James Fredericks)
A derrota é uma força destruidora apenas quando é aceita como um fracasso. Porém, quando a vemos
e a aceitamos como uma lição necessária, sempre é uma benção! (Napoleon Hill)
Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de consciência que o criou. É preciso ir mais
longe. Eu penso 99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho no silêncio e a verdade me é
revelada.(Albert Einstein)
"Sejamos como o sol que não usa nenhuma recompensa, não espera lucros, nem elogios, nenhuma fama,
simplesmente brilha". (Jens Bringwatt)
"Jamais se desespere em meio as sombrias aflições de sua vida, pois das nuvens mais negras cai água
límpida e fecunda."
"A verdadeira liberdade é um ato puramente interior, como a verdadeira solidão: devemos aprender a sentir-
nos livres até num cárcere, a estar sozinhos até no meio da multidão." Maximo Bontempelli
"O destino não é uma questão de sorte; é uma questão de escolha. Não é algo pelo qual se espera, mas algo
a alcançar." Willian Jennings Bryan
"Sorria! Sorrir abre caminhos, desarma os mal-humorados, contamina. Mas sorria com a alma, não apenas
com os lábios" Léa Waider
"Nunca permita que o medo de perder alguma experiência o impeça de viver a alegria do inesperado." (Emo
Philips)
“Existem muitos motivos para não se amar uma pessoa, mas apenas um para amá-la." (Carlos Drummond
Andrade)
"Obstáculos são aquelas coisas medonhas que você vê quando tira os olhos do seu objetivo". (Henry Ford)
"Qualquer um pode zangar-se – isso é fácil. Mas zangar-se com a pessoa certa, na medida certa, na medida
certa, pelo motivo certo, na hora certa, pelo motivo certo e da maneira certa-não é fácil." (Aristóteles)
"O segredo do vencedor não é trabalhar duro, e sim amar o que faz a ponto de preferir fazer aquilo a qualquer
outra coisa." (Jerome K.)
"Se seus sonhos estiverem nas nuvens, não se preocupe, pois eles esão no lugar certo; agora construa os
alicerces."
Muito freqüentemente, nós subestimamos o poder do carinho, de um sorriso, uma palavra amável, um ombro
amigo, dar ouvidos, um elogio honesto, ou o menor ato de dedicação, pois todos têm o poder de transformar
uma vida."
(Leo Buscaglia)
"Todas as pessoas alimentam ideais. Mas esses se concretizam só se forem acompanhados de força de
vontade e coragem. A força de vontade é como semente jogada em terra fértil. Ela germina, cresce e dá
muitos frutos. Ela ajuda a lutar e a vencer as adversidades da vida. A coragem, por sua vez, tem em si a força.
Pode operar maravilhas. É impossível falhar se viver sempre com atitude valente e disposta de mente e
coração."
“Somente peixes mortos nadam com a corrente” (Malcolm Muggeridge).
A única diferença entre nós e os animais do ZOO é que nós não vemos as barras que nos
aprisionam
Atinja o ego dos seus funcionários e terá bons trabalhadores
As perguntas são combustíveis da mente "

10. - 8 -
"Uma máxima admirável: nunca mais falar das coisas depois de elas já estarem feitas."
Barão de Montesquieu
"Todos nós sofremos, mas o falar nos dá alívio" Voltaire
"Tem idéia de quanto mal nos fazemos por essa maldita necessidade de falar?"
( Luigi Pirandello )
"Se os homens quisessem falar só daquilo que entendem, quase não falariam."
( Arturo Graf )
"Se eu for falar por dez minutos, eu preciso de uma semana de preparação; se quinze
minutos, três dias; se meia hora, dois dias; se uma hora, estou pronto agora."
( Woodrow Wilson )
"Quando estiver zangado, conte até dez antes de falar; se estiver muito zangado, conte até
cem. " ( Thomas Jefferson )
"Pensar antes de falar é o lema do crítico. Falar antes de pensar é o lema do criador."
( E. M. Forster )
"Para falar ao vento bastam palavras, para falar ao coração são necessárias obras."
( António Vieira )
"Os mais arrojados em falar são ordinariamente os menos profundos em saber.
( Marquês de Maricá )
"O sábio, para falar, antes medita o que dizer, ou a quem dizer, em que lugar e tempo."
( Santo Ambrósio )
"Nunca falar de si mesmo aos outros, e falar-lhes sempre deles mesmos, é a essência da
arte de agradar. Cada um o sabe e todos o esquecem." ( Jules Goncourt )
"No falar, a discrição importa mais do que a eloqüência." ( Baltasar Gracian )
"Não falar para o seu século é falar com surdos. " ( Jean de La Fontaine )
"Hoje, não se sabe falar porque já não se sabe ouvir. " ( Jules Renard )
"Há quem prefira falar mal de si mesmo a não falar." ( François de La Rochefoucauld )
"Fala-se pouco quando a vaidade não faz falar." ( François de La Rochefoucauld )
"Falar sem se empenhar é nada." ( Mary W. Stewart )
"Falar sem pensar é atirar sem alvejar." ( Thomas Fuller )
"Falar obscuramente, qualquer um sabe; com clareza, raríssimos." ( Galileu Galilei )
"Falar muito sobre si próprio pode também ser um meio de se ocultar."
( Friedrich Nietzsche )
"Falar é uma necessidade, escutar é uma arte. " ( Johan Wolfgang Von Goethe )
"Falar é bom, calar é melhor, mas ambos são desagradáveis quando levados ao exagero. "
Jean de La Fontaine )
"Falar bem e proceder mal não é outra coisa senão condenar-se cada um pela própria voz."
( Iacopo Passavanti )
"Esteja certo de ter terminado de falar antes que seu público tenha terminado de ouvir."
( Dorothy Sarnoff )
"É preciso ter espírito para falar bem; para ouvir bem basta a inteligência." ( André Gide )
"É extremamente difícil falar muito sem dizer algo a mais."

11. - 9 -
( Luís XIV de França )
"Cada um só porque fala, julga também saber falar da linguagem. "
( Johan Wolfgang Von Goethe )
"Arrependemo-nos raramente de falar pouco, e muito frequentemente de falar demais:
máxima usada e trivial, que todo o mundo sabe e que ninguém pratica. " ( Jean de La
Bruyère )
"Abençoado quem se abstém de falar, nos poupando da evidência de que não tem nada a
dizer." ( George Eliot )
"A necessidade obrigatória de falar e o embaraço de nada ter para falar são duas coisas
capazes de tornar ridículo ainda mesmo o maior homem." ( Voltaire )
Http://www.rivalcir.com.br/frases/falar.html
O ACUSADO
Conta uma antiga lenda que, na Idade Média, um homem muito religioso foi
injustamente acusado de ter assassinado uma mulher.
Na verdade, o autor do crime era uma pessoa influente do reino.
Por isso, desde o primeiro momento, se procurou um bode expiatório para
acobertar o verdadeiro assassino.
O homem foi levado a julgamento, já temendo o resultado: a forca. Ele sabia que
tudo iria ser feito para condená-lo e que teria poucas chances de sair vivo desta história.
O juiz, que também estava combinado de levar o pobre homem à morte, simulou
um julgamento justo, propondo ao acusado que provasse sua inocência. Disse o juiz: -
Sou de uma profunda religiosidade e por isso vou deixar sua sorte nas mãos do Senhor.
Vou escrever em um pedaço de papel a palavra "inocente" e no outro pedaço a palavra
"culpado". Você vai sortear um dos papéis e aquele que sair será o veredicto. O senhor
decidirá seu destino - determinou o juiz. Sem que o acusado percebesse, o juiz
preparou os dois papéis. Mas em ambos escreveu "culpado", de maneira que, naquele
instante, não existia nenhuma chance do acusado se livrar da forca. Não havia saída.
Não havia alternativas para o pobre homem.
O juiz colocou os dois papéis em uma mesa e mandou o acusado escolher um. O
homem pensou alguns segundos e aproximou-se confiante da mesa. Pegou um dos
papéis, rapidamente colocou-o na boca e o engoliu.
Os presentes ao julgamento reagiram surpresos e indignados com a atitude do homem.
- Mas o que você fez? E agora? Como vamos saber qual será o seu veredicto? - É
muito fácil - respondeu o homem. - Basta olhar o outro pedaço que sobrou e saberemos
que acabei engolindo o seu contrário.
Imediatamente o homem foi libertado.
Por mais difícil que seja uma situação, não deixe de acreditar até o último momento.
Saiba que para qualquer problema há sempre uma saída.
Não desista, não entregue os pontos, não se deixe derrotar.
Persista, vá em frente apesar de tudo e de todos.
Creia que você pode conseguir.
Romanos 8:28 "E sabemos que todas as coisas contribuem para o bem daqueles que
amam a Deus, daqueles que são chamados segundo o seu propósito."
Esta confiança que Deus nos deu de que no fim tudo vai dar certo, se ainda não deu
certo é porque ainda não chegou ao fim.

12. - 10 -
A H I S T Ó R I A D O B U R R O
Um dia, o burro de um camponês caiu num poço. Não chegou a se ferir,
mas não podia sair dali por conta própria. Por isso o animal chorou fortemente
durante horas, enquanto o camponês pensava no que fazer. Finalmente, o
camponês tomou uma decisão cruel: concluiu que o burro já estava muito velho e
que o poço já estava mesmo seco, precisaria ser tapado de alguma forma.
Portanto, não valia a pena se esforçar para tirar o burro de dentro do poço. Ao
contrário, chamou seus vizinhos para ajudá-lo a enterrar vivo o burro. Cada um
deles pegou uma pá e começou a jogar terra dentro do poço. O burro não tardou
a se dar conta do que estavam fazendo com ele, e chorou desesperadamente.
Porém, para surpresa de todos, o burro quietou-se depois de umas quantas pás
de terra que levou. O camponês finalmente olhou para o fundo do poço e se
surpreendeu com o que viu. A cada pá de terra que caía sobre suas costas o burro
a sacudia, dando um passo sobre esta mesma terra que caía ao chão. Assim, em
pouco tempo, todos viram como o burro conseguiu chegar até a boca do poço,
passar por cima da borda e sair dali trotando. A vida vai lhe jogar muita terra,
todo o tipo de terra. Principalmente se você já estiver dentro de um poço. O
segredo para sair do poço é sacudir a terra que se leva nas costas e dar um passo
sobre ela. Cada um de nossos problemas é um degrau que nos conduz para cima.
Podemos sair dos mais profundos buracos se não nos dermos por vencidos.
USE A TERRA QUE TE JOGAM PARA SEGUIR ADIANTE!
RECORDE AS 5 REGRAS PARA SER FELIZ:
1. Liberte o seu coração do ódio.
2. Liberte a sua mente das preocupações.
3. Simplifique a sua vida.
4. Dê mais e espere menos.
5. Ame mais e... aceite a terra que lhe jogam, pois ela pode
ser a solução, não o problema.

13. - 11 -
O PEIXE
Somos o que fazemos mas somos principalmente o que fazemos para mudar o que
somos. Os japoneses sempre adoraram peixe fresco. Porém as águas perto do Japão não
produzem muitos peixes há décadas. Assim, para alimentar a sua população, os japoneses
aumentaram o tamanho dos navios pesqueiros e começaram a pescar mais longe do que
nunca. Quanto mais longe os pescadores iam, mais tempo levava para o peixe chegar. Se a
viagem de volta levasse mais do que alguns dias, o peixe já não era mais fresco. E os
japoneses não gostaram do gosto destes peixes. Para resolver este problema as empresas
de pesca instalaram congeladores em seus barcos. Eles pescavam e congelavam os peixes
em alto-mar. Os congeladores permitiram que os pesqueiros fossem mais longe e ficassem
em alto mar por muito mais tempo. Entretanto, os japoneses conseguiram notar a diferença
entre peixe fresco e peixe congelado, e é claro, eles não gostaram do peixe congelado.
Entretanto, o peixe congelado tornou os preços mais baixos. Então as empresas de pesca
instalaram tanques de peixe nos navios pesqueiros. Eles podiam pescar e enfiar esses
peixes nos tanques, "como sardinhas". Depois de certo tempo, pela falta de espaço, eles
paravam de se debater e não se moviam mais. Eles chegavam cansados e abatidos, porém,
vivos. Infelizmente,os japoneses ainda podiam notar a diferença do gosto. Por não se
mexerem por dias, os peixes perdiam o gosto de frescor. Os japoneses preferiam o gosto de
peixe fresco e não o gosto de peixe apático. Então, como os japoneses resolveram este
problema? Como eles conseguiram trazer ao Japão peixes com gosto de puro frescor ? Se
você estivesse dando consultoria para a empresa de pesca, o que você recomendaria ?
Quando as pessoas atingem seus objetivos tais como, quando começam com sucesso
numa empresa nova, pagam todas suas dívidas ou o que quer que seja, elas podem perder
as suas paixões. Elas podem começar a pensar que não precisam mais trabalhar tanto,
então relaxam. Elas passam pelo mesmo problema que os ganhadores de loteria que
gastam todo seu dinheiro, o mesmo problema de herdeiros que nunca crescem de donas de
casa, entediadas, que fcam dependentes de remédios de tarja preta. Para esses problemas,
inclusive no caso dos peixes dos japoneses, a solução é bem simples. L. Ron Hubbard
observou no começo dos anos 50. O homem progride, estranhamente, somente perante a
um ambiente desafiador. Quanto mais inteligente, persistente e competitivo você é, mais
você gosta de um bom problema. Se seus desafios estão de um tamanho correto e você
consegue, passo a passo, conquistar esses desafios, você fica muito feliz. Você pensa em
seus desafios e se sente com mais energia. Você fica excitado em tentar novas soluções.
Você se diverte. Você fica vivo! Para conservar o gosto de peixe fresco, as empresas de
pesca japonesas ainda colocam os peixes dentro de tanques. Mas, eles também adicionam
um pequeno tubarão em cada tanque. O tubarão come alguns peixes, mas a maioria dos
peixes chega "muito vivo". Os peixes são desafiados. Portanto, ao invés de evitar desafios,
pule dentro deles. Massacre-os. Curta o jogo. Se seus desafios são muito grandes e
numerosos, não desista. Se reorganize! Busque mais determinação, mais conhecimento e
mais ajuda. Se você alcançou seus objetivos, coloque objetivos maiores. Uma vez que suas
necessidades pessoais ou familiares forem atingidas, vá de encontro aos objetivos do seu
grupo, da sociedade e até mesmo da humanidade.Crie seu sucesso pessoal e não se
acomode nele. Você tem recursos, habilidades e destrezas para fazer diferença !!!! Então,
ponha um tubarão no seu tanque e veja quão longe você realmente pode chegar.
Ponha você mesmo o tubarão,
Antes que alguém o faça e você não esteja preparado

14. - 12 -
L E I A
Sua mente é capaz de decodificar a mensagem!
M473M471C0 (53N54C1ON4L)
4S V3235 3U 4C0RD0
M310 M473M471C0.
D31X0 70D4 4 4857R4Ç40 N47UR4L D3 L4D0
3 M3 P0NH0 4 P3N54R 3M NUM3R05,
C0M0 53 F0553 UM4 P35504 R4C10N4L.
540 5373 D1550, N0V3 D4QU1L0...
QU1N23 PR45 0NZ3...
7R323N705 6R4M45 D3 PR35UNT0...
M45 L060 C410 N4 R34L
3 C0M3Ç0 4 F423R V3R505
H1NDU-4R481C05
///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0 15/02/2008
"De aorcdo com uma pqsieusa de uma uinrvesriddae ignlsea, nao
ipomtra em qaul odrem as lrteas de uma plravaa etaso, a uncia csioa
iprotmatne e que a piremria e utmlia lrteas etejasm no lgaur crteo. O
rseto pdoe ser uma ttaol bçguana que vcoe pdoe anida ler sem
pobrlmea. Itso e poqrue nos nao lmeos cdaa lrtea isladoa, mas a
plravaa cmoo um tdoo. Vdaerde!"
Colaboração: FABIO EDUARDO CARVALHO DE OLIVEIRA nº 70528
Aluno do 2ºI Computação – 2007.
3M D14 D3 V3R40, 3574V4 N4 PR414,
0853RV4ND0 DU45 CR14NC45
8R1NC4ND0 N4 4R314.
3L45 7R484LH4V4M MU170 C0N57RU1ND0
UM C4573L0 D3 4R314, C0M 70RR35,
P4554R3L45 3 P4554G3NS 1N73RN45.
QU4ND0 3574V4M QU453 4C484ND0,
V310 UM4 0ND4 3 D357RU1U 7UD0,
R3DU21ND0 0 C4573L0
4 UM M0N73 D3 4R314 3 35PUM4.
4CH31 QU3, D3P015 D3 74N70 35F0RC0 3 CU1D4D0,
45 CR14NC45 C41R14M N0 CH0R0,
C0RR3R4M P3L4 PR414, FUG1ND0 D4 4GU4,
R1ND0 D3 M405 D4D45 3 C0M3C4R4M

15. - 13 -
4 C0N57RU1R 0U7R0 C4573L0.
C0MPR33ND1 QU3 H4V14 4PR3ND1D0
UM4 GR4ND3 L1C40;
G4574M05 MU170 73MP0 D4 N0554 V1D4
C0N57RU1ND0 4LGUM4 C0154
3 M415 C3D0 0U M415 74RD3,
UM4 0ND4 P0D3R4 V1R 3 D357RU1R 7UD0
0 QU3 L3V4M05 74N70 73MP0 P4R4 C0N57RU1R.
M45 QU4ND0 1550 4C0N73C3R
50M3N73 4QU3L3 QU3 73M 45 M405 D3 4LGU3M
P4R4 53GUR4R, 53R4 C4P42 D3 50RR1R!
S0 0 QU3 P3RM4N3C3, 3 4 4M124D3, 0 4M0R 3 C4R1NH0.
0 R3570 3 F3170 D3 4R314.
Piadas Matemáticas infames:
Sabe o que o Zero(0) disse para o Oito(8)? Uau! Que cinto bonito!!!
O que o MMC estava fazendo embaixo da escada?. .. Esperando o MDC
Conte, quantas letras "F" tem no texto abaixo
FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY
COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS
Contou? Somente leia abaixo após ter contado os "F". OK?
Quantos??? 3??? Talvez 4???
Errado, são 6 (seis) - não e piada! Volte para cima e leia mais uma vez! A explicação está mais abaixo ... O cerebro não consegue processar a palavra
"OF". Loucura, não? Quem conta todos os 6 "F" na primeira vez é um "gênio". 3 é normal, 4 é mais raro, 5 mais ainda, 6 quase ninguém.
A INSPIRAÇÃO QUE FALTAVA - POESIA MATEMÁTICA
Um Quociente apaixonou-se
Um dia Doidamente
Por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável .E viu-a, do Ápice à Base..
Uma Figura Ímpar; Olhos rombóides, boca trapezóide,]
Corpo ortogonal, seios esferóides.
Fez da sua vida Paralela a dela.
Até que se encontraram No Infinito.
"Quem és tu?" indagou ele Com ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
- O que, em aritmética, corresponde
A alma irmãs Primos entre si.
E assim se amaram Ao quadrado da velocidade da luz.
Numa sexta potenciação
Traçando Ao sabor do momento E da paixão
Retas, curvas, círculos e linhas senoidais.
Escandalizaram os ortodoxos
das fórmulas euclideanas
E os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E, enfim, resolveram se casar
Constituir um lar. Mais que um lar.
Uma Perpendicular. Convidaram para padrinhos
O Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos,
equações diagramas para o futuro Sonhando com
uma felicidade Integral E diferencial.
(olha o CÁLCULO aí !!)
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
Muito engraçadinhos. E foram felizes Até aquele
dia Em que tudo, afinal, Vira monotonia. Foi
então que surgiu O Máximo Divisor
Comum...Freqüentador de Círculos
Concêntricos. Viciosos. Ofereceu-lhe, a ela,
Uma Grandeza Absoluta, E reduziu-a a um
Denominador Comum.
Ele, Quociente, percebeu Que com ela não
formava mais Um Todo. Uma Unidade. Era o
Triângulo, Tanto chamado amoroso.
esse problema ela era a fração Mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a
Relatividade. E tudo que era expúrio passou a ser
Moralidade Como aliás, em qualquer
Sociedade.

16. - 14 -
O Q U E A S E S C O L A S N Ã O E N S I N A M :
Aqui estão alguns conselhos que BILL GATES recentemente ditou em uma
conferência em uma escola secundária sobre 11 coisas que estudantes não aprenderiam na
escola. Ele fala sobre como a "política educacional de vida fácil para as crianças" tem criado
uma geração sem conceito da realidade, e como esta política tem levado as pessoas a
falharem em suas vidas posteriores à escola.Muito conciso, todos esperavam que ele fosse
fazer um discurso de uma hora ou mais, ele falou por menos de 5 minutos, foi aplaudido por
mais de 10 minutos sem parar, agradeceu e foi embora em seu helicóptero a jato...
Regra 1: A vida não é fácil - acostume-se com isso.
Regra 2: O mundo não está preocupado com a sua auto-estima. O mundo espera que você
faça alguma coisa útil por ele ANTES de sentir-se bem com você mesmo.
Regra 3: Você não ganhará R$ 20.000 por mês assim que sair da escola.Você não será
vice-presidente de uma empresa com carro e telefone à disposição antes que você tenha
conseguido comprar seu próprio carro e telefone.
Regra 4: Se você acha seu professor rude, espere até ter um Chefe. Ele não terá pena de
você.
Regra 5: Vender jornal velho ou trabalhar durante as férias não está abaixo da sua posição
social. Seus avós têm uma palavra diferente para isso: eles chamam de oportunidade.
Regra 6: Se você fracassar, não é culpa de seus pais. Então não lamente seus erros,
aprenda com eles.
Regra 7: Antes de você nascer, seus pais não eram tão críticos como agora. Eles só
ficaram assim por pagar as suas contas, lavar suas roupas e ouvir você dizer que eles são
"ridículos". Então antes de salvar o planeta para próxima geração querendo consertar os
erros da geração dos seus pais, tente limpar seu próprio quarto.
Regra 8: Sua escola pode ter eliminado a distinção entre vencedores e perdedores, mas a
vida não é assim. Em algumas escolas você não repete mais de ano e tem quantas chances
precisar até acertar. Isto não se parece com absolutamente NADA na vida real. Se pisar na
bola, está despedido, RUA!!!!! Faça certo da primeira vez.
Regra 9: A vida não é dividida em semestres. Você não terá sempre os verões livres e é
pouco provável que outros empregados o ajudem a cumprir suas tarefas no fim de cada
período.
Regra 10: Televisão NÃO é vida real. Na vida real, as pessoas têm que deixar o barzinho
ou a boite e ir trabalhar.
Regra 11: Seja legal com os CDFs (aqueles estudantes que os demais julgam que são uns
babacas, nerds). Existe uma grande probabilidade de você vir a trabalhar PARA um deles
Bill Gates, dono da maior fortuna pessoal do mundo, e da Microsoft, a única empresa que
enfrentou e venceu a Big Blues (IBM) desde de sua fundação em meados de 1900....A
empresa que construiu o primeiro Cérebro Eletrônico (computador) do mundo. Copie,
repasse, releia, e mostre a todos que você considera...

17. - 15 -
E S T A T Í S T I C A
Definição de alguns termos:
• Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta,
organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos
mesmos na tomada de decisões.
• Uma população é uma coleção completa de todos os elementos (valores, pessoas,
medidas etc. ) a serem estudados.
• Um censo é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de uma
população.
• ·Uma amostra é uma subcoleção de elementos extraídos de uma população.Um
parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma
população.
• Uma estatística é uma medida numérica que descreve uma característica de uma
amostraExemplo
Em uma pesquisa com 1.015 pessoas escolhidas aleatoriamente, 269 (ou 26,5%)
possuíam computador.
Como a cifra de 26,5 % se baseia em uma amostra, e não em toda população, trata-
se de uma estatística (e não um parâmetro).
Natureza dos dados
Alguns conjuntos de dados (como altura, peso, número de filhos, salário, etc.)
constituem em números, enquanto outros são não-numéricos (estado civil, sexo, religião,
nível de educação, etc. ). Aplica-se as expressões dados qualitativos e dados quantitativos
para distinguir esses dois tipos.
Definições
Os dados quantitativos constituem em números que representam contagens ou medidas.Os
dados qualitativos (ou dados categóricos, ou atributos) podem ser separados em diferentes
categorias que se distinguem por alguma característica não-numérica.
Podemos ainda descrever os dados quantitativos entre os tipos discreto e contínuo.
Variáveis quantitativas discretas, cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou
enumerável de números que resultam, freqüentemente, de uma contagem, como por exemplo
números de filhos.
Variáveis quantitativas contínuas, cujos possíveis valores formam um intervalo de números
reais e que resultam, normalmente, de uma mensuração, como por exemplo estatura ou peso de um
indivíduo.
Dentre as variáveis qualitativas, ainda podemos fazer uma distinção entre dois tipos:
variável qualitativa nominal, para a qual não existe nenhuma ordenação nas possíveis
realizações, e variável qualitativa ordinal, para a qual existe uma certa ordem nos possíveis
resultados.
Exemplo
Variável qualitativa nominal : sexo, religião, times de futebol etc.
Variável qualitativa ordinal : grau de instrução (Ensino Fundamental I, Ensino Fundamental II, ensino
Médio, Ensino Superior, Pór-graduação, Mestrado, Doutorado, Pós-Doutorado; classe social (baixa, média ou
alta).

18. - 16 -
Resumindo
Discreta
Quantitativa
Contínua
Variável
Nominal
Qualitativa
Ordinal
Tabela 1 – Informações sobre estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário (expresso com fração do
salário mínimo), idade e procedência de 36 funcionários da seção de orçamentos da Companhia Milsa.
Nº Estado civil Grau de instrução Nº de filhos Salário ( x Sal. Min.) Idade Região de procedência
1 solteiro 1º grau - 4 26 Interior
2 casado 1º grau 1 4,56 32 Capital
3 casado 1º grau 2 5,25 36 Capital
4 solteiro 2º grau - 5,73 20 Outro
5 solteiro 1º grau - 6,26 40 Outro
6 casado 1º grau 0 6,66 28 Interior
7 solteiro 1º grau - 6,86 41 Interior
8 solteiro 1º grau - 7,39 43 Capital
9 casado 2º grau 1 7,59 34 Capital
10 solteiro 2º grau - 7,44 23 Outro
11 casado 2º grau 2 8,12 33 Interior
12 solteiro 1º grau - 8,46 27 Capital
13 solteiro 2º grau - 8,74 37 Outro
14 casado 1º grau 3 8,95 44 Outro
15 casado 2º grau 0 9,13 30 Interior
16 solteiro 2º grau - 9,35 38 Outro
17 casado 2º grau 1 9,77 31 Capital
18 casado 1º grau 2 9,8 39 Outro
19 solteiro superior - 10,53 25 Interior
20 solteiro 2º grau - 10,76 37 Interior
21 casado 2º grau 1 11,06 30 Outro
22 solteiro 2º grau - 11,59 34 Capital
23 solteiro 1º grau - 12 41 Outro
24 casado superior 0 12,79 26 Outro
25 casado 2º grau 2 13,23 32 Interior
26 casado 2º grau 2 13,6 35 Outro
27 solteiro 1º grau - 13,85 46 Outro
28 casado 2º grau 0 14,69 29 Interior
29 casado 2º grau 5 14,71 40 Interior
30 casado 2º grau 2 15,99 35 Capital
31 solteiro superior - 16,22 31 Outro
32 casado 2º grau 1 16,61 36 Interior
33 casado superior 3 17,27 43 Capital
34 solteiro superior - 18,75 33 Capital
35 casado 2º grau 2 19,4 48 Capital
36 casado superior 3 23,3 42 Interior

19. - 17 -
Distribuição de Frequências
Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer a
distribuição dessa variável através das possíveis realizações (valores) da mesma. O objetivo
da distribuição de frequência é dispor um conjunto de valores, de modo a se ter uma idéia
global sobre estes valores, ou seja, de sua distribuição.
Grau de instrução Frequência Proporção Porcentagem
1º grau 12 0,3333 33,33
2º grau 18 0,50000 50,00
Superior 6 0,1667 16,67
Total 36 1,0000 100,00
Tabela 2 – Distribuição de frequências da variável grau de instrução, usando-se os dados da tabela 1.
A construção de tabelas de frequências para variáveis contínuas necessita de certo
cuidado. Por exemplo, a construção da tabela de frequências da variável salário não
resumirá as 36 observações num grupo menor, pois não existem observações semelhantes.
A solução empregada é agrupar os dados por faixas de salário.
Classe de salários Frequência ( fi ) Porcentagem
4,00 | 8,00 10 27,78
8,00 | 12,00 12 33,33
12,00 | 16,00 8 22,22
16,00 | 20,00 5 13,89
20,00 | 24,00 1 2,78
Total 36 100,00
Tabela 3 – Frequências e porcentagens dos 36 empregados da seção de
orçamentos da Companhia Milsa, por faixa de salário
Representação Gráfica da Variáveis
A representação gráfica da distribuição de frequências de uma variável tem a
vantagem de, rápida e concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma.
Exemplo
Estamos interessados em estudar a distribuição do número de filhos dos empregados
casados da seção de orçamentos da Cia. Milsa.

20. - 18 -
0
2
4
6
8
0 1 2 3 5
nº de filhos
Freqüência
Nº de filhos Frequência (fi)
Porcentagem
(100.fi)
0 4 20%
1 5 25%
2 7 35%
3 3 15%
5 1 5%
Total 20 100%
Tabela 4 – Frequências e porcentagens dos empregados
da seção de orçamento da Companhia Milsa, segundo o
número de filhos.
Para variáveis quantitativas contínuas necessita-se de alguma adaptação, como no
exemplo a seguir.
Queremos representar graficamente a distribuição da variável S (salário dos
empregados) da seção de orçamentos da Cia. Milsa.
Classe de salários
PONTO MÉDIO
Pm (xi)
FREQUÊNCIA
fi
Porcentagem
100. fi
4,00 |||| 8,00 6,00 10 27,78
8,00 |||| 12,00 10,00 12 33,33
12,00 |||| 16,00 14,00 8 22,22
16,00 |||| 20,00 18,00 5 13,89
20,00 |||| 24,00 22,00 1 2,78
Total __ 36 100,00

21. - 19 -
0%
10%
20%
30%
40%
6 10 14 18 22
Salários
Porcentagem
0 4 8 1 2 1 6 2 0 2 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
Freqüência
Tabela 5 –Distribuição de frequência da variável S = salário dos empregados
da seção de orçamento da Cia. Milsa.
O artifício usado para representar a variável contínua faz com que se perca muito das
informações nela contidas. Uma alternativa a ser usada nestes casos é o gráfico
conhecido como histograma.
Um histograma consiste em uma escala horizontal para os valores dos dados a serem
representados, uma escala vertical para as frequências e barras para representar os
valores das frequências das diversas classes. Em geral, a construção de um histograma
para representar um conjunto de valores é precedida de uma tabela completa de
frequências daqueles valores. Cada barra é delimitada pela fronteira inferior de classe à
esquerda e pela fronteira superior de classe à direita.

22. - 20 -
Tipos de Frequências
Frequências simples ou absolutas ( fi ) são os valores que realmente representam
o número de dados de cada classe.
obs: a soma das frequências simples é igual ao número total dos dados ( n ):
∑ = nfi
Frequências relativas ( fri ) são os valores das razões entre as frequências simples
e a frequência total:
n
f
f
f
fr i
i
i
i ==
∑
Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de todos os valores inferiores
ao limite superior do intervalo de uma dada classe:
iii fffF +++= ...2 ou ∑=
=
k
i
ik fF
1
Frequência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a frequência acumulada da
classe, dividida pela frequência total da distribuição.
n
F
f
F
Fr i
i
i
i ==
∑
Considere a distribuição de frequência com intervalos de classe abaixo:
Estaturas de 40 alunos do colégio A.
Estaturas (cm) Frequência ( fi )
150 | 154 4
154 | 158 9
158 | 162 11
162 | 166 8
166 | 170 5
170 | 174 3
Total 40

23. - 21 -
Considerando a tabela anterior, podemos montar a seguinte tabela com as
frequências estudadas:
i Estaturas
(cm)
Frequência
( fi )
Ponto médio
( Pm ) Xi
Frequência
Relativa (fri)
Frequência
Acumulada
(Fi )
Frequência
Acumulada
relativa (Fri )
1 150 | 154 4 152 0,100 4 0,100
2 154 | 158 9 156 0,225 13 0,325
3 158 | 1 62 11 160 0,275 24 0,600
4 162 | 166 8 164 0,200 32 0,800
5 166 | 170 5 168 0,125 37 0,925
6 170 | 174 3 172 0,075 40 1,000
n=ΣΣΣΣfi=40 ΣΣΣΣfri= 1,000
O conhecimento dos vários tipos de frequências ajuda-nos a responder a muitas
questões com relativa facilidade, como as seguintes:
a) Quantos alunos têm estatura entre 154 cm, inclusive, e 158 cm ?
Esses são os valores da variável que formam a segunda classe. Como f2 = 9, a resposta é : nove
alunos.
b) Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm ?
Esses valores são os que formam a primeira classe. Como fr1=0,100, obtemos a resposta
multiplicando a frequência relativa por 100:
0,100 x 100 = 10
Logo, a percentagem de alunos é 10%.
c) Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm ?
É evidente que as estaturas consideradas são aquelas que formam as classes de ordem
1,2 e 3. Assim, o número de alunos é dado por:
243
3
1
321 ===++ ∑=
Fffff
i
i
Portanto, 24 alunos têm estatura abaixo de 162 cm.
d) Quantos alunos têm estatura não inferior a 158 cm ?
O número de alunos é dado por:
27358116543
6
3
=+++=+++=∑=
fffff
i
i
Ou então:
27134022
6
1
=−=−=−∑=
FnFf
i
i

24. - 22 -
Polígono de Frequências
Um polígono de frequência é um gráfico de linha em que as frequências são
colocadas sobre perpendiculares levantadas nos pontos médios. Pode-se também obtê-los,
ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma.
Polígono de Frequência Acumulada
O polígono de frequência acumulada é traçado marcando-se as frequências
acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos
correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
As formas das curvas de frequência
As curvas de frequências aparecem, na prática, sob diversas formas características:
a) Curvas de frequência simétrica ou em forma de sino. Caracterizam-se pelo fato de
as observações eqüidistantes do ponto central máximo terem a mesma frequência.
b) Nas curvas de frequência moderadamente assimétrica ou desviadas, a cauda da
curva de um lado da ordenada máxima é mais longa do que do outro. Se o ramo mais
alongado fica à direita, a curva é dita desviada para a direita, ou de assimetria positiva,
enquanto, se ocorre o inverso, diz-se que a curva é desviada para a esquerda ou de
assimetria negativa.
c) Na curva em forma de J, ou J invertido, o ponto de ordenada máxima ocorre em
uma das extremidades.
148 152 156 160 164 168 172 176
0
2
4
6
8
10
12
14
Freqüência
Estatura ( cm )
152 156 160 164 168 172
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Freqüência
Estatura ( cm )

25. - 23 -
d) Uma curva de frequência em forma de U tem ordenadas máximas em ambas as
extremidades.
e) Uma curva de frequência bimodal tem dois máximos.
f) Uma curva de frequência multimodal tem mais de dois máximos.
A R R E D O N D A M E N T O
Regra I: para saber quantos algarismos significativos existem em um número, temos as seguintes
regras: O algarismo que fica mais à esquerda (diferente de zero) é o mais significativo. Se não há
vírgula, o algarismo que fica mais à direita (diferente de zero) é o menos significativo. Se há vírgula o
último algarismo da direita é o menos significativo, mesmo que ele seja zero.
Regra II: os critérios para arredondamento de um número devem ser os seguintes, se o algarismo a
ser cortado for:
> 5 soma-se 1 ao algarismo anterior.
Ex.: 47,37 47,4
< 5 o algarismo anterior não se altera
Ex.: 47,34 47,3
se o algarismo anterior for par, não se altera.
Ex.: 47,25 47,2
= 5
se o algarismo anterior for ímpar, soma-se 1.
Ex.: 47,35 47,4

26. - 24 -
1ª Lista de Exercícios – Distribuição de Frequência
1) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes.
Áreas (m2
) Nº de Lotes
300 | 400 14
400 | 500 46
500 | 600 58
600 | 700 76
700 | 800 68
800 | 900 62
900 | 1000 48
1000 | 1100 22
1100 | 1200 6
Com referência a essa tabela, determine:
a) a amplitude total;
b) o limite superior da quinta classe;
c) o limite inferior da oitava classe;
d) o ponto médio da sétima classe;
e) a amplitude do intervalo da segunda classe;
f) a frequência da quarta classe;
g) a frequência relativa da sexta classe;
h) a frequência acumulada da quinta classe;
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m2
; nº de lotes abaixo de 700 m2
j) o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2
; nº de lotes acima de 800 m2
k) a percentagem dos lotes cuja área é inferior a 600 m2
;
l) a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2
;
m) a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m2
, no mínimo, mas inferior a 1000 m2
;
n) a classe do 72º lote;
o) até que classe estão incluídos 60% dos lotes.
2) Conhecidas as notas de 50 alunos:
Dados Brutos Rol (ordem crescente)
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57 X
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 X
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 X
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 X
94 98 66 73 42 65 94 66 88 89 X
determine:
a) a distribuição de frequência começando por 30 e
adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10.
b) as frequências acumuladas;
c) as frequências relativas;
d) o histograma e o polígono de frequência simples; e depois de frequência acumulada
e) Gráfico Ramo-e-folhas(adotar idades a partir de 30, com amplitude de 10)
Como variável quantitativa discreta temos: Média(65,34), mediana(66) e a moda(65)
Como variável quantitativa contínua temos: Média da distribuição de frequência(65,6)
Mediana(65,83) Moda Czuber(65,71)

27. - 25 -
Medidas de Tendência Central
(Variáveis Quantitativas Discretas)
As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a
tipificar, ou a representar melhor, um conjunto de números. As três mais usadas são a
média, a mediana e a moda.
Média Aritmética ( )x
É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:
n
xxxx
x n++++
=
...321
, como
n
x
n
i
ix∑=
= 1
ou simplesmente como
n
x
x
∑=
Sendo:
x - a média aritmética simples xi – os valores da variável n – o número de valores
Desvio em relação à média
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um
conjunto de valores e a média aritmética. Assim
di = xi - x ou ainda tomando em módulo temos xxd ii
−=
Média Aritmética Ponderada ( )x
A fórmula anterior para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha
a mesma importância. Conquanto este caso seja o mais geral, há exceções. O cálculo da
média pode levar em conta “pesos” desiguais para cada variável.
n
nn
pppp
pxpxpxpx
x
++++
++++
=
...
...
321
332211
ou
∑
∑=
=
i
n
i
ii
p
px
x 1
)(
como os “pesos” serão dados pela
frequência , trocaremos pi por fi, logo temos
∑
∑=
=
i
n
i
ii
f
fx
x 1
)(
Emprego da média
A média é utilizada quando desejamos obter a medida de posição que possui a maior
estabilidade e quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior (situado
além, que sucede ou que chega depois).
A Mediana (Md)
Uma segunda medida do meio de um conjunto de números é a mediana. Sua
característica principal é dividir um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais; a
metade terá valores inferiores à mediana, a outra terá valores superiores à mediana.
O processo para determinar a mediana é o seguinte:
1)Ordenar os valores
2)Verificar se há um número ímpar ou par de valores
3)Para um número ímpar de valores, a mediana é o valor do meio. Para um número
par de valores, a mediana é a média dos dois valores do meio, ou seja,

28. - 26 -
quando IMPAR – o termo de ordem
2
1+n
quando PAR a média aritmética dos termos de ordem 1
22
+
n
e
n
Emprego da mediana
Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais, e quando
há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média, ou ainda quando a
variável em estudo é salário.
A Moda (Mo)
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de
valores. Um exemplo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais
comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.
Quando tratarmos com intervalos de classe, a classe que apresenta a maior
frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste
caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da
classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. Ou
2
** Ll
Mo
+
= , onde
l* e L* são respectivamente os limites inferior e superior da classe modal
Emprego da moda
A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de
posição e quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
Média Geométrica
Consiste em multiplicar os elementos e extrair a raiz do produto encontrado,
utilizando como índice da raiz o número de elementos multiplicados. Para n termos ou
valores temos:
n
n
g xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ...321 ou ainda
n
n
i
i
g xx ∏=
=
1
onde ∏ é o produtório
Média Harmônica
A média harmônica é representada por Hx ou H e corresponde ao quociente do
número de elementos da seqüência (n) pela soma do inverso desses elementos, ou o
inverso da média aritmética dos inversos de n elementos
xxxx
x
n
H
n
1
...
111
321
++++
= ou
∑=
= n
i i
H
x
x
n
1
1
A relação entre as médias é: Hg xxx ≥≥
Somente a título de curiosidade existem ainda a média geométrica ponderada e a
média harmônica ponderada..

29. - 27 -
Medidas de Tendência Central
Valores Tabulados – Agrupados em Classes – Variáveis Quantitativas Contínuas
Para a construção de uma distribuição de frequência é necessário:
1) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados.
Onde AT = Maior valor – menor valor
2) Decidir quanto ao número de classes(k). É aconselhável tomar entre 5 a 15 classes.
Menos de 5 classes pode ocultar detalhes importantes dos dados. Mais de 15 torna a
apresentação demasiado detalhada. Para determinar o número de classes há diversos
métodos.
2.1) Tomar a raiz quadrada de n ou ∑ if , ou seja do número de dados.
Chamando de k o número de classes, nk = .
2.2) A regra de Sturges. k = 1 + 3,3.log n
3) Determinar a amplitude do intervalo de classe(h).
k
AT
h =
4) Determinar os limites das classes, escolhendo-se, preferencialmente, números inteiros
5) Construir a tabela de frequências, conforme sugerido,
MÉDIA
Para dados tabulados a média, nada mais é que a média ponderada, para isto
temos a fórmula
∑
∑=
=
i
n
i
ii
f
fx
x 1
)(
M E D I A N A
Passos: 1º) Determinamos o Elemento mediano , onde EMd
2
∑=
if
, que determinará
a classe em que se encontra a mediana, ou a classe mediana.
2º) A seguir empregamos a fórmula:
Md
Md
antMd
Md h
f
FE
Md ⋅




 −
+=l
Onde:
Mdl – limite inferior da classe mediana
fMd- frequência da classe mediana
Fant- frequência acumulada anterior à classe mediana
hMd- amplitude do intervalo da classe mediana
M O D A
Quando tratamos com intervalos de classe, a classe que apresenta a maior
frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda,
neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.

30. - 28 -
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da
classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. Assim
2
MoMo L
Mo
+
=
l
,
onde Mol e LMo são respectivamente os limites inferior e superior da classe modal
“ Q U E M E S T Á N A M O D A A P A R E C E M A I S !!! ”
1º) Método de King
King levou em consideração, em sua fórmula, a frequência simples da classe anterior
e a frequência simples da classe posterior à classe moda.
hff
f
Mo
postant
post
Mo
Mo ⋅
+
+= l Onde:
Mol - limite inferior da classe modal
fpost – frequência simples da classe posterior à classe modal
fant - frequência simples da classe anterior à classe modal
hMo - amplitude do intervalo de classe
2º) Método de Czuber
Czuber levou em consideração, em sua fórmula a frequência simples da classe
anterior, a frequência simples da classe posterior, além da frequência simples da classe
modal. É, portanto, uma fórmula mais completa que a fórmula de King.
Moda - Czuber Moda - Czuber Moda - Czuber
hfff
ff
Mo
postantMo
antMo
Mo
Mo ⋅
+−
−
+=
)(2
l hMoMo
Mo ⋅
∆+∆
∆
+=
21
1
l
Onde:
ff antMo
−=∆1 e
ff postMo
−=∆2
Onde fMo – frequência simples da classe modal , e os demais seguem a nomenclatura acima
3º) Método de Pearson
Karl Pearson desenvolveu uma fórmula empírica de relação entre a média, a moda e
a mediana. xMdMo 23 −= , onde x é a média aritmética ponderada
Resumindo:
Média Mediana Moda Bruta
∑
∑=
=
i
n
i
ii
f
fx
x 1
)(
Md
Md
antMd
Md h
f
FE
Md ⋅




 −
+= l
2
MoMo L
Mo
+
=
l
Moda - King Moda - Czuber Moda -Pearson
h
ff
f
Mo
postant
post
Mo
Mo ⋅
+
+=l h
fff
ff
Mo
postantMo
antMo
Mo
Mo ⋅
+−
−
+=
)(2
l xMdMo 23 −=
Moda - Czuber Moda - Czuber Moda - Czuber
hfff
ff
Mo
postantMo
antMo
Mo
Mo ⋅
+−
−
+=
)(2
l hMoMo
Mo ⋅
∆+∆
∆
+=
21
1
l
Onde:
ff antMo
−=∆1 e
ff postMo
−=∆2

31. - 29 -
Exercícios
Diversão
Dado as idades(Xi) em anos de um
grupo de pessoas com :
1) 7, 4, 8, 6, 6, 5, 2
2) 2, 5, 5, 5, 9, 7, 10, 11
Para cada exercício acima determine a:
a) média aritmética
b) mediana
c) moda
d) média geométrica
e) média harmônica
Respostas:
1a) 5,43 anos 1b) 6 anos 1c) 6 anos
1d) 5,02 anos 1e) 4,51 anos
2a) 6,75 anos 2b) 6 anos 2c) 5 anos
2d) 6,02 anos 2e) 5,18 anos
Lista de Medidas de Tendência Central
Respostas
1a) 715,5 m2
1b)708,82 m2
1c) 650 m2
1d) 653,97 m2
1e) 669,23 m2
1f) Moda Pearson = 695,46 m2
2a) 65,34 pontos
2b) 66 pontos
2e) 65,6 pontos
2f) 65,83 pontos
2g) MoK = 65,29 pontos
MoC = 65,71 pontos
MoP = 66,29 pontos
Favor conferir com seus próprios apontamentos, verificando sua assimilação do conteúdo.
Lista de Exercícios – Medidas de Tendência Central
1) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes.
Áreas (m2
) Nº de Lotes
300 | 400 14
400 | 500 46
500 | 600 58
600 | 700 76
700 | 800 68
800 | 900 62
900 | 1000 48
1000 | 1100 22
1100 | 1200 6
Com referência a tabela anterior, determine:
a) a média aritmética; b) a mediana; c) a moda bruta; d) a moda King;
e) a moda Czuber f) a moda Pearson ...(depois)... g) Variância h)Desvio-Padrão
i) o coeficiente de variação j) P12 k) Q1 l) D4 m) P54
n) D9 o) Q3 e interpretação p) K3

32. - 30 -
2) Conhecidas as notas de 50 alunos:
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57
59 60 61 64 65 65 65 66 66 67 68 68 69 71 73 73 74
74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98
determine:
a) a média aritmética; b) a mediana; c) moda(variável quantitativa discreta)
d) a distribuição de frequência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10.
e) a média aritmética(contínua) desta distribuição de frequências;
f) a mediana da distribuição de frequências; g) Moda Bruta, a moda de King, a Moda de
Czuber e a Moda Pearson(depois) h) Variância i) Desvio-Padrão j) o coeficiente de
variação k) D4 l) P82 m) Q3 n) K3
M E D I D A S DE D I S P E R S Ã O
Alexandre(160 cm) Marcos(180 cm) DUTRA(198 cm)
ALUNOS DE ESTATÍSTICA EM 2008.
BRUNO, LUCAS E FÁBIO
1,42 m– 1,75 m– 1,98m
DANILO, RENAN, MURILO e FÁBIO
1,86m – 1,88m – 1,90 m– 1,98m
Veremos as medidas de Dispersão que tem a média como ponto de referência
Vejamos a seguinte situação. Uma pessoa é encarregada de organizar atividades
de lazer para um grupo de 6 pessoas e recebe a informação de que a média de idade do
grupo é de 20 anos. Nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para

33. - 31 -
planejar as atividades, pois podemos ter grupo com média de idade de 20 anos e
características totalmente diferentes. Observemos alguns grupos possíveis.
Grupo A- idade das pessoas (em anos): 20 20 20 20 20 20. Observe que
temos a média igual a 20. Pois (20+20+20+20+20+20): 6 = 20.
Grupo B – idade das pessoas (em anos): 22 23 18 19 20 18.
Observe que temos a média igual a 20.Pois (22+23+18+19+20+18): 6 = 20.
Grupo C – idade das pessoas (em anos): 6 62 39 4 8 1.
Observe que temos a média igual a 20. (6+62+39+4+8+1): 6 = 20.
No grupo A não houve dispersão. A dispersão no grupo B é menor que no grupo C.
Dizemos que o grupo B é mais homogêneo que o C ou que o grupo C é mais heterogêneo
que o B.
Como a medida de tendência central não é suficiente para caracterizar o grupo C, é
conveniente utilizar medidas que expressem o grau de dispersão de um conjunto de dados.
As mais usadas são a variância e o desvio padrão.
Variância (S2
)
A idéia básica de variância é tomar os desvios dos valores Xi em relação à média.
(xi - x ). Mas a soma desses desvios é igual a 0. Uma opção possível, então é considerar o
total dos quadrados dos desvios ∑=
−
n
i
i xx
1
2
)( e expressar a variância como a média dos
quadrados dos desvios, ou seja
n
xx
n
i
i
s
∑=
−
= 1
2
2
)(
. Faremos o cálculo para os três grupos:
A;B;C.
Grupo A Grupo B Grupo C
Xi
)( xxi −
=
2
)( xxi − )( xxi − =
2
)( xxi − )( xxi −
=
2
)( xxi −
20 22 6
20 23 62
20 18 39
20 19 4
20 20 8
20 18 1
=−∑A
i xx 2
)( ∑ =−
B
i xx 2
)( ∑ =−
C
i xx 2
)(
logo =SA
2
_________ =SB
2
_________ =SC
2
___________
A variância é suficiente para diferenciar a dispersão dos grupos: O grupo A não tem
dispersão(S2
= 0) e o grupo C tem uma dispersão maior que a do grupo B(513,6>3,6).
Porém, não é possível expressar a variância na mesma unidade dos valores da variável,
uma vez que os desvios são elevados ao quadrado. Então, definiu-se a medida de
dispersão chamada desvio padrão.

34. - 32 -
Desvio Padrão (S)
O desvio padrão (S) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos
dados, pois é expressa na mesma unidade dos valores observados(do conjunto de dados).
Assim temos:
Grupo A: anosS 00 == Grupo B: anosS 9,16,3 == Grupo C: anosS 6,226,513 == .
Resumindo, se x1, x2, x3, . . . , xn são os n valores de uma variável quantitativa x, temos:
A média aritmética dos
valores de x:
n
x
n
i
ix∑=
= 1
A variância de x:
n
xx
n
i
i
s
∑=
−
= 1
2
2
)(
O desvio padrão de x:
2
SS =
Observações:
1ª) Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0 (zero)
2ª) Quanto mais próximo de 0(zero) é o desvio padrão, mais homogêneo é a distribuição dos
valores da variável.
3ª) O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.
MEDIDAS DE DISPERSÃO: Variância (S2
) e Desvio Padrão (S)
Variância(S2
) Desvio-padrão(S)
Dados Brutos
(variáveis discretas)
Dados Tabulados
(variáveis contínuas)
VariânciaãoDesvioPadr =
n
xx
n
i
i
s
∑=
−
= 1
2
2
)(
n
xxf
k
i
ii
s
∑=
−⋅
= 1
2
2
])([ 2
SS =
Lembrando que n = ∑ if
Quando o desvio-padrão representar uma descrição da amostra e não da população, caso
mais freqüente em estatística, o denominador será igual a (n – 1), em vez de n. A razão desses
procedimentos reside no fato de que, utilizando o divisor (n – 1), obtém-se uma estimativa melhor do
parâmetro de população. Além do mais, apenas (n – 1) das discrepâncias(xi – x) são independentes,
uma vez que essas (n – 1) discrepâncias determinam automaticamente a n-ésima(última). Para
valores grandes de n (n > 30) não há grande diferença entre resultados proporcionados pela
utilização de qualquer dos dois divisores, n ou (n – 1). ENTRETANTO DAREMOS PREFERÊNCIA PARA A
FÓRMULA QUE PROPORCIONA UMA ESTIMATIVA MAIS JUSTA DO DESVIO-PADRÃO DA POPULAÇÃO, OU SEJA,
Variância(S2
) Desvio-padrão(S)
Dados Brutos Dados Tabulados VariânciaãoDesvioPadr =
)1(
)(
1
2
2
−
−
=
∑=
n
xx
n
i
i
s 1
])([
1
2
2
−
−⋅
=
∑=
n
xxf
n
i
ii
s
2
SS =
População
Amostra

35. - 33 -
Coeficiente de Variação
O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão de duas
unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200;
no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito. Além disso, o fato de o
desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando
desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou
variabilidade, quando expressas em unidades diferentes.
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou
variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada
coeficiente de variação(CV):
100*
Média
PadrãoDesvio
VariaçãodeeCoeficient = 100*
x
s
CV =
Lista de Exercícios – Medidas de Dispersão
1) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da população
De pessoas cuja idade em anos são representados por Xi: 2, 3, 7, 9, 11, 13.
2) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da amostra
De pessoas cuja idade em anos são representados por Yi: 14, 16, 19, 20, 22, 23.
3) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da população de um
grupo de pessoas onde existem 7 pessoas com 14 anos, 14 pessoas com 18 anos, 11
pessoas com 20 anos, 10 pessoas com 23 anos e 8 pessoas com 25 anos :
Idade (anos) Nº de Alunos
4) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes. (amostra)
Áreas (m2
) Nº de Lotes
300 | 400 14
400 | 500 46
500 | 600 58
600 | 700 76
700 | 800 68
800 | 900 62
900 | 1000 48
1000 | 1100 22
1100 | 1200 6
Com referência a essa tabela, determine:
a) a variância; b) o desvio padrão. c) o coeficiente de variação
Respostas: 36250,38 (m2
)2
190,40 m2
26,61%
5) 2ª Tabela – Exercício das Notas (amostra) :
Respostas: 287,39(pontos)2
16,95 pontos 25,84%

36. - 34 -
Posição Relativa da Média, Mediana e Moda
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém a assimetria
torna-se diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. Assim, em
uma distribuição em forma de sino, temos:
Medidas Separatrizes
São números reais que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que
contêm a mesma quantidade de elementos da série.
Desta forma, a mediana que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um
deles contendo 50% dos valores da seqüência, é também uma medida separatriz.
Além da mediana, as outras medidas separatrizes que destacaremos são : quartis,
quintis, decis e percentis.
Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma ficará com 25% de seus
elementos. Os elementos que separam estes grupos são chamados quartis.
Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por Q1, separa a seqüência ordenada,
deixando 25% de seus elementos, à esquerda e 75% de seus elementos à direita.
O segundo quartil, que indicaremos por Q2. separa a seqüência ordenada, deixando
50% de seus elementos à esquerda e 50% de seus elementos à direita. (note que Q2 é a
mediana).
O terceiro quartil, que indicaremos por Q3, separa a seqüência ordenada deixando à
esquerda 75% de seus elementos e 25% de seus elementos à direita.
Se dividirmos a seqüência ordenada em cinco partes, cada um ficará com 20% de
seus elementos. Os elementos que separam estes grupos são chamados quintis.

37. - 35 -
Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1, separa a seqüência ordenada,
deixando 20% de seus elementos à esquerda(ou abaixo) e 80% de seus elementos à
direita(ou acima)
Se dividirmos a seqüência ordenada em dez partes, cada uma ficará com 10% de
seus valores. Os elementos que separam este grupos são chamados decis.
Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1 separa a seqüência ordenada,
deixando à sua esquerda 10% de seus elementos e 90% de seus elementos à direita.
De modo análogo são definidos os outros decis.
Se dividirmos a seqüência em 100 partes, cada uma ficará com 1% de seus
elementos. Os elementos que separam estes grupos são chamados centis ou percentis.
Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por P1, separa a seqüência ordenada
deixando à sua esquerda 1% de seus valores e 99% de seus valores à direita. De modo
análogo são definidos os outros percentis.
Se observarmos que os quartis e decis são múltiplos dos percentis, então basta
estabelecer a fórmula de cálculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser
identificadas como percentis. Desta forma:
Q1 = P25 D1 = P10 D6 = K3 = P60
Q2 = P50 D2 = K1 = P20 D7 = P70
Q3 = P75 D3 = P30 D8 = K4 = P80
D4 = K2 = P40 D9 = P90
D5 = P50
Observe que Q2 = D5 = P50 = Md (mediana)
Cálculo das Medidas Separatrizes
1º Caso – Dados Brutos ou Rol
Devemos ordenar os elementos, caso sejam dados brutos obtendo o rol.
Identificamos à medida que queremos obter com o percentil correspondente, Pi.
Calculamos
100
in
E iP
= de n, ou seja,para localizar a posição do percentil i no rol.
Lembrando que ∑= ifn
Em seguida, identificamos o elemento que ocupa esta posição.
Note que se
100
ni ×
for um número inteiro, então Pi que estamos procurando identificar é
um dos elementos da seqüência ordenada.
Se não for um número inteiro, isto significa que o Pi é um elemento
intermediário entre os elementos que ocupam as posições aproximadas por falta e por
excesso do valor Neste caso, o Pi é definido como sendo a média dos valores que ocupam
esta posições aproximadas.
Exemplo 1
Calcule o Q1 da seqüência X = 2, 5, 8, 5, 5, 10, 1, 12, 12, 11, 13, 15
Solução: Ordenando a seqüência obtemos o rol:
X : 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15
Identificamos Q1 = P25
Calculamos 25% de 12 que é o número de elementos da série obtendo : 3
100
1225
=
×

38. - 36 -
Este valor indica a posição de P25, no rol, isto é, o P25 é o terceiro elemento do rol.
Observando o terceiro elemento do rol obtém-se 5
Portanto, Q1 = P25 = 5
INTERPRETAÇÃO : 25% dos valores desta seqüência são valores menores ou iguais a 5 e
75% dos valores são maiores ou iguais a 5.
Exemplo 2
Calcule o D6 da seqüência X : 2; 8; 7,5; 6; 10; 12; 2; 9
Solução : Ordenando a seqüência, obtemos : X : 2; 2; 6; 7,5; 8; 9; 10; 12
Identificamos D6 = P60.
Calculamos 60% de 8, que é o número de elementos da série, obtendo : 8,4
100
860
=
×
Este valor não inteiro indica que o P60 é um valor situado entre o quarto e quinto
elemento da seqüência .
Observando diretamente no rol, os elementos que ocupam a quarta e a quinta
posição obtemos 7,5 e 8. Portanto,
75,7
2
85,7
606 =
+
== PD
INTERPRETAÇÃO : 60% dos valores da seqüência são valores menores ou iguais a 7,75 e
40% dos valores da seqüência são valores maiores ou iguais a 7,75.
Note que se o número de elementos da seqüência for menor que 100, alguns
percentis podem coincidir em valores tornando estas interpretações não totalmente
verdadeiras.
2º Caso – Variável Discreta
Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta, eles já estão
naturalmente ordenados.
Identifica-se a medida que queremos obter com o percentil correspondente : Pi .
Calcula-se EPi¨de n ou
100
ni×
seja, para localizar a posição do percentil i na série.
Em seguida utilizamos a frequência acumulada da série para localizar o elemento que
ocupa esta posição.
O valor deste elemento é o Pi .
Exemplo
Calcule o D4 para a série :
X frequência
2 3
4 5
5 8
7 6
10 2
Solução:
O número de elementos da série é n = 24 6,9
100
2440
=
×
Identificamos D4 = P40 e calculamos 40% de 24, ou seja,
Esta posição não inteira significa que o P40 é um valor compreendido entre o nono e o
décimo elemento da série.
Construindo a frequência acumulada, temos:

39. - 37 -
X frequência Fi
2 3 3
4 5 8
5 8 16
7 6 22
10 2 24
observamos que o nono elemento é 5, e o décimo elemento também é 5.
Assim, 5
2
55
404 =
+
== PD
INTERPRETAÇÃO : 40% dos valores desta série são valores menores ou iguais a 5 e 60% dos
valores desta série são maiores ou iguais a 5.
3º Caso – Variável Contínua
Se os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua, eles já estão
naturalmente ordenados e o número de elementos da série é n = ∑∑∑∑fi .
Para se obter uma fórmula geral para o cálculo dos percentis, vamos generalizar a
fórmula da mediana:
h
f
antF
n
LMd
i
i .
)(
2
−
+=
O termo n/2 pode ser representado na linguagem do P50 como
100
50xn
Assim, a formula da mediana, adaptada para a linguagem do P50 pode ser escrita:
h
f
antF
n
lP
i
i .
)(
100
50
50
−
×
+=
Substituindo-se 50 pelo índice i, generalizamos a fórmula para o cálculo de qualquer
percentil: h
f
antF
ni
LP
i
ii .
)(
100
−
×
+=
onde:
Pi – percentil i ( i = 1,2, 3, ...,99);
li – limite inferior da classe que contém o percentil i;
n – número de elementos da série;
Fant – frequência acumulada da classe anterior a classe que contém o Pi;
fi – frequência simples da classe que contém o percentil i;
h – amplitude do intervalo da classe.
Exemplo
Calcule o Q3 da série:
Classe Intervalo de Classe Frequência (fi )
1 0 | 10 16
2 10 | 20 18
3 20 | 30 24
4 30 | 40 35
5 40 | 50 12
∑fi = 105

40. - 38 -
O número de elementos da série é dado por ∑fi = 105. Identificamos Q3 = P75
h
f
antF
ni
lP
i
ii .
)(
100
−
×
+=
Iniciamos o cálculo do valor P75 lembrando que neste caso i = 75 e que:
75,78
100
10575
100
=
×
=
×ni
isto nos dá a posição do P75 na série
Construindo a frequência acumulada da série obtemos:
Classe Intervalo de Classe Frequência (fi ) Fi
1 0 | 10 16 16
2 10 | 20 18 34
3 20 | 30 24 58
4 30 | 40 35 93
5 40 | 50 12 105
∑fi = 105
A classe que contém o elemento que ocupa a posição 78,75 na série é a quarta
classe. Esta é a classe que contém o P75.
Substituindo os valores indicados na fórmula, obtém-se:
93,3510.
35
5875,78
3075 =
−
+=P Portanto Q3 = P75 = 35,93
I N T E R P R E T A Ç Ã O : 75% dos valores da série são menores ou iguais a 35,93 e 25% dos
valores da série são maiores ou iguais a 35,93.
Trabalhando com dados agrupados(variáveis contínuas), na página 23 mostramos a
ordem ou posição da mediana calculando o Elemento mediano. Como a mediana é uma
separatriz, utilizamos o mesmo procedimento para os quartis, quintis, decis e percentis(ou
centis) que genericamente são expressos por:
Posição ou ordem
Da mediana Dos quartis Dos quintis Dos decis Dos percentis
22
nfi
MdE ==
∑ 4
in
E iQ
=
com
i = 1,2,3
5
in
E iK
=
com
i = 1,2,3,4
10
in
E iD
=
com
i = 1,2,3, ..., 9
100
in
E iP
=
com
i = 1,2,3, ..., 99

41. - 39 -
C E N T R O D A B Í B L I A
É interessante e curioso como são as coisas.
Ainda que não seja religioso convém que você leia isso.
- Qual é o capítulo mais curto da Bíblia?
Salmo 117
- Qual o capítulo mais comprido da Bíblia?
Salmo 119
- Qual o capítulo que está no centro da Bíblia?
Salmo 118
- Há 594 capítulos antes do Salmo 118
- Há 594 capítulos depois do Salmo 118
- Se somar estes dois números totalizam 1188
- Qual é o versículo que está no centro da Bíblia?
Salmo 118:8
Esse versículo diz algo importante sobre a
perfeita vontade de Deus para nossas vidas
A próxima vez que alguém lhe diga que deseja
conhecer a vontade de Deus para sua vida
e que deseja estar no centro da Sua Vontade,
referi-se a ele o centro de Sua Palavra:
Salmos 118:8
"Melhor é colocar sua confiança no
Senhor teu Deus que confiar nos homens".
Agora, diga, seria isto uma casualidade?
Ou estaria Deus no centro da Bíblia?
Sim! Jesus Cristo é a figura central de toda a Bíblia!

42. - 40 -
Lista de Exercícios – Medidas Separatrizes
1) Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à esquerda e à direita de cada uma
das medidas separatrizes:
a) ____D1____ e) ____D8____ i) ____D2____
b) ____Q1____ f) ____P70____ j) ____K3____
c) ____K2____ g) ____P88____
d) ____Q3____ h) ____Q2____
2) Qual é o percentual de elementos de uma série ordenada que se situam entre:
a) Q1 e Q3 c) D2 e D6
b) P10 e P90 d) D3 e Q3
3) Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o número aproximado de elementos
que se situam:
a) acima de P20 d) entre o P10 e o P80
b) abaixo de P90 e) entre o Q1 e o Q3
c) acima de Q3 f) entre o P90 e o P22
4) Dada a série X : 3, 15, 6, 9, 10, 4, 12, 15, 17, 20, 29, calcule:
a) Q1 b) D4 c) Q3 d) P90
5) A distribuição de frequência abaixo, representa idade de 50 alunos de uma classe de primeiro ano de uma
faculdade.
Idade (anos) Nº de Alunos
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
Calcule: a) Q1 b) D4 c) Q3 d) P95 e) K3
I N T E R P O L A Ç Ã O L I N E A R
6) Utilizando Interpolação Linear, determine o fator de influência de cálculo de tensões sob canto de área
retangular carregada, através da tabela a seguir quando:
Para o calculo de L/B e z/B utilize duas casas decimais. Para o calculo do fator utilize TODAS casas decimais.
a) O comprimento(L) é igual a 10m e Base(B) é igual a
2m e z=5,6
L/B= z/B= Fator=
b) O comprimento(L) é igual a 8m e Base(B) é igual a 5m
e z=3,2
L/B= z/B= Fator=
c) O comprimento(L) é igual a 11m e Base(B) é igual a
4m e z=5,6
L/B= z/B= Fator=
d) O comprimento(L) é igual a 5m e Base(B) é igual a 4m
e z=14
L/B= z/B= Fator=
e) O comprimento(L) é igual a 18m e Base(B) é igual a
5m e z= 7,35
L/B= z/B= Fator=
f) O comprimento(L) é igual a 7m e Base(B) é igual a
4,2m e z=26
L/B= z/B= Fator=
Pi
100%
0
0 Pi 100%

43. - 41 -
7) Determine o valor de K sabendo que k1= 1,7 e K2 = 9,2 K =
8) Determine o valor de K sabendo que k1= 1,23 e K2 = 6,4 K =
9) Determine o valor de K sabendo que k1= 2,7 e K2 = 11 K =

44. - 42 -
PARA QUÍMICA E MECÂNICA
10) Em Termodinâmica precisamos para um sistema de refrigeração do valor tabelado de NH3
– Amônia. Em anexo temos a tabela de Amônia superaquecida, onde se encontram os valores
tabelados de h – entalpia (KJoule/kg), s – entropia (KJoule/kgK) e v - volume específico
(m³/kg). Utilizando Interpolação Linear determine o valor da entalpia , entropia, quando:
a) a temperatura é 40ºC e cuja pressão é 372KPa.
b) a temperatura é 47ºC e cuja pressão é 125KPa.
c) a temperatura é 62ºC e cuja pressão é 173KPa.
d) a temperatura é 42ºC e cuja pressão é 322KPa.

45. - 43 -
Lista de Exercícios – Distribuição de Frequência (R E S P O S T A S)
1) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes.
i Áreas (m2
) Nº de Lotes
1 300 | 400 14
2 400 | 500 46
3 500 | 600 58
4 600 | 700 76
5 700 | 800 68
6 800 | 900 62
7 900 | 1000 48
8 1000 | 1100 22
9 1100 | 1200 6
Com referência a essa tabela, determine:
a) a amplitude total; AT = L9 – =1l 1200 – 300 = 900 m2
b) o limite superior da quinta classe; L5 = 800 m2
c) o limite inferior da oitava classe; =8l 1000 m2
d) o ponto médio da sétima classe; x7 = (L7 + 7l )/2 = (1000 + 900)/2 = 950 m2
e) a amplitude do intervalo da segunda classe;h2 = L2 – =2l 500 – 400 = 100 m2
f) a frequência da quarta classe; f4 = 76 lotes
g) a frequência relativa da sexta classe; fr6 = 0,155 ou 15,5%
h) a frequência acumulada da quinta classe; F5(+) = 262 lotes
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m2
; F4(+) = 194 lotes
j) o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2
;
f6+f7+f8+f9=62+48+22+6=138 ou F9(+)–F5(+)=400-262=138 lotes ou F6(-)=138 lotes
k) a percentagem dos lotes cuja área não atinge 600 m2
; Fr3(+) = 0,295 ou 29,5%
l) a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2
;
fr7+fr8+fr9=0,12+0,055+0,015=0,19 ou Fr9(+)–Fr6(+)=1–0,81=0,19 ou Fr7(-)=0,19 ou 19%ou 19%
m) a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m2
, no mínimo, mas inferior a 1000 m2
;
fr3 + fr4+ fr5 +fr6 + fr7 = 0,145+0,19+0,17+0,155+0,12= 0,78 ou
Fr7(+) – Fr2(+) = 0,93 – 0,15 = 0,78 ou ainda Fr3(-) – Fr8(-) = 0,85 – 0,07 = 0,78 ou 78%
n) a classe do 72º lote; i = 3
o) até que classe estão incluídos 60% dos lotes. i = 5
2) Conhecidas as notas de 50 alunos:
Dados Brutos Rol (ordem crescente)
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57 X 33 35 35 39 41 41 42 45 47 48
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 X 50 52 53 54 55 55 57 59 60 61
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 X 64 65 65 65 66 66 67 68 68 69
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 X 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80
94 98 66 73 42 65 94 66 88 89 X 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98

46. - 44 -
F ó r m u l a s – 1ª Avaliação
Média Ponderada Mediana Moda Bruta
( )
∑
∑=
=
i
n
i
ii
f
fx
x 1
Md
Md
antMd
Md h
f
FE
Md ⋅




 −
+= l
2
MoMo L
Mo
+
=
l
Moda - King Moda - Czuber Moda - Pearson
h
ff
f
Mo
postant
post
MOMo ⋅
+
+=l hMoMoMo ⋅
∆+∆
∆
+=
21
1
l onde
ff antMo
−=∆1 e ff postMo
−=∆2
xMdMo 23 −=
Variância(S2
) Desvio-padrão(S) CV(%)
Dados Brutos
(Variáveis Discretas)
Dados Tabulados
(quando apresenta freqüência fi) VariânciaãoDesvioPadr =
Coeficiente de
Variação
*)1(
)(
1
2
2
−
−
=
∑=
n
xx
n
i
i
s *)1(
])([
1
2
2
−
−⋅
=
∑=
n
xxf
n
i
ii
s
2
SS =
100*
média
padrãodesvio
CV
−
=
100*
x
s
CV =
* VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO σσσσ- População(n) S –Amostra(n-1) Lembrando que n=∑ if
MÉDIA GEOMÉTRICA MÉDIA HARMÔNICA
n
n
g xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ...321
xxxx
x
n
H
n
1
...
111
321
++++
=
ELEMENTO MEDIANO
(ordem ou posição)
MÉDIA
ARITMÉTICA
SIMPLES
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
22
nfi
MdE ==
∑
n
x
x
n
i
i∑=
= 1
∑
∑=
=
i
n
i
ii
f
fx
x 1
][
ou
n
fx
x ii∑=
][
ELEMENTO PERCENTIL
(Ordem ou Posição das
separatrizes)
100
in
EiP
=
com
i = 1,2,3, ..., 99
Percentil
i
i
antPi
ii h
f
FE
P ⋅




 −
+= l

47. - 45 -
C O M B I N A T Ó R I A
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL
Definição: Seja n um número natural, tal que n ≥ 2. Chama-se fatorial de n, e
representa-se por n!, o produto de todos os números naturais de 1 a n ou de n
até 1.
• Para n є N e n ≥ 2, n! =n(n-1)(n-2)...3.2.1 ou ainda n! = 1.2.3...(n-2)(n-1)n.
• Para n = 1 ou n = 0, define-se n! = 1. Logo, 1! = 1 e 0! = 1.
Vamos provar que n! = n(n-1)!
Exercícios envolvendo simplificações:
a)10!/8! b)5!/7! c)n!/(n-2)! d)(n-1)!/(n+1)!
Número Binomial
)!(!
!
xnx
n
x
n
−
=





com n,p є N, n ≥ p. O numero n é dito numerador e o
número p é chamado denominador (ou classe binomial) de 





x
n
Aplicando-se a definição é fácil verificar que n
n
n
nn
=





=





=





1
11
0
BINOMIAIS COMPLEMENTARES
Dizemos que dois números são complementares se: apresentam o mesmo numerador e a
soma de seus denominadores é igual ao seu numerador comum. Isto é, se n, p ,q ∈∈∈∈ N,






=







−
=





q
n
pn
n
p
n
pois que p + q = n
O P R O B L E M A D E F I B O N A C C I
Leonardo de Pisa
Fibonacci colocou o seguinte problema: Suponha
que coelhos vivam para sempre e que cada mês cada par
produza um novo par, que se torna reprodutivo com 2
meses de idade. Se começarmos com um par de recém
nascidos, quantos pares de coelhos teremos 12º mês? E
no n-ésimo mês?
Essa sequência surgiu quando o matemático italiano
conhecido como Fibonacci resolveu, no século XIII, um
problema envolvendo a reprodução de coelhos.
1ºm 2ºm 3ºm 4ºm 5ºm 6ºm 7ºm 8ºm 9ºm 10ºm 11ºm 12ºm
A sequência ao lado indicada com a letra L recebe o nome de sequência de Lucas.
L = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...}

48. - 46 -
Triângulo de PASCAL ou Tartaglia
Triângulo dos Números Binomiais
Desenvolvimento do Binômio de Newton
(a + b)0
= 1
(a + b)1
= 1a + 1b
(a + b)2
= 1a2
+ 2ab + 1b2
(a + b)3
= 1a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ 1b3
(a + b)4
=
(a + b)6
=
Principio Fundamental da Contagem (PFC): Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas,
sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita
de n modos, então o numero de modos de realizar a operação é m.n.
EXERCÍCIO
Uma moça pobrezinha possui 2 saias e 3 blusas. Quantas e quais as maneiras diferentes de
ela se vestir trajando saia e blusa? (dica: diagrama de árvore)
P R O B A B I L I D A D E S
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob
condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Espaço amostral
A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao
lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos
um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, ou 6.
Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto
universo, representado por S.
lançamento de uma moeda : S = {cara, coroa}
lançamento de um dado : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos
Chamamos de evento (E) qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento
aleatório.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1






0
0






0
1






1
1






0
2






1
2






2
2






0
3






1
3






2
3






3
3






0
4






1
4






2
4






3
4






4
4






0
5






1
5






2
5






3
5






4
5






5
5






0
6






1
6






2
6






3
6






4
6






5
6






6
6






0
7






1
7






2
7






3
7






4
7






5
7






6
7






7
7






0
8






1
8






2
8






3
8






4
8






5
8






6
8






7
8






8
8

49. - 47 -
Considere os seguintes eventos:
A : obter um número par na face superior no lançamento de um dado
A = {2, 4, 6 } ⊂ S
B = obter o número 4 na face superior no lançamento de um dado
B = {4} ⊂ S
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os
elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto eqüiprovável.
Chamamos de probabilidade de um evento A (A ⊂ S) o número real P(A), tal que:
( )
amostralespaço
evento
Sn
An
AP ==
)(
)(
onde: n(A) é o número de elementos de A. e n(S) é o número de elementos de S.
Exemplo
Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A : obter cara, temos:
S = {Ca, Co} ⇒ n(S) = 2 A = {Ca} ⇒ n(A) = 1
Logo: P(A) = 1/2 =0,5
O resultado acima nos permite afirmar que, ao lançarmos uma moeda equilibrada, temos
50% de chance de que apareça cara na face superior.
A probabilidade do evento B : obter o número 4 ou 5 na face superior no lançamento de um
dado.
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(S) = 6 B = {4, 5} ⇒ n(B) = 2 Logo: P(B) = 2/6 = 1/3
Um experimento no qual há apenas um resultado possível é chamado experimento
determinístico.
Chama-se experimento aleatório todo experimento no qual o resultado é imprevisível, ou seja,
mesmo que realizado em situações semelhantes pode apresentar resultados diferentes.
Definição: considerando um experimento aleatório, chama-se espaço amostral desse experimento o
conjunto de todos os resultados possíveis.
Definição: chama-se evento de um experimento aleatório qualquer subconjunto do espaço amostral
desse experimento. Uma função de probabilidade é uma função p: P(A) →R tal que:
01) 0 ≤ p(x) ≤ 1, para qualquer que seja x є P(A);
02) p(A) = 1
03) Se E1 e E2 são eventos de A tais que E1∩E2 ≠ Ø então P(E1UE2) = P(E1) + P(E2)
A definição acima impõe que a probabilidade de ocorrência de cada evento elementar é um número
real positivo. A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é igual a 1.
Se S é um espaço amostral no qual todos os eventos têm a mesma probabilidade (eventos
elementares), então a probabilidade de um evento A é dado por
)(
)(
)(
Sn
An
AP = .
Probabilidade de um evento em um espaço equiprovável P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B).
Eventos mutuamente exclusivos – Dizemos que dois eventos A e B de um mesmo espaço
amostral são mutuamente exclusivos quando A∩B = Ø. Neste caso note que P(AUB) = P(A) + P(B).
Probabilidade de não ocorrer um evento: seja E um evento qualquer em um espaço amostral S e
)(1)( EPEPouESE −=−=
Probabilidade condicional – A probabilidade de ocorrer B, dado que ocorreu A é dada por P(B/A)
onde P(B/A) = P(A∩B)/P(A).
Definição: Sejam A e B dois eventos de um experimento aleatório. A e B são eventos independentes
se, e somente se, P(B/A) = P(B).
Probabilidade da intersecção de eventos: queremos calcular a probabilidade de ocorrer o evento
A e o evento B, ou seja, P(A∩B); logo, podemos escrever P(A∩B) = P(A).P(B/A), e se A e B forem
eventos independentes, P(A∩B) = P(A).P(B). Esse mesmo raciocínio (multiplicação de probabilidade
de eventos independentes) pode ser usado para experimentos com mais de duas etapas.

50. - 48 -
Eventos Complementares
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra
(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso ou falha), para um mesmo evento
existe sempre a relação: p + q = 1 ⇒⇒⇒⇒ q = 1 – p
Eventos Independentes
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de
um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Por exemplo, quando
lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem
simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.
Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de
realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é
dada por: p = p1 x p2
Exemplo
Lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: p1 = 1/6.
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: p2 = 1/6
Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente,
1 no primeiro e 5 no segundo é p = p1.p2 = 1/36
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um
exclui a realização dos outros.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é
igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:
p = p1 + p2
Exemplo: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é:
p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
EXERCÍCIOS BÁSICOS PROBABILIDADE
01) De um baralho de 52 cartas, determine a probabilidade de retirar:
(Determine a fração irredutível (simplificada), forma decimal com quatro casas após a vírgula e a porcentagem com duas casas decimais.)
a) carta preta j) uma figura preta s) um nº primo vermelho
b) um número k) figura masculina vermelha t) uma figura masculina
c) um número par l) figura feminina u) uma figura preta
d) um nº vermelho m) figura feminina vermelha v) figura feminina preta
e) um nº impar preto n) o número 10 de ouro w) Ás preto
f) uma letra o) o número 7 de copas x) Ás vermelho
g) uma letra vermelha p) um número preto y) Valete
h) uma letra de paus q) um número impar z) nº 8 preto
i) uma figura r) um nº primo aa) nº 8 vermelho
Baralho Comum A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,Q,J,K
4 naipes: ouro(♦♦♦♦) , espadas(♠♠♠♠) , copas(♥♥♥♥) e paus(♣♣♣♣)
ouro(♦♦♦♦) e copas(♥♥♥♥) são vermelhos espadas(♠♠♠♠) e paus(♣♣♣♣) são pretos
01.1) No exercício anterior se tivermos um baralho de truco o que muda? Você é capaz de dar as
respostas?
Baralho de Truco A,2,3,4,5,6,7,Q,J,K 4 naipes: ouro(♦♦♦♦) , espadas(♠♠♠♠) , copas(♥♥♥♥) e paus(♣♣♣♣)
01.2) Agora, imagine se para um determinado jogo, num Baralho Fictício, não possuirmos as
cartas Valete, a carta de nº 2, o nº 10 e ainda não possuir o naipe de espada(♠♠♠♠). O que irá
mudar? Você é capaz de repetir o exercício 1 para essa situação? Quais serão os
resultados???
Baralho Fictício A,3,4,5,6,7,8,9,Q,K 3 naipes: ouro(♦♦♦♦) , copas(♥♥♥♥) e paus(♣♣♣♣)