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1. Dízima Periódica

2. Ao final dessa aula você saberá...
O que é uma dízima periódica
Diferenciar o período da parte não-
periódica
O que é um período
Representar uma dízima periódica na
forma decimal
O que é geratriz de uma dízima periódica
Como descobrir a geratriz de uma dízima
periódica

3. O que é Dízima Periódica?
É um número racional, que apresenta um
período.
E o que é período?
É um número que se repete,
determinando uma quantidade infinita de
casas decimais.

4. Exemplos de Dízimas Periódicas
• 0,333... = 0, 3
• - 53,777777... = − 53, 7
• 8,1111... = 8, 1
• 15,24123123123... = 15,24123
• - 3487,9989898... = − 3487,998
Verifique que, em cada dízima, o período (em vermelho)
também pode ser representado com um traço em cima do
número que se repete.

5. Observação
Quando uma dízima periódica apresenta
um número entre a vírgula e o período,
dizemos que é uma dízima periódica
composta. Esse número que não se repete
chamamos de parte não-periódica.
Caso não exista um número
entre a vírgula e o período,
dizemos que é uma dízima
periódica simples.

6. O que é Geratriz?
Como o nome já diz...
...é
a fração que gera uma
determinada dízima periódica.

7. Como encontramos a geratriz
de uma dízima periódica?
1º método: Resolvendo um sistema...
... se a dízima periódica for simples
Descobrindo a geratriz do número 0,555...
1º passo: chamamos o número 0,555... de x,
obtendo a equação I:
x = 0,555...

8. 2º passo:
Multiplicamos toda a equação pelo
múltiplo de 10 mais conveniente, de
forma que o primeiro período passe a
pertencer à parte inteira, obtendo
assim, a equação II:
(10) x = 0,555... (10)
10 x = 5,555...

9. 3º passo: Subtraímos a equação I da
equação II .
 x = 5,555...
10
−
 x = 0,555...
5
9x = 5 ⇒x =
9

10. Tente fazer sozinho!
Apresente a geratriz do número 1,232323...

11. Solução
1º passo: x = 1,232323...
2º passo: (100) x = 1,232323... (100)
100 x = 123,232323...
3º passo: 100 x = 123,232323...
−
 x = 1,232323
99x = 122 ⇒ = 122
x
99

12. ... se a dízima periódica for composta
Descobrindo a geratriz do número 0,04777...
1º passo: chamamos o número 0,04777... de x,
obtendo a equação I:
x = 0,04777...

13. 2º passo:
Multiplicamos toda a equação pelo
múltiplo de 10 mais conveniente, de
forma que o número passe a ser uma
dízima periódica simples, obtendo a
equação II.
(100)x = 0,04777... (100)
100x = 4,777...

14. 3º passo:
Multiplicamos toda a equação pelo
múltiplo de 10 mais conveniente, de
forma que o primeiro período passe a
pertencer à parte inteira, obtendo assim,
a equação III.
(10)100x = 4,777...(10)
1000x = 47,777...

15. 4º passo: Subtraímos a equação II da
equação III .
1000 x = 47,777...
−
 100 x = 4,777...
43
900x = 43 ⇒
x=
900

16. 4º passo: Subtraímos a equação II da
equação III .
1000 x = 47,777...
−
 100 x = 4,777...
43
900x = 43 ⇒
x=
900

17. Solução
1º passo: x = 0,31222...
2º passo: (100) x = 0,31222... (100)
100 x = 31,222...
3º passo: (10)100 x = 31,222...(10)
1000x = 312,222...
1000 x =312,222...
4º passo: −
 100 x = 31,222...
900x = 281 ⇒ x = 281
900

18. 2º método: decorando a regra...
... se for uma dízima periódica simples com a
parte inteira nula, a geratriz apresenta:
 numerador = período
 denominador = tantos 9 quantos forem os
algarismos do período.
Exemplos:
0,222... =
2
9
73
0,737373... =
99
102
0,102102102... =
999

19. ... se for uma dízima periódica simples com a parte
inteira não nula, devemos somar a parte inteira com
fração gerada pela parte decimal (conforme regra
anterior)
Exemplos:
2 371
41,222... = 41 + =
9 9
73 568
5,737373... = 5 + =
99 99
102 3099
3,102102102... = 3 + =
999 999

20. ... se for uma dízima periódica composta,
a geratriz apresenta:
 numerador = parte inteira/não período/período - parte inteira / não
período
 denominador = tantos 9 quantos forem os algarismos do período /
tantos 0 quantos forem os algarismos do não período.
Exemplos:
2752 − 27 2725
2,7525252... = =
990 990
14213 −142 14071
1,4213131313... = =
9900 9900
10382 − 103 10279
10,3828282... = =
990 990