No século XVI, matemáticos como Cardano e Bombelli realizaram progressos no estudo de raízes quadradas de números negativos, ampliado dois séculos depois por Wesses, Argand e Gauss, considerados criadores da teoria dos números complexos. A unidade imaginária i é definida como a raiz quadrada de -1, permitindo expressar números complexos na forma z = a + bi. As potências de i se repetem em um ciclo de quatro termos, onde in é igual a ir, sendo r o resto da divisão de n por 4.

1. Potência de i

2. Potência de i
• No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros,
realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números
negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por
Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os
criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números
Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de
Eletricidade

3. Cardano

4. Bombelli

5. • Unidade imaginária:
• define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como
sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas
operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de
números negativos .

6. Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a
parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária
e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá
facilitar vários cálculos.
i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um.
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.
i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja:
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante.
Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta
observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4,
então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o
mesmo que i3, portanto i243 = - i.
Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da divisão.

7. • Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.
• Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta
elevá-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos
resumir:
• i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
• Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1
= i .

8. Equipe
• Alunos 3.01
• Silvana Patrícia
• Juliana Martins
• Ticiane Carvalho
• Paulo Figueiredo
• Luis Henrique
• Emerson Paraíso