CPIV

1. 2016/03/15
1
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
HIDRÁULICA 1
CAPÍTULO IV
HIDRODINÂMICA
Docente:
Hélder Francisco, Eng. Civil
E-mail: htesoura@yahoo.com.br
Celular: (+258) 826167150
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
HIDRODINAMICA
TÓPICOS:
1. Equação de NAVIER – STOKES
2. Escoamento no campo da gravidade;
3. Teorema de BERNOULLI para líquidos perfeitos;
4. Linha piezométrica e linha de energia;
5. Teorema de BERNOULLI para líquidos reais;
6. Variação da cota piezométrica;
7. Vórtices;
8. Movimentos rotacionais e irrotacionais;
9. Escoamento plano;
10. Início do escoamento. Camada limite.

2. 2016/03/15
2
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
1. EQUAÇÃO DE NAVIER – STOKES
As equações de Navier–Stokes, são definidas como as equações gerais
do movimento de um líquido.
De acordo com a 2ª LEI DE NEWTON:
Num determinado elemento infinitesimal de, limitado pela superfície ds,
temos:

 amF
 


e
2
s
1
e
de
dt
Vd
ρdsPdegρ

Em que:
1 - forças de volume: peso próprio;
2 - forças de contacto num plano tangente a ds: componentes normal e
tangencial.
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
1. EQUAÇÃO DE NAVIER – STOKES
O Teorema de GAUSS por sua vez mostra que:
 

es
dePdivdsP
dt
vd
ρPdivρ.g



dt
dv
ρ
z
P
y
P
x
P
gρ iiziyix
i 








 


e
2
s
1
e
de
dt
Vd
ρdsPdegρ

Hipóteses de Navier e Stokes:
• As tensões tangenciais são proporcionais à velocidade da deformação angular:
• As tensões normais (pressões) são proporcionais à velocidade de deformação
linear:














i
j
j
i
ijij
x
v
x
v
P 
i
i
ii
x
v


  2 ica)(hidrostátpP iiii 

3. 2016/03/15
3
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
1. EQUAÇÃO DE NAVIER – STOKES
Por substituição, obtêm-se 3 equações escalares segundo x-x:
dt
du
zx
w
z
u
yx
v
y
u
x
u
x
P
gx  




























2
2
22
2
2
2
2
2:(1)




















































zx
w
yx
v
x
u
z
u
y
u
x
u
z
u
y
u
x
u
x
P
dt
du
gx
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
: (2)
  
iveisincompresslíquidospara0,
(3)


























z
w
y
v
x
u
xzx
w
yx
v
x
u 22
2
2
:
O conjunto das equações de Navier-Stokes:
u
x
p
dt
du
gx
2









 
w
z
p
dt
dw
g
v
y
p
dt
dv
g
u
x
p
dt
du
g
z
y
x
2
2
2

































Estas equações são difíceis
de integrar analiticamente!
Forças de inércia
Variação de pressão segundo os eixos
Forças de viscosidade
0gg yx  ggz 
Nesta formulação não foram
considerados os efeitos da turbulência.
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
2. ESCOAMENTO NO CAMPO DA GRAVIDADE
Equações de Navier – Stokes:











 vpgrad
dt
vd
grad 2

 gradgpotencialumdederivadasgForças ;""
Se o potencial for o da gravidade, cte;g.z  








g
p
gradgv
dt
vd

 z2











 v
dt
vd
g
1p
zgrad 2
gg 


capiezométricotaé
p
z ,



4. 2016/03/15
4
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
epeso :
z:PosiçãodePotencialEnergia
p.epressãodePotencialEnergia :

 p
z
e
epze
:PesodeunidadeporPotencialEnergia 


0:PerfeitolíquidooPara
dt
vd
g
p
zgrad








1

Volume e,
2. ESCOAMENTO NO CAMPO DA GRAVIDADE
No líquido real em escoamento permanente:
dp
vd
dt
vd
dt
v



0








 v
dp
vd
g
p
zgrad 21



Quando o líquido está em repouso: 0

v
cte
p
z
p
zgrad
PHL








...

0
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
3. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS
Partícula ao longo da sua trajectória:
dt
vd
g
p
zgrad








1


v não tem componentes normais à trajectória.
Componente de segundo a trajectória:

v v
Eixo da trajectória: S



























2
2
v
st
v
v
s
v
t
v
t
s
s
v
t
v
dt
vd




















g
v
st
v
g
p
z
s 2
1 2

t
v
gg
vp
z
s 









 1
2
2

Um líquido pode ser considerado perfeito quando:
• Em repouso;
• Início do movimento: passagem dum reservatório para uma conduta; passagem
duma albufeira para um descarregador

5. 2016/03/15
5
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
3. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS
eg :e""volumedoPeso
2
e.vmv
2
1
:CinéticaEnergia .
2
12

g
v
eg
ve
2
2
1
2
2





:pesodeunidadeporCinéticaEnergia
Energia total / unidade de peso = (Energia potencial + energia cinética) / unidade de peso
2g
v
zHCarga
2


p
0;
t
v
:PermanenteRegime 


cteH
2g
vp
z
2


©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
3. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS
Num LÍQUIDO PERFEITO em REGIME PERMANENTE, a partícula desloca-se ao
longo da sua trajectória sem variação de carga.
0;
t
v
:PermanenteRegime 


cteH
2g
vp
z
2


z
p


:caPiezométriCota
g
v
2
2
:CinéticaCarga
g
vp
z
2
2
,,

:líquidodealturaemexpressaEnergia

6. 2016/03/15
6
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
4. LINHA PIEZOMÉTRICA E LINHA DE ENERGIA
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
4. LINHA PIEZOMÉTRICA E LINHA DE ENERGIA
Tubo piezométrico ou tubo de PRANDTL (piezómetro)

7. 2016/03/15
7
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
4. LINHA PIEZOMÉTRICA E LINHA DE ENERGIA
Tubo de PITOT
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
5. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS
A aproximação dos líquidos perfeitos é valida de acordo com a experiência:
1. Escoamento permanente partindo do repouso;
2. Escoamentos fortemente acelerados
Carga é constante não só em cada trajectória mas em todos os pontos.
Fórmula de TORRICELLI
É válida para
reservatórios de
grandes dimensões
com um pequeno
orifício de saída na
parede lateral.
LÍQUIDOS REAIS – a carga diminui ao longo da trajectória devido ao trabalho das forças resistentes (viscosidade,
turbulência)!

8. 2016/03/15
8
©Hélder Francisco●2015HIDRÁULICA 1
Regime turbulento
5. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS
LÍQUIDOS REAIS – a carga diminui ao longo da trajectória devido ao trabalho das forças
resistentes (viscosidade, turbulência)!
Equações de Navier-Stokes com velocidades instantâneas: vvv 
     
  
*
''''''























ziyixi uu
z
uu
y
uu
xg
v
dt
vd
g
p
zgrad
11 2



* componente da turbulência:
normalmente muito mais importante
que a viscosidade (em termos de
perda de carga). Fenómeno complexo.
Ao longo da trajectória: J
v
sgt
v
g
p
z
s




















2
11 2

J – perda de carga unitária: diminuição da carga H por unidade de percurso.
J
g
vp
z
s










2
2

Forma discreta: ΔHJ.LHH 12 